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COURS ÉCRIT
1
Vitesse de groupe d’un paquet d’ondes 1D . . . . . . . . . . . .
2
2
Réponse impulsionnelle 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3
Tracé de rayons dans l’espace-temps . . . . . . . . . . . . . . . 19
Introduction
Les ondes, par exemple dans les fluides, sont ici décrites par des équations
aux dérivées partielles linéaires. Ces équations résultent de la linéarisation de
modèles plus complexes autour d’un état de base stationnaire. On suppose ici
que le milieu est unidimensionnel (1D) et que les équations sont invariantes
par translations en espace et en temps. Cette hypothèse fait donc jouer un
rôle privilégié aux fonctions sinusoı̈dales de la forme u(x, t) = u m cos(k1 x −
ω t + ϕ∗ ).
Nous appelons “ondes monochromatiques” les fonctions sinusoı̈dales telles que
la pulsation ω et le “vecteur d’onde” k 1 (le nombre d’onde étant noté k = |k 1 |)
vérifient une relation ω = Ω(k1 ) appelée “relation de dispersion”. Grâce à la
linéarité des équations, ces ondes forment alors une base permettant de décrire
toute solution u(x, t), par exemple issue d’une condition initiale u 0 (x). C’est
le cas de la réponse impulsionnelle du milieu obtenue en prenant une condition
initiale en forme d’une distribution de Dirac, qui peut, par exemple, modéliser
le jet d’un caillou dans l’eau.
Nous introduisons la notion de paquets d’ondes, obtenue en superposant des
ondes monochromatiques de nombres d’onde voisins de k 0 , et montrons que
ces paquets se propagent à la “vitesse de groupe” c g (k0 ) = Ω0 (k0 ). Nous
examinons ensuite la notion de “trains d’ondes dispersés” pour lesquels chaque
point (x, t) de l’espace-temps est caractérisé par un vecteur d’onde k 1 (x, t). La
propagation de ces paquets d’ondes le long de rayons à la vitesse de groupe
permet de décrire simplement et géométriquement la dispersion d’un train
1
2
APM-INPT thu-dispaq (2004), O. Thual (June 8, 2004)
d’ondes.
1
Vitesse de groupe d’un paquet d’ondes 1D
On introduit la notion de relation de dispersion 1D (unidimensionnelle) ω =
Ω(k1 ) qui associe la pulsation d’une onde monochromatique e i k1 x−i ω t à son
“vecteur d’onde” k1 ∈ IR (le mot “nombre d’onde” est réservé pour désigner
le module k = |k1 |). Plusieurs exemples simples d’équations aux dérivées
partielles 1D sont donnés pour illustrer cette notion.
On s’intéresse ensuite à des conditions initiales u 0 (x) localisées en espace et
donnant naissance à des paquets d’ondes monochromatiques qui se dispersent
dans le milieu 1D caractérisé par la relation de dispersion ω = Ω(k 1 ). La
notion de transformée de Fourier permet de décomposer le signal en une
superposition d’ondes monochromatiques et plusieurs exemples simples de
profils u0 (x) sont examinés.
On montre alors qu’un paquet d’ondes, composé d’ondes de nombres d’onde
k = |k1 | voisins de k0 , peut être vu comme une “onde porteuse” de nombre
d’onde k0 multipliée par une enveloppe localisée dans l’espace et se propageant
0
à la “vitesse de groupe” cg (k0 ) = dΩ
dk (k0 ) = Ω (k0 ).
1.1
Relations de dispersion 1D
Considérons l’équation linéaire d’advection du champ scalaire u qui s’écrit
∂u
∂u
+α
=0.
∂t
∂x
(1)
Comme α est constant, le système est invariant par translations d’espace
et de temps. On cherche donc des solutions complexes (C
I) sous la forme
u(x, t) = um eik1 x−iωt
.
Les
solutions
réelles
en
découlent
en
prenant la partie
ik
x−iωt
1
réelle u(x, t) = Re um e
de ces solutions complexes. Lorsque l’on
choisit um réel (il suffit d’ajuster l’origine de l’espace ou du temps), on obtient
alors u(x, t) = um cos(k1 x − ωt). Pour donner des conditions d’existence de
ces ondes propagatives, on doit résoudre
−i ω um + i α k1 um = −i(ω − α k1 ) um = 0 .
(2)
Cette équation n’admet de solution non triviale que si
ω = Ω(k1 ) = α k1 .
(3)
1. VITESSE DE GROUPE D’UN PAQUET D’ONDES 1D
3
2
1.5
1
ω
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
k
1
Figure 1: Relation de dispersion de l’équation de Korteweg de Vries linéaire,
avec la convention ω ≥ 0
La vitesse de phase de ces ondes propagatives est c ϕ = ω/k1 = α. Comme
elle est constante, on dit que ces ondes ne sont pas dispersives.
Si on considère maintenant l’équation de Korteweg deVries linéaire
∂u
∂3u
∂u
+α
+β
=0,
∂t
∂x
∂x3
(4)
les ondes progressives u(x, t) = um eik1 x−iωt solutions doivent vérifier
ω = Ω(k1 ) = α k1 − β k13 .
(5)
La vitesse de phase de ces ondes propagatives s’écrit c ϕ (k1 ) = ω/k1 = α−β k12 .
Elle dépend ici de k1 . On dit que l’équation est dispersive et que ω = Ω(k 1 ) =
α k1 − β k13 est la relation de dispersion des ondes.
Dans la mesure où l’on s’intéresse à des solutions u(x, t) réelles, une onde caractérisée par les paramètres (u m , ω, k1 ) est identique à l’onde (u∗m , −ω, −k1 )
où u∗m est le complexe conjugé de um . Cette propriété est valable pour toutes
les relations de dispersions ω = Ω(k 1 ) issues d’un modèle linéaire à coefficients
réels dans la mesure où la réalité des solutions entraı̂ne la symétrie Ω(−k 1 ) =
−Ω(k1 ).
Par conséquent, on peut envisager de se limiter à l’étude des ω ≥ 0 et ne considérer que la partie positive de la relation de dispersion ω = Ω(k 1 ). Lorsque
nous adopterons cette “convention ω ≥ 0”, le domaine de définition des
“vecteurs d’onde” k1 sera restreint par la condition Ω(k 1 ) ≥ 0. Dans certains
cas, par exemple pour la transformée de Fourier d’un profil, nous préférerons
ne pas adopter cette convention afin de pouvoir écrire des intégrales dont le
domaine d’intégration en k1 est la droite IR tout entière.
4
APM-INPT thu-dispaq (2004), O. Thual (June 8, 2004)
Si l’on considère maintenant l’équation des ondes
2
∂2u
2 ∂ u
−
α
=0,
∂t2
∂x2
(6)
les ondes progressives u(x, t) = um eik1 x−iωt solutions doivent vérifier ω 2 =
α k12 . En supposant α > 0, la convention ω ≥ 0 permet d’écrire les deux
relations de dispersion ω = α k1 pour k1 ≥ 0 et et ω = −α k1 pour k1 ≤ 0
dont découle la forme unique
ω = Ω(k1 ) = α |k1 | = α k
(7)
avec k = |k1 |. La vitesse de phase de ces ondes propagatives s’écrit c ϕ (k1 ) =
ω/k1 ∈ {−α, α}. Les trains d’ondes “à droite” et les trains d’ondes “à gauche”
ne sont donc pas dispersifs.
2
2
b)
1.5
1.5
1
0.5
0.5
w
1
w
a)
0
0
-0.5
-0.5
-1
-1
-1.5
-1.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
k
0.5
1
1.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
k
1
1
Figure 2: Deux relations de dispersion 1D à ne pas confondre (a) ω = Ω(k 1 ) =
α k1 (b) ω = Ω(k1 ) = α k = α |k1 |.
