Déterminer les coordonnées des points A, B, C et D définis par

ANALYSE DIMENSIONNELLE ET VECTORIELLE
ESAIA (2016-2017)
Analyse dimensionnelle
Exercice 1 (parachute) :
P
ou P est le poids du
K.S
parachute, S est sa surface et K est un coefficient qui dépend de la forme du parachute et des
unités choisies pour mesurer P, S et v
1-donnez les dimensions de K et son unité (SI).
La vitesse limite d’un parachute est donnée par la relation v=
Exercice 2 :
Exprimer dans les unités fondamentales du Système International (m, kg, s,… .) les unités
dérivées suivantes: le Newton (N), le Joule (J), et le Watt (W).
Exercice 3 :
Déterminer la dimension des deux paramètres et  qui apparaissent dans la loi F = m v +
v² ; Avec F représente un force.
Exercice 4 :
Une pression P est le rapport entre une force F et une surface S (P = F/S).
1-Quelle et la dimension de P dans le (SI) ?
2-Montrez qu'une pression P est une énergie E par unité de volume V.
Exercice 5 :
Montrez que la constante de raideur d’un ressort k s’exprime dans le SI comme (kg s).
Exercice 6 : (pendule simple)
Un pendule simple est constitué d’un point matériel de masse m, suspendu à un fil
inextensible de longueur l. On note g l’accélération de la pesanteur.
La période T du pendule simple est lié à m , l et g par la relation suivante : T= C .m.l.g , ou
C est une constante.
1- Déterminer  et  en faisant une analyse dimensionnelle.
2- Déduire C (connaissance de la classe de Terminal).
Exercice 7 :
Rependre par vrai et faut est justifier la réponse :
1- une énergie potentielle peut être égale a m.g.h.
2- l’équation k.l+mg=cst est homogène (k est la constante de raideur d’un ressort).
3- la période d’une pendule peut avoir pour expression 2𝜋√𝑔/𝑙.
1
4- l’équation 𝑥(𝑡) = 2 𝑔 𝑡 2 + 𝑣0 𝑡 + 𝑥0 est homogène.
5- l’équation différentielle
𝑑𝑣
𝑑𝑡
𝑣
+ = 𝐸 est homogène.
𝑐
ANALYSE DIMENSIONNELLE ET VECTORIELLE
ESAIA (2016-2017)
Calcul vectoriel
Exercice 1:
⃗⃗ = (2, 1, 4).
On considère les vecteurs 𝐴⃗ = (1, 2, −1) et 𝐵
1- Donner l'expression de ces vecteurs dans un repère orthonormé en fonction des vecteurs
⃗⃗ .
unitaires 𝑖⃗, 𝑗⃗ et 𝑘
2- Calculer le module de chaque vecteur.
3- Calculer le produit scalaire, puis déduire la valeur de cosinus de l'angle formé par ces
deux vecteurs.
⃗⃗. puis déduire la valeur de sinus de l'angle formé par
4- Calculer le produit vectoriel 𝐴⃗ × 𝐵
ces deux vecteurs.
Exercice 2:
⃗⃗ = (2, 1).
On considère les vecteurs 𝐴⃗ = (1, 𝑎) et 𝐵
1- Trouver la valeur de la variable 𝑎 pour que les deux vecteurs soient perpendiculaires.
2- Trouver la valeur de la variable 𝑎 pour que les deux vecteurs soient parallèles.
Exercice 3:
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Soir un cercle de rayon 𝑅, le vecteur ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐴 forme un angle 𝛼 avec l’axe 𝑖⃗ et le vecteur 𝑂𝐵
forme un angle 𝛽 avec l’axe 𝑖⃗
𝑩
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ dans le
Donner l'expression des vecteurs ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐴 et 𝑂𝐵
repère orthonormé en fonction des vecteurs unitaires⃗⃗𝑖
et 𝑗⃗.
2- Calculer par deux manière déférentes le produit
scalaire des deux vecteurs ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐵. ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐴, puis déduire
l’expression de 𝑐𝑜𝑠(𝛽 − 𝛼)
1-
𝒋⃗
𝑹
𝑨
𝜷
𝑶
𝜶
𝒊⃗
Exercice 4:
1) le plan est muni d’un repere orthonormé direct (𝑜, ⃗𝑖,⃗ 𝑗⃗). Déterminer les
coordonnées des points A, B, C et D définis par :
𝜋
⃗⃗⃗⃗⃗⃗‖ = 2, (𝑖,
⃗⃗⃗⃗⃗⃗‖ = 3, (𝑖,
⃗⃗⃗⃗⃗⃗) = 𝜋.
⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐴) = ;
𝑂𝐵
⃗⃗ 𝑂𝐵
‖𝑂𝐴
‖
2
6
𝜋
3𝜋
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗ 𝑂𝐶 ) = − ; ‖ 𝑂𝐷‖ = 5, (𝑖,
⃗⃗ 𝑂𝐷) = .
‖𝑂𝐶 ‖ = 4, (𝑖,
4
4
⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
2) déduire les caractéristiques du vecteur 𝑉
𝑂𝐴 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐶 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐷.
Exercice 5 :
3
⃗⃗ 𝑗⃗), on a : direct 𝑟
⃗⃗⃗⃗(𝑡) = (𝑡 + 2𝑡)𝑖⃗ − (3 𝑒−2𝑡 )𝑗⃗ + (2 sin(5𝑡) ⃗𝑘⃗.
dans le repère (𝑜, 𝑖,
2
𝑑𝑟⃗
𝑑 𝑟⃗
calculer : 𝑟̇⃗ = , ‖𝑟̇⃗‖ ; 𝑟̈⃗ = 2 ,
𝑑𝑡
𝑑𝑡
‖𝑟̈⃗‖ à t=0s.