Ondes électromagnétiques dans le vide (MP)

Ondes électromagnétiques dans le
vide (MP)
Ondes EM dans le vide, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier
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Chapitre 1
Ondes électromagnétiques dans le vide
I – Les équations de propagations du champ EM dans le vide :
Soit une distribution (D) de charges localisées autour d’un point O, dont les densités
sont fonction du temps (exemple : une antenne métallique).
Selon les équations de Maxwell-Gauss et de Maxwell-Ampère, cette distribution (D)
r
r
est la source de champs E et B variables dans le temps qui vont s’établir dans tout le
voisinage de O.
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Un point M de ce voisinage, bien que situé en dehors de (D), est lui-même source de
r
r
champs en raison des termes en ∂B / ∂t et ∂E / ∂t « provenant de O » qui jouent un rôle
de sources dans les équations de Maxwell-Faraday et de Maxwell-Ampère.
Les points P du voisinage de M sont à leur tour dans leur propre voisinage des sources
de champs variables dans le temps …
On conçoit ainsi que le champ EM se propage en faisant penser à des rides se
transmettant de proche en proche à la surface de l’eau.
« Le couplage qui est introduit dans les équations de Maxwell par la présence des deux
r
r
dérivées partielles par rapport au temps ∂B / ∂t et ∂E / ∂t est à l’origine du phénomène
de propagation du champ EM. »
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Obtention des équations de propagation du champ EM :
On calcule le rotationnel de l’équation de Maxwell-Faraday :
r
r
∂
rot rot E = − rot B
∂t
(
)
(
)
Or :
r
r
r
rot rot E = grad div E − ∆E
(
)
(
)
r
r ρ
r
r
∂E
div E =
et rot B = µ 0 j + ε 0 µ 0
Avec
∂t , il vient :
ε0
 ρ
grad 
 ε0
r
r
r


∂
∂E 

 − ∆E = −  µ 0 j + ε 0 µ 0


∂t 
∂t 

Soit, finalement :
5
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r
r
2
r
1
∂ E
∂j
∆E − ε 0 µ 0 2 =
grad ρ + µ 0
∂t
ε0
∂t
De manière symétrique, on élimine E au profit de B en calculant le rotationnel de
MA :
r
r
r
r
r
∂
rot rot B = grad div B − ∆B = µ 0 rot j + ε 0 µ 0
rot E
∂t
(
)
(
(
)
Soit :
r
r
r

