PHYSIQUE des PLASMAS Pierre Tardiveau Enseignant-Chercheur au Laboratoire de Physique des Gaz et des Plasmas [email protected] Master de Physique Fondamentale – M1 2013-2014 Physique des plasmas Plan du cours 1 - Introduction aux plasmas 2 - Trajectoires de particules sous champs uniformes 3 - Dérives magnétiques et confinement d’un plasma 4 - Comportements collectifs dans les plasmas 5 – Collisions, transport et ionisation dans les plasmas 6 – Application aux plasmas faiblement ionisés 7 - Structuration des plasmas au voisinage de parois 8 - Interaction ondes - plasma 9 - Magnétohydrodynamique (MHD) Master de Physique Fondamentale – M1 2013-2014 Bibliographie et ouvrages recommandés Physique des Plasmas – J.M. Rax – Dunod 2005 Physique des Plasmas Vol.1 et 2 – J.L. Delcroix et A. Bers – EDP Sciences 1994 Introduction to Plasma Physics (lecture notes) – J. Howard – 2002 (http://wwwrsphysse.anu.edu.au/~jnh112/AIIM/c17/) Introduction à la physique des plasmas (cours) – S. Mazevet – 2009 (http://ipnweb.in2p3.fr/rayonnements-energie/cours/cours%20UE4/cours1.pdf) The Physics of Plasmas (lecture notes) – R. Fitzpatrick – 2008 (http://farside.ph.utexas.edu/teaching/plasma/plasma.html) Les plasmas froids hors-équilibre (colloque Delcroix) – J.P. Bœuf – 2007 La fusion nucléaire : de la recherche fondamentale à la production d’énergie ? – Académie des Sciences - EDP Sciences 2007 Master de Physique Fondamentale – M1 2013-2014 1 – Introduction aux plasmas – Quelques Exemples Plasma froid basse pression pour la propulsion spatiale Les propulseurs plasmas électriques et magnétiques permettent d’obtenir des vitesses d’éjection de gaz ve importantes (au détriment de la poussée). Sonde spatiale Dawn de la NASA, propulsée par un moteur plasma éjectant des ions de xénon bleutés, Vitesse d’éjection (m.s-1) ∆m g F =ve ⋅ ∆t Poussée (N) Débit massique (kg.s-1) Type de propulseur Ve (km/s) F (N) Chimique (propergol) 2-5 107 Plasma ionique 10 - 50 1 Plasma électromagnétique 10 - 300 500 Pour la Science N°379 - mai 2009 Master de Physique Fondamentale – M1 2013-2014 1 – Introduction aux plasmas – Quelques Exemples Plasma froid basse pression pour la propulsion spatiale La propulsion plasma consiste à ioniser un gaz rare, et à accélérer les ions formés en évitant qu’ils se recombinent avec les électrons. Plasma faiblement ionisé : <ne> = 1012 cm-3 et N = 1013 cm-3 Plasma hors équilibre : <Te> = 15 eV (> Tgaz) J.M. Rax 2005 Dunod Ions très peu sensibles au champ magnétique et non collisionnels. Électrons piégés par le champ magnétique et collisionnels. Master de Physique Fondamentale – M1 2013-2014 1 – Introduction aux plasmas – Quelques Exemples Plasma froid basse pression pour la propulsion spatiale L’étude des plasmas de propulsion consiste : à optimiser la configuration magnétique de piégeage des électrons, à dissocier les régions d’ionisation et d’accélération, à comprendre les problèmes d’instabilités. PD-USGov-NASA Master de Physique Fondamentale – M1 2013-2014 1 – Introduction aux plasmas – Quelques Exemples Plasma de fusion thermonucléaire contrôlé par confinement magnétique pour la production d’énergie Les réactions de fusion thermonucléaire se font au sein d’un plasma devant être confiné par une configuration de lignes de champs magnétiques appropriées. D + T → He4 + n + 17.58 MeV Vue d’artiste du prototype ITER en construction au CEA à Cadarache Section efficace de réaction entre deux noyaux chargés positivement n + Li6 → T + He 4 + 4.79 MeV Master de Physique Fondamentale – M1 2013-2014 1 – Introduction aux plasmas – Quelques Exemples Plasma de fusion thermonucléaire contrôlé par confinement magnétique pour la production d’énergie Structuration du champ magnétique par Tokamak : champs toroïdal (R = 6,2 m) et poloïdal (a = 2 m) Chauffage par effet Joule (courant I = 15 MA) Contrôle des instabilités à la surface du plasma et des turbulences dans son volume Critère de Lawson (équilibre thermique) J.M. Rax 2005 Dunod (n e τ ET )min 3 ⋅ 1021 = 1+ 5 Q Mélange D-T pur, T = Te = Ti, dépendance parabolique en T de <σv> Q = facteur d’amplification du plasma (Pfus/Pext) τE = temps de confinement de l’énergie (Wth/Pnet) Le confinement magnétique à Q = 10 et T = 10 keV impose ne faible (1014 cm-3) et τΕ élevé (2 s). Schéma de principe d’un réacteur à confinement magnétique de type Tokamak Master de Physique Fondamentale – M1 2013-2014 1 – Introduction aux plasmas – Quelques Exemples Plasma de fusion thermonucléaire contrôlé par confinement magnétique pour la production d’énergie L’après ITER : DEMO ? ITER Centrale de production 10 30 - 40 Augmentation des champs magnétiques par supra 12 T (45 MA.m-2) 18 T Effet du flux neutronique sur les parois du réacteur 0.5 MW.m-2 3 - 5 MW.m-2 Effet du flux thermique sur les plaques du Divertor 10 MW.m-2 50 MW.m-2 Augmentation du facteur d’amplification Q acceptant de très fortes densités de courant Master de Physique Fondamentale – M1 2013-2014 1 – Introduction aux plasmas – Quelques Exemples Plasma froid haute pression pour l’environnement et l’énergie Les plasmas à haute pression (> 1 bar) sont caractérisés par des phénomènes très transitoires (ns) et très localisés (µm). Le « streamer » ou la foudre en sont des exemples. Plasma non magnétisé et collisionnel décrit par a théorie cinétique (ETL). Plasma froid (Tgaz = Tions = 300 K; Te = 10 eV) mais thermiquement instable. Plasma très faiblement ou fortement ionisé (10-4 < α < 10-1). Forte réactivité chimique par collisions inélastiques (excitation, ionisation, dissociation, …) générant des espèces excitées, des ions ou des radicaux. Rayonnement intense dans le domaine UV-visible. Plasma filamentaire utilisée pour le déclenchement de combustion dans les moteurs automobiles Master de Physique Fondamentale – M1 2013-2014 1 – Introduction aux plasmas – Quelques Exemples Plasma froid haute pression pour l’environnement et l’énergie J.M. Rax 2005 Dunod Microjet de plasma pour le biomédical Décharge couronne de type filcylindre pour le traitement de l’air Allumage multi-point dans un moteur automobile à combustion interne Master de Physique Fondamentale – M1 2013-2014 1 – Introduction aux plasmas – Quelques Exemples Plasma spatiaux et naturels L’étude des magnétosphères planétaires s’inscrit dans la magnétohydrodynamique (MHD) qui considère les plasmas comme des fluides conducteurs. Magnétosphère terrestre Confinement des particules par champ magnétique. Propagation d’ondes dans un plasma magnétisé. Reconnexion magnétique permettant d’expliquer un chauffage et la création de particules ultra-énergétiques. Structuration de la magnétosphère terrestre alimentée en particules par le vent solaire Master de Physique Fondamentale – M1 2013-2014 1 – Introduction aux plasmas – Quelques Exemples Plasma spatiaux et naturels Électrons et ions définissant un fluide unique (échelle de temps grande, basse fréquence) On néglige le mouvement individuelle des particules (ρL < échelle spatiale) Conductibilité électrique infinie (pas de collisions à haute température) Dérives magnétiques liées à la structuration spatiale du champ Courant annulaire observée au dessus du pôle Nord Master de Physique Fondamentale – M1 2013-2014 Physique des plasmas Plan du cours 1 - Introduction aux plasmas Définition, classification, outils d’analyse et exemples 2 - Trajectoires de particules sous champs uniformes 3 - Dérives magnétiques et confinement d’un plasma 4 - Comportements collectifs dans les plasmas 5 – Collisions, transport et ionisation dans les plasmas 6 – Application aux plasmas faiblement ionisés 7 - Structuration des plasmas au voisinage de parois 8 - Interaction ondes - plasma 9 - Magnétohydrodynamique (MHD) Master de Physique Fondamentale – M1 2013-2014 1 – Introduction aux plasmas Définition Un plasma est un gaz ionisé macroscopiquement neutre électrons, ions, molécules et atomes neutres noyaux, espèces excitées (métastables ou radiatives) photons Un plasma est créé à partir d’un gaz neutre par apport d’énergie champ électrique, chauffage, accroissement de la densité, faisceau de particules Un plasma se caractérise par des phénomènes d’interactions entre particules chargées en présence de champs électromagnétiques