LES MIROIRS

publicité
LES MIROIRS
I. MIROIR
I.1 Définition
Un miroir est une surface polie réfléchissante. Il réfléchit toutes les longueurs d’onde du visible de la même façon.
Au bout d’un certain temps, il finit par s’oxyder. Il doit être métallisé. Les miroirs usuels sont réalisés par un dépôt
d’aluminium sur du verre
I.2 Cas particulier d’un prisme à réflexion totale.
Calculons la condition sur l’indice n du prisme pour avoir
une réflexion totale.
L’angle d’incidence vaut 45°. Soit i2 l’angle de réfraction.
Les lois de Descartes s’écrivent : n sin 45° = sin i2 .
Pour avoir une réflexion totale, on doit avoir n sin 45° > 1 ,
soit n > 2 .
45°
n
Application : Le LIDAR – télémétrie Terre-Lune
Sur la lune, lors des missions Apollo, les cosmonautes ont déposé des coins de cube qui permettent de réfléchir les
rayons laser venus de la Terre. On peut aujourd’hui mesurer la distance Terre-Lune à quelques millimètres près.
http://www.larecherche.fr/content/recherche/article?id=20548
II. MIROIR PLAN
II.1 Le miroir plan est rigoureusement stigmatique
http://subaru2.univ-lemans.fr/enseignements/physique/02/optigeo/mirplan.html
D’après les lois de Descartes de la réflexion, l’angle de réflexion est égal à l’opposé
A
de l’angle d’incidence. Quelque soit le rayon issu de A, il semble après réflexion
H
provenir d’une source virtuelle A’ située derrière le miroir à une position symétrique
de A par rapport au plan du miroir.
Sur le schéma, A est un objet réel et A’ est une image virtuelle.
Quand on se regarde dans un miroir, l’œil voit A’ mais on ne peut pas la
projeter sur un écran. On ne peut pas « la saisir » avec la main !!!
On a donc A → A’ avec A’ symétrique de A par rapport au plan du miroir.
Le miroir est donc rigoureusement stigmatique.
La formule de conjugaison s’écrit : HA ' = − HA . On oriente arbitrairement l’axe AA’. H est le projeté orthogonal
de A sur le miroir plan.
On représente en traits pleins les rayons lumineux se propageant dans un milieu. On représente en traits
pointillés les rayons utiles pour la construction géométrique. Le rayon qui provient de A se réfléchit sur le miroir
et semble provenir du point A’.
Q Cours d’Optique (31-104)
Page 1 sur 13
JN Beury
A’
II.2 Image d’un objet – Le miroir plan est aplanétique
AB → A’B’.
On en déduit HA ' = − HA et HB ' = − HB .
Pour un objet perpendiculaire à l’axe optique, on définit le grandissement transversal
A' B '
γ=
.
AB
Pour un miroir plan, le grandissement transversal vaut γ =
A' B '
AB
B’
B
A
A’
H
=1
Le miroir plan est donc rigoureusement aplanétique.
II.3 Déplacement de l’image du double par translation du miroir
Si on translate parallèlement au miroir, il ne se passe rien. L’image ne bouge
pas.
Si on translate perpendiculairement au miroir, on observe un déplacement de
l’image.
Miroir position 1 : A → A1
Miroir position 2 : A → A2
Il suffit d’appliquer la relation de Chasles en passant par le point A pour
déterminer A1 A2 .
A
H1 H2
A1
A2
A1 A2 = A1 A + AA2 = 2 H1 A + 2 AH 2 = 2 H1 H 2
On retient que l’image s’est déplacée du double du déplacement du miroir.
II.4 Déplacement de l’image du double par rotation du miroir
Miroir position 1 : A → A1
Miroir position 2 : A → A2
Il suffit d’appliquer la relation de Chasles en passant par A pour
JJJG JJJJG
déterminer l’angle OA1 , OA2 .
JJJG JJJJG
JJJG JJJG
JJJG JJJJG
JJG JJJG
JJJG JJJG
OA1 , OA2 = OA1 , OA + OA, OA2 = 2 OI , OA + 2 OA, OJ
JJJG JJJJG
JJG JJJG
Soit OA1 , OA2 = 2 OI , OJ = 2α .
