Machines asynchrones : éléments de correction (2) VI. Démarrage et variation de vitesse 1. Introduction ➢ Au démarrage, g = 1, le courant statorique sous tension nominale est important (voir le diagramme du cercle) et le couple de démarrage peu élevé (voir l’évolution du couple électromagnétique en fonction du glissement ou de la vitesse). ➢ Le couple électromagnétique en fonction du glissement est donné par la relation ci­contre : Pour faire varier la vitesse (donc le glissement), il est possible d’agir sur : • la résistance rotorique ramenée au stator : R • la pulsation ou la fréquence des courants statoriques : w ou f • la valeur efficace des tensions statoriques : Vs • le nombre de paires de pôles : p R 3 p V 2s g C em= 2 f R 2 L 2 g 2. Action sur la valeur efficace des tensions statoriques ➢ Le stator de la machine est alimenté par des tensions statoriques de valeur efficace variable et de fréquence fixe. ➢ Les graphes ci­contre représentent l’évolution du couple et de l’intensité pour deux valeurs efficaces différentes des tensions statoriques. On note V1 et V2 ces deux valeurs, elles sont liées respectivement à Cem1, I1 et Cem2, I2. Laquelle des P1 tensions est la plus élevée ? P V 1 est plus élevée que V 2 car le couple est 2 plus important pour une valeur de glissement donnée. • Repérer sur les courbes l’intensité efficace des courants statoriques au démarrage. Quelle est la I 2D valeur de ? Courbes Cem = f(n) pour deux valeurs efficaces de la I 1D tension statorique Ces courants sont lus pour n=0 Lorsque la valeur efficace des tensions statoriques est divisée par deux alors l'intensité efficace des courants statoriques est aussi divisée par deux : I 2D =0,5 I 1D • Repérer sur les courbes les couples de démarrage C em2D C em2max et maximaux. Calculer et . C em1D C em1max Ce type de démarrage est­il bien adapté si la charge mécanique oppose un couple résistant constant ? Lorsque la valeur efficace des tensions statoriques est divisée par deux alors les couples de démarrage Courbes I = f(n) pour deux valeurs efficaces de la tension statorique et maximaux sont divisés par quatre : C em2D C em2max =0,25 et =0,25 C em1D C em1max Si le couple résistant opposé par la charge est constant, le couple électromagnétique peut être trop faible pour un démarrage dans de bonnes conditions. • Placer sur le graphe Cem = f(n) le couple résistant de la charge mécanique si il est égal à 75% du couple de démarrage le plus faible. Voir le trait horizontal en vert sur la caractéristique de couple. Faire apparaître les points de fonctionnement pour chacune des valeurs efficaces des tensions statoriques. Les points de fonctionnement sont aux intersections des caractéristiques de couple avec la courbe associée au couple résistant (ils sont notés P1 et P2). ➢ Avantages : l’intensité de démarrage est plus faible, elle est divisée par deux si la valeur efficace des tensions statoriques est divisée par deux. ➢ Inconvénients : • Le couple de démarrage est plus faible, il est divisé par quatre si la valeur efficace des tensions statoriques est divisée par deux. • La variation de vitesse dépend de la valeur efficace des tensions statoriques mais aussi de la charge. ➢ Réalisation : auto transformateur au stator, alimentation par gradateur, démarrage étoile triangle. 3. Action sur la résistance rotorique ➢ On fait varier la résistance des enroulements rotoriques. ➢ Les graphes ci­dessous représentent l’évolution du couple et de l’intensité pour deux valeurs de la résistance du rotor. On note Rh1 et Rh2 ces deux valeurs, elles sont liées respectivement à Cem1, I1 et Cem2, I2. Laquelle des résistances est la plus élevée ? La résistance Rh2 est plus grande que Rh1. Courbes I = f(n) pour deux valeurs de la résistance rotorique. Courbes Cem = f(n) pour deux valeurs de la résistance rotorique. • Repérer sur les courbes les couples de démarrage et maximaux. D’après les résultats du paragraphe IV.2, indiquer la courbe correspondant à la résistance rotorique la plus élevée. Les couples de démarrage sont lus pour une vitesse nulle. Le couple de démarrage augmente avec la résistance rotorique, on retrouve que la résistance Rh2 est la plus grande. • Repérer sur les courbes l’intensité efficace des courants statoriques au démarrage. Comment évolue­t­elle si la résistance rotorique augmente ? Les intensités efficaces de démarrage sont lues pour une vitesse nulle. Si la résistance rotorique augmente alors l'intensité efficace diminue. • Placer sur le graphe Cem = f(n) le couple résistant de la charge mécanique si il est égal à 75% du couple de démarrage le plus faible. Faire apparaître les points de fonctionnement pour chacune des valeurs de résistances rotoriques. Voir le trait horizontal en vert sur la caractéristique de couple. ➢ Avantages : Comme prévu au paragraphe IV.2 la valeur maximale du couple ne dépend pas de la valeur de la résistance. Machines asynchrones Page 2 TS2 ET 2014­2015 Inconvénients : • Les résistances génèrent des pertes par effet Joule ce qui pénalise le rendement. • La variation de vitesse, comme pour la variation de la valeur efficace des tensions statoriques, dépend de la charge. À noter qu’elle n’est pas possible avec les rotors à cage. ➢ ➢ Réalisation : • Pour un rotor bobiné, des