Chapitre 2.3 – Les miroirs sphériques

Chapitre 2.3 – Les miroirs sphériques
La forme d’un miroir sphérique
Un miroir sphérique est un miroir courbé tel que tout
élément de surface du miroir est à une distance R du
centre de courbure C. Le miroir sphérique correspondra
alors à une tranche provenant d’une coquille sphérique.
Concave :
Réflexion sur la courbure interne de la sphère.
Convexe :
Réflexion sur la courbure externe de la sphère.
miroir
concave
miroir
convexe
vue en coupe
du miroir
R
C
R
Les équations du miroir sphérique
La position d’une image q nette associée à la position d’un objet
p
devant un miroir sphérique dépend uniquement du rayon de
courbure R lorsque l’on applique la
contrainte des rayons
paraxiaux. On peut également définir un foyer f de convergence
des rayons sur un tel miroir :
fqp 111 =+
,
p
q
y
y−=
0
i
et
2
R
f=
où
p
: Distance entre l’objet et le miroir (m)
q
: Distance entre l’image et le miroir (m)
f
: Distance focal du miroir (m)
R
: Rayon de courbure du miroir (m)
yi
C
q
p
yo
R
f
Convention :
•
0
,>R
f
: miroir convave
•
0, <Rf
: miroir convexe
•
0>
p
: objet réel
•
0<p
: objet virtuel
•
0
>q
: image réelle
•
0
<q
: image virtuelle
Image illustrant la convention des signes
en construction …
Image illustrant la convention des signes
en construction …
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Tome C Page 1
Note de cours rédigée par : Simon Vézina

Preuve : (sur miroir concave)
Suivons la trajectoire de trois rayons issus d’un objet
réel qui effectue une réflexion sur un miroir concave
de rayon de courbure R. L’objet est situé à une
distance
o
y
d’un axe optique (passant par le centre du
miroir) et à une distance p du miroir.
Les trois rayons respectant la loi de la réflexion sont :
1) Parallèle à l’axe optique :
11'
θθ
=
2) Vise le centre du miroir :
22
' θ
θ =
3) Passe par le centre de courbure :
0' 33 == θθ
C
Image
réelle floue
1
θ
'
1
θ
2
θ
'
2
θ
0'
33 ==
θθ
R
Objet
réel
p
Puisque les trois rayons ne se croisent pas au même
endroit graphiquement, l’image finale est floue.
Afin de régler cette situation, nous allons introduire
l’approximation des rayons paraxiaux
(approximation de Gauss). Cela consiste à considérer
que l’
ensemble des rayons réfléchis par le miroir
formant l’image sont relativement parallèle à l’axe
optique.
Ainsi :
C
Image
réelle nette
1
θ
'
1
θ
2
θ
'
2
θ
0
'
3
3=
=
θθ
R
Objet
réel
p
 Les angles en jeux sont donc beaucoup plus petit que 1 radian (
rad1
<< θ
).
 Tous les rayons parcourent une distance p parallèle à l’axe optique avant de réfléchir sur le
miroir.
À partir du 1ier rayon, nous pouvons établir la relation
géométrique suivante :
1
θ
α
=
et
'
11
θθβ
+=
(angle alterne interne)
En utilisant la loi de la réflexion (
θθ
='
), nous
pouvons conclure que :
'
11
θθβ +=
⇒
( )
11
θθβ +=
(loi :
11'
θθ =
)
⇒
αβ 2=
(avec
1
θα =
)
C
1
θ
'
1
θ
R
α
β
F
f
p
o
y
Utilisons la définition de la fonction tangente et l’application de l’approximation des rayons paraxiaux
(
( )
θθ ≈tan
car
1<< θ
) afin d’obtenir :
( )
R
y
o
tan = α
donc
R
y
o
≈ α
( )
f
y
o
tan = β
donc
f
yo
≈ β
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Tome C Page 2
Note de cours rédigée par : Simon Vézina

