LES MIROIRS

Q Cours d’Optique (31-104) Page 1 sur 13 JN Beury
n
45°
LES MIROIRS
I. MIROIR
I.1 Définition
Un miroir est une surface polie réfléchissante. Il réfléchit toutes les longueurs d’onde du visible de la même façon.
Au bout d’un certain temps, il finit par s’oxyder. Il doit être métallisé. Les miroirs usuels sont réalisés par un dépôt
d’aluminium sur du verre
I.2 Cas particulier d’un prisme à réflexion totale.
Calculons la condition sur l’indice n du prisme pour avoir
une réflexion totale.
L’angle d’incidence vaut 45°. Soit i2 l’angle de réfraction.
Les lois de Descartes s’écrivent : 2
sin 45 sinni°= .
Pour avoir une réflexion totale, on doit avoir sin 45 1n°> ,
soit 2n>.
Application : Le LIDAR – télémétrie Terre-Lune
Sur la lune, lors des missions Apollo, les cosmonautes ont déposé des coins de cube qui permettent de réfléchir les
rayons laser venus de la Terre. On peut aujourd’hui mesurer la distance Terre-Lune à quelques millimètres près.
http://www.larecherche.fr/content/recherche/article?id=20548
II. MIROIR PLAN
II.1 Le miroir plan est rigoureusement stigmatique
http://subaru2.univ-lemans.fr/enseignements/physique/02/optigeo/mirplan.html
D’après les lois de Descartes de la réflexion, l’angle de réflexion est égal à l’opposé
de l’angle d’incidence. Quelque soit le rayon issu de A, il semble après réflexion
provenir d’une source virtuelle A’ située derrière le miroir à une position symétrique
de A par rapport au plan du miroir.
Sur le schéma, A est un objet réel et A’ est une image virtuelle.
Quand on se regarde dans un miroir, l’œil voit A’ mais on ne peut pas la
projeter sur un écran. On ne peut pas « la saisir » avec la main !!!
On a donc A →A’ avec A’ symétrique de A par rapport au plan du miroir.
Le miroir est donc rigoureusement stigmatique.
La formule de conjugaison s’écrit : '
H
AHA=− . On oriente arbitrairement l’axe AA’. H est le projeté orthogonal
de A sur le miroir plan.
On représente en traits pleins les rayons lumineux se propageant dans un milieu. On représente en traits
pointillés les rayons utiles pour la construction géométrique. Le rayon qui provient de A se réfléchit sur le miroir
et semble provenir du point A’.
H
A
A
’

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II.2 Image d’un objet – Le miroir plan est aplanétique
AB → A’B’.
On en déduit '
H
AHA=− et '
H
BHB=− .
Pour un objet perpendiculaire à l’axe optique, on définit le grandissement transversal
''
A
B
A
B
γ =.
Pour un miroir plan, le grandissement transversal vaut ''1
AB
AB
γ
=
=
Le miroir plan est donc rigoureusement aplanétique.
II.3 Déplacement de l’image du double par translation du miroir
Si on translate parallèlement au miroir, il ne se passe rien. L’image ne bouge
pas.
Si on translate perpendiculairement au miroir, on observe un déplacement de
l’image.
Miroir position 1 : A →A1
Miroir position 2 : A →A2
Il suffit d’appliquer la relation de Chasles en passant par le point A pour
déterminer 12
A
A.
12 1 2 1 2 1 2
22 2
A
AAAAA HAAH HH=+= + =
On retient que l’image s’est déplacée du double du déplacement du miroir.
II.4 Déplacement de l’image du double par rotation du miroir
Miroir position 1 : A →A1
Miroir position 2 : A →A2
Il suffit d’appliquer la relation de Chasles en passant par A pour
déterminer l’angle
()
12
,OA OA
JJJG JJJJG
.
()()()()
(
)
12 1 2
,,,2,2,OA OA OA OA OA OA OI OA OA OJ=+= +
JJJG JJJJG JJJG JJJGJJJG JJJJGJJGJJJGJJJGJJJ
G
Soit
()()
12
,2,2OA OA OI OJ
α
==
JJJG JJJJGJJGJJJG
.
On retient que l’image a tourné du double de l’angle de rotation du
miroir.
http://subaru2.univ-lemans.fr/enseignements/physique/02/optigeo/mirtournant.html
II.5 Réflexion sur deux miroirs
Il est préférable de travailler avec des angles orientés dans
le cas général. Cependant dans quelques exercices, comme
celui-ci, les nombreux angles sont plus faciles à interpréter
avec des angles géométriques.
On considère la réflexion d’un rayon sur deux miroirs faisant
un angle
α
entre eux. On cherche à déterminer la déviation de
ce rayon lumineux en fonction de
α
.
Pour calculer une déviation quand il y a plusieurs réflexions
ou réfractions, il faut calculer les différentes déviations et
faire la somme des déviations. Il ne faut pas essayer de
calculer la déviation directement avec une seule relation !
()( )
12 22'222'DDD i i i i
ππ π =+=−+− = −−
A
H
1
A
1
A
2
H
2
A
A
1
A
2
I
J
α
2α
O
I
K
α
D
J
i
i
i’
i’
H
A
A
’
B’
B

