Image d`un objet par une lentille sphérique mince divergente

Chapitre X
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X. IMAGE D’UN OBJET
PAR UNE LENTILLE SPHERIQUE MINCE
DIVERGENTE
Nous reprenons l’étude du chapitre précédent, mais avec une lentille divergente 1 afin de voir ce qui
les différencie des lentilles convergentes. Il s’agit aussi de consolider les connaissances déjà
rencontrées.
A. Analyse qualitative de l’image d’un objet ponctuel
Sur l’axe optique, deux points, le foyer objet et le centre optique, jouent un rôle particulier pour
la position des objets2.
Les positions d’un objet par rapport à une lentille divergente se
F'
O
F
classent donc en trois catégories : avant la lentille, entre la lentille et le
foyer objet, et enfin après le foyer objet (voir la figure 10.1). Ce
classement fait apparaître trois cas particuliers : à l’infini, sur la
lentille et au foyer objet.
fig. 10.1 : les points
particuliers sur l'axe optique
Nous allons commencer par un objet situé à l’infini sur l’axe, puis nous allons le rapprocher de la
lentille, ensuite considérer un objet virtuel3 situé entre la lentille et le foyer objet et enfin
terminer par un objet virtuel situé après le foyer objet.
1
Pour l’action d’une lentille divergente sur les faisceaux lumineux, voir le chapitre VII Les lentilles sphériques,
paragraphe C.3.
2
Pour la définition des foyers image et objet voir le chapitre VIII Foyers des lentilles sphériques minces,
paragraphes C.1.a et C.2.a.
3
Sur les notions de réalité et de virtualité, voir le chapitre V Formation des images dans l’exemple du miroir
plan, paragraphe A.3.a et le chapitre VIII Foyers des lentilles sphériques minces, paragraphe F.
Chapitre X
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1. Objet situé à l’infini sur l’axe
Le faisceau de rayons parallèles est transformé en un
F'
8
A
O
faisceau divergent. L’image est au foyer image et elle est
F
virtuelle. Voir la figure 10.2.
fig. 10.2 : objet situé à l'infini sur l'axe
2. Objet réel
Partant de l’infini, nous rapprochons maintenant l’objet de la lentille.
Comparons les figures 10.2 et 10.3. Le
faisceau incident, qui était parallèle sur la
A
F' A'
O
F
figure 10.2, devient divergent sur la figure
10.3. Le faisceau émergent, qui divergeait en
semblant provenir de F’, devient encore plus
divergent.
fig. 10.3 : objet réel
Conclusion : un objet réel donne une image virtuelle située entre le foyer image et la lentille.
3. Objet situé sur la lentille
F'
O
A A'
F
Lorsque l’objet est situé en O, les rayons lumineux convergeant au
centre optique ne sont pas déviés, donc l’image est, elle aussi, située
en O. Voir la figure 10.4.
fig. 10.4 : objet situé
sur la lentille
Chapitre X
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4. Objet virtuel situé entre la lentille et le foyer objet
F'
O
A F
Nous considérons maintenant un faisceau convergent
A'
frappant la lentille. Il émerge en un faisceau moins
convergent. Voir la figure 10.5.
fig. 10.5 : objet virtuel situé entre la lentille
et le foyer objet
Conclusion : un objet virtuel situé entre la lentille et le foyer objet donne une image réelle.
F'
O
F
A'
8
5. Objet virtuel situé au foyer objet
L’image est à l’infini sur l’axe. Le faisceau convergent est
transformé en un faisceau de rayons parallèles. Voir la figure
10.6.
fig.10.6 : objet virtuel situé
au foyer objet
6. Objet virtuel situé après le foyer objet
Partant du foyer objet, éloignons encore l’objet de
la lentille. Comparons les figures 10.7 et 10.6 :
Puisque sur la figure 10.6 le faisceau convergeant
A'
F'
O
F
A
vers F émerge en un faisceau parallèle, sur la
figure 10.7 un faisceau moins convergent émerge
en divergeant.
Les prolongements des rayons émergents se
fig. 10.7 : objet virtuel situé après le foyer objet
coupent en avant de la lentille.
Conclusion : un objet virtuel situé après le foyer objet donne une image virtuelle.
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7. Conclusion
Un objet réel donne une image virtuelle.
Un objet virtuel situé entre la lentille et le foyer objet donne une image réelle.
Un objet virtuel situé après le foyer objet donne une image virtuelle.
Un objet situé à l’infini donne une image virtuelle située au foyer objet.
Un objet virtuel situé au foyer objet donne une image située à l’infini.
Remarque : Comme nous pouvions nous y attendre, cette étude donne des résultats différents de
ceux des lentilles convergentes. En particulier, les images sont virtuelles sauf lorsque l’objet est
situé entre la lentille et le foyer objet (en mettant à part le cas de l’image à l’infini).
B. Etude quantitative des deux cas objet ou image à l’infini
1. Objet étendu situé à l’infini
a) La situation
La situation est la même que pour une lentille convergente. Il s’agit de décrire un objet étendu
situé à l’infini, peu importe la nature du système optique.
B
8
b) Schéma : figure 10.8.
A
8
B
B'
O
F'
F
fig. 10.8 : objet étendu situé à l'infini
c) Position de l’image
L’objet étant à l’infini, son image est dans le plan focal image.
d) Taille de l’image
Sur la figure 10.8, dans le triangle OF’B’ rectangle en F’, nous calculons :
F ' B '  OF ' tan  B  f tan  B   f ' tan  B .
F ' B '   f tan  B   f ' tan  B
L’image est virtuelle et droite. (L’angle B est positif ainsi que F ' B ' .)
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Remarque : Dans le cas du Soleil et des planètes l’angle B est faible, donc tanB  B (exprimé en
radian), alors : F ' B '  -f ’ B.