(
(
) (
(
) (
) (
)
)
) (
) (
A
I
)
J
O
α
2α
On retient que l’image a tourné du double de l’angle de rotation du
miroir.
A1
A2
http://subaru2.univ-lemans.fr/enseignements/physique/02/optigeo/mirtournant.html
II.5 Réflexion sur deux miroirs
Il est préférable de travailler avec des angles orientés dans
le cas général. Cependant dans quelques exercices, comme
celui-ci, les nombreux angles sont plus faciles à interpréter
avec des angles géométriques.
On considère la réflexion d’un rayon sur deux miroirs faisant
un angle α entre eux. On cherche à déterminer la déviation de
ce rayon lumineux en fonction de α .
Pour calculer une déviation quand il y a plusieurs réflexions
ou réfractions, il faut calculer les différentes déviations et
faire la somme des déviations. Il ne faut pas essayer de
calculer la déviation directement avec une seule relation !
i
i’
i’
I
α
J
K
D
D = D1 + D2 = (π − 2i ) + (π − 2i ') = 2π − 2i − 2i '
Q Cours d’Optique (31-104)
i
Page 2 sur 13
JN Beury
π
 π

Dans le triangle IJK, on a :  − i  +  − i '  + (π − α ) = π .
2
2

 

On a donc i + i ' = π − α .
D’où D = 2π − 2 (π − α ) = 2α .
On retient que le rayon lumineux a été dévié d’un angle double de l’angle entre les deux
miroirs.
Application : Si l’angle entre les deux miroirs vaut 90°, la déviation vaut 180°. On retrouve le
coin de cube étudié dans le paragraphe I. L’angle α vaut 90°.
III. MIROIRS SPHÉRIQUES
III.1 Définition
Un miroir sphérique est une calotte sphérique, polie et réfléchissante.
α
2r
S
C
C = centre du miroir (centre de courbure de la surface réfléchissante)
R
S = sommet (point de symétrie de la calotte sphérique)
R = rayon de la sphère
r = rayon du cercle de base
2r = diamètre d’ouverture
2α = angle d’ouverture (angle sous lequel on voit le miroir depuis C)
Axe optique = axe de symétrie de la calotte sphérique (passe par le centre C et le sommet S).
Il y a deux types de miroirs sphériques :
• Miroir concave : c’est un miroir creux. Le centre est dans le milieu de propagation de la lumière.
• Miroir convexe : c’est un miroir bombé. Le centre n’est pas dans le milieu de propagation de la lumière.
lumière
C
lumière
S
S
Miroir concave
C
Miroir convexe
III.2 Recherche de points rigoureusement stigmatiques
a) Astigmatisme du miroir sphérique
Soit une source ponctuelle se réfléchissant sur un miroir sphérique
concave. Les rayons issus de la source ponctuelle A ne convergent pas en
un même point.
Pour un objet quelconque, l’image d’un point n’est pas un point.
On dit que le miroir sphérique est astigmatique.
http://www.sciences.univ-nantes.fr/physique/perso/cortial/bibliohtml/mirsph.html
http://subaru2.univ-lemans.fr/enseignements/physique/02/optigeo/miroirs.html
Q Cours d’Optique (31-104)
Page 3 sur 13
JN Beury
b) Stigmatisme rigoureux au centre et au sommet
Tous les rayons qui proviennent de C repassent par C après s’être réfléchis sur le miroir puisqu’ils arrivent avec une
incidence nulle sur le miroir.
De même, tous les rayons issus de S (ou de tout point appartenant à la surface du miroir) et émis en direction du
miroir s’y réfléchissent comme sur un miroir plan et semblent être issus de la source elle-même.
S
C
S
C
C →C
S →S
III.3 Stigmatisme approché sur l’axe optique
a) Formule de conjugaison au sommet
On considère un rayon lumineux issu de A émis en
direction du miroir en passant par S, il se réfléchit sur luimême.
On considère un autre rayon lumineux issu de A qui se
réfléchit en I sur le miroir. L’angle d’incidence est égal à
i.
