Dossier délivré pour Madame, Monsieur 12/09/2008 Écoulements monodimensionnels des fluides compressibles par André LALLEMAND Ingénieur, docteur ès sciences physiques Professeur des universités à l’Institut national des sciences appliquées (INSA) de Lyon 1. 1.1 1.2 1.3 1.4 Étude générale de l’écoulement .......................................................... Équations de base de l’écoulement ........................................................... Résolution des problèmes .......................................................................... Application des équations énergétiques à quelques cas particuliers ..... Vitesse du son.............................................................................................. 2. 2.1 2.2 Écoulement isentropique d’un gaz parfait ....................................... Étude générale de l’écoulement................................................................. Particularités de l’écoulement .................................................................... — — — 6 6 8 3. Écoulement adiabatique d’un gaz parfait en conduite cylindrique ......................................................................... Équations de l’écoulement de Fanno......................................................... Évolution du fluide en diagramme entropique ......................................... Nature de l’écoulement............................................................................... — — — — 11 11 12 12 4.1 4.2 4.3 Écoulement réversible d’un gaz parfait en conduite cylindrique ......................................................................... Équations de l’écoulement de Rayleigh .................................................... Évolution du fluide en diagramme entropique ......................................... Nature de l’écoulement............................................................................... — — — — 14 14 14 14 5. 5.1 5.2 5.3 Écoulement isentropique d’un gaz parfait dans une tuyère........ Définition d’une tuyère................................................................................ Écoulement en tuyère de Laval .................................................................. Réalisation pratique et rendement des tuyères ........................................ — — — — 15 15 15 18 6. 6.1 6.2 Ondes de choc .......................................................................................... Équations des ondes de choc ..................................................................... Relations entre les paramètres du fluide de part et d’autre de l’onde de choc ......................................................................................................... Application à la mesure de la vitesse en écoulement supersonique ...... Application à la détermination de la position de l’onde de choc dans le divergent d’une tuyère de Laval.................................................... Estimation de l’épaisseur d’une onde de choc ......................................... — — 19 19 — — 19 21 — — 22 22 Références bibliographiques ......................................................................... — 23 3.1 3.2 3.3 4. 6.3 6.4 B 8 165 4 - 1997 6.5 n génie énergétique, les fluides sont omniprésents, qu’ils soient incompressibles ou compressibles. En effet, ils sont très souvent les agents des transferts énergétiques par leurs propriétés de conduction de la chaleur et surtout leur faculté à transporter l’énergie sous diverses formes : énergie cinétique, énergie potentielle, pression, énergie interne, etc. Pour assurer ce rôle, ils sont quasiment toujours mis en mouvement. Il est alors essentiel de bien connaître les lois de la cinématique et de la dynamique des fluides. Dans leur généralité, ces lois sont relativement complexes et donnent lieu à des résolutions faisant appel à des méthodes numériques et à des temps E Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. © Techniques de l’Ingénieur, traité Génie énergétique Dossier délivré pour Madame, Monsieur 12/09/2008 B 8 165 - 3 — 3 — 4 — 4 — 5 B 8 165 − 1 Dossier délivré pour Madame, Monsieur 12/09/2008 ÉCOULEMENTS MONODIMENSIONNELS DES FLUIDES COMPRESSIBLES __________________________________________________________________________ de calculs importants. Heureusement, dans un grand nombre de situations industrielles, on note des conditions particulières qui permettent de simplifier les équations de base et leur résolution. L’écoulement monodimensionnel des gaz parfaits en régime permanent en est un exemple. En réalité, ce type d’écoulement, au sens strict, ne représente que très peu de cas réels. En effet, dans presque toutes les situations pratiques, les paramètres des écoulements de gaz ou de vapeurs varient selon deux, voire trois, dimensions de l’espace. Ils sont donc bidimensionnels ou tridimensionnels. Cependant, en admettant quelques distorsions par rapport à la réalité, on peut dans certaines études qui ne nécessitent pas des résultats rigoureux, faire l’hypothèse que les variations des paramètres dans les directions transversales peuvent être négligées. L’article présenté est basé sur cet axiome. Il permet de traiter de façon relativement simple un problème compliqué d’écoulements de fluides compressibles et d’aboutir malgré cela à des résultats utiles pour l’ingénieur. Notations et symboles Notations et symboles Symbole Désignation Symbole Désignation cp capacité thermique massique à pression constante x z abscisse verticale cV capacité thermique massique à volume constant δ taux de détente D diamètre de la canalisation γ e énergie massique rapport des capacités thermiques massiques à pression et à volume constants ec énergie cinétique massique η rendement eP énergie potentielle massique λ coefficient de pertes de charge f force de viscosité ρ masse volumique g accélération τ travail massique des forces de frottement h enthalpie massique Ω section droite J pertes de charge M˙ longueur de la canalisation ṁ vitesse massique Ma nombre de Mach * critique p pression 0 relatif à l’état initial r constante du gaz abscisse débit-masse Liste des Indices 1,2 amont, aval entropie massique ou abscisse curviligne c col, cinétique temps i au point d’inflexion T température thermodynamique p à pression constante u vitesse moyenne débitante s son, isentropique vecteur vitesse S sortie v vitesse t technique, totale, transition ν volume massique V à volume constant vs vitesse du son s t v vs ∗ B 8 165 − 2 vitesse du son critique Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. © Techniques de l’Ingénieur, traité Génie énergétique Dossier délivré pour Madame, Monsieur 12/09/2008 Dossier délivré pour Madame, Monsieur 12/09/2008 _________________________________________________________________________ 1. Étude générale de l’écoulement ÉCOULEMENTS MONODIMENSIONNELS DES FLUIDES COMPRESSIBLES Cette équation peut encore s’écrire sous la forme suivante : dρ dv dΩ --------- + --------- + ---------- = 0 ρ v Ω Dans certaines applications, les écoulements de fluides compressibles peuvent être étudiés en ne s’attachant qu’à la composante principale v p des vecteurs vitesse, celle dont la direction est en tous points perpendiculaire au plan normal à la ligne générale de l’écoulement, encore appelée ligne moyenne (figure 1a ). La viscosité de ces fluides étant en général très faible et les écoulements considérés de type turbulent, on peut faire l’hypothèse que cette composante de la vitesse ne varie pas dans une section droite de l’écoulement. La connaissance de l’écoulement, sur le plan cinématique, se réduit alors à la détermination de la valeur vp de la vitesse en fonction de l’abscisse curviligne s. On a ainsi affaire à un problème d’écoulement monodimensionnel dans lequel on fait l’hypothèse que tous les autres paramètres physiques du fluide ne dépendent que de s. Un exemple de ce type de problème est celui de l’étude simplifiée de l’écoulement d’un gaz entre les aubages d’une turbine à gaz (figure 1b ). Outre la connaissance de la composante vp de la vitesse (notée simplement v dans la suite), la résolution de tels problèmes consiste à déterminer l’évolution de la pression et de la température en fonction de l’abscisse s de l’écoulement et de ses conditions aux limites. Pour une telle résolution, on fait appel aux relations classiques de la mécanique des fluides et de la thermodynamique. Les équations générales de l’écoulement monodimensionnel d’un fluide compressible ont pour fondement les équations de continuité, de la quantité de mouvement, de l’énergie, d’une part, l’équation d’état du fluide, d’autre part. On peut y ajouter, pour des écoulements particuliers, des équations traduisant certaines transformations typiques en thermodynamique telles que l’équation de la transformation isentropique d’un gaz parfait ou l’équation liant l’enthalpie aux variables thermodynamiques. (3) 1.1.2 Bilan de la quantité de mouvement Le bilan de la quantité de mouvement donne lieu à une équation vectorielle qui traduit simplement l’égalité entre les forces d’inertie du fluide et les forces qui lui sont appliquées. Dans le cas classique où on ne considère parmi ces forces que celles qui sont dues à la pression p, à la pesanteur g et à la viscosité du fluide, cette équation s’écrit de la manière suivante : Dv ρ --------- = – grad p – ρ f – ρ g gradz dt avec f forces visqueuses par unité de masse, z abscisse verticale, (4) Dv --------- d’Alembertien de la vitesse, c’est-à-dire sa dérivée totale d t par rapport au temps. Pour un écoulement monodimensionnel et permanent, on a, en projection sur la tangente à la ligne moyenne : soit : dv 1 dp dz v -------- + ---- -------- + g -------- + f = 0 ds ρ ds ds (5) dp v dv + -------- + g dz = – f ds ρ (6) 1.1 Équations de base de l’écoulement Pour la forme générale des équations qui régissent les écoulements quelconques, on se reportera à la référence [1]. Nous ne donnons ici que leur forme particulière, applicable au cas étudié, qui est celui d’un écoulement conservatif (sans source ni puits de courant), stationnaire, à l’intérieur d’un tube de courant, c’est-à-dire dans un domaine dont la surface latérale ne peut pas être traversée par le fluide : une canalisation par exemple. Figure 1 – Écoulements monodimensionnels de gaz 1.1.1 Équation de continuité Cette équation traduit la conservation de la masse. Elle s’écrit : ρ 1 v1 d Ω1 = ρ 2 v2 d Ω2 (1) où Ω1 et Ω2 sont des sections planes perpendiculaires à la ligne moyenne encore appelées sections droites (figure 2) et v i la composante du vecteur vitesse selon la normale à chacune de ces sections. Compte tenu de l’hypothèse de la constance de cette vitesse sur une section droite et en admettant que la masse volumique ρ soit également constante sur cette section, on peut écrire : ρ 1 v 1 Ω 1 = ρ 2 v 2 Ω 2 = Ṁ où Ṁ Figure 2 – Écoulements monodimensionnels dans un tube de courant (2) est le débit-masse du fluide dans le tube de courant. Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. © Techniques de l’Ingénieur, traité Génie énergétique Dossier délivré pour Madame, Monsieur 12/09/2008 B 8 165 − 3 Dossier délivré pour Madame, Monsieur 12/09/2008 ÉCOULEMENTS MONODIMENSIONNELS DES FLUIDES COMPRESSIBLES __________________________________________________________________________ 1.2 Résolution des problèmes 1.1.3 Équation de l’énergie cinétique ou équation énergétique mécanique Lorsqu’on intègre l’équation (6) entre les points 1 et 2 d’une même ligne de courant (ligne en tous points parallèle aux vecteurs vitesse qui, en écoulement stationnaire, est confondue avec la trajectoire d’une particule), on obtient : 2 1 dp -------- + ∆e c 12 + ∆e P 12 + τ 12 = 0 ρ (7) C’est une équation énergétique massique dite équation de l’énergie cinétique, ou encore équation énergétique mécanique, car elle ne fait apparaître explicitement que des énergies de type mécanique : de pression p, cinétique e c , gravifique ou potentielle e P . L’opposé du travail des forces de frottement par unité de masse τ 12 , toujours positif, correspond à la transformation d’énergie mécanique en énergie thermique. Comme l’équation (7) est déduite de (6), on utilisera soit l’une, soit l’autre de ces expressions puisqu’elles sont physiquement identiques. Si on interpose un élément mobile d’une machine entre les points 1 et 2 de la ligne de courant, l’intégration de l’expression (6) donne : w t 12 = 2 1 2 Le système des quatres équations (2) ou (3), (6) ou (8), (9) et (11) permet de déterminer quatre inconnues si on connaît les autres paramètres ainsi que les conditions à l’amont de l’écoulement. Les paramètres intervenant dans ce système sont v, ρ, p, T, z, Ω, w t , q, h et τ. En général, on suppose connues les évolutions de Ω, z, w t , q et p lorsque la section se déplace. Il reste alors cinq inconnues à déterminer : v, ρ, T, h et τ, pour quatre équations. L’équation de fermeture du système est alors l’équation qui lie l’enthalpie à la pression et à la température et qui, dans le cas d’un gaz parfait, s’écrit simplement : dh = c p dT 1.3 Application des équations énergétiques à quelques cas particuliers (8) 1.3.1 Fluide en écoulement dans une canalisation (sans machine) Dans ce cas, w t = 0. Alors les équations (8) et (9) donnent respectivement : 1.1.4 Équation de l’énergie ou équation énergétique thermodynamique 2 2 v2–v1 dp --------- + g ( z 2 – z 1 ) + ------------------- + τ 12 = 0 ρ 2 q 12 = ∆h 12 + ∆e c 12 + ∆e P 12 w t 12 + q 12 = ∆h 12 + ∆e c 12 + ∆e P 12 h enthalpie de l’unité de masse. Cette équation peut s’écrire plus simplement sous la forme : (14) soit, en les combinant : q 12 + 2 1 dp --------- + τ 12 = ∆h 12 ρ (15) (équation qui est toujours valable, qu’il y ait ou non une machine). 1.3.2 Écoulement d’un fluide non pesant dans une canalisation fixe Pour les écoulements de gaz, on peut pratiquement toujours négliger la variation d’énergie potentielle (∆e P ≈ 0, sauf dans l’étude particulière des cheminées). Alors, s’il n’y a pas de machine, on a : (10) 2 v où h t = h + ------- + g z est l’enthalpie totale. 2 1.1.5 Équation d’état du fluide Cette équation caractérise l’état thermodynamique d’un fluide. Elle n’a une forme simple que dans le cas des gaz parfaits. Elle s’écrit alors : p (11) ---- = r T ρ R où r = ------ est la constante du gaz étudié, M R = 8,314 J/(mol · K) constante molaire des gaz, 2 1 dp -------- + ∆e c 12 + τ 12 = 0 ρ q 12 = ∆h 12 + ∆e c 12 (16) (17) 1.3.3 Écoulement adiabatique d’un fluide non pesant dans une canalisation fixe S’il n’y a pas d’échange thermique, l’équation (17) devient : ∆h 12 + ∆e c 12 = 0 v2 ------ + h = Cte 2 ou encore : c’est l’équation de Zeuner. M masse molaire du gaz. Pour les gaz réels, il convient d’utiliser d’autres équations qui sont plus ou moins complexes [2]. B 8 165 − 4 (13) (9) quantité de chaleur échangée entre l’unité de masse du fluide et le milieu extérieur à l’élément de fluide considéré, w t + q = ∆h t 2 1 L’équation de l’énergie traduit le premier principe de la thermodynamique. Sous sa forme technique, c’est-à-dire en ne considérant explicitement dans l’énergie mécanique échangée entre le fluide et son environnement que la part due à l’échange avec des éléments mobiles liés à un arbre de machine, on l’écrit, pour un tube de courant avec les hypothèses mentionnées ci-dessus : q (12) si c p , qui est la capacité thermique massique sous pression constante, peut être considérée comme constante. 2 v2–v1 dp -------- + g ( z 2 – z 1 ) + ------------------- + τ 12 ρ 2 où w t 12 représente l’énergie reçue par l’unité de masse de fluide lors de son contact au cours du déplacement 1-2 avec cet élément de machine. Cette énergie est encore appelée : travail technique. avec h = c p T + Cte ou : Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. © Techniques de l’Ingénieur, traité Génie énergétique Dossier délivré pour Madame, Monsieur 12/09/2008 (18) Dossier délivré pour Madame, Monsieur 12/09/2008 _________________________________________________________________________ ÉCOULEMENTS MONODIMENSIONNELS DES FLUIDES COMPRESSIBLES Appliquons cette équation au cas particulier d’un fluide s’écoulant dans une canalisation placée en aval d’un réservoir de grandes dimensions (figure 3) dans lequel l’énergie cinétique peut être négligée. Alors l’équation de Zeuner s’écrit : 2 v h 0 = h 1 + ------12 soit : 2 ∆ h 10 = v1 = (19) 2 ∆h 0 1 h 0 est appelé enthalpie d’arrêt ou enthalpie de l’état générateur de l’état 1. Figure 3 – Écoulement d’un fluide compressible dans une canalisation alimentée par un réservoir 1.3.4 Écoulement réversible (fluide parfait) Un écoulement ne peut être réversible qu’en absence de viscosité, ce qui entraîne : τ 12 = 0. Alors l’équation (16) donne : 2 1 ou : dp --------- + ∆e c 12 = 0 ρ =0 v2 dp --------- + d ------2 ρ (20) 1.4 Vitesse du son Le son est produit par des variations faibles de la pression du milieu dans lequel il se propage. Ainsi, la vitesse du son correspond à la propagation de ces variations de pression. Imaginons un milieu fluide, un gaz par exemple, dans lequel on observe localement une différence de pression d p entre la partie droite 1 et la partie gauche 2 du milieu (figure 4) et admettons que la zone de variation soit plane et de dimension infinie. L’onde sonore, se déplace, par définition, à la vitesse du son vs . Dans le mouvement relatif onde sonore-fluide, le fluide se déplace par rapport à l’onde à la même vitesse. La section Ω de part et d’autre de l’onde de pression étant la même, l’équation (3) s’écrit : d ρ dv s --------- + ---------- = 0 vs ρ (21) En admettant que la traversée de l’onde de pression se fasse de manière réversible, donc sans frottement compte tenu notamment de la valeur infiniment petite de l’épaisseur du front d’onde, l’équation (6) devient, en négligeant la pesanteur ou en supposant que l’onde se déplace horizontalement : dp v s dv s + -------- = 0 ρ La combinaison de ces deux équations vs = dp --------dρ soit : p dp --------- = γ ---ρ dρ Dans ce cas, la vitesse du son a pour expression : (21) 2 vs – (22) donne : (25) ou, en tenant compte de l’équation d’état des gaz parfaits (11) : vs = γ rT (26) Si le fluide n’est pas un gaz parfait, en considérant toujours la transformation isentropique, on peut écrire, d’une manière générale : 2 vs = ∂p ------∂ρ s Or, en notant que le coefficient isentropique vaut, par définition : ν k s = – ---p où ν = 1/ρ ∂p ∂------ν s ρ ∂p = ---- -------p ∂ρ p 2 v s = k s ---ρ on a : (27) La vitesse du son peut être reliée au coefficient de compressibilité isentropique K s du fluide : 1 K s = – ---ν ∂ν ∂-------p s 1 = ---ρ ∂ρ ∂-------p s 1 = ----------p ks soit, avec (27) : V 1 1 2 v s = ------------ = --------- ------ρ Ks M Ks où V et M sont respectivement le volume molaire et la masse molaire du fluide. La vitesse du son est donc d’autant plus faible que la compressibilité du fluide est plus grande. Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. © Techniques de l’Ingénieur, traité Génie énergétique Dossier délivré pour Madame, Monsieur 12/09/2008 s est le volume massique, (23) (24) p γ ---ρ vs = (22) Compte tenu que l’on a affaire à un phénomène local rapide, on peut admettre que ce phénomène est adiabatique. Avec l’hypothèse de réversibilité, il est donc isentropique. En admettant que le fluide considéré soit un gaz parfait idéal (gaz parfait pour lequel le coefficient γ = c p /c V , rapport des capacités thermiques massiques à pression et à volume constants, est constant), l’équation de la transformation isentropique est : p ------- = Cte ργ Figure 4 – Propagation d’une onde sonore B 8 165 − 5 Dossier délivré pour Madame, Monsieur 12/09/2008 ÉCOULEMENTS MONODIMENSIONNELS DES FLUIDES COMPRESSIBLES __________________________________________________________________________ 2. Écoulement isentropique d’un gaz parfait La relation de Poisson, déduite des équations (11) et (24), s’écrit : L’étude de l’écoulement monodimensionnel isentropique d’un gaz parfait conduit à la notion d’écoulement en tuyère que l’on retrouve dans de nombreuses machines thermiques. Dans ce cas, en considérant la canalisation fixe (ou le mouvement relatif si la canalisation est mobile), les équations de base se simplifient car l’écoulement a lieu sans échange d’énergie mécanique avec une machine. À ces équations on ajoute, compte tenu de l’hypothèse d’isentropicité, l’équation des transformations isentropiques des gaz parfaits idéaux (24). On a alors le système d’équations suivant : Dans cette équation, δ est le taux de détente. Alors : ρ v Ω = M˙ = Cte p ------- = Cte ργ Dans ce système, l’équation (16) n’intervient pas car son intérêt serait de permettre le calcul des pertes τ12 qui sont nulles, a priori, compte tenu de l’hypothèse de réversibilité de la transformation isentropique. Elle est remplacée par l’équation (24) qui la contient implicitement. Ainsi, parmi les inconnues citées (§ 1.2), il n’en demeure que quatre (v, ρ, T et h ). Le fait que l’écoulement soit décrit par cinq relations implique qu’un des paramètres Ω, z, wt , q est fonction des autres. On prend en général la section Ω. Ainsi, le problème consiste à déterminer l’évolution des inconnues : v, ρ, T, h et Ω en fonction des conditions dans la section amont et de la pression p dans la section considérée (w t = q = 0 et z non pris en compte, le gaz étant considéré comme non pesant). 2.1 Étude générale de l’écoulement cp – cV = r et r c p = ---a la variation d’enthalpie a pour expression : r a ∆h 12 = ---- T 1 ( δ – 1 ) a Soit une veine d’écoulement quelconque (figure 5), une section de référence amont 1 et une section aval 2 quelconques. La vitesse au point aval s’obtient à partir de l’équation de Zeuner (18) qui s’écrit : r T1 a 2 v 1 + 2 ----------- ( 1 – δ ) a (31) 2.1.2 État générateur. Point d’arrêt Lorsque la section amont a une aire infinie, la vitesse d’écoulement est nulle dans cette section. La vitesse, en une section quelconque où la pression a la valeur p, est alors égale à : v = 2 r T0 a -------------(1 – δ 0) a (32) T0 est la température dans la section amont où la pression est p 0 . Par définition, l’état du fluide à vitesse nulle donné par p 0 et T0 est appelé état générateur du fluide s’écoulant isentropiquement à la vitesse v dans une section où sa pression a la valeur p et où sa température est égale à T. Le taux de détente δ 0 = p/p 0 est le taux de détente générateur de l’écoulement. 