Remarquons que la relation de dispersion ω = Ω(k 1 ) = α k1 (issue par exemple
∂u
du modèle ∂u
∂t + α ∂x = 0) et la relation de dispersion ω = Ω(k 1 ) = α k = α|k1 |
2
2
(issue par exemple du modèle ∂∂t2u − α2 ∂∂xu2 = 0) ne sont pas équivalentes
(figure 2). La première relation, qui n’est définie que pour k 1 ≥ 0 (avec la
convention ω ≥ 0), ne permet que des ondes à droite. Le seconde relation,
définie pour tous les k1 ∈ IR, rend compte d’ondes à droite et à gauche.
Un dernier exemple de relation de dispersion 1D est celui des ondes de surface
dans un canal 1D qui s’écrit
ω = Ω(k1 ) =
q
g k tanh(k h)
(8)
avec k = |k1 | et où g est la gravité et h la profondeur du canal. On admettra
ici le résultat en notant que la convention ω ≥ 0 a été adoptée. Il y a donc
deux vitesses de phase cϕ ∈ {− ωk , ωk } pour un nombre d’onde k et donc des
ondes à droite et des ondes à gauche.
1. VITESSE DE GROUPE D’UN PAQUET D’ONDES 1D
1.2
5
Transformées de Fourier de conditions initiales
On s’intéresse maintenant à des profils u 0 (x) susceptibles d’être des conditions initiales des équations aux dérivées partielles linéaires 1D dont quelques
exemples viennent d’être donnés. Ces conditions initiales vont générer des
ondes qui vont se propager dans l’espace en se dispersant. Pour déterminer
les amplitudes de ces ondes, il faut exprimer u 0 (x) sous la forme
u0 (x) =
Z
∞
−∞
b0 (k1 ) ei k1 x dk1 .
u
(9)
b0 (k1 ) est la “transformée de Fourier” de la fonction
La fonction complexe u
réelle u0 (x). Elle est reliée à u0 (x) par la relation
b0 (k1 ) =
u
1
2π
Z
∞
u0 (x) e−i k1 x dx .
(10)
−∞
b0 (k1 )|2 est appelé “spectre d’énergie” du profil u 0 (x).
La fonction 21 |u
L’exemple d’une condition initiale localisée en espace est intéressant lorsque
l’on veut examiner comment se dispersent des ondes dont l’énergie est initialement concentrée dans l’espace. C’est le cas des profils gaussiens. La
transformée de Fourier d’une gaussienne d’écart-type σ est une gaussienne
d’écart-type 1/σ comme indiqué dans le tableau 1. Ainsi, plus le profil u 0 (x)
est localisé en espace, plus son spectre est large, la limite étant la distribution
de Dirac u0 (x) = um l δ(x) dont la transformée de Fourier est une constante
(voir la figure 3). La constante um à la dimension de u0 tandis que la constante l est une longueur qui compense la dimension de la distribution de
Dirac.
Le tableau 2 et la figure 4 présentent le concept de paquet d’ondes en examinant d’abord le cas d’une onde monochromatique u 0 (x) = 2 um cos(k0 x)
de nombre d’onde k0 . La transformée de Fourier d’un tel signal sinusoı̈dal ne
fait intervenir que les vecteurs d’onde k 1 = ±k0 .
Un second exemple est donné par la somme de deux sinusoı̈des de nombres
d’onde voisins k0 − κ et k0 + κ et qui a l’allure d’une sinusoı̈de de nombre
d’onde k0 modulée par une enveloppe de taille caractéristique 1/κ. Mais
cette enveloppe est elle-même périodique et le paquet d’ondes ainsi obtenu se
reproduit indéfiniment.
Un paquet d’ondes vraiment localisé sur un domaine de taille 1/κ est obtenu
en superposant un continuum de sinusoı̈des de nombres d’onde compris entre
k0 − κ et k0 + κ. Si les amplitudes de ces ondes sont égales, l’enveloppe a
la forme de la fonction E(x) = sin(κ x)/(κ x). Lorsque les amplitudes des
ondes sinusoı̈dales suivent une distribution gaussienne centrée autour de k 0
6
APM-INPT thu-dispaq (2004), O. Thual (June 8, 2004)
b0 (k1 )/um
u
u0 (x)/um
2
exp − 2xσ2
l δ(x)
√σ
2π
2
exp − σ 2k
2
1
2π
l
b0 (k1 )
Table 1: Fonctions u0 (x) avec leurs transformées de Fourier u
|u(k)|
1
a)
0.4
u
0.5
0.2
0
-2
b)
0
u
|u(k)|
1
c)
-2
0
0
x 10
|u(k)|
u
-2
0
-3-20
0
20
-5-20
0
20
0
20
1
0
2
x 10
6
|u(k)|
1
u
4
0.5
0
20
0.5
0.5
d)
0
0.1
2
1
0
-20
0.05
0.5
0
0
2
2
-2
0
x
0
2
-20
k
1
2
x
Figure 3: Profils gaussiens u0 (x) = um exp − 2σ
et module de leurs trans2
b0 (k1 )| : a) σ = 2 b) σ = .8 c) σ = .08 d) σ = .01.
formées de Fourier |u
1. VITESSE DE GROUPE D’UN PAQUET D’ONDES 1D
u0 (x)/um
7
b0 (k1 )/um
u
2 cos(k0 x)
δ(k1 + k0 ) + δ(k1 − k0 )
2 cos[(k0 − κ)x] + 2 cos[(k0 + κ)x]
δ(k1 + k0 + κ) + δ(k1 − k0 − κ)
= 4 cos(k0 x) cos(κ x)
+δ(k1 + k0 − κ) + δ(k1 − k0 + κ)
2 R k0 +κ
κ k0 −κ cos(k1
= 4 cos(k0 x)
2
x) dk1
=
sin(κ x)
κx
√
2
2π cos(k0 x) exp − κ 2x
2
1
κ
h
1
κ
pour |k1 ± k0 | ≤ κ
= 0 pour |k1 ± k0 | > κ
0)
exp − (k12+k
κ2
2
i
+
1
κ
h
0)
exp − (k12−k
κ2
2
i
b0 (k1 )
Table 2: Exemple de profils u0 (x) avec leurs transformées de Fourier u
0.3
u
|u(k)|
1
a)
0
−1
−2
0
0
|u(k)|
u
0
−1
−2
0
0.1
2
1
b)
0.2
0
8
−2
0
u
|u(k)|
1
d)
0
−1
−2
0
x
2
x 10
0
20
−20
0
20
0
20
6
4
2
0
2
−3−20
0.02
|u(k)|
u
−1
20
0.04
2
0
0
0.06
1
c)
−20
0.04
0.02
0
−20
k1
b0 (k1 )| :
Figure 4: Profils u(x) et module de leurs transformées de Fourier | u
a) u0 (x) = cos (15 x) ; b) u0 (x) = 21 [cos (14
x)
+
cos
(16
x)]
;
c)
u
0 (x) =
1 R 17
5 13
2
cos(k x) dk 1; d) u0 (x) = cos (15 x) exp − x2 .
8
APM-INPT thu-dispaq (2004), O. Thual (June 8, 2004)
et d’écart-type κ, l’enveloppe E(x) du paquet d’ondes est une gaussienne
d’écart-type 1/κ. Ces paquets d’ondes peuvent servir de briques élémentaires
pour comprendre un champ d’ondes plus complexe. Il est utile d’étudier leur
propagation en tenant compte de la dispersion des ondes qui les composent.