résistances sont connectées à ses bornes. • Pour les rotors à cage, il est possible d’obtenir une variation de la résistance rotorique en utilisant des doubles cages (l’une interne, l’autre externe) ou des cages à encoches profondes. Lors du démarrage, la fréquence des courants rotoriques est élevée. À cause de l’effet pelliculaire (ou effet de peau), ils circulent en périphérie de la cage : celle­ci présente donc une résistance réelle élevée. Au fur et à mesure de l’accélération, la fréquence des courants rotoriques diminue et ils pénètrent plus profondément : la résistance réelle de la cage diminue. Effet pelliculaire : la densité d’un courant alternatif circulant dans un conducteur est plus importante à sa périphérie qu’en son centre (la transition n’est pas brutale). L’épaisseur dans laquelle circule le courant diminue lorsque la fréquence augmente. Pour le cuivre à 50 Hz, la zone utile a une épaisseur de 9 mm. ➢ Amélioration : l’énergie perdue au rotor par effet Joule peut être récupérée et réinjectée sur le réseau en utilisant une cascade hyposynchrone. Cette technique n'est plus utilisée pour les fonctionnements en moteur mais revient dans les génératrices hypersynchrones utilisées pour les éoliennes (machines à double alimentation). 4. Fonctionnement à V/f constante ➢ Le stator de la machine est alimenté par des tensions statoriques de valeur efficace V et de fréquence f variables : le rapport V/f est maintenu constant. ➢ Si les impédances statoriques sont négligées, la relation de Boucherot permet d’écrire V s= 2,22 N s f m soit Vs Vs m= . Si le rapport est maintenu constant que peut­on dire du flux maximal ? 2,22 N s f f ➢ Le graphe ci­contre représente l’évolution du couple électromagnétique en fonction de la vitesse pour deux valeurs de la fréquence des tensions statoriques. Le graphe de la page suivante représente l'évolution du courant en fonction de la vitesse pour ces deux mêmes valeurs. On note V1, f1 et V2, f2 ces valeurs, elles sont liées respectivement à Cem1, I1 et Cem2, I2. • Laquelle des tensions est la plus élevée ? C'est V1 car elle correspond à une vitesse de synchronisme, donc une fréquence, plus élevée. • Repérer les couples et les intensités statoriques au démarrage. Leurs évolutions respectives sont elles intéressantes ? Les couples et intensités efficaces de démarrage sont lus Courbes Cem = f(n) pour deux valeurs efficaces des pour une vitesse nulle. Le couple augmente lorsque tensions statoriques. l'intensité efficace de démarrage diminue ce qui est favorable. • Placer sur le graphe le couple résistant de la charge mécanique s’il est égal à 75% du couple de démarrage le plus faible. Faire apparaître les points de fonctionnement. La vitesse dépend­elle de la charge mécanique ? Voir le trait horizontal en vert sur la caractéristique de couple. La vitesse dépend faiblement de la charge Machines asynchrones Page 3 TS2 ET 2014­2015 mécanique (beaucoup moins qu'avec les méthodes précédentes) ➢ Mise en équation pour les faibles glissements. Le couple électromagnétique peut s’écrire : 3 V s2 g C em= s r • Rappeler l’expression de g en fonction de W et Ws. Par définition g= Ωs−Ω Ωs • Montrer que l’expression du couple électromagnétique peut s’écrire C em=K s− en précisant la valeur littérale de K. En remplaçant g par son expression dans la relation Courbes I = f(n) pour deux valeurs efficaces des 3 V s2 g 3 V s2 1 Ωs −Ω tensions statoriques. , on obtient C em= C em= Ω Ω s r Ωs s r La vitesse de synchronisme est reliée à la fréquence par Ωs= 2π f , l'expression précédente devient p 2 3 p2 V 2s 1 Vs 2 3p C em= (Ωs −Ω)= ( ) (Ωs −Ω) . On obtient la relation proposée dans l'énoncé en posant (2 π f )2 r (2 π)2 r f 2 Vs 2 3p K= ( ) (2 π)2 r f ➢ Avantages : l’intensité du courant de démarrage est limitée. Dans la zone de fonctionnement utile, les courbes Cem = f(n) sont proches de la verticale, la vitesse de rotation est quasiment indépendante de la charge. ➢ Inconvénients et améliorations : • L’onduleur est « relativement » complexe. • Pour les faibles valeurs de fréquence (donc de tension), les impédances statoriques ne sont plus négligeables et les courbes Cem = f(n) se déforment. Sur le graphe ci­contre, la chute de tension aux bornes de la résistance statorique n’est pas négligeable, les courbes de couple pour les faibles fréquences (donc les faibles vitesses) sont différentes de celles pour les fréquences élevées. • Il n’y a pas de couple de maintien lorsque la machine est à l’arrêt. • Pour améliorer le fonctionnement, on utilise le « Boost » pour les faibles fréquences, la compensation de glissement et les commandes vectorielles. 