Dans le triangle ACI, on a : α + (π − θ ) + i = π , soit
I
i
α
A
C
θ
i
α’
S
A’
α − θ + i = 0 (eq. 1)
Dans le triangle A’CI , on a : (π − α ' ) + θ + i = π , soit θ − α '+ i = 0 (eq. 2)
On élimine i en faisant (1) – (2) : α + α ' = 2θ (eq. 3)
On se place dans les conditions de Gauss (rayons paraxiaux). On peut donc faire un développement limité.
IS
IS
IS
tan α ≈ α ≈
; tan α ' ≈ α ' ≈
et tan θ ≈ θ ≈
. On assimile l’arc de cercle au plan tangent. Les triangles
SA
SA '
SC
ASI, A’SI et CSI sont considérés dans cette approximation comme rectangles en S.
Les angles sont orientés. On vérifie les signes : α > 0 ; IS < 0 et SA < 0 .
On réinjecte dans l’équation (3) :
IS
+
IS
=2
IS
. On en déduit :
1
+
1
=
2
SA SA ' SC
SA SA '
SC
Cette relation est indépendante de l’angle d’incidence i. Elle est donc valable pour tous les rayons issus de A et se
réfléchissant sur le miroir à condition d’être dans les conditions de Gauss. L’image d’un point est un point. Il s’agit
en fait d’un stigmatisme approché car la relation ci-dessus résulte d’un développement limité !
Dans les conditions de Gauss, le miroir sphérique est approximativement stigmatique. A → A '
1
1
2
+
=
La formule conjugaison au sommet s’écrit :
SA SA ' SC
b) Formule de conjugaison au centre
On pourrait démontrer de même une autre formule de conjugaison du miroir sphérique :
1
CA
+
1
CA '
=
2
CS
.
c) Cas particuliers
• Si A = C. Quelle est l’image du centre ? On écrit : C → C’.
1
1
2
+
=
. On en déduit immédiatement que SC ' = SC . On retrouve que l’image du centre est le centre.
SC SC ' SC
• Si A = S Quelle est l’image du sommet ? On écrit : S → S’.
1
1
2
+
=
. On en déduit immédiatement que CS ' = CS . On retrouve que l’image du sommet est le
CS CS ' CS
sommet.
Q Cours d’Optique (31-104)
Page 4 sur 13
JN Beury
d) Définition du foyer principal objet ou foyer objet
Un foyer principal objet, appelé foyer objet et noté F
est un point appartenant à l’axe optique tel que son
image à travers le système optique est à l’infini. Tous
les rayons qui passent par F (ou semblent passer par
F), se réfléchissent sur le miroir et sont parallèles à
l’axe optique : F → ∞ .
C
F
S
C
F
S
Remarque : Cette définition s’applique à tout système
optique. On définit F1 un foyer objet pour le système optique
n°1, un foyer objet F2 pour le système optique n°2 et même F
pour le système optique constitué du système 1 et du système 2 (voir TD).
SC
1
1
2
On applique une des formules de conjugaison :
, d’où SF =
.
+ =
2
SF ∞ SC
e) Définition du foyer principal image ou foyer image
Un foyer principal image, appelé foyer image et noté F’
est un point tel qu’un objet à l’infini situé sur l’axe
optique a pour image F’. Tous les rayons qui viennent
de l’infini, parallèles à l’axe optique, se réfléchissent sur
le miroir et passent par F’ (ou semblent passer par F’).
∞→F'.
Remarque : Cette définition s’applique à tout système
optique.
On
applique
une
des
formules
de
conjugaison :
SC
1
1
2
, d’où SF ' =
+
=
2
∞ SF ' SC
Pour un miroir sphérique, les foyers objet et image sont confondus. Ils sont situés au milieu du segment [CS ]
et notés F.
f) Distance focale du miroir
R
. On la note f. On ne précise pas comme pour les lentilles distance
2
focale objet et distance focale image puisque les points F et F’ sont confondus.
La distance focale du miroir est SF =
III.4 Aplanétisme approché du miroir sphérique
On se place dans les conditions de Gauss. Soit un petit objet AB
perpendiculaire à l’axe optique. On confond l’arc de cercle CA
S’
1
1
2
+
=
avec le plan tangent. A → A ' . On a alors :
.
CA CA ' CS
Soit S’ l’intersection de la droite CB avec le miroir sphérique.
C
S
A
A’
1
1
2
+
=
B → B ' . On a alors :
.
