Chapitre 2 : notions d`optique géométrique

Chapitre 2 : notions d’optique géométrique
1 Cadre et outil de l’optique géométrique
1.1 Vision et lumière
Réalisons les expériences suivantes :
Expérience 1 :
Dans un premier temps, dans l’obscurité, visons un écran blanc avec un laser.
Observation 1
Nous apercevons une tache rouge sur l’écran. Le faisceau laser est pratiquement invisible sur
son parcours, seul le point de sortie du laser et le point d’impact sont visibles.
Expérience 2
Répétons l’expérience an saupoudrant de la poussière de craie ou en pulvérisant des
gouttelettes d’eau entre le laser et l'écran.
Observation 2
Les poussières de craie permettent de bien voir le faisceau laser, tout au long du trajet.
Expérience 3
Plaçons enfin un carton opaque devant nos yeux.
Observation 3
Ni le faisceau ni la tache rouge ne sont visibles.
Interprétations
1 et 2. Le faisceau n’est visible que si des particules disséminées dans le faisceau diffusent
vers notre œil une partie de la lumière du laser.
3. Un corps opaque placé devant les yeux empêche la lumière de pénétrer dans les yeux.
Conclusions
Nous ne voyons pas la lumière du faisceau lorsqu’il se propage. Notre œil reçoit une
partie de la lumière diffusée par les particules qui s’y trouvent, ce qui nous le rend
perceptible.
Pour être vu d’un observateur, un objet doit être lumineux et la lumière qu’il reçoit doit
parvenir jusqu’à l’œil de l’observateur.
« Voir » signifie « recevoir de la lumière dans les yeux » !
« La lumière ne se voit pas , elle fait voir »
1.2 Propagation rectiligne de la lumière
L’expérience précédente a également montré que le faisceau laser
rendu visible par des poussières de craie ou les gouttelettes d’eau en
suspension dans l’air est rectiligne.
Dans de nombreuses situations de la vie quotidienne aussi, la
présence d’impuretés ou de particules en suspension dans l’air
permet de « matérialiser » le parcours de la lumière.
Conclusion :
Dans un même milieu transparent homogène, la lumière se propage en ligne droite.
Puisque la lumière se propage de manière
rectiligne le trajet suivi par la lumière est
représenté par une droite à laquelle on ajoute
une flèche afin d'indiquer le sens de propagation.
Un rayon lumineux représente le trajet rectiligne orienté suivi par la lumière.
Rayons de soleil passant à travers les nuages
Une source de lumière émet en général de la lumière dans plusieurs directions.
L'ensemble des rayons de lumières correspond alors à un faisceau de lumière.
Un faisceau de lumière peut être représenté par les rayons de lumière qui le délimitent.
La lumière est donc vue comme un ensemble de rayons,
émis par la source.
Chaque point lumineux de la source émet ainsi des
« rayons » qui partent dans toutes les directions.
Un faisceau lumineux est dit convergent lorsqu’il se resserre.
Il est dit divergent lorsqu’il s’élargit.
S’il ne se resserre ni ne s’élargit, il est dit cylindrique, ou encore parallèle.
On appelle pinceau lumineux un faisceau étroit.
Propagation rectiligne de la lumière
http://www.youtube.com/watch?v=2JnM3e
zLdjE&feature=related
http://www.youtube.com/watch?v=WrQsq8
s8XzU&feature=related
1.3 Lumière et ombre
La notion de rayon lumineux permet de comprendre la formation des ombres portées par
des corps opaques :
Illustration des zones d’ombres et de lumière : les phases de la Lune
La Lune ne brille pas par elle-même. Elle
reçoit de la lumière du Soleil, comme la
Terre, et c’est la lumière qu’elle nous
renvoie que nous percevons. C’est elle
qui donne le clair de lune.
Si elle brillait par elle-même, comme le
Soleil, elle serait toujours pleine !
Le cycle des phases de
la Lune
La Terre et la Lune , présentant la même phase,
captées par la sonde Galileo, en partance pour
Jupiter
Si nous étions sur la Lune, nous verrions la Terre
éclairée par le Soleil. Et lorsqu’il fait nuit sur la Lune, on
pourrait y admirer le clair de Terre !
Si on regarde bien, juste après la nouvelle Lune, on peut distinguer cette partie de la Lune qui
est dans la nuit, éclairée par le clair de Terre… Cette faible lueur porte le joli nom de lumière
cendrée. Il faut bien comprendre que c`est de la lumière émise par le soleil, qui se réfléchit
une première fois sur la Terre, puis à nouveau sur la Lune, avant de nous revenir. On conçoit
que cette lumière soit faible.
La lumière solaire touche la Terre, sur laquelle elle se
réfléchit. Elle arrive ensuite sur la partie de la Lune opposée
au Soleil, sur laquelle il fait nuit.
Elle se réfléchit à nouveau sur le sol lunaire, qui est donc
visible d’une petite partie de la Terre plongée dans la nuit.
La lumière cendrée est donc visible juste après le coucher du
Soleil le soir, ou bien juste avant le lever du Soleil le matin
(configuration du schéma).
Ombre d'une sphère illuminé par une source lumineuse étendue
L'objet est loin d'une source de petites
dimensions : la source est ponctuelle. Sur
l'écran l'ombre portée est nette et contrastée :
on passe sans transition de la zone d'ombre à
la zone éclairée.
L'objet est près de la source et/ou la source est
étendue. Sur l'écran l'ombre portée est floue :
on passe progressivement de la zone d'ombre à
la zone éclairée en traversant une zone de
pénombre.
http://media4.obspm.fr/public/AMC/pages_eclipses-lune/introduction-geometrie-eclipseslune.html
Déroulement d’une éclipse de Lune
Au stade 1, la Lune n'est pas encore
rentrée dans l'ombre de la Terre, mais
est seulement dans la pénombre. Rien
ne se remarque à l'œil nu.
Les stades 2 à 8 correspondent à
l'entrée progressive de la Lune dans
l'ombre de la Terre. Ces photos ont été
prises avec une durée de pause très
brève. La partie éclairée de la Lune
n'est pas surexposée ; la partie à
l'ombre parait noire.
Le stade 9 est quasiment le même que le stade 8, mais la pose est plus longue. La part du
disque lunaire encore éclairée paraît surexposée. La part du disque lunaire à l'ombre devient
visible et est (en général) de couleur rouge brique à rouge sang.
Le stade 10 correspond au début de la phase totale. La pose est très longue. La partie Sud de
la Lune, à l'ombre certes, mais relativement près du bord de l'ombre est beaucoup plus
lumineuse que la partie Nord. Toute la Lune a alors une superbe couleur rouge sang.
Les éclipses de Soleil
La Lune, éclairée par le Soleil, donne naissance, dans la direction opposée au Soleil à deux
cônes, un cône d'ombre et un cône de pénombre. La droite joignant le centre du Soleil et le
centre de la Lune constitue l'axe de ces cônes. Le cône d'ombre est construit à l'aide des
tangentes extérieures aux sphères solaire et lunaire, le cône de pénombre est construit à
partir des tangentes intérieures aux sphères solaire et lunaire.
Pour un observateur A placé dans le cône d'ombre, avant son sommet il y a éclipse totale du
Soleil, pour un observateur B situé dans le prolongement du cône d'ombre, donc après le
sommet du cône d'ombre, il y a éclipse annulaire du Soleil. Lorsqu'un observateur C se trouve
dans le cône de pénombre, il assiste à une éclipse partielle, donc un passage partiel de la
Lune devant le Soleil.
http://media4.obspm.fr/public/AMC/pages_eclipses-soleil/introduction-eclipses-soleil.html
Éclipses de Soleil totale, annulaire et
partielle
Ombre et pénombre : éclipses de Soleil et de Lune
http://www.youtube.com/watch?v=ilSkZQafybk&feature=related
1.4 Optique géométrique
L'optique géométrique est une branche de l'optique qui s'appuie principalement sur la notion
de rayon lumineux pour décrire la lumière.
L'optique géométrique consiste à étudier la manière dont la lumière se propage en ne
considérant que la marche des rayons lumineux.
Un rayon lumineux est une notion théorique : il n'a pas d'existence physique. Il sert de modèle
de base à l'optique géométrique, où tout faisceau de lumière est représenté par un ensemble
de rayons lumineux.
Premier principe général de l’optique géométrique : propagation rectiligne de la lumière :
« Dans un milieu transparent, homogène et isotrope, la lumière se propage en ligne droite :
les supports des rayons lumineux sont des droites ».
Rappelons qu’un milieu est dit :
transparent, s’il laisse passer la lumière (par opposition à un milieu opaque) ;
homogène, si ses caractéristiques optiques sont indépendantes de l’espace ;
Isotrope, si ses caractéristiques optiques sont indépendantes de la direction selon laquelle
se propage le rayon lumineux.
L’eau, l’air, le vide, les verres sont en général des milieux transparents, homogènes et
isotropes, pour certaines longueurs d’ondes tout au moins.
1.5 Validité de l’optique géométrique
Lorsqu'un faisceau lumineux traverse une ouverture étroite, on peut observer la présence de
lumière en dehors de la zone définie par la loi de propagation rectiligne : on dit qu'il y a
diffraction de la lumière.
La diffraction est négligeable si la longueur d'onde de la radiation utilisée reste faible par
rapport aux dimensions de l'ouverture.
Les lois de l'optique géométrique sont donc valables pour des longueurs d'onde quasiment
« nulles ».
Condition d’application de l’Optique géométrique :
Si λ<<d, alors l’approximation de l’optique géométrique est valable.
Diffraction d’un faisceau laser rouge
http://www.youtube.com/watch?v=vdJydvC7LoI
1.6 Une première application à la photographie : observation avec une chambre noire
Une chambre noire (camera obscura) est une boîte fermée. D’un côté un petit trou (appelé
sténopé) laisse entrer la lumière. Le côté opposé constitué d’une feuille de papier calque
translucide sert d’écran d’observation. Afin de réaliser une relative obscurité au voisinage de
l’écran d’observation, une visière à l’aide d’un carton noir peut être appliquée.
Observons le monde extérieur à travers cette chambre noire : sur l’écran translucide nous
apercevons une image colorée, peu lumineuse, renversée et assez floue.
Interprétation :
Tout point lumineux des objets placés devant la chambre noire émet des rayons lumineux
dans toutes les directions. Parmi ces rayons, il y en a un qui traverse le trou, en ligne droite,
et frappe l’écran translucide en donnant lieu à un point image. Celui diffuse partiellement la
lumière reçue de sorte que finalement un rayon entre dans l’œil de l’observateur.
Réalisation d’une camera obscura
http://www.youtube.com/watch?v=pOKqSlAOdhI
1.7 Exercices (propagation rectiligne)
1. Une source ponctuelle est placée devant un écran. On interpose, entre la source et
l’écran, un cache opaque circulaire de diamètre 5cm. Le cache est parallèle à l’écran et la
source est placée sur l’axe de révolution du cache. La distance entre la source et le cache
est égale à 1m et celle entre le cache et l’écran est égale à 2m. Calculer la surface de
l’ombre sur l’écran. (Rép. L’ombre est un disque de 176,7 cm2).
2. Une source de lumière en forme de
disque, placée en B, de rayon r1=5
mm éclaire un disque opaque de
même axe, de rayon r2=5 cm, placé en
D, à BD=50 cm de la source. Calculer
les largeurs de l'ombre portée et de la
pénombre sur un écran parallèle aux
disques et situé en E, à une distance
DE = 2 m du disque opaque. (Rép.
L’ombre est un disque de 46 cm de
diamètre, la pénombre une couronne
de 4 cm de largeur)
3. Une chambre noire est une boîte de 25 cm de profondeur, percée d’un petit trou sur sa
face avant et d’un calque sur sa face arrière. On observe la lumière provenant d’un
immeuble de 30 m de haut, situé à 50 m en avant de la chambre noire arrivant sur le
calque après avoir traversé le petit trou. Calculer la hauteur de l’immeuble observé sur le
calque. (Rép. 15 cm).
2 Indice optique ou indice de réfraction d’un milieu
2.1 Indice absolu d’un milieu et indice relatif de deux milieux
La durée τ du trajet de la lumière d’un point A à un point B dépend de la vitesse v(M) de la
propagation de la lumière en chaque point M du trajet ; si on note c = 299 792 458 m/s
(célérité de la lumière) la vitesse de la lumière dans le vide, on choisira de noter :
v( M ) =
c
n( M )
en définissant l’indice optique ou indice de réfraction absolu n(M) du milieu matériel traversé.
Cet indice optique est en général supérieur à 1 (ce qui indique v < c) mais ce n’est pas une
obligation, la vitesse de propagation (ou vitesse de phase) v n’étant pas toujours inférieure à c
(ce n’est pas une vitesse matérielle). Dans le cas de certains milieux matériels transparents (les
plasmas dans le domaine des ondes radio) on peut avoir n < 1.
Notons aussi que l’indice optique d’un milieu matériel dépend de la fréquence f ou ce qui
revient au même de la longueur d’onde dans le vide ; la dépendance d’un indice avec la
longueur d’onde constitue le phénomène de dispersion, présent dans tous les milieux
matériels sauf le vide.
L'indice optique d'un milieu déterminé pour une certaine radiation monochromatique
caractérise la vitesse de propagation de cette radiation dans ce milieu, v étant la vitesse de
propagation de la radiation considérée dans le milieu étudié.
Il vaut par définition :
n=
c
v
On définit aussi l'indice optique relatif du milieu A par rapport au milieu B comme le rapport
des vitesses vA / vB, vA et vB étant les vitesses de la même radiation simple dans les milieux A et
B, soit :
nA / B =
vA
vB
Par exemple, l’eau a un indice de 4/3 par rapport à l’air puisque : 4 / 3 =
On montre aisément à l’aide des formules précédentes que :
nA / B =
nB
nA
300000
225000
2.2 Exercices (indice de réfraction)
1. La vitesse de la lumière dans un plastique est de 2,0 x 108 m/s. Quel est l'indice de
réfraction de ce plastique ? (Rép. 1,5)
2. Calculez la vitesse de la lumière dans l’eau sachant que l’indice de réfraction de l’eau vaut
4/3 (Rép. 225 000 km/s)
3 Phénomènes de réflexion et de réfraction : lois de Snell et Descartes
3.1 Définitions
On appelle dioptre la surface séparant deux
milieux transparents, d'indices de réfraction
différents.
Si les rayons demeurent rectilignes dans un milieu
homogène et isotrope, on remarque qu’ils sont
déviés lors du franchissement d'un dioptre ou à la
rencontre d'une surface réfléchissante (miroir).
Les changements de direction aux interfaces
correspondent aux phénomènes de réflexion et de
réfraction.
La réflexion caractérise un changement de direction du rayon sur une surface frontière, mais
sans changement de milieu (le rayon incident et le rayon réfléchi voyagent dans le même
milieu) ;
la réfraction correspond à la déviation d’un rayon lors de la traversée de la frontière entre
deux milieux (le rayon incident et le rayon réfractés parcourent des milieux différents).
Ces phénomènes se produisent en général simultanément, même s’ils sont étudiés dans la
suite séparément.
Réflexion et réfraction, lois de Descartes
Applet en local
http://www.ostralo.net/3_animations/swf/descartes.swf
3.2 Lois de la réflexion
le rayon incident, la normale au point d’incidence et le rayon réfléchi sont coplanaires ;
l’angle de réflexion (angle entre la normale et le rayon réfléchi) est égal à l’angle
d’incidence (angle entre la normale et le rayon incident), au signe près :
θ1 = θ 2
Si l’on inverse le sens de parcours de la lumière, la direction des rayons reste inchangée
(principe de retour inverse de la lumière).
3.3 Exercices (lois de la réflexion)
1. Un point lumineux S est placé à 40 cm au dessus et sur la normale au centre d'un miroir
plan circulaire de diamètre d=10 cm, disposé horizontalement.
Le miroir étant à 2 m du plafond, calculer le diamètre D du cercle éclairé au plafond par la
lumière réfléchie sur le miroir.
Aide : construisez le point S’, image de S par le miroir.
Que devient le cercle éclairé au plafond si on déplace le miroir latéralement par rapport à la
source de lumière ? (Rép. 60 cm de diamètre, dans tous les cas)
2. L’œil ponctuel d’un observateur est placé devant un miroir plan circulaire de 5 cm de
rayon, sur la normale à ce miroir qui passe par son centre, et à 20 cm de ce centre. Quelle
portion verra-t-il, par réflexion, d’un mur placé derrière lui, parallèlement au miroir, à 1,8m
de ce miroir ? (On considère que la tête de l’observateur ne gêne pas les observations).
(Rép. Disque de 50 cm de rayon, centré sur la normale du miroir).
3. Une personne d’une hauteur de 1,80 m se regarde dans un miroir plan vertical. Les yeux
sont à 10cm du sommet de la tête.
Quelles doivent être la dimension minimale du miroir et la distance au sol du miroir pour
que l’observateur se voie tout entier ?
Montrez que ces résultats sont indépendants de la position de l’observateur par rapport
au miroir (On considère l’observateur vertical et sans épaisseur).
(Rép. Miroir de 90 cm, situé à 85 cm du sol)
Résolution générale du problème « se voir en entier dans le miroir »
3.4 Lois de la réfraction
le rayon incident, la normale au point d’incidence et le rayon réfracté sont coplanaires ;
l’angle de réfraction et l’angle d’incidence vérifient la loi de Snell-Descartes :
n1 sin θ1 = n2 sin θ 2
Si l’on inverse le sens de parcours de la lumière, la direction des rayons reste inchangée
(principe de retour inverse de la lumière).
La réfraction par une lentille cylindrique peut produire
une inversion gauche/droite
Deux exemples sur les effets de la réfraction
lors du passage de la lumière entre l'eau
et l'air. Dans le deuxième exemple, les verres
d'eau se comportent comme des lentilles
Construction de Descartes des rayons réfléchis et réfractés
1.Tracer le rayon incident, notons I le point
d’incidence ;
2.Tracer le cercle C1, de centre I et de rayon n1
(unité de distance arbitraire) ;
3.Tracer le cercle C2, de centre I et de rayon n2 ;
4.Prolonger dans le milieu émergent le rayon
incident qui coupe le cercle C1 au point A’;
5.Tracer la droite parallèle à la normale au dioptre
en I passant par A’ ; cette droite coupe le cercle C2
dans le milieu émergent au point A’’, le dioptre au
point H et le cercle C1 dans le milieu incident au
point A ;
6.Tracer la droite (IA) dans le milieu incident : c’est
le rayon réfléchi.
7.Tracer la droite (IA’’) dans le milieu émergent :
c’est le rayon réfracté.
Remarque : loi de Kepler de la réfraction
Pour des petits angles d’incidence, on peut
réaliser l’approximation suivante :
sin i1 ≈ i1
Et donc on obtient la relation :
qui constitue la loi de Kepler de la réfraction.
Attention, dans cette relation, les angles sont exprimés en radians !
n1.i1 = n2 .i2
Dioptre plan : étude de la réfraction
http://www.sciences.univnantes.fr/physique/perso/gtulloue/optiqueGeo/dioptres/dioptre_plan.html
Dioptre plan : étude de la réfraction
http://www.youtube.com/watch?NR=1&v=8VZHym6HqVU
Illustrations du phénomène de réfraction
http://www.youtube.com/watch?v=Fme-MGB1yWY
http://fr.video.yahoo.com/watch/1546454/5248338
3.5 Réfraction et phénomène de réflexion totale
On dit qu’un milieu est plus réfringent qu’un autre si son
indice de réfraction est plus élevé.
Lorsque la lumière va d’un milieu moins réfringent à un milieu
plus réfringent (n2>n1), l’angle de réfraction est plus petit que
l’angle d’incidence, et le rayon réfracté se rapproche de la
normale.
Plus l'indice de réfraction n2 est grand, plus le rayon réfracté
s'approche de la normale.
Lorsque la lumière va d’un milieu plus réfringent à un milieu
moins réfringent, c’est-à-dire lorsque l'indice de réfraction n2
est plus petit que n1 (par exemple : passage du verre à l'air),
l’angle de réfraction est plus grand que l’angle d’incidence et
le rayon réfracté s’éloigne de la normale.
Constructions de
Descartes du rayon
réfracté dans le cas du
passage d’un milieu
moins réfringent à un
milieu plus réfringent ou
inversement.
Il existe donc une incidence limite, dite « angle critique » au delà de laquelle il n’y a plus de
rayon réfracté : on parle de réflexion totale.
En appliquant la loi de Snell-Descartes avec rmax=90°, on trouve pour l’angle critique la
valeur de :
n2
imax = arcsin
n1
http://www.uel.education.fr/consultation/reference/physique/optigeo/simuler/appletsjava/li
mite.html
Cette propriété est mise à profit dans certains systèmes réflecteurs comme
le prisme à réflexion totale (prisme rectangle à trois côtés qui peut dévier un rayon de 90°
ou de 180°).
http://www.uel.education.fr/consultation/
reference/physique/optigeo/simuler/apple
tsjava/reflexio.html
Schéma des jumelles . Pour permettre l'observation d'images terrestres redressées (droites),
un système de prismes est interposé dans le chemin lumineux. Ces prismes sont appelés
prismes de Porro. Ils permettent le redressement de l'image indispensable dans les jumelles
et permettent également de diminuer la longueur des appareils. À part du système à prismes
de Porro existe aussi le système à prismes en toit.
les fibres optiques.
http://www.uel.education.fr/consult
ation/reference/physique/optigeo/si
muler/appletsjava/gradient.html
Expérience montrant la réfraction et la réflexion totale. Droite : Banpo-Bridge en
Corée du Sud. La lumière peut aussi être guidée (partiellement) à l'intérieur d'un
jet d'eau par réflexion totale.
L’eau comme guide d’onde
http://www.youtube.com/watch?NR=1&v=hBQ8fh_Fp04
Le plastique comme guide d’onde
http://www.youtube.com/watch?NR=1&v=hBQ8fh_Fp04
Réflexion, réfraction et réflexion interne à l’interface eau-air
http://www.youtube.com/watch?v=2kBOqfS0nmE
3.6 Principe de retour inverse de la lumière
Le principe de retour inverse constitue le deuxième principe général de l’optique géométrique :
« Si la lumière suit un trajet quelconque d'un point A à un point B (y compris dans un
système optique), alors la lumière peut suivre exactement le trajet inverse de B vers A.
Autrement dit, le sens de parcours change, mais pas les directions (supports des
rayons)».
Principe de retour inverse de la lumière dans le cas de la réfraction
3.7 Exercices (lois de la réflexion et de la réfraction)
1. Un rayon de lumière dans l'air frappe un morceau de quartz à un angle d'incidence de
30°. L’angle de réfraction est de 20°. Quel est l'indice de réfraction du quartz ? (Rép. 1,46)
2. Soit un dioptre plan séparant un milieu d’indice n d’un milieu d’indice n’ (n’>n). On
cherche à ce que le rayon réfracté soit perpendiculaire au rayon réfléchi.
Exprimer l’angle d’incidence pour que cette condition soit vérifiée, en fonction de n et de
n’.
On donne n=1 et n’=1,5. Calculer l’angle d’incidence et l’angle de réfraction. Vérifier
l’orthogonalité des deux rayons.
(Rép. tan i =n’/n ; i = 56,31°; r=33,69°)
3. Montrer que la lumière n’est pas déviée par un passage à travers une vitre. Pour une vitre
d’épaisseur 1 cm, que vaut le décalage latéral maximal ? Si la vitre n’a pas ses faces
rigoureusement parallèles, que se passe-t-il ?
4. Un rayon lumineux traverse l'une des faces d'un cube
en matière transparente sous une incidence de 45°
puis rencontre une seconde face, perpendiculaire à la
première.
En admettant que le plan d'incidence soit normal à ces
deux faces et que le rayon sorte dans l'air en rasant la
face de sortie, calculer l'indice de la substance du
cube. (Rép. 1,22)
5. On fait flotter sur l'eau un disque opaque, de rayon
R=5 cm, portant en son centre O une aiguille
plongeant verticalement dans l'eau.
L'aiguille est invisible pour toute position de l'œil audessus du plan de la surface du liquide.
Quelle est au maximum la longueur OA de l'aiguille?
Indice : utiliser le phénomène de réflexion totale. (Rép.
4,4 cm)
6. Deux morceaux de verre taillés sous forme de
triangle rectangles et isocèles d’indices respectifs
N et n ont leur face AB commune. Un rayon
incident frappe la face BD sous une incidence
normale, se réfracte en I1, se réfléchit en I2 puis
ressort en I3 sous l’incidence i. les valeurs N et n
sont telles que la réflexion est totale en I2.
Ecrire la relation de Snell-Descartes aux points I1 et I2.
Quelles relations vérifient les angles r et α, α et β ?
Quelle relation vérifient N et n pour que la réflexion soit limite en I2 ? Calculer N,
r, α, β et i pour n=1.5 quand cette condition limite est réalisée. On appelle N0 cette
nouvelle valeur limite de N pour que la réflexion soit totale en I2, N doit-il être plus
grand ou plus petit que N0 ?
Ecrire la relation vérifiée par N et n pour que l’angle i soit nul. Que vaut N ?
7. Un bloc de verre d’indice n a la forme d’un demicylindre de rayon R. Dans sa section droite qui est un
demi-cercle de centre O, on envoie un rayon SI dont
l’angle d’incidence est i. Exprimer x=OI en fonction de n,
R et i pour que le rayon qui a traversé le bloc de verre
soit parallèle à SI.
8. Un morceau de verre taillé sous la forme d’un triangle
isocèle a la base argentée. Un rayon incident en I arrive sur le
morceau de verre avec un angle d’incidence i, se réfléchit sur
sa base en J avec un angle γ et ressort en K avec un angle i’.
Démontrer que i=i’. Calculer en fonction de i la déviation due
au morceau de verre.
9. On fabrique un parallélépipède de verre d’indice n=1.5.
Un rayon arrive en I avec un angle d’incidence i, se réfléchit
sur la deuxième face en J avec un angle γ et ressort par la
troisième face au point K avec un angle i’.
Etablir les relations entre les différents angles en I, J et K.
Montrer que le rayon ne peut pas se réfracter en J et qu’il
ne peut pas se réfléchir en K. Que vaut l’angle i’ ?
Calculer la déviation due au parallélépipède.
4 Notion de chemin optique et principe de Fermat
4.1 Notion de chemin optique
4.1.1 Cas d’un milieu homogène
Dans un milieu homogène, le chemin optique de la lumière pour aller d'un point A vers un
point B, noté L(A,B) ou [AB], est défini comme étant un nombre algébrique (c’est-à-dire muni
d’un signe) proportionnel au temps mis par le rayon pour aller de A à B (ce temps vaut la
distance divisée par la vitesse), le coefficient de proportionnalité α étant tel que L(A,B) est égal à
la distance algébrique (c’est-à-dire munie d’un signe) AB pour un parcours d’une même durée
dans le vide.
Si on appelle v la célérité de la lumière dans le milieu, et c la célérité de la lumière dans le
vide, on a donc :
AB
AB
L( A, B ) = α .t AB = α
et α
= AB
v
c
Et le coefficient de proportionnalité α est donc égal à la célérité c ; par conséquent, on a :
L( A, B )
r uuur
c
= AB ≡ n AB = nu. AB
v
où l’on a introduit l’indice de réfraction absolu du milieu n et où le vecteur u désigne un
vecteur unitaire orienté porté par le rayon.
Remarque : distances orientées
En optique, on utilise souvent des distances algébriques (dites encore orientées) ; elles sont
généralement représentées par un couple de points surmonté d’une barre, comme par
exemple :
AB
Il s’agit de distances munies d’un signe.
Le signe des distances dans une direction fixée est déterminé par le choix d’une orientation.
Une distance orientée AB est alors positive si le premier point qui la délimite, c’est-à-dire A,
est situé « avant » le second point, c’est-à-dire B.
En optique, le signe positif est généralement pris comme étant le sens de parcours de la
lumière.
Les chemins optiques s’ajoutent algébriquement ; par exemple, le chemin optique pour la
lumière dans un milieu homogène sur le trajet A->B suivi du trajet B->C est tel que :
L( A,C ) = L( A, B ) + L( B ,C )
4.1.2 Succession de milieux homogènes
Plus généralement, dans le cas d’une succession de milieux homogènes, d’indices successifs
nk, k=0,…,N, deux milieux consécutifs d’indices nk et nk+1 étant séparés par les dioptres (Dk,k+1)
ou les miroirs (Mk,k+1), on peut écrire le chemin optique :
N
L( A, B ) = ∑ nk I k I k +1
k =0
sous réserve de noter I0 = A et IN = B (sur la figure N = 3 et n1 = n2).
4.1.3 Cas d’un milieu inhomogène
Dans le cas d’un milieu non homogène, où l’indice optique varie de point en point, on peut
toujours considérer deux points infiniment voisins du milieu, M et M’ et distants d'une
distance ds.
Le chemin optique séparant ces deux points est alors :
dL = n(M).ds ;
dL est l'élément unitaire infinitésimal de chemin optique.
Pour trouver le chemin optique L(AB) séparant deux points A et B sur cette courbe, il suffit de
faire la somme intégrale de tous les éléments de chemin optique dL, c’est-à-dire de calculer
une intégrale curviligne sur la coordonnée curviligne s paramétrant le chemin C(A,B) qui relie
les points A et B :
N
N
L( A, B ) = lim ∑ dL( I k , I k +1 ) = lim ∑ nk dsk =
N →∞
=
k =0
∫
N →∞
k =0
ur
r
n( M )ut ( M ).d r
∫
n( M )ds
M ∈C ( A, B )
M ∈C ( A, B )
ur
où l’on a noté le vecteur unitaire tangent au chemin C(A,B) au point M par : u ( M )
t
4.2 Enoncé du principe de Fermat
« La lumière se propage d'un point A à un point B sur une trajectoire telle que le chemin
optique (et donc la durée du parcours) soit stationnaire (c’est-à-dire présente un
extremum, minimum ou maximum) ».
Nous ne démontrerons pas cette formulation, mais nous allons expliquer le mot stationnaire.
Pour une fonction f(x) d’une variable, on dit que la fonction est stationnaire en x = x0 si :
La figure ci-dessous représente les 3 cas possibles.
Pour une fonction f(x,y) de deux variables, on dit que la fonction est stationnaire en (x0,y0) si :
Autrement dit, la fonction f(x,y) est stationnaire par rapport aux variations de chacune des
variables x et y, c’est-à-dire que f(x,y0), considérée comme fonction de x, est stationnaire en x0
et f(x0,y), considérée comme fonction de y, est stationnaire en y0. La figure ci-dessous
représente quelques situations possibles.
Une première conséquence du principe de
Fermat est la propagation rectiligne des
rayons lumineux dans les milieux
homogènes. En effet, dans un milieu
homogène, le temps de parcours est
proportionnel à la longueur du trajet, et le
chemin le plus court pour aller d’un point à
un autre est la ligne droite.
Une deuxième conséquence de ce principe
est que le trajet suivi par la lumière pour
aller d'un point à un autre ne dépend pas
du sens de propagation de la lumière
(principe de retour inverse de la lumière).
En fait, le principe de Fermat permet de retrouver toutes les lois de l’optique géométrique. Il
peut servir de postulat général pour la théorie de l’optique géométrique.
Il permet en particulier de démontrer les lois de la réflexion et de la réfraction.
4.3 Principe de Fermat et lois de la réflexion
Pour passer de A à B, la lumière suit le chemin prévu par la loi de la réflexion,
passant par x=0 qui correspond bien au minimum du chemin optique
http://www.uel.education.fr/consultation/reference/physique/optigeo/simuler/appletsja
va/miroirplanfr/fermat.html
4.3.1 Point de vue géométrique
4.3.2 Point de vue analytique
Le chemin optique total entre A et B est fonction de
la position du point d’incidence C (repérée par x) :
L( A, B ) = n(a + b) = n  x 2 + c 2 +