5. Variation du nombre de pôles En modifiant les connexions entre les bobines statoriques, il est possible de modifier le nombre de pôles de la machine et donc sa vitesse de synchronisme pour une fréquence d’alimentation donnée. Exemple : En modifiant les connexions entre deux bobines constitutives d’une phase de la machine, il est possible de passer de quatre pôles à deux pôles Machines asynchrones Page 4 TS2 ET 2014­2015 6. Changement du sens de rotation Pour inverser le sens de rotation d’un moteur asynchrone, il suffit d’inverser l’ordre des phases du système triphasé de tension qui l’alimente. S’il est connecté sur un réseau, le changement de sens est obtenu en inversant deux phases au stator (cette inversion peut être câblée définitivement ou commandée par des contacteurs). S’il est relié à un variateur de vitesse, c’est la séquence de commande des interrupteurs de l’onduleur de sortie qui doit être modifiée. Exercice 11 On réalise les essais suivants pour un moteur asynchrone dont la plaque signalétique indique 230 V/ 400 V. Essai à vide : valeur efficace d’une tension simple 230 V, intensité efficace en ligne 1,6 A ; puissance absorbée 240 W. Essai en court­circuit : valeur efficace d’une tension simple 48 V, intensité efficace en ligne 3,2 A ; puissance absorbée 156 W. 1. Déterminer les éléments du schéma équivalent d’une phase du moteur (prendre les notations du cours). Le schéma utilisé est celui du paragraphe II.4 (page 3). • On utilise l'essai à vide pour Rf et Lm : 2 V 2s V 2s 230 Puissance active Ps0=3 soit Rf =3 =3 =661Ω Rf P s0 240 2 2 Vs Vs soit Lm =3 Lm ω Qs0 ω et S s0=3 V s I s0 =3×230×1,6=1104 VA alors Puissance réactive : Q s0=3 √ Comme Q s0= S 2s0−P2s0 Qs0=√ 1104 −240 =1077 var 2 Finalement Lm =3 2 V 2s 2302 =3 =156 mH Qs0 ω 1077×2 π×50 • On utilise l'essai en court­circuit (et rotor bloqué) pour R et L La puissance active est consommée par Rf et R et la puissance réactive est consommée par Lm et L . Pour déterminer ce que consomme R , il faut calculer ce que consomme Rf soit 2 V 2scc 48 =3 =10 W . Finalement PR =Pscc – P fcc=156 – 10=146 W Rf 661 Pour déterminer ce que consomme L , il faut calculer ce que consomme Lm soit 2 2 Vs 48 Qmcc =3 =3 =141 var . La puissance réactive au stator pour cet essai est donnée par Lm ω 0,156×2 π×50 Qscc =√(3 V scc I scc )2−P2scc =√(3×48×3,2)2−156 2=434 var Finalement Q L =Q scc – Q mcc =434 – 141=293 var Pfcc=3 √ La puissance apparente pour le « rotor ramené au stator » est S tcc = P2R +Q 2L =√ 1462 +2932=327 VA . Elle peut aussi s'écrire S tcc =3 V scc I stcc S tcc 327 ce qui donne I stcc= = =2,27 A (on peut aussi utiliser un 3V scc 3×48 diagramme vectoriel ou les nombres coplexes pour déterminer cette intensité efficace). Puisque PR =3 R I 2stcc alors R= PR 3I Puisque Q L =3 L ω I 2stcc alors L= 2 stcc = 146 ≈9,4 Ω 3×2,272 QL 3ωI 2 stcc = 293 =60,3 mH 3×2 π×50×2,272 On souhaite démarrer ce moteur entraînant un ventilateur à l’aide d’un démarrage étoile triangle. Machines asynchrones Page 5 TS2 ET 2014­2015 2. Quelle est valeur efficace nominale de la tension aux bornes d'un enroulement du stator ? D'après l'énoncé, la valeur efficace nominale de la tension aux bornes d'un un enroulement statorique est de 230 V. 3. Donner les valeurs efficaces des tensions simples et composées du réseau qui permettent ce type de démarrage. En couplage triangle (fin du démarrage), un enroulement supporte une tension composée qui doit donc avoir une valeur efficace de 230 V ce qui correspond à des tensions simples de valeur efficace 230 =133 V . √3 4. La caractéristique mécanique du moteur est donnée ci­contre pour une alimentation sous tension nominale. En admettant que le couple utile est proportionnel au carré de la tension d'alimentation, tracer en superposition avec cette courbe, la caractéristique mécanique pour une tension 3 plus faible. En divisant la valeur efficace des tensions statoriques par Voir la courbe en bleu sur le graphe ci­dessous. √3 , on divise par 3 le couple électromagnétique. 5. Le ventilateur oppose un couple résistant de moment Cr = 15.10­6.n2 (n en tr/min). a. Tracer cette caractéristique sur le graphe ci­dessus. C'est la courbe verte. b. Où se situent les points de fonctionnement en couplage étoile, en couplage triangle ? En étoile : sur l'intersection des courbes bleue et verte En triangle: sur l'intersection des courbes bleue et rouge c. Quel est l'intérêt de ce type de démarrage ? Pourquoi est­il bien adapté à ce type de charge ? Ce type de démarrage permet de diminuer l'intensité efficace des courants statoriques au démarrage. Cette diminution s'accompagne d'une diminution du couple de démarrage, il est malgré tout bien adapté dans ce cas car le couple résistant opposé par la charge au démarrage est faible. Exercice 12 (Extrait BTS 2009) Cet exercice porte sur la motorisation d'un système de pompage. Le moteur d'entraînement de la pompe est une machine asynchrone triphasée de 7,5 kW. L'ensemble moteur­pompe est immergé au fond du puits. Les caractéristiques nominales de ce moteur sont les suivantes : • puissance utile : PuN=7,5 kW • vitesse de rotation : nN =2870 tr.min−1 • fréquence : f N=50 Hz • tension U N =400 V • intensité I N=17 A • facteur de puissance cos ϕ N=0,84 La pompe est reliée mécaniquement au moteur par un accouplement direct, si bien que les deux ont même vitesse de rotation. I. Motorisation de la pompe On a réalisé une série de mesures sur la pompe en place dans le puits pour un niveau d'eau moyen dans le forage, qu'on supposera constant. Ces mesures ont permis de tracer : Machines asynchrones Page 6 TS2 ET 2014­2015 • la caractéristique mécanique de le pompe, c'est à dire le couple d'entraînement en fonction de la vitesse de rotation. Cette courbe est donnée sur le document­réponse ci­dessous. C1 C0 • Le débit de la pompe en fonction de sa vitesse de rotation. Cette courbe est représentée sur la figure ci­contre. 