Intrication quantique

Intrication quantique
R´esum´e
Le ph´enom`ene dit intrication est au coeur de la m´ecanique quantique. Il n’existe pas en
m´ecanique classique. L’objet de cette note est de montrer cependant comment un syst`eme phy-
sique d´eterministe peut engendrer une intrication et quelles sont les particularit´es descriptives
du syst`eme physique qui rendent ceci possible. Cette analyse repose en partie sur le principe
d’incertitude de Heisenberg, selon lequel l’´energie d’un syst`eme physique et la date `a laquelle
il poss`ede cette ´energie ne peuvent pas ˆetre d´etermin´es exactement ensemble. Nous pr´esentons
cette analyse en nous servant du vocabulaire, qubits, Qbits et Cbits, usuel en calculs et algo-
rithmes quantiques.
1 Introduction
1.1 Remarque pr´eliminaire
Le vocabulaire scientifique n’est pas sans importance. Certes, Hilbert a pu avancer l’id´ee qu’une
g´eom´etrie dans laquelle le point serait d´esign´e par le mot ”table” et la droite par le mot ”chaise”
pourrait ˆetre tout `a fait satisfaisante au regard d’une construction logique. Cependant, l’imagination
cr´eatrice, dans la constructions d’une science, est aussi indispensable que la logique et elle s’appuie
sur la puissance du vocabulaire.
Le vocabulaire utilis´e en mati`ere de physique quantique (par exemple bra et ket) est parti-
culi`erement faible parce qu’il ne fait pas appel aux vocables du langage qui seraient adapt´es. La
raison en est toute simple. La physique quantique, h´eriti`ere de la physique classique, a repris son
vocabulaire. Or la physique classique repose sur des syst`emes diff´erentiables de caract`eres continus,
tels que des positions ou des impulsions tandis que la physique quantique est domin´e par le quantum
d’action hde Planck, omnipr´esent.
Le calcul num´erique est essentiellement discret, au sens ou il est domin´e par des nombres entiers.
Le concept de ”qubit” est un concept commode bien adapt´e `a la m´ecanique quantique.
1.2 D´efinition des Cbits et des Qbits
Le ”bit” est un nombre qui n’a que deux valeurs, 0 ou 1. Un nombre entier ´ecrit en ”binaire”ou
num´eration de base 2 est une suite de bits juxtapos´es. Soit bjles termes d’une telle suite, j=
1,2, ..., n. On retient en g´en´eral comme valeur du nombre Nd´efini par la suite bj,N=Pn
j=1 bj.2n−j
avec la convention usuelle 20= 1. Les termes de la suite de moindre poids sont donc en queue de
liste. La suite bjest parfois d´esign´ee ”registre”, disons Rn,nrappelant seulement le nombre de
termes de la suite. Un mˆeme nombre peut ˆetre ´ecrit dans divers registres de dimensions ndistinctes
par introduction de bits nuls en tˆete de liste. Un registre est certes un nombre ´ecrit en binaire mais
il peut ˆetre l’image de termes divers ayant un tout autre sens.
Le ”qubit” est l’´etat observable d’un syst`eme physique quantique qui, lorsqu’il est observ´e, on dit
aussi mesur´e, ne prend que deux aspects, l’un caract´eris´e conventionnellement par 0 et l’autre par
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1. Avant mesure, l’´etat, quantique, est dit superpos´e. Tous les syst`emes physiques microscopiques
sont domin´es par le caract`ere discret de leurs ´etats observables, des ´etats quantiques.
Nota : les ´etats superpos´es ne jouent aucun rˆole dans ce qui suit.
Dans le cas d’un syst`eme `a un seul qubit, l’issue de la mesure, 0 ou 1, est la valeur de la variable
al´eatoire de Bernoulli Bayant la loi de probabilit´e d´efinie par P(B= 0) = z,P(B= 1) = 1 −z,
06z61, z nombre r´eel. Soit αet βdeux nombres complexes, dits amplitudes de probabilit´e,
v´erifiant la relation de normalisation α.α∗+β.β∗= 1. La probabilit´e zest le produit α.α∗de α
par sa valeur conjugu´ee α∗,id est le carr´e |α|2du module |α|du nombre complexe α. Les nombres
complexes αet βne jouent aucun rˆole dans ce qui suit.
Nous adoptons la suggestion de D. Mermin [1] de substituer le vocable Qbit au vocable qubit.