(d − x)
2
+ c 2 

Le chemin est extremum pour une position de C
telle que :
dL
dx
=0
dL
x
d−x
=
−
dx
x2 + c2
(d − x) 2 + c 2
La position x=x* de C qui assure l’extremum est donc telle que :
On trouve par un calcul direct :
0=
dL
dx
=
x = x*
x*
x *2 + c 2
−
d − x*
(d − x*) 2 + c 2
⇔
x*
x *2 + c 2
d − x*
=
(d − x*)2 + c 2
(
)
2
(
⇔ x * (d − x*) 2 + c 2 = ( d − x *) x *2 + c 2 ⇔ x *2 (d − x*) 2 + c 2 = ( d − x *) x *2 + c 2
2
2
⇔ x *2 c 2 = ( d − x *) c 2 ⇔ x *2 = ( d − x *) ⇔ x* = ± ( d − x *)
qui a pour unique solution x*=d/2, ce qui implique l’égalité des angles d’incidence et de
réflexion.
Remarque : l’extremum est bien un minimum puisque :
d 2L
c2
=
dx 2
x2 + c2
(
)
3/ 2
+
c2
(( d − x ) + c )
2
2
>0
)
Réflexion sur un miroir sphérique
convexe : l’extremum est un minimum
Réflexion sur un miroir sphérique
concave : l’extremum est un maximum
http://subaru2.univ-lemans.fr/enseignements/physique/02/optigeo/fermat.html
4.4 Principe de Fermat et lois de la réfraction
4.4.1 Réfraction : métaphore du nageur
Un athlète doit partir de la plage et rejoindre
une bouée dans l'eau.
Il essaie deux stratégies :
(1) aller en ligne droite,
(2) courir à l'aplomb de la bouée, et nager
perpendiculairement au rivage.
C'est la stratégie 2 qui est la plus rapide, car
il nage plus lentement qu'il ne court.
Mais la stratégie optimale consiste à suivre
la loi de Snell-Descartes (trajectoire en trait
plein).
La trajectoire la plus rapide est telle que :
(1/v1)sin θ1 =(1/v2)sin θ2.
http://www.phy.ntnu.edu.tw/ntnujava/index.php?topic=45
4.4.2 Point de vue géométrique
Fermat développe la démonstration géométrique suivante :
Considérons le trajet effectivement suivi « A-C-B », qui est tel
que :
n1 sin(i1) = n2 sin(i2) ;
nous allons démontrer qu’un autre trajet (le trajet « A-K-B »)
est nécessairement plus long.
Le point O est le projeté orthogonal de K sur (BC), H le projeté
orthogonal de K sur la droite perpendiculaire à (AC) passant
par C, et I le point d’intersection des droites (AK) et (CH).
Le trajet « A-C-B » peut se décomposer en trois morceaux : AC, CO et OB, et le trajet « A-K-B »
en : AI, IK et KB. Nous allons comparer la durée de ces morceaux deux à deux :
1. Le premier morceau AI est plus grand en distance que AC, et comme il s’agit du même
milieu, la vitesse de la lumière est la même et il est donc aussi plus long en temps.
2. De même le troisième morceau KB est plus long en temps que OB.
3. Il nous reste à comparer les deuxièmes morceaux, IK et CO : IK est plus grand que HK en
distance, et donc plus long en temps. Comparons HK et CO : HK = CK.sin(i1) et CO =
CK.sin(i2).
On en déduit que les trajets HK et CO sont égaux en durée, et par conséquent que le
deuxième morceau IK est plus long en temps que le deuxième morceau CO.
Chacun des morceaux du trajet « A-K-B » étant plus long que son homologue du trajet « A-CB », on peut conclure la trajectoire suivie est bien celle qui minimise le temps de parcours.
4.4.3 Point de vue analytique
Le chemin optique total entre A et B est fonction de
la position du point d’incidence C :
(d − x)
L( A, B ) = n1a + n2b = n1 x 2 + y 2 + n2
2
+ z2
Le chemin est extremum pour une position de C
telle que :
dL
=0
dx
n2 ( d − x )
dL
n1 x
=
−
dx
x2 + y2
(d − x) 2 + z 2
La position x=x* de C qui assure l’extremum est donc telle que :
On trouve par un calcul direct :
0=
dL
dx
=
x = x*
n1 x *
x *2 + y 2
−
n2 ( d − x *)
(d − x*) 2 + z 2
⇔ n1
x*
d − x*
= n2
a
b
⇔ n1 sin θ1 = n2 sin θ 2
On retrouve donc bien la loi de Snell-Descartes.
2
Remarque : l’extremum est bien un minimum puisque : d L =
dx
2
n1 y 2
(x
2
+y
2 3/ 2
)
+
n2 z 2
(( d − x ) + z )
2
2
3/ 2
>0
4.5 Principe de Fermat et lois de la réflexion et de la réfraction, analyse générale
Reprenons le cas général d’une
succession de milieux homogènes,
d’indices successifs nk, k=0,…,N,
deux milieux consécutifs d’indices
nk et nk+1 étant séparés par des
dioptres (Dk,k+1) ou des miroirs
(Mk,k+1).
La nature rectiligne des trajets IkIk+1 étant imposée dans chaque milieu homogène, le principe
de Fermat impose seulement le choix des points intermédiaires Ik (0 < k < N) de réfraction ou
de réflexion des rayons lumineux sur les différents dioptres et miroirs.
Ce choix doit vérifier :
Comme :
Puisque :
0 = dL( A, B ) avec L( A, B )
uur uuuuuur uur uuuuur
uuur
d uk .I k I k +1 = uk . dOI k +1 − dOI k
(
)
(
uur uuuuuur
= ∑ nk I k I k +1 = ∑ nk uk .I k I k +1
N
N
k =0
k =0
)
uur
uur
uuuuuur
duk est ⊥ à uk et donc à I k I k +1
uur uur
uk .uk = 1
(un vecteur unitaire vérifiant toujours :
et donc :
uur uur
uk .duk = 0
).
On peut donc regrouper la condition issue du principe de Fermat sous la forme :
uuur
uur
uuur
dOI
.
n
u
−
n
u
∑ k k k k +1 k +1 = 0
N −1
k =1
(
)
Cette condition n’est possible, pour tout déplacement infinitésimal arbitraire du point Ik sur le
dioptre (Dk,k+1) ou sur le miroir (Mk,k+1), que si le vecteur :
uur
uuur
nk uk - nk +1 uk +1
est normal à la surface de ce dioptre ou de ce miroir.
uuuuur
En notant enfin :
g k ,k +1 un vecteur unitaire normal à cette surface, on a donc :
uuuuur
uur
uuur
uuuuur
uur uuuuur
uuur
g k ,k +1 × nk uk − nk +1 uk +1 = 0 et donc g k ,k +1 × nk uk = g k ,k +1 × nk +1 uk +1
(
)
ur r
g × nu
Cette relation, qui introduit l’invariant de propagation :
n’est autre que la loi de Snell–Descartes de la réflexion ou de la réfraction.
uuur uuuuur uur uuur uuuuur uuur uuuuur uuur uuur
uk +1. g k ,k +1 × uk = uk +1. g k ,k +1 × uk +1 = g k ,k +1. uk +1 × uk +1 = 0
(
)
uuur
elle affirme d’abord que le vecteur uk +1 est orthogonal à :
d’incidence défini par le rayon incident uuur et la normale
k
uuuuur uur
g k ,k +1 × uk
uuuuur
g k ,k +1 au
En effet, comme :
(
)
(
)
, donc à la normale au plan
point d’incidence, et donc la
première loi de Snell-Descartes :
Le rayon réfléchi et le rayon réfracté sont contenus dans le plan d’incidence, défini par
le rayon incident et la normale au dioptre ou au miroir au point d’incidence.
De plus, le vecteur invariant :
uuuuur
uur
g k , k +1 × nk uk
a pour norme :
nk sin ik
uuuuur
uur
où ik est l’angle (non orienté) formé entre les vecteurs : g k , k +1 et uk
on retrouve donc bien la seconde loi de Snell-Descartes :
Dans le cas de la réfraction, le rayon lumineux traverse la normale et les angles formés avec
celle-ci par les rayons incident (ik) et réfracté (ik+1) vérifient la relation :
nksinik=nk+1sinik+1
Dans le cas de la réflexion, le rayon lumineux traverse également la normale et est le
symétrique relativement à celle-ci du rayon incident puisque :
ik=ik+1.
4.6 Propagation courbe de la lumière dans un milieu inhomogène, phénomène de mirage
Lorsque la température du sol est différente
de celle de l'atmosphère, il existe au voisinage
du sol une couche d'air dans laquelle l'indice
de réfraction varie rapidement, rendant le
milieu inhomogène, et entraînant pour les
rayons lumineux une courbure qui déforme
l'image des objets situés au ras du sol. C’est le
phénomène de mirage.
Si le sol est plus chaud que l’air, la courbure est
dirigée vers le haut et les objets se doublent d'une
image renversée laissant croire à un reflet sur un
plan d'eau alors qu'en fait c'est le ciel qui donne
cet effet.
Dans les régions polaires, où le sol est plus froid
que l’air, les rayons lumineux sont courbés vers le
bas, ce qui fait qu'un objet situé au sol semble
flotter en l'air. Ce phénomène rend possible la
vision d'objets situés au-delà de l'horizon.
Propagation dans les milieux inhomogènes et phénomène de mirage
Reflet d’un bateau « flottant » au-dessus du vrai
Mirage : observation d’une image directe et de deux images inversées
On peut généraliser les lois de Snell-Descartes dans le cas de la propagation courbe des rayons
lumineux dans un milieu hétérogène en recherchant la condition d’extremum de l’intégrale
curviligne précédente.
Considérons pour cela deux chemins AB
voisins, représentés par les courbes (C) et (C′)
de la figure ci-contre.
On passe de (C) à (C′) par le déplacement
infinitésimal :
uuuur uuuuur
δ M = MM '
Ce déplacement s’accompagne d’une variation du chemin optique δL qui, compte tenu du
principe de Fermat, est nulle au voisinage d’un rayon lumineux effectif.
On aura donc :
0=
ur r
δ nut .d r
∫ (
)
(
ur r
)
(
ur r
)
ur
r
( )
avec : δ nut .d r = δ n ut .d r + nut .δ d r
M ∈C
puisque
Comme :
ur
ur
r ur
δ ut est ⊥ à ut et donc aussi ⊥ à d r = ut ds
r
( )
uuuuur
uuuur
uuuuur
r
( )
δ d r = d (OM ') − d (OM ) = d ( MM ') = d δ r
on peut donc intégrer par parties la seconde partie de l’intégrale : ∫
M ∈C
ur
r
ur r B
nut .d δ r =  nut .δ r  −
A
( )
Dans cette intégration par parties, le terme tout intégré est nul puisque :
Remarquant alors que :
ur r ur ur
ut .d r = ut .ut ds = ds
r
∫
M ∈C
r
δ r ( A) = δ r ( B ) = 0
r
ur
( )
δ r.d nut
on peut réécrire le principe de Fermat sous la forme :
ur

r d nut 

δ n − δ r
ds = 0
∫
ds
M ∈C 


( )
Cette intégrale devant être nulle sur toute partie du rayon lumineux effectif, l’intégrant ne
peut être que nul en tout point de ce rayon, et l’équation des rayons lumineux prend la forme
ur
r d nut
δn =δr
ds
r
( )
pour tout déplacement arbitraire δ r
uuuur
r
Comme dans ce cas on peut écrire : δ n = grad n . δ r
ur
d nut
uuuur
( ) = grad
n
on obtient l’équation différentielle des rayons lumineux :
ds
r

