Un algorithme de programmation par contraintes

ActesJFPC 2006
Unalgorithmedeprogrammation par
contraintespourlarecherched’allocations
leximin-optimales
SylvainBouveretMichelLemaître
Office Nationald’ÉtudesetdeRechercheAérospatiales,CentredeToulouse.
2,avenueEdouardBelin,B.P4025,31055 TOULOUSECEDEX4
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Résumé
Dansle cadredelaprogrammation parcontraintes,
nousproposonsun algorithmerésolvantleproblèmesui-
vant:allouerd’unemanière équitable etefficace un en-
semblefinid’objetsàdesagentsayantchacun leursutili-
téspropres,sousdescontraintesd’admissibilité.L’algo-
rithme calculeuneallocationmaximisantl’ordreleximin
surlesprofilsd’utilitésdesagents.
Nousdécrivonsdeplusledomained’application qui
amotivé cestravaux:lepartagederessources satelli-
taires.Nousenextrayonsun problèmesimple etprécis
d’allocationéquitable,quinous sertdebase,grâce àun
générateurdejeuxdetests,pourl’évaluation del’al-
gorithmeproposé.Deuximplantationsdel’algorithme
sontcomparées,l’une en programmation parcontrainte
«pure»,avec Choco[14],l’autre en programmationli-
néairemixteavec Cplex[12].
Abstract
Usingthe constraintprogrammingframework,we
proposeanalgorithmforsolvingthefollowingproblem:
fairlyand efficientlyallocatingafinitesetofobjectsto
asetofagents,eachonehavingtheirown utilities,un-
deradmissibilityconstraints.Ouralgorithmcomputesan
allocationmaximizingtheleximinorderontheutility
profilesoftheagents.
Moreover,wedescribetheapplication domainthat
motivatedthiswork:sharing ofsatelliteresources.We
extractfromthisreal-worldapplicationasimpleand pre-
cisefairallocation problemthatallowsfortestingand
evaluating ouralgorithms,usingabenchmarkgenera-
tor.Twoimplementationsofthealgorithmare compa-
red,thefirstoneusingthe constraintprogrammingtool
Choco[14],and thesecond oneusingtheintegerlinear
programmingtoolCplex[12].
1Introduction
Allouerd’unemanière équitable etefficace un en-
semblelimitéderessourcesàdesagentsayantcha-
cun leurspréférencespropresestun problèmegéné-
rald’uneportée considérable.Denombreuxexemples
de ce problèmeseretrouventcouramment,parmi les-
quelson peutciterlaconstruction d’emploisdu temps,
lepartagederéseauxde communication, la gestion de
ressourcesaéroportuairesimpliquantplusieurscompa-
gnies, lepartagedel’espace aérienentredifférentsusa-
gers, lepartagederessources satellitaires.
Danscetarticle,nousabordonsce problèmeavec
quatrehypothèsesrestrictives,maisqui laissenten-
coreun champ d’applicationtrèslarge:
1)lesressources sontdiscrètes,finies,etseramènent
àdesobjetsdistincts, indivisibleseten nombrefini ;
2)lespréférencesdesagents surlesallocationsadmis-
sibles sontexpriméesnumériquement;
3)onrecherchedesallocationséquitablesetefficaces–
lesensde cesmots seraprécisé etdiscutéplusloin;
4)larecherched’uneallocationsatisfaisante estréa-
lisée demanièrecentralisée parun «arbitre»supposé
juste etimpartialetobéissantàdesprincipesadmis
partouslesagents.Autrementdit,on nes’intéresse
pasiciàdesprocéduresd’allocationou denégociation
distribuéesentreagents.
Ceproblèmeàcaractère économiquemarquétouche
àplusieurschampsderechercheactifs: laRecherche
Opérationnelle(RO), l’Intelligence Artificielle(IA),
laMicroéconomie, lathéoriedu ChoixSocial. Notre
contribution puisedanscesdifférentsdomaines.Des
deuxderniersnousempruntonsl’idée d’utilitépour
traduiredespréférencesnumériques,etlacomparaison
79

parl’ordreleximinpourtraduirel’exigence d’équité et
d’efficacité.LaROetl’IAnousfournissentle cadrede
laprogrammation parcontraintes,cadredanslequel
nousproposonsun algorithmesimple,centralisé,pour
larecherched’allocationsleximin-optimales.
