Électrostatique

PSI
FEUILLE D’EXERCICES DE PHYSIQUE N° 15
09/12/2016
2016/2017
Thème: Electrostatique, potentiel, énergie potentielle, condensateurs
Applications directes :
1. Boule creuse
Une boule creuse de centre O et de rayon R, porte une charge q répartie
uniformément à sa surface.
a) Déterminer le champ électrique créé en tout point de l’espace et
représenter graphiquement la fonction trouvée. Est-ce que ce champ
est continu en R ?
b) En déduire le potentiel en tout point de l’espace et représenter
graphiquement la fonction trouvée.
c) Exprimer V(R) en fonction de E(R).
d)
Au Palais de la Découverte,
une telle sphère est portée au potentiel Vo =
10 000 V. Quelle valeur minimale doit-on
donner au rayon de la sphère si la valeur du
champ sur la sphère doit rester inférieure au
champ disruptif de l’air Ed = 3.106 V.m-1 ?
Si le champ sur la sphère devient supérieur
au champ disruptif de l’air une étincelle se
produit et la sphère se décharge.
e) Déterminer pour ce rayon la valeur de la charge portée alors par la sphère.
f) Que se passe-t-il si R diminue ? Justifier le « pouvoir des pointes »
2. Electrisation du sol
Lors d’un orage peut se développer au niveau du sol une zone chargée. On a tracé les
équipotentielles au niveau d’une aspérité. Celle-ci est supposée conductrice donc sa surface
est une équipotentielle. L’unité de longueur choisie ici est celle du rayon de la sphère.
V = - 1,5 kV
V = - 1,0 kV
V = - 0,5 kV
V = - 0,3 kV
V=0
a) Représenter l’allure de quelques lignes de champ.
b) Quel est le signe de la charge portée par l’aspérité ?
c) Dans quelles régions le champ est-il le plus intense ?
d) Si on admet que loin de l’aspérité la valeur du champ est de 5 kV.m-1 évaluer sa valeur au
sommet de l’aspérité.
e) La valeur du champ disruptif de l’air est de 30 kV.cm-1. Commenter.
3. Champ électrique à l’intérieur d’un condensateur plan :
Dans quelles conditions peut-on modéliser un condensateur plan par deux plans infinis
uniformément chargés ?
Montrer que le champ créé par une telle distribution est forcément perpendiculaire aux plans
et qu’il ne dépend que de la distance aux plans.
En choisissant une surface de Gauss qui engloble les deux plans, montrer que le champ à
l’extérieur du condensateur est nul.
En choisissant une surface de Gauss qui englobe un seul des deux plans, montrer que le
champ à l’intérieur du condensateur est uniforme et donner sa valeur.
Tracer les lignes de champ et les équipotentielles.
4. Accélération d’un électron, limite relativiste
Un électron de vitesse initiale nulle, est accéléré dans le vide par un champ électrostatique
uniforme E.
1. Proposer un dispositif expérimental qui permet de fabriquer un champ électrostatique
uniforme. Quel nom donne-t-on à ce dispositif ?
2. On note U la différence de potentiel entre la position initiale et la position où la vitesse
acquise est v. Exprimer v en fonction des données.
3. Déterminer la valeur de Ulim telle que la vitesse de l’électron soit inférieure à10% de la
valeur maximale autorisée.
4. Déterminer la distance entre les deux électrodes, pour que le champ électrique soit
inférieur au champ disruptif de l’air Ed = 3.106 V.m-1. Pourquoi réalise-t-on le vide dans les
canons à électrons ?
5. Soit d = 10 cm, la distance entre les deux électrodes. Quelle est la densité surfacique de
charge portée par chaque électrode ?
6. On suppose que la surface de l’électrode est de 1 cm2. Déterminer la capacité du
condensateur plan ainsi formé.
7. Déterminer l’expression de la vitesse de la particule en fonction du temps.
4. Energies potentielles
Déterminer, à partir de l’expression des différentes forces les énergies potentielles
électrostatique, de gravitation, de pesanteur, élastique.
5. Champ gravitationnel terrestre
On assimile la terre à une sphère de masse uniforme.
1. Déterminer la direction du champ gravitationnel créé par la terre.
2. Déterminer le ou les paramètres de position dont dépend ce champ gravitationnel.
3. Rappeler les analogies entre force électrostatique et force de gravitation.
4. Enoncer le théorème de Gauss gravitationnel.
5. Déterminer le champ gravitationnel créé par la terre en tout point de l’espace.
Représentation graphique.
