Lattice reduction Cryptographics applications

Introduction Espaces Euclidiens Réseaux (Lattice) Réduction d’un réseau Algorithme LLL Quelques applications de l’algorithme LLL
Lattice reduction
Cryptographics applications
O. DIAO
28 sept. 2011

Introduction Espaces Euclidiens Réseaux (Lattice) Réduction d’un réseau Algorithme LLL Quelques applications de l’algorithme LLL
Plan
Introduction
Espaces Euclidiens
Réseaux (Lattice)
Orthogonalité
Algorithme de Gram-Schmidt
Réduction d’un réseau
Algorithme LLL
Quelques applications de l’algorithme LLL
Application au chiffrement de Merkle–Hellman
Attaque de RSA avec la méthode de Coppersmith
Attaque du cryptosystème NTRU

Introduction Espaces Euclidiens Réseaux (Lattice) Réduction d’un réseau Algorithme LLL Quelques applications de l’algorithme LLL
Introduction
•Un réseau L(ou Lattice en Anglais) est un sous-espace vectoriel
discret d’un espace euclidien E.
•Tout réseau admet un vecteur non nul de longueur minimale.
•La recherche d’un vecteur court est un problème NP-complet.
•En 1985 Lenstra, Lenstra et Lovász ont donné un algorithme (appelé
depuis algorithme LLL) qui, étant donné un réseau L, calcule en temps
polynomial une base de Ldont les vecteurs sont relativement courts,
même s’ils ne sont pas les plus courts possibles.
•L’étude des réseaux et l’utilisation du LLL se rencontre en :
– cryptographie : RSA, Merkle-Hellman, NTRU ;
– chimie : cristallographie ;
– télécommunications ;
– etc.

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Espaces Euclidiens
Une façon de définir les réseaux est de passer par les espaces euclidiens.
Un espace euclidien Eest un R−espace vectoriel de dim. finie, muni d’un
produit scalaire, i.e. d’une forme bilinéaire h·,·i :E×E→Rvérifiant, pour
tout u,v,w∈E,et α, β ∈R:
hu+v,wi=hu,wi+hv,wi,hu,v+wi=hu,vi+hu,wi,
hαu,vi=αhu,vi,hu, βvi=βhu,vi
hu,vi=hv,ui hu,ui>0,si u6=0
•La norme k · k :E→R+,u7→ kuk:= phu,ui.
•La distance d:E×E→R+,(u,v)7→ d(u,v) := ku−vk.

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Exemples d’espaces euclidiens
•Soit n∈Nnon nul, l’espace Rnest un espace euclidien de dimension n
muni du produit scalaire habituel :
h(xi)1≤i≤n,(yi)1≤i≤ni:=
n
X
i=1
xiyi
•Soit n∈Nnon nul, l’espace vectoriel Pn(X)des polynômes de degrés
inférieurs ou égal à n est un espace euclidien de dimension n+1 muni du
produit scalaire suivant :
*n
X
i=0
aiXi,
n
X
i=0
biXi+:=
n
X
i=0
aibiXi