1.3
Vitesse de groupe d’un paquet d’ondes
On s’intéresse à l’évolution d’un paquet d’ondes décrit par la fonction
u(x, t) =
Z
∞
−∞
b0 (k1 )ei k1 x−i Ω(k1 ) t dk1
u
(11)
où Ω(k1 ) est une fonction définie pour tout k 1 . On remarque que l’on a
b0 (k1 ). On peut
u(x, 0) = u0 (x) où u0 est la transformée de Fourier inverse de u
donc voir u(x, t) comme la superposition d’un continuum d’ondes monochromatiques vérifiant ω = Ω(k1 ) et dont les amplitudes complexes sont les
b0 (k1 ). C’est aussi la solution d’une équation linéaire de relation de dispersion
u
ω = Ω(k1 ) avec la condition initiale u(x, 0) = u 0 (x).
On pourrait choisir d’appliquer la convention ω ≥ 0 en utilisant la propriété
Ω(−k1 ) = −Ω(k1 ) des relations de dispersion associées à des modèles à coefficients réels. En restreignant le domaine d’intégration aux vecteurs d’onde k 1
tels que Ω(k1 ) ≥ 0, on obtiendrait alors une intégrale complexe dont la partie réelle vaudrait la moitié de l’expression réelle de départ. Par simplicité,
on choisit de ne pas adopter cette convention lorsque l’on s’intéresse à des
paquets d’ondes exprimés sous forme d’intégrales de Fourier. Le domaine
d’intégration en k1 est donc la droite IR toute entière.
Examinons maintenant l’évolution d’un tel paquet d’ondes lorsque u 0 (x) est
l’une des conditions initiales localisées dans l’espace figurant dans le tableau 2.
La condition initiale u0 (x) = 2 um cos(k0 x) donne naissance à une onde
monochromatique u(x, t) = 2 um cos[k0 x − Ω(k0 ) t] qui se propage à la vitesse
de phase cϕ = Ω(k0 )/k0 . On ne peut pas parler de paquet d’ondes ici dans la
mesure où il n’y en a qu’une seule. On peut, en revanche, le faire pour le cas
u0 (x) = 2 um {cos[(k0 + κ)x] + cos[(k0 − κ)x]} puisqu’il s’agit de la superposition de deux ondes monochromatiques
u(x, t) = 2 um {cos[(k
0 + κ)x
− Ω(k0 + κ)t] + cos[(k0 − κ)x − Ω(k0 − κ)t]}
(12)
= 4 cos k0 x − Ω t cos (κ x − ∆Ω t)
avec Ω = 12 [Ω(k0 + κ) + Ω(k0 − κ)] et ∆Ω = 21 [Ω(k0 + κ) − Ω(k0 − κ)]. On peut
interpréter ce signal comme une onde monochromatique 2u m cos(k0 x − Ω t),
de longueur d’onde L = 2π/k0 , modulée par une enveloppe cos[κ(x − c κ t)],
avec cκ = ∆Ω/κ, de taille caractéristique L = 2π/κ que l’on peut supposer
1. VITESSE DE GROUPE D’UN PAQUET D’ONDES 1D
9
plus grande que L. La vitesse de propagation de l’enveloppe, donc du paquet
d’ondes, est alors cκ . Si κ est petit, on a Ω ∼ Ω(k0 ) et cκ ∼ cg (k0 ) =
Ω0 (k0 ). La vitesse cg (k0 ), définie comme étant la dérivée de la relation de
dispersion, est appelée “vitesse de groupe”. Nous allons voir que c’est aussi
la vitesse de propagation d’un paquet d’ondes composé de plus de deux ondes
monochromatiques de vecteurs d’onde voisins.
Prenons en effet l’exemple de la condition initiale
u0 (x) =
=
Z
k0 +κ
2
cos(k1 x) dk1
um
κ
#
"kZ0 −κ
Z k0 +κ
−k0 +κ
1
i k1 x
i k1 x
e
dk1
um
e
dk1 +
κ
k0 −κ
−k0 −κ
qui donne naissance à la superposition d’un continuum d’ondes monochromatiques d’égales amplitudes
u(x, t) =
=
"Z
−k0 +κ
1
um
ei[k1 x−Ω(k1 ) t] dk1 +
κ
−k0 −κ
Z k0 +κ
2
um
cos[k1 x − Ω(k1 ) t] dk1
κ
k0 −κ
Z
k0 +κ
e
i[k1 x−Ω(k1 ) t]
k0 −κ
dk1
#
en utilisant la propriété Ω(−k1 ) = Ω(k1 ). Si κ est petit, on peut approximer
la courbe ω = Ω(k1 ) par sa tangente en −k0 ou en k0 , c’est-à-dire
ω ∼ Ω(−k0 ) + cg (−k0 )(k1 + k0 )
et
ω ∼ Ω(k0 ) + cg (k0 )(k1 − k0 ) .
(13)
En utilisant la symétrie Ω(−k1 ) = −Ω(k1 ), qui entraı̂ne Ω(−k0 ) = −Ω(k0 ) et
cg (−k0 ) = cg (k0 ), cette approximation conduit à
u(x, t) ∼ 4um cos[k0 x − Ω(k0 ) t]
sin [κ (x − cg t)]
.
κ (x − cg t)
(14)
On voit donc que ce paquet d’ondes est constitué d’une “porteuse” de vecteur
x)
d’onde k0 et de pulsation Ω(k0 ) avec une enveloppe de profil E(x) = sin(κ
κ x , de
taille caractérisque L = 2π/κ et qui se déplace avec la vitesse de groupe c g (k0 ).
Cette vitesse de groupe cg (k0 ) = Ω0 (k0 ) peut être très différente des vitesses de
phase cϕ (k1 ) = Ω(k1 )/k1 des ondes qui composent le paquet d’ondes. On peut
alors se représenter le mouvement des extrema de la “porteuse” qui sortent de
la zone délimitée par l’enveloppe en devenant évanescents. La raison de cette
perte d’amplitude au-delà des limites de l’enveloppe peut être vue comme le
résultat d’interférences destructives entres les différentes ondes. En effet, les
ondes sont en phase au centre de l’enveloppe et les maximas s’y additionnent.
Au fur et à mesure que l’on s’éloigne du centre, les maxima sont décalés les uns
par rapport aux autres jusqu’à ce que les ondes deviennent en opposition de
10
APM-INPT thu-dispaq (2004), O. Thual (June 8, 2004)
phase. Il est remarquable de noter, pour cet exemple comme pour tout autre
continuum d’ondes, qu’une fois sortis des limites de l’enveloppe les maxima
n’arrivent jamais à se remettre en phase, même partiellement, pour redonner
de la force au signal.
La même description qualititative est obtenue avec la condition initiale u 0 (x) =
2 um cos(k0 x) e−
κ2
2
x2
qui donne naissance au paquet d’ondes
u(x, t) ∼ 2 um cos [k0 x − Ω(k0 ) t] e−
κ2
2
[x−cg (k0 ) t]2
(15)
en approximant Ω(k1 ) ∼ Ω(∓k0 )+cg (k0 )(k1 ±k0 ) puisque κ est supposé petit.
L’enveloppe gaussienne E(x) = e−
cg (k0 ).
κ2
2
x2
se propage donc à la vitesse de groupe
b ∗ (k1 + k0 ) + E(k
b 1 − k0 ) où la transb0 (k)/um = E
D’une manière générale, si u
b
formée de Fourier E(q) d’une enveloppe E(x) est négligeable pour |q| ≥ κ, on
peut écrire
u(x, t) = um
Z
∞
−∞
h
i
b ∗ (k1 + k0 ) + E(k
b 1 − k0 ) ei k1 x−i Ω(k1 ) t dk1
E
= 2 Re um e
i q x−i Ω(k0 +q) t
b
E(q)e
dq
−∞
Z ∞
i q x−i cg (k0 ) q t
b
ei k0 x−i Ω(k0 ) t
E(q)e
dq
i k0 x
∼ 2 um Re um
Z
∞
−∞
= 2 cos[k0 x − Ω(k0 ) t] E[x − cg (k0 ) t]
R
∞ b
pour κ petit avec E(x) = −∞
E(q)eiqx dq. L’extension de l’enveloppe E(x)
est d’autant plus large que κ est petit, c’est-à-dire que les nombres d’onde
|k1 | des ondes du paquet sont proches de k 0 .