CB CB ' CS '
B
Or CS = CS ' ; CB = CA . D’après les deux formules de
conjugaison, on a donc CB ' = CA ' . On trace un cercle de centre
C et passant par A’. L’intersection avec la droite CB donne le point B’. Dans les conditions de Gauss, on confond l’arc
de cercle avec le plan tangent, l’image d’un petit objet AB perpendiculaire à l’axe optique est une petite image A’B’
perpendiculaire à l’axe optique.
Le miroir sphérique est donc approximativement aplanétique pour des petits objets perpendiculaires à l’axe optique.
On définit le grandissement transversal γ =
A ' B ' CA '
=
. L’objet AB est perpendiculaire à l’axe optique.
AB
CA
Si γ > 0 , l’image est droite. Si γ < 0 , l’image est renversée.
Si γ > 1, l’image est plus grande que l’objet. Si γ = 1, l’image est de même taille que l’objet. Si γ < 1, l’image
est plus petite que l’objet.
Q Cours d’Optique (31-104)
Page 5 sur 13
JN Beury
III.5 Tracé de rayons lumineux
a) Convention de représentation du miroir sphérique
On utilisera par la suite la représentation conventionnelle du miroir dans les conditions de Gauss : on
confond le miroir sphérique avec son plan tangent en S. On rajoute deux petits traits pour indiquer le sens de
la concavité. Il faut faire bien attention à placer correctement les points F et C.
Avec cette représentation, tous les rayons passant
par un point passeront par un point après
réflexion sur le miroir. Il ne faut pas en déduire
lumière
que le miroir sphérique est rigoureusement
lumière
stigmatique. L’approximation est dans la
représentation !!! Le gros avantage est que tous
F S
C
S
les rayons lumineux se croiseront en un seul
point. Cela facilitera les schémas !!! On ne
s’intéressa plus dans les schémas aux angles
d’incidence qui sont de toute façon difficiles à
Miroir convexe
représenter précisément. La face métallisée est Miroir concave
représentée de façon explicite par des hachures.
Avec cette représentation, on peut représenter des objets plus grands pour la clarté du schéma.
F
Règles de construction des rayons lumineux :
• Un rayon passant par le centre n’est pas dévié.
• Un rayon passant par le sommet est réfléchi symétriquement.
• Un rayon passant par F est réfléchi parallèlement à l’axe optique.
• Un rayon arrivant parallèlement à l’axe optique est réfléchi et passe par F.
Dans toutes les règles, si on dit « passe par F », il faut comprendre « passe par F ou semble passer par F ».
ON UTILISERA LE PLUS SOUVENT POSSIBLE UN RAYON PASSANT PAR LE CENTRE QUI N’EST
PAS DÉVIÉ (voir objet à distance finie, objet à distance infinie avec tan α ).
Dans le paragraphe suivant, on va
représenter le tracé des rayons
lumineux
dans
différentes
B
configurations. Ces schémas seront
à refaire dans les exercices.
b) Miroir concave
b1) Objet situé avant C
AB → A ' B '
A’
A
C
F
L’objet est réel. L’image est
B’
réelle, renversée et plus petite
que l’objet.
Deux rayons suffisent pour
représenter l’image du point B.
b2) Objet situé entre C et F
On a un objet réel. L’image est réelle, renversée, plus grande que l’objet.
On demande parfois de représenter un faisceau lumineux : tous les rayons lumineux
passant par B, se réfléchissent sur le miroir et passent par B’.
Faisceau lumineux
AB → A ' B '
S
Astuce : ne pas placer A
trop près de F sinon
l’image A’ sort de votre
feuille !!!
B’
A
A’
C
F
S
B
Q Cours d’Optique (31-104)
Page 6 sur 13
JN Beury
C
On remarque que cette figure et la figure du paragraphe précédent se ressemblent !!! C’est prévisible d’après le
principe de retour inverse de la
lumière.
b3) Objet situé en F
On a un objet réel. L’image est à
B
l’infini. On dit qu’elle est virtuelle
car on ne peut pas la projeter sur un
θ
écran. Par contre, l’œil peut
visualiser cette image. On verra que
C
S
F
l’œil n’a besoin d’accommoder
(voir chapitre sur le principe de
fonctionnement de l’œil). On a une
observation sans fatigue.
 image à l'infini
AB → 
 vue sous un angle θ
image à l’infini
b4) Objet situé entre F et S
On a un objet réel. L’image est virtuelle, droite et plus grande que l’objet.