∂
∂B 
grad (0 ) − ∆B = µ 0 rot j + ε 0 µ 0  −
∂t  ∂t 
Finalement :
r
2
r
r
∂ B
∆B − ε 0 µ 0 2 = − µ 0 rot j
∂t
r r
Dans une région sans charges ni courants ( ρ = 0 et j = 0 ) :
6
)
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r
2
r
∂ E r
∆E − ε 0 µ 0 2 = 0
∂t
r
2
r
∂ B r
∆B − ε 0 µ 0 2 = 0
∂t
et
Ces équations sont les équations de propagation du champ EM.
Si l’on note s(t) l’une des six coordonnées des champ EM (Ex,…., Bx,…), alors :
∆s − ε 0 µ 0
∂2s
∂t
2
=0
soit
∆s −
1 ∂2s
2
v ∂t
2
=0
(
1
v
2
= ε 0 µ0 )
C’est l’équation de d’Alembert (équation classique de propagation des ondes, encore
appelée équation des cordes vibrantes) établie au XVIIIème siècle pour modéliser les
vibrations d’une corde tendue. Comme le montre le paragraphe suivant, les solutions
de cette équation traduisent un phénomène de propagation de célérité v.
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* Solutions de l’équation de d’Alembert :
On va donner les formes générales des solutions de l’équation de d’Alembert
unidimensionnelle :
∂2s
∂x
2
−
1 ∂2s
2
v ∂t
2
=0
On montre que ces solutions sont de la forme :
x
x
s = f (q) + g ( p) = f (t − ) + g (t + )
v
v
Interprétation physique : on considère une fonction de la forme :
x
s + ( x, t ) = f (t − )
v
On constate que :
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x
x + ∆x
f (t − ) = f (t + ∆t −
)
v
v
pour tout couple ∆x et ∆t vérifiant :
∆x = v∆t .
Ainsi, s+(x,t) représente un signal qui se propage sans déformation à la vitesse v le long
de l’axe (Ox) dans le sens positif.
x
s+ ( x, t ) = f (t − )
v
∆x = v∆t
O
Instant
t+∆
∆t
Instant
t
9
x
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x
(
,
)
(
) représente un signal qui se propage sans déformation à
s
x
t
=
f
t
+
La solution −
v
la vitesse v le long de l’axe (Ox) dans le sens négatif.
On se propose maintenant de résoudre l’équation de d’Alembert tridimensionnelle :
∆s −
1 ∂2s
v 2 ∂t 2
=0
r
avec s (r , t ) = s ( x, y, z , t )
On vérifie que des fonctions de la forme :
x
y
z
s x,± ( x, y, z, t ) = f (t m ) ; s y ,± ( x, y, z, t ) = f (t m ) ; s z ,± ( x, y, z , t ) = f (t m )
v
v
v
sont solution de l’équation tridimensionnelle (ces solutions sont appelées ondes planes
r r
r
u
,
u
et
u
z , dans le sens positif ou négatif).
de directions de propagations respectives x y
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Des ondes sphériques sont également solution de l’équation de d’Alembert
tridimensionnelle : on cherche, par exemple, des solutions à symétrie sphérique s(r,t).
En utilisant la forme du laplacien en coordonnées sphériques, il vient :
1 ∂2
1 ∂2s
(rs ) − 2 2 = 0
2
r ∂r
v ∂t
Soit encore :
∂2
∂r 2
( rs ) −
1 ∂2
v 2 ∂t 2
(rs ) = 0
On constate alors que la fonction rs(r,t) est solution de l’équation unidimensionnelle
de d’Alembert. Par conséquent :
r
r
rs ( r , t ) = f (t − ) + g (t + )
v
v
Soit :
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1
r
1
r
s (r , t ) = f (t − ) + g (t + )
r
v
r
v
Les deux termes de cette somme représentent des ondes sphériques respectivement
divergente et convergente.
On constate que le signal ne se propage pas sans déformation en raison de
l’affaiblissement exprimé par le facteur 1 / r.
On choisit, dans la suite :
Pour une onde plane s(z,t), l’équation de d’Alembert devient :
∂2s
∂z
2
− ε 0µ0
∂2s
∂t
2
=0
ou
∂2s
∂z
2
1 ∂2s
−
c
2
Cette fonction s(z,t) peut s’écrire sous la forme :
 z

s( z, t ) = f  t −  + g  t +
 c

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z

c
∂t
2
=0
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Compléments (Ondes stationnaires) :
On cherche des solutions de l’équation de d’Alembert de la forme (méthode de
séparation des variables) :
s ( x, t ) = f ( x) g (t )
En substituant dans l’équation de d’Alembert :
∂2s
∂x
2
−
1 ∂2s
c
2
∂t
2
=0
Il vient :
f " ( x) g (t ) −
1
c
2
f ( x) g&&(t ) = 0
D’où :
1
1 g&&(t )
f " ( x) = 2
= cste = K
f ( x)
g
(
t
)
c
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On obtient ainsi deux équations différentielles :
1
f " ( x) = K
f ( x)
et
1 g&&(t )
=K
2 g (t )
c
Ou encore :
f " ( x) − Kf ( x) = 0
et
g&&(t ) − c 2 Kg (t ) = 0
Si K > 0, la solution de la deuxième équation différentielle est de la forme :
g (t ) = Ae c
K t
+ Be − c
K t
Cette solution est à rejeter : en effet, elle correspond soit à une solution divergente soit
à une solution transitoire.
2
2
−
c
K
=
ω
Dans la suite, on suppose K < 0 ; alors, en posant
:
g (t ) = A cos(ωt − ϕ )
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La 1ère équation donne alors :
f " ( x) +
ω2
c2
f ( x) = 0
soit
ω