Notons que nous avons approximé la relation de dispersion ω = Ω(k 1 ) par les
relations ω = Ω(±k0 ) + cg (k0 )(k1 − k0 ), et ω = Ω(−k0 ) + cg (−k0 )(k1 + k0 ),
dans la mesure où seuls les vecteurs d’onde k 1 proches de ±k0 sont associés à
des amplitudes non négligeables. Pour les relations de dispersion approchées,
la vitesse de groupe cg (k0 ) = cg (−k0 ) est la même pour tous les vecteurs
d’onde k1 (qui restent proches de ±k0 ). On peut dire que l’on a considéré
un paquet d’ondes “non dispersif” dans la mesure où la vitesse de groupe
de toutes ses ondes est considérée comme étant la même. Nous allons voir
maintenant comment agit la “dispersion” des paquets d’ondes en prenant en
compte le fait que les vitesses de groupes changent en fonction du nombre
d’onde.
2. RÉPONSE IMPULSIONNELLE 1D
2
11
Réponse impulsionnelle 1D
On considère un modèle linéaire 1D dont on connaı̂t la relation de dispersion
ω = Ω(k1 ) et l’on s’intéresse à l’évolution d’une condition initiale donnée.
Pour fixer les idées, on suppose que la condition initiale est localisée dans
l’espace. On s’intéresse par exemple aux ondes générées par un caillou que
l’on jette dans l’eau. Un cas limite est obtenu en supposant que la condition
initiale est très localisée, ce que l’on modèlise par une distribution de Dirac
δ(x). Le train d’ondes ainsi généré est la “réponse impulsionnelle” du milieu
1D modélisé.
Lorsque le milieu n’est pas dispersif, cette condition initiale donne naissance
à un ou plusieurs paquets d’ondes qui se propagent en conservant la même
extension spatiale.
Lorsque le milieu est dispersif, on montre que la solution aux temps longs
est constituée d’un continuum de paquets d’ondes de vecteurs d’onde k a se
propageant à leurs vitesses de groupe respectives c g (ka ). Chaque région de
l’espace-temps est alors caractérisée par un paquet d’ondes de vecteur d’onde
ka particulier provenant du point a de la région de localisation de la condition
initiale et ayant voyagé à la vitesse c g (ka ).
2.1
Problème aux conditions initiales
On considère tout d’abord l’exemple simple de l’équation aux dérivées partielles suivante (équation de Korteweg deVries linéaire) :
∂u
∂3u
∂u
=0,
+α
+β
∂t
∂x
∂x3
(16)
avec la condition initiale u(x, 0) = u 0 (x). Dans ce qui suit, la relation de
dispersion de ce modèle ω = Ω(k1 ) = α k1 − β k13 est tantôt définie pour tout
k1 ∈ IR, tantôt restreinte aux valeurs k 1 telles que Ω(k1 ) ≥ 0 lorsque l’on
adopte la convention ω ≥ 0 (les deux approches sont équivalentes). Pour
résoudre ce problème aux valeurs initiales on décompose u 0 (x) en une superposition de modes de Fourier
u0 (x) =
Z
∞
−∞
b0 (k1 ) ei k1 x dk1 .
u
(17)
b(k1 , t) ei k1 x dk1 .
u
(18)
La solution du problème u(x, t) admet elle aussi une transformée de Fourier
b(k1 , t), ce qui s’écrit
que l’on note u
u(x, t) =
Z
∞
−∞
12
APM-INPT thu-dispaq (2004), O. Thual (June 8, 2004)
En reportant cette expression dans le modèle, les amplitudes complexes des
modes de Fourier vérifient alors
∂
b(k1 , t) = −i(α k1 − β k13 ) u
b(k1 , t) = −i Ω(k1 ) u
b(k1 , t) .
u
(19)
∂t
b(k1 , t) évolue donc indépendamment des
Chaque composante de Fourier u
autres. On peut donc facilement intégrer par rapport au temps en tenant
compte de la condition initiale, ce qui conduit à la solution
u(x, t) =
Z
∞
−∞
b0 (k1 ) ei k1 x−i Ω(k1 ) t dk1 .
u
(20)
Lorsque β = 0, la relation de dispersion ω = α k 1 est telle que cϕ = cg = α :
le milieu est non dispersif avec des vitesses de phase et de groupe constantes
et égales. La solution s’écrit alors u(x, t) = u 0 (x − α t) et peut être vue
comme un paquet d’ondes qui se propage à la vitesse c g sans se disperser.
Dans le cas général β 6= 0, la condition initiale va générer un continuum
de paquets d’ondes qui vont se propager à des vitesses (de groupe) toutes
différentes. L’expression sous forme d’intégrale de la solution permet d’étudier
cette dispersion de manière analytique dans certains cas précis, numérique
dans tous les cas ou asymptotique dans la limite des temps longs, comme
détaillé plus loin.
Considérons maintenant l’exemple de l’équation des ondes
2
∂2u
2 ∂ u
−
α
=0,
∂t2
∂x2
(21)
avec α > 0 dont la relation de dispersion est ω = Ω(k 1 ) = α k avec k = |k1 |
b(k1 , t) d’une
si l’on adopte la convention ω ≥ 0. La transformée de Fourier u
solution u(x, t) vérifie
∂2
b(k1 , t) = −α2 k12 u
b(k1 , t) .
u
(22)
∂t2
On voit que pour résoudre cette équation différentielle ordinaire en t, il
b(k1 , 0) = u
b0 (k1 ) et
faut spécifier deux conditions initiales, par exemple u
∂ b
b
∂t u(k1 , 0) = v0 (k1 ). La solution de cette équation différentielle s’écrit alors
bL0 (k1 ) =
avec u
1
2
b(k1 , t) = u
bL0 (k1 ) ei α k1 t + u
bR0 (k1 ) e−i α k1 t
u
h
b0 (k1 ) +
u
1 b
iαk1 v0 (k1 )
i
bR0 (k1 ) =
et u
1
2
h
b0 (k1 ) −
u
(23)
1 b
iαk1 v0 (k1 )
i
.
Dans l’espace physique, ceci revient à spécifier les conditions initiales u(x, 0) =
∂
u0 (x) et ∂t
u(x, 0) = v0 (x), où u0 (x) et v0 (x) sont les transformées de Fourier
b0 (k1 ) et vb0 (k1 ). La solution s’écrit alors
inverses de u
u(x, t) =
Z
∞
−∞
bL0 (k1 )e
u
i k1 (x+α t)
dk1 +
Z
∞
−∞
bR0 (k1 )ei k1 (x−α t) dk1
u
2. RÉPONSE IMPULSIONNELLE 1D
=:
13
uL0 (x + α t) + uR0 (x − α t)
(24)
On peut écrire cette solution sous la forme
uL (x, t) = 2 Re
uR (x, t) = 2 Re
Z
0
Z−∞
∞
0
bL0 (k1 )e
u
i k1 x−i Ω(k1 ) t
dk1
bR0 (k1 )ei k1 x−i Ω(k1 ) t dk1
u
= uL0 (x + αt)
= uR0 (x − αt) (25)
pour faire apparaı̂tre la relation de dispersion ω = Ω(k 1 ) = α k avec la conven∂
u(x, 0) = v0 (x) = 0, on voit que les deux
tion ω ≥ 0. Dans le cas particulier ∂t
paquets d’ondes émis respectivement à droite et à gauche sont symétriques
dans la mesure où uR0 (x) = uL0 (x) = 21 u0 (x).