agitation thermique, interaction coulombienne et collisions, ( trajectoires dans E , B ) Master de Physique Fondamentale – M1 2013-2014 1 – Introduction aux plasmas - Définition Un plasma se matérialise sous une très grande diversité d’ « objets » ou de « structures » dégénérés (quantiques), denses et corrélés, relativistes, classiques naturels (astrophysique), de fusion, de décharge électrique (industrie) comportements collectifs, collisionnels, turbulents, non-linéaires, … Un plasma s’étudie à l’interface de nombreux domaines de la physique et selon plusieurs descriptions possibles électromagnétisme, physique atomique et moléculaire, mécanique des fluides description particulaire (physique statistique), cinétique (moyenne sur les fonctions de distribution) ou fluide Master de Physique Fondamentale – M1 2013-2014 1 – Introduction aux plasmas Paramètres essentiels à une classification des plasmas La densité ne (cm-3) et la température électronique Te (K ou eV) En général, l’électroneutralité est conservée : ne électrons ni ions On définit le degré d’ionisation : α= ne ne + n0 Dans certains cas, il existe un écart à la neutralité, caractérisé par le paramètre ε : n e = Zn i no neutres (0 < α < 1) ε= ne − Zni ne + Zni (-1 < ε < 1) Plasmas quasi-neutres (ε → 0 ou << 1) : phénomènes d’écrantage dominants Plasmas non neutres (ε < 1) : phénomènes de charge d’espace dominants Master de Physique Fondamentale – M1 2013-2014 1 – Introduction aux plasmas – Paramètres de classification Comment crée-t-on et évalue-t-on la densité d’électrons ne d’un plasma ? Ionisation d’un gaz par chauffage Un chauffage à température élevée (T > 104 K) induit des collisions ionisantes 3 kT > E i 2 k : constante de Boltzmann Ei : énergie d’ionisation des molécules du gaz S’il y a suffisamment de collisions (e-e / e-i / e-n), le plasma peut être considéré en équilibre thermodynamique et l’ionisation et la recombinaison s’équilibrent. Equation de Saha (1920) pour un gaz monoatomique ne ⋅ ni π e π i (2 πme kT = π0 n0 h3 )3 2 exp (− E i kT ) L’ionisation est entièrement déterminée par la pression (P) et la température (T), et le gaz est en équilibre d’ionisation thermique. Master de Physique Fondamentale – M1 2013-2014 1 – Introduction aux plasmas – Paramètres de classification Exemple d’ionisation thermique de l’argon pour P = 1 atm. Énergies d’ionisation : Ar+ : 15,76 eV Ar2+ : 43,4 eV Xa : concentration relative de l’espèce ‘a’ parmi toutes les espèces présentes L’équation de Saha ne s’applique plus aux fortes densités et/ou aux fortes températures. Elle est valable pour des plasmas comme la photosphère ou les nébuleuses… Master de Physique Fondamentale – M1 2013-2014 1 – Introduction aux plasmas – Paramètres de classification La donnée de ne et de α ne suffit pas à caractériser l’importance de l’ionisation dans les plasmas car elle dépend également de la température des électrons Te. Prise en compte des fréquences de collisions entre les différentes particules : νe0, νei et νee (s-1). Gaz faiblement ionisés : ν es = n s σ es v e ns: densité des espèces cibles ‘s’ ve: vitesse des électrons (fonction de Te) σes: sections efficaces de collision (fonction de ve) ν e 0 >> ν ei , ν ee Quelques ions et électrons au milieu d’une mer de neutres (collisions e-0 ou i-0 qui déterminent la dynamique). Ex : tube néon. Gaz fortement ionisés : ν e 0 << ν ei , ν ee Avec ou sans interactions entre particules (comportement collectif ou trajectoires dans champ). Ex : couronne solaire, vent solaire. Gaz complètement ionisés : plasma de fusion et cœur d’étoiles Master de Physique Fondamentale – M1 2013-2014 1 – Introduction aux plasmas – Paramètres de classification A-t-on toujours T = Te et un plasma en équilibre thermodynamique ? Ionisation d’un gaz par champ électrique La présence d’un champ électrique favorise l’accélération des électrons et les collisions e-0. La température Te des électrons reste très élevée devant celle des ions (Ti) et celle des neutres (T). On parle de plasma hors équilibre thermodynamique ou de plasma ‘froid’. J.M. Rax 2005 Dunod T [K] Ti = T = 300 K Te = 30 000 K : Plasma à l’ET (plasma thermique ou ‘chaud’) Master de Physique Fondamentale – M1 2013-2014 1 – Introduction aux plasmas – Paramètres de classification Une première classification des plasmas dans un diagramme (Te, ne) … T e = me c 2 k Te = εF k e Master de Physique Fondamentale – M1 2013-2014 1 – Introduction aux plasmas – Paramètres de classification La longueur de Debye λD et le paramètre plasma Λ La longueur de Debye est l’échelle spatiale au-delà de laquelle les effets coulombiens d’une particule chargée sont écrantés : Le rapport λD / de permet de comparer l’importance relative T e (K ) ε kT λD ≡ 0 2 e ≈ 7 ⋅ 10 −2 des interactions collectives et e ne ne cm −3 des interactions binaires. ( Paramètre plasma : λ Λ = D de ) 3 = ne λ3D Plasmas cinétiques ou idéaux où beaucoup de particules interagissent de manière collective : Λ >> 1 Plasmas faiblement ou fortement corrélés, où les particules interagissent de manière individuelle : Λ <1 Master de Physique Fondamentale – M1 2013-2014 1 – Introduction aux plasmas – Paramètres de classification Compléments à la classification des plasmas dans un diagramme (Te, ne) T e = me c 2 k Te = εF k Λ =1 D’autres classifications possibles: Interaction ondes / plasma Interaction photon / plasma e Master de Physique Fondamentale – M1 2013-2014 1 – Introduction aux plasmas Outils physiques nécessaires à la description des plasmas La diversité des plasmas conduit à plusieurs approches possibles : Description individuelle du mouvement de chaque particule On s’intéresse aux solutions de l’équation fondamentale de la dynamique pour chaque particule : m ( dv = q E +v ⊗ B dt ) v: vitesse instantanée de la particule E, B : champ électromagnétique microscopique Les champs sont décrits par les équations de Maxwell. L’agitation thermique est décrite par des conditions initiales aléatoires. Les collisions ne sont pas prises en compte (gaz fortement ionisés et basse densité) Calcul analytique dans des cas simples (champs constants ou lentement variables). Master de Physique Fondamentale – M1 2013-2014 1 – Introduction aux plasmas – Outils physiques La diversité des plasmas conduit à plusieurs approches possibles : Description fluide du mouvement d’un ensemble de particules Équation de continuité et équation d’Euler ( )( ) Termes sources de particules et de quantités de mouvement ( ) ∂n s + div ns Vs = Scoll ∂t ( ) ∂V ns ms s + Vs ⋅ grad Vs + grad(Ps ) − nsqs E + Vs ⊗ B = Pcoll ∂t Champs autocohérents Le plasma est considéré comme un ou deux fluides (électrons + ions). Les interactions collectives sont dominantes devant les collisions binaires (gaz fortement ionisé, faisceau de particules, MHD, …). Master de Physique Fondamentale – M1 2013-2014 1 – Introduction aux plasmas – Outils physiques La diversité des plasmas conduit à plusieurs approches possibles : Description fluide du mouvement d’un ensemble de particules Ajout de conditions particulières Isobare : gradP = 0 Isotherme : Ps = nskTs Adiabatique : Ps = C.nsγ Conducteur : Js = ∑ n q V = σE s s s s Permet de déterminer un ensemble de données macroscopiques comme la pression, la température,...Nécessité d’équilibre thermodynamique. Ne permet pas de prendre en compte les interactions ondes / particules (amortissement des ondes dans les plasmas par les collisions individuelles ?). Master de Physique Fondamentale – M1 2013-2014 1 – Introduction aux plasmas – Outils physiques La diversité des plasmas conduit à plusieurs approches possibles : Description cinétique à partir d’une distribution de particules Cette description se base sur la définition de la fonction de distribution à une particule f(r,v,t) : Nombre dN de particules se trouvant dans le volume d v au voisinage de v et dans le volume d r au voisinage de r : dN = f ( r , v , t )d rdv Possible sur une échelle de temps plus grande que le temps entre deux interactions d’une même particule (libre parcours moyen / vitesse moyenne). Possible si les corrélations entre particules ne sont pas fortes (plasmas non corrélés). Master de Physique Fondamentale – M1 2013-2014 1 – Introduction aux plasmas – Outils physiques La diversité des plasmas conduit à plusieurs approches possibles : Description cinétique à partir d’une distribution de particules La fonction de distribution vérifie l’équation de Vlasov : ( ) ( ) ∂f s q ∂f + v s ⋅ grad r (f s ) + s E + v s ⊗ B ⋅ grad v f s = s ∂t ms ∂t coll = 0 si stationnaire Terme convectif Terme source Le calcul des différents moments de la distribution fs permet d’obtenir la densité de particules, la vitesse moyenne, la pression cinétique, … Le calcul des moments de l’équation de Vlasov permet de retrouver les équations de la description fluide (continuité, Euler, …). Master de Physique Fondamentale – M1 2013-2014 1 – Introduction aux plasmas – Outils physiques La diversité des plasmas conduit à plusieurs approches possibles : Description cinétique à partir d’une distribution de particules A l’équilibre thermodynamique et en présence d’un unique champ électrique, on tend vers une distribution de Maxwell-Boltzmann locale: − qsφ ( r ) ms ⋅ fs ( r ,v ) = ns ( r )fs ( v ) = n0 exp kTs 2πkTs Distribution de la densité 3 2 − m v 2 s s exp 2kTs Distribution des vitesses Permet de décrire le comportement des gaz faiblement ionisés en tenant compte des collisions binaires (décharges, ionosphère, flammes, …). Permet de décrire la nature des interactions entre une onde et un plasma. Master de Physique Fondamentale – M1 2013-2014 Physique des plasmas Plan du cours 1 - Introduction aux plasmas 2 - Trajectoires de particules sous champs uniformes Mouvement cyclotron, diamagnétisme, dérive électrique 3 - Dérives magnétiques et confinement d’un plasma 4 - Comportements collectifs dans les plasmas 5 – Collisions, transport et ionisation dans les plasmas 6 – Application aux plasmas faiblement ionisés 7 - Structuration des plasmas au voisinage de parois 8 - Interaction ondes - plasma 9 - Magnétohydrodynamique (MHD) Master de Physique Fondamentale – M1 2013-2014 2 – Trajectoires de particules sous champs uniformes Lorsque la densité d’un plasma est assez faible, les interactions entre particules peuvent être négligées et le mouvement des ions et des électrons est alors uniquement déterminé par le champ électromagnétique régnant dans le plasma. Si un champ électrique alternatif de pulsation ω est appliqué, les collisions entre particules seront négligées si : ω >> ν collisions Si un champ magnétique uniforme est appliqué, les collisions entre particules seront négligées si : Ωcs >> ν collisions Ωcs est la pulsation cyclotronique de l’espèce ‘s’. Dans ces conditions, l’étude du plasma se ramène à l’étude des trajectoires des espèces par la résolution de l’équation fondamentale de la dynamique : ms [( ) ( )] dv s = qs E r ,t +v s ⊗ B r ,t dt E et B sont des champs d’origine extérieure Master de Physique Fondamentale – M1 2013-2014 2 – Trajectoires de particules Mouvement cyclotronique dans un champ magnétique statique et uniforme En absence de champ électrique et soumise à un champ magnétique uniforme et constant, une particule a un mouvement hélicoïdal autour des lignes de champ. L’équation de la dynamique se simplifie en : B = Buz ms dv s = q sv s ⊗ B dt v s ( t ) = V lls u z +V ⊥s cos (Ωcs t )u x −V ⊥s sin (Ωcs t )u y Translation uniforme le long des lignes de champ V lls et V ⊥s sont déterminées par les Rotation uniforme autour des lignes de champ Pulsation cyclotronique conditions initiales et permettent de traduire l’agitation thermique des particules. (f ce [GHz ] = 28 B [T ]) Ωcs = qsB ms Master de Physique Fondamentale – M1 2013-2014 2 – Trajectoires de particules – Mouvement cyclotronique La position de la particule dans l’espace est obtenue par intégration : r ( t ) = r0 +Vll t u z + ρLs sin (Ωcs t )u x + ρLs cos (Ωcs t )u y Centre guide Rayon de l’orbite cyclotronique Rayon de Larmor Wce ( eV ) ρLe [cm ] = 2.75 B [G ] ρLs = V ⊥s Ωcs L’énergie cinétique perpendiculaire de la particule considérée est constante au cours mouvement (force de Lorentz perpendiculaire à la vitesse) : Wcs = 1 msv ⊥2s = cste 2 Master de Physique Fondamentale – M1 2013-2014 2 – Trajectoires de particules – Mouvement cyclotronique Moment magnétique orbitale Une grandeur fondamentale du mouvement cyclotronique d’une particule est son moment magnétique orbitale µs. Il caractérise le courant généré par la rotation de la particule. µs = ( ) 1 W ρLs ⊗ q s v ⊥s = − cs u z 2 B (µ = surface x courant de la spire = πρ 2 L I) µs est une constante du mouvement. µi Centres guide µs est de sens opposé au champ magnétique qui l’a créé. On dit que le plasma est un milieu diamagnétique qui a tendance à rejeter les flux magnétiques. Une population de particules chargées est magnétisée lorsque les échelles de temps et de longueur des processus étudiés sont plus grandes que la période cyclotronique Ωc et le rayon de Larmor ρL. Master de Physique Fondamentale – M1 2013-2014 2 – Trajectoires de particules – Moment magnétique Un plasma crée donc par l’intermédiaire de l’ensemble des moments magnétiques orbitaux de chaque particule qui le constitue sa propre aimantation macroscopique M : M = ∑ e ,i ns µs = − ∑ e ,i nsWcs uz B En prenant pour Wcs la valeur de l’énergie thermique moyenne (kT) et en considérant que Te = Ti = T : M =− nkT u B z Cette aimantation donne naissance, dans les régions présentant des gradients comme aux bords d’un plasma, à un courant JM de magnétisation : J M = rot M ( rot B = µ0 J + J M ) B = B0 + µ0 M (B0 : champ magnétique en l’absence de plasma) Master de Physique Fondamentale – M1 2013-2014 2 – Trajectoires de particules – Moment magnétique On introduit le paramètre β= nkT conduisant à : B = B0 (1 + β 2 ) < B0 2 B 2 µ0 β est le rapport de la pression cinétique sur la pression magnétique : β << 1 : le diamagnétisme du plasma est négligeable β ≈ 1 : diamagnétisme important β décrit l’équilibre d’un plasma borné et confiné par un champ magnétique. Plus l’énergie thermique d’un plasma est grande, plus il a tendance à rejeter le champ magnétique et plus il est difficile de le confiner. Un champ magnétique permet un confinement transversal d’un plasma (limité par son diamagnétisme) mais n’assure pas un confinement longitudinal (solutions : ligne de champ fermée ou miroir magnétique). Master de Physique Fondamentale – M1 2013-2014 2 – Trajectoires de particules Dérive électrique sous champs électrique et magnétique uniformes et constants On considère la situation un peu plus générale où se superpose au champ magnétique B un champ électrique E uniforme. Le champ électrique E est décomposé selon une composante Ell longitudinale selon B et une composante E⊥ transversale à B. ⊥ E ll E⊥ vde ⊥ ms ( dv s = qs E +v s ⊗ B dt ) q E v s ( t ) = V lls + s E ll t u z +V ⊥s cos (Ωcs t )u x −V ⊥s sin (Ωcs t )u y − ⊥ u y ms B Accélération longitudinale Dérive transversale Master de Physique Fondamentale – M1 2013-2014 2 – Trajectoires de particules - Dérives électriques L’ajout d’un champ électrique quelconque induit une vitesse de dérive Vde constante selon une direction perpendiculaire⊥à B et à E . Vde = − E⊥ E ⊗B uy = B B2 Vitesse de dérive électrique La dérive électrique conduit à un mouvement cycloïde des charges et son sens est indépendant de leur signe. Dérives produite par un champ de gravité : Vdgs = ms g ⊗ B qs B 2 ms m dv s = q s s g + v s ⊗ B dt qs Vdgi Vde Master de Physique Fondamentale – M1 2013-2014 2 – Trajectoires de particules Dérive de polarisation sous champ électrique lentement variable Si le champ électrique varie lentement sur une période cyclotronique Ωcs , on peut considérer qu’à chaque instant la vitesse de dérive perpendiculaire à E et B s’écrit : v de (t ) ≈ E (t ) ⊗ B B2 La réécriture du principe fondamentale fait apparaître une force d’entraînement liée à la variation temporelle de vde : m d v de d v ⊥s ms = qs − s + v ⊥s ⊗ B q dt dt s Cela met en évidence une dérive de polarisation VP selon la direction du champ E et dépendante du signe de la charge : VP = − m s d v de B m d E dt ⊗ 2 = s q s dt B qs B 2 Master de Physique Fondamentale – M1 2013-2014 Physique des plasmas Plan du cours 1 - Introduction aux plasmas 2 - Trajectoires de particules sous champs uniformes 3 - Dérives magnétiques et confinement d’un