DM31 • Réfrigérateurs

DM31 •T5/6
DM31 •R´efrig´erateurs
I R´efrig´erateur `a fr´eon
1) Question Pr´eliminaire :
On note (Σ) le syst`eme ouvert constitu´e d’une « machine »(Compresseur, Évaporateur, . . . ) et
du fluide (fréon) qu’elle contient. On lui associe le système fermé (Σ∗)constitué :
- à l’instant t, de (Σ) et de la masse dmde fluide, dans l’état (1) {P1, v1, u1}, qui va y entrer et,
- à l’instant t+dt de (Σ) et de la masse dmde fluide, dans l’état (2) {P2, v2, u2}, qui en est
sorti.
On appelle Wu= dm wule travail susceptible d’être investi par l’utilisateur (travail « utile »,
mécanique ou électrique) et fourni à la masse dmde fluide entrant dans la « machine ».
De même, on appelle Q= dm q le transfert thermique reçu par la masse dmentrant dans la
« machine ».
➜Montrer que, en régime stationnaire, sans
variation d’énergie cinétique macroscopique
et à altitude constante, le 1er principe ap-
pliqué au système (Σ∗)traversant la « ma-
chine » s’écrit :
u2−u1=−P2v2+P1v1+wu+q
P
( )
masse dm
entrant à t
masse dm
sortant à t+dt
1P
2
S
QW
u
sens d'écoulement
"machine"
avec
u1,u2,v1et v2les énergies internes massiques et volumes massiques du fluide dans les états (1)
et (2).
➜Quelle est l’expression de ce 1er principe en fonction de ∆h1→2=h2−h1, variation d’enthalpie
massique du fluide, de wuet de q?
Le fluide étudié est un fréon qui évolue dans un réfrigérateur. Il subit quatre évolutions successives
formant un cycle :
P
v
C
A
BM
N
L
V
T=303 K
T=263 K
LV
+
A B
MN
(Cd)
(Dt)
(Ev)
(Cp) I
•A→B: le fréon, initialement dans l’état A, subit une détente de Joule-Kelvin dans le
détendeur (Dt)jusqu’à l’état B; ce qui fait baisser sa température.
•B→M: dans l’évaporateur (Ev), le fréon se vaporise partiellement à pression et à tempé-
rature constantes jusqu’à l’état Men recevant un transfert thermique massique qFde la source
froide dont la température TF= 268 Kest supérieure à sa température TB=TM= 263 K.
(La source froide est constituée du contenu du réfrigérateur, c’est-à-dire des aliments conservés

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à la température TF.)
•M→N: le fréon subit une compression M N dans un compresseur (Cp)calorifugé de l’état
MàNen recevant un travail utile massique wu.
•N→A: enfin, le fréon, dans le condenseur (Cd), se condense de manière isobare et isotherme.
Il se condense totalement en fournissant un transfert thermique massique −qCà la source chaude
dont la température TC= 298 Kest inférieure à la température du fréon TA=TN= 303 K.
(La source chaude est constituée de l’air de la pièce où est placé le réfrigérateur.)
2) Dans le tableau de données ci-contre, que
représente la grandeur x?
On donne en outre, les enthalpies massiques de
vaporisation aux deux températures utiles :
A B M N
Pen bar 7,5 2,2 2,2, 7,5
Ten K303 263 263 303
x0 0,24 0,98 1
Lvap(263) = 159 kJ.kg−1et Lvap(303) = 139 kJ.kg−1
3) Quels sont les valeurs des transferts thermiques qAB et qM N reçus algébriquement par l’unité
de masse de fréon lors de son passage dans le détendeur et le compresseur ?
4) Quelle est la relation entre les enthalpies massiques hAet hB?
5) En considérant la transformation imaginaire A→I→Bet en se plaçant dans l’approxima-
tion du fréon liquide « incompressible » de capacité thermique massique cL, établir que :
xB=c(TA−TB)
Lvap(263) = 0,24
On en déduit : cL= 0,96 kJ.K−1.kg−1.
6) Procéder de même pour établir :
sB−sA=cLln TB
TA+xB
Lvap(263)
TB
= 9,2J.K−1.kg−1
Que vient-on de vérifier quant à la nature de la détente de Joule-Kelvin A→B?
7) Établir que : qF= (xM−xB)Lvap(263) = 118 kJ.kg−1.
8) Établir que : qC=−Lvap(303) = −139 kJ.kg−1.
9) Montrer que : wu= +21 kJ.kg−1.
10) Donner l’expression littérale de l’efficacité frigorifique efde ce réfrigérateur.
➜Application numérique.