f ( x) = B cos x −ψ 
c

La solution globale de l’équation de d’Alembert est alors :
ω

s ( x, t ) = C cos x −ψ  cos(ωt − ϕ )
c

On pose dans la suite
k=
ω
c , alors :
s ( x, t ) = C cos(kx −ψ ) cos(ωt − ϕ )
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Ce type de solutions, appelé onde plane stationnaire est très différent d’une onde plane
progressive : les dépendances spatiale et temporelle interviennent séparément ; la
dépendance spatiale intervient dans l’amplitude de l’oscillation temporelle et non plus
dans la phase, de telle sorte que tous les points de la corde vibrent en phase ou en
opposition de phase.
L’allure de la corde à différents instants est représentée sur la figure suivante. Certains
points de la corde sont fixes et sont appelés nœuds de vibrations ; d’autres ont une
amplitude de vibration maximale et sont appelés ventres de vibrations.
s(x,t)
x
Les courbes en gras correspondent aux instants où la vibration est
extrémale ; la courbe en pointillés correspond à un instant quelconque.
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Position des nœuds :
Elle s’obtient en écrivant que :
cos(kx −ψ ) = 0
Soit, avec
k=
kx n −ψ = (2n + 1)
soit
2π
λ :
xn =
ψ
2n + 1
λ+
4
k
λ
La distance entre deux nœuds successifs est égale à :
18
2.
π
2
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Position des ventres :
Elle s’obtient en écrivant que :
cos(kx −ψ ) = ±1
soit
kx v −ψ = nπ
Soit :
n
ψ
xv = λ +
2
k
λ
La distance entre deux ventres successifs est égale à : 2 .
λ
La distance entre un nœud et un ventre successif est égale à : 4 .
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II – Ondes planes EM dans le vide :
1 – Ondes planes électromagnétiques :
r
u
Une onde plane EM de direction de propagation z est une structure du champ EM
r
r
dans laquelle les coordonnées des champs E et B sont des fonctions de la forme :
 z
s( z, t ) = f  t − 
 c
Toute coordonnée du champ a, à un instant donné, même valeur en tout point d’un
r
u
plan z = cste. Un tel plan, orthogonal à la direction de propagation z , est appelé
plan d’onde.
Une source (par exemple, une station radiophonique) émet a priori des ondes
sphériques ; cependant, à grande distance de celle-ci, l’onde reçue pourra être
localement assimilée à une onde plane progressive
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2 – Caractère transverse d’une onde plane dans le vide :
1ère démonstration :
On s’intéresse à une onde plane de la forme :
r
r
E ( x, y , z , t ) = E ( z , t )
et
r
r
B ( x, y , z , t ) = B ( z , t )
Les équations de Maxwell donnent :
• Equation de Maxwell – Gauss :
r
div E = 0
soit
∂E z
=0
∂z
(1)
soit
∂B z
=0
∂z
( 2)
• Equation de Maxwell – flux :
r
div B = 0
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• Equation de Maxwell - Faraday :
−
r
r
∂B
rot E = −
∂t
∂E y
∂z
∂E
+ x
∂z
soit
0
∂B x
=−
∂t
∂B y
=−
∂t
∂B z
=−
∂t
(3)
(4)
(5)
• Equation de Maxwell - Ampère :
∂B y
r
r 1 ∂E
rot B = 2
c ∂t
1 ∂E x
−
= 2
∂z
c ∂t
∂B x
1 ∂E y
+
= 2
∂z
c ∂t
1 ∂E z
0 =− 2
c ∂t
soit
22
(6)
(7 )
(8)
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Les équations (1) et (8) donnent :
∂E z
=0
∂z
et
∂E z
=0
∂t
par conséquent :
Ez = 0
(les champs statiques n’interviennent pas ici lors du phénomène de propagation).
De même, les équations (2) et (5) montrent que :