1. Déterminer la vitesse de synchronisme nominale nS et le nombre de paires de pôles p de ce moteur. Le glissement au fonctionnement nominal étant faible, la vitesse de synchronisme nS est égale ici à 3000 tr/min. Comme nS = 60 f 60×50 60 f = =1 alors p= nS 3000 p 2. En déduire la valeur du glissement nominal gN . n S−nN 3000−2870 = =1 % nS 3000 3. Calculer son rendement nominal ηN . Le glissement est donné par gN = La puissance absorbée PaN =√ 3U N I N cos ϕN =√3×400×17×0,84=9893 W . D'où le rendement η N= PuN 7500 = =0,758 PaN 9893 4. Calculer son couple utile nominal T uN . Il est donné par T uN= T = uN 2 π nN PuN avec la vitesse exprimée en rad/s soit Ω= Ω 60 30 P uN 30×7500 = =24,9 N.m π nN π×2870 5. Rajouter sur le document réponse (page précédente) la caractéristique mécanique du moteur dont seule la partie utile sera tracée (entre le fonctionnement à vide et le fonctionnement nominal), pour une fréquence d'alimentation de 50 Hz. Cette caractéristique sera clairement nommée « C0 ». Cette portion de caractéristique est une droite passant par les points [nS , 0] et [nN , T uN ] (courbe en rouge) Machines asynchrones Page 7 TS2 ET 2014­2015 6. En déduire la valeur Q N du débit obtenu lorsque le moteur de pompe est alimenté sous tension et fréquence nominales. Montrer alors que le débit maximum attendu de 10 m3.h­1 est envisageable. Sur la caractéristique de couple, la vitesse de rotation est proche de 2900 tr/min. Sur la caractéristique donnant le débit en fonction de la vitesse de rotation, une vitesse de 2900 tr/min donne un débit légèrement supérieur à 11 m3.h­1 II. Entraînement à vitesse variable Le moteur de la pompe est piloté par un variateur de vitesse ATV61. Ce variateur fonctionne selon le principe représenté sur le schéma du document réponse ci­dessous (schéma donné par le constructeur). Il est possible de connecter une résistance de freinage entre les bornes PA et PB, non utilisées dans notre application. La résistance CR est court­circuitée en fonctionnement normal (elle ne sert que durant la mise sous tension du variateur). Le variateur ATV61 gère la vitesse du moteur asynchrone avec une commande dite à U/f constant. Redresseur Filtrage de la tension Onduleur 1. Sur le document réponse ci­dessus, identifier clairement les trois parties fonctionnelles suivantes du variateur : redresseur ; filtrage de la tension ; onduleur. Voir le schéma. 2. En analysant la réversibilité de l'application, expliquer pourquoi on n'a pas utilisé ici de résistance de freinage ? La pompe ne pouvant fonctionner en dispositif entraînant (ou très brièvement si l'eau descend dans la canalisation), il n'est pas nécessaire de prévoir un transfert d'énergie de la machine asynchrone vers le filtre. 3. Lors du raccordement du moteur de pompe au variateur, est­il important de respecter l'ordre des phases ? Pourquoi ? L'ordre des phases influe sur le sens de rotation de la machine et donc de la pompe. Si le variateur ne comporte pas de fonction de changement de sens de rotation alors il est important de respecter l'ordre des phases. 4. Le variateur permet de modifier la fréquence des tensions d'alimentation du moteur. Comment évolue alors la partie utile de la caractéristique mécanique du moteur sachant que la commande est du type U/f constant ? Toutes les portions de caractéristiques utiles sont des droites parallèles à celle tracée précédemment. 5. Donner n, vitesse de rotation de la pompe permettant d'obtenir le débit moyen attendu Q=7 m 3. h−1 . On utilise la caractéristique donnant le débit en fonction de la vitesse de rotation : la vitesse de rotation est alors proche de 2000 tr/min (voir point de fonctionnement avec les droites en vert). 6. Tracer sur le document réponse de la page précédente la caractéristique mécanique du moteur correspondant à 3. −1 Q=7 m h , qui devra être clairement nommée « C1 ». Voir le document réponse : cette caractéristique est parallèle à celle tracée précédemment et croise la caractéristique de la pompe pour 2000 tr/min. 7. En déduire le couple utile T u délivré par le moteur et la fréquence f des tensions de sortie du variateur pour ce fonctionnement. Le couple utile est lu à l'intersection de C1 et de la caractéristique de la pompe soit environ 7 N.m. La vitesse de synchronisme nS1 = 60 f 1 =60 f 1 est lue pour le couple nul : nS1 =2050 tr/min soit f 1 =34,2 Hz p 8. Quel est le débit Q' obtenu pour une fréquence f' = 26,3 Hz en sortie du variateur ? Machines asynchrones Page 8 TS2 ET 2014­2015 Pour cette fréquence, la vitesse de synchronisme est n ' S =60×26,3=1578 tr/min . La caractéristique est tracée en bleu. Le point de fonctionnement permet de déterminer une vitesse d'environ 1550 tr/min qui correspond à un débit de 4 m3.h­1. 9. La commande du moteur de pompe par le variateur répond­elle, en terme de débit, aux exigences de notre installation ? Justifier. Impossible de répondre à cette question à partir de cet extrait du sujet. Exercice 13 Sur la plaque signalétique d’un moteur asynchrone triphasé on lit les indications suivantes : 230 V /400V ; 50 Hz ; 3,2 kW ; 1455 tr/min ; cos j = 0,76 ; rendement h = 0,87. I. Généralités 1. Déterminer le nombre de pôles du stator. Le glissement étant généralement faible, la vitesse de synchronisme la plus proche de 1455 tr/min pour 50 Hz est 1500 tr/min, il y a donc quatre pôles au stator. 