11) Quelle est l’expression littérale de l’efficacité frigorifique de Carnot eC,f correspondant au
fonctionnement d’un réfrigérateur réversible entre la source froide à TF= 268 Ket la source
chaude à TC= 298 K?
12) On donne : eC,f = 8,9. Comparer efet eC,f . Comment explique-t-on l’origine de cette
différence ?
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II Machine `a r´efrig´eration [CCP 2005, MP1]
L’objectif de ce problème est l’étude du fonctionnement stationnaire d’une machine ditherme
de réfrigération.
• Le cycle représenté, dans un diagramme de Clapeyron, par la figure 1, constitue un modèle
de fonctionnement d’une machine de refrigération dans laquelle une masse mde fluide frigorigène
subit les transformations suivantes :
◦A−→ B: compression adiabatique dans le compresseur.
◦B−→ D: refroidissement et liquéfaction isobares de la vapeur dans le condenseur.
◦D−→ E: détente adiabatique et isenthalpique dans le détendeur.
◦E−→ A: vaporisation isobare dans l’évaporateur.
• Les sources froide ΣF(intérieur de l’en-
ceinte à réfrigérer) et chaude ΣC(milieu
ambiant) sont assimilées à des thermo-
stats de températures, respectives, TFet
TCconstantes.
• Les variations d’énergie cinétique et
d’énergie potentielle du fluide sont négli-
geables.
Données :
m= 1 kg ;TF= 278 K;TC= 293 K.
Enthalpies massiques du fluide frigorigène
dans les états représentés par les points A,
Bet D:
hA= 390,2kJ.kg−1;
hB= 448,6kJ.kg−1;
hD= 286,4kJ.kg−1.
A – Performances de l’installation
1) Un systeme fermé subit une transformation isobare qui le fait evoluer de l’état initial Eià
l’état final Ef. Au cours de cette transformation le système reçoit les quantités d’énergie Qi→f
par transfert thermique et Wi→fpar transfert mécanique (travail).
1.a) Appliquer le premier principe de la thermodynamique à cette transformation.
1.b Établir la relation entre la variation d’enthalpie ∆Hi→fdu système et Qi→f.
2) On désigne par QFet QCles quantités d’énergie reçues par le fluide, par transfert thermique,
respectivement, au contact de la source froide et au contact de la source chaude, au cours du
cycle défini ci-dessus.
2.a) Exprimer QFet QCen fonction des données.
2.b) Calculer QFet QC.
3) On désigne par Wl’énergie reçue par le fluide, par transfert mécanique (travail), au cours
d’un cycle.
3.a) Exprimer Wen fonction des données.
3.b) Calculer W.
4) On désigne par Se,F et Se,C les valeurs algébriques des entropies échangées par le fluide,
respectivement, avec la source froide et la source chaude au cours du cycle.
4.a) Exprimer Se,F et Se,C en fonction des données.
4.b) Calculer Se,F et Se,C .
4.c) Calculer l’entropie Spcréée au cours du cycle. Conclusion.
5) Calculer l’efficacité µde cette installation.
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6) Sachant que la puissance Pà extraire de la source froide pour maintenir sa température
constante est de 500 W, calculer le débit massique qmque l’on doit imposer au fluide frigorigène.
B – ´ Etude de la compression de la vaveur
La vapeur issue de l’évaporateur est comprimée de la pression P1= 2,008 bar (état A) à la
pression P2= 16,810 bar (état B).
Dans cette partie du problème on admettra que l’on peut assimiler la vapeur a un gaz parfait
dont le rapport γdes capacités thermiques conserve une valeur constante égale à 1,14 (oui, vous
avez bien lu : γ= 1,14 pour ce fluide gazeux) dans le domaine étudié.
1) On envisage le cas où cette compression pourrait être supposée adiabatique et réversible.
1.a) Établir la relation que vérifieraient les variables température Tet pression P.
1.b) Sachant que TA= 263 K, calculer la température T′que l’on atteindrait en fin de com-
pression.
2) En réalité la compression A→Bsubie par la vapeur peut être supposée adiabatique mais n’est
pas réversible car on ne peut pas négliger les frottements fluides qui se produisent à l’intérieur
du compresseur.
De ce fait la température en fin de compression est supérieure à celle calculée précédemment.
La transformation polytropique A→Best la transformation réversible qui permettrait au fluide
d’évoluer de l’état Aà l’état Ben recevant, par transfert thermique, une quantité d’énergie
Qféquivalente à celle générée par les frottements internes au cours de la transformation réelle
irréversible A→B.
Pour établir la loi d’évolution polytropique, on considère une transformation élémentaire réver-
sible caractérisée par les variations d’énergie interne dU, d’entropie dSet de volume dV.