2 (28) 2 v p 0 = p 1 + ---------------2 cp T v2 T 0 = T 1 + ---------------2 cp T 1/a h v2 = T + ----------- = ------0 2 cp cp (33) (34) L’état générateur sert de référence dans tous les écoulements de gaz parfaits, isentropiques ou non. À ce titre, il est évidemment important. Dans le cas d’un écoulement non isentropique, cet état est un état amont hypothétique, puisqu’on l’obtient en supposant un écoulement isentropique. L’état générateur peut être représenté sur un diagramme entropique T, s (ou h, s puisque, pour un gaz parfait, cette représentation est équivalente). La figure 6 donne une telle représentation qui permet de mettre en évidence l’énergie cinétique à partir de l’application de l’équation de Zeuner (18) : v2 ------- = h 0 – h 2 Figure 5 – Écoulement d’un gaz parfait idéal dans une veine quelconque B 8 165 − 6 (30) Inversement, on peut déterminer les conditions génératrices d’un fluide à la température T, à la pression p et s’écoulant à la vitesse v à partir des relations (32) et (29). On obtient : 2.1.1 Vitesse de l’écoulement ∆ h 12 = c p ∆T12 = c p (T2 – T1) Comme pour un gaz parfait (relation de Mayer) : C’est la relation de Barré de Saint-Venant. On remarque que, pour un gaz donné, la vitesse ne dépend que des conditions amont (vitesse et température), du taux de détente et de la nature du fluide. h = c p T + Cte dans laquelle, compte tenu de (12) : ∆h 12 = c p T1 (δ a – 1) v2 = p ---- = r T ρ 2 (29) On obtient alors, avec l’équation de Zeuner (28), l’expression suivante de la vitesse : v2 ------- + h = Cte 2 v 2 – v1 -------------------- = – ∆ h 12 2 p γ–1 où a = ------------- et δ = ------2γ p1 T a ------2- = δ T1 Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. © Techniques de l’Ingénieur, traité Génie énergétique Dossier délivré pour Madame, Monsieur 12/09/2008 Dossier délivré pour Madame, Monsieur 12/09/2008 _________________________________________________________________________ Inversement, cette équation permet d’obtenir l’enthalpie de l’état générateur h0 à partir des caractéristiques de l’état du fluide au point considéré : Ainsi, les conditions génératrices s’expriment par : γ–1 2 p 0 = p 1 + ------------- Ma 2 2 v h 0 = h + ------2 (35) 1 ⁄ (γ – 1) (36) Il est important de remarquer que, lorsqu’un fluide part d’un état générateur donné p 0 , T0 , h 0 en évoluant de manière adiabatique, l’état générateur pour toute situation ultérieure 1 ou 2 (figure 6) ne change pas si l’évolution est réversible. En effet, comme : 2 2 v1 v2 - = h 2 + ------ = h 02 h 01 = h 1 + -----2 2 on a, d’après l’équation (34) : 2 v1 h 0 = h 1 1 + -----------------2 cp T1 h0 p 01 = p 1 ------h1 soit : p 02 = p 2 1⁄a T0 = p 1 ------T1 T ------0T2 p1 T2 p 01 --------= ------- ------p2 T1 p 02 ou encore : 2 1⁄a (37) (38) Ces expressions montrent que, dans les écoulements subsoniques pour lesquels v < vs ou Ma < 1, les conditions génératrices sont proches de l’état du fluide en écoulement, du moins lorsque Ma est relativement faible, inférieur à 0,3 par exemple. Les conditions génératrices correspondent également aux conditions que l’on obtient au point d’arrêt d’un écoulement. Considérons un corps quelconque placé dans un écoulement infini (figure 7). Il existe une ligne de courant particulière qui doit se séparer, au point A, en deux lignes passant de part et d’autre de l’obstacle. Au point A, dit point d’arrêt, la vitesse ne peut alors qu’être nulle. Si on admet qu’entre un point quelconque M et le point A l’évolution est isentropique, on obtient par un raisonnement analogue à celui qui a été fait ci-dessus : p Ai = p 0 v2 = h 2 1 + -----------------2 cp T2 γ ⁄ (γ – 1) T01 = T02 = T0 Par ailleurs, en utilisant l’équation (33) et compte tenu de l’équation de Zeuner : γ–1 2 T 0 = T 1 + ------------- Ma 2 On obtient la masse volumique dans l’état générateur en utilisant la loi de transformation isentropique (24) : v2 ρ 0 = ρ 1 + --------------2 cp T ÉCOULEMENTS MONODIMENSIONNELS DES FLUIDES COMPRESSIBLES ; TA = T0 L’étude de l’évolution d’un fluide entre un point de vitesse quelconque v et un point d’arrêt montre que la compressibilité du gaz dans un écoulement isentropique peut être négligée tant que le nombre de Mach de l’écoulement est inférieur à 0,5 environ. Dans le tableau 1, sont donnés les rapports de pression p A /p en fonction du nombre de Mach en tenant compte de la compressibilité du gaz [équation (37)] d’une part, en supposant le gaz incompressible d’autre part. Dans ce dernier cas, on peut appliquer l’équation de Bernoulli entre M et A [3] et on obtient : v2 v2 p A inc = p + ρ ------- = p 1 + ------------2 2rT 1⁄a (39) soit : 1⁄a γ 2 p A inc = p 1 + ---- Ma 2 = 1 (40) Si l’évolution est irréversible, le point 3 étant par exemple à la même pression que le point 2 (figure 6), on a, compte tenu de l’adiabaticité de l’écoulement (h 03 = h 01 = h 0) : 2 v3 - = T0 T 03 = T 3 + ---------2 cp h0 p 03 = p 3 ------h3 et 1⁄a T0 = p 3 ------T3 1⁄a T0 = p 2 -----T3 1⁄a T2 = p 02 ------T3 1⁄a Ainsi, l’état générateur du point 3 est tel que : T0 , h 0 et p 03 ≠ p 02 . On peut énoncer le résultat suivant : Dans un écoulement adiabatique quelconque faisant passer le fluide d’un état 1 à un état 3, les températures génératrices sont constantes T 01 = T 03 alors que les pressions génératrices évoluent p 01 ≠ p 03 . Figure 6 – Schématisation de l’état générateur d’un gaz parfait en diagramme T, s (ou h, s ) Les relations précédentes peuvent être données en fonction du nombre de Mach Ma de l’écoulement où Ma = v /vs . En effet, on a : v s2 = γ r T = ( γ – 1 ) c p T d’où v s2 c p T = -----------γ–1 Figure 7 – Écoulement avec point d’arrêt Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. © Techniques de l’Ingénieur, traité Génie énergétique Dossier délivré pour Madame, Monsieur 12/09/2008 B 8 165 − 7 Dossier délivré pour Madame, Monsieur 12/09/2008 ÉCOULEMENTS MONODIMENSIONNELS DES FLUIDES COMPRESSIBLES __________________________________________________________________________ L’observation du tableau 1 montre que la compressibilité du fluide (air, dans ce cas) entraîne une différence de 1 % seulement à Ma = 0,5 et de 11 % environ à Ma = 1. Ce résultat justifie l’hypothèse faite quant à l’incompressibilité du fluide dans les écoulements de fluides compressibles tant que l’écoulement reste nettement subsonique ( Ma 0,5 environ). Enfin, les évolutions de la pression et de la température, à partir d’un état générateur p 0 , T0 , donné, peuvent être tracées (figure 8), à partir des équations (37) et (38), en fonction du nombre de Mach local de l’écoulement isentropique. 2.1.3 Vitesse de détente dans le vide Soit un état générateur p 0 , T 0 et une section dans laquelle la pression p est nulle (vide). La vitesse, donnée par la relation (32), est alors maximale. Elle a pour expression : v max = 2 r T0 --------------= a (41) 2 cp T0 Cette vitesse est indépendante de la pression, elle ne dépend que de la température de l’état générateur et de la nature du fluide. On peut comparer cette vitesse à la vitesse du son dans l’état générateur. On obtient : v max = 2 ------------- v s 0 γ–1 2.2.1.1 Évolution de la masse volumique avec la pression L’équation (24) de l’évolution isentropique permet d’écrire : 1⁄γ ρ = ρ0 δ0 avec (43) δ 0 = p/p0 Ainsi : — pour p = p 0 , soit δ 0 = 1, on a : ρ = ρ 0 ; — pour p = 0, soit δ 0 = 0, on a : ρ = 0. ρ0 – a dρ La dérivée ----------- = ------ δ 0 étant une fonction continue décroisγ d δ0 ρ0 sante de ∞, pour δ 0 = 0, à ------ , pour δ 0 = 1, la courbe ρ (p ) ou γ ρ ------ ( δ 0 ) a l’allure représentée sur la figure 9. ρ0 2.2.1.2 Évolution de la vitesse avec la pression L’équation de Barré de Saint-Venant (31) s’écrit, compte tenu de l’expression de la vitesse maximale de détente dans le vide [équation (41)] : a v = v max 1 – δ 0 (42) 2.2 Particularités de l’écoulement L’ensemble des équations (2), (11), (12), (18) et (24) applicables à l’écoulement isentropique monodimensionnel d’un gaz parfait idéal fait apparaître que la section droite Ω doit suivre une évolution particulière en fonction de la pression. Cet impératif constitue la particularité principale de ce type d’écoulement. 2.2.1 Évolution de la section droite en fonction de la pression Figure 8 – Évolution de la pression et de la température dans un écoulement isentropique d’air en fonction du nombre de Mach Dans la suite de cette étude la référence amont sera prise égale à l’état générateur, ce qui équivaut à prendre le point de référence amont dans un réservoir de grandes dimensions (Ω0 = ∞). (0) Tableau 1 – Taux de compression au point d’arrêt d’un écoulement en fonction du nombre de Mach de l’écoulement Ma 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,8 1 pA i /p (1) 1,007 00 1,028 0 1,063 0 1,112 1,175 1,252 1,443 1,70 pA inc /p 1,007 01 (2) 1,028 3 1,064 4 1,117 1,186 1,276 1,524 1,89 (1) en tenant compte de la compressibilité du fluide (air) (2) en faisant l’hypothèse d’incompressibilité du fluide. L’équation de continuité (2) permet d’affirmer que, le débit-masse Ṁ étant constant dans l’écoulement, la section de l’écoulement doit varier comme 1/ρ v. On étudie alors séparément la variation de ρ, puis celle de v avec la pression. B 8 165 − 8 Figure 9 – Évolution des paramètres v, et en fonction de la pression (ou du taux de détente) pour un écoulement isentropique de gaz parfait Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. © Techniques de l’Ingénieur, traité Génie énergétique Dossier délivré pour Madame, Monsieur 12/09/2008 (44) Dossier délivré pour Madame, Monsieur 12/09/2008 _________________________________________________________________________ où le débit-volume V̇ est constant puisque ρ = Cte. Selon la relation de Bernoulli [3] de l’écoulement d’un fluide parfait (c’est-à-dire non visqueux afin d’admettre la réversibilité), on peut écrire : Ainsi : — pour p = p 0 (δ 0 = 1), on a : v = 0 ; — pour p = 0 (δ 0 = 0), on a : v = v max . La dérivée de cette fonction s’écrit : –1 ⁄ γ δ0 a dv ----------- = – ---- v max ---------------------2 d δ0 a 1 – δ0 p0 v2 p ------ + ---- = -----2 ρ ρ (45) soit : L’étude de cette dérivée donne : dv — pour p = p 0 (δ 0 = 1) : ----------- → – d δ0 dv — pour p = 0 (δ 0 = 0) : ----------- → – d δ0 ∞ ÉCOULEMENTS MONODIMENSIONNELS DES FLUIDES COMPRESSIBLES v = 2 ( p0 – p ) --------------------------- = ρ 2 p0 ----------ρ 1 – δ0 Ainsi, on a : 1 1 Ω ------ = ---------------------- --------------------2 ρ p0 1 – δ0 Ṁ ; ∞. Ce résultat implique la présence d’un maximum dans la dérivée, donc d’un point d’inflexion i dans la fonction v (δ 0) qui a l’allure indiquée sur la figure 9. (48) C’est une fonction croissante, représentée sur la figure 11. La différence entre ces deux cas est évidemment due à la compressibilité du fluide. En amont du col, pour un fluide compressible, l’augmentation de la vitesse est supérieure à l’augmentation du volume massique. Après le col, c’est l’inverse. Ainsi, malgré l’augmentation de la vitesse, la section doit augmenter. 2.2.1.3 Évolution de la section avec la pression Le produit des fonctions ρ (δ 0 ) et v (δ 0 ) donne une fonction passant par 0 pour δ 0 = 0 et δ 0 =1 et donc par un maximum pour une valeur de δ 0 comprise entre 0 et 1. L’inverse de cette fonction qui, à une constante près (égale à l’inverse du débit), représente l’évolution de la section en fonction de la pression (ou du taux de détente) : Ω 1 -------- = ------ = f ( p ) = f ′ ( δ 0 ) ρv Ṁ (46) passe par un minimun et tend vers l’infini pour δ 0 = p = 0 et pour δ 0 = 1 soit p = p 0 . Cette fonction a pour expression [combinaison de (43) et (44)] : –1 ⁄ γ δ0 1 Ω ------ = --------------------- --------------------ρ 0 v max a Ṁ 1 – δ0 (47) 2.2.2 Vitesse au col La combinaison de l’équation différentielle de continuité : d ρ dΩ dv -------- + --------- + -------- = 0 ρ Ω v et de l’équation différentielle de la transformation isentropique (24) : 1 dp dρ -------- = --- -------γ p ρ (49) conduit à l’équation suivante : 1 dp d v d Ω --- --------- + --------- + ---------- = 0 γ p v Ω (50) On constate que, à une constante près, cette fonction a la même expression que celle de la dérivée de la vitesse [équation (45)]. On peut alors affirmer que le minimum de la fonction ΩṀ correspond au point d’inflexion i de la courbe v (p ). En définitive, l’étude de l’évolution de Ω en fonction de p permet d’énoncer le résultat suivant : Lorsqu’un gaz parfait idéal s’écoule de façon isentropique d’un réservoir de grandes dimensions (vitesse nulle) vers un réservoir où la pression est nulle, la section du tube de courant (ou de la veine d’écoulement) varie d’une valeur infinie à l’amont à une valeur infinie à l’aval en passant par une valeur minimale appelée col. La partie située à l’amont du col est le convergent, celle