d r  uuuur
Que l’on peut encore mettre sous la forme : d
 n  = grad n
ds  ds 
r
Comme cas particulier, si
on a bien : d r
=0
ds 2
qui a pour solutions des rayons rectilignes : rr = ar.s + br
n=cste,
2
Remarque : analogie entre l'optique et la mécanique
En mécanique, la loi fondamentale de la dynamique s’écrit :
et peut se transformer en :
r
d pu ds ur
=F
ds dt
( )
r
d pu
ou encore :
( ) = urFr
ds
ur
d p ur
=F
dt
v
On peut écrire que la lumière se propage selon une trajectoire identique à celle que suivrait
une particule matérielle dans les conditions particulières suivantes (en physique des
particules, on utilise la valeur c comme unité de vitesse) :
pour une masse unité m = 1 ;
pour une vitesse unité ||v|| = ||u|| = 1 .
et soumise à une force F qui dérive d'un potentiel qui n'est fonction que de l'indice de
réfraction :
ur
uuuuur  n 2 
F = − grad  − 
 2 
5 Rayon lumineux et optique ondulatoire
5.1 Rayons lumineux et fronts d’ondes
Un rayon lumineux ne peut se concevoir seul. On ne peut parler que d’une famille de rayons
lumineux. Les familles de rayon lumineux sont indissociablement liées à la notion de front
d’onde ou de surface d’onde.
Soit A une source (ponctuelle ou étendue) émettant de la lumière dans toutes les directions
de l'espace à partir de la date t = 0.
L'ensemble des points atteints par la lumière à la date t est une surface (Σ) appelée surface
d'onde à la date t. Cette surface est également une surface réunissant des points situés à un
chemin optique identique de la source.
Considérons en effet un point A, source de lumière, et
traitons le chemin optique : L( M ) = [ AM ]
comme une fonction du point M, pour tout point atteint
par au moins un rayon lumineux issu de A.
Pour M et M′ voisins , la différence de chemin optique δL = L(M′) − L(M) depuis la source
commune A s’écrit sous la forme :
uuuur
r
δ L = gradL . δ r
Mais on peut aussi faire le même calcul que celui qui a été développé ci-dessus (cf. paragraphe
4.6), à un détail près : le terme tout intégré :  ur r  M
 nut .δ r  A
s’annule toujours en A mais plus forcément en M ; il reste donc :
Ce résultat devant être vrai pour tout déplacement, il reste :
uuuur
r
ur r
grad L .δ r = nut .δ r
uuuur
ur
grad L =nut
dont nous ne conserverons en pratique qu’une forme faible : les surfaces de chemin optique
identiques, que nous appellerons dans la suite surfaces équi-phase ou surfaces d’onde, sont
par définition orthogonales au gradient de L, donc aussi à ut.
D’où le théorème de Malus-Dupin :
Les rayons lumineux sont orthogonaux aux surfaces équi-phase, surfaces d’égal chemin
optique depuis une source de lumière ponctuelle donnée.
Cette situation est analogue à celle de l’électrostatique :
les surfaces équipotentielles sont perpendiculaires aux
lignes de champ.
Une famille de rayons définit donc des
fronts d’onde qui sont des surfaces
orthogonales à ces rayons.
Réciproquement, un front d’onde
détermine localement les rayons : ce
sont des « courbes » qui lui sont
localement orthogonales.
5.2 Théorème de Malus-Dupin
Tous les rayons compris entre A et (Σ) correspondent au même chemin optique :
LAB=LAC=LAD=cste.
De même pour les points situés sur la surface d'onde (Σ’) à la date t':
LAB'=LAC'=LAD'=cste'.
On en déduit que tous les chemins optiques compris entre deux surfaces d'onde sont égaux :
LBB'=LCC'=LDD'=c( t '−t ).
En conclusion, entre deux surfaces d'onde (équiphases) le chemin optique ne dépend pas du
choix du rayon lumineux.
5.3 Théorème de Malus-Dupin et loi de la réfraction
Le théorème de Malus-Dupin permet de retrouver la loi de Snell-Descartes de la réfraction :
5.4 Principe de Huygens
L’évolution temporelle de la surface d’onde ou front d’onde est décrite par le principe de
Huygens :
Tout point d’un front d’onde primaire sert de source à des ondes sphériques secondaires
telles que le front d’onde plus tard est l’enveloppe de ces ondes. De plus, ces ondes
avancent avec une longueur d’onde et une fréquence égale à celle de l’onde primaire.
5.5 Applications du principe de Huygens : onde plane, propagation rectiligne et phénomènes
de réflexion et de réfraction
Le principe de Huygens permet de déterminer l'évolution d'une onde.
Pour cela Huygens propose de considérer chaque point atteint par
l'onde comme le lieu d'émission d'une petite onde circulaire de même
nature que l'onde principale, évidemment.
Chaque point génère donc une onde circulaire qui interfère avec l'onde
circulaire des autres points pour donner l'amplitude de l'onde à
l'instant considéré.
Une onde en évolution n'est donc en quelque sorte que le résultat de
l'interférence d'une infinité d'ondes circulaires.
L'onde suivante se construit à partir des ondelettes créées sur le
front de l'onde précédente.
Illustrations du principe d’Huygens
http://www.acoustics.salford.ac.uk/feschools/waves/flash/huygens.swf
5.5.1 Évolution d’une onde plane
La simple évolution d'une onde plane est ainsi expliquée à travers la génération successive de
ses fronts d'onde.
En effet, chaque front d'onde n'est que le résultat de l'interférence constructive de l'infinité
des ondes circulaires créés par les points qui forment le front d'onde précédent.
Pour construire un front d'onde à venir, il suffit donc de tracer la multitude de petites ondes
circulaires issue du dernier front d'onde et d'observer au bout d'une période leur
interférences constructive, comme le montre la figure ci-contre.
L'application de ce principe permet aussi de construire les fronts successifs d'une onde qui
parvient sur des obstacles, comme l’exemple suivant et l’interprétation ondulatoire de la
réflexion et de la réfraction vont le montrer.
5.5.2 La propagation en ligne droite
L'un des problèmes majeurs posé par la propagation de la lumière à la théorie ondulatoire a
été celui de sa propagation en ligne droite. En effet, de par sa nature, la propagation d'une
onde se fait dans toutes les directions, ainsi que l'exemple des ondes sonores le montre
clairement. Comment donc se peut-il que la lumière se propage en ligne droite, comme le
montrent les rayons lumineux traversant le feuillage d'un sous-bois ou ceux d'un faisceau
laser apparemment parfaitement rectilignes.
Le principe de Huygens permet de lever le problème de façon remarquable. Pour comprendre
comment, il faut considérer une onde plane parvenant sur un obstacle en forme de trou,
comme le montre la figure suivante :
On y voit l'onde plane arrivant sur l'obstacle, les points
à l'origine des ondes circulaires et surtout
l'interférence
de
celles-ci entre
elles qui
manifestement est une onde plane limitée aux
dimensions du trou.
Notez cependant une faible divergence du faisceau
marquée par une zone d'interférence constructive très
légèrement plus large que les dimensions du trou.
5.5.3 La réflexion dans le modèle ondulatoire
Bien évidemment, la théorie ondulatoire doit aussi expliquer la réflexion à partir du principe
de Huygens. La figure ci-dessous permet de comprendre comment utiliser ce principe pour
l'expliquer.
On y voit les fronts de l'onde plane parvenant sur
la surface réfléchissante, perpendiculaires à sa
direction de propagation. Considérons par
exemple le point du front d'onde qui est le
premier arrivé sur la surface. Il est noté A. Au
moment où le front d'onde rencontre la surface, il
génère une petite onde circulaire qui va se
développer au cours du temps. Ensuite, au
moment où l'onde arrive, par exemple, au point
noté B, celle-ci génère aussi une petite onde
circulaire.
Mais l'onde circulaire précédente s'est déjà développée d'une distance correspondant à la
longueur d'onde de l'onde. Puis, au point noté C, une autre petite onde circulaire est créée,
alors que l'onde au point B s'est développée d'une longueur d'onde et que celle du point A en
est à deux longueurs d'onde. Enfin, tandis qu'au point noté D est crée une petite onde
circulaire, celle du point C a une extension d'une longueur d'onde, celle du point B a une
extension de deux longueurs d'onde et celle du point A à une extension de trois longueurs
d'onde. En réalité, tous les points entre A et D produisent de petites ondes circulaires qui se
développent au fur et à mesure. Alors, chacune de ces petites ondes circulaires interfère
constructivement (si on considère pour front d'onde les maxima d'amplitude) pour donner
naissance au front d'onde réfléchi.
En considérant la figure suivante, on peut aussi démontrer quantitativement la loi de la
réflexion.
Considérons pour cela les deux triangles ABD et DCA. La droite CD marque la direction de
propagation de l'onde incidente. La droite AC marque la direction du front d'onde incident.
Ces deux droite sont donc perpendiculaires. Ainsi l'angle ACD est droit. De la même manière la
droite AB marque la direction de propagation de l'onde réfléchie. La droite BD marque la
direction du front d'onde réfléchi. Ces deux droites sont donc perpendiculaires. Ainsi l'angle
ABD est droit. Par ailleurs, ces deux triangles ont un côté commun : AD et deux côtés de
même grandeurs : AB et CD. En effet, lors d'une réflexion, l'onde ne changeant pas de milieu,
la vitesse de propagation est la même pour l'onde incidente et l'onde réfléchie. A vitesse
égale, au moment où le point C de l'onde arrive au point D, l'onde circulaire émise par A vers B
aura parcouru la même distance. Ainsi, les deux triangles ont un côté identique, un angle
(opposé à ce côté) identique et un autre coté de même longueur. Ils ne peuvent qu'être
semblables. Ce qui signifie que les angles BAD et CDA sont identiques et que les angles
d'incidence par rapport à la normale et de réflexion par rapport à la normale sont aussi
identiques. C'est ce qu'il fallait démontrer.
5.5.4 La réfraction dans le modèle ondulatoire
Pour la réfraction, il en va de même que pour la réflexion. Le principe de Huygens, encore
une fois, permet de l'expliquer correctement.
Avant de voir comment, on peut se représenter simplement le
phénomène par une analogie. Considérons un bataillon de
soldats bien alignés sur quelques dizaines de rangées, comme on
pouvait en voir sur les champs de batailles du XIXe siècle. Chacun
de ses soldats, par peur où courageusement, applique la règle
d'or du bon soldat : obéir aux ordres qui sont de marcher en ligne
droite devant lui à vitesse constante.
Au départ son mouvement est aisé. Il marche en rase campagne dans la prairie. Le front du
bataillon est bien rectiligne. Mais voilà que son déplacement le mène directement vers la
lisière d'une forêt qu'il aborde avec un certain angle, de biais. Comme la progression à travers
les bois se trouve être moins aisée que dans la prairie, le premier homme qui parvient à la
lisière de la forêt voit sa vitesse de progression diminuer. Quelques instants plus tard, c'est le
second homme qui ralentit. Puis de proche en proche les suivants ralentissent aussi. Le front
se casse donc puisque les soldats qui sont encore dans la prairie progressent encore
rapidement. Pourtant, chaque soldat continue d'appliquer les ordres : progresser tout droit
devant lui. Mais le fait que la vitesse de certains ait diminuée produit un changement de la
direction du front de soldat, comme on peut le voir sur la figure suivante.
Clairement, la direction de déplacement du front de soldats est déviée vers la normale à la
lisière de la forêt, ce qui est compatible avec les expériences de déviation d'un faisceau
lumineux qui passe d'un milieu peu dense (comme l’air) à un milieu plus dense (comme l’eau).
Évidemment la démonstration fait appel au principe de
Huygens. Considérons la figure ci-contre :
Et considérons sur cette figure les triangles ABC et CDA.
Ils ont en commun le côté AC et on peut écrire
respectivement :
AB
CD
sin β =
et sin α =
AC
Or :
AC
AB = 4.λ2 et CD = 4.λ1
Mais, si la longueur d'onde change avec le changement de milieu, sa fréquence reste
constante. Donc, la période T aussi. Ainsi, le fait que la longueur d'onde change est dû au fait
d'un changement de la vitesse de l'onde lors du changement de milieu.
v1 =
On peut écrire alors :
Ainsi, on a :
sin β =
sin α v1
=
sin β v2
Or, sait que :
n1 =
ou encore
T
et v2 =
λ2
T
4v2T
4v T
et sin α = 1
AC
AC
ce qui implique :
ce qui implique :
λ1
c
v1
et n2 =
c
v2
sin α n2
=
sin β n1
n1 sin α = n2 sin β
ce qu'il fallait démontrer.
Principe de Huygens et réfraction
Le principe de Huygens-Fresnel stipule qu'à une interface, tous les points atteints par une
onde venant d'un premier milieu réémettent une onde dans le second milieu. On peut alors
interpréter la réfraction comme la déviation du front d'onde liée à la vitesse plus faible (ou
plus rapide) de ces ondes réémises.
Réfraction et réflexion avec le principe d’Huygens
http://www.youtube.com/watch?v=cY4XLQnfbLI
Visualisation de la construction d’Huygens Fresnel pour la réflexion et la réfraction
http://www.walter-fendt.de/ph14f/huygenspr_f.htm
http://www.uel.education.fr/consultation/reference/physique/optigeo/simuler/appletsjava/t
ransmit.html
Construction de Huygens du rayon réfracté
1.Tracer le rayon incident.
2.Tracer la surface d’onde Σ(t) dans le milieu incident,
perpendiculaire au rayon incident et coupant le
dioptre au point d’incidence I.
3.Tracer la surface d’onde Σ(t+dt) dans le milieu
incident par une construction de Huygens. Cette
surface d’onde coupe le dioptre au point J.
4.Tracer le cercle C2 de rayon R = v2.dt dans le milieu
émergent, centré au point d’incidence I. Le point
d’incidence I est en effet une source secondaire
émettant une onde secondaire sphérique dans le
milieu émergent.
5.Tracer la droite passant par le point J, tangente au cercle C2 dans le milieu émergent au
point A. Le point J et le point A appartiennent à la même surface d’onde car le temps écoulé
lors des propagations de I à J et de I à A est égal.
6.Tracer le rayon émergent, droite (IA) passant par I et par A. Cette droite est perpendiculaire
à la droite (JA) car C2 est un cercle : c’est donc bien un rayon lumineux, perpendiculaire à sa
surface d’onde Σ(t+dt).C’est le rayon réfracté.
http://www.uel.education.fr/consultation/reference/physique/optigeo/simuler/appletsjava/h
uyghens.html
http://subaru2.univ-lemans.fr/enseignements/physique/02/optigeo/huyghens.html
6 Système optique, points objets, images, espace objet, espace image
6.1 Notion d’objet et de système optique
En optique, on désigne simplement par « objet » tout dispositif émettant ou
diffusant de la lumière.
La flamme d'une bougie peut être considérée comme un objet lumineux, un
trou percé dans un écran et éclairé par derrière, une diapositive éclairée, une
préparation sur lamelle pour mettre sur la platine d'un microscope, la Lune,
etc., sont des objets.
L'observation de ces objets passe généralement par
l'usage d'instruments d'optique : loupe, microscope
optique, lunette astronomique, télescope, jumelles,
appareil photo, etc. De tels instruments sont des systèmes
de lentilles et miroirs qui guident par réflexion et
réfraction la lumière jusqu'à l'œil, l'écran, la pellicule...
De façon générale, on parle alors de « système optique ».
Un système optique est dit centré s’il possède une symétrie de révolution autour d’un axe
(cet axe est alors appelé axe optique).
Tout point objet O de l’objet est donc un point jouant le rôle de source de lumière pour un
système optique.
Exemples de systèmes optiques
Télescope de type Newton, formés de
deux miroirs et d’un oculaire
Lunette astronomique, formée de
plusieurs lentilles.
L'œil est également un système optique qui peut être
modélisé par une lentille (le cristallin) et un écran (la
rétine).
6.2 Notion d’image
L'analyse de la formation des images d'objets par des instruments d'optique repose sur la
modélisation de tout objet comme un ensemble de points lumineux : de chaque point de
l'objet partent ainsi des rayons lumineux dont une partie est interceptée par le système
optique.
On dit obtenir l'image d'un point-objet, lorsque tous les rayons issus de ce point et passés par
le système optique, convergent en un point unique, ou bien semblent provenir d'un point
unique. On parle alors de point image ou de l'image du point.
6.3 Stigmatisme rigoureux et points conjugués
Si un système optique possède la propriété
d’associer à un point objet A un et un seul point
image A’ on parle de stigmatisme rigoureux.
Une telle propriété des systèmes optiques est
rare. Nous verrons que seul le miroir plan est
stigmatique pour tout point objet.
D'autres systèmes ne sont rigoureusement
stigmatiques que pour quelques points
particuliers. Dans de nombreux cas (en
particulier pour les lentilles) on doit se
contenter d'un stigmatisme approché (voir plus
loin).
D’après le principe du retour inverse de la lumière, si le point A’ est considéré comme un point
objet du système optique renversé, alors le point image de A’ est le point A.
On dit aussi que les points objet A et image A’ sont conjugués pour le système optique.
Le rôle des instruments d’optique est de fournir des représentations, appelées images,
d’ensembles de points lumineux appelés objets.
Les rayons lumineux issus de chaque point de l’objet subissent dans l’instrument une
succession de réfractions ou de réflexions et interagissent avec un détecteur (œil ou système
d’enregistrement photosensible).
Lorsque les rayons issus d’un point objet A émergent de l’instrument en convergeant vers un
point A’ unique, on dit que A’ est l’image conjuguée de A ou que l’instrument est
rigoureusement stigmatique pour le couple de points A et A’.
6.4 Types de systèmes optiques
Un système optique constitué uniquement de dioptres transparents séparant des milieux
homogènes transparents d’indices différents est appelé système optique dioptrique. Un
système dioptrique ne comporte donc que des surfaces réfringentes. Le phénomène
réfraction contrôle la propagation de la lumière. C’est le cas des systèmes rencontrés dans
beaucoup d’instruments (loupes, microscopes, lunettes astronomiques, jumelles, objectifs
photo, etc.). Ces systèmes ont une face d’entrée et une face de sortie distinctes.
Un système ne comportant que des surfaces réfléchissantes est appelé système catoptrique.
Le phénomène contrôlant la propagation de la lumière est la réflexion. De tels systèmes sont
souvent réalisés par une combinaison de miroirs, par exemple dans certains télescopes.
Un système comportant à la fois des surfaces réfléchissantes et réfringentes est appelé
système catadioptrique. La lumière subit un certain nombre de réfractions, une réflexion puis
une nouvelle série de réfractions en sens inverse. La face d’entrée et la face de sortie sont des
surfaces dioptriques confondues. Par exemple, la réalisation d’objectifs de très grande
ouverture (ou de très longue focale) peut nécessiter l’introduction de miroirs.
Objectif photographique dioptrique Nikkor AF 20 mm f/2.8D réglé sur l’infini.
Objectif photographique catadioptrique
Télescope de type Newton, système
catoptrique (sauf l’oculaire)
6.5 Espace objet et espace image
Pour chaque système optique on définit, en fonction du sens d’utilisation par rapport à la
direction de propagation de la lumière, un dioptre d’entrée et un dioptre de sortie.
Pour un système dioptrique, on définit comme espace objet l’espace se trouvant avant le
dioptre d’entrée et l’espace image, l’espace qui se trouve au-delà du dioptre de sortie.
Pour les systèmes catadioptrique et catoptrique, on définit comme espace objet et l’espace
image, l’espace se trouvant avant le dioptre d’entrée.
6.6 Types d’images
Un point image ou plus simplement, « une image » peut être qualifié(e) de réel(le) ou de
virtuel(le).
Une image est dite réelle si elle
peut être observée sur un support
physique (écran, pellicule, rétine,…)
dans l’espace image du système ;
les rayons peuvent donc être reçus
sur un écran placé au bon endroit.
Une image est dite virtuelle
lorsqu’elle se forme avant le
dioptre de sortie du système (loupe,
lame à faces parallèles) : on peut la
voir en plaçant directement son œil
dans le faisceau émergent (l'œil
accommode automatiquement).
Une image réelle se forme donc après la face de sortie
d'un instrument d'optique (dans le sens de parcours de
la lumière).
On détermine alors la position d’une image réelle en
construisant le point d'intersection des directions des
rayons lumineux sortants du système.
Une image virtuelle se forme donc avant la face de
sortie d'un instrument d'optique (dans le sens de
parcours de la lumière) et ne peut donc pas être
visualisée sur un écran.
On détermine alors la position d’une image virtuelle en
construisant le point d'intersection des prolongements
(vers le système) des directions des rayons lumineux
sortants du système.
C'est parfois la position de l'objet par rapport au système optique qui détermine si l'image
obtenue est virtuelle ou réelle (cf. dioptre sphérique ou lentille mince).
6.7 Types d’objets
Si l’objet est effectivement situé dans le milieu objet, on dit qu’il est un objet réel (cf. figure
2.9a et 2.9b après) mais s’il est situé après la face d’entrée du système, on dit qu’il est un
objet virtuel.
Un objet virtuel est toujours une image produite par un autre système optique Σ0 et cette
image joue le rôle d’objet pour le système considéré Σ (cf. figure 2.10a). Son image à travers Σ
peut-être réelle (cf. figure 2.10b) ou virtuelle (cf. figure 2.10c).
Un point objet réel est donc un point situé avant la face
d’entrée du système d’où émergent les rayons lumineux
(faisceau divergent à partir de O).
Un objet est réel si il existe physiquement. Pour qu’un système
optique puisse en donner une image il doit se trouver dans
l’espace objet.
Un point objet virtuel est un point situé après la face d’entrée
du système et vers où convergent les prolongements (à
l’intérieur du système) des rayons lumineux entrants (faisceau
convergent en O).
Un objet est virtuel si il se trouve au-delà du dioptre d’entrée
du système. Un tel objet peut-être obtenu lorsque que cet
objet est une image produite par un autre système optique.
En guise de résumé :
Si les rayons entrants dans le système divergent du point objet A, l’objet est dit réel.
Si les prolongements dans le système des rayons entrants dans le système convergent au
point objet A, l’objet est dit virtuel.
Si après traversée du système, les rayons sortants convergent au point image A’, l’image est
dite réelle.
Si les prolongements vers le système des rayons sortants divergent du point image A’, l’image
est dite virtuelle.
7 Etude du stigmatisme pour un système optique
7.1 Orientation des distances pour un système optique
Les distances horizontales (par rapport à l’axe optique)
sont comptées positivement dans le sens de parcours de
la lumière.
Pour repérer les dimensions transversales, des objets et
images, on utilise des mesures algébriques repérées sur
un axe perpendiculaire à l'axe optique, donc vertical,
généralement orientée vers le haut.
Seul quelques systèmes optiques sont rigoureusement stigmatiques et en général uniquement
pour des couples de points particuliers :
Le miroir parabolique est stigmatique pour le couple de points formé du
point à l’infini et du foyer
Applet présentant le stigmatisme ou l’astigmatisme des miroirs
http://subaru2.univ-lemans.fr/enseignements/physique/02/optigeo/miroirs.html
Le miroir parabolique est rigoureusement stigmatique de l’infini en son foyer. Cette
propriété remarquable en fait un élément optique privilégié pour les applications
astronomiques
Stigmatisme du miroir parabolique et principe de Huygens
http://www.youtube.com/watch?v=Bn9tJ1YcRWM
Le plus souvent, un système n’est rigoureusement stigmatique que pour quelques points objets.
Un miroir parabolique est stigmatique pour
un point situé à l’infini sur l’axe et pour son
foyer.
Un miroir elliptique est stigmatique pour un
point objet et son image situés en ses foyers F
et F´.
7.2 Condition de stigmatisme en termes de chemin optique
Pour un système optique donné, le stigmatisme implique la stationnarité du chemin
optique entre le point objet et son image quel que soit le trajet suivi par les rayons
lumineux issus du point objet.
Soit :
L( AA ') = c
ste
Il suffit pour démontrer ceci de considérer deux rayons proches issus de A : la condition
de stigmatisme nous dit qu'ils passeront par A', et le principe de Fermat que la variation
de chemin optique est nulle. De proche en proche, on montre donc que tous les rayons
issus de A correspondent au même chemin optique entre A et A'.
7.3 Stigmatisme du point de vue de l’optique ondulatoire
En termes de rayons, le système optique est dit rigoureusement stigmatique lorsque
tous les rayons utiles issus de A passent par A´ (l’image d’un point sujet est un point
image).
Nous avons vu qu’une surface d'onde est perpendiculaire, en chaque point, au rayon
lumineux. Une surface d'onde correspondant à un point objet A est donc une sphère S
centrée en A. Une surface d'onde image issue d'un système stigmatique est une
sphère S´ centrée en A´. La surface d'onde émergente n'est plus une sphère dès que le
système perd ses qualités de stigmatisme. Les déformations de la surface d'onde
entraînent une baisse de la qualité de l'image : on parle d’aberrations géométriques (cf.
chapitre 3).
7.4 Surfaces rigoureusement stigmatiques pour un couple de points
7.4.1 Stigmatisme par réflexion
Soit I le point d'incidence et n l'indice du milieu où se trouvent l'objet A et l'image A'. On a :
n( AI + IA ') = constante ou encore
AI + IA ' = constante
où AI et IA' sont mesurés positivement dans le sens de la lumière.
Deux cas se présentent :
A et A‘ sont de même nature (tous deux réels ou tous deux virtuels)
Dans ce cas, les valeurs algébriques des distances orientées AI et IA' sont de même signe et la
condition de stigmatisme s'écrit :
AI + IA ' = constante
La somme des distances (non orientées) de I aux deux points A et A’ est donc une constante
lorsque I parcourt la surface réfléchissante, et cette surface réfléchissante est donc un
ellipsoïde de révolution de foyers A et A'.
De plus, on remarquera que la normale en un point quelconque de l'ellipse trace dans le plan
d'incidence de l'ellipsoïde, est la bissectrice de l'angle obtenu enjoignant ce point aux deux
foyers.
A et A' sont de natures différentes (l'un réel et l'autre virtuel)
Les valeurs algébriques des distances orientées AI et IA' sont de signes contraires et la
condition de stigmatisme devient :
AI − IA ' = constante
La différence des distances (non orientées) de I aux deux points A et A’ est donc une constante
lorsque I parcourt la surface réfléchissante, et la surface réfléchissante est donc une nappe
d'hyperboloïde de révolution de foyers A et A'.
Cas particuliers importants
Si AI - IA' = 0 , ou autrement dit si la constante est nulle, I est dans le plan médiateur de AA'
et la surface réfléchissante est un miroir plan. A tout point A on peut faire correspondre
son symétrique A' par rapport au miroir.
Si l'un des points A ou A' s'éloigne indéfiniment, la surface réfléchissante
stigmatique devient un paraboloïde de révolution de foyer A‘ ou A et d'axe AA'.
7.4.2 Stigmatisme par réfraction
Soit un système optique constitué par un dioptre séparant deux milieux homogènes d'indices
n et n'. Le même raisonnement que précédemment nous conduit à la condition
n AI ± n ' IA ' = constante
avec les mêmes conventions de signe.
Cette condition définit une famille de courbes qui délimitent en général des surfaces du
quatrième degré appelées « ovales de Descartes ».
Il existe des cas particuliers où les surfaces sont du deuxième degré. C'est le cas où la
constante est nulle , A et A' sont alors de natures différentes :
nAI - n ' IA ' = 0
Et la surface stigmatique par réfraction est une sphère et les points A et A' sont appelés points
de Weierstrass du dioptre sphérique. Nous y reviendrons.
Exemples de surfaces stigmatiques
Rappel géométrique
Le lieu des points M du plan vérifiant :
MA
=k
MB
est (sauf pour k = 1) le cercle (dit d'Apollonius) de diamètre [I J] où I et J sont les deux points
de la droite (AB) vérifiant également :
MA
=k
MB
Les droites (MI) et (MJ) sont les bissectrices de l'angle AMB.
7.5 Conditions de Gauss et stigmatisme approché
La plupart des instruments ne sont pas rigoureusement stigmatiques ; toutefois sous
certaines conditions appelées « conditions de Gauss », les instruments seront considérés
comme fonctionnant avec un stigmatisme approché.
Pour la plupart des autres systèmes qui ne sont pas rigoureusement stigmatiques, la
formation d’une image de bonne qualité implique :
que ces systèmes vérifient les conditions de stigmatisme approché ;
que ce stigmatisme approché se conserve dans l’espace.
7.5.1 Conditions de stigmatisme approché
L’approximation de Gauss consiste à limiter physiquement l’étendue des faisceaux lumineux
avec des trous (ou diaphragmes) afin de limiter les angles d’incidence et de conserver les
rayons proches de l’axe : on parle alors de rayons paraxiaux.
Un rayon lumineux est donc paraxial s’il est incliné faiblement sur l’axe optique (sin i ≃ i), et
s’il frappe le système à une distance h faible devant son rayon de courbure.
Pour que le stigmatisme soit approché il faut se placer dans les conditions dites de Gauss
c'est-à-dire avoir :
des faisceaux peu ouverts,
des angles d’incidence petits.
L’approximation de Gauss consiste en l’étude des systèmes centrés, limitée aux rayons
paraxiaux. Il s’agit de l’approximation linéaire de l’optique géométrique : sin i ≃ i.
7.5.2 Conservation du stigmatisme dans l’espace pour des points voisins
Réaliser le stigmatisme pour un couple de points AA´ conjugués situés sur l'axe d'un
système optique est généralement insuffisant.
Il est souhaitable d'étendre le stigmatisme à des points voisins de A. Le stigmatisme étant
réalisé pour les points A et A´, on cherche les conditions pour que le stigmatisme soit
conservé pour un couple de points B et B´ situés perpendiculairement à l’axe optique
(condition d’Abbe ou d’aplanétisme) et un couple de points C et C’ situés
longitudinalement selon l’axe optique (condition d’Herschell).
7.5.3 Condition des sinus d’Abbe et notion d’aplanétisme
La conservation du stigmatisme approché dans l’espace implique une conservation du
stigmatisme approché dans un plan perpendiculaire à l’axe du système.
Cette considération appliquée au principe de Fermat permettent d’établir d’une part la loi des
sinus d’Abbe :
n. AB.sin u = n '. A ' B 'sin u '
Cette relation exprime la notion d’aplanétisme ; ce terme, dont l’étymologie grecque
(aplanetos, formé de « planetes » et d’un alpha privatif) signifie « qui n’erre pas », « qui ne
dévie pas » traduit donc le fait que l’image d’un plan perpendiculaire à l’axe optique est un
plan perpendiculaire à l’axe optique.
Démonstration :
Pour un point objet B, voisin de A,
situé dans un plan perpendiculaire
passant par A, la condition de
stigmatisme s’écrit :
L(BB’)=cste.
quel que soit le point d’incidence I sur la face d’entrée du système.
La différence des chemins optiques L(AA’) et L(BB’) doit donc être constante (chaque chemin
étant constant).
Évaluons cette différence en la considérant comme la variation du chemin [AA’] lorsque les
points A et A’ sont déplacés en B et B’ :
L( AA ') - L( BB ') = [ AII ' A '] -[ BII ' B '] ≈ n.( AI - BI ) + n '( I ' A '- I ' B ')
avec :
AI − BI = AH = AB sin u et I ' A '− I ' B ' = A ' H ' = A ' B 'sin u '
Finalement, on obtient :
L( AA ') - L( BB ') ≈ n. AB.sin u − n '. A ' B 'sin u ' ≈ c ste
Cette relation doit être nécessairement satisfaite pour que le système optique stigmatique
pour le couple (AA’) soit aussi stigmatique pour le couple (BB’). Elle doit être satisfaite pour
toutes les valeurs de u.
La relation précédente s’annule si u=0, car le rayon étant confondu avec l’axe n’est pas dévié ;
AB est très petit et reste perpendiculaire à l’axe. Pour que la constante de la relation soit
indépendante de u, il est nécessaire qu’elle reste nulle pour tout couple (u,u’). La condition
d’aplanétisme pour A, à distance finie, s’écrit donc :
n. AB.sin u = n '. A ' B 'sin u '
∀u
7.5.4 Grandissement linéaire, grandissement angulaire, relation de Lagrange-Helmholtz
On appelle grandissement linéaire ou encore grandissement transversal
le rapport algébrique de la taille de l’image sur la taille de l’objet :
En utilisant le grandissement, la loi des sinus d’Abbe peut s’écrire :
Dans l’approximation de Gauss le rapport :
sin u n '
= .γ T
sin u ' n
sin u ' u '
= = γα
sin u u
s’appelle le grandissement angulaire ou encore le rapport de convergence. Il s’agit donc du
rapport algébrique de l’angle du rayon émergent sur l’angle du rayon incident.
L’équation précédente donne la relation dite de Lagrange-Helmholtz :
Comme les distances, les angles peuvent être
orientés.
7.5.5 Condition d’Herschel
La conservation du stigmatisme approché dans l’espace implique aussi une conservation du
stigmatisme approché le long de l’axe optique.
Si A1 est situé le long de l’axe, toujours grâce au principe de Fermat on établit la condition
dite d’Herschel telle que :
n. AA1 sin 2
u
u'
− n ' A ' A '1 sin 2 = 0
2
2
Démonstration :
Quand le point A se déplace le long de l’axe jusque A1, son image se déplace le long de l’axe
jusque A’1 ; pour que le stigmatisme soit conservé, il faut que :
L( AA ') − L( A1 A1 ') = c ste soit : [ AII ' A '] − [ A1 II ' A '1 ] ≈ c ste
d’où :
n. AA1 cos u − n ' A ' A '1 cos u ' ≈ c ste (1)
Cette relation doit être vérifiée avec la même constante, pour tous les points d’incidence
sur la face d’entrée du système optique. En choisissant comme cas particulier I sur l’axe, les
angles u et u’ sont nuls, la relation (1) conduit à :
n. AA1 − n ' A ' A '1 ≈ c ste (2)
En soustrayant membre à membre (2) et (1), on a : n ' A ' A '1 (1 − cos u ') − n. AA1 (1 − cos u ) = 0
c’est-à-dire encore, la relation annoncée :
n. AA1 sin 2
u
u'
− n ' A ' A '1 sin 2 = 0
2
2
7.5.6 Grandissement axial
En introduisant le grandissement longitudinal ou axial :
γL =
A ' A '1 z '
=
z
AA1
u
la condition d’Herschel s’écrit :
2 = n'γ
L
n
2 u'
sin
2
sin 2
Dans le cadre de l’approximation de Gauss, en considérant les angles comme petits il vient :
u
2
2
u
n
'
n
'
2 ≈  = γ =  γ2
L
 
  T
u
'
n
2 u'