plasma Hypothèses d’adiabaticité, force diamagnétique, miroir magnétique, dérives de gradient et de courbure 4 - Comportements collectifs dans les plasmas 5 – Collisions, transport et ionisation dans les plasmas 6 – Application aux plasmas faiblement ionisés 7 - Structuration des plasmas au voisinage de parois 8 - Interaction ondes - plasma 9 - Magnétohydrodynamique (MHD) Master de Physique Fondamentale – M1 2013-2014 3 – Dérives et confinement magnétiques d’un plasma Lorsqu’un plasma est soumis à un champ magnétique et que ce champ est susceptible de varier dans le temps et dans l’espace, le mouvement des particules chargées s’accompagne de dérives magnétiques. ms dv s = q sv s ⊗ B ( r , t ) dt Dans les plasmas dits magnétisés, les rayons de Larmor des particules restent très inférieurs aux dimensions caractéristiques : ρLs << L Les plasmas ont un comportement diamagnétique en créant, par le mouvement des charges, des champs propres s’opposant aux champs appliqués. Le confinement spatial d’un plasma et le piégeage de particules chargées peuvent se faire grâce à une structuration des lignes de champ magnétique mais cela implique en général des mouvements de dérive. Structure linéaire de miroir magnétique Structure torique de Tokamak Structure complexe de Stellerator Master de Physique Fondamentale – M1 2013-2014 3 – Dérives et confinement magnétique d’un plasma Hypothèses d’adiabaticité du champ magnétique Afin de pouvoir résoudre analytiquement l’équation différentielle du mouvement d’une particule chargée dans un champ magnétique variable, il est nécessaire de supposer que ces variations, spatiales et temporelles, sont lentes : Lorsque le champ magnétique B(t) varie lentement devant l’échelle de temps d’une rotation cyclotronique, on peut écrire : ∂B << Ωcs B ∂t Hypothèse d’adiabaticité temporelle Lorsque le champ magnétique B(r) varie peu devant l’échelle spatiale d’une rotation cyclotronique, on peut écrire : ∂B B << ∂r ρLs Hypothèse d’adiabaticité spatiale Master de Physique Fondamentale – M1 2013-2014 3 – Dérives et confinement d’un plasma – Invariant adiabatique Dans l’hypothèse d’adiabaticité temporelle, le moment magnétique orbital µs d’une particule chargée reste constant. On parle d’invariant adiabatique. Lorsque le champ magnétique varie, un champ électrique d’induction se crée et agit sur l’orbite des particules : rot E ind = − ∂B ∂t Le travail de la force électrique d’induction agissant sur une particule est égale à la variation de son énergie cinétique calculée sur une trajectoire non modifiée : 2 mV 1 δ msV ⊥2s = q s E ind ⋅ d r = s ⊥s δB = µs δB 2B 2 orbite ∫ µs = Wcs = cste B δB est la variation du champ magnétique sur une période cyclotronique (δB << B) L’augmentation du champ magnétique induit donc une augmentation de la vitesse cyclotronique et donc un chauffage anisotrope du plasma. Master de Physique Fondamentale – M1 2013-2014 3 – Dérives et confinement magnétique d’un plasma Compression magnétique d’un plasma La constance de µs correspond à celle du flux magnétique Φ canalisé par le tube de force sur lequel est tracée l’orbite de la particule. q s2 q s2 2 ( BρLs ) = µs = Φ 2 ms 2 ms Φ = cste Le champ électrique d’induction induit une vitesse radiale de dérive électrique qui force la particule à canaliser un même flux magnétique. E ind B2 > B1 ρLs2 < ρLs2 ρLs1 B B1 Lorsque le champ magnétique varie lentement, le plasma suit les lignes de champ dans leur déplacement. On parle de gel du plasma dans le champ B. Dans l’hypothèse d’une compression magnétique adiabatique (augmentation lente du champ dans le temps), un plasma est à la fois comprimé et chauffé. Master de Physique Fondamentale – M1 2013-2014 3 – Dérives et confinement d’un plasma Force diamagnétique L’invariance du moment magnétique orbital µs se vérifie également dans l’hypothèse d’adiabaticité spatiale. d ds ∂B 1 2 = µ m V s ⊥s s ∂s 2 s est l’abscisse curviligne du centre guide Dans un champ statique (Eind = 0), l’énergie totale de la particule se conserve : ∂B 1 msV lls2 = −µs ds ∂s 2 d La variation du champ magnétique B le long d’une ligne de champ engendre une force longitudinale agissant sur la particule. C’est la force diamagnétique : F ll = −µs ∂B u ll ∂s Master de Physique Fondamentale – M1 2013-2014 3 – Dérives et confinement d’un plasma – Force diamagnétique Une particule chargée est repoussée des zones de champ fort par une force indépendante de sa charge. En entrant dans une zone de champ croissant, son énergie longitudinale diminue au profit de son énergie transversale. Cet effet est utilisé pour confiner un plasma dans une structure de miroirs magnétiques : miroir magnétique Les particules dont la vitesse v0 est écartée de B0 d’un angle supérieur à θ0m seront réfléchies par le miroir : sin θ0 m = B0 B max B0 est le champ dans une section initiale et Bmax est le champ maximal au col du miroir Cette configuration de miroirs magnétiques a été une des premières solutions envisagées pour confiner un plasma de fusion thermonucléaire, mais a été rapidement abandonnée en raison des instabilités qu’elle génère. Master de Physique Fondamentale – M1 2013-2014 3 – Dérives et confinement d’un plasma – Force diamagnétique La structuration dipolaire du champ magnétique terrestre induit un effet miroir sur les particules présentes dans la magnétosphère. Dans le plan équatorial, sont induites également des dérives de champ magnétique. Master de Physique Fondamentale – M1 2013-2014 3 – Dérives et confinement d’un plasma Dérives magnétiques Lorsque le centre guide suit une ligne de champ courbée ou lorsque le champ magnétique possède un gradient transverse à sa direction, des dérives magnétiques s’ajoutent au mouvement de la particule. Dérive de courbure : La force d’inertie centrifuge Fic induite par la rotation génère une vitesse de dérive de type (Fic x B) / B2qs msVlls2 un F ic = R VDC J.M. Rax 2005 Dunod Vll2 = ⋅ u n ⊗ ut Ωcs R R : rayon de courbure de la trajectoire un : vecteur normal dans un repère de Frenet Cette dérive est de sens contraire pour les électrons et les ions et beaucoup plus importante pour les ions Master de Physique Fondamentale – M1 2013-2014 3 – Dérives et confinement d’un plasma – Dérives magnétiques Dérive de gradient : Le passage d’une particule dans une zone de champ variable induit une légère modification du rayon de Larmor, non compensée et s’accumulant tout au long du mouvement. Calcul de la vitesse de dérive pour un gradient de champ selon une direction Oy : Expression du champ magnétique : Hypothèse d’adiabaticité : B = B ( y )u z B ( y ) = B0 + y ∂B ∂y y ≤ ρLs << B0 (∂B ∂y ) ≈ L Mise en équation du mouvement : • • •• ρLs 1 ∂B x y 1 y y V cos (ΩCS t ) sin (ΩCS t ) = Ω + = Ω − Ω cs cs cs ⊥ S B0 ∂y L y•• = −Ω x• 1 + y 1 ∂B = −Ω x• − Ω V ρLs cos 2 (Ω t ) cs cs cs cs ⊥s B y L ∂ 0 Master de Physique Fondamentale – M1 2013-2014 3 – Dérives et confinement d’un plasma – Dérives magnétiques Les équations obtenues au premier ordre en ρLs/L mettent en évidence l’existence d’une force moyenne selon la direction de variation de B, induisant une vitesse de dérive : •• V ⊥s = Vcs +V DG < F x > = < ms x > = 0 •• ρ < F y > u y ⊗ B0 < F y > = < ms y >= −ms ΩcsV ⊥s Ls V V = < > = ⊥s DG 2L q B2 s VDG = VDG 2 Ωcs ρLs B ⊗ ∇ ⋅B 2 B2 La dérive de gradient est aussi dépendante du signe de la charge ∇⋅B ∇ ⋅B = 0 ∂B ∂B ∂B ux + uy + uz ∂x ∂y ∂z Master de Physique Fondamentale – M1 2013-2014 3 – Dérives et confinement d’un plasma – Dérives magnétiques Les équations obtenues au premier ordre en ρLs/L mettent en évidence l’existence d’une force moyenne selon la direction de variation de B, induisant une vitesse de dérive : La structure torique d’un plasma de fusion de type Tokamak induit des dérives magnétiques de gradient et de courbure induisant un courant de particules dirigé vers le bas (pour les particules positives). Le « divertor » a pour but de contrôler ce flux de particules Master de Physique Fondamentale – M1 2013-2014 3 – Dérives et confinement d’un plasma – Dérives magnétiques Les courants induits par les dérives de courbure et de gradient génèrent leur propre champ magnétique et induisent des oscillations et des instabilités en régime basse