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CS
lumière
Miroir concave
CS
lumière
Miroir convexe
Dans le triangle IJK, on a :
()
'
22
ii
ππ
π
απ
−+ −+−=
  .
On a donc 'ii
π
α +=− .
D’où
()
22 2D
π
πα α =− −=.
On retient que le rayon lumineux a été dévié d’un angle double de l’angle entre les deux
miroirs.
Application : Si l’angle entre les deux miroirs vaut 90°, la déviation vaut 180°. On retrouve le
coin de cube étudié dans le paragraphe I. L’angle
α
vaut 90°.
III. MIROIRS SPHÉRIQUES
III.1 Définition
Un miroir sphérique est une calotte sphérique, polie et réfléchissante.
C = centre du miroir (centre de courbure de la surface réfléchissante)
S = sommet (point de symétrie de la calotte sphérique)
R = rayon de la sphère
r = rayon du cercle de base
2r = diamètre d’ouverture
2
α
= angle d’ouverture (angle sous lequel on voit le miroir depuis C)
Axe optique = axe de symétrie de la calotte sphérique (passe par le centre C et le sommet S).
Il y a deux types de miroirs sphériques :
• Miroir concave : c’est un miroir creux. Le centre est dans le milieu de propagation de la lumière.
• Miroir convexe : c’est un miroir bombé. Le centre n’est pas dans le milieu de propagation de la lumière.
III.2 Recherche de points rigoureusement stigmatiques
a) Astigmatisme du miroir sphérique
Soit une source ponctuelle se réfléchissant sur un miroir sphérique
concave. Les rayons issus de la source ponctuelle A ne convergent pas en
un même point.
Pour un objet quelconque, l’image d’un point n’est pas un point.
On dit que le miroir sphérique est astigmatique.
http://www.sciences.univ-nantes.fr/physique/perso/cortial/bibliohtml/mirsph.html
http://subaru2.univ-lemans.fr/enseignements/physique/02/optigeo/miroirs.html
CS
α
2 r
R

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CSCS
CSAA’
I
i
θ
i
αα
’
b) Stigmatisme rigoureux au centre et au sommet
Tous les rayons qui proviennent de C repassent par C après s’être réfléchis sur le miroir puisqu’ils arrivent avec une
incidence nulle sur le miroir.
De même, tous les rayons issus de S (ou de tout point appartenant à la surface du miroir) et émis en direction du
miroir s’y réfléchissent comme sur un miroir plan et semblent être issus de la source elle-même.
C →C S →S
III.3 Stigmatisme approché sur l’axe optique
a) Formule de conjugaison au sommet
On considère un rayon lumineux issu de A émis en
direction du miroir en passant par S, il se réfléchit sur lui-
même.
On considère un autre rayon lumineux issu de A qui se
réfléchit en I sur le miroir. L’angle d’incidence est égal à
i.
Dans le triangle ACI, on a :
()
i
α
πθ π +−+=, soit
0i
α
θ −+= (eq. 1)
Dans le triangle A’CI , on a :
()
'i
π
αθ π −++=, soit '0i
θ
α
−
+= (eq. 2)
On élimine i en faisant (1) – (2) : '2
α
αθ += (eq. 3)
On se place dans les conditions de Gauss (rayons paraxiaux). On peut donc faire un développement limité.
tan
I
S
SA
αα ≈≈ ; tan ' ' '
I
S
SA
αα ≈≈ et tan
I
S
SC
θθ ≈≈ . On assimile l’arc de cercle au plan tangent. Les triangles
ASI, A’SI et CSI sont considérés dans cette approximation comme rectangles en S.
Les angles sont orientés. On vérifie les signes : 0
α
> ; 0IS
<
et 0SA
<
.
On réinjecte dans l’équation (3) : 2
'
I
SIS IS
SA SA SC
+= . On en déduit : 11 2
'SA SA SC
+=
Cette relation est indépendante de l’angle d’incidence i. Elle est donc valable pour tous les rayons issus de A et se
réfléchissant sur le miroir à condition d’être dans les conditions de Gauss. L’image d’un point est un point. Il s’agit
en fait d’un stigmatisme approché car la relation ci-dessus résulte d’un développement limité !
Dans les conditions de Gauss, le miroir sphérique est approximativement stigmatique. '
A
A→
La formule conjugaison au sommet s’écrit : 11 2
'SA SA SC
+=
b) Formule de conjugaison au centre
On pourrait démontrer de même une autre formule de conjugaison du miroir sphérique : 11 2
'CA CA CS
+=
.
c) Cas particuliers
• Si A = C. Quelle est l’image du centre ? On écrit : C → C’.
11 2
'SC SC SC
+=. On en déduit immédiatement que 'SC SC=. On retrouve que l’image du centre est le centre.
• Si A = S Quelle est l’image du sommet ? On écrit : S → S’.
11 2
'CS CS CS
+=. On en déduit immédiatement que 'CS CS=. On retrouve que l’image du sommet est le
sommet.