B’
AB → A ' B '
B
C
F
A
S
A’
Quand on se regarde dans un miroir concave (objet situé entre F et S), on observe bien une image droite
plus grande que l’objet.
On verra que si on se regarde dans un miroir convexe, l’image est droite et plus petite que l’objet.
Cette méthode sera utilisée en TP pour reconnaître rapidement la nature d’un miroir.
b5) Objet virtuel (situé après S)
On a un objet virtuel. L’image est réelle, droite et plus petite que l’objet.
Pour créer un objet virtuel, il faut un autre système avant permettant de créer un faisceau lumineux convergeant
en B. Le miroir concave intercepte les rayons lumineux et les dévie pour donner une image B’.
Expliquons le tracé d’un rayon lumineux : un rayon qui semble passer par B et le foyer objet se réfléchit
parallèlement à l’axe.
B
B’
C
F
A’
S
A
AB → A ' B '
Q Cours d’Optique (31-104)
Page 7 sur 13
JN Beury
c) Miroir convexe
c1) Objet réel (situé avant S)
On a un objet réel. L’image est
virtuelle, droite et plus petite que
l’objet.
B
B’
A
AB → A ' B '
A’
S
F
C
Cette méthode sera utilisée en TP pour reconnaître rapidement la nature d’un miroir. Un miroir convexe
rapetisse un objet réel alors qu’un miroir concave avec un objet près du sommet grossit un objet réel.
c2) Objet virtuel situé entre S et F
On a un objet virtuel. L’image est réelle, droite et plus grande que l’objet.
B’
B
AB → A ' B '
A’
S
A
C
F
c3) Objet virtuel situé entre F et C
On a un objet virtuel. L’image est virtuelle, renversée et plus grande que l’objet.
Remarque : Suivant la position de A entre F et C, on peut avoir une image plus grande ou plus petite que
l’objet.
B
A’
S
F
A
C
B’
AB → A ' B '
Un rayon parallèle à l’axe, semblant passer par B, se réfléchit sur le miroir en semblant provenir du foyer
image F.
Q Cours d’Optique (31-104)
Page 8 sur 13
JN Beury
III.6 Définition du foyer secondaire objet, foyer secondaire image. Tracé d’un rayon quelconque
a) Foyer principal objet, foyer secondaire objet
B
θ
C
S
F
image à l’infini
On a un objet AB situé dans le plan focal objet du miroir.
Le point A ou F est appelé foyer principal objet. Par abus de langage, on dit foyer objet.
Le point B est appelé foyer secondaire objet.
On a vu que l’image de F est l’infini. Plus précisément, tous les rayons passant par F et se réfléchissant sur
le miroir, sont parallèles à l’axe optique.
L’image de B est une image à l’infini vue sous un angle θ . Plus précisément, tous les rayons passant par B
et se réfléchissant sur le miroir, sont parallèles entre eux et font un angle θ avec l’horizontale.
b) Foyer principal image, foyer secondaire image
Si on applique le principe de retour inverse de la lumière à la figure précédente, tous les rayons faisant un angle
θ par rapport à l’horizontale, sont réfléchis sur le miroir en passant par le point B qui est appelé foyer secondaire
image correspondant à l’inclinaison θ .
B
θ
C
F
S
objet à l’infini
vu sous un angle θ
Le point B est donc l’intersection du rayon lumineux passant par le centre (qui n’est pas dévié) avec le plan
focal image du miroir sphérique. Ce point est appelé foyer secondaire image correspondant à l’inclinaison θ .
Le point F est le foyer principal objet du miroir sphérique.
Q Cours d’Optique (31-104)
Page 9 sur 13
JN Beury
c) Tracé d’un rayon quelconque
Soit un rayon lumineux (noté 1) quelconque arrivant sur le miroir. Comment se réfléchit-il ?
I
S
θ
C
F
rayon 1
Méthode pour tracer un RAYON LUMINEUX QUELCONQUE :
• On trace un rayon lumineux (noté 2) parallèle à ce rayon 1 passant par le centre. Ce rayon est tracé
en pointillés car c’est un intermédiaire de construction. Le rayon 2 n’est pas dévié.