Bz = 0
r
u
Ainsi, les coordonnées du champ EM parallèles à la direction de propagation z sont
nulles : le champ EM est transversal.
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r
r
Relation entre les normes des champs E et B :
 z
 z
E x ( z, t ) = E x  t − 
B
(
z
,
t
)
=
B
 t −  , on constate que :
x
x
En notant
 c  et
 c
∂E x
1 ∂E x
=−
∂z
c ∂t
et
∂B x
1 ∂B x
=−
∂z
c ∂t
Il en est de même pour les coordonnées selon (Oy).
Ainsi,
∂E y
∂B x
−
=−
∂z
∂t
∂B y
∂E x
+
=−
∂z
∂t
∂E y
(3)
( 4)
donnent
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∂B x
= −c
∂z
∂z
∂B y
∂E x
=c
∂z
∂z
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En intégrant sans tenir compte de coordonnées d’intégration constantes :
E y = −cB x
et
E x = cB y
ou
r ur z r
∧E
B=
c
Par conséquent :
r r
r
E = B ∧ c uz
Finalement, les champ EM d’une onde plane progressive sont orthogonaux à la
r r r
r
direction de propagation et orthogonaux entre eux ; le trièdre ( E , B, c = c u z ) est
direct et E = Bc.
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r
E
Plan d’onde
z=cste
r
E
r
c uz
r
B
z
r
c uz
r
B
Le champ EM est uniforme dans un plan d’onde.
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La force exercée par l’onde EM sur une particule de charge q et de vitesse vr est :
r
r
r
r r r
f = q E + q v ∧ B = fe + fm
Par conséquent, le rapport de la force électrique sur la force magnétique vaut :
fe
E c
=
=
f m vB v
Par conséquent, pour une particule non relativiste (v << c), la force magnétique est
négligeable vis-à-vis de la force électrique.
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2ème démonstration :
En notant
 z
E x ( z, t ) = E x  t − 
 c
et
 z
B x ( z, t ) = B x  t − 
 c
On constate, de manière symbolique, que :
∂
=0
∂x
;
∂
=0
∂y
;
∂
1 ∂
=−
∂z
c ∂t
Ainsi, l’opérateur gradient (ou le vecteur nabla) peut s’écrire :
r
1 ∂ r
grad = ∇ = −
uz
c ∂t
Les équations de Maxwell deviennent alors, compte tenu de ce formalisme :
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1
−
c
1
−
c
1
−
c
1
−
c
∂
∂t
∂
∂t
∂
∂t
∂
∂t
r r
u z .E = 0
r r
u z .B = 0
r
uz
r
uz
r
r
∂B
∧E =−
∂t
r
r 1 ∂E
∧B= 2
c ∂t
r
u
soit (avec z = cste )
∂ r r
(u z .E ) = 0
∂t
∂ r r
( u z .B ) = 0
∂t
r
r
1 ∂ r
∂B
( u z ∧ E) =
c ∂t
∂t
r
r
1 ∂E
∂ r
− (u z ∧ B ) =
∂t
c ∂t
En annulant les constantes d’intégration, les deux premières équations donnent :
r r
u z .E = 0
et
On retrouve la caractère transversal du champ EM.
29
r r
u z .B = 0
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Les deux dernières équations donnent, après intégration :
r
r
1 r
(u z ∧ E ) = B
c
r
r
1 r
uz ∧ B = − E
c
et
Soit :
r r
r
E = B ∧ c uz
ou
r ur z r
∧E
B=
c
On retrouve les mêmes relations que lors de la 1ère démonstration.
r
E
Plan d’onde
z=cste
r
E
r
c uz
r
B
z
r
c uz
r
B
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III – Ondes planes progressives monochromatiques (ou harmoniques) :
1 – Solutions sinusoïdales de l’équation de propagation de d’Alembert :
L’équation de propagation est linéaire ; par conséquent, l’analyse de Fourier permet
d’affirmer que toute solution de cette équation est la somme de fonctions sinusoïdales
du temps.
On se limite ici à des solutions harmoniques de l’équation de d’Alembert, c’est-à-dire
des solutions de la forme :
z 