PréférencesnumériquesetutilitésSoitun ensemble
d’alternativesadmissiblesSfini, danslequelun arbitre
doitchoisirunealternative engageantnagents,cha-
cun ayantsespréférencespropres.Lemodèleleplus
classiquede cettesituationestceluidu welfarism(voir
parexemple[13,18]).Selonce modèle,quenousadop-
tonsici, lesélémentsdedécision del’arbitresonten-
tièrementcontenusdansladonnée,pourchaqueagent
etpourchaquealternative,deson niveau de«bien-
être».Ceniveauestmesuré,danslaversioncardinale
du modèle,parun indexnumériquemesurantl’utilité
individuelleui(s)del’agentipourl’alternatives.On
supposequelesutilitésindividuelles sontcomparables
entreagents(elles sontdonnées surune échelle com-
munedesutilités).Àchaquealternativescorrespond
doncun profild’utilitéhu1(s),...,un(s)ietlacompa-
raisonentredeuxalternatives s’effectuesurlaseule
basedesdeuxprofilsassociés.
Unefaçoncommodede comparerlesprofilsd’uti-
litésindividuellesestd’agrégerchacun en un index
d’utilité collective représentantlebien-être collectif
delasociétéd’agents.Ainsi, àchaquealternative
s∈Svacorrespondreuneutilité collectiveuc(s)=
g(u1(s),...,un(s)),oùgestunefonction d’agrégation
bienchoisie.Unedécisionoptimale estl’unede celles
quimaximise cetteutilité collective.
Équité etefficacitéavecl’ordreleximinLadifficulté
denotreproblèmed’allocationéquitablerésidedansle
faitqu’il fautconcilierlesintérêtscontradictoiresdes
agents.Iln’existepasengénérald’allocationquisatis-
fassepleinement touslesagentsàlafois.Onrecherche
donc,àtraverslafonction d’agrégationg,descompro-
miséquitables(larépartition doitêtre«juste»)eteffi-
caces(lesressourcesdoiventêtrepleinementutilisées),
cettedernièrenotionétantclassiquement traduitepar
lanotion dePareto-optimalité1.
Leproblèmedu choixdelafonction d’agrégationg
dépasselargementle cadrede cetarticle.Onse conten-
terade citerlesdeuxfonctionslespluscouramment
proposées,etquicorrespondentàdeux visionsex-
trêmesdu bien-être collectif2: lafonctionsomme etla
fonctionminimum,correspondantrespectivementaux
1.UnedécisionestPareto-optimalesietseulementsion ne
peutaugmenterstrictementlasatisfaction d’un agentqu’en di-
minuantstrictementlasatisfaction d’aumoinsun autreagent.
2.Descompromis sontpossiblesentre cesdeuxextrêmes.
Voirparexemple[18,page68](sommesdepuissances)ou[22]
(OrderedWeightedAveragingaggregators).
notionsd’utilitarisme classiqueetd’égalitarisme.La
premièren’estpastrèspertinentedansnotre contexte
carl’utilité collectiverésultantenedépend pasdelaré-
partition desutilitésindividuelles.Parcontre, lafonc-
tionminimum,quoiqu’un peuextrémiste,estparticu-
lièrementadaptée auxproblèmesquinousintéressent
icipourlesquelsl’équitéjoueun grand rôle,carlesdé-
cisionsoptimalesassociées sontcellesquimaximisent
lasatisfaction du moinsheureuxdesagents.Cepen-
dant, leproblèmede cettefonction,bienconnu dans
lacommunautédesCSPflousetcourammentappelé
«effetdenoyade»[4], estqu’ellelaisseun trèsgrand
nombred’alternatives,pourtant trèsdifférentes, indis-
tinguableslesunesdesautres.Ainsiparexemple, les
profilsd’utilitéh0,...,0ieth1000,...,1000,0iprodui-
rontlamêmeutilité collective0.Autrementdit, la
maximisation delafonctionminpeutproduiredesdé-
cisionsnonefficaces(nonPareto-optimales).