La quantité d’énergie δQfreçue par le fluide, par transfert thermique, au cours de cette trans-
formation élémentaire, s’écrit δQf=a.dU.
Dans cette expression adésigne un facteur qui sera supposé constant dans tout le domaine étudié.
2.a) Exprimer dUen fonction de dSet dV.
2.b) Montrer qu’au cours de l’évolution polytropique A→Bles variables pression Pet de
volume Vvérifient la relation P.V k=Constante dans laquelle kdésigne une constante appelée
facteur polytropique.
2.c) Exprimer ken fonction de aet de γ.
C – Compl´ement : ´ Etude de la d´etente du liquide
1) L’énoncé parle de la transformation D→Ecomme d’une « détente adiabatique et isenthal-
pique » dans le détendeur.
Quelle transformation réelle cette transformation modélise-t-elle ? Comment, en pratique, la
réalise-t-on ?
2) On suppose que l’on connaît l’enthalpie massique hLdu point Lde la courbe d’ébullition à
la pression P1.
→En déduire une première expression littérale de xV, la fraction massique en phase vapeur dans
l’état E.
3) Donner la définition, l’expression littérale et l’unité de Lvap(TF), chaleur latente de vapori-
sation du fluide à la température TF.
4) On suppose également connue c, la capacité thermique massique de la phase liquide du fluide
frigorigène (constante sur le domaine de températures considéré).
→En déduire une seconde expression littérale de xVen fonction de c,Lvap(TF),TFet TC.
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R´efrig´erateurs
D – D´etermination des conditions de fonctionnement id´eales
1) Préciser le nom et la nature du cycle réversible que devrait décrire le fluide afin de parvenir
à l’efficacité maximale µmax de la machine de réfrigération.
On indiquera avec précision la nature et le rôle des différentes transformations subies par le fluide
au cours de ce cycle.
2) Sachant quau cours de ce cycle la variation d’entropie massique ∆sCdu fluide au cours de la
transformation qu’il subit au contact de la source chaude est de −0,416 kJ.kg−1.K−1, calculer les
quantités d’énergie Q′
Fet Q′ Creçues, par transfert thermique, par m= 1 kg de fluide frigorigène,
au cours d’un cycle, respectivement, au contact de la source froide et au contact de la source
chaude.
3) Exprimer l’efficacité µmax en fonction des températures TFet TCet calculer µmax.
Solution
II Machine `a r´efrig´eration [CCP 2005, MP1]
A.1.a) ➜Cf Cours ∆H=QPpour une transformation isobare
A.2) QF=m.(hA−hD) = 103,8kJ ;QC =m.(hD−hB) = −162,2kJ
A.3) W=−QF −QC =m.(hB −hA) = +58,4kJ
A.4.a-b) Se,F =QF
TF
= 373 J.K−1;Se,C =QC
TC
=−554 J.K−1
A.4.c) Sp=−Se,F −Se,C = +180 J.K−1donc transformation irréversible.
A.5) µ=QF
W= 1,78
A.6) qm=PF
QF
puisque QFcorrespond à 1kg ;qm= 4,82 g.s−1
B.1.a) ➜Cf Cours P1−γTγ=Cte
B.1.b) T′=TAP2
P1
γ−1
γ= 341,4K
B.2.a) dU=T.dS−P.dV
B.2.b) dU=δQF−P.dV=a.dU−P.ddV
donne P.dV= (a−1).dU= (a−1).CV.dT=a−1
γ−1.nR.dT.
Puis P V =nRT donne nR.dT=P.dV+V.dPet finalement (1 −a)dP
P+ (γ−a)dV V= 0
B.2.c) On obtient : P V k=Cte avec k=γ−a
1−a
C.1) Détente de Joule-Thomson (ou de Joule-Kelvin)
C.2) Théorème des moments : xV=LE
LA =hE−hL hA−hL
C.3) Lvap(TF) = hA−hL
C.4) Cycle réversible imaginaire E→B→L→E:∆scycle = 0 =  ∆sE→B+ ∆sB→L+ ∆sL→E
Soit : 0 + c. ln TF
TC+∆hL→E TF
= 0 ⇒xV=c
Lvap(TF).ln TC TFcar hL→E=xV.Lvap(TF)
D.1) ➜Cf Cours : cycle de Carnot : deux isothermes réversibles et deux adiabatiques réversibles.
D.2) Q′
C=TC.∆SC=TC.m∆sC=−121,9kJ ;Q′ F=−TF.∆SC= +115,6kJ
D.3) µmax =TF
TC−TF
= 18,5
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