n
sin
2
sin 2
Soit :
Les conditions d’Abbe et d’Herschel ne peuvent être simultanément réalisées ; elles sont
généralement incompatibles, aussi un stigmatisme tridimensionnel est en général impossible .
Pour qu’elles soient compatibles, il faut que :
u = u'
C’est le cas, par exemple, au centre d’un miroir ou d’un dioptre sphérique (α=α’) et pour un
miroir plan (u=-u’)
8 Systèmes optiques les plus simples : le miroir plan et le dioptre plan
8.1 Miroir plan
Soit I le point d’incidence d’un rayon
incident quelconque AI. Le rayon réfléchi IR
d’un rayon incident quelconque AI est dans
le plan d’incidence AIN qui contient aussi
AH (puisque AH et IN sont parallèles,
comme droites perpendiculaires à un
même plan, et que par définition A
appartient au plan d’incidence). Le support
de IR rencontre AH en un point A’.
Dans le triangle AIA' la hauteur IH est aussi
la bissectrice, donc ce triangle est isocèle.
Par conséquent IH est aussi la médiane et
on a AH = HA'.
Ceci montre que A' est le symétrique de A par rapport au plan du miroir quel que soit le rayon
incident considéré.
http://www.sciences.univnantes.fr/physique/perso/gtulloue/optiqueGeo/miroirs/miroir_plan.html
Au point A, choisi quelconque pour la démonstration, correspond toujours un point A' tel que
tous les rayons issus de A qui arrivent sur la surface du miroir se réfléchissent en passant par
A'. On dit que A' est l’image de A.
http://www.uel.education.fr/consultation/reference/physique/optigeo/simuler/appletsjava/
miroirplanfr/stigmat.html
Le miroir est donc rigoureusement stigmatique et on peut énoncer les trois propriétés :
Le miroir plan réalise le stigmatisme rigoureux pour tout point de l’espace. L’image A’ d’un
point A est le symétrique de A par rapport au plan du miroir.
http://www.uel.education.fr/consultation/re
ference/physique/optigeo/simuler/appletsja
va/miroirplanfr/impoint.html
Mathématiquement, les positions des points objet et image sont liées par la relation de
conjugaison du miroir plan :
HA = − HA '
que l’on peut écrire, sous une forme plus symétrique :
HA + HA ' = 0
L'image de A est le symétrique orthogonal de A.
La symétrie de A et A’ par rapport au miroir entraîne que l’objet et son image sont toujours de
nature opposée (un objet réel donne une image A’ virtuelle, et réciproquement).
Le miroir plan présente un aplanétisme exact : l'image d'un objet étendu plan vertical est
verticale et plane.
http://www.uel.education.fr/consultation/reference/physique/optigeo/simuler/appletsjava/
miroirplanfr/imobjet.html
Le rétroprojecteur, une illustration de la formation par un miroir
de l’image réelle d’un objet virtuel (lui-même image d’un objet
réel, le transparent éclairé, par une lentille convergente, l’objectif).
Champ d'un miroir plan
Le champ d'un miroir plan désigne la région de l'espace que
l'on peut « voir » à travers le miroir à partir d'une position
donnée O de l'œil.
Il correspond à l'ensemble des points A susceptibles de
donner un rayon réfléchi passant par O.
On peut dire qu'inversement le champ d'un miroir plan est
la région de l'espace que O éclairerait s'il était une source
lumineuse.
8.2 dioptre plan
Un dioptre plan est constitué par l’ensemble de deux milieux transparents d’indices de
réfraction différents séparés par une surface plane. On dit aussi que les deux milieux sont
inégalement réfringents.
C’est ainsi que, par exemple, l’air et l’eau calme d’une piscine ou d’un lac, réalisent un dioptre
plan.
Les rayons issus du point objet A1 situé dans le milieu (1) d’indice n1 se réfractent en passant
dans le milieu (2) d’indice n2.
8.2.1 Stigmatisme rigoureux du dioptre plan
On va chercher, en effectuant un raisonnement purement géométrique, s’il existe des points
particuliers qui réalisent le stigmatisme rigoureux : c’est-à-dire pour lesquels tous les rayons
issus du point objet passent par un même point image après réfraction.
Cas 1 : A1 est à l’infini
Tous les rayons incidents sont parallèles entre eux et
forment un faisceau cylindrique.
D’après la 3ème loi de Descartes (n1 sin i1 = n2 sin i2)
tous les rayons émergents sont eux aussi parallèles et
donc, pour un observateur, ils paraissent provenir
d’un point A2 unique qui est également à l’infini.
Le dioptre plan est donc stigmatique pour les points à
l’infini.
Cas 2 : A1 est sur la surface du dioptre
Dans ce cas le stigmatisme rigoureux est évident. Mais ceci ne présente aucun intérêt
pratique.
Cas 3 : A1 est à distance finie
Le système est de révolution autour de A1H. Le
rayon A1H traverse la surface sans déviation. Si une
image de A1 existe, elle est donc nécessairement sur
A1 H.
Pour dessiner la figure on se place dans le plan
d’incidence correspondant à un rayon incident
quelconque A1I.
Le rayon réfracté coupe A1H en A2 .
On a :
donc :
HI = HA1 tan i1 = HA2 tan i2
HA2 tan i1 sin i1 cos i2
n2
n12
=
=
.
=
1 − 2 sin 2 i1
n2
HA1 tan i2 cos i1 sin i2 n1 cos i1
Pour les différents rayons issus de A1, i1 varie et le rapport (tan i1/tan i2), et donc HA2/HA1 n’est
pas constant lorsque i1 varie, puisque le rapport (sin i1/sin i2), lui, est constant (loi de Descartes
de la réfraction).
Les rayons réfractés ne se rencontrent donc pas tous en un même point. On peut donc
conclure : le dioptre plan n’est pas rigoureusement stigmatique pour les points situés à
distance finie.
http://www.uel.education.fr/consult
ation/reference/physique/optigeo/si
muler/appletsjava/stigmat.html
8.2.2 Stigmatisme approché du dioptre plan, première condition de Gauss:
Si l’angle d’incidence i1 est faible il en est de même pour l’angle de réfraction i2 et on peut
écrire :
On obtient alors avec une bonne approximation :
Dans cette approximation des rayons peu inclinés sur l’axe optique (dite des petits angles), qui
constitue la première condition de Gauss, le rapport tan i1/tan i2 devient alors constant et tous
les rayons réfractés se rencontrent à présent en un point unique : le système est donc
stigmatique dans cette approximation pour tous les points à distance finie : on parle de
stigmatisme approché et le point A1 a alors un seul point image A2, le couple (A1 A2) étant
qualifiés de points conjugués :
La relation de conjugaison peut être mise sous la forme symétrique :
On verra lors de l’étude du dioptre sphérique qu’on peut considérer un plan comme le cas
particulier d’une sphère de rayon infini et qu’on retrouve alors plus facilement la formule de
conjugaison du dioptre plan sous la forme :
Cette relation porte le nom de formule de conjugaison du dioptre plan.
Les relations établies montrent que HA1 et HA2 sont de même signe et donc que A1 et A2
sont dans le même milieu et, par conséquent, de natures opposées (réels/virtuels) comme
le montrent les figures ci-dessous.
L’image A2 se déduit de A1 par une translation apparente, le long de la normale,
d’amplitude :
Remarque :
Lorsque l’angle i1 est grand (supérieur à 15°), la relation de conjugaison n’est plus valable. Le
point A2 n’est plus unique (il y a autant de points A2 que de rayons incidents issus de A1) : le
dioptre plan n’est plus stigmatique (même de manière approchée). En conséquence, l’image
de A1 n’est plus ponctuelle, mais se présente comme une tache. Pour un objet étendu,
l’ensemble des points objets donne lieu à des taches qui se recouvrent partiellement, donnant
une sensation de flou.
Par exemple, si au fond d’une cuve contenant de l’eau il y a plusieurs objets A, B, C et D, l’œil
verra une image nette de A voire de B car les rayons issus de ces deux objets sont à peu près
paraxiaux. Par contre, les images de C et D seront floues.
A et B sont vus nettement, tandis que C et D
sont flous.
8.2.3 Aplanétisme du dioptre plan, deuxième condition de Gauss
Jusqu’ici, nous n’avons considéré que l’image d’un objet ponctuel. Considérons à présent
l’image d’un objet étendu.
Si les rayons émis par un objet situé dans un plan P et reçus par un observateur sont presque
normaux (première condition de Gauss) à la surface du dioptre son image est dans un plan P'
dont chaque point A’ est l’image d’un point A de P située à une distance de la surface du
dioptre égale à (n2/n1) fois celle de A (car le système est quasiment stigmatique si les rayons
sont normaux).
http://www.uel.education.fr/consul
tation/reference/physique/optigeo/
simuler/appletsjava/im-objet.html
Si P n’est pas parallèle à la surface du dioptre, les proportions ne sont pas conservées dans
toutes les directions et l’image n’est plus semblable à l’objet.
Mais, si l’objet AB est dans un plan P parallèle à la surface du dioptre (soit donc dans un
plan perpendiculaire à AH) et si l’objet est petit (deuxième condition de Gauss), l’image A’B’
est, parallèle à l’objet, égale en grandeur, de même sens et de nature opposée à celui-ci.
L’image A’B’ d’un petit objet AB placé
parallèlement au dioptre plan est plane,
de taille égale à l’objet et de nature
contraire.
Le dioptre introduit une correspondance plan à plan. On dit que le système est aplanétique
(l’image d’un plan est un plan).
Se placer dans l’approximation de Gauss revient donc à supposer que les rayons concernés
par la formation de l’image à travers l’instrument sont des rayons proches de l’axe (c’est
pourquoi ils sont qualifiés de paraxiaux).
Le grandissement linéaire transversal du dioptre plan est égal à 1 :
La relation de Lagrange-Helmholtz s’applique au dioptre plan :
AB.n.u = A ' B '.n '.u ' soit n.u = n '.u '
Le grandissement angulaire est :
γα =
u' n
= = c ste
u n'
Dioptre plan : étude du stigmatisme
http://www.sciences.univnantes.fr/physique/perso/gtulloue/optiqueGeo/dioptres/stig_dioptre_plan.html
Expérience des deux bougies
Sur ce film, la bougie rose semble allumée, quelle que soit la position de l’observateur.
Explication : la vitre est un miroir et est à la fois transparente : dans les conditions de
l’expérience (bougies de même taille, et placées symétriquement), l’image de la bougie
blanche se superpose à la bougie rose.
8.3 Exercices (miroir plan et dioptre plan)
1. Si on incline un miroir d'un angle α par rapport à un axe passant par le point d'incidence
d'un rayon lumineux, de combien tourne le rayon réfléchi ?
2. Un pêcheur aperçoit un poisson situé à 1 m sous la
surface de l’eau, sur la même verticale que son œil. En
considérant que ses yeux sont situés à 1,40 m audessus de l’eau :
à quelle distance le pêcheur voit-il le poisson ?
à quelle distance de l’œil du poisson se trouve
l’image du pêcheur ?
à quelle profondeur doit se trouver le poisson pour
que l’image vue par le pêcheur soit décalée de 15 cm
par rapport à sa position réelle ?
(Rép. : 2,15 m, 2,86 m, 0,6 m)
3. Un verre à fond épais est posé sur une table horizontale. Le fond du verre a une épaisseur
constante de 2 cm et un indice de 1,6. Le verre est rempli d’eau (indice 4/3) sur une hauteur
de 7 cm. L’œil d’un observateur est situé à 25 cm au-dessus de la surface de l’eau. Le verre est
posé sur un timbre de 3 cm de longueur. Calculer le diamètre apparent sous lequel
l’observateur voit le timbre à travers le verre. Indice : le fond du verre n’est pas considéré dans
la chaîne d’images car le timbre étant en contact avec ce dioptre, son image est aussi sur le
dioptre, on peut donc considérer que le timbre est dans la masse du verre. (Rép. : 5°26’25’’).
4. Soit un hublot de sous-marin composé de deux dioptres plans. Le premier sépare l’eau du
verre (nverre =1,5), le second sépare le verre de l’air. Un poisson est situé dans l’eau à une
distance d1 du premier dioptre plan. L’épaisseur du hublot est e. Un observateur est placé
dans l’air à une distance d2 du second dioptre plan.
Exprimer la distance entre le poisson AB et l’image du poisson A’B’ vue par l’observateur en
fonction des indices et des distances.
On donne e=15 mm, d1=200 mm. Sachant que le poisson mesure 5 cm, calculer en ° ‘ ‘’ le
diamètre apparent sous lequel l’observateur voit le poisson. (nair=1 et neau=4/3)
(Rép. : AA’=d1(1-nair/neau)+e(1-nair/nverre) ; 6°12’12’’)
5. Un têtard est dans une marre d’eau, sous un nénuphar rond de diamètre 20 cm flottant à la
surface. L’œil du têtard est placé sur la normale passant par le centre du nénuphar horizontal.
Calculer la distance minimale à laquelle le têtard doit être du nénuphar pour pouvoir voir
l’extérieur de la mare.
Les rayons du soleil sont inclinés de 40° par rapport à l’horizontale. Calculer la profondeur
minimale du têtard pour que celui-ci puisse voir le soleil.
(Rép. : 8,82 cm ; œil à plus de 14,25 cm de profondeur)
6. Un prisme de verre d’indice n2=1.52
dont la section principale est isocèle
rectangle est placé dans une cuve
contenant du sulfure de carbone
d’indice n1=1.65.
A) Un rayon arrive parallèlement à la base BC du prisme et normalement à la paroi de la
cuve. Construire sommairement la marche des rayons et calculer la déviation finale à la sortie
de la cuve.
B) En jouant sur les conditions de pression et de température sur le liquide on fait varier
l’indice n1 d’une quantité dn1=+0.02. A l’aide d’un calcul différentiel dire de combien et dans
quel sens varie l’angle de déviation à la sortie du prisme.
C) La cuve est vidée et contient maintenant de l’air d’indice n1=1. Le rayon incident arrive
toujours dans les mêmes conditions. Calculer la nouvelle déviation finale D’. le rayon ressortil par la même paroi de la cuve ?
7. Un miroir est placé au fond d’une cuve. L’œil d’un observateur est placé au-dessus de la
surface de l’eau à 1,2m de cette surface. La profondeur de la cuve est de 1,2m. À quelle
distance l’observateur se voit-il dans le miroir ? (Rép. : 4,2m )
8. Une cuve contient de l'eau dont la surface libre est AB. Sur une même verticale OP se
trouvent : en O, à 1.20 m au-dessus de AB, l'œil d'un observateur ; en P, à 0.80 m au-dessous
de AB, l'œil d'un poisson.
A quelle distance l'observateur croit-il voir le poisson ? A quelle distance le poisson voit-il
l'observateur ? (Rép. 60 cm, 160 cm)
Le fond de la cuve est un miroir plan horizontal CD. L'épaisseur de la couche d'eau est e =
1.20 m. L'observateur O se regarde dans le miroir CD ; à quelle distance voit-il son image ?
Dans quel sens et de combien se déplace-t-elle lorsqu'on fait écouler toute l'eau de la
cuve ? (Rép. 420 cm, 60 cm vers le bas).
Résolution de l’exercice du miroir tournant
8.4 Lame à face parallèle
Si un rayon lumineux tombe verticalement sur une lame à faces parallèles, le rayon la traverse
sans réfraction. S'il tombe obliquement, il subit un déplacement parallèle lors de son passage.
d = déplacement parallèle = déplacement latéral.
La loi de réfraction en A donne :
Du fait de la symétrie du problème, on a en C les mêmes angles qu'en A. On obtient donc ici
également la loi de la réfraction :
Le rayon lumineux qui sort de la plaque est parallèle au rayon lumineux incident
Sur le schéma, on peut reconnaître une relation entre α, β et γ :
Dans le triangle ABC, on a le déplacement latéral :
Nous pouvons introduire l'épaisseur h de la plaque. Dans le triangle ACN :
(2) dans (1) donne :
Le déplacement latéral augmente avec l'épaisseur h de la plaque. Il dépend également de
l'angle d'incidence α et de l'angle de réfraction β, donc, via la loi de réfraction, des indices de
réfraction n1 et n2.
Le déplacement parallèle peut être exprimé uniquement à l'aide de l'épaisseur h, de l'angle
d'incidence α et des indices de réfraction n1 et n2.
A l'aide de la formule trigonométrique :
on peut exprimer la formule du déplacement parallèle :
Par ailleurs, on a la formule trigonométrique :
d’où :
Pour la réfraction, on a :
De la sorte, on obtient pour le déplacement parallèle :
8.5 Le prisme
8.5.1 Définitions
Les prismes sont des corps fabriqués dans des substances transparentes qui sont limités par
deux plans sécants. L'arête de coupe des deux plans est appelée arête de réfraction C ou
arête réfringente. L'angle γ à l'arête de réfraction est appelé l'angle réfringent ou angle du
prisme.
Lorsqu'un rayon lumineux tombe sur une face d'un prisme, il est en général réfracté deux fois
et sort ainsi dans une nouvelle direction de l'autre côté. L'angle entre les directions du rayon
lumineux incident et du rayon lumineux sortant est appelé angle de déviation δ.
8.5.2 Déviation totale
En général, le rayon lumineux est réfracté deux fois dans le même sens.
Réfraction à la face d'entrée (au point A) :
Lorsque le premier milieu est de l'air, on a n1 = 1 et nous posons n2 = n :
Réfraction à la face de sortie :
Dans le triangle ABC, la somme des trois angles (90°-β1) au point A, (90° - β2) au point B et γ
au point C est égale à 180°:
Dans le triangle ABK, la somme des trois angles (α1-β1) au point A, (α2-β2) au point B et (180°δ) au point K est égale à 180°:
On a donc avec (1) :
8.5.3 Déviation minimale
Lorsqu'on fait varier l'angle d'incidence α1 pour le même point d'entrée A, on peut montrer
expérimentalement la variation de la déviation δ. Lorsque l'angle d'incidence α1 augmente en
partant de zéro, la déviation δ diminue d'abord jusqu'à un minimum δmin et augmente ensuite
à nouveau.
Lorsque l'angle de déviation est minimum, le rayon traverse le prisme de manière
symétrique, on a ainsi α1 = α2 et β1 = β 2.
Pour les angles dans le prisme, on a ainsi pour la déviation minimale :
L'angle de déviation donne alors pour la déviation minimale :
L'angle d'incidence peut être réécrit sous la forme :
Si on introduit ces équations dans la loi de réfraction, on obtient :
La dernière équation peut être utilisée pour mesurer l'indice de réfraction n du prisme, car γ
et δmin sont facilement mesurables.
Lorsque tous les angles sont petits (par exemple pour les prismes à faible angle de réfraction)
on peut remplacer sin α par la mesure de α (en radians !). On obtient alors :
valable uniquement pour les petits angles (en radians)
Remarque :
Afin que le rayon entrant sorte du prisme, ce dernier doit avoir un angle de réfraction
inférieur à un maximum donné. Celui-ci est donné par :
8.5.4 Dérivation théorique de la déviation minimale
La déviation δ est donnée par :
Afin de déterminer la plus petite déviation δmin, nous devons exprimer δ en fonction d'une
variable individuelle et en annuler la dérivée. Nous essayons pour cette raison d'exprimer δ
en fonction de β1.
Loi de réfraction à la face d'entrée :
donc :
Loi de la réfraction à la face de sortie :
donc :
Avec γ= β1+ β2, ceci donne :
donc pour la déviation δ =α1+ α2 -γ :
La déviation est minimale si :
Ce qui donne :
Ceci est valable uniquement si :
et simultanément :
Ces deux équations sont uniquement vraies simultanément si :
Il s'en suit que δ est minimal si :
Par ailleurs, on a :
donc, on doit avoir :
Cela signifie que le trajet de la lumière est symétrique à travers le prisme.
9 Miroirs sphériques
9.0 Histoire
L'usage des miroirs concaves pour projeter la lumière remonte à l'Antiquité. Ces miroirs
furent métalliques, en or, en bronze (airain), en argent. Les miroirs en verre étamés
n'apparaissent qu'au XVIème siècle. Pour l'éclairage, bien avant les phares des automobiles,
existèrent les lanternes à pétrole à réflecteur parabolique ou les lampes de mineurs.
Les célèbres miroirs ardents d'Archimède qu'il aurait utilisés pour brûler les vaisseaux
attaquant Syracuse, étaient (auraient été ?) fabriqués par juxtaposition de miroirs
hexagonaux (à la façon des ballons de football d'aujourd'hui) afin d'obtenir une forme
concave assimilable à un paraboloïde de révolution. En 2005, des étudiants du MIT
(Massachusetts Institut of Technology) tentèrent de renouveler l'exploit. Les résultats furent
mitigés : un navire en bois résista vaillamment malgré la courte distance qui le séparait des
129 miroirs installés.
Les Athéniens utilisaient des miroirs sphériques en or afin de concentrer les rayons du Soleil
et rallumer le feu sacré de Hestia, déesse du Foyer (Vesta chez les Romains). Au Moyen Âge,
les miroirs concaves furent nommés speculi ustori (miroirs crématoires), probablement parce
qu'ils servaient à allumer les bûchers funéraires.
Les lois de la réflexion sur un miroir plan ou sphérique semblent connues depuis l'École
platonicienne. Le célèbre Euclide, dans sa Catoptrique (du grec katoptron = miroir), étudie les
problèmes de réflexion de la lumière et recense les résultats connus de l'époque. Quoi qu'il
en soit, il semble que la théorie précise de la réflexion et de ses lois soit l‘œuvre du physicien
grec Damianus qui vécut au IVème siècle.
9.1 Définitions
Les miroirs sphériques sont des portions de surfaces sphériques de centre C rendues
réfléchissantes par un dépôt métallique. Ce sont donc des calottes sphérique de sommet S et
de rayon R = SC . La droite CS représente l'axe principal du miroir. Ils peuvent être concaves ou
convexes. Le miroir est dit concave lorsque la surface intérieure est réfléchissante et il est dit
convexe lorsque c'est la surface extérieure qui l'est.
Précisons tout d'abord ici le sens de convexe et concave : vu de l'extérieur, un miroir concave
possède un « creux » : du latin concavus, formé sur cum = avec au sens de qui possède, et
cavea = cavité. Un miroir convexe est « bombé » (vu de l'extérieur) : du latin convexus.
Pour un miroir convexe (resp. concave), la surface réfléchissante est tournée vers l’extérieur
(resp. l’intérieur) de la sphère.
On dit aussi d'un miroir, avec un sens évident qu'il est plan-convexe, biconcave, etc.
On remarquera que concave ou convexe pour un objet n'a guère de sens si on ne précise pas ce
qu'est l'intérieur ou l'extérieur de l'objet considéré, une courbe en particulier : un disque est
convexe, la surface d'un ballon aussi mais pour ce dernier (objet 3D équivalent à une sphère),
une bestiole qui serait dedans verrait sa surface comme concave ! De même pour un cercle
(convexe vu de l'extérieur, concave vu de l'intérieur).
Pour lever l'ambigüité un domaine D sera dit convexe si tout segment d'extrémités A et B
choisies dans D est entièrement contenu dans D.
Hergé n’aurait-il pas commis une petite erreur ?
A gauche (face concave), le reflet est renversé. A droite
(face convexe), il est dans le bon sens
Un rayon de lumière qui part des pieds (en
rouge) est renvoyé vers le haut du fait de la
forme du miroir concave, tandis qu'un rayon de
lumière qui part du sommet du crâne (en bleu)
est renvoyé vers le bas. C'est de cette façon
qu'un miroir concave reflète les objets. En
appliquant ce raisonnement à chaque point du
corps, on obtient l'image inversée représentée
en pointillés sur le schéma. Ce raisonnement
explique aussi pourquoi la gauche se retrouve à
droite et inversement.
Ici le miroir convexe qu'est la cuillère
reflète l’image dans le bon sens, et la
droite et la gauche sont conservées. La
seule chose qui change c'est la taille
Les lois de la réflexion sont identiques à celles du miroir plan.
http://www.uel.education.fr/consultation/reference/physique/optigeo/simuler/appletsjava/
miroirsph/mirsphe1.html
9.2 Centre et sommet
On note souvent C le centre de la sphère et R son rayon.
Dans le cas d'un système centré, on peut placer un miroir sphérique dont le centre est sur
l'axe optique (on a ainsi la symétrie par révolution). L'intersection S entre le miroir et l'axe
optique est appelé sommet du miroir.
La première chose que l'on peut
remarquer est que l'image du centre est
le centre, et l'image du sommet est le
sommet.
En effet, un rayon issu de C est réfléchi
en direction de C, et tout rayon issu de S
passe automatiquement par ce même
point. Cela est illustré par les quatre
images ci-contre :
On voit donc que le stigmatisme est rigoureux pour le centre et le sommet, mais ce n'est pas le
cas pour les autres points !
Point à l’infini :
Point à distance finie :
9.3 Astigmatisme du miroir sphérique
Applet montrant le manque de stigmatisme d’un miroir concave pour un objet à l’infini
http://www.proftnj.com/
miroirsp.htm
Applet montrant le stigmatisme approché du miroir sphérique dans les conditions de Gauss
http://www.sciences.univnantes.fr/physique/perso/gtulloue/optiqueGeo/miroirs/stig_miroir_spherique.html
On va maintenant se placer dans les conditions de Gauss pour avoir un stigmatisme approché.
9.4 Stigmatisme approché, relation de conjugaison
On se place dans le cas d'un miroir concave.
On considère un point objet A et son image A' comme le
montre l'image ci-contre.
On veut trouver les conditions pour que le système soit
stigmatique, c'est-à-dire que quelle que soit la position du
point I, le rayon passe toujours par le même point A' .
Dans les triangles AIC et CIA' , les sommes des angles donnent respectivement :
α + i + π − β = π et β + i + π − θ = π,
ce que l'on peut réécrire par :
α + i = β et β + i = θ.
En soustrayant ces deux relations, on obtient :
α−β=β−θ
d'où :
D'autre part, on calcule les tangentes de ces trois angles :
Or lorsqu'on se place dans les conditions de Gauss les angles sont supposés petits.
Donc on sait que :
(et même chose pour β et θ).
De plus, comme le point I est très proche de l'axe optique, on peut pratiquement assimiler H à
S. Les relations précédentes deviennent donc :
Donc un utilisant la relation α + θ = 2 β, et en divisant le tout par
on obtient :
ou encore, en changeant tous les signes :
1
1
2
+
=
SA SA ' SC
qui est la relation de conjugaison avec origine au sommet S du miroir (relation de Descartes).
Comme A, S, C et A’ sont alignés, on peut aussi écrire :
CA = CS + SA et CA ' = CS + SA '
Ce qui permet de transformer la relation de conjugaison en une relation de conjugaison avec
origine au centre C du miroir :
1
1
2
+
=
CA CA ' CS
On notant p la distance orientée SA, p’ la distance orientée SA’ et R le rayon SC, cette relation