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d) Définition du foyer principal objet ou foyer objet
Un foyer principal objet, appelé foyer objet et noté F
est un point appartenant à l’axe optique tel que son
image à travers le système optique est à l’infini. Tous
les rayons qui passent par F (ou semblent passer par
F), se réfléchissent sur le miroir et sont parallèles à
l’axe optique : F→∞.
Remarque : Cette définition s’applique à tout système
optique. On définit F1 un foyer objet pour le système optique
n°1, un foyer objet F2 pour le système optique n°2 et même F
pour le système optique constitué du système 1 et du système 2 (voir TD).
On applique une des formules de conjugaison : 11 2
SF SC
+=
∞, d’où 2
SC
SF =.
e) Définition du foyer principal image ou foyer image
Un foyer principal image, appelé foyer image et noté F’
est un point tel qu’un objet à l’infini situé sur l’axe
optique a pour image F’. Tous les rayons qui viennent
de l’infini, parallèles à l’axe optique, se réfléchissent sur
le miroir et passent par F’ (ou semblent passer par F’).
'
F
∞→ .
Remarque : Cette définition s’applique à tout système
optique.
On applique une des formules de conjugaison :
11 2
'SF SC
+=
∞, d’où '2
SC
SF =
Pour un miroir sphérique, les foyers objet et image sont confondus. Ils sont situés au milieu du segment
[
]
CS
et notés F.
f) Distance focale du miroir
La distance focale du miroir est 2
R
SF =. On la note f. On ne précise pas comme pour les lentilles distance
focale objet et distance focale image puisque les points F et F’ sont confondus.
III.4 Aplanétisme approché du miroir sphérique
On se place dans les conditions de Gauss. Soit un petit objet AB
perpendiculaire à l’axe optique. On confond l’arc de cercle CA
avec le plan tangent. '
A
A→. On a alors : 11 2
'CA CA CS
+=
.
Soit S’ l’intersection de la droite CB avec le miroir sphérique.
'
B
B→. On a alors : 11 2
''CB CB CS
+=.
Or 'CS CS= ; CB CA=. D’après les deux formules de
conjugaison, on a donc ''CB CA
=
. On trace un cercle de centre
C et passant par A’. L’intersection avec la droite CB donne le point B’. Dans les conditions de Gauss, on confond l’arc
de cercle avec le plan tangent, l’image d’un petit objet AB perpendiculaire à l’axe optique est une petite image A’B’
perpendiculaire à l’axe optique.
Le miroir sphérique est donc approximativement aplanétique pour des petits objets perpendiculaires à l’axe optique.
On définit le grandissement transversal '' '
A
BCA
A
BCA
γ ==. L’objet AB est perpendiculaire à l’axe optique.
Si 0
γ
>, l’image est droite. Si 0
γ
<, l’image est renversée.
Si
γ
> 1, l’image est plus grande que l’objet. Si
γ
= 1, l’image est de même taille que l’objet. Si
γ
< 1, l’image
est plus petite que l’objet.
CS
F
CS
F
CS
AA’
S’
B