qui se trouve à l’aval, le divergent (figure 10). Figure 10 – Évolution de la section d’un écoulement isentropique en fonction de sa position allant d’un réservoir amont à un réservoir aval à pression nulle Inversement, on peut affirmer que, si un gaz s’écoule entre deux réservoirs dont l’un est à une pression maintenue nulle, il faut que la veine d’écoulement présente un col pour que l’écoulement adiabatique soit réversible. La position du col, non définie par cette étude, dépend de la variation de p avec s (ou x dans le cas d’une veine à ligne moyenne rectiligne) et est située au point s = s c tel qu’en ce point la pression soit p = p c = p i . Cette valeur de la pression sera déterminée plus loin. On peut comparer ce résultat à celui obtenu en écoulement d’un fluide incompressible, pour lequel : V̇ Ω = ---v Figure 11 – Évolution de la section d’un écoulement de fluide incompressible Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. © Techniques de l’Ingénieur, traité Génie énergétique Dossier délivré pour Madame, Monsieur 12/09/2008 B 8 165 − 9 Dossier délivré pour Madame, Monsieur 12/09/2008 ÉCOULEMENTS MONODIMENSIONNELS DES FLUIDES COMPRESSIBLES __________________________________________________________________________ Par ailleurs, en considérant la réversibilité de l’écoulement, l’équation du bilan de la quantité de mouvement (6) s’écrit : dp = – ρ v d v (51) p = p 1 , puis diminue lorsque p augmente à nouveau. Dans ce cas v reste toujours inférieure à v i , ce qui correspond à un écoulement subsonique dans toute la veine. Ainsi, l’équation (50) devient : 2.2.3 Taux de détente au col capable de la vitesse du son dv v2 ρ dΩ -------- 1 – ------ ---- + --------- = 0 v γ p Ω p 2 En introduisant la vitesse du son v s = γ ---- , on obtient : ρ dv dΩ 2 --------- = ( Ma – 1 ) -------v Ω (52) C’est la relation de Hugoniot qui permet de faire l’étude de la variation de la vitesse en fonction de la section droite de la veine et de la situation au col de cet écoulement où d Ω = 0. Deux cas sont à considérer. ■ Variation nulle de la vitesse au col : d v = 0 Si dans le convergent où d Ω < 0, la vitesse augmente (d v > 0), la relation de Hugoniot indique que le nombre de Mach doit être inférieur à l’unité : la vitesse est subsonique. Dans le divergent, la vitesse diminue (d v < 0 puisque sa dérivée en fonction de s s’annule au col) et on a encore Ma < 1 : l’écoulement est subsonique. Alors, l’écoulement est subsonique dans toute la veine . Sur les courbes ΩṀ = f ( δ 0 ) et v ( δ 0 ) , les points évoluent selon les chemins a (figure 12). Si, dans le convergent, la vitesse diminue, il faut que Ma > 1 : c’est l’écoulement supersonique. Dans le divergent, la vitesse augmente et on doit encore avoir Ma > 1, soit un écoulement supersonique. Dans ce cas, l’écoulement est supersonique dans toute la veine d’écoulement. Sur les courbes ΩṀ = f ( δ 0 ) et v ( δ 0 ) , les points évoluent selon les chemins b (figure 12). Le taux de détente au col permettant d’obtenir la vitesse du son au col est noté par : p δ 0 i = ------i(54) p0 Pour cette valeur, on a simultanément : dΩ dΩ --------- = 0 et --------- = 0 dp ds Ce taux de détente δ 0i , appelé également taux de détente critique, se calcule à partir de la relation de Barré de Saint-Venant (31) dans laquelle, la vitesse v est à remplacer par la vitesse du son au col v i = v si . On obtient : 2 r T0 a 2 v si = --------------- ( 1 – δ 0 i ) = γ r T i a T 2 a ------i- = ------------- ( 1 – δ 0 i ) γ–1 T0 soit : En utilisant la relation de Poisson (29), cette équation devient : δ0 i = 2 ------------γ+1 γ -----------γ–1 (55) Ce taux de détente ne dépend que de la nature du fluide : ■ Croissance de la vitesse au col : d v ≠ 0 Pour avoir d v ≠ 0 au col d’une veine d’écoulement (d Ω = 0), le nombre de Mach doit être égal à l’unité. L’écoulement est alors sonique au col et, si dans le convergent la vitesse augmente, le nombre de Mach est inférieur à 1 et l’écoulement est subsonique ; dans le divergent, la vitesse continue à augmenter puisque d v ≠ 0 au col, ce qui entraîne Ma > 1 et indique que l’écoulement est supersonique. Les points caractéristiques de l’évolution de l’écoulement suivent les courbes ΩṀ = f ( δ 0 ) et v ( δ 0 ) dans leur intégralité et dans un sens ou dans l’autre (chemin c). fluide – air ou gaz diatomiques .............. – vapeur d’eau sèche ou CO2 ....... – vapeur d’eau saturée ................. γ δ0i 1,405 1,32 1,135 0,53 0,542 0,577 La vitesse au col d’un écoulement isentropique peut être subsonique ou sonique. Lorsque la vitesse au col atteint celle du son, le col est le lieu de transition entre un écoulement subsonique et supersonique. Si la vitesse du son n’est pas atteinte au col, le régime d’écoulement est le même de part et d’autre du col. ■ La relation entre la vitesse et l’évolution de la section peut être déduite de la figure 9 ou de la figure 12. Le cas de croissance de vitesse au col correspond au cas où le col géométrique de l’écoulement coïncide avec le minimum de la courbe ΩṀ puisque, pour la valeur p i de la pression, on a d v ≠ 0. Ainsi, la vitesse v i correspond à la vitesse du son : v i = v si = γ pi ρi (53) ■ On obtient le cas a en notant que le col de la veine a une variation nulle de Ω en fonction de s et non pas de p. On peut alors très bien imaginer, par exemple, que, la pression p diminuant en fonction de s à partir de la valeur p 0 , la section diminue avec s (convergent) puis admettre que p passe par un minimum p 1 avant d’avoir atteint la valeur p i . L’augmentation de pression exige alors une augmentation de Ω correspondant au divergent. Au cours de cette évolution en fonction de s, la courbe v (p ) indique que la vitesse augmente jusqu’à B 8 165 − 10 Figure 12 – Évolution de l’écoulement dans une veine convergente-divergente Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. © Techniques de l’Ingénieur, traité Génie énergétique Dossier délivré pour Madame, Monsieur 12/09/2008 (0) Dossier délivré pour Madame, Monsieur 12/09/2008 _________________________________________________________________________ ÉCOULEMENTS MONODIMENSIONNELS DES FLUIDES COMPRESSIBLES La vitesse du son au col vsi peut s’exprimer en fonction de la température de l’état générateur. En effet, en reprenant la relation de Barré de Saint-Venant et l’expression de δ 0 i , on peut écrire : 2 v si 2 2 = ---- r T 0 1 – ------------γ+1 a aγ ------------γ–1 2 2 = ---- r T 0 1 – ------------a γ+1 On obtient alors : v i = v si = 2γ ------------- r T 0 γ+1 (56) et en introduisant la vitesse du son dans l’état générateur v s 0 : 2 v si = v s 0 ------------γ+1 (57) La vitesse au col d’un écoulement, donnée par les équations (53), (56) et (57) est encore appelée vitesse du son critique. On la note par v*s = v si . 2.2.4 Température du fluide en écoulement sonique La température du fluide au col d’un écoulement isentropique en régime sonique s’obtient à partir de la relation de Poisson (29) : T a ------i- = ( δ 0 i ) T0 T 2 ------i- = ------------T0 γ+1 soit : (58) Figure 13 – Évolution théorique du débit en fonction de la pression pour une section donnée 3. Écoulement adiabatique d’un gaz parfait en conduite cylindrique Cet écoulement adiabatique qui ne respecte pas l’évolution de la section Ω d’un écoulement isentropique, est essentiellement irréversible. Il est extrêmement fréquent en pratique et est appelé écoulement de Fanno. 3.1 Équations de l’écoulement de Fanno Les équations générales, appliquées à ce cas particulier, s’écrivent comme suit. 2.2.5 Équation du débit ■ Continuité (2) : Le débit est donné par l’équation de continuité (2) dans laquelle on remplace : • • ρ par sa valeur tirée de l’expression isentropique (24) : Ṁ ρ 1 v 1 = ρ 2 v 2 = ----- = ṁ = Cte Ω p0 p 1⁄γ ------ = -----⇒ ρ = ρ0 δ 0 γ γ ρ0 ρ où ṁ est le débit-masse par unité de surface encore appelé vitesse massique ou densité de flux massique. C’est une constante puisque Ṁ 1 = Ṁ 2 et Ω 1 = Ω 2 . Cette équation peut encore s’écrire : • v par l’expression (31) de Barré de Saint-Venant. Alors : 2 r T0 1 ⁄ γ a Ṁ = ρ 0 Ω --------------δ0 1– δ0 a (59) où d ρ dv -------- + -------- = 0 v ρ (60) dp v d v + -------- = – f ds ρ dh + v dv = 0 Y = (1 – a δ 0) (64) ■ Bilan de l’énergie (9) qui devient l’équation de Zeuner (18) : K = ρ 0 Ω v max 1⁄γ δ0 (63) ■ Bilan de quantité de mouvement (6) : Pour une section Ω donnée, on peut écrire : Ṁ = K Y (62) (61) La fonction Y (δ 0 ) correspond, à une constante près, à la fonction ρ v = f (δ 0 ). Ainsi, la valeur qui annule la dérivée de Y, annule également celle de ρ v et le maximum de Y (fonction qui s’annule pour δ 0 = 0 et δ 0 = 1) correspond au minimum de la fonction ΩṀ = f ( δ 0 ) (figure 13). Il a lieu pour δ 0 = δ 0 i . (65) ■ Équations d’état du fluide (11) et (12) : dh = cp dT (66) dp d ρ dT -------- – -------- = -------ρ p T (67) On constate que, sauf au maximum de la courbe, une même valeur de Y peut être obtenue pour deux valeurs de δ 0 . Cette particularité sera commentée plus loin (§ 5.2.3). On verra, en particulier, que pour une section donnée, l’ensemble de la courbe ne peut pas être décrit. Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. © Techniques de l’Ingénieur, traité Génie énergétique Dossier délivré pour Madame, Monsieur 12/09/2008 B 8 165 − 11 Dossier délivré pour Madame, Monsieur 12/09/2008 ÉCOULEMENTS MONODIMENSIONNELS DES FLUIDES COMPRESSIBLES __________________________________________________________________________ 3.2 Évolution du fluide en diagramme entropique L’expression de la variation d’entropie d’un gaz parfait idéal est donnée par [4] : T p s – s 1 = c p In ------- – r In ------(68) T1 p1 L’indice 1 est relatif à une section de référence amont. En combinant les équations d’état (11) et (12), l’équation de Zeuner (18) et l’équation de continuité (62), on peut écrire successivement : v1 T p ρT ------- = ------------- = ------- ------v T1 p1 ρ1 T 1 (69) v2 – v2 ------------------1- = h 1 – h = c p ( T 1 – T ) 2 2 cp v - ( T1 – T ) ------- = 1 + ---------2 v1 v soit : 1⁄2 (70) Figure 14 – Évolution du fluide en écoulement de Fanno pour une température génératrice donnée 1 ou encore, en notant que : ṁ v 1 = -----ρ1 3.3 Nature de l’écoulement 2 cp 2 v ------- = 1 + ---------- ρ 1 ( T 1 – T ) 2 v1 ṁ 1⁄2 (71) En combinant les équations (68), (69), (71) et la relation de Mayer pour les gaz parfaits, on obtient : 2 cp 2 r T - ρ1 ( T1 – T ) s – s 1 = c V In ------- + ---- In 1 + ---------2 T1 2 ṁ 2 2 soit 2 r 2 ṁ 1 + 2 ------ -------- T 0 – 1 cp p 2 1 - d T ------T – --------v r cp cV 2 (75) En exprimant c p et c V en fonction de r et de γ par application de la relation de Mayer : c V = r / (γ – 1) et c p = r γ / (γ – 1) (76) l’équation (75) s’écrit : r 1 rγ d s = ------------- ---- – ------2γ–1 T v dT L’introduction de la vitesse du son, donnée par (26), permet de remplacer la constante du gaz r par l’expression : 2 vs r = -------γT Alors, la pente de la courbe d’évolution de l’écoulement de Fanno, représentée dans le diagramme (T, s ), s’écrit : 2 T γ (γ – 1) 4 dT --------- = – ------2- ---------------------- Ma ds v 1 – Ma 2 (73) C’est cette température qui doit être introduite dans la relation (72), en prenant soin, pour tout changement de ṁ , de prendre une nouvelle valeur de s 1 correspondant, à la pression de référence p 1 (dont la valeur, au départ du tracé n’a aucune importance, mais qui sera ensuite conservée constante pour l’ensemble du tracé) et à la nouvelle température T 1 . (77) dT Ainsi, pour Ma = 1, on a --------- = ∞ , ce qui correspond à une ds tangente verticale aux courbes de la figure 14 : dT — si --------- < 0 ⇒ Ma < 1 , l’écoulement est subsonique ; ds dT — si -------- > 0 ⇒ Ma > 1 , l’écoulement est supersonique. ds