s’écrit encore :
1
1
2
+
=
− p − p ' −R
1 2 1 2p− R
= − =
p' R p
Rp
Rp
p' =
2p− R
Cette relation permet de calculer la position de l'image à partir de la position de l'objet et
réciproquement.
Cette relation est très importante et elle est identique pour un miroir sphérique convexe.
On a donc effectivement montré que dans les conditions de Gauss, les miroirs sphériques
présentent un stigmatisme approché.
9.5 Foyers et distances focales
9.5.1 Foyer objet
Le foyer objet F d’un miroir sphérique est par définition le point de l’axe optique dont l’image
est à l’infini, c’est-à-dire :
F ' S → −∞ ou encore
1
→0
F 'S
Or, le foyer F et son image F’ vérifient la relation de conjugaison, donc :
On déduit que le foyer objet F est équidistant du centre C et du sommet S comme l’indiquent
les figures suivantes (miroir concave puis convexe) :
Foyer objet d’un miroir concave et d’un miroir convexe
Sur ces figures, on remarque que les rayons issus de F sont bien renvoyés parallèlement à l’axe
optique (c’est la définition du foyer objet).
9.5.2 Foyer image
Le même raisonnement est applicable au foyer image F’ qui est l’image du point objet à
l’infini sur l’axe optique ; on obtient alors aussi :
F 'S =
CS
2
qui est exactement la même relation que celle obtenue pour F.
On en déduit que :
les foyers objet et image d’un miroir sphérique sont confondus et situés à mi chemin entre
le centre et le sommet du miroir.
Ils sont réels pour un miroir concave et virtuels pour un miroir convexe
Foyer image d’un miroir concave et d’un miroir convexe
9.5.3 Distances focales
Pour un miroir sphérique, on définit :
la distance focale objet f par :
f = SF
la distance focale image f’ par : f ' = SF '
Les paragraphes précédents permettent donc d’écrire :
f = f '=−
R
R pour un miroir convexe
pour un miroir concave (convergent) et f = f ' = +
2
2
On appelle vergence d’un miroir sphérique l’inverse de la distance focale. Elle est négative
pour un miroir concave (qui est convergent, avec un foyer F réel) et positive pour un miroir
convexe (qui est divergent, avec un foyer F virtuel).
9.6 Image d’un objet plan, aplanétisme
Selon l’approximation de Gauss, un point objet B appartenant à un axe secondaire
quelconque, peu incliné par rapport à l’axe principal, a une image définie par la relation :
1
1
2
+
=
CB CB ' CS
Un miroir sphérique donne d’un petit élément plan perpendiculaire à l’axe principal une
image plane, perpendiculaire à cet axe et homothétique de l’objet par rapport au centre du
miroir. Dans le cadre de l’approximation de Gauss, les miroirs sphériques réalisent un
stigmatisme et un aplanétisme approchés.
Le rapport de l’homothétie de centre C transformant A en A’ dépend de la position de A :
γ=
A ' B ' CA '
=
AB
CA
La relation de Lagrange-Helmholtz s’écrit : AB.u = − A ' B '.u ' où les angles u et u’ sont très petits,
u ≈ SI
et u ' ≈ SI
donc :
AS
A' S
On en déduit le grandissement linéaire transversal γ et le grandissement angulaire ou rapport
de convergence γα:
γ=
A' B '
SA '
=−
AB
SA
γα =
1
u'
AB
=
=
u A' B ' γ
9.7 Construction d’images
Dans les conditions de Gauss, le miroir sphérique vérifie un stigmatisme et un aplanétisme
approchés.
Considérons un objet transverse AB (A sur l’axe optique, et B dans un plan orthogonal à l’axe
optique et passant par A).
On commence par construire l’image de B. Pour cela, deux rayons, parmi les quatre suivants,
passant par B suffisent à déterminer B’ (stigmatisme).
Règles de construction :
tout rayon passant par (ou semblant se diriger vers) le centre du miroir n’est pas dévié ;
tout rayon passant par le sommet S du miroir est réfléchi symétriquement à l’axe
optique ;
tout rayon parallèle à l’axe optique est réfléchi en passant par le (ou semblant provenir
du) foyer F du miroir ;
tout rayon qui passe par (ou semble se diriger vers) le foyer F, est réfléchi parallèlement
à l’axe optique.
Le point A’ est obtenu en projetant B’ sur l’axe optique (aplanétisme).
En appliquant ces quelques règles simples, on peut construire toutes les images très
simplement.
Animation flash :
construction
d’images pour le
miroir concave
Animation flash :
construction
d’images pour le
miroir convexe
Applet montrant la construction d’images formées par un miroir sphérique dans les
conditions de Gauss
http://www.sciences.univnantes.fr/physique/perso/gtulloue/optiqueGeo/miroirs/miroir_spherique.html
http://www.uel.education.fr/consultation/reference/physique/optigeo/simuler/appletsjava/m
iroirsph/mirsphe2.html
http://www.uel.education.fr/consultation/reference/physique/optigeo/simuler/appletsjava/
miroirsph/mirsphe3.html
http://www.slideshare.net/louisemichelchampigny/prsentation-miroirs-sphriques
9.8 Retour à la petite cuillère…
En première approximation la cuillère constitue un miroir sphérique qui est concave ou
convexe, selon qu'on observe la réflexion sur la face creuse ou sur la face bombée.
Pour la cuillère photographiée, on évalue entre 2 et 4 cm la valeur du rayon R de la
sphère équivalente et à environ 10 cm la distance de la flamme à la surface
réfléchissante.
Les constructions géométriques suivantes montrent la position de l'image de la bougie dans
chacun des cas, miroir concave ou convexe.
Les points C et F représentent le centre de courbure et le foyer du miroir sphérique de
sommet S (en valeur algébrique SC= + ou - R, si le rayon de courbure est R).
Miroir sphérique concave ; l'objet est placé
avant le centre de courbure C
Miroir sphérique convexe
On constate que l'image est réelle et renversée dans le cas concave , et qu'elle est droite et
virtuelle dans le cas convexe.
L'image est plus petite que l'objet : si la bougie est à une distance 2R du miroir, on peut
calculer le grandissement qui est de -1/3 (cas concave) ou +1/5 (cas convexe).
Le cas du miroir sphérique convexe ou de la cuillère côté bombé correspond à la vision d'une
image virtuelle, tout comme le miroir plan, plus usuel. L'observateur interprète les rayons
lumineux réfléchis comme provenant de l'image de l'autre coté du miroir.
Les images prévues pour la vision oculaire sont généralement virtuelles et localisées à
grande distance, car l‘œil se fatigue moins s'il n'a pas à accommoder.
Comment peut-on voir une image réelle ?
La vision d'images réelles se fait usuellement par l'intermédiaire de la lumière diffusée par un
écran (projection, cinéma...). Il est possible de regarder directement une image réelle si elle
n'est pas trop lumineuse et en accommodant correctement. Lorsque l'on regarde la cuillère
côté creux, l'image réelle et renversée d'un objet lointain se forme juste devant le foyer F, et
l‘œil accommode sur cette image, à 1 ou 2 cm devant le miroir.
Il n'est pas toujours aisé de percevoir cette accommodation en avant de la cuillère. Elle est
plus facilement perceptible si l'on regarde l'image d'un objet proche ou avec un miroir de
plus grand rayon de courbure, parce que l'image est située plusieurs centimètres devant le
miroir.
Comment expliquer la netteté des images photographiées ?
Elle est étonnante, car les miroirs sphériques ne sont pas stigmatiques et encore moins les
faces de la cuillère aux formes plus complexes.
On est dans le cas du stigmatisme approché grâce aux conditions de Gauss qui sont réalisées
pour le système bougie-cuillère-appareil photo ci-dessus. La bougie de diamètre 4 cm est à
peu près centrée sur l'axe optique. L'appareil photo, situé à environ 1 m de la cuillère, est
dans une direction faisant un angle d'une douzaine de degrés avec l'axe optique. Les rayons
lumineux issus de l'objet, réfléchis par le miroir et atteignant l'objectif de l'appareil photo
s'écartent assez peu de l'axe, l'inclinaison est au maximum de 12 degrés
(Arctan (2/10) ≃ 11°).
Pour des objets plus écartés de l'axe optique, les conditions de Gauss ne sont plus remplies.
On observe de la distorsion (en barillet dans les deux cas photographiés) : les droites sont
courbées, les angles sont modifiés et les images sont déformées. On peut s'en convaincre en
observant un papier quadrillé par réflexion sur une cuillère ou une louche.
9.9 Formule de Newton avec origine au foyer
Dans le miroir sphérique, les foyers
sont confondus et l’origine est
unique. Nous pouvons directement
déduire de la construction une
relation de conjugaison et une
relation de grandissement. Les
couples de triangles semblables
(FAB) et (FSJ), (FA’B’) et (FSI) sont
homothétiques,
le
centre
d’homothétie étant F :
SJ FS
A ' B ' FA '
=
et
=
AB FA
SI
FS
On en déduit le grandissement transversal :
γ=
A ' B ' FS FA '
=
=
AB
FA FS
Cette dernière relation conduit à la formule de conjugaison de Newton, avec origine au
foyer :
2
FA.FA ' = FS
9.10 Champ d'un miroir sphérique
Nous avons vu que le champ d'un miroir désigne la région de l'espace que l'on peut voir à
travers ce miroir à partir d'une position donnée O de l'œil et qu'il correspond donc à
l'ensemble des points A susceptibles de donner un rayon réfléchi passant par O. Ce rayon
semble provenir de l'image O' de O donnée par le miroir. Le champ du miroir est alors
délimité par le cône de sommet O' s'appuyant sur le contour du miroir.
Dans la figure ci-après, nous avons comparé les champs d'un miroir sphérique concave, d'un
miroir plan et d'un miroir sphérique convexe, l'observateur O occupant la même position
devant les trois miroirs et les deux miroirs sphériques étant de même courbure.
La position de O est choisie de telle manière que, dans tous les cas, son image O' soit virtuelle.
La position du point O' est donnée par :
pour le miroir concave :
SO ' = SO
SF
FS
FS
= SO
=-SO
SO − SF
OS − FS
FS − OS
avec SF < 0, SO < 0 et SO > SF
puisque l'on est dans le cas d'une image virtuelle, d'où :
SO ' > SO
pour le miroir plan :
SO ' = SO
pour le miroir convexe :
SO ' = SO
SF
SO − SF
d’où :
SO ' = SO
avec SF > 0, SO < 0
SF
SF − SO
Soit :
SO ' < SO
Le champ le plus grand est donc celui du miroir convexe, puis vient celui du miroir plan, puis
enfin celui du miroir concave. Ceci explique l'emploi de miroirs convexes comme rétroviseurs.
9.11 Applications des miroirs sphériques
Les miroirs concaves sont utilisés pour leur capacité à concentrer la lumière provenant
d'une source lointaine (télescope, four solaire...) ou à transmettre en faisceau quasi
parallèle comme la lumière émise par une petite lampe (lampe de poche, phare
d'automobile).
Ils sont aussi utiles quand il est pratique d'obtenir une image plus grande que l'objet, par
exemple comme miroir de toilette grossissant. Le rayon de courbure du miroir est suffisant
pour que, naturellement, on place son visage entre le foyer et le sommet.
Les miroirs convexes peuvent former des images petites d'un objet éloigné et sont alors
utiles pour leur grand champ de vision : miroirs de surveillance, rétroviseurs
d'automobiles, ou miroirs au coin de rues pour permettre de voir derrière un obstacle.
10 Dioptre sphérique
10.1 Définitions
Un dioptre sphérique est une surface sphérique ayant la forme d’une calotte sphérique,
séparant un milieu d’indice n=n1 d’un milieu d’indice n’=n2.
Les lois de la réfraction de Descartes s’appliquent telles quelles aux surfaces non planes.
Lois de la réfraction du dioptre sphérique
http://www.uel.education.fr/consultati
on/reference/physique/optigeo/simuler
/appletsjava/construx.html
Lois de la réfraction du dioptre sphérique
http://www.sciences.univnantes.fr/physique/perso/gtulloue/optiqueGeo/dioptres/dioptre_spherique.html
L’air est en blanc, le verre en bleu ; on voit que le dioptre peut être convergent ou divergent,
quelle que soit sa concavité, selon la nature des milieux qu’il sépare.
10.2 étude du stigmatisme du dioptre sphérique
10.2.1 Astigmatisme du dioptre sphérique
Si le point objet P (réel ou virtuel) a une image P’, celle-ci se trouve nécessairement sur l’axe
principal (PSC), support d’un rayon lumineux non dévié lors de la réfraction.
P’ ne mérite le nom d’image de P que si P’ reste fixe lorsque le point d’incidence I décrit la
surface dioptrique.
À un rayon incident issu du point P, appartenant à l’axe principal, il correspond un rayon
réfracté dans le plan d’incidence. Ce rayon recoupe l’axe principal en P’. Le point d’incidence
sur la surface dioptrique est noté I. On suppose le dioptre convexe et n2>n1 (dioptre
convergent).
Les images de différents
rayons lumineux issus d’un
point P situé sur l’axe du
dioptre ne se coupent pas
en un même point : le
dioptre
sphérique
est
astigmate.
S
Mise en évidence de l’astigmatisme du dioptre sphérique
http://www.sciences.univnantes.fr/physique/perso/gtulloue/optiqueGeo/dioptres/stig_dioptre_spherique.html
10.2.2 stigmatisme approché du dioptre sphérique
Stigmatisme et aplanétisme approché du dioptre sphérique dans les conditions de Gauss
10.2.3 étude théorique du stigmatisme (rigoureux et approché) du dioptre sphérique
10.2.3.a Invariant de Möbius
S
La loi de la réfraction appliquée au dioptre, donne :
Dans le triangle PIC, la relation des sinus s’écrit :
n1 sin i = n2 sin r
sin (π − i )
PC
=
sin ω
PI
donc sin i =
PC
sin ω
PI
Dans le triangle P’IC, la relation des sinus donne :
sin r sin (π − ω )
CP '
=
donc sin r =
sin ω
CP '
IP '
IP '
En combinant ces trois relations, on obtient :
PC
CP '
n1
= n2
PI
IP '
PC
P 'C
= n2
= K (1)
PI
P'I
Cette quantité K est conservée lors de la réfraction, c’est l’invariant fondamental du dioptre
sphérique (invariant de Möbius)
Ou encore :
n1
Dans cette formule, n1, n2 et C sont fixés. Nous constatons que P’ dépend non seulement de P
mais aussi de I, c’est-à-dire du rayon incident considéré : c’est le phénomène d’astigmatisme
mis en évidence par la construction précédente : différents rayons incidents ne convergent pas
au même point de l’axe optique et il n’y a en général pour P pas de point image proprement dit.
10.2.3.b Stigmatisme rigoureux du dioptre sphérique
Il n’y a que trois cas pour lesquels la condition de stigmatisme rigoureux est satisfaite :
Comme pour toutes les surfaces réfringentes, il y a stigmatisme rigoureux pour les points I de
la surface dioptrique : P=I=P’, PI=0 entraîne P’I=0 ;
Les rayons issus du centre C traversent le dioptre sans déviation : C est sa propre image
rigoureusement stigmatique : P=C=P’, PC=0 entraîne P’C=0 ;
Pour un point P quelconque, le stigmatisme rigoureux ne peut être réalisé que si la
distance P’C est indépendante de l’angle ω, et donc du point I. D’après la relation (1), s’il y
a stigmatisme, PC étant constant, le rapport P’I/PI doit être constant pour tout point I de la
surface dioptrique :
P ' I n2 P ' C
=
n1 PC
PI
Si le stigmatisme rigoureux est réalisé pour P et P’, la surface dioptrique (correspondant au
lieu des points I) coïncide nécessairement avec la sphère qui est le lieu des points dont le
rapport des distances à P et P’ est constant et égal à :
n2 P ' C
n1 PC
Une telle condition ne peut pas être réalisée pour un couple de points (P,P’) quelconque
mais peut être vérifiée pour un couple de points particuliers appelés points de YoungWeierstrass.
Ce dernier cas est un cas particulier de stigmatisme rigoureux pour une surface réfractante.
Soit une surface (S) réfractante qui sépare deux milieux d'indices n et n’ et I le point
d'incidence sur la surface (S).
Deux points P et P’ sont stigmatiques si le chemin optique L(PP’) est indépendant de la position
du point I (et donc constant). La condition de stigmatisme s'écrit donc :
L( PP ') = nPI + n ' IP ' = n. PI ± n ' IP ' = c ste
Le signe - correspondant à une image virtuelle (IP’<0) et le signe + à une image réelle (IP’>0)
de l’objet réel (PI>0).
En particulier, si le chemin optique L(PP’) est nul (condition nécessaire pour que la surface
dioptrique réfractante reste du second degré), on obtient :
nPI + n ' IP ' = c ste = 0
c’est-à-dire :
PI
n'
= >0
P'I n
Dans l’espace, le point I décrit donc une portion de sphère, qui est le lieu géométrique des
points dont le rapport des distances à deux points fixes (ici P et P’) est constant (ici égal au
rapport des indices). Ce rapport étant positif, les points P et P’ doivent être du même côté de
la surface (S), et ils sont donc de nature contraire (P réel et P’ virtuel par exemple).
Rappel géométrique
Le lieu des points M du plan vérifiant :
MA
=k
MB
est (sauf pour k = 1) le cercle (dit d'Apollonius) de diamètre [I J] où I et J sont les deux points
de la droite (AB) vérifiant également :
MA
=k
MB
Les droites (MI) et (MJ) sont les bissectrices de l'angle AMB.
10.2.3.c position des points de Young-Weierstrass
Désignons par C le centre de cette sphère, par S l’intersection de la surface dioptrique avec la
droite (PP’) et par S’ le point diamétralement opposé sur la sphère qui porte la surface
dioptrique (S), la relation précédente conduit à :
IP n ' SP
S 'P
= =
=−
IP ' n SP '
S 'P'
Soit :
n ' SC + CP
S ' C + CP
=
=−
n SC + CP '
S ' C + CP '
ou :
n ' CP − CS
CP − CS '
CP + CS
=
=−
=
n CP ' − CS
CP ' − CS ' −CP ' − CS
On en déduit :
CP = −
n'
n
CS et CP ' = − CS
n
n'
Les points satisfaisant à cette condition
sont appelés points de YoungWeierstrass (notés en général W et W’
et A et A’ sur la figure) du dioptre
sphérique. Il existe un unique couple
de points (W,W’) sur chaque droite
passant par C. Il y a quatre cas de
figure selon le signe de CS et selon le
signe de n’-n. La figure suivante
représente les deux cas où CS>0.
et encore :
SP =
n + n'
n + n'
SC et SP ' =
SC
n
n'
L’existence des points de Weierstrass est exploitée dans la fabrication des objectifs
d’instruments d’optique (microscope)
Points de Weierstrass du dioptre sphérique
Utilisation des points de Weierstrass
pour un objectif de microscopie
Un exemple classique d’utilisation des points de Weierstrass est l’objectif de microscope,
représenté sur la figure ci-dessus. Une première lentille a pour premier dioptre un dioptre
plan collé contre la lame à observer. Le microbe W0 collé sur le dioptre en son centre est sa
propre image (cf. supra les exemples simples de stigmatisme rigoureux) et le second dioptre
a W0 comme point de Weierstrass objet dont il forme l’image en W1. Le premier dioptre de la
seconde lentille a W1 comme centre qui est donc sa propre image (cf. supra) et son second
dioptre l’admet comme point de Weierstrass objet dont il forme l’image en W2. Une
troisième lentille peut être ajoutée sur le même principe que la seconde. Le but du jeu est, en
respectant le stigmatisme rigoureux, de diminuer progressivement l’angle maximal que fait
avec l’axe le faisceau lumineux afin de l’amener dans le cadre d’un stigmatisme approché qui
suppose des angles avec l’axe pas trop élevés. De nos jours, l’usage des lentilles asphériques
permet des solutions moins volumineuses mais plus onéreuses
10.2.3.d Stigmatisme rigoureux du dioptre sphérique : analyse générale
Repartons de l’invariant de Möbius :
n1
PC
P 'C
= n2
=K
PI
P'I
Élevons au carré les deux membres :
2
PC 2
2 P 'C
n
= n2
PI 2
P'I2
S
2
1
On peut écrire :
uur uur uuur
uuur uur uuuur
IP = IC + CP et IP ' = IC + CP '
Le théorème de Pythagore généralisé (ou l’utilisation du produit scalaire de deux vecteurs)
permet d’écrire :
uur uur
uuur uuur
IP 2 = IP.IP = IC 2 + CP 2 − 2 IC .CP cos ω et IP '2 = IP '.IP ' = IC 2 + CP '2 − 2 IC.CP 'cos(π − ω ) == IC 2 + CP '2 − 2 IC.CP 'cos ω
On a donc :
IP '2 n2 2 CP '2 IC 2 + CP '2 − 2 IC.CP 'cos ω
=
=
IP 2 n12 CP 2
IC 2 + CP 2 − 2 IC.CP cos ω
Cette relation montre que pour un point P fixé (CP fixé), CP’ dépend de ω et donc la position
de P’ dépend de ω.
Pour alléger les calculs, notons :
CP = x, CP ' = x ' et CS = R
La relation précédente devient :
n2 2 x '2 R 2 + x '2 − 2 R.x 'cos ω
= 2
n12 x 2
R + x 2 − 2 R.x cos ω
Il y aura stigmatisme rigoureux si CP’ est indépendant de ω, ce qui implique que le rapport
précédent soit indépendant de ω ; en particulier, il doit prendre la même valeur si cos ω=1 ou
si cos ω=0 ; par conséquent, on doit avoir :
n2 2 x '2 R 2 + x '2 − 2 R.x ' R 2 + x '2
= 2
= 2
n12 x 2
R + x 2 − 2 R.x
R + x2
En appliquant la propriété générale des fractions :
On obtient :
a c
a+c a−c
= =k⇒k =
=
b d
b+d b−d
n2 2 x '2 R 2 + x '2 − 2 R.x ' R 2 + x '2 2 Rx ' x '
= 2
= 2
=
=
n12 x 2
R + x 2 − 2 R.x
R + x2
2 Rx x
n 22 x
( x − x ') ( R − xx ') = 0 et : 2 =
n1
x'
soit encore :
2
La première équation a deux solutions possibles :
La solution x = x’ est impossible puisqu’elle impliquerait n1=n2, sauf si P est sur la surface
(P=I, donc x=R) et donc P’ est sur la surface (x’=R) ou si P est le centre du dioptre (x=0) et P’
est aussi le centre du dioptre (x’=0). On retrouve donc le fait que le dioptre est
rigoureusement stigmatique pour les points de la surface dioptrique et pour le centre du
dioptre qui sont leurs propres conjugués.
La solution :
n2 2
n12
R − xx ' = 0 qui implique : xx ' = R = x ' 2 = x 2
n1
n2
2
2
redonne (au signe près) la position des points de Young-Weierstrass par rapport au centre C
du dioptre.
10.2.3.e stigmatisme approché du dioptre sphérique dans les conditions de Gauss
On peut retrouver la relation entre la position p=SP de l’objet P et la position p’=SP’ de
l’image P’ dans les conditions de stigmatisme approché, ou conditions de Gauss.
Si P est quelconque, pour que P’I varie le moins possible, il faut que PI varie le moins possible,
donc que le point I soit proche du sommet S du dioptre, c’est-à-dire que le rayon incident soit
faiblement incliné par rapport à l’axe du dioptre. Le stigmatisme du dioptre sera aussi
amélioré si le rayon de courbure du dioptre est grand. Ce sont les conditions de Gauss.
Dans ce cas, PI≈PS et P’I≈P’S et la formule (1) n1 PC = n2 P ' C = K (1) devient :
PI
P'I
n1
ou encore, comme S, P, P’ et C sont alignés :
n1
PC
P 'C
= n2
PS
P'S
PS + SC
P ' S + SC
= n2
PS
P'S
n1
n
n −n
− 2 = 2 1
PS P ' S
SC
C’est la formule de conjugaison du dioptre sphérique, dans les conditions de stigmatisme de
Gauss.
Si on introduit les notations habituelles SP=p, SP’=p’, SC=r, la formule se réécrit sous la forme :
Qui redonne bien la relation de conjugaison :
n1
−p+r
− p '+ r
= n2
−p
−p'
Finalement, on obtient :
ou encore n1
n2 n1 n2 − n1
− =
=Φ
p' p
r
p−r
−r + p '
− n2
=0
p
p'
ou encore :
p' =
pn2
n1 + pΦ
Le signe de la quantité Φ=V (vergence du dioptre) détermine le caractère convergent (Φ>0) ou
divergent (Φ<0) du dioptre.
10.3 Foyers du dioptre sphérique
L’image du point objet situé à l’infini sur l’axe optique est appelé foyer image F’. La distance SF’
est la distance focale image, notée f’.
Par définition, la distance focale image est la distance p’=SP’ obtenue en remplaçant p par
l’infini dans la relation de conjugaison, donc :
f ' = lim
p →∞
n2 rp
nr
n
= 2 = 2
p ( n2 − n1 ) + n1r n2 − n1 Φ
Il résulte de cette définition que tout rayon incident parallèle à l'axe optique se réfracte en
passant par le foyer image F'.
Le point objet de l’axe optique dont l’image se forme à l’infini sur l’axe optique s’appelle le
foyer objet F du dioptre sphérique. La distance SF s’appelle la distance focale objet, notée f.
Par définition, la distance focale objet est la distance p=SP conjuguée à une distance p’ infinie
par la relation de conjugaison, donc :
f = lim
p '→∞
n1rp '
nr
n
=− 1 =− 1
p ' ( n1 − n2 ) + n2 r
n2 − n1
Φ
Un rayon incident passant par le foyer objet du
dioptre se réfractera en un rayon parallèle à l'axe
optique du dioptre.
Pour un dioptre concave et convergent (n’<n), on a donc les positions suivantes pour les
foyers :
Foyers, plans focaux et distances focales d’un dioptre sphérique
n’<n
n’>n
On remarque :
n
f
SF
=
=− 1
f ' SF '
n2
Le rapport des distances focales d’un dioptre sphérique est égal au rapport des indices
changé de signe. Les foyers F et F’ sont donc toujours de part et d’autre du sommet S
Si F’ est dans le milieu d’indice n2 (f’=SF’>0), donc réel, F est dans le milieu d’indice n1 (car
f=SF est alors <0), donc également réel. De la même façon, si F’ est dans le milieu n1
(f’=SF’<0) il est virtuel et F qui est alors dans le milieu n2 (f=SF>0) est également virtuel. Les
deux foyers sont de même nature : tous deux réels ou tous deux virtuels.
Cette relation montre aussi que f=-f’ lorsque les milieux extrêmes ont même indice de
réfraction (n1=n2) ;
On a aussi dans tous les cas :
f + f '=r
Si on multiplie la relation de conjugaison par r/(n2-n1), on obtient :
Cette relation est aussi appelée formule de conjugaison de Descartes.
f' f
+ =1
p' p
10.4 Répertoire des formules relatives au dioptre sphérique
Par définition, la vergence V d’un dioptre sphérique est :
V=
n2 − n1
n
n
=− 1 = 2
SC
SF SF '
Le grandissement linéaire γ est par définition le rapport de la dimension d’une image dans le
plan de front en A2 à la dimension correspondante de l’objet en A1 :
AB
γ=
2
2
A1 B1
10.4.1 Formules avec origine au sommet du dioptre
La relation de conjugaison établie ci-dessus, avec
origine au sommet du dioptre S s’écrit donc :
n1
n
n −n
− 2 = 1 2
SA1 SA2
SC
ou encore :
f' f
+ =1
p' p
Dans SA1B1 on a :
A1B1 = SA1 tan i1 = SA1i1
dans les conditions de GAUSS (avec SA1 < 0, i1 < 0 et A1B1 > 0).
De même dans SA2B2 on a :
A2B2 = SA2 tan i2 = SA2i2
dans les conditions de GAUSS (avec SA2 > 0, i2 < 0 et A2B2 < 0).
D’où l’expression pour γ :
γ=
A2 B2 n1 SA2 n1 p '
fp '
=
=
=−
f 'p
A1 B1 n2 SA1 n2 p
10.4.2 Formules avec origine au centre du dioptre
En repartant de l’invariant fondamental du dioptre
sphérique appliqué au rayon axial (I=S) :
on obtient aussi :
Et donc :
(
n1
A1C
AC
= n2 2
A1S
A2 S
n1
CA1
CA2
= n2
SC + CA1
SC + CA2
)
(
)
n1 SC + CA2 CA1 = n2 SC + CA1 CA2
Divisons par le produit des trois segments, il vient :
Ou enfin :
 1
 1
1 
1 
n1 
+
+
 = n2 