KdV Lineaire
15
Ondes de surface
b)
15
10
5
5
w
10
w
a)
0
0
-5
-5
-10
-10
-15
-600
-400
-200
0
k
200
400
-15
-600
600
-400
-200
0
200
400
600
k
1
Figure 5: Relations de dispersion pour (a) “KdV linéaire” et (b) les “ondes
de surface”.
Considérons
p enfin la relation de dispersion des ondes de surface qui s’écrit ω =
Ω(k1 ) = g k tanh(k h) avec la convention ω ≥ 0. Comme pour l’équation
des ondes, cette relation regroupe la dispersion d’ondes se propageant vers
la droite ou vers la gauche. La donnée d’une seule condition initiale u 0 (x),
représentant par exemple l’élévation de la surface libre, ne suffit pas à déterminer
de manière unique la solution du modèle. Il faut ajouter une condition
supplémentaire, par exemple le profil initial de vitesse verticale de cette surface libre ou bien le profil initial de pression au fond, etc. La solution est alors
la somme de deux paquets d’ondes qui s’écrivent
uL (x, t) = 2 Re
uR (x, t) = 2 Re
Z
0
Z−∞
∞
0
bL0 (k1 )e
u
i k1 x−i Ω(k1 ) t
dk1
bR0 (k1 )ei k1 x−i Ω(k1 ) t dk1
u
(26)
Dans le cas particulier où uL0 = uR0 (symétrie par réflexion x → −x des
conditions initiales), l’évolution de la surface libre s’écrit alors
u(x, t) =
Z
∞
−∞
b0 (k1 )ei k1 x−i Ω(k1 ) t dk1 .
u
(27)
14
APM-INPT thu-dispaq (2004), O. Thual (June 8, 2004)
2.2
Exemples numériques
KdV lineaire
KdV lineaire
0.2
0.15
0.15
0.1
0.1
0.05
0.05
0
u
u
0.2
-0.05
0
-0.05
-0.1
-0.1
-0.15
-0.15
-0.2
-3
-2
-1
0
x
1
2
-0.2
3
-3
-2
-1
0
1
2
Figure 6: Réponse impulsionelle u(x, t) pour KdV linéaire pour tα
{0.86, 1.72}
Ondes de surface
α
β
∈
0.2
0.15
0.15
0.1
0.1
0.05
0.05
0
u
u
q
Ondes de surface
0.2
-0.05
0
-0.05
-0.1
-0.1
-0.15
-0.2
3
x
-0.15
-3
-2
-1
0
1
2
x
3
-0.2
-3
-2
-1
0
1
2
3
x
Figureq7: Réponse impulsionelle symétrique u(x, t) pour les ondes de surface
pour t hg ∈ {1.6, 3.2}
On a vu que la simple donnée d’une relation de dispersion ω = Ω(k 1 ) permettait d’écrire des solutions u(x, t) sous la forme d’une superposition d’ondes
u(x, t) =
Z
∞
−∞
b0 (k1 )ei k1 x−i Ω(k1 ) t dk1 .
u
(28)
On présente ici les deux exemples de la relation de dispersion de l’équation
3
de Korteweg de Vries (KdV) linéaire Ω(kp
1 ) = α k1 − β k1 et de la relation de
dispersion des ondes de surface Ω(k 1 ) = g k tanh(k h) avec k = |k1 |.
2. RÉPONSE IMPULSIONNELLE 1D
15
m
b0 (k1 ) = u2π
La condition initiale u0 (x) est choisie en prenant u
constant, ce
qui revient à approximer u0 (x) = um l δ(x) par une distribution de Dirac.
Cette condition initiale est suffisante pour “KdV linéaire”. Pour les “ondes de
surface”, on ajoute la condition de symétrie de réflexion x → −x qui entraı̂ne
que le paquet d’ondes émis vers la droite est le symétrique de celui émis vers
la gauche. La solution u(x, t) est alors appelée la “réponse impulsionnelle”
du milieu, restreinte au cas symétrique pour le cas des ondes de surface. On
parle aussi de “fonction de Green” de l’opérateur linéaire de l’équation aux
dérivées partielles considérée.
En définissant une grille spatiale discrète et en utilisant une transformée
de Fourier discrète, on peut approximer les fonctions de x et représenter
graphiquement les solutions u(x, t) pour tout temps t. L’approximation
nuq
mérique est ici réalisée avec 210 modes de Fourier avec kmax αβ = 1.45 pour
“KdV linéaire” et kmax h = 10.24 pour les “ondes de surface” où k max est le
nombre d’onde maximal de la troncature dans l’espace spectral.
Les solutions u(x, t) ainsi obtenues
sont représentées sur les figures 6 et 7 pour
q
α
les temps adimensionnels t α β égaux à 0.86 puis à 1.72 pour “KdV linéaire”
q
et des temps adimensionnels t hg égaux à 1.6 puis à 3.2 pour les “ondes de
surface”. Une dissipation très faible a été ajoutée dans le modèle, afin d’éviter
les oscillations trop rapides des ondes les plus courtes.
2.3
Méthode de la phase stationnaire
Le tracé graphique des réponses impulsionnelles des relations de dispersion
de KdV linéaire ou des ondes de surface dans le cas symétrique (voir figure 8)
montre que les paquets d’ondes se propagent en se dispersant. Lorsque le
temps devient grand, on voit que l’on peut attribuer une longueur d’onde
caractéristique pour chaque position dans l’espace temps.
Pour détailler quantitativement cette observation empirique, on va étudier le
comportement asymptotique de u(x, t) pour des temps t grands. On choisit
le point de vue consistant à se placer dans un repère mobile se déplaçant à
une vitesse donnée c. Étant donnée l’expression
u(x, t) =
Z
∞
−∞
b0 (k1 )ei k1 x−i Ω(k1 ) t dk1
u
(29)
on choisit donc de considérer la fonction
uc (x̃, t) = u(ct + x̃, t) =
Z
∞
−∞
b0 (k1 ) ei k1 x̃ ei[k1 c−Ω(k1 )] t dk1
u
(30)
16
APM-INPT thu-dispaq (2004), O. Thual (June 8, 2004)
a)
b)
KdV lineaire
2
Ondes de surface
2
1.6
1.4
1.4
1.2
1.2
u
1.8
1.6
u
1.8
1
1
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0
-1
-0.5
0
0.5
1
x
1.5
2
2.5
3
0
-3
-2
-1
0
1
2
3
x
Figure 8: Évolution spatio-temporelle de la réponse impulsionnelle pour les
relations de dispersion suivantes : a) KdV linéaire b) Ondes de surface dans
le cas d’une condition initiale symétrique.
en supposant que x̃ reste petit pour ne pas trop s’écarter de la trajectoire
x = ct issue de l’origine.
On suppose que c est fixé et l’on s’intéresse au comportement de la solution
b0 (k1 ) ei k1 x̃ et ψ(k1 ) = k1 c − Ω(k1 ), on
pour t grand. En notant G(k1 ) = u
R∞
s’intéresse donc au comportement de la fonction I(t) = −∞
G(k1 ) ei ψ(k1 ) t dk1
lorsque t tend vers l’infini.
Les résultats de la méthode de la “phase stationnaire” (voir par exemple
l’ouvrage intitulé “Advanced mathematical methods for scientists and engineers” de M. Bender et S. A. Orszag, McGraw-Hill 1978) indiquent que si
G(k1 ) est une fonction quelconque et ψ(k 1 ) est une fonction monotone de k1 ,
la fonction I(t) tend vers zéro plus vite que toute puissance de t lorsque t
tend vers l’infini (on peut le voir en effectuant des intégrations par partie).