fréquence. Un bilan sur ces courants, incluant le courant d’aimantation déjà calculé, donne le courant diamagnétique JDM total circulant dans un plasma confiné : J DM = J DC + J DG + J M J DC = ne q eVDCe + ni q iVDCi = 1 P ( ne meV lle2 + ni miVlli2 ) ⋅ u n ⊗ u t = u ⊗ ut BR BR n J DG = ne q eVDGe + ni q iVDGi = 1 u ⊗ ∇ ⋅B P ( ne meV ⊥2e + ni miV ⊥2i ) ⋅ t 2 = 2 ⋅ ut ⊗ ∇ ⋅ B 2 B B P ut B J M = rot M = rot − ( J DM = − ) grad P ⊗ ut B Master de Physique Fondamentale – M1 2013-2014 Physique des plasmas Plan du cours 1 - Introduction aux plasmas 2 - Trajectoires de particules sous champs uniformes 3 - Dérives magnétiques et confinement d’un plasma 4 - Comportements collectifs dans les plasmas Réponse à une perturbation, écrantage électrique et magnétique, fréquence plasma, longueur de Debye 5 – Collisions, transport et ionisation dans les plasmas 6 – Application aux plasmas faiblement ionisés 7 - Structuration des plasmas au voisinage de parois 8 - Interaction ondes - plasma 9 - Magnétohydrodynamique (MHD) Master de Physique Fondamentale – M1 2013-2014 4 – Comportements collectifs dans les plasmas Les mécanismes collectifs sont des mouvements de réorganisation des charges, des phénomènes d’écrantage ou des phénomènes de propagation induits par la portée de l’interaction coulombienne. Les interactions lointaines entre particules chargées sont supposées dominantes devant les interactions proches (collisions binaires). Les mécanismes collectifs pilotent en général le comportement des gaz fortement ionisés (plasmas spatiaux suffisamment denses). La prise en compte de ces mécanismes induit en général une description fluide du plasma. L’étude de ces mouvements d’ensemble permet de définir des échelles temporelles et spatiales caractéristiques : Pulsation plasma électronique ωp Longueur de Debye électronique λD Master de Physique Fondamentale – M1 2013-2014 4 – Comportements collectifs dans les plasmas Réponse d’un plasma à une perturbation électronique J.M. Rax 2005 Dunod ∂ 2 ξ (x 0 , t ) + ωp2 ξ (x 0 , t ) = 0 2 ∂t ξ (x 0 , t ) = ξ0 ( x 0 ) cos [ωpt + θ0 ( x 0 ) ] Fréquence plasma (Hz) ω 1 fp = p = 2π 2π ne 0 e 2 = 9 ⋅ 10 3 ne (cm −3 ) ε0 me L’inverse de la pulsation plasma correspond au temps caractéristique de retour à l’équilibre (neutralité) d’un plasma soumis à une perturbation d’origine électrique. Master de Physique Fondamentale – M1 2013-2014 4 – Comportements collectifs – Réponse à une perturbation électrique Sur une échelle de temps T donnée, la fréquence plasma électronique fp permet de faire des hypothèses sur le comportement du plasma. En particulier, si T >> 1/ fp : Le plasma peut être supposé neutre (pas de séparation macroscopique de charges). La population électronique peut être supposée relaxée (équilibre de Boltzmann). La comparaison de la fréquence plasma fp avec la fréquence propre f d’une perturbation externe au plasma permet de distinguer deux types de comportement : Si f ≈ fp, la dynamique est dominée par les mécanismes collectifs. On utilise alors une description fluide ou cinétique de type Vlasov. Si f ≈ νei<< fp, la prise en compte des collisions individuelles est souvent nécessaire. On utilise alors une description cinétique de type Fokker-Planck. Master de Physique Fondamentale – M1 2013-2014 4 – Comportements collectifs dans les plasmas Phénomènes d’écrantage électrique dans un plasma La neutralité d’un plasma est un paramètre macroscopique moyen. La question reste de savoir en deçà de quelle échelle cette électro-neutralité n’est plus vérifiée. On étudie la répartition d’électrons en équilibre thermodynamique à la température Te autour d’un ion positif localisé dans le plasma. ne0 : densité moyenne d’électrons dans le plasma ni0 : densité uniforme d’ ions Ion positif (Ze) ne(r) r Accumulation d’électrons au voisinage de l’ion ne(r) : densité d’électrons au voisinage de l’ion Φ(r) : potentiel électrostatique autour de l’ion Les électrons sont attirés par l’ion sous l’effet du potentiel Φ(r) en même temps que leur agitation thermique les pousse à la désorganisation. Il en résulte un équilibre. Master de Physique Fondamentale – M1 2013-2014 4 – Comportements collectifs – Écrantage électrique Mise en équation du problème et hypothèses simplificatrices : Neutralité moyenne : e ⋅ ne 0 − Ze ⋅ ni 0 = 0 Équation de Poisson : ∆Φ (r ) = 1 d 2 dΦ r r 2 dr dr Équilibre de Boltzmann pour les électrons : Hypothèses : e ⋅ ne (r ) − Ze ⋅ n i (r ) = ε0 eΦ (r ) kT e ne (r ) = ne 0 ⋅ exp Les ions sont infiniment lourds et restent répartis selon une distribution homogène : ni(r) = ni0 L’agitation thermique domine l’énergie potentielle coulombienne (faibles perturbations) : eΦ (r ) eΦ (r ) ≈ 1 + kT e kT e exp Master de Physique Fondamentale – M1 2013-2014 4 – Comportements collectifs – Écrantage électrique Conditions limites et résultats de calculs : Conditions limites : Solutions : Longueur de Debye (m) Φ (r ) → 0 quand r → ∞ Φ (r ) = −r Ze exp 4 πε 0 r λD ε kT λD ≡ 0 2 e e ne Φ (r ) → Ze quand r → 0 4 πε 0 r ne (r ) = ne 0 ⋅ 1 + Z Longueur de Landau (m) − r r0 exp r λD e2 r0 = 4 πε 0 kT e La longueur de Debye caractérise l’écrantage électrique. C’est l’échelle spatiale au-delà de laquelle le champ de l’ion est écranté et l’ hypothèse de quasineutralité vérifiée. Master de Physique Fondamentale – M1 2013-2014 4 – Comportements collectifs – Écrantage électrique Discussion autour des hypothèses : Si l’on tient compte de la distribution des ions en équilibre à la température Ti =Te : ni(r)= ni0 → − Ze ⋅ Φ (r ) ni (r ) = ni 0 exp kT e λs = λD 1 +Z L’hypothèse faite sur l’agitation thermique est équivalente à une condition sur le paramètre plasma Λ : eΦ / kTe << 1 → −r r0 << 1 exp λ r D λD = 4 πΛ = 4 πne λD3 >> 1 r0 → Pour r ≈ λD, r0 << 1 λD L’écrantage n’est donc valable que si le nombre d’électrons dans la sphère de Debye est très grand. On retrouve la définition des plasmas cinétiques idéaux. Master de Physique Fondamentale – M1 2013-2014 4 – Comportements collectifs – Écrantage électrique La répartition naturelle des charges dans un plasma selon un mécanisme collectif d’écrantage est similaire à celle obtenue lorsqu’une rupture de neutralité est imposée localement dans un plasma : Réorganisation des charges au voisinage d’une surface (diélectrique ou métallique) pour en écranter l’effet sur des distances de l’ordre de λD. Existence de zones de plasma non neutres au voisinage de ces surfaces, appelées « gaines ». La longueur de Debye doit être également comparée aux dimensions caractéristiques du plasma étudié, ainsi qu’au libre parcours moyen des particules. Pour les plasmas cinétiques idéaux : Plasma collisionnel de << λD <<λmp << L de : distance moyenne entre électrons L : dimension caractéristique du plasma λmp : libre parcours moyen d’un électron Electroneutralité globale du plasma Mouvements collectifs et approximation des gaz parfaits Master de Physique Fondamentale – M1 2013-2014 4 – Comportements collectifs – Écrantage électrique Ordres de grandeur des échelles caractéristiques de (m) 10-2 10-6 5 x 10-3 10-4 2.10-7 2.10-7 5 x 10-10 Le libre parcours moyen d’un électron dans un gaz fortement ionisé est imposé par les collisions électrons / ions : λ pm ≈ 744 ⋅ Te2 (K ) ( ne cm − 3 ) L’inégalité λD << λpm est vérifiée sans problème Master de Physique Fondamentale – M1 2013-2014 4 – Comportements collectifs dans les plasmas Phénomènes d’écrantage magnétique dans un plasma De la même façon, un plasma peut être caractérisé par rapport à sa réponse à une perturbation magnétique. Sous l’influence d’un champ magnétique, les charges vont s’organiser en courants cherchant à s’opposer à ce champ. La force responsable de ces mouvements est la force électromotrice d’induction. Variations temporelles d’un champ magnétique B0 selon Oz. Champ électrique d’induction E selon Oy. Entraînement des électrons dans un courant selon Oy. Création d’un champ magnétique opposé à B0. J.M. Rax 2005 Dunod Master de Physique Fondamentale – M1 2013-2014 4 – Comportements collectifs – Écrantage magnétique Mise en équation du problème et hypothèses simplificatrices : ∂B ∂t Équation de Maxwell-Faraday : rot E = − Équation de Maxwell-Ampère : rot B = µ0 J = − µ0ene ve dve = −e