Nager dans un fluide parfait

Nager dans un fluide parfait
Alexandre Munnier
Maître de conférences
Institut Élie Cartan
Université Henri Poincaré
NANCY, France
Projet CORIDA, INRIA Lorraine
Mai 2008
Nager dans un fluide parfait
Motivations
Vitesses de quelques poissons communs
Harreng
6 km/h
Truite
6 km/h
Carpe
6 km/h
Maquereau
11 km/h
Thon
80 km/h
Espadon
96 km/h
Des performances remarquables en termes de vitesse, d’accélération
mais aussi de rendement, de manœuvrabilité et de furtivité.
Nager dans un fluide parfait
Motivations
Biohydrodynamique
Étude de la locomotion des animaux par interaction avec un fluide
(organismes unicellulaires, animaux aquatiques, oiseaux).
Quelques robots expérimentaux (déjà anciens).
D’un point de vue mathématique
Modélisation : déterminer les équations du mouvement
Étude mathématiques de ces modèles (existence de solutions)
Simulations numériques et contrôle.
Nager dans un fluide parfait
Notes bibliographiques
H. Lamb, Hydrodynamics, Cambridge Mathematical Library, 1830.
G. P. Galdi, On the steady self-propelled motion of a body in a viscous
incompressible fluid, Arch. Ration. Mech. Anal., 1999.
E. Kanso, J. E. Marsden, C. W. Rowley et J. B. Melli-Huber,
Locomotion of articulated bodies in a perfect fluid, Journal of
Nonlinear Science, 2005.
J. San Martin, J. F. Scheid, T. Takahashi et M. Tucsnak, An initial and
boundary problem modeling fish-like swimming, Arch. Ration. Mech.
Anal., 2008.
J. Houot et A. M., On the motion and collisions of rigid bodies in an
ideal fluid, Asymptot. Anal., 2008.
A. M. On the self displacement of deformable bodies in a potential fluid
flow, Math. Model. Num. Anal., 2008.
F. Alouges, A. Lefebvre et A. DeSimone, Swimming at low reynolds
number at optimal strokes : An example, J. of. Non Linear Science,
2008.
Nager dans un fluide parfait
Modélisation de n solides dans un fluide parfait
Le système fluide-solides a 3n degrés de liberté.
Pour chaque solide Si on note :
Coordonnées généralisées :
hi := (hi1 , hi2 )T les coordonnées de
son centre de gravité
qi := (hi1 , hi2 , θi )T
θi son orientation.
q̇i et q̇.
q := (q1 , q2 , . . . , qn )T
Nager dans un fluide parfait
Vitesse eulérienne, potentiel
La vitesse eulérienne du ième solide est :
vi := θ̇i (x − hi )⊥ + ḣi .
Pour chaque degré de liberté qij , on introduit une fonction potentiel ϕij ,
(i = 1, . . . , n et j = 1, 2, 3) telle que −∆ϕij = 0 dans Ω(q) et :
∂ϕi2
∂ϕi1
= e1 · n sur Γi (qi ),
= e2 · n sur Γi (qi ),
∂n
∂n
∂ϕij
∂ϕi3
= (x − hi )⊥ · n sur Γi (qi ),
= 0 sur Γ0 ∪k6=i Γk (qk ).
∂n
∂n
Selon la loi de Kirchhoff, la vitesse eulérienne du fluide s’écrit :
u :=
n X
3
X
q̇ij ∇ϕij .
i=1 i=1
Les conditions aux limites pour les fonctions ϕij entraînent que :
u · n = vi · n sur Γi (qi )
u · n = 0 sur Γ0 .
Nager dans un fluide parfait
Calcul du Lagrangian
Matrice de masse ajoutée
Comme pour les variables généralisées, on introduit
ϕ := (ϕ11 , ϕ12 , ϕ13 , . . . , ϕn1 , ϕn2 , ϕn3 )T , ainsi que sa matrice Jacobienne
(3n × 2), notée [Dϕ].
La matrice de masse ajoutée est définie par :
Z
[MF (q)] := ρF
[Dϕ][Dϕ]T dx, ρF : densité du fluide.
Ω(q)
Ses cœfficients sont donnés par :
Z
ρF
Ω(q)
∇ϕij ∇ϕkl dx
1
= ρF
2
∂ϕij
Z
Γi (q)
∂n
ϕkl dΓ
Z
+
Γk (q)
!
∂ϕkl i
ϕ dΓ .
∂n j
L’expression de la matrice de masse ajoutée dépend uniquement des
valeurs des potentiels sur le bord des solides.