2. Image étendue située à l’infini
a) Construction
L’objet étendu est alors virtuel et situé au foyer objet (voir la figure 10.9).
Le faisceau incident convergeant virtuellement vers A n’est pas tracé sur la figure pour ne pas la
brouiller. Ce faisceau incident émerge en un faisceau parallèle à l’axe formant l’image A’.
Le faisceau incident convergeant virtuellement vers B émerge en un faisceau parallèle formant
l’image B’. Chaque point FS de l’objet donne une image située à l’infini dans la direction ’ que
fait l’axe secondaire (FSO) avec l’axe optique. L’image est formée d’un ensemble de faisceaux
parallèles déterminés par des angles ’ compris entre 0 et ’B.
F A
8
'B
O
B'
A'
8
B
fig. 10. 9 : objet étendu situé au foyer objet
b) Position de l’image
L’objet étant au foyer objet, son image est à l’infini.
c) Rayon angulaire de l’image
La taille de l’image est de toute façon infinie. Son étendue est caractérisée par son rayon
angulaire ’B . Sur la figure 10.9, dans le triangle OFB rectangle en F, nous calculons :
tan  'B 
FB
.
FO
L’image est renversée, ce qui se traduit par ’B < 0 :
tan  'B  
FB FB

FO f '
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3. Remarque
Cette étude donne le même type de formules que pour les lentilles convergentes. Seule la
disposition des rayons change ainsi que la nature réelle ou virtuelle des objets et des images.
C. Les trois cas à distance finie
1. La méthode
La méthode est la même que pour les lentilles convergentes. Seules la disposition des rayons et
leurs parties réelles ou virtuelles changent.
Un rayon incident passant réellement ou virtuellement par B et par le centre optique n’est pas
dévié4.
Un rayon incident passant réellement ou virtuellement par B et parallèle à l’axe optique émerge
en passant virtuellement par le foyer image 5.
Un rayon incident passant réellement ou virtuellement par B et passant virtuellement par le
foyer objet émerge parallèlement à l’axe optique6.
2. Les trois schémas
a) Objet étendu réel
B
Une lentille divergente donne d’un objet réel, une image
A
B'
F' A' O
virtuelle, droite, réduite, située entre le foyer image et la lentille.
F
Voir la figure 10.10.
fig. 10.10 : objet étendu réel
Utilisation : les lunettes correctrices pour les myopes (voir le chapitre XI sur l’œil).
4
Voir chapitre VIII Foyers des lentilles sphériques minces, paragraphe A.3.
5
Voir chapitre VIII, paragraphe C.1.b.
6
Voir chapitre VIII, paragraphe C.2.b.
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b) Objet étendu virtuel situé entre la lentille et le foyer objet
B'
Une lentille divergente donne d’un objet virtuel situé entre la
B
lentille et le foyer objet, une image réelle, droite, agrandie. Voir
F'
O AF
A'
la figure 10.11.
fig. 10.11 : objet étendu virtuel
situé entre la lentille et le foyer objet
Utilisation : Ce type de situation nécessite deux lentilles, la première 7 pour former l’objet virtuel
AB. Nous reviendrons sur les associations de lentilles minces dans le chapitre XII.
c) Objet étendu virtuel situé après le foyer objet
B
A'
Une lentille divergente donne d’un objet virtuel situé après
F'
F
O
A
le foyer, une image virtuelle, renversée, réduite ou
agrandie, située avant le foyer image. Voir la figure 10.12.
B'
fig. 10.12 : objet étendu virtuel
situé après le foyer objet
Utilisation : Comme dans le cas précédent, il s’agit d’une association de lentilles minces (voir
chapitre 12).
3. Les relations de conjugaison et de grandissement
B
A
Nous retrouvons sur les trois schémas les trois mêmes paires
I
B'
F' A' O
de triangles semblables. Voir la figure 10.13. Les triangles FOJ
J
et FAB forment une première paire de triangles semblables ;
F
Une deuxième paire est formée des triangles F’A’B’ et F’OI ; Et
enfin la troisième, des triangles OA’B’ et OAB.
fig. 10.13 : les paires de triangles
7
Voir chapitre VIII Foyer des lentilles sphériques minces, paragraphe F.1.
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Donc toutes les relations établies pour les lentilles convergentes restent valables. Par rapport
aux lentilles convergentes, c’est le changement de signe de la distance focale qui fait varier les
résultats.
Selon la position de l’objet, différents cas se présentent qui se traitent tous avec la même méthode.
L’image est virtuelle sauf dans le cas d’un objet virtuel situé entre la lentille et le foyer objet. Les
lunettes correctrices pour myopes sont l’application principale. Les lentilles divergentes sont aussi
utilisées dans des associations de lentilles.
L’étude quantitative nous a conduits aux mêmes relations de conjugaison et de grandissements de
Descartes et Newton.
Nous venons de voir que l’étude des lentilles divergentes se conduit bien comme celle des lentilles
convergentes.
Résumé
Selon la position de l’objet, trois cas à distance finie apparaissent :
Une lentille divergente donne d’un objet réel, une image virtuelle, droite, réduite, située entre le
foyer image et la lentille.
Une lentille divergente donne d’un objet virtuel situé entre la lentille et le foyer objet, une image
réelle, droite, agrandie.
Une lentille divergente donne d’un objet virtuel situé après le foyer, une image virtuelle,
renversée, réduite ou agrandie, située avant le foyer image.
Et deux cas où objet ou image sont à distance infinie :
Un objet situé à l’infini donne une image virtuelle située au foyer image. Un objet virtuel situé au
foyer objet donne une image à l’infini.
Les relations de conjugaison et grandissements sont les mêmes que pour les lentilles convergentes.