Relions nos deux approximations afin d’établir une relation entre f et R :
f
yo
= β
⇒
()
f
yo
2=
α
(Remplacer
αβ
2=
)
⇒
f
y
R
yo
o
2=
(Remplacer
R
y
o
= α
)
⇒
2
R
f=
■ (1) (Simplifier et isoler f)
À partir du 2ième rayon, nous pouvons établir la
relation géométrique suivante :
( )
p
yo
2
tan = θ
et
()
q
yi
2'tan =
θ
En utilisant la loi de la réflexion (
θθ ='
), nous
pouvons conclure que :
( ) ( )
'tantan 22
θθ
=
⇒
q
y
p
yi
o=
(Remplacer)
⇒
p
q
y
y=
o
i
(Isoler)
C
2
θ
'
2
θ
R
q
i
y
o
y
p
Il est important de remarquer que pour respecter la convention de signe, nous devons formuler la
dernière équation de la façon suivante :
p
q
y
y−=
o
i
■ (2)
(avec convention de signe,
0
i
<y
implique une inversion de l’image)
À partir du 3ième rayon, nous pouvons établir la
relation géométrique suivante :
( )
Rpy
−
=
o
tan
α
et
( )
qRy −
=
i
'tan α
Puisque les deux angles
α
et
'
α
sont des angles
opposés par le sommet, nous pouvons conclure que :
( ) ( )
'tantan αα =
⇒
qRy Rpy −
=
−
i
o
(Remplacer)
⇒
Rp qR y
y
−
−
=
o
i
(Isoler)
C
0'
33
== θθ
R
q
i
y
o
y
α
' α
p
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Tome C Page 3
Note de cours rédigée par : Simon Vézina

Regroupons les deux expressions
o
i/y
y
afin de former l’expression désirée :
Rp qR p
q
−
−
=
⇒
( ) ( )
qRpRpq −=−
(Multiplier par les dénominateurs)
⇒
pqpRqRpq −=−
(Distribution)
⇒
qRpRpq +=2
(Regrouper terme pq)
⇒
( )
qpRpq +=2
(Factorier R)
⇒
pq
q
pq
p
R+=
2
(Diviser par pq)
⇒
pqR 112 +=
(Simplifier)
⇒
fqp 111 =+
■ (3) (Remplacer
2
R
f=
⇒
Rf 21 =
)
Les rayons principaux d’un miroir sphérique
Voici les quatre rayons principaux d’un miroir sphérique en approximation des rayons paraxiaux :
objet
C
F
1
objet
C
F
1
objet
C
F
2
objet
C
F
2
F
objet
C
3
objet
C
F
3
objet
4
C
F
objet
C
F
4
Passe par le centre de
courbure et réfléchi sur lui-
même.
Parallèle à l’axe, est réfléchi
en passant par le foyer. Passe par le foyer, et réfléchi parallèlement à l’axe.
Frappe le centre du miroir et
est réfléchi de façon
symétrique par rapport
à l’axe.
F
C
fp =
C
F
fp −=
C
F
∞=p
C
F
±∞=p
Lorsqu’un objet est situé sur le foyer (p = ± f) du miroir,
tous les rayons réfléchis seront parallèle à l’axe central et
l’image se formera à l’infini (q = ∞).
Lorsqu’un objet est situé à une très grande distance (p = ∞)
du miroir, tous les rayons réfléchis passeront par le foyer et
y formera une image (q = ± f).
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Tome C Page 4
Note de cours rédigée par : Simon Vézina

Situation 2&3 : Le tracé des rayons principaux. Un miroir sphérique concave possède un rayon de
courbure de 8 cm. Un objet réel est situé à yo = 4 mm de l’axe optique, vis-à-vis d’un point situé à
p = 12 cm du miroir. On désire tracer les rayons principaux et déterminer la position de l’image par
les équations.
En effectuant le tracer des rayons principaux, nous obtenons le résultat suivant :
Évaluons la position de l’image à partir de l’équation des miroirs sphériques :
fq
p11
1=+
⇒
( )
2/
111 Rqp =+
(Remplacer
2
R
f=
)
⇒
pRq 121 −
=
(Isoler
q
1
)
⇒
( ) ( )
cm121 cm821 −= q
(Objet réel :
0>p
, Miroir concave :
0>R
)
⇒
1
cm1667,0
1
−
=
q
(Calcul)
⇒
cm6
=q
(Inversion, image réelle car
0>q
)
Évaluons la distance entre l’image et l’axe optique (taille de l’image) :
p
q
y
y−=
o
i
⇒
( ) ( ) ( )
cm12cm6 mm4
i
−=
y
(Remplacer valeurs)
⇒
mm2
i
−=y
(Calcul, image inversée car
0
i<y
)
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Tome C Page 5
Note de cours rédigée par : Simon Vézina