Nager dans un fluide parfait
Calcul du Lagrangian
Matrice de masse virtuelle
Introduisons :
mi la masse du solide Si ,
J i son moment d’inertie,
ainsi que la matrice : [MS ] := diag(m1 , m1 , J 1 , . . . , mn , mn , J n ).
La matrice de masse virtuelle est définie par :
[M(q)] = [MS ] + [MF (q)].
Supposons, pour simplifier, que le Lagrangian coïncide avec l’énergie
cinétique du système :
1
L(q, q̇) = q̇ · [M(q)]q̇.
2
Remarque : d’autres forces peuvent êtres considérées dans ce modèle
(poussée d’Archimède).
Nager dans un fluide parfait
Equations du mouvement des solides
Les équations d’Euler-Lagrange s’écrivent, en mécanique
Lagrangienne :
d ∂L
∂L
(t, q, q̇) −
(t, q, q̇) = 0.
dt ∂ q̇
∂q
Dans cette expression :
Le calcul de ∂L/∂ q̇ est élémentaire.
La détermination de ∂L/∂q nécessite de dériver la solution d’un
problème de Neumann en fonction du domaine (dérivée de
forme).
On observe le point capital suivant :
Les expressions des dérivées de forme des potentiels ne font
intervenir que les valeurs de ces potentiels sur les bords des solides.
Nager dans un fluide parfait
Equations du mouvement des solides
Existence et unicité des solutions
Equations du mouvement
1
([MS ]+[MF (q)])q̈+h∂q [MF (q)], q̇iq̇− ∂q (q̇T [MF (q)]q̇) = 0. (EM)
2
On peut alors montrer :
Theorem (A. M. 2007)
Supposons que tous les domaines soient Lipschitz. Alors pour toute
donnée initiale q0 , q̇0 , il existe une unique solution analytique
t 7→ q(t) à (EM) definie sur [0, T). Soit T = +∞, soit T correspond
au temps d’une collision entre deux solides ou entre un solide et le
bord extérieur du fluide.
Nager dans un fluide parfait
Les collisions
Les collisions sont possibles dans un fluide parfait. Considérons la
situation suivante :
Theorem (J. Houot, A.M. 2006 et A.M.
2008)
Supposons que les bords soient de classe
C2 et que
|ψ(ξ1 )|
= +∞.
ξ1 →0 |ξ1 |3
lim
Alors pour toute position initiale
q0 = (0, h2 , 0) (h2 > 0) et toute vitesse
initiale q̇0 = (0, −ḣ2 , 0), le solide entre
en collision avec le bord en temps fini.
Nager dans un fluide parfait
Simulations numériques (avec B. Pinçon)
Calcul des potentiels
Le problème de Neumann :
−∆u = 0 dans Ω,
∂u
= g sur Γ,
∂n
peut être reformulé sous la forme d’une équation intégrale :
Pour tout y ∈ Ω :
Z
Z
1
(x − y)
1
u(y) −
·
n(x)
u(x)dΓ
=
−
ln |x − y|g(x)dΓ.
2π Γ |x − y|2
2π Γ
Pour tout y ∈ Γ :
Z
Z
1
(x − y)
1
ln |x − y|g(x)dΓ.
u(y) −
·
n(x)
u(x)dΓ
=
−
π Γ |x − y|2
π Γ
On utilise la seconde formule pour calculer les potentiels sur Γ.
Nager dans un fluide parfait
Simulations numériques (avec B. Pinçon)
Calcul des potentiels, schéma
Les intégrales faisant intervenir un noyau singulier sont calculées
avec la méthode de Nyström : décomposition du noyau en série de
Fourier et calcul de l’intégrale avec FFT.
Avantages de la méthode
Les potentiels sont calculés uniquement sur les bords des solides.
La pression dans le fluide n’est jamais calculée.
La simulation est très rapide.
Nager dans un fluide parfait
Simulation de solides articulés
Exemple : Une anguille
Avantages de la mécanique Lagrangienne
En mécanique Lagrangienne, on peut facilement spécifier certaines
liaisons entre les solides (ici θ1 , θ2 et θ3 ).
Nager dans un fluide parfait
Quelques images de simulation avec des solides
10 solides confinés avec collisions
Nager dans un fluide parfait
Quelques images de simulation avec un poisson
Poisson articulé dans un fluide parfait
Nager dans un fluide parfait
Un problème de contrôle
Interception d’un solide par le poisson
Nager dans un fluide parfait