Notons enfin que, selon la relation (73), à T 1 constante, si p 1 augmente, ṁ doit augmenter. Ainsi, les courbes à forte valeur de ṁ sont situées dans la partie gauche du diagramme. B 8 165 − 12 (74) ce qui, compte tenu de l’équation de continuité (63), de l’équation de Zeuner (65) et de l’équation d’état (66), devient : ds = r ṁ 2 T 0 = T 1 + ----------- -------2- T 1 2 cp p 1 cp p1 - -------T 1 = -----r 2 ṁ 2 dρ dT d s = c V --------- – r --------ρ T (72) C’est l’équation de la courbe s (T ) à conditions amont données T 1 et p 1 (ou T 1 et ρ 1) pour une valeur ṁ de la vitesse massique. La figure 14 représente de telles courbes caractérisant l’évolution du fluide en écoulement de Fanno pour diverses valeurs de la densité de flux massique et une température génératrice T 0 = T 01 donnée. Outre cette température génératrice, constante pour tout l’écoulement (§ 2.1.2), ont été portées, sur cette figure, l’enthalpie génératrice de tout l’écoulement h 01 = h 0 et la pression génératrice p 01 du point 1. On rappelle (§ 2.1.2) que, l’écoulement étant irréversible, les pressions génératrices des divers points de l’écoulement évoluent avec le point considéré. La famille de courbes de la figure 14 peut être tracée à partir des considérations suivantes. La température génératrice étant fixée, il existe un lien entre la température et la pression de référence 1 pour chaque valeur de la vitesse massique ṁ . Cette relation s’obtient en combinant les équations de Zeuner (34), l’équation d’état (11) et l’équation de conservation de la masse (62) : 2 L’équation différentielle de l’entropie s’écrit : Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. © Techniques de l’Ingénieur, traité Génie énergétique Dossier délivré pour Madame, Monsieur 12/09/2008 Dossier délivré pour Madame, Monsieur 12/09/2008 _________________________________________________________________________ Pour diverses valeurs de la vitesse massique ṁ , le point à tangente verticale (Ma = 1) est située à la même valeur de la température ou de l’enthalpie (figure 14). Comme lors d’une transformation adiabatique irréversible, l’entropie ne peut qu’augmenter, l’évolution du fluide en écoulement, donc à ṁ = Cte , a nécessairement lieu dans le sens indiqué par les flèches sur la figure 15. S’il est subsonique au départ, il ne peut que rester subsonique, la vitesse augmentant dans le sens de l’écoulement. Si l’écoulement est supersonique, il le restera également, la vitesse diminuant dans le sens de l’écoulement. Les pertes de charge de l’écoulement sont déduites de la relation (64) : dp (78) d τ = – v dv – -------ρ Par ailleurs, l’étude semi-empirique de l’écoulement d’un fluide dans une canalisation montre que les pertes de charge J peuvent s’exprimer par : λ u2 J = ----- --------- D 2g avec λ D u coefficient de pertes de charge, diamètre de la canalisation, sa longueur, la vitesse moyenne débitante. ÉCOULEMENTS MONODIMENSIONNELS DES FLUIDES COMPRESSIBLES Si dans le dernier cas étudié la pression p 2 baisse suffisamment, l’évolution de la courbe de Fanno et celle de l’isobare peuvent atteindre la position ṁ′′′ de la figure 15. L’écoulement est alors sonique dans la section 2. Toute diminution de la pression n’a alors plus d’incidence sur l’écoulement puisqu’une augmentation du débit signifierait, sur la nouvelle courbe de Fanno, une évolution du point 2 vers les entropies décroissantes à partir du point à tangente verticale, ce qui est thermodynamiquement impossible (puisque δ q = 0). Il y a alors blocage sonique de l’écoulement. La pression dans la section 2 reste égale à p 2 et si, à l’aval, la pression diminue, on observe une diminution brusque de la pression et la formation d’ondes de détente. L’écoulement ne suit plus, à l’aval, les lois de l’écoulement monodimensionnel. Dans le cas où l’écoulement est initialement supersonique, l’évolution sur la courbe de Fanno montre qu’il ne peut que rester supersonique (augmentation de s ) avec un nombre de Mach se rapprochant de l’unité à moins que, grâce à une discontinuité, un saut puisse avoir lieu de la branche basse de la courbe de Fanno à la branche haute de la même courbe (figure 16). Cette discontinuité, appelée onde de choc, correspond à une transition de l’écoulement du régime supersonique au régime subsonique. Elle a lieu avec une augmentation brusque de pression et d’entropie compte tenu de son caractère irréversible. Cette discontinuité sera étudiée au paragraphe 6. En écoulement monodimensionnel, ces pertes de charge peuvent s’écrire : 2 λ v d τ = ----- ------ ds D 2 (79) Pour simplifier le raisonnement, on néglige le terme relatif à l’énergie cinétique dans l’équation (78). La combinaison des équations (78) et (79), compte tenu de la relation de continuité (62), donne : dp ≈– 2 λ m˙ ---------- --------- d s 2D ρ (80) En prenant une valeur moyenne de ρ sur la longueur séparant les deux sections considérées, on a : ∆p 12 ou encore : ṁ ≈ 2 m˙ --------- ρ (81) 2ρD – -------------- ∆ p 12 λ (82) ≈– λ --------2D Compte tenu de l’hypothèse simplificatrice relative à l’énergie cinétique dans l’équation (78), cette relation n’est qu’approchée, l’erreur devenant de plus en plus importante au fur et à mesure que la vitesse se rapproche de la vitesse du son. L’équation (82) permet cependant de faire les constatations suivantes. ● Si on augmente la longueur sans changer la section Ω de la canalisation, ni la pression p 2 , pour un état générateur 01 constant : — la vitesse massique ṁ diminue ; elle devient m˙ ′ par exemple, les points 1 et 2 passant respectivement en 1’ et 2’ (figure 15) ; — le débit-masse Ṁ et la vitesse v diminuent. ● Si on diminue la section Ω (ou le diamètre D ) de la canalisation sans changer ni , ni p 2 , l’évolution est de même nature que précédemment. ● Il en est de même si la rugosité de la paroi augmente (augmentation de λ). ● Si on diminue la pression p 2 en gardant les autres paramètres constants : — la vitesse massique augmente, la courbe de Fanno évolue sur la gauche, les points caractérisant l’état du fluide dans les sections 1 et 2 deviennent 1’’ et 2’’ (figure 15) ; — le débit-masse Ṁ augmente et la vitesse augmente également. Figure 15 – Sens d’évolution du fluide et régimes d’écoulement en conduite cylindrique Figure 16 – Transition régime supersonique-régime subsonique par onde de choc en écoulement de Fanno Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. © Techniques de l’Ingénieur, traité Génie énergétique Dossier délivré pour Madame, Monsieur 12/09/2008 B 8 165 − 13 Dossier délivré pour Madame, Monsieur 12/09/2008 ÉCOULEMENTS MONODIMENSIONNELS DES FLUIDES COMPRESSIBLES __________________________________________________________________________ 2 4. Écoulement réversible d’un gaz parfait en conduite cylindrique 2 ṁ ṁ p + --------- = p 1 + --------ρ ρ1 ou : En utilisant l’équation d’état (11), on obtient : 2 2 ṁ r T 1 ṁ r T p + ------------------ = p 1 + -------------------p1 p Cet écoulement, appelé écoulement de Rayleigh, qui a lieu à Ω = Cte en respectant la réversibilité, ne peut se développer qu’avec un échange thermique q contrôlé. Cette nécessité le rend peu fréquent en pratique. soit : p -----p 1 4.1 Équations de l’écoulement de Rayleigh Les équations générales appliquées à ce cas particulier s’écrivent : — continuité (2) : 1 1 Ainsi, le rapport p /p 1 est donné par la relation : 2 2 2 2 2 2 2 1 + ṁ r T 1 ⁄ p 1 ± ( 1 + m˙ r T 1 / p 1 ) – 4 m˙ r T / p 1 p ------- = --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2 p1 (88) T s – s 1 = c p In ------- + r In 2 T1 — bilan de la quantité de mouvement (6) : – r In 1 + α ± (83) — bilan de l’énergie (9) : q 12 = ∆ h 12 + ∆ e c 12 (84) δ q = dh + v d v (85) ou : 2 2 ṁ r T 1 ṁ r T p – ------- 1 + -------------------+ ----------------- = 0 2 2 p1 p p ṁ r T 1 en posant α = -------------------- , l’équation de l’écoulement est : 2 p1 d ρ dv -------- + -------- = 0 ρ v dp v dv + -------- = 0 ρ 2 2 ρ 1 v 1 = ρ 2 v 2 = ṁ = Cte ou encore : (87) 2 ( 1 + α ) – 4 α T / T 1 (89) La courbe correspondante est représentée sur la figure 17 pour une valeur de α. 4.3 Nature de l’écoulement — équation d’état du fluide (11) et (12) : dh = cp dT La combinaison de l’équation de l’énergie (85), de l’équation d’état (66) et de la relation entre l’échange thermique et la variation d’entropie en transformation réversible : dp d ρ dT -------- – -------- = -------T ρ p δq = T ds (90) T ds = cp dT + v dv (91) permet d’écrire : 4.2 Évolution du fluide en diagramme entropique En combinant cette relation avec l’équation suivante, dérivée de l’équation de continuité (63), La variation d’entropie d’un gaz parfait idéal s’écrit : dρ v dv = – v 2 -------ρ T p s – s 1 = c p In ------- – r In ------T1 p1 on a : où la référence 1 concerne l’état du fluide dans la section 1 de référence. Dans cette expression, pour exprimer le rapport de pression p /p 1 en fonction de ṁ , de T 1 , de p 1 et de T, on combine les relations (83) et (63), ce qui donne : dρ T d s = c p dT – v 2 -------ρ dp dρ -------- – ----------- = 0 ρ ρv 2 soit, avec l’équation (62) : 2 dρ ṁ ------- – dp = 0 ρ2 L’intégration de cette relation donne : 2 ṁ p + --------- = Cte ρ (86) Figure 17 – Évolution des caractéristiques thermodynamiques du fluide lors d’un écoulement de Rayleigh B 8 165 − 14 Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. © Techniques de l’Ingénieur, traité Génie énergétique Dossier délivré pour Madame, Monsieur 12/09/2008 (92) Dossier délivré pour Madame, Monsieur 12/09/2008 _________________________________________________________________________ L’équation (74), donnant la variation d’entropie d’un gaz parfait, permet d’écrire : c V dT dρ ds (93) – -------- = -------- – ------ -------ρ r T r = v2 c p – ------- c V d T rT (94) ou, en introduisant la vitesse du son v s2 = γ r T et le nombre de Mach Ma : T 1 – γ Ma 2 dT -------- = ------ -------------------------c p 1 – Ma 2 ds 5.2 Écoulement en tuyère de Laval 5.2.1 Variation de la pression en fonction du débit 5.2.1.1 Préliminaire En combinant les relations (92) et (93), on obtient : v2 ds T – ------r ÉCOULEMENTS MONODIMENSIONNELS DES FLUIDES COMPRESSIBLES (95) Cette équation montre que : dT — lorsque Ma = 1 (écoulement sonique), --------- = ∞ ; ainsi, sur la ds courbe de Rayleigh, le point à tangente verticale correspond à un régime d’écoulement sonique ; — lorsque Ma = 1 / γ , la tangente à la courbe T (s ) est horizontale et l’écoulement est subsonique ; il le reste dans toute la partie supérieure de la courbe de Rayleigh où Ma < 1 / γ ; — dans la partie inférieure de la courbe de Rayleigh, Ma > 1, l’écoulement est supersonique et la pente de la courbe est positive. Dans ce type d’écoulement, si les conditions amont p 1 , T 1 et le débit ṁ sont constants, le point représentatif de l’état du fluide peut évoluer dans le sens s croissant ou décroissant puisque l’écoulement est réversible par définition. Lorsque l’entropie augmente, il y a apport de chaleur et augmentation de la vitesse si l’écoulement est subsonique ou diminution si l’écoulement est supersonique. Un refroidissement entraîne une chute de la vitesse en écoulement subsonique, une augmentation en écoulement supersonique. Une tuyère de Laval a un profil dont la variation est conforme à celui d’une veine d’écoulement isentropique d’un gaz parfait idéal dont la pression varie de p 0 à une valeur pS à la sortie relativement faible. Elle comporte un convergent, un col et un divergent. On fera l’hypothèse, dans ce qui suit, que les conditions génératrices p 0 et T 0 sont constantes. Ainsi, l’équation (59) montre que la courbe : – 1/ γ δ0 Ω ------ = ----------------------------------------- = f ( δ0 ) a Ṁ ρ 0 v max 1 – δ 0 (96) est unique (figure 19a ). À δ 0 constant, plus Ω est grand, plus Ṁ doit être élevé, ce qui donne le sens de l’augmentation du paramètre Ṁ sur la représentation de la figure 19b. Pour une certaine valeur du débit (figure 20a ), la valeur de Ω pour δ 0 = δ 0 i correspond à la valeur Ω c de la section du col géométrique de la tuyère de Laval (figure 20b ). Ce débit, Ṁ c , est appelé débit critique. Pour cette valeur du débit : ∂Ω ∂Ω --------- = --------- = 0 ∂x ∂p et le taux de détente au col δ 0 c est tel que : δ0 c = δ0 i La vitesse de l’écoulement est alors sonique au col (§ 2.2.3). 