Polycopié

COURS ´ ECRIT
1Vitesse de groupe d’un paquet d’ondes 1D . . . . . . . . . . . . 2
2R´eponse impulsionnelle 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3Trac´e de rayons dans l’espace-temps . . . . . . . . . . . . . . . 19
Introduction
Les ondes, par exemple dans les fluides, sont ici d´ecrites par des ´equations
aux d´eriv´ees partielles lin´eaires. Ces ´equations r´esultent de la lin´earisation de
mod`eles plus complexes autour d’un ´etat de base stationnaire. On suppose ici
que le milieu est unidimensionnel (1D) et que les ´equations sont invariantes
par translations en espace et en temps. Cette hypoth`ese fait donc jouer un
rˆole privil´egi´e aux fonctions sinuso¨ıdales de la forme u(x, t) = umcos(k1x−
ω t +ϕ∗).
Nous appelons “ondes monochromatiques” les fonctions sinuso¨ıdales telles que
la pulsation ωet le “vecteur d’onde” k1(le nombre d’onde ´etant not´e k=|k1|)
v´erifient une relation ω= Ω(k1) appel´ee “relation de dispersion”. Grˆace `a la
lin´earit´e des ´equations, ces ondes forment alors une base permettant de d´ecrire
toute solution u(x, t), par exemple issue d’une condition initiale u0(x). C’est
le cas de la r´eponse impulsionnelle du milieu obtenue en prenant une condition
initiale en forme d’une distribution de Dirac, qui peut, par exemple, mod´eliser
le jet d’un caillou dans l’eau.
Nous introduisons la notion de paquets d’ondes, obtenue en superposant des
ondes monochromatiques de nombres d’onde voisins de k0, et montrons que
ces paquets se propagent `a la “vitesse de groupe” cg(k0) = Ω0(k0). Nous
examinons ensuite la notion de “trains d’ondes dispers´es” pour lesquels chaque
point (x, t) de l’espace-temps est caract´eris´e par un vecteur d’onde k1(x, t). La
propagation de ces paquets d’ondes le long de rayons `a la vitesse de groupe
permet de d´ecrire simplement et g´eom´etriquement la dispersion d’un train
1

2APM-INPT thu-dispaq (2004), O. Thual (June 8, 2004)
d’ondes.
1 Vitesse de groupe d’un paquet d’ondes 1D
On introduit la notion de relation de dispersion 1D (unidimensionnelle) ω=
Ω(k1) qui associe la pulsation d’une onde monochromatique ei k1x−i ω t `a son
“vecteur d’onde” k1∈IR (le mot “nombre d’onde” est r´eserv´e pour d´esigner
le module k=|k1|). Plusieurs exemples simples d’´equations aux d´eriv´ees
partielles 1D sont donn´es pour illustrer cette notion.
On s’int´eresse ensuite `a des conditions initiales u0(x) localis´ees en espace et
donnant naissance `a des paquets d’ondes monochromatiques qui se dispersent
dans le milieu 1D caract´eris´e par la relation de dispersion ω= Ω(k1). La
notion de transform´ee de Fourier permet de d´ecomposer le signal en une
superposition d’ondes monochromatiques et plusieurs exemples simples de
profils u0(x) sont examin´es.
On montre alors qu’un paquet d’ondes, compos´e d’ondes de nombres d’onde
k=|k1|voisins de k0, peut ˆetre vu comme une “onde porteuse” de nombre
d’onde k0multipli´ee par une enveloppe localis´ee dans l’espace et se propageant
`a la “vitesse de groupe” cg(k0) = dΩ
dk (k0) = Ω0(k0).
1.1 Relations de dispersion 1D
Consid´erons l’´equation lin´eaire d’advection du champ scalaire uqui s’´ecrit
∂u
∂t +α∂u ∂x = 0 .(1)
Comme αest constant, le syst`eme est invariant par translations d’espace
et de temps. On cherche donc des solutions complexes (CI) sous la forme
u(x, t) = umeik1x−iωt. Les solutions r´eelles en d´ecoulent en prenant la partie
r´eelle u(x, t) = Re umeik1x−iωtde ces solutions complexes. Lorsque l’on
choisit umr´eel (il suffit d’ajuster l’origine de l’espace ou du temps), on obtient
alors u(x, t) = umcos(k1x−ωt). Pour donner des conditions d’existence de
ces ondes propagatives, on doit r´esoudre
−i ω um+i α k1um=−i(ω−α k1)um= 0 .(2)
Cette ´equation n’admet de solution non triviale que si
ω= Ω(k1) = α k1.(3)