Deuxraffinementsdel’ordreinduitparlafonction
minetn’ayantpascetinconvénientsontclassiquement
proposésdansledomainedesCSPflouspourpallier
ceteffet.Ils’agitdesordresdiscriminetleximin[7].
Lediscriminaplusieursinconvénients:toutd’abord
il nes’agitpasd’un préordretotal, etil laissede
nombreusesincomparabilitésentreprofils;enoutre,
envertu du principed’anonymatunanimementadmis
enthéoriedu choixsocial, laqualitéd’unedécision
collective estinsensibleàlapermutation desutilités
desagents,ce quin’estpastout-à-faitle caspour
lediscrimin(lesdeux qualités sontincomparables). le
discrimin n’estdoncpaspertinentpourle classement
d’alternatives.Leleximin,quenousproposonsd’utili-
serici, estemployé classiquementenchoixsocial [17].
Nousl’introduisonsinformellement,avantdeledéfinir
précisémentdanslasection2.Lacomparaison dedeux
profilsd’utilités selonl’ordreleximin nes’opèrepasà
traversunefonction d’agrégationg,maisdirectement
surlesprofils.Onrecherched’abordlesdeux valeurs
minimalesdesdeuxprofils.Sielles sontdifférentes, la
plusgrandedesdeuxl’emporte.Sinon,on «élimine»
cesminimauxde chacun desdeuxprofilseton poursuit
itérativement.Parexemple,soitàcomparerlesprofils
h4,2,3,2ieth2,7,2,2i.Lesminimauxsontlesmêmes
(2)donconlesélimine(→h4,3,2ieth7,2,2i).Lesmi-
nimauxsontencore égaux(2);onlesélimine(→h4,3i
eth7,2i).Lesnouveauxminimauxsontdifférents(3et
2): lepremierprofilestdoncleximin-supérieurause-
cond.Unefaçonéquivalented’exprimerl’ordreleximin
estcelle-ci : chaqueprofilest trié enordrenon décrois-
santpuisoncomparelesprofilsainsitriés selonl’ordre
lexicographique(d’oùlenomleximin).
Cetarticle estorganiséainsi : lasection2défi-
nitformellementnotreproblèmedansun cadreCSP.
Lasection3décritlaprincipale contribution de cet
80 Actes JFPC’06

article:un algorithmede calculd’unealternative
leximin-optimaledansun cadredeprogrammation par
contraintes,avec sapreuve.Lasection4estconsa-
crée àl’applicationquiamotivé cestravaux: lepar-
tagederessources satellitaires.Nousenextrayonsun
problèmesimplifiéquinouspermetdetesterdeux
implantationsdel’algorithme en programmation par
contraintes(avec Choco[14]),eten programmation
linéaire(avec Cplex[12]).Lasection5présentedes
travaux voisins,avantlesconclusionsetperspectives,
section6.
2Cadreformel
Le cadredelaprogrammation parcontraintesest
trèsutilisédanslarésolution deproblèmescombi-
natoiresaussidiversquelesproblèmesd’emploidu
temps,deplanification,d’allocation defréquences....
Ceparadigme estfondésurlanotion deréseau de
contraintes.Unréseau de contraintesestforméd’un
ensembledevariablesX={x1,...,xp},d’un en-
semblededomainesD={dx1,...,dxp},oùdxiest
un ensemblefinidevaleurspossiblespourxi(nous
supposonsquedxi⊂N,etnotonsxi=min(dxi)
etxi=max(dxi)),etd’un ensemblede contraintes
C.Chaque contrainteC∈Cspécifieun ensemblede
tuplesautorisésR(C)surun ensembledevariables
X(C).
Uneinstanciationvd’un ensembleSdevariablesest
uneapplicationquiàtoutevariablex∈Sassocieune
valeurv(x)deson domainedx.SiS=X,cetteinstan-
ciationestcomplète,sinon,elle estpartielle.SiS′(S,
laprojection d’uneinstanciation deSsurS′estlares-
triction de cetteinstanciationàS′etestnotée v↓S′.