2. Calculer la puissance électrique nominale absorbée par le moteur. La plaque signalétique indique la puissance utile et le rendement donc Pa = Pu 3, 2 = = 3,68 kW η 0,87 3. Quelle doit être la tension entre phases du réseau triphasé d’alimentation permettant de coupler ce moteur en étoile puis en triangle ? Un enroulement statorique supporte une tension nominale de valeur efficace 230V. Pour le couplage triangle la tension entre phases du réseau doit être égale à 230 V ; pour le couplage étoile la tension entre phases du réseau doit être égale à 400 V. 4. Calculer pour chaque couplage la valeur nominale de l’intensité du courant en ligne I. Couplage étoile : P = 3VI cos ϕ avec I et V les valeurs efficaces des intensités et des tensions pour une phase. P 3680 I= = = 7,0 A 3V cos ϕ 3.230.0,76 Couplage triangle : P = 3UJ cos ϕ avec J et U les valeurs efficaces des intensités et des tensions pour une phase. P 3680 J= = = 7,0 A et pour la valeur efficace des courants en ligne I = J 3 = 7. 3 = 12,1 A. 3U cos ϕ 3.230.0,76 II. Étude du moteur couplé en étoile Dans la suite du problème le stator est couplé en étoile. 1. La résistance entre deux bornes du stator couplé est mesurée à chaud par la méthode voltampèremétrique ; la tension mesurée est égale à U1 = 11,2 V pour une intensité débitée par l’alimentation I1 = 7,0 A. a. Donner le schéma de principe du montage en précisant la nature des appareils de mesure et la nature de l’alimentation que l’on suppose réglable. Voir le schéma ci­contre. b. Calculer la résistance entre bornes du stator couplé. La résistance mesurée correspond à deux fois la résistance d’un élément du stator (faire un schéma éventuellement). 2 R s= U 1 11,2 = =1,6 Ω soit Rs=0,8 Ω I1 7 2. On veut déterminer expérimentalement l’ensemble des pertes dans le fer du stator et des pertes mécaniques du moteur. a. Donner le schéma de principe de ce montage avec les appareils de mesure nécessaires. Préciser les conditions d’essai et donner une valeur approchée de la fréquence de rotation du moteur lors de cet essai. Il faut réaliser un essai à vide (l’arbre n’est accouplé à aucune charge) sous tension nominale. Dans ce cas, la vitesse de rotation est très proche de la vitesse de synchronisme. La puissance active est mesurée au stator (un Machines asynchrones Page 9 TS2 ET 2014­2015 wattmètre correctement branché ou méthode des deux wattmètres). Elle correspond à la somme des pertes mécaniques et dans le fer et les pertes par effet Joule au stator. b. Faire un bilan des puissances actives mises en jeu lors de cet essai en précisant les notations utilisées. P0 : puissance au stator, Pfer+méca : pertes dans le fer et mécaniques Pjs : pertes par effet Joule dans le stator P0 = Pméca+fer + Pjs 3. Déterminer pour le point de fonctionnement nominal : a. Le glissement. n − n 1500 − 1455 g= s = = 3% ns 1500 b. Le moment du couple utile Tu. P P 30×3,2 T u= Ωu = u = =21 N.m 2 π n π×1455 60 c. On admet que la partie utile de la caractéristique mécanique Tu (n) du moteur est une droite, n étant la fréquence de rotation du moteur ; tracer cette caractéristique sur le document­ réponse ci­contre. La droite passe par les points (1500 tr/min, 0 N.m) et (1455 tr/min, 21 N.m) ; elle apparaît en rouge sur la figure ci­dessus. III. Variation de vitesse Ce moteur est utilisé pour entraîner une charge qui impose un couple résistant de moment Tr = 14 N.m constant 1. Il est alimenté par un réseau triphasé 400 V, 50 Hz ; déterminer la fréquence de rotation n1 du groupe. La droite horizontale correspondant à Tr = 14 N.m est tracée sur le graphe (en bleu), le point de fonctionnement correspond à l’intersection des deux droites. Graphiquement n1 = 1470 tr/min. 2. On veut faire varier la vitesse de ce moteur tout en gardant constant le rapport U (U est la valeur efficace f d’une tension et f la fréquence de la tension d’alimentation). a. Avec quel dispositif peut­on réaliser cette variation de vitesse ? Variateur de vitesse disposant d’un onduleur triphasé comme étage de sortie. b. On veut entraîner la machine à la fréquence de rotation n2 = 1 170 tr /min : • Tracer la nouvelle caractéristique mécanique du moteur sachant que les parties utiles des caractéristiques pour différentes valeurs de f restent parallèles entre elles. C’est une droite passant par le point (1170 tr/min, 14 N.m) et parallèle à la précédente (en vert sur le graphique). • Déterminer la nouvelle vitesse de synchronisme. Elle est lue sur l’axe des abscisses : ns2 = 1200 tr/min. • Déterminer la nouvelle fréquence f de la tension d’alimentation du moteur. ω 2πf 2πn La vitesse de synchronisme et la pulsation et/ou la fréquence sont reliées par Ωs = = et Ωs = ce qui p p 60 donne f = p.n s 2×1200 = =40 Hz . 