Nous retenons le vocable Cbit sugg´er´e ´egalement par Mermin, mais nous lui donnerons un sens
diff´erent. Selon Mermin, le Cbit est un bit classique distinct du bit quantique ou Qbit. (Les lettres
Q et C sont en tˆete, conform´ement `a une longue tradition d´ej`a observ´ee finement par le gaulois
Ast´erix, `a propos des l´egions romaines abordant la Grande Bretagne comme romaines l´egions.)
Nous conservons le vocable bit avec son sens usuel sans le doubler par Cbit.
Nous d´efinissons comme suit le Cbit ou bit horloger : Le Cbit est la variable al´eatoire de Bernoulli,
B, ayant la loi de probabilit´e d´efinie par P(B= 0) = p,P(B= 1) = 1 −p, 0 6p61, p nombre
r´eel. Soit une horloge dont l’extr´emit´e du balancier se d´eplace devant un arc de cercle, ´eventuellement
gradu´e, portant un curseur, situ´e entre les deux points hauts atteints par le balancier, disons l’un `a
gauche, l’autre `a droite du point bas. Soit une date tal´eatoire quelconque. La position du balancier `a
cette date est suppos´ee bien d´etermin´ee selon les lois de la m´ecanique classique. Convenons B= 1 si
cette position est `a droite du curseur, B= 0 si elle est `a gauche. Nous supposons que le cas, o`u cette
position serait sur le curseur, n’existe pas, plus exactement que la probabilit´e que cette position soit
sur le curseur est nulle, parce que le curseur est ponctuel. Choisissons maintenant, au hasard, dans
un intervalle de temps recouvrant un grand nombre de p´eriodes, une date t. Alors le bit horloger
B, calcul´e pour cette date sur la base du mouvement classique, est la variable al´eatoire dite Cbit `a
deux valeurs 0 et 1. En multipliant les curseurs, et les dates tal´eatoires, on peut d´efinir plusieurs
Cbits issus de ce syst`eme physique classique.
Le Cbit ainsi d´efini est issu d’un syst`eme physique, l’horloge, dont le mouvement dit classique,
au sens de conforme `a la m´ecanique classique, est lui mˆeme bien d´efini.
Nous d´esignons le Cbit par bit horloger parce que il n’existe pas de mod`ele quantique d’une
horloge. Le mod`ele dit standard fond´e sur l’´electrodynamique quantique et sur son d´eriv´e, la chro-
modynamique quantique, ignore toute interaction gravitationnelle. Le mod`ele standard est donc
incapable de proposer un mod`ele quantique d’une horloge `a balancier dont le mouvement repose
essentiellement sur la gravitation. Le Qbit est issu en pratique de mod`eles atomiques.
Pour sortir de cette impasse, on pourrait substituer au syst`eme horloger classique le mouvement
d’un point mat´eriel soumis `a une force centrale, par exemple le mouvement d’un ´electron soumis
`a l’attraction ´electrique exerc´ee par un proton, puis substituer au syst`eme horloger quantique hors
d’atteinte aujourd’hui, le syst`eme quantique constitu´e, soit par un atome d’hydrog`ene, soit par un
atome dot´e de plusieurs ´electrons. Le mod`ele classique et le mod`ele quantique se pr´esenteraient
bien comme deux mod`eles d’un mˆeme syst`eme physique. Nous sortons de l’impasse par une toute
autre voie, une voie qui ´elimine toute interaction gravitationnelle dans le syst`eme physique horloger
classique.
Le Qbit isol´e est identique `a un Cbit mais nQbits juxtapos´es, n > 1, ne sont pas identiques
`a nCbits juxtapos´es, en raison de certaines corr´elations possibles entre Qbits. Un jeu de plusieurs
Qbits peut ˆetre intriqu´e. (C’est le terme propos´e par Schr¨odinger, on dit aujourd’hui Entanglement
en anglais). L’intrication est un aspect important de la m´ecanique quantique.
Un jeu de deux Qbits est l’image d’un syst`eme physique quantique `a quatre ´etats observables,
que nous notons 0·0, 0·1, 1·0 et 1·1 par juxtaposition des valeurs des deux Qbits. Cependant, les
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probabilit´es d’obtenir lors d’une observation, dite aussi ”mesure”, chacun de ces ´etats ne sont pas
p1.p2,p1.(1−p2), (1−p1).p2, (1−p1).(1−p2) qui seraient celles d’obtenir ces ´etats par l’observation
de deux Cbits juxtapos´es, ce sont z1, z2, z3, z4, nombres r´eels, sous condition z1, z2, z3, z4>0 et sous
la condition de normalisation z1+z2+z3+z4= 1.
La g´en´eralisation, pour n > 2 vers un jeu de nQbits intriqu´es est ´evidente. Un jeu de nCbits
d´epend de nprobabilit´es p, tandis qu’un jeu de nQbits d´epend de 2n−1 probabilit´es zind´ependantes,
id est 2nprobabilit´es li´ees par une relation.