1. VITESSE DE GROUPE D’UN PAQUET D’ONDES 1D 3
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
k1
ω
Figure 1: Relation de dispersion de l’´equation de Korteweg de Vries lin´eaire,
avec la convention ω≥0
La vitesse de phase de ces ondes propagatives est cϕ=ω/k1=α. Comme
elle est constante, on dit que ces ondes ne sont pas dispersives.
Si on consid`ere maintenant l’´equation de Korteweg deVries lin´eaire
∂u
∂t +α∂u ∂x +β∂3u ∂x3= 0 ,(4)
les ondes progressives u(x, t) = umeik1x−iωt solutions doivent v´erifier
ω= Ω(k1) = α k1−β k3
1.(5)
La vitesse de phase de ces ondes propagatives s’´ecrit cϕ(k1) = ω/k1=α−β k2
1.
Elle d´epend ici de k1. On dit que l’´equation est dispersive et que ω= Ω(k1) =
α k1−β k3
1est la relation de dispersion des ondes.
Dans la mesure o`u l’on s’int´eresse `a des solutions u(x, t) r´eelles, une onde ca-
ract´eris´ee par les param`etres (um, ω, k1) est identique `a l’onde (u∗
m,−ω, −k1)
o`u u∗
mest le complexe conjug´e de um. Cette propri´et´e est valable pour toutes
les relations de dispersions ω= Ω(k1) issues d’un mod`ele lin´eaire `a coefficients
r´eels dans la mesure o`u la r´ealit´e des solutions entraˆıne la sym´etrie Ω(−k1) =
−Ω(k1).
Par cons´equent, on peut envisager de se limiter `a l’´etude des ω≥0 et ne con-
sid´erer que la partie positive de la relation de dispersion ω= Ω(k1). Lorsque
nous adopterons cette “convention ω≥0”, le domaine de d´efinition des
“vecteurs d’onde” k1sera restreint par la condition Ω(k1)≥0. Dans certains
cas, par exemple pour la transform´ee de Fourier d’un profil, nous pr´ef´ererons
ne pas adopter cette convention afin de pouvoir ´ecrire des int´egrales dont le
domaine d’int´egration en k1est la droite IR tout enti`ere.

4APM-INPT thu-dispaq (2004), O. Thual (June 8, 2004)
Si l’on consid`ere maintenant l’´equation des ondes
∂2u
∂t2−α2∂2u ∂x2= 0 ,(6)
les ondes progressives u(x, t) = umeik1x−iωt solutions doivent v´erifier ω2=
α k2
1. En supposant α > 0, la convention ω≥0 permet d’´ecrire les deux
relations de dispersion ω=α k1pour k1≥0 et et ω=−α k1pour k1≤0
dont d´ecoule la forme unique
ω= Ω(k1) = α|k1|=α k (7)
avec k=|k1|. La vitesse de phase de ces ondes propagatives s’´ecrit cϕ(k1) =
ω/k1∈ {−α, α}. Les trains d’ondes “`a droite” et les trains d’ondes “`a gauche”
ne sont donc pas dispersifs.
a)
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
k1
w
b)
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
k1
w
Figure 2: Deux relations de dispersion 1D `a ne pas confondre (a) ω= Ω(k1) =
α k1(b) ω= Ω(k1) = α k =α|k1|.
Remarquons que la relation de dispersion ω= Ω(k1) = α k1(issue par exemple
du mod`ele ∂u
∂t +α∂u ∂x = 0) et la relation de dispersion ω= Ω(k1) = α k =α|k1|
(issue par exemple du mod`ele ∂2u
∂t2−α2∂2u ∂x2= 0) ne sont pas ´equivalentes
(figure 2). La premi`ere relation, qui n’est d´efinie que pour k1≥0 (avec la
convention ω≥0), ne permet que des ondes `a droite. Le seconde relation,
d´efinie pour tous les k1∈IR, rend compte d’ondes `a droite et `a gauche.
Un dernier exemple de relation de dispersion 1D est celui des ondes de surface
dans un canal 1D qui s’´ecrit
ω= Ω(k1) = qg k tanh(k h) (8)
avec k=|k1|et o`u gest la gravit´e et hla profondeur du canal. On admettra
ici le r´esultat en notant que la convention ω≥0 a ´et´e adopt´ee. Il y a donc
deux vitesses de phase cϕ∈ {−ω
k,ω k}pour un nombre d’onde ket donc des
ondes `a droite et des ondes `a gauche.