60 60 Exercice 14 (Extrait BTS 2012) Cet exercice porte sur le dimensionnement de la motorisation d'une centrifugeuse, utilisée dans le processus de fabrication de sucre à partir de betteraves, en vue d'améliorer la productivité. I. Contraintes dues au nouveau cycle de centrifugation Le document ci­dessous représente le cycle de centrifugation avant modification, le document réponse de la page 24 représente dans sa partie haute le nouveau cycle de centrifugation. On se propose de construire dans cette partie le profil du moment du couple imposé par le nouveau cycle de fonctionnement. Machines asynchrones Page 10 TS2 ET 2014­2015 1. Phases 2, 4et 6 Rien n'étant modifié pour ces phases, reporter sur le document réponse de la page 24 la valeur du moment du couple. On lit sur le graphe ci­dessus 340 N.m pour chacune de ces phases. Pour les questions suivantes, on rappelle le principe fondamental de la dynamique pour les systèmes en rotation : C mot =J . dΩ +C res où C mot et Cres sont respectivement le moment du couple moteur imposé par la dt motorisation et le moment du couple résistant opposé par la charge, J le moment d'inertie de l'ensemble des éléments en rotation et W la vitesse angulaire de rotation (exprimée en rad.s­1). Machines asynchrones Page 11 TS2 ET 2014­2015 Document réponse 2. Déduire de la valeur du moment du couple pour les phases 2, 4 et 6 la valeur de Cres . La vitesse étant constante pendant ces phases, les couples résistant et moteur sont égaux, on en déduit que Cres =340 N.m 3. Phase 1 Le moment d'inertie du tambour est donné par la relation J tam =M tam R2tam avec M tam la masse du tambour et Rtam le rayon du tambour (données numériques du tambour : diamètre de 1,6 m (erreur de frappe dans le document initial) et masse de 1250 kg). a. Calculer J tam en donnant explicitement son unité légale. Le moment d'inertie s'exprime en kg.m2 et est égal à J tam =1250×( b. Calculer 1,6 2 ) =800 kg.m 2 2 dΩ lors de la phase 1. dt Machines asynchrones Page 12 TS2 ET 2014­2015 La vitesse passe de 60 à 220 tr/min soit de donne 2 π220 2 π 60 =23 rad/s en 5 secondes ce qui =6,3 rad/s à 60 60 d Ω 23−6,3 2 = =3,34 rad/s dt 5 c. En déduire alors que le moment du couple mécanique pendant cette phase est proche de 3020 N.m. On utilise la relation C mot =J . dΩ +C res qui donne C mot =800×3,34+340=3012 N.m qui est proche de dt la valeur proposée. 4. Phase 3 Durant la phase 2, on a introduit 1750 kg de « masse cuite » de masse volumique ρmc=1450 kg.m−3 dans le tambour. Compte tenu de la rotation, cette masse va se « coller » sur la périphérie du tambour modifiant le moment d'inertie de l'ensemble. Sa valeur devient J ' tam =1530 USI (unité du système international) en fin de remplissage). On fait l'hypothèse simplificatrice que la valeur du moment d'inertie (1530 USI) ne varie pas durant la phase 3 (en réalité, elle diminue car le jus commence à être éliminé lors de la montée en vitesse). a. Calculer dΩ lors de la phase 3. dt La vitesse passe de 220 à 980 tr/min soit de qui donne 2 π220 2 π 980 =23 rad/s à =103 rad/s en 30 secondes ce 60 60 d Ω 103−23 = =2,67 rad/s2 dt 30 b. En déduire alors que le moment du couple mécanique pendant cette phase est proche de 4400 N.m. On utilise de nouveau la relation C mot =J . dΩ +C res qui donne C mot =1530×2,67+340=4425 N.m qui dt est proche de la valeur proposée. 5. Phase 5 À la fin de la phase de centrifugation, le jus a été extrait et le moment d'inertie est donc modifié. Sa valeur devient J ' ' tam =1270 USI . a. Calculer dΩ lors de la phase 5. dt La vitesse passe de 980 à 60 tr/min soit de 103 rad/s à 6,3 rad/s en 30 secondes ce qui donne d Ω 6,3−103 2 = =−3,22 rad/s dt 30 b. En déduire alors que le moment du couple mécanique pendant cette phase est proche de ­3740 N.m. On utilise encore la relation C mot =J . dΩ +C res qui donne C mot =1270×(−3,22)+340=−3749 N.m qui dt est proche de la valeur proposée. 6. Détermination des modes de fonctionnement moteur ou générateur a. Dessiner sur le document réponse de la page 24 le profil du moment du couple mécanique Cmot à fournir par la motorisation sur tout le cycle de centrifugation. Les valeurs précédemment déterminées (ou proposées dans l'énoncé) sont reportées sur le graphique. b. Compléter le document réponse de la page 24 en hachurant les cases correspondant à un mode de fonctionnement moteur (M) ou générateur (G) de la machine d'entraînement. La machine fonctionne en moteur lorsque le couple et la vitesse de rotation sont de même signe et en génératrice lorsqu'ils sont de signes contraires. II. Choix d'un nouveau variateur Les caractéristiques du moteur sont les suivantes : PuN = 315 kW ; UN = 400 V ; IN = 580 A ; cos jN = 0,82 ; nN = 741 tr.min­1 ; hN = 0,96 ; fN = 50 Hz Le variateur de vitesse et le moteur ont la particularité de pouvoir absorber une surcharge de 50 % pendant une durée de 60 s. Il existe plusieurs versions de ce variateur : 1 quadrant, 2 quadrants et 4 quadrants. Machines asynchrones Page 13 TS2 ET 2014­2015 1. Calculer le moment du couple nominal du nouveau moteur proposé. Ce couple est donné par C uN= 3 PuN 2 π741 =77,6 rad/s soit C uN= 315.10 =4060 N.m avec ΩN = ΩN 60 77,6 2. Préciser la version du variateur que l'entreprise doit commander pour remplir le cahier des charges. Le sens de rotation ne change pas mais la machine peut fonctionner en moteur ou génératrice, le variateur doit être un deux quadrants. 