Il est impossible d’´etablir une relation biunivoque entre un jeu de nCbits et un jeu de nQbits,
n > 1, puisque le premier d´epend de ncaract`eres r´eels sur le support 0 −1 et le second de 2n−1> n
caract`eres r´eels sur le mˆeme support.
2 Syst`eme physique d´eterministe sous-jacent
Un syst`eme physique, tel qu’une horloge, n’a pas deux images ou mod`eles, disons le mod`ele clas-
sique et le mod`ele quantique puisque ce dernier est inconnu. On admet cependant que le mod`ele
classique est erron´e, il n’est qu’une approximation, excellente au niveau macroscopique. C’est une
cons´equence directe du principe d’incertitude de Heisenberg, selon lequel il est impossible de connaˆıtre
l’´energie exacte d’un syst`eme `a une date exacte, ´etant entendu que ce principe porte sur tous les
ph´enom`enes physiques, ph´enom`enes gravitationnels inclus. Le produit de l’erreur sur l’´energie par
l’erreur sur la date ne peut ˆetre inf´erieur `a la constante d’action hde Planck. Or la position du
balancier sur son arc de cercle correspond `a une ´energie, donc l’horloge classique ne peut pas servir
`a mesurer des intervalles de temps petits, petits en un sens bien d´efini.
Bien que le mod`ele quantique d’une horloge soit inconnu, la g´en´eralisation sans limite du principe
d’incertitude de Heisenberg permet d’affirmer que le mod`ele classique de l’horloge est erron´e quant
`a la mesure pr´ecise du temps.
Nous nous proposons de d´efinir un mod`ele d´eterministe du syst`eme physique, l’horloge `a titre
d’exemple, distinct du mod`ele classique, un mod`ele dit sous-jacent ou pr´equantique, capable d’engen-
drer aussi bien le mod`ele classique qu’un mod`ele quantique. Selon l’opinion commune aujourd’hui,
ceci est impossible, parce que les corr´elations quantiques `a distance et instantan´ees, ou intrications,
ont ´et´e v´erifi´ees exp´erimentalement et elles sont incompatibles avec l’existence de variables cach´ees
permettant un retour vers le d´eterminisme. Nous passons outre cette opinion, parce que, selon notre
analyse, les corr´elations quantiques `a distance, ne sont pas rigoureusement exactes. Ce sont des
valeurs limites d’observations sur des intervalles de temps de dur´ee croissante, et non pas des va-
leurs d’observations `a des dates sp´ecifi´ees. Cette affirmation trouve son origine dans un th´eor`eme
math´ematique r´ecent. [2]. La r´evision des fondements de la m´ecanique quantique n’est pas l’objet de
cette note par laquelle on cherche seulement `a mettre en avant une origine d´eterministe des Qbits,
concept sp´ecifiquement quantique, et donc non d´eterministe selon l’opinion commune aujourd’hui.
Nota : Gerard ’t Hooft, [3], propose un mod`ele d´eterministe quantique, mais il ´emet une r´eserve
importante en raison d’une particularit´e de son mod`ele pour laquelle il n’imagine aucun support ex-
plicatif physique. Andrei Khrennikov [4] propose une m´ecanique pr´equantique d´eterministe formelle.
Le mod`ele d´eterministe dit sous-jacent est approximativement p´eriodique, la p´eriode de l’horloge,
et, `a l’int´erieur d’une demi-p´eriode, il poss`ede environ k´etats distincts. Ces k´etats sont inconnus
dans le mod`ele quantique, lequel distingue seulement sous le nom d’´etats, une partition des ´etats
du syst`eme sous-jacent. En bref, un ´etat quantique se pr´esente comme une r´eunion de divers ´etats
sous-jacents. De mˆeme pour le mod`ele classique.
Les corr´elations quantiques mettent en jeu au moins deux Qbits et, bien que des corr´elations
entre nQbits, n > 2, puissent pr´esenter des aspects divers int´eressants, nous nous limitons dans ce
qui suit au cas de deux Qbits, car ceci ne diminue en rien la g´en´eralit´e de notre propos.
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La description du mod`ele quantique est suppos´ee induire la d´efinition de deux Qbits, intriqu´es,
celle du mod`ele classique induit la description de deux Cbits. Le mod`ele sous-jacent induit les deux
descriptions, quantique et classique, donc il permet d’associer `a deux Qbits d´etermin´es, deux Cbits
d´etermin´es et vice versa, ce qui est impossible, lorsqu’on ne dispose que des deux mod`eles, quantique
et classique.