Uneinstanciationestcohérentesietseulementsielle
nevioleaucune contrainte.Étantdonnéun réseau de
contraintes, leproblèmed’existence d’uneinstancia-
tioncomplète cohérenteàce réseau de contraintesest
appeléProblèmedeSatisfaction deContraintes(CSP)
[16]etestNP-complet.Unetelleinstanciation,sielle
existe,estunesolution du CSP.
Ilexisteunedéclinaison du CSPen problème
d’optimisation(issuedel’extensionmax-CSPdes
problèmesdesatisfaction de contraintes),dansla-
quelleunevariableojouelerôledevariableob-
jectif.Unesolution d’uneinstance de ce problème
d’optimisationestuneinstanciationcomplète cohé-
rentebvdu réseau de contraintestellequebv(o)=
max{v′(o)|v′instanciationcomplète cohérente}.
Soit−→ x=hx1,...,xniun vecteurd’entiers;nous
notons−→ x↑=hx↑
1,...,x↑
nilaversionordonnée dans
l’ordrenon-décroissantde ce vecteur.Nousdéfinissons
l’ordreleximinsurlesvecteursd’entiers:
Définition1(Ordreleximin)Soient−→ xet−→ ydeux
vecteurs deNn.−→ xet−→ yserontditsleximin-
indifférents (noté−→ x∼leximin−→ y) sietseulementsi
−→
x↑=−→ y↑.Le vecteur−→ yestleximin-préféréà−→ x(noté
−→
x≺leximin−→
y) sietseulementsi∃i∈J0,n−1Ktel
que∀j∈J1,iK,x↑
j=y↑ jetx↑ i+1<y↑ i+1.On notera
−→
xleximin−→
ypour−→ x≺leximin−→
you−→ x∼leximin−→
y.
Larelation binaireleximinestun préordretotal.
Dansun problèmededécisioncollective,unesolu-
tionleximin-optimale estunealternativedontleprofil
d’utilitésassocié estmaximalpourl’ordreleximin.
Unetellesolutional’avantage,outred’êtremin-
optimale,d’êtreaussiPareto-efficace.
Ladéclinaison desCSPprésentée ci-avantpermet
d’encoderun certain nombredeproblèmesd’optimi-
sationcombinatoireissusdu choixsocial. Parexemple,
si l’onveutmodéliserleproblèmedemaximisation
del’utilité collective égalitariste(fonction d’agrégation
g=min)dansun problèmeànagents,on peutintro-
duirenvariableshu1,...,unicorrespondantauxuti-
litésde chaqueagent,etunevariableobjectifucliée
auxautresvariablesparlescontraintes{C1,...,Cn},
avec Ci=(uc≤ui).
Enrevanche, lamodélisation du problèmede cal-
culd’unedécisionleximin-optimaledansleformalisme
CSPn’estpas siévidente,etellenécessiteunelégère
transcription delavarianteoptimisation du CSP.Nous
nousintéresseronsau problèmemodélisé commesuit.
[Leximin-Optimal]
Entrées:un réseau de contraintes(X,D,C);un
vecteurdevariables−→ u=hu1,...,uni(∀i,ui∈
X),appelévecteurobjectif.
Sortie:«Incohérent»s’il n’existepasd’instancia-
tioncomplète cohérente.Sinon,uneinstancia-
tionbvscomplète cohérentetelleque∀vinstancia-
tioncomplète cohérente,v(−→ u)leximinbvs(−→ u).
Nousproposonsun algorithmederésolution de ce pro-
blème,fondésuruneméta-contraintede cardinalité.