3. Tenue en surcharge du moto­variateur a. À partir du document réponse page 24, relever le moment du couple maximum nécessaire à l'entraînement de la centrifugeuse. Ce couple est lu sur le graphique et égal à 4400 N.m. b. Exprimer alors en % la surcharge en couple moteur. Le rapport du couple maximal sur le couple nominal est de 4400 =108 % , la surcharge en couple moteur est 4060 donc de 8 %. c. Justifier le choix du couple moteur – variateur en termes de surcharge et de durée de la surcharge. Le variateur supporte 50 % de surcharge pendant 60 s et la durée de la phase 3 est de 30 s à 8 % de surcharge, le choix est donc valide. d. Sur quelles grandeurs physiques appliquées au moteur le variateur agit­il pour permettre la rotation à 980 tr.min­1 ? Pour atteindre cette vitesse, le variateur agit sur la fréquence des tensions statoriques et simultanément sur la valeur efficace de ces tensions statoriques pour maintenir le rapport V/f constant. 4. Réversibilité du moto­variateur On propose ci­dessous une structure classique de moto­variateur. a. Cette structure permet­elle la réversibilité mécanique nécessaire ? Justifier la réponse. Cela dépend de la capacité du condensateur assurant le filtrage et de l'énergie « fournie » par la MAS lorsqu'elle fonctionne en génératrice. Si l'énergie est trop grande par rapport à la capacité du condensateur, il y a risque de destruction de celui­ci. b. Si la réponse est négative, proposer une solution. Pour assurer la réversibilité si l'énergie est trop importante pour le condensateur, il faut placer une résistance en série avec un interrupteur en parallèle avec le condensateur (voir le schéma page 15 de l'exercice 10). Machines asynchrones Page 14 TS2 ET 2014­2015 Exercice 15 Un moteur asynchrone triphasé 220 V / 380 V, 50 Hz a un stator à 4 pôles couplé en étoile et un rotor à cage. Sous alimentation nominale, on a obtenu : • à vide, un courant de ligne d’intensité 6 A. • à charge nominale, un courant de ligne d’intensité 19,4 A, une puissance absorbée de 11 kW et une fréquence de rotation de 1440 tr/min. Dans tout le problème, on néglige les résistances et inductances de fuite statoriques, les pertes fer et les pertes mécaniques. I. Étude de la machine alimentée par un réseau fixe La machine asynchrone est alimentée sous 220 V / 380 V, 50 Hz. 1. Déterminer pour le fonctionnement à charge nominale : • le glissement g. Il est donné par g= ns – n 60 f 60×50 1500 – 1440 = =1500 tr/min donc g= =4 % et n s= p 2 1500 ns • la puissance réactive absorbée. Elle peut être calculée par Q=√ S2−P2 et S= √ 3 V I =√ 3×380×19,4=12,8 kVA ce qui donne Q=√ 12,82−11 2=6,54 kvar Donner le schéma de branchement des deux wattmètres permettant de mesurer la puissance active P et la puissance réactive Q absorbées. Voir http://www.etasc.fr/index.php/page/cours/essaiVide/machineAsynchrone Calculer • le moment du couple nominal Cn. Avec les hypothèses (pertes négligées sauf par effet Joule au rotor), il est 2 π ns Pa et ΩS = ΩS 60 30 P a 30×11000 C n= = =70 N.m l π nS π×1500 donné par C n= ce qui donne • les pertes rotoriques par effet Joule. Elles sont calculées par P jr=g Ptr et Ptr =Pa avec les hypothèses (pertes négligées sauf par effet Joule au rotor) : P jr=0,04×11000=440 W 2. Montrer que les éléments du schéma équivalent par phase donné ci­contre ont pour valeurs : L = 117 mH ; l = 9,4 mH ; r = 0,5 W Voir la méthode dans les exercices 2, 3, 11, … r 2 6V g 3. Montrer que le moment C du couple de la machine peut s’écrire : C = 2 r 2 l g V I t= r 2 La puissance transmise au rotor s'écrit Ptr =3 I t avec la valeur efficace du courant r 2 g ( ) +(l ω)2 g 2 r V Ptr =3 2 rotorique ramené au stator ce qui donne . g r ( ) +(l ω)2 g ω ω P tr Le couple est donné par C= et ΩS = p = 2 donc C= 2 Ptr . ΩS ω √ Machines asynchrones Page 15 TS2 ET 2014­2015 En remplaçant Ptr par son expression trouvée précédemment : 6V En arrangeant cette dernière expression, on obtient : C= ω C=2×3 r V2 1 2 ω g r ( ) +(l ω)2 g r g 2 2 r ( ) +(l ω)2 g Remarque : dans un sujet plus récent, les intermédiaires de calcul seraient demandés (démonstration « balisée »). 4. Pour quelle valeur de glissement gmax le moment du couple est­il maximal ? Donner la valeur de ce maximum Cmax et la fréquence de rotation correspondante en tr/min. En multipliant le numérateur et le dénominateur de l'expression précédente par g , elle devient 2 6V r C= ω 2 r2 . Cette expression est maximale lorsque le dénominateur + g(l ω)2 est minimale r + g (lω)2 g g 2 r 0,5 r =0,169 . c'est à dire lorsque =g (lω)2 qui donne gmax= l ω = −3 g 9,4 .10 ×2 π×50 6V2 r 6V2 1 C max= ω = ω La valeur du couple maximal lω r 2 lω r 2 + (l ω)2 r lω 2 6×220 1 C max= =156 N.m pour n=(1−g) ns=(1−0,169)1500=1246 tr/min 2 π×50 2×9,4 .10−3×2 π×50 Remarque : dans un sujet plus récent, les intermédiaires de calcul seraient demandés (démonstration « balisée »). 