6. Energie stockée par deux condensateurs en série
Deux condensateurs associés en série de capacités respectives C1 = 40 µF et C2 = 80 µF sont
connectés aux bornes d’un générateur qui impose une ddp U = 120 V. Calculer les tensions
aux bornes de chaque condensateur, ainsi que l’énergie stockée dans chaque condensateur.
Exercices :
I.
Etude du système Terre-électrosphère
Au-delà d’une altitude h d’environ 60 km, la conductivité de l’atmosphère est suffisante
pour que cette dernière soit équipotentielle, on appelle cette région l’électrosphère.
On la modélise par une surface équipotentielle sphérique de rayon r = R + h où R = 6400
km est le rayon de la terre supposée sphérique, de potentiel V = Vh = const, possédant
une charge totale +Q uniformément répartie en surface et de densité surfacique +.
D’autre part, on assimile la terre, de rayon R et de centre O à un conducteur parfait de
potentiel nul portant une charge négative – Q où Q > 0 uniformément répartie sur sa
surface.
L’ensemble de ces deux conducteurs forme ainsi un condensateur sphérique dont
l’armature intérieure est la terre et dont l’électrosphère constitue l’armature extérieure.
On assimile la permittivité de l’atmosphère à celle du vide. En réalité l’air est faiblement
conducteur et un faible courant de fuite circulant entre les deux armatures décharge
rapidement le condensateur terre-électrosphère. Ce sont les transferts de charge, sous
l’effet de la convection dans les nuages orageux, qui rechargent le condensateur et
assurent une différence de potentiel de 360 kV entre l’electrosphère et le sol.
Donnée : formulaire des opérateurs vectoriels
1. Etudier les propriétés de symétries et d’invariance de la distribution de charge.
2. Déterminer, à partir de l’équation de Laplace, dont on justifiera l’utilisation,
l’expression du potentiel V à l’altitude r où R< r< R+h en fonction de Vh, R, r et h.
3. En déduire l’expression du champ électrique en fonction de Vh, R, r et h. Calculer la
valeur de ce champ au niveau du sol et la comparer à la valeur qu’on aurait trouvé si
on avait assimilé le système terre-électrosphère à un condensateur plan.
4. En appliquant le théorème de Gauss à une surface dont le choix sera clairement
justifié exprimer la charge portée par la terre.
5. Déterminer la valeur de la charge portée par la terre, puis sa densité surfacique de
charge.
6. Déterminer la capacité du condensateur formé par la terre et l’électrosphère, puis
l’énergie électrostatique Welec emmagasinée.
7. Proposer une autre méthode pour déterminer la capacité du condensateur sphérique.
8. Durant un orage les flux d’air ascendants et descendants au sein des nuages
provoquent des collisions entre les particules de glace responsables d’une séparation
de charge : la base du nuage se charge positivement alors que son centre se charge
négativement, son sommet se charge quant à lui positivement. Il en résulte
l’apparition d’une différence de potentiel Ubs entre la base du nuage et le sol. On
considère que la base du nuage a une surface S de l’ordre de 106 m2 et qu’elle est
située à une altitude de 1 km par rapport au sol.
Par une modélisation adaptée du système terre-nuage dont on discutera la pertinence
et les limites et sachant que le claquage de l’atmospère se produit pour un champ de
300 kV.m-1, donner l’ordre de grandeur de la valeur limite Ubslim lorsqu’un éclair se
produit. Quelle est alors l’ordre de grandeur de la charge Qb portée par la base du
nuage ?
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II. Condensateur cylindrique
On considère un cylindre conducteur de longueur L de rayon R, portant une charge Q, répartie
uniformément sur sa surface.
1. Comment fabriquer à partir de ce conducteur un condensateur cylindrique ?
2. Déterminer le champ électrique à l’intérieur du condensateur. Tracer des lignes de champ et
des surfaces équipotentielles.
3. En déduire l’expression de la différence de potentiel entre les électrodes, puis l’expression
de la capacité du condensateur.
4. A quelle condition retrouve-t-on la capacité d’un condensateur plan ?.
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III.
Résolution de problème : traversée de
l’ionosphère
Quelle doit être l’énergie cinétique d’un électron
cosmique pour qu’il puisse traverser
l’ionosphère ?
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