CA
SC
CA
SC
 2

 1

n1
n
n −n
− 2 = 1 2
CA2 CA1
CS
Cette formule est appelée relation de conjugaison avec origine au centre C du dioptre.
La similitude des triangles B1A1C et B2A2C permet d’écrire directement :
γ=
A2 B2 CA2
=
A1 B1 CA1
L’objet et l’image sont homothétiques par rapport au centre C.
10.4.3 Formules avec origine aux foyers
En repartant de la formule de conjugaison de Descartes :
f' f
+ =1
p' p
Cette dernière relation s’écrit aussi (en notant F1 et F2 les foyers):
Dans ce cas on repère la position de l’objet A1 par rapport au foyer objet F1 et la position de
l’image A2 par rapport au foyer image F2. La relation précédente donne :
Soit :
et finalement une relation parfaitement symétrique qui constitue la formule de conjugaison
de Newton:
Comme F2A2B2 et F2SI sont semblables et que A1B1 = SI, il vient alors :
γ=
A2 B2 A2 B2 F2 A2
=
=
SI
A1 B1
F2 S
et finalement, puisque F1A1.F2A2 = SF1.SF2 (par la formule de Newton):
γ =−
F2 A2
SF
=− 1
SF2
F1 A1
10.5 Relation de Lagrange-Helmholtz et aplanétisme du dioptre sphérique
Soit un rayon incident quelconque A1I : il fait l’angle α1 avec l’axe principal. Dans les conditions
de l’approximation de GAUSS, le réfracté correspondant passe par l’image A2 de A1 et fait
l’angle α2 avec l’axe principal.
Sur cette figure on voit que :
-SI = SA1.α1 = SA2 α2
d’où, en utilisant l’une des expressions
précédentes du grandissement linéaire :
Soit :
L’égalité précédente connue sous le nom de relation de Lagrange-Helmholtz, exprime
évidemment la réalisation de l’aplanétisme dans les conditions simplificatrices de la limitation
aux rayons paraxiaux.
Remarque : il s’agit du passage à la limite des petits angles d’une relation plus générale
connue sous le nom de relation des sinus d’Abbe (n1 sin α1A1B1 = n2 sin α2A2B2).
10.6 Méthode générale de construction du rayon réfracté par un dioptre sphérique
Pour
construire
le
rayon
réfracté
correspondant à un rayon incident
quelconque, on cherche l'intersection du
rayon incident avec le plan focal objet puis on
trace un rayon passant par le centre C du
dioptre et le foyer secondaire précédemment
défini. Le rayon réfracté est parallèle à CFx.
On peut également tracer une parallèle au
rayon incident passant par C et chercher son
intersection F’x avec le plan focal image ; le
rayon réfracté semblera alors issu du foyer
secondaire ainsi défini.
Ce type de construction est valable quel que
soit le dioptre sphérique, divergent ou
convergent , convexe ou concave.
10.7 Méthode générale de construction de l’image d’un objet formée par un dioptre sphérique
Tout rayon incident parallèle à l'axe optique se réfracte en passant par le foyer image F'.
Un rayon incident passant par le foyer objet du dioptre se réfractera en un rayon parallèle à
l'axe optique du dioptre.
Pour construire l'image d'un objet plan, on utilise 3 rayons particuliers :
un rayon passant par le centre du dioptre et qui n'est pas dévié à la traversée de celui-ci
un rayon issu de B et passant par le foyer objet F : il est réfracté suivant une parallèle à l'axe
principal
un rayon issu de B et parallèle à l'axe principal : il est réfracté suivant un rayon qui passe par
le foyer image F'.
Exemples de constructions
Objet à l’infini
Image d’un objet par un dioptre sphérique concave
http://www.uel.education.fr/consultation/reference/physique/optigeo/simuler/appletsjav
a/ds2.html
Image d’un objet par un dioptre sphérique convexe
http://www.uel.education.fr/consultation/reference/physique/optigeo/simuler/appletsja
va/convexe.html
Dioptre convergent recevant la lumière sur sa face concave (n>n’) ; variation des
caractéristiques de l’image (position, nature et grandeur) en fonction de la position
de l’objet décrivant la totalité de l’axe optique.
Dioptre divergent recevant la lumière sur sa face convexe (n>n’) ; variation
des caractéristiques de l’image (position, nature et grandeur) en fonction de
la position de l’objet décrivant la totalité de l’axe optique
10.8 Exercices (dioptre sphérique)
1. Calculer les vergences des dioptres suivants :
n=1 ; n’ = 1,5 ; R=+100mm.
|n’-n|= 0,525 et R = - 175 mm, le dioptre est convergent.
n=1,7 ; n’ = 1 ; R=-8,5cm
2. La distance entre le sommet et le centre d'un dioptre concave est de 75 mm. Les indices
sont 1,5 pour le milieu objet et 1,33 pour le milieu image.
Calculer la vergence Φ.
Le dioptre est-il convergent ou divergent ? Justifier.
Calculer les distances focales f etf’ du dioptre.
3. Soit un dioptre sphérique d'indices n = 1 et n’ = 1,336, de vergence +60δ.
Calculer le rayon de courbure.
L'indice objet est maintenant égal à 1,33. Le rayon de courbure prend la valeur
déterminée précédemment. Calculer Φ, la nouvelle vergence.
4. La distance focale image d'un dioptre sphérique d'indices n = 1,33 et n' = 1,5 vaut +200
mm. Calculer le rayon de courbure du dioptre. Est-il concave ou convexe ? Justifier.
5. Un dioptre sphérique de rayon 80 cm sépare l’air du verre (n=1,5). Son centre se trouve
dans le verre. Trouvez les distances focales. Déterminer la position de l’image et le
grandissement si l’objet est réel et se trouve à 200, 100 et 50 cm et si l’objet est virtuel et
se trouve à 50, 100 et 200 cm de la surface. (Rép. : f=-160 cm, f’=240 cm ; si p=-100 cm,
p’=-400 virtuelle, γ =2,67 ; si p=200 cm, p’=133,3 cm réelle, G=0,144)
6. Quel doit être l’indice d’une boule pour que le foyer image soit à son intérieur lorsque la
boule est baignée dans l’air ? Les rayons solaires peuvent-ils converger à l’intérieur d’un
aquarium sphérique et cuire un poisson qui s’y trouve ? Est-il possible de choisir la forme
de l’aquarium pour que cela arrive ? (Rép. : n>2 ; dans le cas de l’eau (n=1,33), f’=4,03 R,
donc non).
7. Un dioptre sphérique de rayon de courbure r sépare deux milieux d’indice n=3/2 (espace
objet) et n’=4/3 (espace image).
A) Exprimer les distances focales f et f’ ainsi que la vergence Φ en fonction de r.
B) On donne r= -10cm. Calculer numériquement f, f’ et Φ. Quel est la nature du
dioptre ?
C) On place un objet AB à 50 cm en avant du dioptre. Calculer la position p’ de
l’image ainsi que son grandissement transverse γ.
D) Sur une figure, placer les foyers F et F’ et l’objet A. Construire son image A’.
Quelle est la nature de A’ ?
8. Dans cet exercice, on cherchera à comprendre comment une image se forme au fond d'un
verre « chinois » s'il contient du liquide et disparaît lorsque le verre est vide.
Habituellement, dans un tel verre, une photographie est collée dans le fond d'une cavité
remplie d'air. La cavité est fermée sur sa partie supérieure par une lentille épaisse de verre
d'indice n = 1,5 constituée d'un dioptre plan D1, de sommet S1, et d'un dioptre sphérique
D2, de sommet S2 et de centre C2. On se place dans les conditions de Gauss. On notera A0,
le point de la photo sur l'axe optique. On prendra comme valeurs S1 S2 = 2 cm.
8.1 Afin de déterminer la courbure du dioptre D2, on
extrait la lentille et on la place sur un
banc d'optique. On éclaire sa face plane avec un
faisceau
de
rayons
incidents
parallèles
à l'axe optique. On constate que les rayons
émergeant de la lentille se coupent en un point F' de
l'axe tel que S1F' = 4,5 cm.
a. Après avoir rappelé la séquence de
formation des images par cette lentille
épaisse, donnez l'expression des relations de
conjugaison
du
dioptre
D1
et
du
dioptre D2.
b. Dans le dispositif étudié ici, où sont
situés
l'objet
initial,
Ao,
l'image
intermédiaire, A1, et l'image finale, A2 ?
c. A l'aide de la relation de conjugaison du
dioptre D2, vérifiez que le rayon de
courbure de ce dioptre vaut S2C2 = -1,25 cm.
8.2 On considère maintenant cette même lentille placée dans le verre chinois lorsque celui-ci
est vide. Elle est donc entourée d'air de part et d'autre. L'objet (la photo) est placé devant la
lentille, du côté de sa face plane, de sorte que A0S1 = 4/3 cm.
a. Donnez la position de l'image intermédiaire par rapport à S1 puis à S2.
b. Déterminez la position de l'image finale par rapport à S2.
c. Un observateur emmétrope placé à 25 cm du verre, donc de S2, peut-il voir cette
image ?
8.3 Le verre est maintenant rempli d'une épaisseur x d'un liquide d'indice n’=4/3. La lentille
a donc de l'air du côté de sa face d'entrée et ce liquide du côté de sa face de sortie. D'un
point de vue optique, cela revient à ajouter un dioptre plan D3 après la lentille. D3 est un
dioptre liquide/air de sommet S3 tel que S2S3 = x cm.
a.
b.
c.
d.
e.
Réécrivez la séquence de formation des images et les relations de conjugaison des
trois dioptres en tenant compte des nouveaux indices.
Déterminez les positions de l'image intermédiaire A1 par rapport à S1 puis à S2.
Même question pour A2 par rapport à S2 puis à S3. Cette dernière sera donnée en
fonction de x.
Quelle est l'expression de S3A3 en fonction de x ?
En considérant le signe de cette expression, l'image est-elle visible pour un
observateur emmétrope placé à 25 cm du verre ?
11 Les lentilles minces
11.0 Histoire
Les premières traces d'utilisation d'une
lentille proviennent de la Grèce antique.
Aristophane y fait notamment référence
dans sa pièce Les Nuées écrite en 423 av.
J.-C. en évoquant un verre à feu (une
lentille convexe utilisée pour produire du
feu en focalisant les rayons solaires).
Les écrits de Pline l'ancien (23 - 79) montrent également qu'un tel dispositif était connu dans
l'empire romain. Ils mentionnent ce qui peut être interprété comme la première utilisation
d'une lentille pour corriger la vue en décrivant l'utilisation que fait Neron d'une émeraude de
forme convexe lors des spectacles de gladiateurs (probablement pour corriger une myopie).
Sénèque le Jeune (3 av. J.-C. - 65) décrit l'effet grossissant d'un globe en verre rempli d'eau.
Le mathématicien arabe Alhazen (965-1038), a écrit le premier traité d'optique qui décrit
comment le cristallin forme une image sur la rétine.
Les lentilles n'ont cependant pas été utilisées par le grand public avant la généralisation des
lunettes de vue, probablement inventées en Italie dans les années 1280.
11.1 Définitions
Une lentille est un milieu transparent homogène, isotrope, dont au moins
l'une des faces n'est pas plane. Elle peut être limitée par deux dioptres
sphériques ou un dioptre sphérique et un dioptre plan.
L’axe optique ou axe principal est la droite passant par les deux centres des dioptres
sphériques C1 et C2 (ou perpendiculaire au dioptre plan et passant par le centre du dioptre
sphérique).
Une lentille mince correspond à une lentille dont l’épaisseur maximum est très petite devant
les rayons de courbure des deux dioptres S1C1 et S2C2. La distance entre les deux sommets
e=S1S2 est prise égale à 0 et les sommets S1 et S2 sont assimilés au même point O (qui porte
alors le nom de centre optique de la lentille mince).
Il existe trois sortes de lentilles dites à
bords minces, et trois sortes de lentilles
dites à bords épais.
Classification des lentilles suivant l'épaisseur de leur bord
http://uel.unisciel.fr/physique/optigeo/optigeo_ch07/co/apprendre_ch07_01.html
Types de lentilles à bords minces
1 - lentille biconvexe (les deux dioptres sont sphériques, les centres des sphères sont situés
chacun d'un côté du plan de la lentille ).
2 - lentille plan-convexe (un des dioptres est sphérique, l'autre est plan)
3 - ménisque convergent (les deux dioptres sont sphériques, les centres des sphères sont
situés du même côté du plan de la lentille, le premier dioptre a un plus petit rayon)
Types de lentilles à bords épais
4 - lentille biconcave (les deux dioptres sont sphériques, les centres des sphères sont situés
chacun d'un côté du plan de la lentille)
5 - lentille plan-concave (un des dioptres est sphérique, l'autre est plan)
6 - ménisque divergent (les deux dioptres sont sphériques, les centres des sphères sont situés
du même côté du plan de la lentille, le premier dioptre a un plus grand rayon)
Les lentilles à bords minces sont convergentes :
+
C2
+
S1
S2
Biconvexe
S1
S2
C1
C2
Ménisque convergent
+
C2
C1
+
S1
Plan-convexe
S2
S1
S2
Convexe-plan
C1
Les lentilles à bords minces sont toutes convergentes
Les lentilles à bords épais sont divergentes :
+
C1
S2
S1
+
S1
C2
Biconcave
Ménisque divergent
+
+
S1
Plan-concave
S2
C2
C1
S1
S2
Concave-plan
S2
C2
C1
11.2 Approximation de Gauss et schématisation des lentilles minces
Les lentilles minces sont étudiées dans l’approximation de Gauss :
les points objets sont situés au voisinage de l’axe optique ;
les rayons considérés sont limités aux rayons paraxiaux .
Dans ces conditions, les lentilles minces sont stigmatiques (tout point objet A admet un point
image conjugué A’) et aplanétiques (l’image d’un petit objet plan est plane).
11.3 Formules de conjugaison des lentilles minces et formule du fabricant
Une lentille est limitée par deux dioptres d1 et d2. Soit une lentille, par exemple biconvexe
donc convergente, et taillée dans un verre d’indice N ; le milieu d’entrée a un indice n et le
milieu de sortie un indice n’ ; si la lentille est en contact avec l’air, n=n’=1 et on peut alors
noter N=n.
L’image de P est P’ par le premier dioptre d1, de sommet O1 ; appliquons une première fois,
pour le dioptre d1, la relation de conjugaison du dioptre :
N
n
N −n
−
=
r1
O1 P ' O1 P
avec
r1 = O1C1
De la même manière, on peut écrire que P’’ est l’image de P’ par le dioptre d2 de sommet
O2:
n'
N
n '− N
−
=
r2
O2 P '' O2 P '
avec
r2 = O2C2
En sommant membre à membre les deux relations de conjugaison, on obtient donc :
 1
 N − n n '− N 
n'
1  n
−N
−
−
=
+



r
r
O2 P ''
O
P
O
P
O
P
'
'
1
2


 2
1

1
Si la lentille est mince, on peut assimiler O1 et O2, et donc O1P’ et 02P’ :
O1 ≈ O2 ≈ O et O1 P ' ≈ O2 P '
La relation précédente devient donc :
n'
n  N − n n '− N 
−
=
+

r2 
OP '' OP  r1
Dans cette formule, si OP’’→∞, P, point objet dont l’image est à l’infini, se confond par
définition avec le foyer objet F, donc on déduit :
 N − n n '− N 
n
n
=
= −
+

f OF
r
r
2
 1

De la même manière, si OP→-∞, P’’ est l’image d’un point objet P situé à l’infini, se
confond par définition avec le foyer image F’, donc on déduit :
n'
n '  N − n n '− N 
n
=
=
+
=−
f ' OF '  r1
r2 
f
Finalement, on a donc démontré la relation de conjugaison :
n'
n
n'
n
−
=
=−
OP '' OP OF '
OF
Et on a obtenu au passage les expressions suivantes pour les distances focales objet et
image:
n '  N − n n '− N 
n
=
+
=−
f '  r1
r2 
f
Si la lentille est baignée dans l’air (n=n’=1), et que l’on note n l’indice du verre de la lentille, et
P’ l’image du point objet P par la lentille, ces formules se simplifient en :
1
1
1
1
−
=
=−
OP ' OP OF '
OF
Les distances focales sont donc égales en valeur absolue et de signes opposés si les milieux
extrêmes sont identiques.
Et :
1 1
1
1  n −1 1 − n 
== − = 
+
 = ( n − 1)  −  avec r1 = S1C1 et r2 = S 2C2
f'
f  r1
r2 
 r1 r2 
Cette dernière formule, appelée formule des
fabricants de lentilles montre comment la focale
de la lentille est reliée à ses cambrures et à
l’indice de réfraction du verre.
La quantité V définie par :
V=
1
f'
est appelée vergence de la lentille mince ; la vergence est positive pour une lentille à bords
minces (convergente) ; elle vaut donc :
1 1
1
= (n − 1)  − 
V=
f'
 r1 r2 
r1 = S1C1 = R1 > 0
r2 = S2C2 = − R2 < 0
 1
1
1 
= (n − 1)  +  > 0
f'
 R1 R2 
r1 = S1C1 → +∞
r2 = S 2C2 = − R2 < 0
 1 
1
= (n − 1)   > 0
f'
 R2 
r1 = S1C1 = − R1 < 0
r2 = S 2C2 = − R2 < 0
 1
1
1 
= (n − 1)  − +  > 0 si R1 > R2
f'
 R1 R2 
Convergence des lentilles à bords minces
http://uel.unisciel.fr/physique/optigeo/optigeo_ch08/co/apprendre_ch08_02.html
La vergence est négative pour une lentille à bords épais (divergente) :
r1 = S1C1 = − R1 < 0
r2 = S2C2 = R2 > 0
 1
1
1 
= (n − 1)  − −  < 0
f'
 R1 R2 
r1 = S1C1 → − R1 < 0
r2 = S 2C2 → +∞
 1 
1
= (n − 1)  −  < 0
f'
 R1 
Divergence des lentilles à bords épais
http://uel.unisciel.fr/physique/optigeo/optigeo_ch08/co/apprendre_ch08_02.html
11.4 Définition et propriété du centre optique d’une lentille
11.4.1 Cas de la lentille mince
On a déjà dit que le centre optique O d’une lentille mince est confondu avec les sommets S1 et
S2 des dioptres. Au voisinage de l’axe optique, la lentille est équivalente à une lame à face
parallèle.
Une application directe des lois de Descartes de la
réfraction montre que le rayon émergent et le
rayon incident sont parallèles.
De plus, le décalage latéral entre le rayon incident
et le rayon émergent devient négligeable si e est
faible.
Par conséquent, on
l’importante propriété :
peut
en
déduire
Tout rayon passant par le centre optique d’une
lentille mince n’est pas dévié.
11.4.2 Cas de la lentille épaisse
Le centre optique O d'une lentille est défini comme le point de l'axe « appartenant » au milieu
d'indice n tel qu'à tout rayon intérieur dont le support passe par O correspondent un incident
et un émergent parallèles entre eux.
Remarque :
le point O « appartient » toujours au milieu d'indice n mais ceci n'implique pas qu'il soit
obligatoirement situé entre S1 et S2.
Déviation d’un rayon lumineux passant par le centre optique d’une
lentille convergente ou divergente
http://uel.unisciel.fr/physique/optigeo/optigeo_ch08/co/apprendre_ch08_01.html
Pour déterminer O, on considère une normale arbitraire C1I1 au dioptre d'entrée et la
normale C2I2, au dioptre de sortie, qui lui est parallèle.
Suivant la loi de Descartes l'incident SI1 et l'émergent I2R qui correspondent au rayon intérieur
I1I2 sont parallèles entre eux. Le support de I1I2 coupe l'axe qui joint les centres C1 et C2 des
deux faces de la lentille, c'est-à-dire l'axe principal, au point O conformément à la définition
du centre optique.
Les triangles OC1I1 et OC2I2 sont semblables puisque tous leurs angles sont égaux. On en
déduit :
d'où :
ou, de même :
ce qui fixe la position de O par rapport aux sommets des dioptres qui limitent la lentille.
11.5 Définition et propriétés des foyers , des distances focales et des plans focaux
Comme on l’a dit, selon la forme de ses faces d'entrée et de sortie (bords minces ou bords
épais) , une lentille sera convergente ou divergente.
Une lentille convergente transforme un faisceau de rayons parallèles (provenant d’un point
objet situé à l’infini sur l’axe optique) en un faisceau qui converge vers un point image réel
situé en aval de la lentille.
Une lentille divergente transforme un faisceau de rayons parallèles (provenant d’un point
objet situé à l’infini sur l’axe optique) en un faisceau divergent qui semble provenir d'un
point image virtuel situé en amont de la lentille.
11.5.1 Lentille convergente
On appelle foyer image F′ l'image d'un point objet situé à l'infini sur l’axe : c'est donc le point
où focalisent des rayons qui se propagent parallèlement à l'axe optique.
On appelle foyer objet F le point de l’axe dont l'image est située à l'infini : les rayons issus de ce
point se propagent donc, après traversée de la lentille, parallèlement à l'axe optique.
Pour une lentille à bords minces ,
les foyers objet F et image F’ sont
réels.
Remarque : la position des foyers
par rapport à la lentille dépend
du sens de parcours de la
lumière :
Si on choisit le sens gauche droit comme sens de parcours de la lumière, les foyers de la
lentille convergente sont fixés comme suit :
Existence du foyer d’une lentille convergente
http://uel.unisciel.fr/physique/optigeo/optigeo
_ch08/co/apprendre_ch08_02.html
On appelle distance focale objet f la distance orientée du centre optique O au foyer objet F :
f = OF < 0
On appelle distance focale image f’ la distance orientée du centre optique O au foyer image F ‘:
f ' = OF ' > 0
Ces distances sont égales en valeur absolue si les milieux incident et émergents sont les mêmes.
Remarque : on a adopté comme convention de signe que toute distance orientée dans le
sens amont-aval est positive et que toute distance orientée dans le sens aval-amont est
négative.
11.5.2 Lentille divergente
Tout rayon incident parallèle à l'axe principal d'une lentille divergente émerge en semblant
provenir du foyer principal image F'.
Tout rayon incident semblant passer par le foyer principal objet F d'une lentille divergente
émerge parallèlement à l'axe principal de cette lentille.
Pour une lentille à bords épais , les
foyers objet F et image F’ sont
virtuels.
Remarque : la position des foyers par
rapport à la lentille dépend du sens
de parcours de la lumière :
Si on choisit le sens gauche droit comme sens de parcours de la lumière, les foyers de la
lentille divergente sont fixés comme suit :
On appelle distance focale objet f la distance orientée du centre optique O au foyer objet F :
f = OF > 0
On appelle distance focale image f’ la distance orientée du centre optique O au foyer objet F ‘:
f ' = OF ' < 0
Ces distances sont égales en valeur absolue si les milieux incident et émergents sont les
mêmes.
Remarque : on a adopté comme convention de signe que toute distance orientée dans le sens
amont-aval est positive et que toute distance orientée dans le sens aval-amont est négative.
http://www.web-sciences.com/optique/optique2.php
11.5.3 Plans focaux
On appelle plan focal le plan passant par un foyer et orthogonal à l'axe optique.
Un point situé dans le plan focal (objet ou image) est appelé foyer secondaire (objet ou
image).
Sur les applets ci-dessous, on constate qu'il existe un unique foyer principal et une infinité de
foyers secondaires.
http://www.web-sciences.com/optique/optique2.php
Un faisceau issu d'un foyer secondaire objet J
d'une lentille convergente émerge parallèlement
à l'axe secondaire JO.
Un faisceau semblant passer par un foyer
secondaire objet J d'une lentille divergente émerge
parallèlement à l'axe secondaire JO.
Un faisceau parallèle à un axe secondaire J’O
d'une lentille convergente émerge en passant
par le point J', intersection du plan focal image
et de l'axe secondaire.
Un faisceau parallèle à un axe secondaire J'O
d'une lentille divergente émerge en semblant
provenir du point J', intersection du plan focal
image et de l'axe secondaire.
11.6 Rayons remarquables et construction géométrique des images
Les foyers et le centre optique caractérisent complètement la lentille ; ces points permettent
en effet de construire et de calculer la position de l’image de tout point objet en utilisant des
rayons particuliers et les règles suivantes :
un rayon incident passant par le centre optique de la lentille mince
n’est pas dévié ;
un rayon incident dont le prolongement du
support passe par le foyer principal objet ressort
parallèlement à l’axe optique ;
un rayon émergent dont le prolongement du
support passe par le foyer principal image
provient d’un rayon incident parallèle à l’axe
optique.
http://www.web-sciences.com/optique/optique4.php
11.7 Construction de l’émergent d’un rayon quelconque
Deux méthodes de construction peuvent être envisagées pour tracer le rayon émergent
correspondant à un incident quelconque :
la première méthode consiste à remarquer que tout faisceau issu d'un foyer secondaire
Fs appartenant au plan focal objet émerge en un faisceau de rayons parallèles à l'axe
secondaire FsO
la deuxième méthode utilise le fait qu'un faisceau de lumière parallèle incident sur la
lentille converge en un foyer secondaire image F's appartenant au plan focal image; F's
est l'intersection de l'axe secondaire parallèle au faisceau incident avec le plan focal
image.
d'où les constructions suivantes pour un rayon incident quelconque ;
Méthode 1
On cherche l'intersection du rayon incident avec le plan focal objet Fs ; le rayon émergent
sera parallèle à FsO.
Méthode 2 :
On trace une parallèle au rayon incident passant par le centre optique O qui coupe le plan
focal image en F's; le rayon émerge en passant par le foyer secondaire F's.
Marche d'un rayon dans une lentille convergente
http://uel.unisciel.fr/physique/optigeo/optigeo_ch08/co/simuler_ch08_01.html
Marche d'un rayon dans une lentille divergente
http://uel.unisciel.fr/physique/optigeo/optigeo_ch08/co/simuler_ch08_03.html
Marche d'un faisceau dans une lentille convergente
http://uel.unisciel.fr/physique/optigeo/optigeo_ch08/co/simuler_ch08_02.html
Marche d'un faisceau dans une lentille divergente
http://uel.unisciel.fr/physique/optigeo/optigeo_ch08/co/simuler_ch08_04.html
Lentille sphérique mince dans les conditions de Gauss
http://www.sciences.univnantes.fr/sites/genevieve_tulloue/optiqueGeo/lentilles/lentille_mince.html
11.8 Rayons remarquables et calcul des positions
L’application de ces règles permet non
seulement de construire l’image d’un
objet mais aussi de retrouver les formules
de conjugaison et du grandissement.
O
http://uel.unisciel.fr/physique/optigeo/o
ptigeo_ch08/co/simuler_ch08_05.html
Les triangles OAB et OA’B’ sont semblables :
OA OB
AB
=
=
OA ' OB ' A ' B '
Les triangles F’OP et F’A’B’ sont semblables :
OF '
OP
F 'P
=
=
A' F ' A' B ' F ' B '
Mais OP = AB, donc tous ces rapports sont égaux, en particulier :
Décomposons A’F’ par rapport au point O :
Notre relation (*) devient :
OA
OF '
=
OA ' A ' O + OF '
OA OF '
=
(*)
OA ' A ' F '
A ' F ' = A ' O + OF '
OA
OF '
=
OA ' A ' O + OF '
Développons :
(
)
On effectue les produits en croix :
OA '.OF ' = OA. A ' O + OF '
On distribue :
OA '.OF ' = OA. A ' O + OA.OF '
On retourne une distance :
OA '.OF ' = −OA.OA ' + OA.OF '
On change un terme de membre :
OA.OF ' = OA '.OF ' + OA.OA '
On factorise :
OA.OF ' = OA ' OF ' + OA
On résout :
On inverse :
On simplifie :
On aboutit à la relation de conjugaison :
(
OA.OF '
OA ' =
OF ' + OA
1
OF ' + OA
=
OA ' OA.OF '
1
1
1
=
+
OA ' OA OF '
1
1
1
−
=
OA ' OA OF '
)
Le grandissement linéaire G de la lentille est par définition le rapport :
G=
A' B '
AB
On peut écrire grâce aux similitudes des triangles OAB et OA’B’ :
OA ' A ' B '
G=
=
OA
AB
De la même manière, pour une lentille divergente :
P
http://uel.unisciel.fr/physique/optig
eo/optigeo_ch08/co/simuler_ch08_
06.html
Les triangles OAB et OA’B’ sont semblables :
OA OB
AB
=
=
OA ' OB ' A ' B '
Les triangles A’F’B’ et OF’P sont semblables :
OF '
OP
F 'P
=
=
A' F ' A' B ' F ' B '
Mais OP = AB, donc tous ces rapports sont égaux, en particulier :
Décomposons A’F’ par rapport au point O :
Notre relation (*) devient :
OA
OF '
=
OA ' A ' O + OF '
OA OF '
=
(*)
OA ' A ' F '
A ' F ' = A ' O + OF '
Développons :
OA
OF '
=
OA ' A ' O + OF '
(
)
On effectue les produits en croix :
OA '.OF ' = OA. A ' O + OF '
On distribue :
OA '.OF ' = OA. A ' O + OA.OF '
On retourne une distance :
OA '.OF ' = −OA.OA ' + OA.OF '
OA.OA '.OF '
En divise par le produit des distances
On trouve :
1
1
1
=−
+
OA
OF ' OA '
On aboutit à la même relation de conjugaison que pour les lentilles convergentes :
1
1
1
−
=
OA ' OA OF '
Pour le grandissement G, on obtient aussi :
OA '
G=
OA
11.9 Formule de conjugaison de Newton pour les lentilles (convergentes ou divergentes)
Considérons un point A quelconque de l’axe optique et son image A’.
Au départ de la relation de conjugaison :
1
1
1
−
=
OA ' OA OF '
OF ' = −OF
en multipliant les deux membres par la distance focale image
on obtient :
OF ' OF
+
=1
OA ' OA
Tirons de cette équation une expression de la distance focale objet et une expression de la
distance focale image :
 OF '  OA
OA
OF = OA. 1 −
=
.
OA
'
−
OF
'
=
.F ' A '