5. Tracer l’allure du graphe donnant le moment du couple C en fonction de la fréquence de rotation de 0 à 3000 tr/min. Préciser le type de fonctionnement suivant la fréquence de rotation. Moteur Génératrice Entre 0 et ns=1500 tr/min : la machine fonctionne en moteur ; entre ns et 2 ns , la machine fonctionne en génératrice hypersynchrone. II. Étude du moteur alimenté à fréquence variable et V/f = constante Machines asynchrones Page 16 TS2 ET 2014­2015 V =k =4,4 volts / Hertz jusqu’à f l’alimentation nominale de la machine. On suppose la machine non saturée : la valeur de L est indépendante de la fréquence. La tension simple V et sa fréquence f restent dans un rapport constant 1. Montrer que l’expression du moment du couple C peut alors s’écrire C=A 1 r gl gl r . Donner la valeur numérique de A. 6V On reprend l'expression C= ω r g 2 2 r ( ) +(l ω)2 g g au numérateur et dénominateur, on r . En multipliant par 6V 2 1 C= ω obtient r g ( )+ (l ω)2 g r 6V 2 C= ω En factorisant l ω au dénominateur, on obtient : 2 Et finalement : C= 6V l ω2 1 r gl ω + gl ω r 2 = 6V l(2 π f )2 1 l ω[( r gl ω )+ ] glω r 1 r glω + g lω r V 6V2 est une constante alors A= est une constante. f l(2 π f )2 6 A= 4,4 2=313 SI −3 2 9,4 .10 (2 π) Comme 2. La valeur maximale du moment du couple dépend­elle de la fréquence d’alimentation ? r g lω r glω + = Le couple est maximal si est minimal c'est à dire si qui donne de nouveau gl ω r gl ω r r r g lω lω r r lω g= + + =2 et le couple maximal a pour expression . Le terme devient alors lω gl ω r r lω l ω r C=2 A , elle ne dépend pas de la fréquence d'alimentation. 3. En régime permanent stable, pour un moment C du couple fixé, on montre que la quantité gw reste constante quand la fréquence f varie. Si Ns est la fréquence de synchronisme, N la fréquence de rotation, exprimer N = N s − N . Quelle est la propriété de N quand f varie à couple fixé ? N s −N ΔN Le glissement est donné par la relation g= soit g= . En remplaçant N s par son expression en Ns Ns 60 f p ΔN . fonction de la fréquence f des tensions statoriques, soit N s = , on obtient g= p 60 f 60 ω g L'expression de N : Δ N = 60 f g = 2 π = 60 g ω qui est une constante car la quantité gw reste p p 2π p constante Préciser les valeurs de N pour les couples Cn et Cmax. Pour le couple Cn : Δ N =1500−1440=60 tr/min Pour le couple Cmax : Δ N =1500−1246=254 tr/min 4. Dans un tableau, donner les valeurs numériques de la fréquence de rotation N en tr/min pour les trois valeurs 10 Hz, 30 Hz et 50 Hz de la fréquence et correspondant à des fonctionnements : • à vide Machines asynchrones Page 17 TS2 ET 2014­2015 • à couple nominal Cn • à couple maximal Cmax. 60 f p Pour le couple nominal, on retranche 60 tr/min à la vitesse de synchronisme. Pour le couple maximal, on retranche 254 tr/min à la vitesse de synchronisme. À vide les vitesses sont égales à celles de synchronisme calculées par N s = 10 Hz 30 Hz 50 Hz à vide 300 tr/min 900 tr/min 1500 tr/min à couple nominal Cn 240 tr/min 840 tr/min 1440 tr/min à couple maximal Cmax. 46 tr/min 646 tr/min 1246 tr/min 5. Tracer pour les trois fréquences précédentes l’allure du réseau de caractéristiques C(N) en le limitant au cas du fonctionnement stable en moteur. Dans la suite du problème on se limitera à ce cas. Les trois caractéristiques sont des segments de droites parallèles passant par les points précédemment déterminés. 6. Déterminer la fréquence minimale pour obtenir un couple de démarrage au moins égal au couple nominal Cn. Pour déterminer cette fréquence, on trace la droite parallèle aux trois autres droites précédemment tracées et passant par Cn pour n = 0 tr/min. La valeur de la vitesse pour le couple nul est égale à la vitesse de synchronisme c'est à dire 60 tr/min. On en déduit que la fréquence doit être égale à 2 Hz. 7. Le moteur entraîne une charge mécanique qui lui oppose un couple résistant de moment constant Cr = 40 N.m. Déterminer la fréquence de rotation du groupe en régime permanent pour une alimentation à fréquence 30 Hz (On pourra effectuer des approximations en les justifiant). On peut déterminer cette vitesse en traçant la droite horizontale correspondant à 40 N.m et en prenant la vitesse au point d'intersection avec la caractéristique tracée à 30 Hz. 8. En faisant apparaître les impédances sur le schéma équivalent par phase, établir sans calcul une propriété remarquable de la valeur efficace I du courant en ligne lorsque la fréquence d’alimentation du moteur asynchrone varie alors que le moment du couple résistant reste constant (On posera V = Kw et on utilisera la linéarité des équations de l’électricité). Sur le schéma proposé dans l'énoncé, on divise les impédances par ω et on remplace V par K : on obtient le schéma équivalent ci­contre. Tous les modules des grandeurs sont des constantes (K, l, L, r et gw sont des constantes), ile en est de même du module du courant : la valeur efficace du courant en ligne est constante lorsque la fréquence d'alimentation varie à couple constant. K w Question compliquée … Exercice 16 1. Un moteur à deux pôles tourne à 2850 tr/min lorsqu’il est connecté à un réseau de fréquence 50 Hz. Calculer le glissement. La vitesse de synchronisme est égale à 3000 tr/min ce qui donne g= 3000 – 2850 =5 % 3000 2. Pour changer le sens de rotation, deux phases sont inversées alors que le moteur tourne. En supposant que la vitesse est inchangée pendant l’inversion, calculer le nouveau glissement. La vitesse de synchronisme devient alors égale à ­3000 tr/min et le glissement g= −3000 – 2850 =195 % −3000 Quel est alors le mode de fonctionnement de la machine ? Le couple est­il important ? L’intensité efficace des courants statoriques est­elle importante ? La machine fonctionne en génératrice frein. Le couple est résistant et relativement faible (freinage peu efficace) alors que l'intensité efficace des courants statoriques est élevée. Machines asynchrones Page 18 TS2 ET 2014­2015