5. Écoulement isentropique d’un gaz parfait dans une tuyère Figure 18 – Tuyères 5.1 Définition d’une tuyère Une tuyère est un organe mécanique passif qui met en communication deux réservoirs à des pressions différentes et dont le profil doit permettre un écoulement adiabatique réversible (au moins théoriquement). Son profil doit donc être tel qu’il habille exactement la veine d’écoulement étudiée au paragraphe 2. Ainsi, par exemple, si la pression varie dans la tuyère de la valeur p 0 à une valeur nulle dans le sens de l’écoulement, il faut que le profil soit convergent, puis divergent et que la section de sortie soit infinie. La section d’entrée sera elle-même infinie si la vitesse d’entrée est nulle. Pratiquement, les conditions de l’écoulement théorique ne sont jamais respectées et, en particulier, la viscosité du fluide n’est pas nulle, ce qui entraîne des irréversibilités. Selon le taux de détente utilisé, les tuyères seront, soit simplement convergentes (figure 18a ) pour les taux de détente élevés δ > δ 0 i , soit convergentes-divergentes (figure 18b ) lorsque les taux de détente sont inférieurs à δ 0 i . Elles sont alors appelées tuyères de Laval. Figure 19 – Représentation de la relation existant entre la section, le débit et le taux de détente dans une tuyère Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. © Techniques de l’Ingénieur, traité Génie énergétique Dossier délivré pour Madame, Monsieur 12/09/2008 B 8 165 − 15 Dossier délivré pour Madame, Monsieur 12/09/2008 ÉCOULEMENTS MONODIMENSIONNELS DES FLUIDES COMPRESSIBLES __________________________________________________________________________ Dans le diagramme entropique (figure 21), les évolutions du fluide suivent : — soit la ligne 0 c d 4’, si l’écoulement est totalement subsonique sauf au col ; — soit la ligne 0 c h 4’’, si l’écoulement est supersonique dans le divergent. Figure 20 – Évolution des paramètres de l’écoulement dans une tuyère de Laval 5.2.1.2 Étude de la variation de en fonction de x selon la valeur de Ṁ par rapport à M˙ c ■ Débit M˙ 1 inférieur au débit critique M˙ c La variation du taux de détente δ 0 en fonction de x correspond à la courbe 1 de la figure 20c. En effet, à x = 0, δ 0 = 1 et l’aire de la section droite Ω est infinie, en conformité avec l’hypothèse d’une vitesse nulle à l’amont et la courbe de la figure 20a. Lorsque x augmente, Ω diminue. En suivant cette diminution sur la courbe M˙ 1 de la figure 20a, on voit que δ 0 doit aussi diminuer pendant que la vitesse v augmente. La section Ω diminue jusqu’à la valeur Ω c correspondant à x = x c . Le point correspondant sur la courbe Ω (δ 0 ) est le point A pour lequel δ 0 c = δ 0 A > δ 0 i et vA < v i = v i c . La relation de Hugoniot montre que la vitesse est subsonique au col vA < v s c . Lorsque x augmente, la section augmente et le point représentatif sur la courbe Ω (δ 0 ) rebrousse chemin. δ 0 augmente jusqu’à la valeur δ 0 B du taux de détente qui règne dans la section de sortie ΩS . La vitesse diminue en fonction de x et l’écoulement reste subsonique dans tout le divergent. Dans le diagramme entropique (figure 21), l’évolution a lieu de manière isentropique de 0(p 0 , T 0 ) à a qui caractérise le col, puis à b où la vitesse a une certaine valeur. Si la tuyère débouche dans un réservoir de grandes dimensions, la vitesse s’annule et le fluide évolue irréversiblement de b à 4. ■ Débit égal au débit critique Ṁ c Pour x compris entre 0 et x c , Ω diminue jusqu’à la valeur Ωc , δ 0 diminue de 1 à δ 0 c = δ 0 i = taux de détente capable de la vitesse du son. C’est la courbe 2 de la figure 20c. Pour x > x c deux solutions sont possibles. ● δ 0 peut augmenter avec Ω : sur la courbe Ω (δ 0 ), le point représentatif, comme dans le cas précédent, rebrousse son chemin. La fonction δ 0 (x ) suit alors la courbe 3. Pour x = , le point représentatif sur Ω (δ 0 ) est en D correspondant à Ω = ΩS et le taux de détente est δ 0 D . La vitesse, subsonique dans le convergent, est sonique au col et redevient subsonique dans le divergent. ● δ 0 diminue avec l’augmentation de Ω : c’est le cas où le point représentatif, sur Ω (δ 0 ) passe sur la partie située à gauche du minimum. La représentation de δ 0 (x ) correspond à la courbe 4 et la vitesse continue à augmenter. À la sortie de la tuyère où Ω = ΩS , le taux de détente vaut δ 0E . Dans ce cas, l’écoulement est subsonique dans le convergent, sonique au col, supersonique dans le divergent. B 8 165 − 16 ■ Débit Ṁ 2 supérieur au débit critique En suivant le raisonnement précédent, on constate qu’il y aurait une discontinuité sur la variable x, puisque la valeur minimale de la section Ω sur la courbe Ω (δ 0 ) est supérieure à Ωc . De la courbe 5 il faudrait passer directement à la courbe 6 en sautant de x 1 à x 2 . Ainsi la pression dans la zone x 1 < x < x 2 ne serait pas définie, ce qui est impossible physiquement. Cela signifie que ce cas est physiquement impossible et on peut en conclure que, dans une tuyère, le débit ne peut jamais être supérieur au débit critique. Une explication physique peut être donnée à ce phénomène. En effet, les conditions amont étant fixées, le débit n’évolue que par modification de la pression à l’aval de la tuyère. Or chaque perturbation ayant lieu à l’aval sous forme de variation de la pression, celle-ci ne peut remonter vers l’amont que dans la mesure où la vitesse de l’écoulement est inférieure à la vitesse du son. Ainsi, dès que le col est en régime d’écoulement sonique, l’amont ne sent plus les variations produites à l’aval. Le débit ne peut qu’être constant puisque réglé uniquement par l’amont. On dit qu’il y a blocage sonique du débit ou que la tuyère fonctionne en régime bloqué. Les seules évolutions du débit ne peuvent être produites que par une variation des conditions génératrices. 5.2.2 Étude des divers régimes d’écoulement en fonction du taux de détente à la sortie Ici encore, on suppose que les conditions thermodynamiques du fluide dans le réservoir amont de dimensions infinies sont constantes. Le problème consiste à étudier l’évolution du régime d’écoulement quand le taux de détente à la sortie δ 0 S varie de 1 à 0. ■ δ0 D < δ0 S < 1 L’étude précédente, correspondant au cas où Ṁ < Ṁ c montre que l’évolution de δ 0 (x ) est donnée par la courbe 1. Le débit augmente quand δ 0 S diminue, le point B évoluant par exemple vers le point D. La vitesse augmente dans le convergent et diminue dans le divergent avec un maximum au col sans jamais atteindre la vitesse du son. L’écoulement est toujours subsonique : Ma < 1. ■ δ0 S = δ0 D Ce cas correspond au débit critique. La variation δ (x ) est représentée par les courbes 2 et 3 de la figure 20c. La vitesse est toujours subsonique sauf au col où il y a une discontinuité sur la dérivée de dp la pression --------- qui est négative avant le col et positive après. Cela dx conduit à la présence d’une onde ordinaire fixe. ■ δ0 S = δ0 E Dans ce cas aussi, le débit correspond au débit critique. On a indiqué ci-dessus que l’écoulement est subsonique dans le convergent, sonique au col et supersonique dans le divergent. La loi de l’écoulement isentropique est parfaitement suivie ; la vitesse est maximale à la sortie du divergent. C’est en principe, pour ce type d’écoulement qu’est construite la tuyère de Laval. ■ δ0 E < δ0 S < δ0 D Selon l’étude faite au paragraphe 5.2.1, pour ces valeurs de δ 0 , le débit correspond au débit critique, l’écoulement est subsonique dans le convergent et sonique au col. Dans le divergent, deux cas sont à considérer. ● δ0 S > α Dans ce cas, on constate que la vitesse est subsonique dans une fraction du divergent, ce qui permet aux ondes de pression de remonter à l’intérieur du divergent. Mais la fraction amont étant le Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. © Techniques de l’Ingénieur, traité Génie énergétique Dossier délivré pour Madame, Monsieur 12/09/2008 Dossier délivré pour Madame, Monsieur 12/09/2008 _________________________________________________________________________ siège d’un écoulement supersonique, ces ondes sont bloquées dans la zone de transition de vitesse à l’abscisse x t qui dépend de δ 0 S . Elles s’y accumulent en formant une onde de choc avec une brusque remontée de la pression et dans laquelle les particules du fluide subissent une décélération extrêmement forte. Cette onde est stationnaire et normale à l’écoulement. Le débit reste constant quelle que soit la valeur de δ 0 S . La pression suit les courbes 2 puis 4 jusqu’à l’onde de choc et la courbe 6 à l’aval de l’onde de choc. Sur la courbe Ω 0 (δ 0 ) (figure 22), la transition correspond au passage de H à I’ et non de H à I car ce dernier cas redonnerait en suivant Ω 0 (δ 0 ) un taux de détente égal à δ 0 D pour Ω 0 = ΩS . En fait, l’onde de choc est un processus irréversible et, bien que l’on puisse admettre un écoulement isentropique à l’amont et à l’aval de la zone de transition, l’écoulement n’est pas globalement isentropique. L’augmentation d’entropie a pour résultat une modification des conditions génératrices (qui supposent une évolution isentropique, donc réversible) vis-à-vis de l’écoulement aval. Alors, pour l’écoulement aval, la courbe de variation de la section en fonction de δ 0 change. C’est une courbe p Ω′0 ( δ 0′ ) avec δ 0′ = -------- , où p ′0 correspond à la pression de l’état p ′0 générateur de l’écoulement aval, lié à la courbe Ω 0 (δ 0 ) par la valeur de p qui est la même quelles que soient les conditions génératrices. Pour connaître la valeur de p′0 relativement à p 0 , on fait le raisonnement qui suit. L’enthalpie du fluide à l’amont h 0 a une valeur fixée pour les conditions amont réelles (ou l’état générateur amont). La température génératrice T 0 étant liée à l’enthalpie, on peut la considérer comme constante. Par contre, du fait de l’irréversibilité due à l’onde de choc, pour une pression aval p S donnée, la variation d’enthalpie entre l’entrée et la sortie sera plus faible que pour une évolution réversible (figure 21). Le fluide passe par exemple de l’état 0 à l’état g alors qu’il serait passé de l’état 0 à l’état j en écoulement réversible. L’application de la relation de Zeuner (18), valable quel que soit l’écoulement adiabatique montre que la vitesse obtenue dans l’écoulement réel est plus faible que celle qui aurait été obtenue en écoulement isentropique. L’équation (33) relative à l’état générateur d’un écoulement donné montre alors que : p′0 < p 0 Ce résultat apparaît nettement sur la figure 21. Ainsi : δ 0′ S > δ 0 S Ce résultat justifie la position des courbes Ω′0 et Ω 0 présentées sur la figure 22. De plus, pour l’écoulement réversible à conditions génératrices 0’, la section au col en régime sonique ( Ω′0 ) c doit être supérieure à celle que l’on a avec les conditions 0. En effet, comme dans chaque cas, le taux de détente au col capable de la vitesse du son est le même, l’application de la relation (96) donne : ( Ω′0 ) ( Ω0 ) ---------------c- ρ ′0 = --------------c- ρ 0 Ṁ Ṁ soit, T 0′ étant égale à T 0 : p0 ( Ω′0 ) c = -------- ( Ω 0 ) c p′0 Comme la position de l’onde de choc stationnaire dans le divergent dépend de la