OA '
 OA '  OA '
 OF  OA '
OA '
OF ' = OA '. 1 −
=
.
OA
−
OF
=
.FA

OA
 OA  OA
Multiplions ces relations membre à membre :
Finalement, on obtient donc :
(
)
(
)
OF .OF ' = F ' A '.FA
(
FA.F ' A ' = OF '.OF = − OF '
C’est la relation de conjugaison de Newton.
)
2
( )
= − OF
2
11.10 Construction de l’image d’un objet par une lentille convergente
Espaces objet et image pour une lentille convergente
http://www.youtube.com/watch?NR=1&v=HGVUVFcyc6o
11.11 Construction de l’image d’un objet par une lentille divergente
Espaces objet et image pour une lentille divergente
11.12 Application à la projection sur un écran
Si l'on veut projeter sur un écran lointain une image très agrandie d'un objet (diapositive ou
pellicule par exemple), il faut utiliser une lentille convergente et positionner l'objet à
proximité du foyer objet, formant ainsi une image proche de l'infini, à une distance D.
On aura donc approximativement :
Exemple : pour projeter sur un écran de 1,5 m une diapositive de 36 mm, il faut donc un
grandissement de :
1,5
γ=
= 42
0, 036
Si l‘écran se trouve à D = 4 m, on doit donc utiliser une lentille de focale :
f '=
D
γ
=
4
= 0, 096 m = 96 mm
42
11.13 Exercices sur les lentilles minces
1. Un photographe désire photographier un sujet de 2m de haut situé à une distance de
300m. Il veut en obtenir sur son film photographique une image de 1cm. Cette image est
inversée. En considérant l’objectif comme une lentille mince, déterminer g le grandissement
transverse, la position p’ de l’image et la distance focale f’ de l’objectif. Quelle est la nature
de l’image ?
2. a)Soit une lentille de distance focale f ’ = +3 cm. On considère un objet perpendiculaire à
l’axe optique de taille 2 cm respectivement à 4 cm et 2 cm en avant du centre optique.
Déterminer graphiquement l’image de l’objet dans chaque cas (échelle 1/1). Même question
avec un objet virtuel situé à 10 cm du centre optique.
b) Soit une lentille de distance focale f ’ = -3 cm. Trouver l’image d’un objet réel de taille 2 cm
situé à 5 cm du centre optique. Même question avec un objet virtuel situé à 1,5 cm puis 5 cm
du centre optique.
c) Retrouver les résultats précédents par le calcul algébrique.
3. Une lentille mince dont l’un des faces est plane donne d’un objet réel situé à 1m de son
sommet une image droite deux fois plus petite que l’objet. L’indice de la lentille vaut n=3/2.
A) Calculer la vergence de la lentille.
B) Quelle est la nature de la lentille ? Calculer le rayon de courbure de la seconde face.
4. Un timbre poste est observé à travers une lentille convergente de distance focale +8 cm,
faisant office de loupe. Le timbre de dimensions (3 cm x 2 cm) est situé à 6 cm de la lentille
supposée mince.
a)Déterminer les caractéristiques de l’image (position, nature, grandeur et sens par
rapport à l’objet).
b)Tracer la marche du faisceau lumineux issu d’un point de l’objet et pénétrant dans la
lentille de diamètre 4 cm (échelle ½).
5. Un objet est situé à une distance D d’un écran. Où faut-il placer une lentille de distance
focale f’ pour que l’image de l’objet se forme sur l’écran ? Quelle est alors la nature de la
lentille et quelle condition sa distance focale doit-elle vérifier ? Quel est le grandissement pour
chaque position possible de la lentille ? (Rép. : distance lentille-objet = 0.5(D±(D2-4Df’)1/2);
lentille convergente et telle que D>4f’ ; G = (1-D/2f’) ±(D2/4f’2-D/f’)1/2)
6. Un objet lumineux est situé sur l’axe d’une lentille convergente à 16 cm de celle-ci. Si on
éloigne l’objet de 2 cm, l’image se déplace de 12 cm. Quelle est la focale de lentille ? (Rép. : 12
cm pour une image réelle; 28,8 cm pour une image virtuelle).
7. Calculer la vergence d’un ménisque divergent, d’indice 1,5 et dont les rayons de courbures
des faces valent 20 et 30 cm. (Rép. : -0,83 dioptries).
11.14 Association de deux lentilles minces
Considérons deux lentilles minces, de même axe, dont les centres optiques S1 et S2 sont
séparés par un écartement e. Appelons interstice ∆ la distance orientée joignant le foyer
image de la première lentille au foyer objet de la seconde lentille :
∆ = F '1 F2 = F '1 S1 + S1S2 + S2 F2
= S1S 2 − S1 F '1 − S2 F '2 = e − f '1 − f '2
Le foyer image F’ de l’ensemble est l’image de F’1 formée par la seconde lentille, donc on
peut écrire, d’après la relation de Newton appliquée à la lentille 2 :
F2 F '1.F '2 F ' = − f '2 2
De la même manière, le foyer objet F de l’ensemble a pour image par la première lentille
le foyer objet F2 de la seconde lentille, donc on peut écrire, grâce à la relation de Newton
appliquée à la première lentille :
F1 F .F '1 F2 = − f '12
On tire donc de ces relations :
et :
f '2 2
f '2 2
F '2 F ' = −
=
∆
F2 F '1
(1)
f '12
f '12
F1 F = − −
=−
(2)
∆
F '1 F2
D’autre part, F’2 est l’image par la deuxième lentille du point à l’infini sur l’axe, qui est
lui-même l’image de F1 par la première lentille.
F1 a donc F’2 pour image par l’ensemble des lentilles (cf. schéma), et on peut appliquer
une troisième fois la relation de Newton, à l’ensemble du système cette fois :
FF1.F ' F '2 = − f '2
On tire de ces trois relations l’égalité :
Des deux solutions possibles :
(3)
f '12 f '2 2
f' =
∆2
2
f '=±
f '1 f '2
f '1 f '2
=±
e − f '1 − f '2
∆
seule celle correspondant au signe – est valable car il est clair que quand les lentilles
sont collées (e=0), les convergences des deux lentilles s’ajoutent simplement. De plus, il
faut que f’→f’1 si f’2→∞ ou que f’→f’2 si f’1→∞.
La relation finale est donc :
1
∆
1
1
e
=−
=
+
−
f'
f '1 f '2 f '1 f '2 f '1 f '2
Doublet de lentilles minces
http://www.sciences.univnantes.fr/physique/perso/gtulloue/optiqueGeo/lentilles/doublet.html
12 Théorie des systèmes centrés
12.1 Définitions et conditions de Gauss
Un système centré est un ensemble de milieux transparents homogènes et isotropes séparés
par des dioptres présentant un axe de révolution commun : l'axe principal ou axe optique.
On peut distinguer deux sortes de systèmes centrés : les systèmes dioptriques que la lumière
traverse de bout en bout par réfraction successive et les systèmes catadioptriques qui
comportent un ou plusieurs dioptres réfléchissant et des dioptres réfractant et dans lequel la
lumière sort par la face d'entrée.
Sauf cas très particulier un tel système ne permet pas de réaliser le stigmatisme rigoureux : on
cherche donc le stigmatisme approché en se plaçant dans les conditions de l’approximation de
Gauss.
Si ces conditions sont satisfaites,
à un point objet correspond un
point image (stigmatisme) ; de
plus, un élément d’un plan de
front admet une autre portion
d’un autre plan de front comme
image à travers le système
(aplanétisme) : les deux plans
sont des plans conjugués.
12.2 Grandissements et relation de Lagrange-Helmholtz
Le premier dioptre donne du petit objet (AB) perpendiculaire à l’axe l’image paraxiale (A1B1)
telle que A1B1=γ1AB. Le deuxième dioptre donne de (A1B1) l’image (A2B2) perpendiculaire à
l’axe en A2 telle que et ainsi de suite pour le jème dioptre :
γj =
Aj B j
Aj −1 B j −1
Le dernier dioptre fournit l’image définitive (A’B’) perpendiculaire à l’axe en A’. Compte tenu
des propriétés des dioptres, ces images sont semblables deux à deux.
L’image d’un petit objet plan perpendiculaire à l’axe est plane, perpendiculaire à l’axe, et
semblable à l’objet, le rapport de similitude γ étant tel que :
A ' B ' = ( γ 1.γ 2 .γ 3 ...γ m ) AB = γ AB
Ce rapport γ est le grandissement linéaire transversal du système ; il est donc égal au produit
des grandissements transversaux successifs des dioptres.
Les surfaces dioptriques du système séparent des milieux successifs dont les indices sont n,
n1, n2, …, n’. Le support d’un rayon incident passant par le pied A de l’objet (AB) fait avec l’axe
optique un angle orienté u. Les rayons réfractés successifs présentent sur l’axe optique les
inclinaisons u1, u2, … et le rayon émergent passant par A’ (image de A) est incliné sur l’axe de
l’angle orienté u’.
La relation de Lagrange-Helmholtz est vérifiée pour tout couple de points conjugués sur l’axe,
dans l’approximation de Gauss (les angles ui sont petits). Elle peut être appliquée de proche
en proche ; la quantité n.AB.u est invariante à la traversée de chaque dioptre. En appliquant
ce résultat pour tout le système, on obtient :
n. AB.u = n1. A1 B1.u1 = n2 . A2 B2 .u2 = ... = n '. A ' B '.u '
Cette relation conduit, comme pour un dioptre unique à :
n. AB.u = n '. A ' B '.u '
La symétrie de cette expression traduit la réciprocité des rôles joués par l’objet et l’image et
montre que le trajet suivi par la lumière est indépendant du sens de parcours (principe de
retour inverse de la lumière).
Le rapport de convergence ou grandissement angulaire est le rapport des angles d’inclinaison
des rayons sur l’axe :
u1 u2 u3 u ' u '
γα =
. . ...
=
u u1 u2 u p −1 u
Soit, compte tenu de la relation précédente :
γα =
u'
n. AB
n
=
donc γ α .γ =
u n '. A ' B '
n'
Le produit des grandissements transversal et angulaire est constant et égal au rapport de
l’indice du milieu d’incidence à celui du milieu d’émergence.
12.3 éléments cardinaux des systèmes dioptriques
Un système centré est caractérisé en pratique par ses éléments cardinaux : les foyers, les plans
et les points principaux, les plans et les points nodaux.
Ce sont des points, des droites et des plans possédant des propriétés particulières, et définis
seulement dans le domaine de l’optique paraxiale.
La connaissance de la position de ces éléments suffit à la détermination de la position et de la
grandeur des images en partant d'objets donnés.
Notamment quatre éléments cardinaux : F et F' (respectivement foyer objet et foyer image) et
H et H' (respectivement points principaux objet et image), permettant de définir les distances
focales et de construire les images.
12.4 Foyers et plans focaux
On appelle foyer tout point conjugué d’un point à l’infini. Si le conjugué est à l’infini dans la
direction de l’axe, le foyer est principal, sinon, il est secondaire.
Le lieu géométrique des points dont les conjugués paraxiaux sont rejetés à l’infini est un plan
focal.
L'image d'un point à l'infini sur l'axe est le foyer principal image F´ (tout rayon conjugué d'un
rayon parallèle à l'axe passe par F´).
De même, le foyer principal objet F a pour image le point à l'infini sur l'axe (tout rayon incident
passant par F émerge parallèlement à l'axe).
Le plan focal objet (PFO) est le lieu géométrique des foyers objets secondaires et le plan focal
image (PFI) est le lieu géométrique des foyers images secondaires.
La correspondance entre un point objet et son image étant unique dans le système centré, le
foyer conjugué à un point à l’infini est unique quand il existe.
De par leurs définitions, les points foyers objet et image ne sont pas des points conjugués l’un
de l’autre.
12.5 Points et plans principaux
Un troisième couple de points conjugués de l’axe est défini en imposant une valeur au
grandissement (transversal ou angulaire).
En effet, à chaque valeur du grandissement transversal, il correspond un seul couple de plans
de front conjugués.
Il est donc possible de choisir une valeur particulière de γ et de déterminer le couple de plans
particuliers associés à cette valeur. On choisit généralement le couple de plans pour lequel le
grandissement transversal vaut γ = +1 : ce sont les plans principaux, tels que A’B’=AB.
On appelle plan principal objet et plan principal image deux plans de front conjugués pour
lesquels le grandissement transversal γ est égal à +1.
Leurs intersections avec l’axe principal sont respectivement le point principal objet H et le
point principal image H ’.
12.5.1 Existence des plans principaux
Si un rayon incident est parallèle à l’axe optique, le support du rayon émergent correspondant
rencontre celui de l’incident en I’. Lorsque le rayon incident s’éloigne de l’axe en lui restant
parallèle, le point I’ décrit une surface [Σ’] ; par suite de la symétrie de révolution du système
et du faisceau incident, [Σ’] est une surface de révolution.
Pour rester dans les conditions de Gauss, le faisceau incident doit être suffisamment
diaphragmé ; les supports de tous les rayons émergents passent approximativement par le
foyer principal image F’ et la portion de surface [Σ’] peut être confondue avec un élément de
plan de front [P’].
De même, des rayons sortants parallèles à l’axe du système optique ont des supports qui
rencontrent des rayons incidents conjugués en des points appartenant à une surface de
révolution [Σ] réductible, dans l’approximation de Gauss à un élément de plan de front [P].
La figure représente la marche de trois rayons (R1), (R2) et (R3). Supposons que l’on connaisse
l’émergent d’un rayon parallèle à l’axe, comme (R1) et les incidents de rayons émergents
parallèles à l’axe.
Le rayon (R1) de support parallèle à l’axe est conjugué à un rayon émergent, supposé connu,
dont le support passe par le foyer principal image F’. Les supports des deux rayons incident et
émergent se coupent en un point I’.
Les rayons incidents (R2) et (R3) dont les supports passent par le foyer principal objet F donnent
des rayons émergents parallèles à l’axe optique, supposés connus aussi. Les supports des deux
rayons incidents et émergent se coupent en un point J pour (R2) ou I pour (R3).
Les supports des deux rayons incidents (R1) et (R3) se coupent au point I ; les supports des
rayons émergents correspondants se coupent en un point I’.
Ces deux points sont conjugués puisque deux rayons incidents dont les supports passant par I
donnent des rayons émergents dont les supports passent par I’.
Par conséquent :
I’ est le point image du point objet I dans le système ;
les plans de front [P] et [P’] passant respectivement par I et par I’, perpendiculaires à l’axe en
H et en H’, sont deux plans conjugués tels que HI=H’I’, donc le grandissement transversal vaut
γ=+1. Les plans [P] et [P’] forment donc un couple de plans principaux, et H et H’ sont les
points principaux (Hauptpunkte selon Gauss).
12.5.2 Unicité des plans principaux
Ce couple de plans ou de points est unique. En effet, pour un autre couple de plans de front
qui répondraient à la définition des plans principaux, les points Q et Q’, intersection avec l’axe
optique doivent être conjugués, le grandissement pour ces plans doit être de γ=+1.
Le support du rayon (R1), parallèle à l’axe couperait en J et en J’ respectivement les plans [Q]
et [Q’].
Par hypothèse, J’ serait l’image de J, donc J’ devrait appartenir au rayon émergent
correspondant à (R1). Mais à un rayon incident ne peut correspondre qu’un seul rayon
émergent ; par conséquent, J’ coïncide avec I’. Il en résulte que [Q’] coïncide avec [P’]. À un
plan image ne peut correspondre qu’un plan objet, donc [Q] coïncide avec [P].
En conclusion, un système dioptrique à foyers possède un couple et un seul, de plans
principaux [P] et [P’], un unique couple de points principaux H et H’ tels que γHH’=+1.
12.5.3 Propriété importante des plans principaux
Il résulte de ce qui précède l’importante propriété suivante, qui permet de déterminer
facilement la position des plans et points principaux objet et image :
Le plan principal image [P’] est le lieu géométrique des points d’intersection des
supports des rayons incidents parallèles à l’axe avec les supports des rayons émergents
correspondant qui passent par le foyer image F’.
Le plan principal objet [P] est le lieu géométrique des points d’intersection des supports
des rayons émergents parallèles à l’axe avec les supports des rayons incidents
correspondants qui passent par le foyer objet F.
Points et plans principaux d’un objectif photographique
12.5.4 Résumé : propriétés des points principaux H et H’ :
Les points principaux et les plans principaux sont conjugués.
Tout rayon objet issu du foyer objet coupant le plan principal objet à une certaine hauteur
ressort du plan principal image parallèlement à l’axe optique et à la même distance de l’axe
optique.
Tout rayon image passant par le foyer image coupant le plan principal image a une certaine
hauteur provient d’un rayon parallèle à l’axe optique coupant le plan principal objet à la même
distance de l’axe optique.
12.5.5 Points et plans antiprincipaux
Les plans antiprincipaux sont des plans de front conjugués tels que le grandissement
transversal est de γ=-1. Leurs intersections avec l’axe sont les points antiprincipaux, notés π et
π’.
Compte tenu de cette définition, l’expression du grandissement transversal conduit à :
γ=
FH F ' H '
=
= −1 donc Fπ = − FH et F ' π ' = − F ' H '
Fπ
F 'π '
Les points antiprincipaux objet et image sont respectivement symétriques des points
principaux par rapport aux foyers.
12.6 Distances focales
On appelle distance focale image du système centré la distance entre le plan principal image
et le foyer image, c’est-à-dire :
f ' = H 'F '
On appelle distance focale objet du système centré la distance entre le plan principal objet et
le foyer objet , c’est-à-dire :
f = HF
12.6.1 Rapport des distances focales
À l’objet (HI) du plan principal objet correspond l’image (H’I’) telle que H’I’=HI. Au rayon
incident parallèle à l’axe et dont le support passe par I, il correspond le rayon émergent dont
le support est (I’F’). Le rayon incident précédent rencontre le plan focal objet au foyer
secondaire objet Φ dont l’image est à l’infini dans la direction de (I’F’) comme le décrit la
figure ci-dessous. Un rayon émergent parallèle à (I’F’) et dont le support passe par H’
correspond au rayon incident de support (ΦH).
La relation de Lagrange-Helmholtz appliquée à (HI) et à (H’I’) donne :
n.HI .u = n '.H ' I '.u ' avec HI = H ' I ' donc n.u = n '.u '
Les angles u et u’ étant petits, u ≈ tan u et u’ ≈ tan u’ et on obtient :
u≈
Finalement :
FΦ
H 'I '
n' u F 'H '
H 'F '
et u ' ≈
donc
= =
=−
n u'
HF
F 'H '
HF
HF
H 'F ' f '
n'
=
=−
f
n
HF
Le rapport des distances focales d’un système centré est égal au rapport changé de signe des
indices des milieux extrêmes : les distances focales sont donc toujours de signe opposé.
Toutes les dispositions des quatre points importants (H, H’, F et F’) dits points cardinaux
peuvent être rencontrées, mais dans tous les cas, la relation précédente doit être satisfaite.
Notons que si les milieux extrêmes sont identiques, les distances focales sont égales en valeur
absolue mais de signe opposé : H’F’=-HF si n = n’.
12.6.2 Vergence d’un système centré : convergence et divergence
Le sens positif choisi sur l’axe optique étant le sens de propagation de la lumière, la vergence
du système centré est la quantité algébrique :
V=
n'
n
=−
H 'F '
HF
Pour un système centré à foyers, deux possibilités se présentent :
le système est convergent si la vergence est positive : V > 0 donc f’ > 0 ;
le système est divergent si la vergence est négative : V < 0 donc f’ < 0.
12.7 Constructions géométriques
Un système centré est bien défini lorsque les points principaux conjugués H et H’ et les foyers F
et F’ sont connus. Leur connaissance permet de construire la marche de rayons lumineux et les
images.
12.7.1 Construction géométrique de la marche d’un rayon lumineux
La méthode pour construire la marche d’un rayon lumineux est la même que le système
centré soit convergent (figure 6.12) ou divergent (figure 6.13). On peut utiliser un foyer
secondaire objet ou un foyer secondaire image.
Le support du rayon incident (RA) provenant d’un point A de l’axe optique, incliné d’un angle u
sur cet axe, rencontre le plan principal objet au point I. Le support du rayon émergent passe
par le point I’ conjugué de I et appartenant au plan principal image : HI = H’I’. Il faut trouver
l’image d’un second point du rayon (RA) pour tracer l’émergent. Pour cela, on peut utiliser
l’une des deux possibilités suivantes.
Première possibilité : utiliser un rayon incident passant par F.
On trace le rayon incident (R1) passant par le foyer principal objet F et parallèle au rayon
donné (RA). Le support de ce rayon coupe le plan principal objet en K ; le rayon émergent
correspondant est parallèle à l’axe et passe par K’, image de K dans PPI et donc situé à la
même hauteur que K, et rencontre le plan focal image en un point foyer image secondaire Φ’.
Tous les rayions parallèles à R1 (et donc RA) ont un conjugué qui passe par Φ’. L’émergent
cherché, conjugué du rayon incident (RA) passe donc par Φ’ et on peut terminer la
construction.
Deuxième possibilité : utiliser un rayon parallèle à l’axe
Le rayon donné (RA) coupe le plan focal objet en un point foyer objet secondaire Φ. Soit (R2) un
rayon incident parallèle à l’axe passant par ce foyer objet secondaire. Le support de ce rayon
rencontre le plan principal objet en J et a pour image un rayon passant par l’image J’ de J
située dans PPI à la même hauteur que J. Le rayon conjugué de (R2) passe en plus par le foyer
principal image F’ et on peut donc le tracer. Les deux rayons émergents, conjugués de (RA) et
de (R2) doivent être parallèles puisque ces rayons passent par un foyer secondaire Φ dont
l’image est à l’infini, ce qui permet de tracer le conjugué de (RA).
Un seul de ces deux tracés suffit pour déterminer l’image A’ d’un point objet A de l’axe.
12.7.2 Construction de l’image d’un petit objet plan
12.8 Relations de conjugaison et de grandissement des systèmes centrés
12.8.1 Origine double aux foyers objet F et image F’
Le support d’un rayon incident parallèle à l’axe optique et passant par B (sommet de l’objet)
rencontre les plans principaux objet et image respectivement en I et I’. L’émergent
correspondant passe par le foyer principal image F’.
Le support d’un second rayon incident passant par B et par le foyer principal objet F
rencontre les plans principaux objet et image respectivement en J et J’. Il émerge du système
parallèlement à l’axe et rencontre le premier rayon en B’.
Avec les notations de la figure, l’homothétie des triangles (FAB) et (FHJ) d’une part, et celle
des triangles (F’H’I’) et (F’A’B’) d’autre part donnent : γ = HJ = FH et γ = A ' B ' = F ' A '
AB
FA
Et on obtient donc pour le grandissement transversal les expressions :
H 'I '
F 'H '
γ=
A ' B ' F ' A ' FH
=
=
AB
F ' H ' FA
La relation de conjugaison de Newton se déduit de l’expression du grandissement précédente :
FA.F ' A ' = FH .F ' H ' = ( − f ) . ( − f ') = f . f ' < 0
12.8.2 Origine double aux points principaux
Avec les notations de la figure précédente, l’homothétie des triangles (BIJ) et (FHJ) d’une
part, celle des triangles (F’H’I’) et (B’I’J’) d’autre part, conduisent à :
HF JH
HF JH
H 'F ' I 'H '
H ' F ' HI
soit
et
soit
=
=
=
=
IB
JI
HA JI
J 'B' I 'J '
H ' A ' JI
L’addition membre à membre de ces deux relations conduit à :
HF H ' F ' JH + HI JI
+
=
=
=1
HA H ' A '
JI
JI
En multipliant les deux membres de cette équation par la vergence, on obtient :
HF n
H 'F ' 
n'  
n' 
n
+
.
. −
 = −
=
HA HF H ' A '  H ' F '   H ' F '  HF
La formule de conjugaison avec origine double aux plans principaux du système centré dans
l’approximation de Gauss est donc :
HF H ' F '
ou encore :
n
n'
n'
n
HA
−
H ' A'
=−
H 'F '
=
HF
HA
+
H ' A'
=1
Comme dans les instruments les milieux extrêmes sont souvent identiques n=n’ (le système
étant baigné dans l’air), la formule de conjugaison se simplifie en :
1
1
1
1
−
=−
=
HA H ' A '
H ' F ' HF
Ces formules sont analogues à celles du dioptre mais le sommet S s’est dédoublé en H et H’.
La formule de conjugaison précédente permet d’obtenir une nouvelle expression pour le
grandissement linéaire transversal :
n
n'
n
−
=
HA H ' A ' HF
Donc :
n
n
n'
−
=
HA HF H ' A '
nHF − nHA
n'
=
HAHF
H ' A'
(
n FH + HA
)=
n'
H ' A'
HAFH
n FA
n'
.
=
HA FH H ' A '
Soit :
n 1
n'
=
HA γ H ' A '
On en déduit la nouvelle expression du grandissement transversal : γ = A ' B ' = n H ' A '
AB
n ' HA
Le rapport de convergence ou grandissement angulaire γα (qui est le rapport des inclinaisons
sur l’axe du rayon émergent passant par le point image A’ et du rayon incident correspondant
passant par A) vaut, compte tenu de la relation de Lagrange-Helmholtz :
γα =
u ' n AB
n 1
=
puisque γ α =
u n ' A' B '
n' γ
12.9 Résumé : formules de conjugaison et du grandissement des systèmes centrés
Connaissant les caractéristiques d'un système optique centré, à savoir les positions de ses
foyers et de ses points principaux (points cardinaux), on peut déterminer l'image d'un
objet AB soit par le calcul, soit graphiquement :
En effet, on démontre que les positions de A et de A´ sont liées par la formule de
conjugaison :
1
1
1
H ' A'
−
HA
=
H 'F '
Le grandissement du système est quant à lui donné par :
La formule de conjugaison de Newton quant à elle devient :
G=
A' B ' H ' A'
=
AB
HA
FA.F ' A ' = H ' F '.HF
Remarque : cette dernière relation montre bien que H et H’ sont conjugués.
Pour comprendre ces relations, on
peut partir de la correspondance
objet-image dans une lentille mince et
découper par la pensée le système en
passant par le milieu de la lentille, en
écartant l'espace objet de l'espace
image d'une certaine distance sans
modifier le tracé des rayons en entrée
et en sortie.
12.10 Points nodaux
12.10.1 Définitions
Ces points ne sont pas indispensables pour définir un système centré, mais ils sont souvent
très utiles.
Les points nodaux d’un système centré à foyers sont deux points conjugués de l’axe pour
lesquels le rapport de convergence ou grandissement angulaire γα(NN’) vaut +1, donc le
grandissement linéaire transverse vaut γ (NN’) = n/n’, donc u = u’. Si n=n’, on voit que les
points nodaux sont confondus avec les points principaux (puisque γ (NN’) =1).
Si N est le point nodal objet et N’ son conjugué, le point nodal image, tout rayon incident dont
le support passe par le plan nodal objet N fournit un rayon émergent qui lui est parallèle et
passe par le point nodal image N’.
12.10.2 Existence et unicité des points nodaux
Si le support d’un rayon incident parallèle à l’axe rencontre le plan focal objet en un point B, le
plan principal objet en I, le rayon émergent (I’F’) passe par le point I’ du plan image (HI=H’I’) et
par le foyer image F’ (propriété des plans principaux et des foyers).
À un rayon incident (BN) de support parallèle à (I’F’) (et qui définit la position du point N,
intersection de l’axe avec la parallèle à I’F’ menée par B) correspond un rayon émergent
(N’B’∞) parallèle à (I’F’) car B est un foyer secondaire.
Le couple de points N et N’ est tel qu’un rayon particulier (BN) donne un émergent (B’N’)
parallèle à (BN).
Ces points ne dépendent pas du rayon incident (BN), c’est-à-dire de la position de B dans le
plan focal objet. En effet, les triangles (BFN) et (I’H’F’) sont toujours égaux et semblablement
orientés, donc :
FN = H ' F '
Par conséquent, le point N est fixé indépendamment de la direction de l’incident (BN) choisi. Il
en est de même de son conjugué N’ et on a :
F ' N ' = HF
En supposant qu’une autre méthode de construction donne un autre couple de points nodaux,
deux rayons incidents parallèles, l’un passant par M et l’autre par N, donneraient deux rayons
émergents parallèles passant par M’ et N’. Le système serait alors afocal, ce qui est
contradictoire.
12.10.3 Interstice du système optique centré
Un système optique focal possède toujours un couple unique de points nodaux positionnés
par rapport aux points focaux par :
FN = H ' F ' et F ' N ' = HF
On peut écrire :
HN = HF + FN et H ' N ' = H ' F ' + F ' N '
On obtient donc :
HN = HF + FN = HF + H ' F ' = f + f '
H 'N ' = H 'F '+ F 'N ' = f + f '
Comme :
On a :
NN ' = NF + FH + HH ' + H ' N '
(
) (
)
NN ' = HH ' + H ' F ' − FN + F ' N ' − HF = HH ' + 0 + 0 = HH '
La distance entre les points nodaux est donc égale à la distance entre les points principaux :
c’est une caractéristique du système optique centré, appelé l’interstice :
NN ' = HH '
Cas particulier important
Lorsque les milieux extrêmes sont identiques (n=n’), la relation de Lagrange-Helmholtz
conduit à :
N ≡ H et N ' ≡ H '
Les points nodaux et les points principaux sont confondus.
12.10.4 Résumé
Par construction, le point nodal objet N est un point de l’axe optique situé à une
distance égale à la distance focale image du foyer objet F :
FN = H ' F ' = f '
De la même manière, le point nodal image N’ est un point de l’axe optique situé à
une distance égale à la distance focale objet du foyer image F’ :
F ' N ' = HF = f
C
C’
Propriétés :
Les points nodaux N et N' sont deux points conjugués de l'axe optique.
En effet, par définition des points nodaux :
FN .F ' N ' = H ' F '.HF
qui n’est autre que la relation de conjugaison de Newton avec A=N et A’=N’.
Les points nodaux sont tels qu'à tout rayon incident passant par N corresponde un rayon
émergent passant par N' , parallèle au rayon incident.
En effet, sur la figure précédente ou la figure ci-dessous, on a :
C
C’
HC = H ' C '
HN = H ' N ' = f + f '
donc les triangles CHN et C’H’N’
sont semblables et les rayons CN
et C’N’ sont parallèles.
Remarque : pour les systèmes optiques à milieux d'entrée et de sortie identiques (par exemple
dans l'air) les points nodaux sont confondus avec les points principaux, soit N=H, N'=H'.
12.10.5 Constructions à l'aide des trois rayons particuliers
On considère toujours un objet AB avec A sur l'axe optique et B en dehors, son image associée
sera A'B'.
Pour diminuer les risques d'erreur, il est préférable de tracer les trois rayons particuliers
suivants :
Le rayon issu du point B parallèle à l'axe optique émerge à partir du plan principal image à
la même hauteur, en passant par le foyer image F'.
Le rayon issu de B passant par le foyer objet F émerge parallèlement à
l'axe optique, à partir du point du plan principal image situé à la même
hauteur que l'intersection du rayon incident avec le plan principal objet.
Le rayon issu de B passant par le point nodal N ressort parallèlement à
lui-même à partir du point nodal N'.
Exemples de constructions :
L’image est virtuelle.
L’image est virtuelle.
Illustration : la loupe
La loupe est un instrument de courte focale (typiquement 2 cm) qui permet d’augmenter
l’angle sous lequel on voit un objet. En effet pour distinguer les détails les plus fins d’un objet,
un observateur doit placer ce dernier au punctum proximum (dm -25 cm pour un œil normal).
Dans ce cas l’angle sous lequel il voit l’objet est maximal. La loupe est souvent constituée
d’une lentille épaisse convergente au foyer objet de laquelle on place l’objet. L’image est alors
à l’infini ne nécessitant pas d’effort d’accommodation.
L’angle apparent sous lequel est vu un objet à l’œil nu situé à une distance d est :
A travers la loupe, l’image à l’infini est vue sous l’angle :
On définit alors le grossissement de la loupe comme le rapport des angles :
Dans le commerce, une loupe portant par exemple l’indication 10× correspond donc à une
loupe de grossissement dit « commercial ».
En effet, l’angle apparent sous lequel est vu l’objet dépend de la distance d entre l’objet est
l’oeil de l’observateur et si l’objet n’est pas au foyer objet de la loupe, l’angle apparent sous
lequel on observe l’image dépend de la distance objet-foyer objet. Aussi dans un soucis de
normalisation, en considérant l’objet se trouvant à la distance standard dm qui est le
minimum de vision distincte d’un œil normal et en supposant l’objet au foyer de la loupe, le
grossissement défini par :
s’appelle le grossissement commercial.
On peut également utiliser la notion de puissance optique d’un instrument. Elle est définie
comme le rapport entre moins la tangente de l’angle sous lequel est vue l’image (- tan α’)
par la taille de l’objet y :
La puissance s’exprime en dioptrie. Dans des conditions normales d’utilisation de la loupe
(objet au foyer de la loupe) la puissance est dite « puissance intrinsèque » :
Le grossissement commercial s’exprime donc comme :
Marche des rayons et image d’un objet dans une loupe
Image d’un objet AB par une loupe épaisse
Marche d’un faisceau lumineux issu de
B à travers une loupe épaisse
Représentation d’une loupe par une
lentille mince
12.10.5 Points antinodaux
Les points antinodaux sont des points conjugués de l’axe optique, notés ν et ν’ pour lesquels le
rapport de convergence est γα=-1 soit :
γα =
u' n 1
=
= −1
u n' γ
donc :
γ =−
n FH
F 'ν '
=
=
n ' Fν F ' H '
d’où on déduit :
Fν = −
et :
F 'ν ' = −
n'
FH = F ' H ' = − FN
n
n
F ' H ' = FH = − F ' N '
n'
Les points antinodaux objet et image sont respectivement les symétriques des points nodaux
objet et image par rapport aux foyers correspondants.
12.11 Associations de deux systèmes centrés quelconques de même axe
Un système centré est une succession de systèmes élémentaires, des dioptres ou éventuellement un miroir (ou plus moyennant quelques astuces technologiques, comme un trou
dans le premier miroir). Chacun peut être décrit par la seule donnée de ses foyers et de ses
points principaux. Pour trouver les foyers et plans principaux du système entier, qui suffiront à
le caractériser, l'on procède par récurrence en remplaçant deux systèmes par un seul ; c'est la
problématique des paragraphes qui suivent.
12.10.1 Recherche des foyers et points principaux.
Notations
Soient deux systèmes traversés successivement par la lumière ; le premier est caractérisé par
ses foyers objet et image F1 et F’1 et ses points principaux objet et image H1 et H’1, son espaceobjet a un indice de réfraction noté n et son espace image, qui est l'espace objet du second
système, a un indice de réfraction noté N ; le second est caractérisé par ses foyers objet et
image F2 et F'2 et ses points principaux objet et image H2 et H'2, son espace-objet, qui est
l'espace-image du premier système, a l'indice de réfraction N (cf juste avant) et son espaceimage a un indice de réfraction noté n'. Ces huit points et trois indices, qui sont les données
du problème, sont parfaitement arbitraires pourvu qu'ils vérifient (cf supra) :
La position relative des deux systèmes est repérée soit par la donnée de ∆=F’1F2 appelée
intervalle optique, soit par la donnée de e = H’1H2 appelée épaisseur optique (plus rarement
interstice optique). Tout ceci est résumé par la figure ci-dessous où une mini-légende indique
les sens positifs sur l'axe transversal et angulaire. Par convention, sur cette figure, l'on a
arrêté, pour chacun des deux systèmes, les rayons-objets au plan principal objet et non au
premier dioptre rencontré (et non dessiné) et commencé les rayons-images au plan principal
image et non au dernier dioptre rencontré (et non dessiné lui non plus).
Recherche des foyers.
Le foyer-image F’ du système équivalent à l'association des deux systèmes élémentaires est,
par définition, l'image du point-objet à l'infini dans la direction de l'axe, dont l'image par le
premier système est, par définition, F’1 ; F’ est donc l'image par le second système de F’1. La
formule de NEWTON relative à la conjugaison pour le second système donne alors :
En notant les distances focales objet et image du second système f2 = H2F2 et f’2 = H'2F2 et
l'intervalle optique ∆= F’1F2, on arrive ainsi à :
ce qui donne la position du foyer-image du système équivalent.
Par un raisonnement symétrique, le foyer-objet F du système équivalent a pour image par le
premier système le foyer-objet du second et la formule de NEWTON aboutit alors à :
Recherche des plans principaux.
Pour trouver les plans principaux, nous allons nous servir de la propriété qui nous a servi à les
introduire : un rayon-objet parallèle à l'axe recoupe le rayon émergent correspondant dans le
plan principal image et un rayon-image parallèle à l'axe recoupe le rayon incident
correspondant dans le plan principal objet (cf supra).
Sur la figure précédente, le rayon-objet parallèle à l'axe coupe en I le plan principal objet du
premier système qui en donne donc un rayon-image, servant de rayon-objet au second,
passant par I' (avec H1I = H’1I') et son foyer-objet F'1 et coupant en J le plan principal objet du
second système qui en donne donc un rayon-image passant par J' (avec H2J = H'2J') et F',
image de F'1 par le second système (donc le foyer objet du système équivalent, cf supra) et
coupant par construction le plan principal image du système équivalent en K' tel que H'K' =
H’1I'.
Les égalités :
entraînent que :
La formule de THALÈS appliquée aux droites H2F'H' et J'F'K' entre les parallèles H'K et H'2J'
donne :
En confrontant les trois résultats précédents, on en déduit que :
qui donne de façon brute la position du point principal image H' du système équivalent car
tous les autres points qui y figurent sont des données du problème, hormis F' qui en a été
déduit plus haut.
C'est d'autant plus agréable que cette position est donnée au travers de la distance focale
image du système équivalent, soit f' = H'F'. Mettons en forme, après inversion de signe
générale :
On note f’1= H’1F’1[ (cf supra) ; on a :
(avec, cf supra, H2F2 = f2 et F’1F2 = ∆) ; on a enfin, en reportant le résultat concernant la
position de F‘ :
En reportant dans le résultat brut qui précède, on arrive à :
On montre symétriquement que :
qui donne, pour le système équivalent dont on a déjà placé le foyer-objet F, la distance
focale-objet et la position du point principal objet.
12.10.2 Formule de Gullstrand
Cette dernière formule, généralisant celle obtenue pour l’association de lentilles minces,
porte le nom de formule de Gullstrand :
1
∆
1
1
e
=−
=
+
−
f'
f '1 f '2 f '1 f '2 f '1 f '2
où l’interstice vaut cette fois :
∆ = F '1 F2 = F '1 H1 + H1 H 2 + H 2 F2
= H1 H 2 − H1 F '1 − H 2 F '2 = e − f '1 − f '2
13 étude sommaire de quelques systèmes centrés
13.1 l’œil comme système optique
L’œil est dit normal (emmétrope) quand l’image A’ d’un objet A très éloigné se forme sur la
rétine. Pour un œil normal au repos, le foyer image Fo’ est donc sur la rétine, ou plus
exactement au centre de la fovéa.
Si on rapproche l’objet, l’œil étant toujours au repos, son image
se déplace et se forme en arrière de la rétine.
Pour voir nettement cette image, le cristallin se déforme
sous l’effet des muscles, et sa distance focale varie de
manière à ramener le foyer image sur la rétine et à
considérer l’objet A à l’infini.
On dit que l’œil « accommode ».Ce phénomène se
poursuit jusqu’à une distance minimum où l’ œil ne peut
plus former l’image sur la rétine. Cette valeur représente
la distance minimale de vision distincte dm : le point A
correspondant est le « punctum proximum » ( P.P.).
En résumé, l’œil normal peut voir nettement des objets depuis un punctum remotum (P.R.),
qui est à l’infini, jusqu’à un « punctum proximum » (P.P.) distant de l’œil d’environ 25 cm.
La myopie est une anomalie de la vision pour
laquelle les rayons parallèles forment leur foyer en
avant de la rétine. Dans ce cas, les objets lointains
apparaissent flous et le sujet a donc des difficultés
à voir de loin. Dans un œil myope, la vergence est
trop forte comparée à sa longueur et le punctum
remotum n'est plus à l'infini. Le punctum
proximum suit également ce décalage, ce qui fait
qu'une personne myope peut voir de manière
nette des objets très rapprochés.
La myopie se corrige en plaçant devant l‘œil une
lentille divergente de telle manière que le système
verre/œil ait son foyer image sur la rétine. L'idée
est donc ici de faire légèrement diverger les
rayons incidents. En fait, on choisit le verre
correcteur de telle manière que la vergence du
système lunette/œil soit la même que celle de
l‘œil non corrigé.
Les petites myopies de -0,25 à -3 dioptries de
correction ; Les moyennes myopies de -3 à -8
dioptries ; Les fortes myopies au-delà de -8
dioptries
L'hypermétropie est le défaut de l‘œil dans lequel les
rayons parallèles provenant d'un objet lointain
forment une image en arrière de la rétine. Cette
anomalie peut être due à une courbure trop faible de
la cornée ou bien à un raccourcissement de l‘œil qui
fait que le cristallin est trop proche de la rétine (les
personnes hypermétropes peuvent d'ailleurs corriger
temporairement leur défaut en appuyant légèrement
autour de l‘œil, ce qui a pour effet de bomber la
cornée).
Pour voir nettement, un hypermétrope doit donc en permanence augmenter la puissance
de son cristallin en accommodant, ce qui exige des efforts oculaires constants et « fatigue »
très vite la vision. S'il accommode déjà en vision lointaine, l‘œil hypermétrope est donc
rapidement limité en vision rapprochée. En d'autres termes, le punctum proximum est plus
éloigné que pour l‘œil emmétrope (pour lequel on le considère égal à 25 cm). Une personne
hypermétrope voit donc mieux de loin que de près.
Pour corriger ce défaut, on introduit devant l‘œil une
lentille convergente, afin de « rabattre » d'autant plus
les rayons pénétrant dans l‘œil. Cette lentille forme de
la scène extérieure une image virtuelle plus éloignée
que l'objet. Les objets trop proches sont donc «
ramenés » au-delà du punctum proximum, ce qui fait
que l‘œil peut les voir convenablement.
13.2 Lentilles sphériques épaisses
Une lentille épaisse est formée par l’association de deux dioptres sphériques ou un dioptre
sphérique et un dioptre plan. La distance e=S1S2 des sommets des deux dioptres sphériques
n’est pas négligeable par rapport aux rayons de courbures.
Le stigmatisme approché est réalisé dans les conditions de gauss, supposées satisfaites dans
la suite.
13.2.1 Centre optique d’une lentille à milieux extrêmes identiques
Lorsque les milieux extrêmes sont identiques, la connaissance du centre optique facilite
beaucoup l’étude du système optique.
Définition
Le centre optique d’une lentille épaisse est un point de son axe principal tel que tout rayon
passant par ce point émerge parallèlement à sa direction incidente
Existence et unicité du centre optique
Pour que le rayon incident (A1I1), passant par un point quelconque I1 de la face d’entrée, autre
que le sommet S1, émerge selon une direction parallèle (I2A2), il faut et il suffit que les plans
tangents en I1 et I2 aux faces respectives de la lentille soient parallèles. Les normales à ces
plans (C1I1) et (C2I2) sont alors parallèles. Le rayon intermédiaire (I1I2), intérieur à la lentille
épaisse, coupe l’axe en un point O. Pour ce rayon lumineux, la lentille joue le rôle d’une lame
à faces parallèles.
Si cette condition est réalisée, le point d’intersection O de l’axe et du segment de droite (I1I2)
est le centre optique.
Compte tenu du parallélisme (C1I1) et (C2I2), on peut écrire :
OC1 I1C1 S1C1
=
=
OC2 I 2C2 S2C2
Le point O partage donc le segment (C1C2) dans un rapport algébrique déterminé. Le point O
ainsi obtenu (intersection de (I1I2) avec l’axe) est indépendant du point I1 particulier choisi, il
est donc unique et fixe.
Position du centre optique par rapport aux sommets
En transformant le rapport précédent, fixant la position du centre optique O, on obtient :
OC1 S1C1 OC1 − S1C1 OC1 + S1C1
=
=
=
OC2 S 2C2 OC1 − S1C1 OC1 + S1C1
Soit :
OS1 C1S1 C1O
=
=
OS2 C2 S2 C2O
D’après cette relation, le point O divise le segment (S1S2) dans le rapport algébrique des rayons
de courbure de la face d’entrée et de la face de sortie :
S1O S2O
S1S2
=
=
(*)
S1C1 S2C2 S1C1 − S2C2
Le centre optique est rejeté à l’infini si les rayons de courbure sont égaux : S1C1=S2C2.
Les schémas suivants précisent la position du centre optique pour les six types de lentilles :
si la lentille est symétrique, le centre optique O est le centre de symétrie ;
si la lentille n’est pas symétrique, le centre optique O est plus rapproché de la face la plus
courbe (de plus petit rayon de courbure) ;
si une des deux faces est plane, O est au sommet de la face courbe ;
dans le cas des ménisques, le centre optique est extérieur au segment (S1S2).
13.2.2 Éléments cardinaux d’une lentille épaisse
Points nodaux et points principaux
Si un rayon incident (A1I1) donne un rayon (I1I2) intérieur à la lentille passant par le centre
optique, le rayon émergent (I2A2) lui est parallèle (cf. figures précédentes). Les intersections
respectives avec l’axe sont donc les points nodaux objet N et image N’ : N admet O comme
image par le premier dioptre et N’ est l’image de O par le second dioptre (et O appartient
optiquement au verre de la lentille).
On a donc, en utilisant la relation de conjugaison du dioptre sphérique :
D’où, en utilisant (*) :
on obtient :
(
1
n
1− n
−
=
S1 N S1O S1C1
)
n S1C1 − S2C2
1
n −1
=
−
S1 N
S1S2 .S1C1
S1C1
S1 N =
On obtient pareillement :
S1S2 .S1C1
(
)
n S1C1 − S2C2 − S1S2 ( n − 1)
S2 N ' =
S1S 2 .S 2C2
(
)
n S1C1 − S2C2 − S1S2 ( n − 1)
Comme les milieux extrêmes sont identiques, les points principaux objet et image sont
respectivement confondus avec les points nodaux N et N’.
La distance entre les points nodaux ou les points principaux (interstice) est :