• On cherche l’intersection du rayon 2 avec le plan focal image du miroir. Le point I est appelé foyer
secondaire image.
• Le rayon 1 se réfléchit sur le miroir en passant (ou semblant passer) par le foyer secondaire image.
Q Cours d’Optique (31-104)
Page 10 sur 13
JN Beury
III.7 Définition d’un objet à l’infini
• On considère un objet AB éloigné du miroir.
B
AB → A ' B '
A’ F S
C
A
La formule de conjugaison avec l’origine au sommet s’écrit :
•
1
SA
+
1
SA '
=
B’
2
SC
Si on envisage le passage à la limite : SA → +∞ . On obtient un objet réel situé à l’infini. On a alors : SA ' =
SC
.
2
A’ est alors en F, c’est le foyer principal image. Le point B est le foyer secondaire image.
Comment en déduire graphiquement le point B’ ?
B
L’objet bien que très éloigne est situé à une distance
D du miroir. On le voit sous un angle α avec
α
AB
tan α ≈ α =
.
D
A
D
•
Notion d’objet à l’infini vu sous un angle α .
Quelle est l’image d’un objet à l’infini vu sous un angle α ?
On représente uniquement des rayons faisant un angle α par rapport à l’horizontale. On écrira :
Objet à l’infini vu sous un angle α → A’B’ avec A’ = F = foyer principal image et B’ = foyer secondaire image.
Pour trouver graphiquement le point B’, il suffit de tracer un rayon faisant un angle α par rapport à l’horizontale
et passant par le centre. Ce rayon n’étant pas dévié, B’ est l’intersection de ce rayon avec le plan focal image du
A' B '
miroir. On en déduit la taille de l’image A’B’ avec la relation : tan α ≈ α =
.
FS
 objet à l'infini
→ A' B '

 vu sous un angle α
α
F=A’
C
S
B’
Il est très important de ne pas représenter un rayon parallèle à l’axe, sinon on est ramené à la situation
précédente avec un objet situé à distance finie.
•
On a donc deux types d’objets pour les représentations sur les schémas : objet AB à distance finie et objet à l’infini
vu sous un angle α .
Remarque : On peut considérer un objet centré sur l’axe optique. Dans ce cas, on représente un rayon faisant un
angle
α
2
par rapport à l’horizontale.
On a alors : tan
α
2
=
α
2
=
A' B '
2f
B’
α/2
F
C
Q Cours d’Optique (31-104)
Page 11 sur 13
S
A’
JN Beury
III.8 BILAN des formules de conjugaison des miroirs sphériques
Les formules de conjugaison avec l’origine au sommet, au centre et
les formules de Newton sont valables pour tout type de miroir
sphérique (concave ou convexe) et quelque soit la position de
l’objet à condition de travailler dans les conditions de Gauss.
B
A’
a) Origine en S
1
On a démontré au paragraphe III.3 que
1
+
=
2
.
F
C
A
S
B’
SA SA ' SC
A ' B ' SA '
=
. Pour écrire
D’après le théorème de Thalès, on a
AB
SA
cette relation en grandeurs algébriques, il suffit de regarder les signes des différentes grandeurs algébriques sur un
schéma. Ici, SA > 0 , SA ' > 0 et γ < 0 , d’où le signe – à rajouter dans la formule pour l’écrire en grandeurs
algébriques.
1
1
2
+
=
Formule de conjugaison avec origine en S :
(valable dans les conditions de Gauss)
SA SA ' SC
A' B '
SA '
γ=
=−
AB
SA
Ces formules sont à connaître par cœur. On peut mémoriser que l’on a un signe + dans la formule de
conjugaison et que chaque terme commence par le point S.
b) Origine en C
On admet que
1
CA
+
1
CA '
=
2
CS
. On pourrait la démontrer avec le même raisonnement qu’au paragraphe III.3.
CA '
=
.
AB
CA
origine en S :
D’après le théorème de Thalès, on a γ =
A' B '
Formule de conjugaison avec
1
1
2
+
=
(valable dans les conditions de Gauss)
CA CA ' CS
A ' B ' CA '
γ=
=
AB
CA
Ces formules sont à connaître par cœur. On peut
mémoriser que l’on a un signe + dans la formule de
conjugaison et que chaque terme commence par le
point C.