s ( x, t ) = A cos ω (t − ) 
c 

Ces solutions correspondent à des ondes planes progressives harmoniques (OPPH).
Ces fonctions, de période temporelle
T=
2π
ω possèdent une période spatiale :
λ = cT = 2π
appelée longueur d’onde.
31
c
ω
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r
On définit le vecteur d’onde k tel que :
r
r
k = k uz
avec
k=
ω
c
=
2π
λ
L’OPPH est alors de la forme :
s( x, t ) = A cos(ωt − kz ) )
En notation réelle, le champ électrique pourra s’écrire :
r
r
r
z
E ( z , t ) = E 0 cos(ω (t − )) = E 0 cos(ωt − kz )
c
Avec :
r
r
ωr
k = ku z = u z
c
(vecteur d’onde)
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En notation complexe, on notera le champ EM sous la forme :
r
r i (ωt − kz )
E ( z, t ) = E 0 e
et
r
r i (ωt − kz )
B (z , t ) = B 0 e
Si la direction de l’onde est quelconque, dans la direction du vecteur unitaire ur :
r
r i (ωt −kr.rr )
E ( x, y , z , t ) = E 0 e
et
r
r i (ωt − kr.rr )
B(x, y, z , t ) = B 0 e
où :
r
r
k =ku
r
( u vecteur unitaire donnant le sens de propagation) est le vecteur d’onde et :
r
r = OM
(O, origine du repère et M le point d’observation).
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L’expression du Laplacien devient :
r
∆E =
r
∂ E
2
∂x
2
r
∂ E
2
+
∂y
2
r
∂ E
2
+
∂y
2
=
−(k x2
+ k y2
+ k z2 )
r
r
2
E = −k E
Par ailleurs :
r
∂ E
2
∂t 2
r
= −ω E
2
L’équation d’onde de d’Alembert donne alors (relation de dispersion dans le vide) :
r
r
1
2
2
(− k E ) − 2 ( −ω E ) = 0
c
D’où :
soit
k=
34
ω
c
k2 =
ω2
c2
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2 – Structure des ondes planes progressives monochromatiques :
Compte tenu du choix de la notation complexe, les opérateurs vectoriels se simplifient.
En effet, en remarquant que :
r
r
∂E
= (iω ) E
∂t
;
r
r
∂E
= −ik x E
∂x
En effet :
rr
r r
r
E = E 0 exp(i (ωt − k .u )) = E 0 exp(i (ωt − k x x − k y y − k z z )
Il vient :
r r
r ∂E x ∂E y ∂E z
div E =
+
+
= −ik x E x − ik y E y − ik z E z = −i k .E
∂x
∂y
∂z
De même :
35
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r r
r
rot E = −i k ∧ E
et
r
r
2
∆ E = −k E
Les quatre équations de Maxwell deviennent ensuite :
r r
r
div E = −i k .E = 0
;
r r
r
div B = −i k .B = 0
;
r r
r
r
rot E = −i k ∧ E = −(iω B)
36
;
r r 1
r
r
rot B = −i k ∧ B = 2 (iω E )
c
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Par conséquent, on retrouve le caractère transverse des ondes EM planes :
r r
k .E = 0
et
r r
k .B = 0
On retrouve également :
r
B=
r
k
r 1r r
∧E = u∧E
ω
c
Remarque :
Cette relation n’est vérifiée évidemment que par des ondes planes monochromatiques
harmoniques.
Notamment, lorsque l’amplitude de l’onde dépendra des coordonnées d’espace x ou y,
la relation entre le champ E et le champ B sera différente.
37
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3 – Propagation de l’énergie :
Les résultats qui suivent sont valables pour une onde plane progressive, non forcément sinusoïdale (ou
harmonique).
La densité d’énergie uem pour une onde plane progressive vaut :
u em
1 r2
1 r2
= ε0E +
B
2
2µ 0
Compte tenu de E = Bc, il vient (et avec
u em
c=
1
ε 0µ0 ) :
r2
1 r2
= ε0E =
B
µ0
On remarque qu’il y a équipartition des contributions électrique et magnétique à cette
densité d’énergie.
38
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Le vecteur de Poynting vaut :
r r
r E∧B
Π=
µ0
r ur z r
B=
∧E
Soit, avec
:
c
r
r
1 r r
1 r2 r
Π=
E ∧ (u z ∧ E ) =
E uz
cµ 0
cµ 0
r r
(car E. u z = 0)
Finalement :
r2 r
r
r
Π = ε 0 c E u z = cu em u z
Le vecteur de Poynting est bien colinéaire à la direction de propagation.
39
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Si l’on revient à la définition du vecteur densité de courant :
r
r
j = ρv
r
v,
correspondant à un mouvement d’ensemble de charges de densité ρ à la vitesse
r
r
Π
=
cu
u
on constate que la relation
em z exprime simplement que l’onde EM plane
progressive dans le vide transporte l’énergie dans sa propre direction de propagation et
r
r
r
v
=
Π
/
u
=
c
u
avec une vitesse égale à sa célérité c ( em
EM
z ).
Remarque :
On peut retrouver ce résultat en considérant le cylindre de section droite (S) de
génératrices de longueur vemdt parallèles à la direction de propagation. L’énergie qui va
traverser cette surface pendant dt est alors uemvemSdt. Elle est par ailleurs égale au flux
du vecteur de Poynting (multiplié par dt), soit :
u em v em Sdt = Π Sdt
soit
40
v em =
Π
=c
u em
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Vecteur de Poynting moyen et puissance moyenne reçue par un détecteur :
Les ondes EM ont généralement des fréquences élevées. Les détecteurs ne sont
souvent sensibles qu’aux valeurs moyennes temporelles de la puissance qu’ils
reçoivent.
Ainsi, la puissance moyenne reçue par un détecteur dont la surface S est
perpendiculaire à la direction de propagation est :
r
r
Pm = Π .S u z = Π .S
où
Π
désigne la valeur algébrique du vecteur de Poynting moyen, égale à :
Π = ε 0c E 2
Pour un champ électrique de la forme :
E 02
rr
2
E = E 0 cos(ωt − k .r − ϕ 0 ) , E =
2
41
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Et :
E 02
Π = ε 0c
2
Utilisation de la notation complexe pour la puissance :
Rappel : si f et g sont deux fonctions sinusoïdales en notation complexe, alors la partie
réelle moyenne du produit fg est :
1
fg = Re( f .g * )
2
*
où g est le conjugué de g.
42
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On peut notamment appliquer cette formule pour calculer la puissance moyenne en
électricité :
P = ui =
1
1
*
Re(u.i ) = U m I m cos ϕ = U e I e cos ϕ
2
2
La valeur moyenne de la densité d’énergie EM est alors :
eem
r r*
r r* 
1 1
1 1
=  ε 0 Re( E.E ) +
Re( B.B ) 
2 2
µ0 2