Comme ψ 0 (k1 ) = c − Ω0 (k1 ) = c − cg (k1 ) dans le cas présent, cette situation
se rencontre lorsque la vitesse c du repère est plus grande que la plus grande
vitesse de groupe ou plus petite que la plus petite vitesse de groupe. Dans le
cas non dispersif Ω(k1 ) = c∗ k1 , seul le repère allant à la vitesse c = c ∗ permet
d’observer un signal qui ne décroı̂t pas exponentiellement en temps, ce signal
étant celui du paquet d’ondes se déplaçant sans déformation.
Lorsque la fonction ψ(k1 ) admet un extremum en k1 = kc , la méthode de la
“phase stationnaire” indique que le comportement asymptotique de l’intégrale
I(t) pour t grand est entièrement gouverné par le voisinage proche de k c . Ceci
est dû au fait que, pour t grand, les oscillations en k 1 de la fonction eiψ(k1 )t
conduisent à une contribution nulle pour l’intégrale, sauf au voisinage de k c ,
2. RÉPONSE IMPULSIONNELLE 1D
17
comme l’illustre la figure 9.
4
3
3
3
2
2
1
1
0
-1
-1
-2
-2
-3
-3
-4
-4
-5
g(k) cos[ y (k) t]
5
4
y
5
4
g
5
2
1
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
k
1.2
1.4
1.6
1.8
-5
2
0
-1
-2
-3
-4
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
k
1.4
1.6
1.8
2
-5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
k
1.2
1.4
1.6
1.8
2
Figure 9: Exemple de fonctions G(k1 ) et ψ(k1 ) et évolution de G(k1 )eiψ(k1 )
pour t ∈ [0, 100].
Cette situation se rencontre lorsque la relation de dispersion Ω(k 1 ) est dispersive et pour des valeurs de c telles qu’il existe un nombre d’onde k c vérifiant
cg (kc ) = c. Dans ce cas, la méthode de la “phase stationnaire” conduit au
comportement asymptotique suivant :
I(t) =
∼
Z
∞
G(k1 ) ei ψ(k1 ) t dk1
Z−∞
kc +
kc −
1
G(kc ) ei ψ(kc ) t+ 2 i ψ
∼ G(kc ) ei ψ(kc ) t
Z
∞
ei γ q
2
t
00 (k
c ) (k1 −kc )
2
t
dk1
dq ,
(31)
−∞
où est un paramètre arbitrairement petit et γ = 21 ψ 00 (kc ). Lorsque γ > 0, la
déformation des contours dans le plan complexe à l’aide de quarts de cercle
reliant la droite réelle à la droite q = s e iπ/4 permet d’écrire
Z
∞
e
i γ q2 t
dq = 2e
iπ/4
−∞
Z
∞
e
0
−γ s2 t
ds =
r
π iπ/4
e
.
γt
(32)
Lorsque γ < 0, on procède de même avec la droite q = s e −iπ/4 .
En remarquant que l’on a ici γ = 21 ψ 00 (kc ) = − 21 Ω00 (kc ), on obtient finalement
b0 (kc )
uc (x̃, t) = u(ct + x̃, t) ∼ u
s
2π
|Ω00 (k
π
c )|
t
ei kc (c t+x̃)−i Ω(kc ) t+i µ 4 .
(33)
où µ = 1 lorsque Ω00 (kc ) < 0 et µ = −1 lorsque Ω00 (kc ) > 0. En posant
x = c t + x̃, on obtient le comportement asymptotique
b0 (kc )
u(x, t) ∼ u
s
2π
|Ω00 (k
c )|
π
t
ei kc x−i Ω(kc ) t+i µ 4 .
(34)
qui décrit la solution pour les temps longs, et au voisinage de la trajectoire
d’équation x = c t issue de l’origine. Ce comportement est celui d’une onde
18
a)
APM-INPT thu-dispaq (2004), O. Thual (June 8, 2004)
14
b)
2.5
12
w
10
2
w
8
1.5
c
6
4
f
c
1
2
cg
0
0.5
c
-2
-4
0
50
100
150
200
250
k
300
350
400
f
450
500
0
0
0.5
1
1.5
2
g
2.5
3
3.5
4
4.5
5
k
Figure 10: Relation de dispersion (ω), vitesse de phase (c ϕ ) et vitesse de
groupe (cg ) pour : a) KdV linéaire, b) ondes de surface.
monochromatique de nombre d’onde k c . Son amplitude décroı̂t comme t−1/2
à cause de la dispersion.
Une manière d’interpréter ce résultat consiste à dire qu’au voisinage du point
(x, t), on trouve un paquet d’ondes de vitesse de groupe c g = c = x/t dont
la “porteuse” est caractérisée par le nombre d’onde k c qui vérifie cg (kc ) =
c = x/t. On observe ce nombre d’onde dans le voisinage de (x, t) dans la
mesure où seul un paquet d’ondes de nombres d’onde voisins de k c produit
des interférences constructives avec des maxima en phase. Au-delà d’une
région correspondant à ce paquet d’ondes, ces ondes ont des interférences
destructives et ne produisent plus de contribution au signal. Ce sont alors
d’autres ondes, avec d’autres nombres d’onde qui seront observées.
L’examen des vitesses de groupe de la figure 10 permet d’interpréter ainsi
l’évolution des profils de la figure 8. Pour la relation de dispersion de KdV
linéaire, on remarque en effet que l’existence de vitesses de groupe négatives
pour les grand k1 (petites longueurs d’onde) se traduit par la propagation
d’ondes courtes vers la gauche (rapidement dissipées par la dissipation artificielle introduite pour la simulation numérique). Les ondes les plus rapides
sont les plus longues (petits k1 donc grandes longueurs d’onde), et se propagent vers la droite avec la vitesse de groupe maximale c g (0) = α.
0
Pour la relation de dispersion des ondes hde surface, on a c g (k)
i = Ω (k) avec
p
1
Ω(k) = g k tanh(k h) et donc cg = cϕ 2 + kh/ sinh(2 k h) . On remarque
que le train d’ondes se propageant vers la droite effectue
√ un tri entre les
grandes ondes, rapides et de vitesse de groupe maximale gh, et les petites
ondes, d’autant plus lentes que courtes, qui sont aussi les premières à être
3. TRACÉ DE RAYONS DANS L’ESPACE-TEMPS
19
dissipées par la dissipation artificielle introduite. Pour les deux relations de
dispersion, la dissipation artificielle est négligeable pour les grandes longeurs
d’ondes (amortissement proportionnel à −k 12 ). La décroissance de l’amplitude
√
des paquets d’ondes est due à leur dispersion et se comporte comme 1/ t.
3
Tracé de rayons dans l’espace-temps
L’examen de la réponse impulsionnelle d’un milieu dispersif a permis de mettre en évidence les droites x = c t le long desquelles se propagent des paquets
d’ondes de nombre d’onde kc . Ce résultat est un cas particulier du cas très
général où ces rayons ne sont pas forcément concourants en t = 0. On peut en
effet considérer une condition initiale u 0 (x) déjà dispersée au point de pouvoir
affecter un vecteur d’onde k0 (x), représentatif d’un paquet d’ondes, en chaque
point x. Le tracé de rayons consiste à dire que ces paquets d’ondes voyagent
à leur vitesse de groupe cg [k0 (x)] en conservant leur vecteur d’onde caractéristique. Pour montrer ce puissant résultat, il faut recourir à la méthode
asymptotique WKB (Wentzel, Kramer, Brillouin) ou WKBJ (et Jeffreys) dont
l’ordre dominant est appelé “approximation de l’optique géométrique” et conduit justement au tracé de rayons que l’on vient de décrire. Pour justifier
cette méthode, il faut tout d’abord justifier la définition du champ de phase
ϕ(x, t) d’un train d’ondes suffisamment dispersé. Pour introduire cette notion, nous revenons tout d’abord à la forme de la réponse impulsionnelle du
milieu obtenue par la méthode de la phase stationnaire.