S1C1 − S2C2
+ 1 = HH '
NN ' = S1S2 
 n S1C1 − S2C2 − S1S2 ( n − 1) 


(
)
En conclusion, le centre optique de la lentille O a pour conjugués, à travers les deux dioptres,
les points nodaux de la lentille, confondus avec les points principaux.
Foyers, vergence et distances focales
Les foyers principaux images du dioptre {S1}, du dioptre {S2} et de la lentille sont notés F’1, F’2
et F’.
Par définition, le foyer image F’ est le point dont le conjugué objet est à l’infini ; ce point objet
à l’infini a pour conjugué dans le premier dioptre le foyer image F’1 de ce dioptre. La
transformation de conjugaison transcrite en appliquant la relation de Newton conduit à :
{ S1 }
{ S2 }
A∞ 
→ F '1 
→ F ' soit F2 F '1.F '2 F ' = f 2 . f '2
(1, n )
( n ,1)
On en déduit :
où ∆ est l’intervalle optique :
F '2 F ' =
f 2 . f '2 f 2 . f '2
=
−∆
F2 F '1
∆ = F '1 F2 = F '1 S1 + S1S 2 + S 2 F2 = f 2 + e − f '1
avec (cf. étude du dioptre sphérique):
S1 F '1 =
n.S1C1
n.S 2C2
et S 2 F2 =
n −1
n −1
Par définition, le foyer objet F est le point dont le conjugué image est à l’infini. La
transformation optique est :
{ S1 }
{S2 }
F 
→ F2 
→ A '∞ soit F1 F .F '1 F2 = f1. f '1
(1, n )
( n ,1)
d’où :
F1 F =
f1. f '1 f1. f '1
=
∆
F '1 F2
Les vergences des deux dioptres étant :
n
n −1
n −1
1
=
et
=−
S1 F '1 S1C1
S 2 F '2
S 2 C2
L’application de la relation de Gullstrand à l’association de deux dioptres (avec H’1H2=S1S2=e)
conduit à :
1
n
1
e n
1
H 'F '
=
S1 F '1
+
S2 F '2
− .
n S1 F '1 S2 F '2
En tenant compte des relations précédentes, on obtient la vergence de la lentille dans l’air,
inverse de la distance focale image :
2
 1
1
1  ( n − 1)
S1S 2
= ( n − 1) 
−
+
n
H 'F '
S1C1 − S 2C2
 S1C1 S 2C2 
Le premier terme est indépendant de l’épaisseur, le second (appelé terme d’épaisseur) est
proportionnel à l’épaisseur e.
Les indices des milieux extrêmes étant égaux à 1, on a :
H ' F ' = − HF
13.3 Systèmes afocaux
Par définition un système afocal ne possède pas de plans principaux et ses foyers sont à
l’infini. C’est le cas lorsque on associe deux systèmes centrés tel que F’1 est confondu avec F2.
Dans ce cas ∆=0.
Pour un tel système l’image d’un objet à l’infini est à l’infini. Pour un objet réel ou virtuel les
grandissements sont indépendants de la position de l’objet :
et
13.4 Doublets de lentilles minces
Les doublets sont des systèmes centrés constitués de deux lentilles minces (L1 et L2),
séparées par de l’air d’une distance e=O1O2, que l’on caractérise par trois nombres entiers
(positif ou négatifs) m,n,p tels que :
où a est l’unité de longueur du doublet.
En utilisant la formule de Gullstrand on obtient la vergence du doublet :
La position des plans principaux est donnée par :
Doublets de Huygens (à gauche) et de Ramsden (à droite)
Doublet de Huygens (3,2,1)
On obtient :
La construction géométrique permet de vérifier ces résultats. On remarque ici que le foyer
objet du doublet n’est pas réel.
Doublet de Ramsden (3,2,3)
Ce doublet est symétrique. De la même façon que précédemment on obtient :
13.5 Les oculaires
Les oculaires sont des doublets (association de deux lentilles minces) qui sont utilisées
préférentiellement aux loupes pour aider l’œil dans l’observation d’objets à travers différents
instruments. Ils permettent d’observer en même temps que l’objet situé dans le plan focal,
un réticule de visée donnant ainsi une mesure directe sur l’image.
L’intérêt de l’usage d’une loupe ou d’un oculaire se comprend en considérant le pouvoir
séparateur de l’œil.
Un œil standard a un pouvoir séparateur angulaire δθ∼1’=3.10-4 rad, soit au minimum de
vision distinct (d=dm=-25cm) une distance minimale entre deux objet ponctuels
δymin=dmδθ∼75μm. A travers une loupe de puissance intrinsèque Pi ou de grossissement
commercial Gc la taille du plus petit objet visible devient :
Pour une loupe ou un oculaire de longueur focale de 2 cm, des objets de 6 μm seront alors
visibles.
13.6 Le microscope
Le microscope est un exemple typique de
l’association de deux systèmes centrés
distincts. Le premier, l’objectif, assimilé à
une lentille convergente, donne d’un petit
objet une image très agrandie qui est
observée à travers un second système,
l’oculaire, également assimilé à une lentille
convergente ou loupe. L’image définitive
est beaucoup plus grande que l’objet.
Dans des conditions d’utilisation idéale, l’image A’B’ de l’objet à travers l’objectif se trouve
dans le plan focal objet de l’oculaire. Ainsi, l’image finale A’’B’’ se trouve à l’infini permettant
une observation sans effort d’accommodation.
13.7 La lunette astronomique
Comme le microscope, cet instrument se compose de deux systèmes que nous supposerons
réduits à deux lentilles minces convergentes : l’objectif et l’oculaire.
Le rôle de l’oculaire est le même que dans le microscope : il sert de loupe pour l’observation
de l’image donnée par l’objectif, sa distance focale est encore de l’ordre de quelques
centimètres.
Par contre, l’objectif diffère essentiellement de celui du microscope : il fournit de l’objet à
l’infini une image dans son plan focal image qui est d’autant plus grande que la distance
focale de l’objectif est elle-même plus grande. L’objectif atteint de très grandes dimensions
pour les lunettes des observatoires : jusqu’à un mètre d’ouverture et 20 mètres de distance
focale.
Le rôle d’une lunette astronomique est d’augmenter l’angle sous lequel on voit un objet
étendu tel qu’une planète mais aussi de collecter le maximum de lumière provenant d’un
objet ponctuel tel qu’une étoile. Le système comporte en général un système optique
convergent de grande focale (f’1~1m), l’objectif, qui donne d’un objet éloigné une image dans
son plan focal image. Est associé à l’objectif, un oculaire (f’2~1cm) au foyer image duquel
l’observateur place son œil ou un système de détection (appareil photographique, caméra
CCD, …). Le système peut être afocal.
13.8 La lunette de Galilée
La lunette de Galilée est constituée de deux systèmes réduits à des lentilles : l’objectif
assimilé à une lentille convergente et l’oculaire assimilé à une lentille divergente. Mais
contrairement à la lunette astronomique, la distance focale de l’objectif n’est pas grande, de
l’ordre de quelques centimètres.
13.9 Le télescope
C’est un instrument analogue à la lunette astronomique, servant à observer les astres, mais
dans lequel les constituants de l’objectif ne sont plus des lentilles mais des miroirs, le miroir
principal est concave et le miroir secondaire pouvant être plan, convexe ou concave.
Le miroir concave principal M1 est placé de telle sorte que son axe optique soit dirigé vers le
centre de l’astre à observer. Les faisceaux de rayons incidents parallèles sont réfléchis en
convergeant vers le plan focal image du miroir M1. L’oculaire devrait être placé dans ce plan
focal mais ceci est difficile à réaliser car on se placerait sur le chemin des rayons incidents.
C’est pourquoi on utilise un second miroir M2, beaucoup plus petit, qui forme l’image
définitive en dehors du faisceau incident. Cette image réelle est reçue sur un détecteur ou
observée à l’aide de l’oculaire.
L’image A1 de A, sur l’axe, donnée par le miroir principal se forme au foyer image de ce
miroir et l’image A2 de A1 donnée par le miroir secondaire est placée au foyer objet F3 de
l’oculaire qui en donne une image définitive A’ à l’infini regardée sans accommodation par
l’observateur.
La figure suivante donne le schéma d’un télescope utilisant comme miroir secondaire un
miroir plan : c’est le télescope de Newton.
L’utilisation comme miroir secondaire de miroirs convexe ou concave nécessite de percer
une ouverture au sommet du miroir principal pour laisser passer le faisceau réfléchi par ce
miroir, comme le montrent les figures suivantes.
Dans le montage de Cassegrain le miroir secondaire convexe doit être placé avant le foyer
image F’1 du miroir principal pour que le faisceau réfléchi soit convergent.
Le miroir secondaire concave du télescope de Gregory est placé après le foyer image F’1
du miroir principal.
On utilise en général les télescopes avec des miroirs secondaires convexes ou concaves
en les réglant, en déplaçant le miroir secondaire, de sorte que l’image A2B2 donnée par
les deux miroirs de l’objectif se forme dans le plan tangent en S1 au miroir M1.
Par ailleurs, les astres étant très éloignés, les angles d’incidence sur les miroirs sont
faibles et les rayons lumineux sont para axiaux. Le système est donc utilisé dans les
conditions de stigmatisme approché de Gauss.