E dt 2 ∂ 2 E ωp = E L’ensemble de ces trois équations conduit à l’équation : 2 ∂x c Équation fondamentale de la dynamique : − ωp ⋅ x c E (x , t ) = E (0 , t ) ⋅ exp Hypothèses : me − ωp ⋅ x c B (x , t ) = B0 (t ) ⋅ exp Les ions sont infiniment lourds et restent répartis selon une distribution homogène ni0 = ne On néglige le courant de déplacement et la force de Lorentz Master de Physique Fondamentale – M1 2013-2014 4 – Comportements collectifs – Écrantage magnétique Résultats de calculs et conclusion : La réponse du plasma à l’excitation magnétique se caractérise par une longueur caractéristique de London λp. C’est l’échelle spatiale au-delà de laquelle le champ magnétique est écranté dans le plasma. J.M. Rax 2005 Dunod λp = c ε0 me c = ne e 2 ωp Longueur de London (m) c : vitesse la lumière dans le vide x λ p B (x , t ) = B0 (t )exp − Dans le cadre de la magnétohydrodynamique, cette caractéristique magnétique constituera le théorème du gel d’Alfvén. Master de Physique Fondamentale – M1 2013-2014 Physique des plasmas Plan du cours 1 - Introduction aux plasmas 2 - Trajectoires de particules sous champs uniformes 3 - Dérives magnétiques et confinement d’un plasma 4 - Comportements collectifs dans les plasmas 5 – Collisions, transport et ionisation dans les plasmas Sections efficaces de collision, libre parcours moyen, Fréquences de collision, coefficients de transport et d’ionisation 6 – Application aux plasmas faiblement ionisés 7 - Structuration des plasmas au voisinage de parois 8 - Interaction ondes - plasma 9 - Magnétohydrodynamique (MHD) Master de Physique Fondamentale – M1 2013-2014 5 – Collisions, transport et ionisation dans les plasmas La dynamique d’un plasma peut également être contrainte par des interactions binaires entre particules, ou collisions, en opposition aux interactions collectives. Ces collisions peuvent être élastiques (transferts d’impulsion et d’énergie) ou inélastiques (réactions atomiques, moléculaires ou nucléaires). Les interactions entre électrons (ou ions) et neutres font partie de ces collisions binaires et sont prédominantes dans les gaz faiblement ionisés. L’intégration des collisions binaires entre particules chargées sur la sphère de Debye permet de retrouver les propriétés des interactions collectives. L’étude de ces interactions binaires entre particules permet de définir des échelles spatiales et temporelles caractéristiques : Libre parcours moyen λpm Fréquence de collision νss Ces deux grandeurs sont définies à partir de probabilités de collision appelées sections efficaces de collision. Master de Physique Fondamentale – M1 2013-2014 5 – Collisions, transport et ionisation dans les plasmas Sections efficaces de collision et de diffusion Les sections efficaces de collision permettent d’évaluer la probabilité d’interaction entre un flux de particules projectiles et une densité de particules cibles. Exemple d’un modèle projectile – cible : Nombre de réactions par unité de temps et de volume (m-3.s-1) A+B→C+D Densité de particules cibles (m-3) dn A = −σ (n Av A ⋅ n B ) dt Section efficace (m2) Flux de particules incidentes (m-2.s-1) J.M. Rax 2005 Dunod Master de Physique Fondamentale – M1 2013-2014 5 – Collisions, transport et ionisation – Sections efficaces Cette définition de la section efficace σ se généralise en prenant en compte les différentes voies de sortie de la réaction (énergie, direction,…) Section efficace différentielle de réaction selon l’énergie ε : A + B → C(ε) + D d 2 nC ( ε ) dσ (n v ⋅ n ) = dt ⋅ dε dε A A B σ totale = ∫ ε dσ ⋅dε d ε Section efficace différentielle de diffusion selon deux angles θ et ϕ : A + B → A(θ,ϕ) + B dΩ = sin θdθdϕ θ d 2 n A ( θ ,ϕ ) d σ = (n Av A ⋅ nB ) dt ⋅ dΩ dΩ J.M. Rax 2005 Dunod Master de Physique Fondamentale – M1 2013-2014 5 – Collisions, transport et ionisation – Sections efficaces Une autre façon de définir la section efficace différentielle de diffusion est d’introduire J.M. Rax 2005 Dunod le paramètre d’impact b : dσ bdb = dΩ sin θdθ Calcul possible si on connaît les variations de l’angle de déviation θ en fonction du paramètre d’impact b. Toutes les particules diffusées par une particule cible dans un angle solide dΩ sont celles qui, dans le faisceau incident, ont un paramètre d’impact compris entre b et b+db Master de Physique Fondamentale – M1 2013-2014 5 – Collisions, transport et ionisation – Sections efficaces Cas des collisions élastiques (diffusion) : Diffusion isotrope pour les collisions électrons - neutres ou ions - neutres On utilise en première approximation le modèle géométrique de diffusion isotrope par une sphère dure : σ0 ( v ) = 2 π ∫ dσ ( v , θ ) sin θdθ = πa 2 dΩ J.M. Rax 2005 Dunod Ce modèle de diffusion permet d’avoir une bonne estimation de σ0 pour des énergies supérieures à 10 eV et, dans ce cas, a est de l’ordre de grandeur du rayon de Bohr a0. σ 0 ( v ) ≈ σ B = πa02 ≈ 10 −16 cm 2 Master de Physique Fondamentale – M1 2013-2014 5 – Collisions, transport et ionisation – Sections efficaces Les ions, atomes et molécules sont impliqués dans de nombreuses autres réactions : Collisions élastiques Existence de seuils de réaction nécessaire à la modification de l’énergie interne des espèces Processus Réaction Section efficace Diffusion isotrope e-(v) + A → A + e-(θ,ϕ) σ0 ≈ 10-16 cm2 Diffusion Rutherford e-(v) + A+ → A+ + e-(θ,ϕ) σ1 (v ) ∝ ln Λ v4 e-(v) + A → A+ + 2eExemple de collisions inélastiques E E2 σ I (ε ) ∝ I − 2I ε ε Ionisation par impact électronique Différents états d’excitation pour les atomes et les molécules (électronique, vibrationnel et rotationnel) e-(v) + A → A* + e- E e / E v / E r ≈ 1 / m M / (m M ) Excitation par impact électronique Dans les plasmas faiblement ionisés, les collisions inélastiques sont responsables d’une très forte réactivité chimique. Collisions entre noyaux Echange de charge résonant A + A+ → A+ + A 10-15 cm2 < σec < 10-14 cm2 (hydrogène) Recombinaison dissociative AB+ + e- → A* + B 10-9 cm3.s-1 < Krd < 10-6 cm3.s-1 Réaction de Penning A* + B → e- + A + B+ 10-15 cm2 < σP < 10-14 cm2 (métastables de l’hélium) Réactions de fusion 2 D + 3T → 4He + n 10-30 cm2 < σP < 10-28 cm2 (isotopes de l’hydrogène) Master de Physique Fondamentale – M1 2013-2014 5 – Collisions, transport et ionisation dans les plasmas Libre parcours moyen et fréquences de collision A partir des sections efficaces de collision, on peut définir des grandeurs moyennes, plus pertinentes et plus utilisées en physique des plasmas : 1 Le libre parcours moyen λ est la distance λpm (m ) = moyenne entre deux collisions successives : σ ⋅ nB La fréquence de collision ν est l’inverse du temps moyenné τ entre deux collisions successives : nB : densité de particules cibles V : vitesse relative entre particules incidentes et cibles ν ( Hz ) = 1 τ = σ ⋅ nBv Si les particules ne sont pas monocinétiques, il faut prendre en considération la fonction de distribution des vitesses f(v) ou de l’énergie f(ε) : Exemple de calcul de la fréquence de collision électron-neutre moyenne : 〈ν e0 〉 = n0 ne ∫ σ 0 ( v ) ⋅ v ⋅ fe0 ( v ) ⋅ d 3v Master de Physique Fondamentale – M1 2013-2014 5 – Collisions - Libre parcours et fréquence de collision Pour un plasma faiblement ionisé, il faut prendre en considération les collisions électrons - neutres : Pour un plasma fortement ionisé, il faut prendre en considération les collisions électrons - ions : λpme = 1 σ B ⋅ n0 ν e 0 = σ B n0v e λpme = 1 σ 1 ( v e ) ⋅ ni ν ei = σ 1 ( v e ) n iv e σ1(ve) désigne la section efficace de diffusion « Rutherford » entre une particule chargée et une espèce neutre. Un plasma sera dit collisionnel si : Pour un plasma faiblement ionisé : λpme << L λpme ≈ 4 mm (P = 1 mbar, T = 300 K) Master de Physique Fondamentale – M1 2013-2014 5 – Collisions, transport et ionisation dans les plasmas Coefficients de transport dans un plasma La théorie du libre parcours moyen permet, à partir de la donnée de λpm et de ν, de construire un ensemble de coefficients décrivant les processus de transport dans les plasmas collisionnels. De = kTe m e νe 0 Coefficient de diffusion : Coefficient de mobilité électrique : Coefficient de conductivité électrique : Di = kTi mi νi 0 µe = − e me νe 0 σe = n e e 2 m e ν e 0 µi = Ze mi νi 0 σi = n i Z 2 e 2 m i ν i 0 Les coefficients de transport interviennent dans l’expression de la vitesse des particules et des densités de flux de matière ou de charge : Expression dite de mobilité-diffusion (sans champ magnétique) grad Ts grad ns v s = µ s E − Ds Ts + ns Master de Physique Fondamentale – M1 2013-2014 5 – Collisions, transport et ionisation – Coefficients de transport Le coefficient de mobilité est considéré comme constant tant que la vitesse engendrée par le champ électrique reste faible devant la vitesse d’agitation thermique des particules. P : pression E σB Ts << T : température des neutres µs E << 2 kT s ms P e T E/P : champ électrique réduit Vs (cm/s) Sous champ faible : v s = µs E avec µs constant Sous champ fort : 14 J.M. Rax 2005 Dunod m vs ≈ 0 ms Zeλ pms E ms La loi d’Ohm n’est plus vérifiée. E/P (V/cm.torr) Master de Physique Fondamentale – M1 2013-2014 5 – Collisions, transport et ionisation dans les plasmas Coefficients d’ionisation Le champ électrique peut être suffisamment fort pour induire un mécanisme d’ionisation par impact électronique. On définit alors le premier coefficient d’ionisation de Townsend α. α traduit l’intensification de l’ionisation sous l’effet d’un champ électrique intense et la génération d’une avalanche électronique : α= nb d ' ionisation par unité de longueur nb d ' électrons N ( x + dx ) = N ( x ) + αNdx dN = αdx = dP N dN = αN dx Probabilité d’avoir une collision ionisante J.M. Rax 2005 Dunod Master de Physique Fondamentale – M1 2013-2014 5 – Collisions, transport et ionisation – Coefficient d’ionisation La théorie du libre parcours moyen permet d’exprimer assez simplement α en fonction du champ électrique et de la pression. A et B sont des constantes dépendantes de la nature du gaz B E P α = AP ⋅ exp − En fonction des valeurs de A et B, ce modèle permet assez bien de décrire les résultats expérimentaux. J.M. Rax 2005 Dunod Master de Physique Fondamentale – M1 2013-2014 Physique des plasmas Plan du cours 1 - Introduction aux plasmas 2 - Trajectoires de particules sous champs uniformes 3 - Dérives magnétiques et confinement d’un plasma 4 - Comportements collectifs dans les plasmas 5 – Collisions, transport et ionisation dans les plasmas 6 – Application aux plasmas faiblement ionisés Modèle de Lorentz, fonction de distribution, diffusion libre ou ambipolaire, décharge électrique, loi de Paschen 7 - Structuration des plasmas au voisinage de parois 8 - Interaction ondes - plasma 9 - Magnétohydrodynamique (MHD) Master de Physique Fondamentale – M1 2013-2014 6 – Application aux plasmas faiblement ionisés Les plasmas faiblement ionisés ont un comportement lié à la fois aux mécanismes collectifs et aux collisions binaires. Les mécanismes collectifs sont traités par une description fluide du plasma : ( ) ∂n s avec Γs = n s Vs + div Γs = Scoll s ∂t ∂ Vs + Vs .grad Vs = n sq s E + Vs ⊗ B − gradPs + Pcoll n s ms ∂t ( )( ) ( ) Les collisions nécessitent idéalement une approche cinétique du plasma mais elles peuvent être prises en compte autrement : Ajout d’un terme de frottement dans l’équation fluide (modèle de Lorentz) Pcoll = − ns ms 〈 νs 〉 Vs Utilisation d’autres relations que Navier-Stokes : J s = qs ns Vs = σs E (exemple) Master de Physique Fondamentale – M1 2013-2014 6 – Application aux plasmas faiblement ionisés – Propriétés La particularité des plasmas faiblement ionisés réside dans l’importance des collisions entre électrons et neutres et dans l’écart entre leur masse respective. Ces plasmas peuvent être « vus » comme une « mer » d’espèces neutres au sein de laquelle évoluent de façon indépendante quelques électrons et ions : n 0 >> n e , n i ν e 0 , ν i 0 >> ν ei , ν ee Pcoll = − n e m e 〈 νe0 〉 Ve Les échanges d’énergie entre électrons et neutres sont très faibles et relativement lents : m 0 , m i >> m e Déséquilibre entre la distribution en vitesse des électrons et celle des ions et de espèces neutres. Fonction de distribution en énergie des espèces neutres supposée maxwellienne (températureT0). Master de Physique Fondamentale – M1 2013-2014 6 – Application aux plasmas faiblement ionisés – Propriétés Fonction de distribution en vitesse des électrons La présence d’un champ électrique ou d’un champ magnétique externe (situation très fréquente) introduit une anisotropie de la fonction de distribution des électrons. La présence d’un champ électrique favorise également la création d’une population d’électrons plus énergétique et une fonction de distribution en vitesse fe0(v) non maxwellienne. fe(v) femaxwellienne(v) fe0(v) Les plasmas faiblement ionisés sont très souvent hors équilibre. v Les collisions électrons – neutres sont beaucoup plus efficaces pour rendre la fonction de distribution fe0(v) des électrons isotrope que pour établir un équilibre d’énergie entre les électrons et les neutres. Temps de relaxation des anisotropies : τe 0 = 1 〈 ν e 0 〉 Temps de relaxation de l’énergie : τTe 0 = m0 τ >> τe0 me e 0 Master de Physique Fondamentale – M1 2013-2014 6 – Application aux plasmas faiblement ionisés – Propriétés Sous l’effet combiné du champ électrique et des collisions, un équilibre s’établit entre le chauffage des électrons par effet Joule et leur refroidissement par collisions (modèle de Lorentz imparfait). v the (T0 ) = 2kT0 me 2 wdw f e 0 (v ) = C exp − 2 2 v the (T0 ) + v E (w ) 0 v ∫ v E (w ) = Vitesse thermique des électrons à la température des neutres 2m0 eE ⋅ 3me me νe0 (w ) Vitesse acquise sous l’effet du champ électrique Formule de Margenau (E continu, B = 0) fe0(v) peut être considéré comme Maxwellienne si le champ E reste très faible ou si la fréquence de collision νe0 reste indépendante de la vitesse des électrons w. De manière générale, fe0(v) reste non maxwellienne et il est difficile d’exprimer la vitesse moyenne ve des électrons et donc leur température Te. Master de Physique Fondamentale – M1 2013-2014 6 – Application aux plasmas faiblement ionisés Équation de mobilité-diffusion En régime statique ou quasi-statique, l’équation de Navier-Stokes conduit à une équation sur la vitesse des électrons de type mobilité-diffusion. Vs = Mobilité ( ) qs kTs E + Vs ⊗ B − ms νs 0 ms νs 0 gradns gradTs + ns T s Diffusion On suppose souvent que la température de l’espèce ‘s’ est uniforme : gradTs = 0 Un nombre important de collisions (<νs0> élevée) permet d’atteindre très vite le régime quasi-statique, ce qui justifie la suppression du terme inertiel. Master de Physique Fondamentale – M1 2013-2014 6 – Application aux plasmas faiblement ionisés Création d’un plasma de décharge électrique J.M. Rax 2005 Dunod Pour créer un plasma faiblement ionisé, une méthode élémentaire est d’appliquer un champ électrique suffisamment intense à un gaz confiné à basse pression entre deux électrodes. Le champ induit de l’ionisation suite aux collisions électrons - neutres, caractérisée par le premier coefficient de Townsend α. Le comportement électrique du plasma dépend fortement du champ électrique et donc de la tension appliquée U entre l’anode et la cathode. Néanmoins, sa caractéristique courant / tension U(I) est universelle. Master de Physique Fondamentale – M1 2013-2014 6 – Application aux plasmas faiblement ionisés – Ionisation Le comportement du plasma à faible courant (phase A) correspond au mécanisme de multiplication électronique décrit par α. Pour de plus forts courants, des effets de charge d’espace s’ajoutent et donnent naissance à la décharge dite luminescente (ex: néon d’éclairage). Pour parler d’auto-entretien de la décharge, il faut introduire le 2ème coefficient de Townsend γ traduisant la régénération de charges à la cathode : Processus d’ionisation primaire (α α) et de créations d’électrons secondaires (γγ) dans un plasma de décharge électrique (créé entre deux électrodes). γ = [nb d' électrons sec ondaires ] [nb d' ions incidents ] Cathode Anode J.M. Rax 2005 Dunod Master de Physique Fondamentale – M1 2013-2014 6 – Application aux plasmas faiblement ionisés – Ionisation La phase de multiplication est un processus auto-entretenu par l’émission secondaire d’électrons à la cathode. Équations de continuité en régime stationnaire pour les ions et les électrons : div J s = q