3.1
Champ de phase d’un train d’ondes dispersé
La méthode de la phase stationnaire a permis d’écrire la réponse impulsionnelle d’un milieu dispersif sous la forme
1
u(x, t) ∼ √ A (x/t) ei ϕ(x,t)
t
(35)
lorsque le paquet d’ondes est suffisamment dispersé, c’est-à-dire aux temps
longs. La fonction ϕ(x, t) est définie par
ϕ(x, t) = kc (x/t) x − Ω [kc (x/t)] t avec
cg [kc (x/t)] =
x
.
t
(36)
Une première interprétation de cette expression, déjà utilisée, consiste à poser
x = c t + x̃. Lorsque t est grand, les fonctions A(x/t) et k c (x/t) varient
lentement avec x et on peut les considérer constantes si x̃ reste petit devant
20
APM-INPT thu-dispaq (2004), O. Thual (June 8, 2004)
leur (grande) échelle de variation spatiale. On peut alors écrire u(x, t) ∼
1
√
A(c)eiϕ(x,t) avec ϕ = kc x − Ω(kc )t + ϕc , pourvu que x̃ = x − c t reste petit.
t
Une autre approche consiste à remarquer que la définition de ϕ(x, t) entraı̂ne
∂ϕ
∂ϕ
∂x (x, t) = kc (x/t) et ∂t (x, t) = −Ω [kc (x/t)]. On a en effet
∂ϕ
x
(x, t) = kc0 (x/t)
− cg [kc (x/t)] + kc (x/t)
∂x
t x
∂ϕ
x 0
(x, t) = − kc (x/t)
− cg [kc (x/t)] − Ω [kc (x/t)] ,
∂t
t
t
(37)
ce qui conduit au résultat annoncé en remarquant que x/t = c g [kc (x/t)].
Cette dispersion aux temps longs de la réponse impulsionnelle, issue d’une
condition initiale localisée, est un cas particulier de la famille des trains
d’ondes “dispersés” qui s’écrivent sous la forme
u(x, t) ∼ um (x, t)eiϕ(x,t)
(38)
où um (x, t) est une fonction lentement variable en espace et en temps. À
partir du champ de phase ϕ(x, t), on définit les champs
k1 (x, t) =
∂ϕ
(x, t)
∂x
et
ω(x, t) = −
∂ϕ
(x, t)
∂t
(39)
que l’on peut interpréter respectivement comme le nombre d’onde local et la
pulsation locale en (x, t). On dit que le train d’ondes est “dispersé” si ces
deux champs varient lentement en espace et en temps. C’est bien le cas de
la réponse impulsionnelle aux temps longs. Dans ce dernier cas, nous avons
aussi montré le résultat important
ω(x, t) = Ω[k1 (x, t)] .
(40)
En chaque point, le vecteur d’onde local et la pulsation locale sont reliés par
la relation de dispersion du milieu. Nous allons voir, grâce à la méthode
WKB, que ce résultat est vrai pour tout train d’ondes dispersé approximant
une solution du modèle linéaire étudié.
3.2
Méthode WKB (Wentzel, Kramer, Brillouin)
On considère l’exemple du modèle de Korteweg de Vries linéaire
∂u
∂3u
∂u
=0.
+α
+β
∂t
∂x
∂x3
(41)
On cherche des solutions sous la forme
i
u(x, t) = um (x, t) ei ϕ(x,t) = un e Φ( x, t)+Σ( x, t) ,
(42)
3. TRACÉ DE RAYONS DANS L’ESPACE-TEMPS
21
où un est une constante dimensionnelle (même unité que u), et Φ(X, T ) et
Σ(X, T ) des champs réels définis pas u m (x, t) = un eΣ( x, t) et ϕ(x, t) =
1
Φ( x, t).
On suppose que est un petit paramètre afin de décrire une situation où les
ondes sont localement monochromatiques. On dit que l’on est présence d’un
paquet d’ondes “très dispersé”.
En notant X = x et T = t et en reportant l’expression asymptotique de
u dans cette équation, l’ordre dominant en est une équation pour la phase
Φ(X, T ) qui s’écrit
∂Φ 3
∂Φ
∂Φ
+α
−β
=0.
(43)
∂T
∂X
∂X
En notant ϕ(x, t) = 1 Φ( x, t) on obtient donc la phase de la solution asymptotique u(x, t) = um (x, t) ei ϕ(x,t) en résolvant l’équation
∂ϕ
∂ϕ
=α
−β
−
∂t
∂x
∂ϕ
∂x
3
∂ϕ
=Ω
∂x
(44)
où l’on reconnaı̂t la fonction Ω(k 1 ) = α k1 − β k13 intervenant dans la relation
de dispersion ω = Ω(k1 ) du modèle linéaire de Korteweg de Vries.
a)
2
1.5
0.15
1
0.1
0.05
0
u
w
0.5
-0.5
0
-0.05
-1
-0.1
-1.5
-2
-1.5
KdV lineaire
0.2
b)
-0.15
-1
-0.5
0
k
1
0.5
1
1.5
-0.2
-3
-2
-1
0
x
1
2
3
Figure 11: (a) Relation de dispersion de KdV linéaire (b) Solution u(x, t)
après dispersion d’une impulsion initiale.
L’ordre dominant du développement asymptotique WKB (parfois appelé ordre de l’optique géométrique) permet donc de déterminer la phase ϕ(x, t)
comme solution d’une équation aux dérivées partielles (non-linéaire) appelée équation de l’Eikonale. L’amplitude u m (x, t) du paquet d’ondes est
déterminée à l’ordre suivant (ordre de l’optique physique).
Cet exemple simple se généralise à tous les systèmes d’ondes de relation de
dispersion ω = Ω(k1 ). Lorsque les ondes sont suffisamment dispersées, on
22
APM-INPT thu-dispaq (2004), O. Thual (June 8, 2004)
peut écrire les champs solutions sous la forme
i
u(x, t) = un e Φ( x, t)+Σ( x, t) .
(45)
L’ordre dominant de cette asymptotique WKB (ordre de l’optique géométrique) indique que la phase ϕ(x, t) = 1 Φ( x, t) du champ u(x, t) =
um (x, t) ei ϕ(x,t) est solution de l’équation de l’Eikonale
−
∂ϕ(x, t)
∂ϕ
=Ω
(x, t) .
∂t
∂x
(46)
Nous allons montrer que les solutions ϕ(x, t) de cette équation s’obtiennent à
l’aide d’une méthode appelée “tracé de rayons”. On ne s’intéresse pas, ici, à
l’amplitude um (x, t) du train d’ondes.
3.3
Tracé de rayons dans l’espace-temps
Étant donné un modèle linéaire de relation de dispersion ω = Ω(k 1 ) on
s’intéresse à la phase ϕ(x, t) d’un paquet d’ondes dispersé u m (x, t) eiϕ(x,t)
solution de l’équation de l’Eikonale
∂ϕ
∂ϕ
=Ω
−
∂t
∂x
.
(47)
On définit ω(x, t) = − ∂ϕ
∂t la pulsation locale du paquet d’ondes et k 1 (x, t) =
le vecteur d’onde local. L’équation de l’Eikonale s’écrit donc
ω(x, t) = Ω[k1 (x, t)] .