Soit :
eem
11
1
1
2
2


=  ε 0 E0 +
B0  = ε 0 E 02
22
2µ 0
 2
43
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La valeur moyenne du vecteur de Poynting se calcule de la même manière :
r ur r *
r
1
1 r r*
1
Π = Re( E ∧ B ) =
Re( E ∧ ( ∧ E ))
2
µ0
2µ 0
c
Soit :
r
Π =
r r* r r r r*
1
1
2r
Re( E.E u − E.u E ) = ε 0 cE 0 u
2cµ 0
2
44
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Ordres de grandeur :
• Amplitudes des champs EM d’un faisceau laser :
Un laser hélium-néon émet un faisceau cylindrique de section droite 1 mm 2 et de
puissance 1 mW. Il produit une onde polarisée rectilignement. Déterminer l’amplitude
des champs EM.
L’onde est quasi-plane sinusoïdale car la largeur du faisceau est bien supérieure à la
longueur d’onde. Les champs EM valent :
E0 =
2 µ 0 cP
= 8,7.10 2 V .m −1
S
;
45
B0 =
E0
= 2,9.10 −6 T
c
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• Emission d’une station radio :
Une source d’onde EM monochromatique (E) située dans une plaine émet un
rayonnement isotrope polarisé rectilignement de puissance 1 MW. Calculer l’amplitude
du champ électrique à la distance r puis à 1 000 km.
On trouve :
E0 =
µ 0 cP 1
1
= 1,1.10 4 V .m −1
r
π r
(1,1.10 − 2 V .m −1 à 1 000 km)
46
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IV – Polarisation des ondes EM :
1 – Représentation vectorielle réelle d’une onde plane progressive
monochromatique :
On considère une onde EM plane progressive monochromatique de pulsation ω se
propageant dans le vide. On choisit l’axe (Oz) comme l’axe de propagation, soit
r ω r
k = uz
.
c
En notation complexe, le champ électrique de l’onde est :
r r i (ωt − kz )
E = E0 e
On note :
r
− iϕ y r
− iϕ x r
E 0 = E0x e
u x + E0 y e
uy
47
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où E0x et E0y sont (moyennant un bon choix des phases ϕ x et ϕ y ) des constantes
positives.
De plus, par un choix judicieux de l’origine des temps, on choisira ϕ x = 0 et on
notera ϕ = ϕ y le déphasage de Ey par rapport à Ex.
Alors, en notation réelle :
E x = E 0 x cos(ωt − kz )
E y = E 0 y cos(ωt − kz − ϕ )
r
r ur z ∧ E
Le champ magnétique s’en déduit (à partir de B = c ) :
Bx = −
By =
E0 y
c
cos(ωt − kz )
E0 x
cos(ωt − kz − ϕ )
c
48
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2 – Polarisation d’une onde plane progressive monochromatique
Pour définir la polarisation d’une onde plane EM progressive harmonique, on se place
toujours dans un plan de cote z0 donnée, que l’on prendra nulle par exemple.
Par conséquent, les coordonnées du champ électrique deviennent :
E x = E 0 x cos(ωt )
E y = E 0 y cos(ωt − ϕ )
49
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• Polarisation rectiligne :
La polarisation rectiligne correspond au cas où le champ électrique garde une direction
constante au cours du temps, que l’on peut choisir parallèle à l’axe (Ox) :
r
r
E = E 0 cos ωt u x
Pour un observateur placé dans le plan de cote fixée, le champ oscille en fonction du
temps le long de l’axe (Ox).
50
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• Polarisation circulaire :
π
=
+
ϕ
Si ϕ = − 2 ou
2 , les coordonnées Ex et Ey du champ électrique sont en
quadrature : les axes de l’ellipse coïncident avec les axes (Ox) et (Oy).
π
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π
ϕ
=
+
Si
2 :
E x = E 0 x cos(ωt )
E y = E 0 y sin(ωt )
et
D’où :
 Ex