valeur de δ 0S , elle se déplace vers la sortie lorsque δ 0 S diminue. La figure 21 permet de suivre l’évolution thermodynamique du fluide en diagramme T, s pour cette valeur de δ 0S . On note que le passage de l’onde de choc de e à f a lieu sur la même courbe de Fanno. Cela s’explique par le fait qu’entre l’amont et l’aval de l’onde de choc, le débit et la section ne changent pas, ce qui impose d’avoir ÉCOULEMENTS MONODIMENSIONNELS DES FLUIDES COMPRESSIBLES ṁ = Cte . On se trouve dans les conditions de l’écoulement de Fanno : écoulement adiabatique, irréversible à section constante. ● δ0 S < α Lorsque le taux de détente atteint la valeur α , l’onde de choc de compression atteint la sortie de la tuyère. L’expérience montre que si l’on continue à diminuer la pression aval, l’écoulement perd son caractère stationnaire. Il peut se produire des décollements de veine dans le divergent qui évoluent dans le temps et on observe, dans tous les cas, des ondes de choc obliques accrochées au bord de la section de sortie et qui se réfléchissent ensuite sur les bords de la veine d’écoulement aval. L’inclinaison des ondes par rapport à une section droite est d’autant plus importante que δ 0 S se rapproche de δ 0 E . ■ δ0 S < δ0 E À partir de δ 0 E , l’écoulement est supersonique dans tout le divergent. Aucune onde de pression ne peut plus remonter le courant dans le divergent et le débit reste toujours égal à sa valeur critique. La pression évolue selon les courbes 2 et 4 et l’écoulement est isentropique dans toute la tuyère. À la sortie, se forment des ondes de détente obliques qui permettent le passage du taux de détente δ 0 E à δ 0 S et qui se réfléchissent sur la surface de discontinuité limitant le jet à la sortie de la tuyère. L’évolution des caractéristiques du fluide dans le diagramme T, s apparaît sur la figure 21. Le fluide passe de l’état 0 à l’état h dans la tuyère. Il évolue selon une courbe oscillante autour de l’isobare p S dans le réservoir aval. 5.2.3 Expression du débit L’équation générale du débit d’un écoulement isentropique en fonction des caractéristiques de l’état générateur T 0 , P 0 est donnée par l’équation (59). On applique généralement cette équation en considérant : — soit la section de sortie : 1/ γ a Ṁ = ρ 0 v max δ 0 S 1 – δ 0 S ΩS — soit la section au col : 1⁄γ Ṁ = ρ 0 v max δ 0 c a 1 – δ 0 c Ωc (98) Les courbes correspondantes sont données qualitativement sur la figure 23. Bien évidemment, le débit calculé par l’équation (97) doit être identique à celui calculé par (98). Ces deux équations permettent d’avoir la correspondance entre δ 0 c et δ 0 S . Lorsque la pression p S à l’aval de la tuyère diminue à partir de la valeur p 0 , le débit augmente et les taux de détente δ 0 c et δ 0 S diminuent. Lorsque le taux de détente au col atteint la valeur critique : δ 0 ci = 2 ------------γ+1 γ /(γ – 1) le taux de détente à la sortie vaut δ 0 D et le débit atteint sa valeur critique : 2 γ–1 Ṁ c = ρ 0 v max ------------- ------------γ+1 γ+1 1/ ( γ – 1 ) Ωc (99) ou encore, en utilisant la vitesse du son dans les conditions génératrices [équation (40)] : 2 Ṁ c = ρ 0 v s0 ------------γ+1 ( γ + 1 )/2 ( γ – 1 ) Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. © Techniques de l’Ingénieur, traité Génie énergétique Dossier délivré pour Madame, Monsieur 12/09/2008 (97) Ωc (100) B 8 165 − 17 Dossier délivré pour Madame, Monsieur 12/09/2008 ÉCOULEMENTS MONODIMENSIONNELS DES FLUIDES COMPRESSIBLES __________________________________________________________________________ Figure 21 – Évolution des caractéristiques du fluide en écoulement dans une tuyère de Laval (diagramme entropique) La combinaison des équations (97) et (100) permet alors de calculer δ 0 D en égalisant les débits : 1⁄γ δ0D a 1 – δ0D = γ–1 -----------2 2 -----------γ+1 ( γ + 1 )/2 ( γ – 1 ) Ωc --------ΩS (101) C’est une équation implicite qui admet deux solutions. La première est effectivement δ 0 D ; la seconde est δ 0 E . En effet, lorsque la pression à l’aval est telle que le taux de détente soit δ 0 E , l’écoulement dans l’intégralité de la tuyère est isentropique et l’équation (97) est applicable. Par contre, pour toutes les valeurs de δ 0 S inférieures à δ 0 D et différentes de δ 0 E , la présence de l’onde de choc interdit l’emploi de la relation (97). Le débit est bloqué à sa valeur critique Ṁ c , le taux de détente au col garde une valeur constante δ 0 ci . Figure 22 – Schématisation de la transition due à une onde de choc 5.3 Réalisation pratique et rendement des tuyères En pratique, il existe une différence entre le débit réel et le débit calculé. Cela est dû au fait que, si l’écoulement est bien adiabatique, il est par contre irréversible donc non isentropique. Une tuyère étant toujours utilisée pour augmenter l’énergie cinétique d’un gaz, on définit son rendement par la relation : ( ∆ e c ) réelle ∆h réel η = ----------------------------------------- = --------------( ∆ e c ) isentropique ∆h s En général, ce rendement est de l’ordre de 90 à 95 %. Figure 23 – Évolution du débit en fonction du taux de détente pour un état générateur donné dans deux sections différentes d’une tuyère B 8 165 − 18 La forme Ω (x ) d’une tuyère n’est pas absolument imposée par la théorie. En pratique, il faut faire en sorte que les irréversibilités soient minimisées. Il faut, en particulier, veiller à ce qu’aucun décollement de veine ne se produise dans le divergent. Lorsque la tuyère est de révolution, on lui donne souvent les caractéristiques portées sur le schéma de la figure 24. Dans les turbines à gaz ou à vapeur, les tuyères sont formées par les canalisations entre les aubages. Une section droite est ainsi de forme sensiblement rectangulaire. La hauteur de la section varie Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. © Techniques de l’Ingénieur, traité Génie énergétique Dossier délivré pour Madame, Monsieur 12/09/2008 Dossier délivré pour Madame, Monsieur 12/09/2008 _________________________________________________________________________ ÉCOULEMENTS MONODIMENSIONNELS DES FLUIDES COMPRESSIBLES Figure 25 – Canalisations en forme de tuyères constituées par des aubages de turbine Figure 24 – Données constructives d’une tuyère de Laval droite peu dans le sens de l’écoulement. Sa largeur varie comme l’indique la figure 25a qui représente une tuyère convergente. La figure 25b correspond à une tuyère convergente-divergente. 6. Ondes de choc Une onde de choc correspond à une zone d’écoulement de très faible épaisseur, inférieure à 1 mm, qui fait la transition entre l’amont où la vitesse est supersonique et l’aval où elle est subsonique. Dans le même espace, la pression est en très forte augmentation. Ainsi, les particules du fluide lors de leur traversée de l’onde de choc subissent une décélération extrêmement forte qui peut atteindre 109 à 1010 m/s2, soit environ un milliard de g. C’est cet impact violent, produisant un véritable choc sur les particules, qui est à l’origine du nom donné à cette zone de transition. Il existe des ondes de choc droites (ou planes) et des ondes de choc obliques. Cet article étant réservé aux écoulements monodimensionnels, seules les ondes de choc droites, perpendiculaires à la ligne moyenne d’écoulement du gaz sont traitées. Elles séparent le milieu 1 ou l’écoulement est supersonique du milieu 2 où l’écoulement est subsonique (figure 26). 6.1 Équations des ondes de choc Pour l’écoulement à travers une onde de choc, les équations générales prennent la forme suivante, en notant par 1 la face amont de l’onde de choc et par 2 la face aval dont la surface Ω2 peut être estimée égale à celle de la face amont Ω1 . ■ Conservation de la masse (2) : ρ 1 v 1 = ρ 2 v 2 = ṁ ou : d ρ dv --------- + -------- = 0 ρ v ■ Bilan de la quantité de mouvement (6) : Figure 26 – Schématisation d’une onde de choc droite Équations d’état du fluide (11) et (12) : dh = c p dT dρ dp dT – -------- + -------- = -------ρ p T On retrouve, dans ce système d’équations : — l’intégralité des équations de l’écoulement de Fanno, sauf en ce qui concerne l’équation du bilan de la quantité de mouvement (83) [équation (64) pour l’écoulement de Fanno] ; — l’intégralité des équations de l’écoulement de Rayleigh, sauf l’équation de l’énergie (65) [équation (85) pour l’écoulement de Rayleigh]. Ainsi, en considérant : — d’une part que les équations (62), (65), (66) et (67), associées à l’équation de l’entropie d’un gaz parfait, ont conduit à l’équation de la courbe de Fanno en diagramme entropique ; — d’autre part que les équations (62), (83), (66) et (67), associées à la même équation de l’entropie d’un gaz parfait, ont conduit à l’équation de la courbe de Rayleigh en diagramme entropique ; l’écoulement à travers une onde de choc doit répondre aux deux conditions, celle de Fanno et celle de Rayleigh. La solution du problème correspond donc aux points communs à ces deux courbes. La figure 27 montre qu’il existe deux points d’intersection : l’un entre les branches supersoniques des courbes de Fanno et de Rayleigh, l’autre entre les branches subsoniques. La traversée de l’onde de choc se faisant avec création d’entropie, l’évolution du fluide correspond au passage de 1 à 2, soit effectivement d’un écoulement supersonique à un écoulement subsonique (et jamais dans l’autre sens). dp v d v + -------- = 0 ρ En effet, le travail des forces de frottement – f d x peut être négligé, compte tenu de la très faible épaisseur de l’onde de choc (∆x ≈ 0). ■ Bilan de l’énergie (9) qui, en raison de l’adiabaticité du transfert, s’écrit : dh + v dv = 0 6.2 Relations entre les paramètres du fluide de part et d’autre de l’onde de choc La combinaison des équations de base des ondes de choc permet de trouver des relations entre les pressions, les températures et les vitesses de part et d’autre de l’onde de choc. Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. © Techniques de l’Ingénieur, traité Génie énergétique Dossier délivré pour Madame, Monsieur 12/09/2008 B 8 165 − 19 Dossier délivré pour Madame, Monsieur 12/09/2008 ÉCOULEMENTS MONODIMENSIONNELS DES FLUIDES COMPRESSIBLES __________________________________________________________________________ 6.2.2 Relation entre les nombres de Mach amont et aval de l’onde de choc L’équation de continuité : ρ v Ma 1 v s 1 ------2 = ------1- = ---------------------ρ1 v2 Ma 2 v s 2 peut s’écrire, en utilisant l’équation d’état des gaz parfaits et l’expression de la vitesse du son : p T Ma T ------2- ------1- = -----------1- ------1p1 T2 Ma 2 T 2 Ma 1 T 2 p ------2- = ------------ ------Ma 2 T 1 p1 soit : La combinaison des équations (105), (106) et (107) permet de trouver une relation entre les nombres de Mach à l’amont et à l’aval de l’onde de choc : Figure 27 – Transition à travers une onde de choc de 1 à 2 6.2.1 Expressions des paramètres en fonction des nombres de Mach amont et aval de l’onde de choc L’équation du bilan de la quantité de mouvement (83) peut être remplacée par une équation intégrale dans laquelle les forces d’interaction avec l’élément de fluide considéré ne sont pas explicitées, mais simplement représentées par leur résultante R : R = ρ 2 2 v 2 d Ω2 n2 + ρ 2 1 v1 d Ω1 n1 γ–1 2 2 - Ma 1 Ma 1 1 + -----------1 + γ Ma 2 --------------------------21- = ------------- ------------------------------------γ–1 Ma 2 2 1 + γ Ma 2 1 + ------------- Ma 2 2 La résolution de cette équation se fait en élevant les deux membres au carré, puis en notant qu’elle est symétrique en Ma 1 et Ma 2 . 2 2 Ma 1 = Ma 2 est donc la première solution de cette équation du deuxième degré, la seconde solution est : (102) 2 Ma 1 + [ 2 / ( γ – 1 ) ] 2 Ma 2 = ------------------------------------------------------2 [ 2 γ Ma 1 / ( γ – 1 ) ] – 1 Or, du fait de la faible épaisseur de l’onde de choc et de l’hypothèse d’écoulement monodimensionnel, on a : ρ (108) Cette relation entre Ma 2 et Ma 1 est représentée sur la figure 28. 