∂ϕ
∂x
(48)
On en déduit que le champ k1 (x, t) vérifie l’équation d’advection
∂k1
∂k1
+ cg (k1 )
=0
∂t
∂x
(49)
où cg (k) = Ω0 (k1 ) est la vitesse de groupe. En effet, la définition k 1 =
∂ϕ
∂k1
∂x du vecteur d’onde local et l’équation de l’Eikonale entraı̂nent que ∂t =
∂k1
∂k1
∂ ∂
∂
0
∂x ∂t ϕ = − ∂x [Ω(k1 )] = −Ω (k1 ) ∂x = −cg (k1 ) ∂x . On souhaite résoudre
cette équation à partir d’une condition initiale k 1 (x, 0) = k0 (x) qui découle de
la phase initiale ϕ(x, 0) = ϕ0 (x) d’une condition initiale u0 (x) = um0 (x)eiϕ0 (x)
0
par la relation k0 (x) = ∂ϕ
∂x (x).
On reconnait ici l’équation d’advection du champ scalaire k 1 (x, t) par la
vitesse cg . La méthode de tracé de rayons, permet de résoudre cette équation
aux dérivées partielles. Il s’agit en fait de la méthode des caractéristiques
3. TRACÉ DE RAYONS DANS L’ESPACE-TEMPS
23
que l’on nomme rayons dans le présent contexte de propagation de paquets d’ondes. Cette méthode s’interprète aussi à l’aide des représentations
eulérienne et lagrangienne du mouvement induit par ce champ de vitesse.
On peut en effet définir une famille de “trajectoires” solutions du système
dynamique suivant :
ẋ = cg (k1 )
et
k˙1 = 0
(50)
dk
où ẋ = dx
dt et k̇ = dt désignent les dérivées par rapport au temps. Ces
trajectoires sont paramétrées par les conditions initiales x(0) = a et k 1 (0) =
ka . Elle s’écrivent x(t) = a + cg (ka ) t. On décide d’appeler “rayons” ces
droites dans IR.
t
ka
ka
0 a
x
Figure 12: Tracé de rayons dans l’espace-temps
On suppose ensuite que ces rayons ne se coupent pas dans un intervalle de
temps fini, ce qui est le cas si k0 (x) est une fonction continue. Étant donné
le couple (x, t), on peut donc remonter à la condition initiale a = A(x, t)
solution de l’équation implicite x = a+c g [k0 (a)] t. On considère alors le champ
k1 (x, t) = k0 [A(x, t)] en utilisant la même notation k 1 pour le champ k1 (x, t)
et la trajectoire k1 (t) (un autre abus de notation permet à x de désigner à la
fois une trajectoire x(t) et la variable d’espace des champs).
En résolvant le simple système dynamique à deux degrés de liberté ẋ = c g (k1 )
et k˙1 = 0, on a bien construit une solution k 1 (x, t) de l’équation d’advection
1
+ cg (k1 ) ∂k
∂x = 0. Ce système dynamique définit des “rayons” x(t) dans
IR qui “transportent” les vecteurs d’onde k 1 (t) issus des conditions initiales
k1 (0) = k0 (a). Pour tout couple (x, t), le vecteur d’onde k 1 (x, t) est obtenu en
regardant le vecteur d’onde transporté par le rayon qui passe par x à l’instant
t.
∂k1
∂t
Notons que cette détermination des solutions par la méthode des caractéristiques (tracé de rayons) n’est possible que dans les régions du plan (x, t) où les
24
APM-INPT thu-dispaq (2004), O. Thual (June 8, 2004)
caractéristiques (rayons) ne se croisent pas. Lorsque c’est le cas, on appelle
caustiques les enveloppes des courbes caractéristiques (rayons). Au voisinage
des courbes caustiques, l’approche WKB n’est plus valable dans la mesure où
le second ordre (ordre de l’optique physique) prédit une amplitude des ondes
infinies (non démontré ici). On peut aussi dire qu’au voisinage des caustiques
les ondes ne sont plus dispersées, comme nous l’avions supposé au départ,
dans la mesure où plusieurs vecteurs d’onde sont définis en un même point.
On doit alors faire intervenir les phénomènes de diffraction qui se traduisent
par une diffusion de l’énergie à travers les tubes de rayons. Le phénomène de
diffraction n’est pas abordé ici.
Conclusion
Nous avons introduit rapidement les notions de relations de dispersion ω =
b(k1 , t) dans un milieu 1D. Le
Ω(k1 ) et de transformée de Fourier u(x, t) ↔ u
problème du train d’ondes généré par une condition initiale a été alors abordé.
Nous avons tout d’abord étudié le cas d’un paquet d’ondes ayant des nombres
d’onde voisins de k0 . Dans l’espace physique, le signal peut être vu comme
une onde porteuse de nombre d’onde k 0 , modulée par une enveloppe localisée
dont l’étendue est d’autant plus grande que le spectre dans l’espace spectral
est étroit autour de k0 . Cette enveloppe se propage à la vitesse de groupe
cg (k0 ) = Ω0 (k0 ) qui est en général différente de la vitesse de phase de l’onde
porteuse cϕ (k0 ) = Ω(k0 )/k0 (le milieu est non-dispersif en cas d’égalité). Le
centre de l’enveloppe est caractérisé par des interférences constructives entre
le continuum d’ondes de nombres d’onde proches de k 0 . A l’extérieur de cette
enveloppe, les interférences sont partout destructrices (sauf s’il n’y a qu’un
nombre fini d’ondes dans le paquet).
Nous avons ensuite étudié le cas d’un train d’ondes dont les nombres d’onde
peuvent couvrir une grande partie du spectre k 1 . C’est le cas de la réponse
impulsionnelle du milieu 1D lorsque la condition initiale u 0 (x) est une distribution de Dirac, mais aussi celui d’une condition initiale quelconque. Aux
temps longs, le train d’onde est suffisamment dispersé pour que l’on puisse
associer à chaque point (x, t) de l’espace-temps un paquet d’ondes de nombre
d’onde k1 (x, t) et de pulsation ω(x, t) = Ω[k1 (x, t)]. En terme de superposition d’ondes monochromatiques, le point (x, t) est tel que les ondes de vecteur
d’onde k1 (x, t) interfèrent de manière constructive. En un autre point, elles
interfèrent de manière destructive et d’autres paquets d’ondes sont observés.
Ces paquets d’ondes de vecteur d’onde k a voyagent avec leur vitesse de groupe
le long de droites d’équation x = a + c g (ka ) t. On peut aussi voir l’ensemble
3. TRACÉ DE RAYONS DANS L’ESPACE-TEMPS
25
des rayons comme l’ensemble des trajectoires du système dynamique ẋ =
cg (k1 ) et k˙1 = 0 avec les conditions initiales x(0) = a et k 1 (0) = ka . Si la
condition initiale peut s’écrire sous la forme u 0 (x) = um0 (x) eiϕ0 (x) où um0 (x)
0
et k0 (x) =: ∂ϕ
∂x (x) sont lentement variables en espace, la solution issue de
cette condition initiale s’écrit sous la forme u(x, t) = u m (x, t) eiϕ(x,t)
où la
∂ϕ
∂ϕ
phase ϕ(x, t) est solution de l’équation de l’Eikonale − ∂t = Ω ∂x , c’est-
∂ϕ
à-dire ω(x, t) = Ω[k1 (x, t)] avec ω = − ∂ϕ
∂t et k1 = ∂x . La justification de ce
résultat repose sur le développement asymptotique de WKB qu’il convient
d’expliciter pour chacun des modèles linéaires considérés. Cette équation
∂k1
1
entraı̂ne ∂k
∂t + cg (k1 ) ∂x = 0 qui se résout par la méthode du tracé de rayons
décrit précédemment. Cette méthode, qui est en fait la méthode des caractéristiques pour la résolution de l’équation de l’Eikonale, cesse d’être valide
lorsque les rayons se coupent. La détermination de l’amplitude u m (x, t) n’a
pas été abordée ici. Elle s’obtient au second ordre de l’approximation WKB,
appelé “approximation de l’optique physique”, le premier ordre étant appelé
“approximation de l’optique géométrique” (tracé de rayons).