 E0 x
2
  Ey
 + 

  E0 y
2

 =1


C’est bien l’équation d’une ellipse d’axes (Ox) et (Oy), de longueurs E0x et E0y.
Si de plus les amplitudes E0x et E0y sont identiques égales à E0, l’ellipse correspond à
un cercle :
E x2 + E y2 = E02
La polarisation de l’onde EM est dite circulaire.
52
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π
π
ϕ
=
+
ϕ
=
−
Si
2 , l’onde est circulaire gauche et si
2 , l’onde est circulaire droite.
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Application : décomposition d’une onde à polarisation rectiligne comme la
superposition de deux ondes circulaires :
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• Polarisation elliptique :
On rappelle que :
E x = E 0 x cos(ωt )
E y = E 0 y cos(ωt − ϕ )
La coordonnée selon (Oy) peut encore s’écrire :
E y = E 0 y (cos ωt cos ϕ + sin ωt sin ϕ )
Afin d’éliminer le temps, on écrit que :
cos(ωt ) =
1
sin ωt =
sin ϕ
Ex
E0x
 Ey

E
x

−
cos ϕ 
 E0 y E0 x



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2
2
cos
ω
t
+
sin
ωt = 1 :
Par conséquent, en utilisant
 Ex

E
 0x
2

1
 +

sin 2 ϕ

 E
 y
 E
 0y

2

 E
 − 2 y

 E0 y


 E x

 E 0 x


 E
 cos ϕ +  x

E

 0x
2


2 
 cos ϕ  = 1




Soit :
 Ex

E
 0x




2
 E x  E y

− 2
 E
E
0
x

 0 y

 E
 cos ϕ +  y

 E0 y


2

 = sin 2 ϕ


Le sens de parcours de l’ellipse peut être déterminé en écrivant qu’à t = 0, au point A
(voir figure), lorsque Ex = E0x est maximal, on a :
 dE y

 dt



= ωE 0 y sin ϕ

 t =0
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Le sens de rotation est donc donné par le signe de sin ϕ : si sin ϕ > 0, le parcours se
fait dans le sens trigonométrique, si sin ϕ < 0, il se fait dans le sens des aiguilles d’une
montre.
Animation cabri géomètre (Y.Cortial)
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Cas de la lumière naturelle :
Pour la plupart des sources lumineuses classiques, la lumière émise correspond à une
superposition d’OPPM de durées très courtes (de l’ordre de 10 – 10 s, mais n’oublions
pas que la période des ces ondes est de l’ordre de 10 – 15 s) et de polarisation bien fixée
pour chaque onde mais changeant de façon aléatoire entre deux ondes planes
progressives monochromatiques.
Les détecteurs optiques sont sensibles à la valeur moyenne dans le temps du carré du
champ électrique (c’est l’intensité lumineuse) sur des durées de l’ordre de 10 – 12 s (œil)
à 10 – 6 s (bonne cellule photoélectrique). Ils ne peuvent donc pas suivre la polarisation
d’une des OPPM dont la succession forme la lumière visible : on dit que la lumière
naturelle n’est pas polarisée.
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