1. VITESSE DE GROUPE D’UN PAQUET D’ONDES 1D 5
1.2 Transform´ees de Fourier de conditions initiales
On s’int´eresse maintenant `a des profils u0(x) susceptibles d’ˆetre des condi-
tions initiales des ´equations aux d´eriv´ees partielles lin´eaires 1D dont quelques
exemples viennent d’ˆetre donn´es. Ces conditions initiales vont g´en´erer des
ondes qui vont se propager dans l’espace en se dispersant. Pour d´eterminer
les amplitudes de ces ondes, il faut exprimer u0(x) sous la forme
u0(x) = Z∞
−∞ b
u0(k1)ei k1xdk1.(9)
La fonction complexe b u0(k1) est la “transform´ee de Fourier” de la fonction
r´eelle u0(x). Elle est reli´ee `a u0(x) par la relation
b
u0(k1) = 1
2πZ∞
−∞
u0(x)e−i k1xdx . (10)
La fonction 1
2|b
u0(k1)|2est appel´e “spectre d’´energie” du profil u0(x).
L’exemple d’une condition initiale localis´ee en espace est int´eressant lorsque
l’on veut examiner comment se dispersent des ondes dont l’´energie est ini-
tialement concentr´ee dans l’espace. C’est le cas des profils gaussiens. La
transform´ee de Fourier d’une gaussienne d’´ecart-type σest une gaussienne
d’´ecart-type 1/σ comme indiqu´e dans le tableau 1. Ainsi, plus le profil u0(x)
est localis´e en espace, plus son spectre est large, la limite ´etant la distribution
de Dirac u0(x) = uml δ(x) dont la transform´ee de Fourier est une constante
(voir la figure 3). La constante um`a la dimension de u0tandis que la con-
stante lest une longueur qui compense la dimension de la distribution de
Dirac.
Le tableau 2 et la figure 4 pr´esentent le concept de paquet d’ondes en exa-
minant d’abord le cas d’une onde monochromatique u0(x) = 2 umcos(k0x)
de nombre d’onde k0. La transform´ee de Fourier d’un tel signal sinuso¨ıdal ne
fait intervenir que les vecteurs d’onde k1=±k0.
Un second exemple est donn´e par la somme de deux sinuso¨ıdes de nombres
d’onde voisins k0−κet k0+κet qui a l’allure d’une sinuso¨ıde de nombre
d’onde k0modul´ee par une enveloppe de taille caract´eristique 1/κ. Mais
cette enveloppe est elle-mˆeme p´eriodique et le paquet d’ondes ainsi obtenu se
reproduit ind´efiniment.
Un paquet d’ondes vraiment localis´e sur un domaine de taille 1/κ est obtenu
en superposant un continuum de sinuso¨ıdes de nombres d’onde compris entre
k0−κet k0+κ. Si les amplitudes de ces ondes sont ´egales, l’enveloppe a
la forme de la fonction E(x) = sin(κ x)/(κ x). Lorsque les amplitudes des
ondes sinuso¨ıdales suivent une distribution gaussienne centr´ee autour de k0