s S coll s Conditions aux limites : dJ e = α ⋅ J e (x ) − eS0 dx dJ i = − α ⋅ J e (x ) + eS0 dx J e (0 ) = γ ⋅ J i (0 ) J i (d ) = 0 L’expression du courant total J dans la décharge montre qu’il existe une condition d’entretien même si la source externe d’électrons (terme eS0) s’annule : ( ( ) ) eS0 (1 + γ ) 1 − e αd J = J i (x ) + J e (x ) = ⋅ α 1 + γ 1 − e αd Condition d’auto-entretien de la décharge : exp (αd ) = 1 + 1 γ Master de Physique Fondamentale – M1 2013-2014 6 – Application aux plasmas faiblement ionisés – Ionisation Loi de Paschen Cette loi, universelle, donne le potentiel minimal à appliquer entre les deux électrodes pour obtenir un plasma de décharge autoentretenu. On parle de potentiel de claquage. Courbe de Paschen : y = x 1 + ln x y =V V * J.M. Rax 2005 Dunod J.M. Rax 2005 Dunod V* est le potentiel de claquage minimum x = Pd Pd * Master de Physique Fondamentale – M1 2013-2014 6 – Application aux plasmas faiblement ionisés Diffusion ambipolaire Dans de nombreux cas, le transport de matière des plasmas faiblement ionisés obéit à une diffusion qualifiée d’ambipolaire, déterminée par le champ ambipolaire créé par la différence de mobilités des ions et des électrons. µe De mi ≈ ≈ µi Di me Les électrons sont plus mobiles et ont tendance à diffuser plus vite que les ions. J.M. Rax 2005 Dunod (pour de faibles valeurs de E/n0) Exemple pour l’hélium µe = 10 4 cm 2V −1 s −1 µi = 10 cm 2V −1 s −1 Master de Physique Fondamentale – M1 2013-2014 6 – Application aux plasmas faiblement ionisés – Diffusion ambipolaire Mise en équation et calcul du coefficient de diffusion ambipolaire (sans champ magnétique) Conservation des espèces : (électrons ou ions) Équation de Maxwell Gauss : Hypothèse de quasi-neutralité: ( ) ∂n s + div Γs = S coll s ∂t div E = avec Γs = n s v s e (ni − ne ) ε0 ne = ni = n Γs = nµs E − D s grad n Il se crée un champ électrique interne Ea tel que les flux de particules soient identiques pour maintenir la quasi-neutralité : ( ) ( ) Ea = Γe E a = Γi E a Le mouvement des charges est équivalent à une diffusion dont le coefficient de diffusion ambipolaire Da peut s’écrire : Da = Di − De grad n µi + µe n T µi De + µe Di ≈ Di 1 + e µi + µe Ti Master de Physique Fondamentale – M1 2013-2014 6 – Application aux plasmas faiblement ionisés Disparition des électrons en volume Lorsque le champ électrique est faible et dans les gaz électronégatifs (O2, air, halogènes,…), les collisions électrons-neutres peuvent induire des ions négatifs par attachement. Le taux d’attachement Sattach s’écrit : νa est défini par la section efficace d’attachement, S attach = −ν a ne pas toujours très bien connue. L’équation de conservation s’écrit : ∂ne ∂t ( ) + div ne ve = − νane Des collisions électrons – ions à faible vitesse peuvent induire des recombinaisons radiatives avec émission de photon. Le taux de recombinaison Srecomb s’écrit : Srecomb = −βne ni = −βne2 β est le coefficient de recombinaison variant entre 10-12 et 10-7 cm3.s-1. L’équation de conservation s’écrit : ∂ne ∂t ( ) + div ne ve = −βne2 Master de Physique Fondamentale – M1 2013-2014 Physique des plasmas Plan du cours 1 - Introduction aux plasmas 2 - Trajectoires de particules sous champs uniformes 3 - Dérives magnétiques et confinement d’un plasma 4 - Comportements collectifs dans les plasmas 5 – Collisions, transport et ionisation dans les plasmas 6 – Application aux plasmas faiblement ionisés 7 - Structuration des plasmas au voisinage de parois Gaine, pré-gaine, critère de Bohm, lois de Child-Langmuir 8 - Interaction ondes - plasma 9 - Magnétohydrodynamique (MHD) Master de Physique Fondamentale – M1 2013-2014 7 – Structuration des plasmas en gaines La quasi-neutralité d’un plasma et le caractère ambipolaire du flux d’espèces ne peuvent pas être maintenus dans tout le volume du plasma et principalement au voisinage de parois. Des gaines non neutres se forment alors de telle sorte à maintenir la quasi-neutralité à l’intérieur du plasma. En raison de leur agitation thermique, les électrons sont captés par la paroi plus vite que les ions (ni > ne). La paroi se charge négativement et le potentiel Φw est écranté sur une distance de l’ordre de λD. Le potentiel Φw est déterminé de telle sorte à égaliser les flux d’électrons et d’ions à la paroi. Master de Physique Fondamentale – M1 2013-2014 7 – Structuration des plasmas en gaines Modèles de description d’une gaine ionique Au voisinage immédiat de la paroi, une gaine peut être décrite selon différents modèles selon que l’on considère les ions en régime inertiel ou collisionnel : Régime inertiel Frontière avec la zone neutre (Φ(0) = 0) Régime collisionnel Paroi (Φ(l) = Φw) J.M. Rax 2005 Dunod Tous ces modèles conduisent aux lois de Child-Langmuir permettant de relier la chute de potentiel Φw et la densité de courant ionique j. Master de Physique Fondamentale – M1 2013-2014 7 – Structuration des plasmas en gaines – Modèles de Child-Langmuir Mise en équation du modèle de gaine inertielle et hypothèses simplificatrices : Conservation de la charge : Équation de Poisson : j = Ze ⋅ ni (x ) ⋅v i (x ) = cste d 2Φ (x ) Ze ⋅ ni (x ) = − dx 2 ε0 Conservation de l’énergie des ions : Hypothèses : 1 miv i2 (x ) + ZeΦ (x ) = cste 2 On néglige la densité électronique ne << ni On néglige les collisions entre électrons et ions (λei ≈ 1 m >> λD pour ni = 1018 m-3 et Te = 5 eV) On suppose que le potentiel et le champ électrique sont nuls à l’entrée de la gaine (dΦ/dx (0) = 0) et que vi(0) = 0. Master de Physique Fondamentale – M1 2013-2014 7 – Structuration des plasmas en gaines – Modèles de Child-Langmuir Résultats de calculs et loi de Child-Langmuir en régime inertiel : Équation différentielle vérifiée par Φ(x) : d 2Φ (x ) j = − ε0 dx 2 mi 2 Ze 1 − Φ (x ) Résolution en tenant compte des conditions limites : 9j Φ (x ) = − x 4 3 4 ε0 mi 2 Ze 2 3 Loi de Child-Langmuir Appliquée en x = l, on peut déduire la chute de potentiel U aux bornes de la gaine : 2 2 3 9l U = j 4 ε0 mi 2 Ze 2 3 Des relations U = f(j) légèrement différentes sont obtenues dans le cadre de modèles collisionnels, montrant que les caractéristiques d’une gaine sont dépendantes de la nature du transport des charges. Master de Physique Fondamentale – M1 2013-2014 7 – Structuration des plasmas en gaines Existence d’une pré-gaine et critère de Bohm Les hypothèses formulées dans les modèles précédents sont à revoir lorsque l’on considère la partie de la gaine proche de la zone de plasma neutre : On ne peut pas négliger la densité électronique ne. La vitesse des ions vi(0) en entrée de gaine ne peut pas être nulle (de même, en théorie, que le potentiel Φ(0)). Au voisinage de la zone de plasma neutre, on peut considérer que les électrons suivent une distribution de Boltzmann et qu’en entrée de la gaine, les ions ont une vitesse vi(0) = V0 : eΦ (x ) kT e ne (x ) = n g exp ni (x ) ⋅v i (x ) = n g ⋅V0 eΦ d 2Φ (x ) en g = exp 2 dx ε0 kT e 2 ZeΦ − Z 1 − miV02 −1 2 Master de Physique Fondamentale – M1 2013-2014 7 – Structuration des plasmas en gaines – Critère de Bohm Cette équation non linéaire peut être résolue en faisant des approximations : On prend Z = 1 On suppose que eΦ << kTe et << miV02 kT e d 2Φ (x ) 2 ≈ λ − 1 D miV02 dx 2 Φ (x ) Φ(x) ne peut pas être une fonction oscillante de x car les espèces seraient piégées dans la gaine ! Cela implique la condition : V0 > C s = kT e mi Critère de Bohm : les ions entrent dans la gaine lorsque leur vitesse dépasse la vitesse acoustique ionique. La description inertielle du plasma neutre à la frontière de la gaine (modèle de Tonks-Langmuir) permet de trouver les valeurs ng de ni(x) et Φg de Φ(x) pour lesquelles vi = V0 : n g = n0 exp (− 1 2 ) Φ g = Φ (0 ) = − kT e 2 e Master de Physique Fondamentale – M1 2013-2014 7 – Structuration des plasmas en gaines Taille de gaine et potentiel flottant L’égalité des flux électronique Γe et ionique Γi au niveau de la paroi permet de trouver la différence de potentiel aux bornes de la gaine (Φw) et la taille de la gaine l. Γi (x ) = ni (x ) ⋅v i (x ) = n g ⋅V0 Γe (x ) = J.M. Rax 2005 Dunod ne v e kT e = n (x ) 4 2 πme e Φw = − kT e mi ln 2 e 2 πme mi l ≈ ln me Φw 3 4 ⋅ λD l pré-gaine Master de Physique Fondamentale – M1 2013-2014