3Algorithmeproposé
Leprincipedel’algorithme1estde calculerité-
rativementchaque composantedu vecteurcorrespon-
dantaux valeursordonnéesdel’instanciationleximin-
optimalede−→ u.Pourcela,onintroduitauxlignes3
et4un vecteurdevariablesd’optimisation, lerôlede
chaquevariableyiétantde calculerlavaleurdel’indice
idu leximin-optimal(on noteram=min{ui|1≤i≤
n}etM=max{ui|1≤i≤n}).Àchaqueitérationi
delaboucle6..10,onajouteune contraintede cardina-
lité correspondantàlacomposante encoursde calcul
(ligne7),etoncalcule(ligne8)lavaleurmaximalede
Un algorithme de programmation par contraintes pour la recherche d’allocations leximin−optimales 81

lavariableyitellequeleréseau de contraintescou-
rant (quicorrespond auréseauinitialadditionnédes
variablesyketdescontraintesde cardinalitédesitéra-
tionsprécédentes)aitunesolution.Lavariableyiest
fixée àcettevaleuroptimale(ligne9)pourtoutesles
itérations suivantes.Laligne10 restreintledomaine
delaprochainevariableyi+1demanièresûre;cepen-
dant, lestestsmontrentqu’ellen’influepasdemanière
significativesurlestempsde calcul, certainementcar
lapropagation de contraintesestcapabledefiltrertrès
rapidementcettepartiedu domainedeyi+1.
Algorithme1:Algorithmederecherched’uneso-
lutionleximin-optimaled’un réseau de contraintes.
entrées:un réseau de contraintes(X,D,C);un
vecteurhu1,...,unidevariablesdeX
sortie:Unesolution du problème
[leximin-Optimal]ou «Incohérent»
sisolve(X,D,C)=«Incohérent»alors1
retourner«Incohérent»2
X′←X∪{y1,...,yn};3
D′←D∪{Jm,MK,...,Jm,MK};4
C′←C;5
pouri←1ànfaire6
C←C∪{AtLeast({u1≥yi, . . . , un≥yi},
n−i+1)};7
bv←maximize(yi,(X,D,C));8
dyi←{bv(yi)};9
dyi+1←Jbv(yi),MK10
retournerbv↓X 11
L’algorithmeutiliselaméta-contraintede cardina-
litéAtLeast:
Définition2(Méta-contrainteAtLeast) SoitΓ
unensembledepcontraintes,etk∈J1,pKunen-
tier. Alors laméta-contrainteAtLeast(Γ,k)estla
contrainteportantsurl’ensembledesvariables surles-
quellesportentlescontraintesdeΓ,etautorisantuni-
quementlestuplesde valeurs pourlesquelsaumoins
kcontraintesdeΓsontsatisfaites.
Cetteméta-contrainte3estintroduitesouslenom
decardinalitycombinatorparexempledans[11]. Son
rôledansl’algorithme1estdesimulerune contrainte
d’ordreleximin(l’ensembledescontraintesde cardi-
nalitéimposeauxsolutions suivantesd’êtreleximin-
supérieuresauvecteurleximin-optimalpartiel).
Lesfonctionssolveetmaximize(dontledétail est
du ressortdelarésolution deproblèmesdesatisfaction
de contraintes)deslignes1et8renvoientrespective-
mentunesolution du réseau de contraintes(X,D,C)
3.Lepréfixe«méta»indiqueque cette contrainteprend en
paramètred’autrescontraintes.
(ou «Incohérent»siunetellesolution n’existepas),
etunesolutionoptimaledu réseau de contraintes
(X,D,C)avec variableobjectify(ou «Incohérent»
siunetellesolution n’existepas).Nousconsidérons
–contrairementauxsolveursde contraintesusuels–
que cesdeuxfonctionsnemodifientpaslesréseauxde
contraintes.
Proposition1Silesfonctionsmaximizeetsolve
sontcorrecteset terminent,l’algorithme1termine et
renvoieunesolutionauproblèmede calculduleximin-
optimald’unCSP.
Preuve:Lapreuvedelaterminaisonestimmédiate
si lesfonctionssolveetleximinterminent.
Si leréseau decontraintesinitialn’apasdesolution,
etsi lafonctionsolveestcorrecte,alorsl’algorithme
renvoie«Incohérent».Nous supposonsdanslasuitede
lapreuvequenousnesommespasdanscecas-là.
Danslapreuve,on noterabvil’instanciationretour-
née àl’itérationiparlafonctionmaximize,etbvsla
solutionau problème[Leximin-Optimal].
