LOI NORMALE COMPLEXE

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LOI NORMALE COMPLEXE (C6, C7)
(i) Soit (W , T, P) un espace probabilisé et (C, BC) l'espace mesurable (ou espace probabilisable) complexe, dans lequel C est identifié à R2 et sa tribu BC à la tribu borélienne B(R2).
On dit que la va z : W a C est une variable normale, ou une variable gaussienne, complexe scalaire et centrée, ou que sa loi Pz est une loi normale complexe, ssi le couple aléatoire (x ,
h) : W a R2 est tq z = x + i h et que sa loi P(x ,h) admet pr à la mesure de LEBESGUE l2 sur B(R2) la densité :
(1)
f (x, y) = (2 p )-1 exp (- x2 / 2) . exp (- y2 / 2), " (x, y) Î R2.
La loi ainsi définie est une loi centrée réduite. Autrement dit, par définition :
(2)
{z est gaussienne complexe} Û {z = x + i h et Pz = P(x ,h) =
N2(0, I2)}.
(ii) Toute va s'exprimant en fonction affine de la va z précédente est encore appelée variable normale, ou variable gaussienne, complexe (scalaire).
(iii) On appelle variable normale, ou variable gaussienne, complexe vectorielle toute va (ou vecteur aléatoire complexe) z : W a CK tq toute forme linéaire (complexe) h' z (dans laquelle
h Î CK) est une va normale complexe scalaire et centrée (au sens précédent).
La matrice de dispersion de z est définie selon :
(3)
V z = (gkl)(k,l),
avec gkl = E zk`zl , " (k, l) Î (NK*)2,
où E zk zI = 0, " l ¹ k.
Par suite, si z est normale, le vecteur (Ré z, Im z) : W a R2 K est normal (réel) et sa dispersion est de la forme :
(Ré V z Im V z)
(
)
(Im V z Ré V z).
(iv) On dit que z : W a CK est une variable normale complexe vectorielle de moyenne m et de dispersion S ssi le vecteur aléatoire (réel) h = (Ré z , Im z)' vérifie :
h ~
N2 (l, L), avec l = Ré m Im m,
(4)
L = Ré S - Im S Im S Ré S.
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