B
A’
A
C
F
S
B’
c) Origine en F – Formules de Newton et démonstration géométrique
Pour démontrer géométriquement les formules de Newton, la méthode est de tracer deux rayons lumineux :
un passant par le foyer objet et un autre passant par le foyer image. Il suffit de calculer le grandissement de
deux façons et on en déduit les formules de Newton.
On utilisera la même méthode pour les formules de
B
Newton avec les lentilles.
On applique deux fois le théorème de Thalès :
A ' B ' SJ FS
A’
γ =
=
=
•
AB
AB FA
C
S
F
A
(il faut bien faire attention aux signes : FS < 0 et FA > 0 )
B’
•
γ =
A' B '
AB
=
A' B '
SI
=
FA '
FS
Formule de Newton : FA ⋅ FA ' = FS 2 (valable dans les conditions de Gauss)
γ=
A' B '
=
FS
=
FA '
AB
FA FS
Ces formules sont à connaître par cœur. On peut mémoriser que l’on a un signe + dans la formule de
conjugaison et que chaque terme commence par le point F.
Si on demande en question de cours dans un exercice de démontrer les formules de conjugaison du miroir
sphérique, on utilisera a priori cette démonstration géométrique. On peut en déduire les autres formules de
conjugaison avec des relations de Chasles (voir ci-dessous).
Q Cours d’Optique (31-104)
Page 12 sur 13
JN Beury
I
J
c1) Comment en déduire les formules de conjugaison avec l’origine en S à partir des formules de Newton ?
Il suffit d’appliquer deux fois la relation de Chasles en faisant intervenir le point S.
( FS + SA) ⋅ ( FS + SA ') = FS
2
En développant, on a : FS 2 + FS ⋅ SA ' + FS ⋅ SA + SA ⋅ SA ' = FS 2
Il reste à diviser par FS ⋅ SA ⋅ SA ' .
1
1
2
SC
1
1
1
+
=
+
+
= 0 . Or SF =
, d’où
2
SA SA ' SC
SA SA ' FS
c2) Comment en déduire les formules de conjugaison avec l’origine en C à partir des formules de Newton ?
Il suffit d’appliquer deux fois la relation de Chasles en faisant intervenir le point C.
D’où
( FC + CA) ⋅ ( FC + CA ') = FS
2
En développant, on a : FS 2 + FC ⋅ CA ' + FC ⋅ CA + CA ⋅ CA ' = FS 2
Il reste à diviser par FC ⋅ CA ⋅ CA ' .
D’où
1
CA
+
1
CA '
+
1
FC
= 0 . Or CF =
1
1
2
CS
+
=
, d’où
2
CA CA ' CS
III.9 Méthodes pour résoudre les exercices d’optique géométrique
1) Présenter l’exercice en écrivant par exemple
objet à l'infini
M1
M2
AB → A’B’ → A"B" ou

→ A ' B ' →
A" B " .
( vu sous un angle α )
2) Si l’énoncé le demande, faire une construction géométrique
3) Comment appliquer les formules de conjugaison dans les exercices ?
Si l’énoncé ne demande pas explicitement une construction géométrique, il faudra au moins tracer l’axe optique, placer
les points C, F et S (attention à bien les placer pour un miroir convexe). Il faut orienter arbitrairement l’axe
horizontal et l’axe vertical et éventuellement les angles.
Tous les calculs seront faits a priori dans les conditions de Gauss. 1 degré = 60 minutes (1° = 60’).
• Pour des objets et des images à distance finie, on utilisera les formules de conjugaison et les formules du
grandissement vues précédemment. Souvent, on utilise les formules de Newton. Les formules avec l’origine en C
ou en S sont à privilégier si les points C ou S jouent un rôle privilégié dans l’exercice.
• Pour un objet ou une image à l’infini, il faudra représenter un rayon lumineux passant par C faisant un angle
α avec l’horizontale et travailler dans le triangle rectangle en C et calculer tan α ≈ α = ... avec α en radians.
Q Cours d’Optique (31-104)
Page 13 sur 13
JN Beury
Téléchargement