Squelettedelapreuve:Pourmontrerquel’al-
gorithme estcorrect, il suffitdemontrerquel’ap-
pelàmaximizenerenvoiejamais«Incohérent»,
etquecvn(−→ u)↑=bvs(−→ u)↑.Pourcefaire,onse
sertdel’hypothèsederécurrencesuivante:(Hi)=
“bviexiste et∀j≤i,bvi(−→
u)↑
j=bvi(yj)=bvs(−→
u)↑
j”.
Àl’itération1, lacontrainteAtLeast({u1≥y1,...,
un≥y1},n)estéquivalentàlacontraintey1≤
minui.Lafonctionmaximizerenvoiedoncune ex-
tensionbv1d’unesolution du réseau decontraintes
initialtellequebv1(y1)=max{mini(v1(ui))|v1
instanciationcomplètecohérente}.Doncbv1(y1)=
bv1(−→ u)↑
1.Deplus,bv1(y1)≥bvs(−→
u)↑
1si lafonctionmaxi-
mizeestcorrecte(il existeune extension debvssur
(X′,D′,C′)cohérente).On nepeutavoirbv1(y1)>
bvs(−→ u)↑
1,carcelavoudraitdirequebv1(−→
u)↑
1>bvs(−→
u)↑
1
etdoncquebv1seraitunesolutionleximin-supérieureà
bvs,cequin’estpaspossibleCeciprouve(H1).
Montronsque(Hi)⇒(Hi+1)(i∈J1,n−1K).
Montronsquedvi+1existe(c’est-à-direqu’il existeau
moinsunesolutionauréseau decontraintesdel’itéra-
tion(i+1)).L’instanciationbvsestlaprojectionsurX
d’unesolution du réseau decontraintesdel’itération
i+1.Eneffet:
—pardéfinition,bvssatisfait touteslescontraintesdu
réseauinitial ;
—∀j≤i,bvi(yj)=bvs(−→ u)↑
j(d’après(Hi)),doncbvs(−→
u)↑
j
et toutes sescomposantes suivantesdanslevecteuror-
données(soitn−j+1composantesdebvs(−→ u))sontsu-
périeuresouégalesàbvj(yj),cequisatisfaitlacontrainte
AtLeastdel’itérationj;
—bvs(−→ u)↑
i+1≥bvs(−→
u)↑
ipardéfinition,doncil existeau
moinsunevaleurcohérentepouryi+1:bvi(yi).
Doncil existeaumoinsunesolutionauréseau de
contraintesdel’itérationi+1(doncdvi+1existe).
82 Actes JFPC’06

Enoutre,pourtoutj≤i+1,dvi+1(−→ u)↑
j≥dvi+1(yj)
(sinonaumoinsunedescontraintesAtLeastestvio-
lée).Enremarquantqu’uneallocationadmissiblepour
(X′,D′,C′)àl’itérationi+1l’estaussiàl’itérationi
(carentredeuxitérations successiveson nefaitqu’ajou-
terunecontrainte etréduireledomained’unevariable),
onen déduitqu’on nepeutavoirdvi+1(−→ u)↑
j>dvi+1(yj).
Eneffet,danscecas,puisquedvi+1(yj)=bvj(yj)(pour
j<i+1, ledomainedeyjestun singleton),dvi+1aurait
étéstrictementmeilleurequebvjpouryjàl’itération
j,etsimaximizeestcorrecte,cen’estpaspossible.
Donc∀j≤i+1,dvi+1(−→ u)↑
j=dvi+1(yj),cequiprouvela
première égalité.
L’extension debvsquiaffectelavaleurbvs(−→ u)↑
i+1à
yi+1estfaisableàl’itérationi+1(ellesatisfait,en plus
desautrescontraintes, lacontrainteAtLeastdel’ité-
rationi+1).Doncdvi+1(yi+1)≥bvs(−→ u)↑
i+1.Si l’onavait
dvi+1(yi+1)>bvs(−→ u)↑
i+1,alorslaprojection dedvi+1sur
Xseraitunesolution deceréseau decontraintestel
que∀j<i+1,dvi+1(−→ u)↑
j=bvs(−→
u)↑
jetdvi+1(−→
u)↑
i+1>
bvs(−→ u)↑
i+1,doncunesolutionleximin-supérieureàbvs,ce
quin’estpaspossible.Onadoncbiendvi+1(yi+1)=
bvs(−→ u)↑
i+1,cequiachèvedeprouver(Hi+1).