En bref le mod`ele quantique serait une description partielle et simplifi´ee du mod`ele sous-jacent,
par un regroupement statistique `a trois param`etres ind´ependants. Le mod`ele classique serait une
autre description partielle et simplifi´ee du mod`ele sous-jacent par un autre regroupement statistique
`a deux param`etres.
2.1 D´efinition du mod`ele sous-jacent
Le mod`ele sous-jacent poss`ede environ k´etats distincts par demi-p´eriode pour une raison phy-
sique, inconnue aussi bien en m´ecanique quantique, qu’en m´ecanique classique, `a savoir l’existence
d’un nuage universel de particules t´enues, d´esign´ees particules U. L’existence de ce nuage est sugg´er´ee
par le r´esultat math´ematique r´ecent d´ej`a mentionn´e [2].
L’effet de ce nuage universel de particules Uest de conf´erer une masse `a toutes les particules
reconnues aujourd’hui, disons des particules P, par le m´ecanisme suivant. Toute particule Ps’entoure
d’un cort`ege de particules U. Le nombre ou la disposition de particules Ude ce cort`ege varie sans
cesse `a chaque ”choc” de la particule Pavec une particule U. La masse inertielle de la particule P
d´epend de son cort`ege et la masse inertielle d’une particule Pdont le cort`ege est vide est nulle.
Nota : Nous avons pr´esent´e tout ceci `a travers divers m´emoires, [5], [6], [7], ce dernier m´emoire, plus
ancien et incomplet, en Anglais.
Dans le cas d’une horloge, selon Newton, la terre induit, par sa masse gravitationnelle, une force
de pesanteur sur le balancier. Dans le syst`eme sous-jacent propos´e, la terre induit une modification
des caract`eres du nuage universel dans son voisinage, par exemple et en r´esum´e, une diminution de
vitesse de certaines des particules du nuage. C’est cette modification locale du nuage qui induit `a
son tour sur le balancier, par des chocs dissym´etriques, un mouvement ressemblant `a celui induit
par une force de pesanteur. Il n’existe cependant aucune force d’interaction gravitationnelle entre la
terre et le pendule.
En outre, le balancier de l’horloge, dans le nuage universel, a une masse inertielle strictement
invariante, seulement entre deux chocs successifs de particules. Supposons que l’intervalle moyen
de temps entre deux chocs successifs pour un balancier particulier soit de 10−40 secondes, alors les
fluctuations de masse inertielle de ce balancier sur des intervalles de temps d’ordre une nanoseconde
pourraient ˆetre n´eglig´ees. On rejoindrait ainsi pratiquement la proposition de Newton d’attribution
d’une masse inertielle invariante `a tout corps mat´eriel.
Le nombre kd’´etats distincts sur une demi-p´eriode serait donc le nombre de chocs avec une
particule U. Les intervalles de temps, au sens de la m´ecanique classique, entre deux chocs successifs,
´echappent `a toute mesure.
Afin de d´ecrire concr`etement le mod`ele sous-jacent, disons que l’horloge sous-jacente porte un
arc de cercle gradu´e face `a l’extr´emit´e basse du balancier. La graduation rep`ere kintervalles. Il faut
imaginer kd’autant plus grand que la p´eriode Tdu balancier est elle mˆeme plus grande. kserait
bien sup´erieur `a un milliard pour un balancier battant la seconde.
Soit `, 16`6k, le rang de l’intervalle dans lequel se trouve le balancier `a une date t, reli´ee `a x,
une variable al´eatoire r´eelle distribu´ee uniform´ement sur le support 0 −1. On retient `= 1 + bx.kc.
Nota : Dans l’expression pr´ec´edente, buc ≤ u < buc+ 1 d´esigne la partie enti`ere de u.
La liaison entre tet xest : x=mod(t
T/2,1), Td´esignant la p´eriode de l’horloge et mod(t T/2,1)
la valeur de t
T/2modulo 1.
On admet donc que, dans l’ignorance de la suite exacte des kintervalles, la probabilit´e que le
syst`eme physique sous-jacent consid´er´e soit dans l’´etat de rang `est la mˆeme quelque soit `. C’est
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une propri´et´e conjointe du nuage universel et d’une particule P.
2.2 D´efinititon des Qbits et des Cbits issus des ´etats sous-jacents
Le cercle devant lequel d´efile le balancier porte k−1 traits `a peu pr`es ´equidistants en temps
entre le trait not´e 0 au point haut gauche et le trait not´e kau point haut droite. A une date t, le
balancier est int´erieur `a un des kintervalles ainsi d´efinis, disons l’intervalle de rang `avec 1 6`6k.