2 2 v dΩ = ρv Ω 6.2.3 Expressions des paramètres en fonction du nombre de Mach amont R = (p 1 – p 2 ) Ω et : (107) Ainsi, l’équation (102), qui se projette en vraie grandeur sur la normale à la section Ω , devient : 2 2 p1 + ρ1 v1 = p2 + ρ2 v 2 La relation (108) permet d’exprimer les rapports des diverses grandeurs en fonction du seul nombre de Mach amont. Ainsi, on a : (103) T ------2- = T1 Or, compte tenu de l’équation d’état, on peut noter que : p+ ρv 2 2 v = p 1 + ------rT 2γ - Ma -----------γ+1 2 1 γ–1 – ------------γ+1 2 γ–1 - + ------------------------------- -----------γ + 1 ( γ + 1 ) Ma 2 1 p 2γ 2 γ–1 ------2- = ------------- Ma 1 – ------------γ+1 p1 γ+1 (109) (110) ou, en introduisant la vitesse sonique : 2 p + ρ v 2 = p (1 + γ Ma 2) ρ p1 T2 2 + ( γ – 1 ) Ma 1 ------1 = ------------- = ---------------------------------------2 ρ2 p2 T1 ( γ + 1 ) Ma 1 (104) Ainsi, l’équation (103) s’écrit : (111) 2 1 + γ Ma 1 p ------2- = -------------------------2 p1 1 + γ Ma 2 (105) De même, l’équation de l’énergie, compte tenu des équations d’état, devient : 2 2 v1 v1 c p T 1 + ------ = c p T 1 1 + ----------------2 2c p T 1 soit : γ–1 - Ma = c T 1 + ---------- 2 p γ–1 2 1 + ------------- Ma 1 T 2 ------2- = -------------------------------------γ–1 T1 2 1 + ------------- Ma 2 2 1 2 1 (106) 6.2.4 Relation de Rankine-Hugoniot pour les ondes de choc droites La relation de Rankine-Hugoniot lie les pressions amont et aval aux masses volumiques amont et aval. Elle s’obtient en éliminant le nombre de Mach Ma 1 entre les relations (110) et (111) : ou : ρ ( γ + 1 ) p2 + ( γ – 1 ) p1 ------2 = ------------------------------------------------------ρ1 ( γ + 1 ) p1 + ( γ – 1 ) p2 (112) p ( γ + 1 ) ρ2 – ( γ – 1 ) ρ1 ------2- = -----------------------------------------------------p1 ( γ + 1 ) ρ1 – ( γ – 1 ) ρ2 (113) La figure 29 permet de comparer la loi de l’évolution du choc à celle d’une transformation isentropique. B 8 165 − 20 Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. © Techniques de l’Ingénieur, traité Génie énergétique Dossier délivré pour Madame, Monsieur 12/09/2008 Dossier délivré pour Madame, Monsieur 12/09/2008 _________________________________________________________________________ ÉCOULEMENTS MONODIMENSIONNELS DES FLUIDES COMPRESSIBLES Pour le même fluide s’écoulant à l’aval de l’onde de choc, les conditions génératrices sont p 02 et T 02 . Or, les températures des états générateurs sont identiques (§ 2.1.2). Ainsi, on a : T02 = T01 et vs * 1 = vs * 2 La vitesse du son critique est donc unique dans un écoulement. On définit ainsi, pour tout écoulement un nombre de Mach critique qui vaut, par définition : v Ma * = ---------vs * Ce nombre de Mach critique est relié au nombre de Mach de la manière suivante : Figure 28 – Relation entre les nombres de Mach de l’écoulement à l’amont et à l’aval d’une onde de choc Ma 2 v 2 vs γ rT v2 2 γ +1 T = --------- = ------ --------- = Ma 2 --------------------- = Ma ------------- ------2 2 * v2 2 T0 γ r T 2 0 vs vs s* -------------------* γ+1 2 et, compte tenu de la relation (38) donnant le rapport T /T 0 : 1 2 Ma * = ( γ + 1 ) Ma 2 ----------------------------------------22 + ( γ – 1 ) Ma (114) 2 soit aussi : Ma 2 2 Ma * = ------------------------------------------------2 γ + 1 – ( γ – 1 ) Ma * (115) En portant cette expression du nombre de Mach dans l’équation (108) liant les nombres de Mach amont et aval, on trouve : Ma 1* Ma 2 * = 1 Figure 29 – Évolutions du fluide : isentropique et lors de la traversée d’une onde de choc Lorsque l’onde de choc se produit à un très grand nombre de Mach, p 2 /p 1 est élevé [cf. (110)]. On constate alors que : p ρ γ+1 ------2- → ∞ ⇒ ------2 → ------------ρ1 γ–1 p1 dont la valeur est égale à 6 pour un gaz tel que l’air ( γ = 1,4) ; (ρ 1 /ρ 2 = 0,167). Lorsque le nombre de Mach amont est faible, de l’ordre de l’unité : p ------2- → 1 p1 et ρ ------1 → 1 ρ2 La transformation de Rankine-Hugoniot se confond avec la transformation isentropique. (116) qui s’écrit également : 2 v1 v2 = vs * (117) C’est l’équation de Prandtl-Mayer qui donne une relation simple entre les vitesses du fluide à l’amont et à l’aval de l’onde de choc et la vitesse du son critique. 6.2.6 Variation d’entropie à la traversée d’une onde de choc L’irréversibilité d’une onde de choc peut être mesurée par la scréation d’entropie due à cette discontinuité. On peut la calculer simplement en appliquant, par exemple, la relation (68) : T2 p2 s 2 – s 1 = c p In ------- – r In ------T1 p1 et en prenant en compte les relations (109) et (110) pour obtenir une équation en fonction de Ma 1 uniquement. 6.2.5 Relation de Prandtl-Mayer La relation de Prandtl-Mayer relie les vitesses amont et aval de l’onde de choc à la vitesse du son critique pour l’écoulement amont ou pour l’écoulement aval. Par définition, la vitesse du son critique (§ 2.2.3) est la vitesse sonique obtenue dans un écoulement isentropique. Pour un fluide en écoulement à p 1 et T 1 , les conditions génératrices sont p 01 et T 01 . Dans un écoulement isentropique à partir de ces conditions génératrices, la vitesse sonique est obtenue au col de l’écoulement lorsque le taux de détente correspond au taux de détente critique : v si = v s * = 2γ ------------- r T 01 γ+1 6.3 Application à la mesure de la vitesse en écoulement supersonique La vitesse d’un écoulement peut être déduite de la mesure de la pression effectuée à l’aide d’un tube de Pitot. La pression mesurée au point d’arrêt du tube est la pression d’arrêt isentropique du milieu où il se trouve. Dans le cas d’un écoulement supersonique, il se produit, à l’amont du tube, une onde de choc qui permet le passage de la vitesse de l’écoulement infini entourant le tube de Pitot à la vitesse nulle du point d’arrêt (figure 30). La pression d’arrêt p 02 mesurée par le tube est liée à la pression p 2 par l’équation (37) : p 02 -------- = p2 γ–1 - Ma 1 + ---------- 2 2 2 1⁄a Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. © Techniques de l’Ingénieur, traité Génie énergétique Dossier délivré pour Madame, Monsieur 12/09/2008 (118) B 8 165 − 21 Dossier délivré pour Madame, Monsieur 12/09/2008 ÉCOULEMENTS MONODIMENSIONNELS DES FLUIDES COMPRESSIBLES __________________________________________________________________________ Figure 30 – Détermination de la vitesse d’un écoulement supersonique au moyen d’un tube de Pitot En considérant la relation (110) entre la pression p 2 et la pression p 1 de part et d’autre d’une onde de choc et la relation (108) entre les nombres de Mach amont Ma 1 et aval Ma 2 , on obtient une relation entre p 1 (mesurée par une prise de pression statique), p 02 et Ma 1 qui permet ensuite d’atteindre la vitesse v 1 compte tenu de la température T 1 . Cette relation est : γ+1 2 ------------- Ma 1 p 02 γ+1 2 2 --------- = ------------- Ma 1 ----------------------------------------------γ–1 2γ 2 2 p1 ------------- Ma 1 – ------------γ+1 γ+1 1 ( γ – 1 ) 6.4 Application à la détermination de la position de l’onde de choc dans le divergent d’une tuyère de Laval La position de l’onde de choc, ainsi que les valeurs des vitesses, températures et pressions de part et d’autre de l’onde de choc peuvent être déterminées à partir d’un ensemble d’équations données ci-dessus et d’autres qui découlent directement des théories des écoulements en tuyère. Ainsi, le débit étant critique, on peut l’exprimer de diverses manières : — régime critique au col Ṁ * = ρ 0 2 c p T 0 2 ------------γ+1 1 ⁄ (γ – 1) La valeur de la pression génératrice p′0 de l’écoulement aval de l’onde de choc est déduite d’une troisième formulation de débit : p′0 - 2 cp T0 Ṁ * = ---------r T0 Cette équation est une équation implicite en Ma 1 dont la solution permet, à partir des mesures de p 1 et de p 02 , de connaître la vitesse de l’écoulement. γ–1 ------------γ+1 Figure 31 – Schématisation de l’évolution de la pression dans une tuyère de Laval en écoulement mixte dans le divergent Ωc (119) Ṁ = ρ 0 2 c p T 0 ------p p1 0 p1 1 – -------p0 = ρ ′0 2 cp T0 a Ω oc ------p′ p2 1⁄γ 0 1⁄γ B 8 165 − 22 p2 1 – -------p′0 a p0 p1 = -------- ------p′0 p 0 1⁄γ 1⁄γ pS 1 – --------p′0 0 a ΩS (122) 6.5 Estimation de l’épaisseur d’une onde de choc L’épaisseur de l’onde de choc peut être estimée à partir de l’analyse dimensionnelle et de considérations simplificatrices. Ainsi, si dans l’équation (4) de la quantité de mouvement, on admet que toutes les forces sont du même ordre de grandeur, en particulier, les forces d’inertie et celles de viscosité, on peut écrire : dv ρ v --------dx dv d - µ --------- ≈ -------dx dx (123) Or, en première approximation (figure 33) : dv --------dx v –v 1 2 ≈ -----------------δ où δ est l’épaisseur de l’onde de choc. Ainsi : p2 1 – --------p′0 a (120) dv ρ v --------dx Ω oc où Ωoc est l’aire de la section de la tuyère où se produit l’onde de choc (figure 31), p′0 et ρ ′0 = p ′0 r T 0 , les conditions génératrices de l’écoulement à l’aval de l’onde de choc. De cette équation, on déduit une relation entre les pressions amont et aval de l’onde de choc : p2 -------p′0 pS La détermination des caractéristiques de l’écoulement à l’amont 1 et à l’aval 2 de l’onde de choc et la position de celle-ci, à partir des conditions amont, p 0 , T 0 , de l’écoulement, des sections au col Ωc et à la sortie ΩS , de la pression de sortie p S et de la nature du gaz ( γ et c p ), peut être faite en suivant l’organigramme de la figure 32. Dans cet organigramme, ε est une constante de faible valeur, choisie a priori. — utilisation des conditions amont 1 et aval 2 de l’onde de choc 1⁄γ ------p′ p1 1 – ------p0 (124) où ρ 0 et v 0 sont des valeurs moyennes à l’intérieur de l’onde de choc. Par ailleurs, on a : v1 – v2 d dv --------- µ --------- ≈ µ 0 -----------------(125) 2 dx dx δ La combinaison de (123), (124) et de (125) permet d’écrire : a (121) v –v δ 1 2 ≈ ρ 0 v 0 ------------------ δ µ 0 ≈ ------------ρ v 0 0 Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. © Techniques de l’Ingénieur, traité Génie énergétique Dossier délivré pour Madame, Monsieur 12/09/2008 (126) Dossier délivré pour Madame, Monsieur 12/09/2008 _________________________________________________________________________ ÉCOULEMENTS MONODIMENSIONNELS DES FLUIDES COMPRESSIBLES Figure 33 – Épaisseur d’une onde de choc En exprimant la viscosité d’un gaz en fonction du libre parcours moyen et de la vitesse moyenne d’agitation thermique du gaz [5], on a : δ ≈ 2r T ------------- ------- = π v0 2 --------- -----------γ π Ma 0 (127) le nombre de Mach Ma 0 étant de l’ordre de l’unité, l’équation (127) montre que : δ ≈ (128) Ainsi, on peut noter que l’épaisseur d’une onde de choc est du même ordre de grandeur que le libre parcours moyen des molécules. Figure 32 – Organigramme de calcul des caractéristiques amont et aval d’une onde de choc Références bibliographiques Dans les techniques de l’ingénieur [1] GOSSE (J.). – Mécanique des fluides. Traité Sciences fondamentales, A 1 870 (1996). [2] [3] CLAUDEL (B.). – Propriétés thermodynamiques des fluides. Traité Génie énergétique, B 8 020 (1996). GOSSE (J.). – Mécanique des fluides. Traité Sciences fondamentales, A 1 870, p. 13 (1995). [4] [5] RIOLLET (G.). – Thermodynamique appliquée. Énergie, Entropie, Exergie. Traité Génie énergétique, B 1 211, p. 6 (1992). CLAUDEL (B.). – Propriétés thermodynamiques des fluides. Traité Génie énergétique, B8020 (1996). Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. © Techniques de l’Ingénieur, traité Génie énergétique Dossier délivré pour Madame, Monsieur 12/09/2008 B 8 165 − 23