Par récurrence,onadonc:(1)cvnestunesolution
du réseau decontraintesàl’itérationn,doncafortiori,
saprojectionsurXestunesolutionet (2)pourtouti,
cvn(−→ u)↑
i=bvs(−→
u)↑
i,donccvn(−→
u)etbvs(−→ u)sontleximin-
indifférents.Doncl’instanciationrenvoyée parl’algo-
rithme estbien unesolution du problème[Leximin-
Optimal]. 
Si laprogrammation parcontraintes seprêtepar-
ticulièrementàl’implantation de cetalgorithme, la
méta-contraintede cardinalitéutilisée dansl’algo-
rithmes’exprimeaussidansledomainedelapro-
grammationlinéaire[10,p.11]grâce àl’introduction
denvariables0–1 {δ1,...,δn}.Laméta-contrainte
AtLeast({x1≥y,...,xn≥y},k)estéquivalente
àl’ensemblede contrainteslinéaires{x1+δ1y≥
y,...,xn+δny≥y,Pn
i=1δi≤n−k}.
4Applicationàun problèmedepartage
deressources satellitaires
Nousdécrivonsmaintenantl’applicationquiamo-
tivé cestravaux,etquinousaservipourexpérimenter
etévaluerl’algorithmeproposé ensituationréaliste.
4.1Description del’application
L’applicationconcernel’exploitationcommune,par
plusieursagents(pays,organismesinternationaux...),
d’une constellation desatellitesd’observation dela
Terre.Lamission de ce typedesatellitesconsiste,
commel’illustrelafigure1,à acquérirdesphotogra-
phiesdelaTerre,enréponseàdesdemandesdephoto-
graphiesdéposéesparlesagents.Cesagentsdéposent,
limitedu corridor
devisibilité
satellite
photographie
encours
d’acquisition
orbite
photographiesnonacquises
photographiesacquises
Figure1 – Acquisition d’unephotographieparun
satellited’observation delaTerre.
auprèsd’un centredeplanificationcommun,desde-
mandesdephotographievalablespourun jourdonné.
Laplanificationglobaledesprisesdevuedetousles sa-
tellitesdelaconstellationestorganisée parintervalles
detemps successifs,généralement1jour.Le centre
deplanification déterminedonc,parmi lesdemandes
concernantun jourdonné, l’ensembledesdemandes
quiserontsatisfaites,c’est-à-direl’ensembledespho-
tographiesquiserontacquisesce jour-làparlaconstel-
lation.Cetensemblededemandes satisfaitesconstitue
uneallocationjournalièredesdemandesauxagents.
Lescontraintesphysiquesd’exploitationetle
nombreimportantdedemandesconcernantcertaines
zonesgénèrentdesconflitsentredemandes.Ilest
donc engénéral impossibledesatisfairesimultanément
touteslesdemandesdéposéespourun jourdonné.Au-
trementdit,seulun sous-ensembledesdemandespour-
rontêtresatisfaites.Toutescescontraintesdéfinissent
l’ensembledesallocationsadmissibles.
Voiciquelquesordresdegrandeurconcernantlepro-
blèmeréel. Lesagents sontentre3et6.Plusieurscen-
tainesdedemandes sontcandidateschaquejour,parmi
lesquelles100 à 200 serontsatisfaites.
Lesdemandesd’un agentsontd’importancesin-
égales.Chaqueagent traduitl’importance relativede
sesdemandesenassociantàchacuneun poids,quiest
un nombrepositifou nul4,etcorrespond implicite-
mentàdespréférencesadditives:étantdonnésdeux
ensemblesdedemandesd’un agentdontlasommedes
poidsestidentique, l’agentconcerné estindifférentde-
vantl’obtention del’un oul’autre ensembledede-
mandes.L’utilitéindividuelled’uneallocation pourun
4.Un poidsnulmarquesimplementlefaitqu’un agentn’est
pasintéresséparlademande.
Un algorithme de programmation par contraintes pour la recherche d’allocations leximin−optimales 83