Pour un syst`eme physique le plus simple possible, une particule Pdans le nuage universel, le
nombre kserait quelconque, ´eventuellement, un nombre premier. Pour un syst`eme physique mettant
en jeu deux particules, l’atome d’hydrog`ene par exemple dans une mod´elisation avec un ´electron et
un proton, on peut penser que le nombre k, un nombre de chocs par p´eriode, ne serait pas premier,
il serait le produit de deux nombres k1et k2relatifs chacun aux particules suppos´ees distinctes P1
et P2. Ce dernier syst`eme physique induit la d´efinition de deux Qbits intriqu´es, le premier syst`eme
n’induisant la d´efinition que d’un seul Qbit, donc identique au Cbit.
Pour la d´efinition de deux Qbits intriqu´es, on partage l’arc de cercle gradu´e en 4 secteurs par
trois traits rep`eres en `1,`2et `3avec 1 6`16`26`36k. On convient que l’´etat quantique, id
est la valeur bq(i), i = 1,2 des 2 Qbits, est 0 ·0 si `6`1; 0 ·1 si `1< ` 6`2; 1 ·0 si `2< ` 6`3;
1·1 si `3< ` 6k. L’´etat quantique, id est bq(i), n’est pas une description aussi compl`ete que l’´etat
sous jacent en ce sens que de l’´etat sous-jacent on peut d´eduire l’´etat quantique mais la r´eciproque
n’est pas vraie.
La m´ecanique quantique est une partition des k´etats sous-jacents en 2nsecteurs pour nQbits,
partition d´efinie par 2n−1 arguments. La m´ecanique classique est aussi une partition, mais fort
diff´erente et d´efinie par narguments. La voici, toujours dans le cas n= 2 de 2 Cbits.
On a not´e que kn’est pas un nombre premier, il poss`ede deux diviseurs k1et k2diff´erents de 1
et de k. Soit un nombre entier p1v´erifiant 0 6p16k1. Soit, de mˆeme p2, un nombre entier v´erifiant
06p26k2
Par d´efinition, la valeur bc(i), i = 1,2, du Cbit de rang iest bc(i) = 0 si mod(`, ki)6pi,bc(i)=1
si mod(`, ki)> pi. La probabilit´e que bc(i) = 0 est sensiblement pi/ki.
Selon ces d´efinitions bq(i) et bc(i), i = 1,2, sont d´etermin´es pour chaque valeur de `. Ainsi, par
l’interm´ediaire de `, il existe une correspondance entre bc et bq. Cependant, si on ignore les ´etats sous-
jacents et si on a estim´e les valeurs de bc et de bq en se basant sur l’´evolution du syst`eme physique
consid´er´e, gouvern´ee par la m´ecanique quantique d’un syst`eme `a 4 ´etats pour bq, gouvern´ee par la
m´ecanique classique de deux horloges juxtapos´ees pour bc ou d’une horloge unique munie de deux
curseurs s´eparant les positions du balancier, alors aucune correspondance entre bc et bq n’existe, hors
cas particuliers. Les arguments `a valeurs discr`etes `1, `2, `3sont remplac´es, pour ces estimations par
des carr´es d’amplitudes complexes, donc des nombres r´eels ; les arguments rationnels p1
k1,p2 k2par des
probabilit´es r´eelles.
Nota 1 : Il convient de rappeler qu’un ´etat quantique n’est pas observable `a une date exacte t,
mais seulement `a une date int´erieure `a un intervalle de temps autour de t, en raison du principe
d’incertitude qui gouverne toute la m´ecanique quantique, corr´elations quantiques et intrications
incluses. En m´ecanique classique, la constante d’action hde Planck n’existe pas et un ´etat classique
est observable `a une date exacte t.
Nota 2 : On admet que les traits de s´eparation des secteurs sont d´efinis par des nombres r´eels
de sorte que la probabilit´e que le balancier d’une horloge d’un syst`eme sous-jacent soit sur un de
ces traits est toujours nulle, quelque soit le nombre de ces traits, et quelle que soit la date tunique
de relev´e. Au contraire, les positions de particules d’un syst`eme physique quantique ne peuvent pas
ˆetre observ´ees dans un intervalle sp´ecifi´e lorsque celui-ci devient trop petit, d’o`u la mod´elisation par
des probabilit´es.
En r´esum´e, sur la base d’un th´eor`eme r´ecent, [2], nous sugg´erons que la physique quantique est
engendr´ee par une physique sous-jacente, une physique d´eterministe, induite par l’existence d’un
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