sujet du mini

UPMC-X Master M2 Probabilités et Finance
Méthodes de Monte Carlo 2016/2017
Mini-projet Monte Carlo
à préparer pour le lundi 31 octobre
Algorithme Ziggurat
Partie 1 : Cas support compact
Soit fune densité de probabilité continue unimodale de support compact [l, r]. On note m∈[l, r]le mode
de la densité tel que fsoit strictement croissante sur [l, m]et strictement décroissante sur [m, r]. On note
f∗=f(m) = maxu∈[l,r]f(u)et F(x) = Rx
lf(u)du la fonction de répartition associée à f.
Pour tout y∈[0, f ∗[, la fonction fpossède deux antécédents de y,f−1({y}) = {f−1
−(y), f−1
+(y)}où l’on suppose
conventionnellement que f−1
−(y)< f−1
+(y). On note pour tout y∈[0, f∗[,
d(y) = f−1
+(y)−f−1
−(y).
Dans tout l’exercice on supposera qu’on sait évaluer la densité fen tout point.
Pour une fonction g:R→Ron note E(g)l’épigraphe de la fonction g,i.e.
E(g) = {(x, y)∈R2
+,06y6g(x)}.
La mesure λ2est la mesure de Lebesgue sur R2.
1. Montrer que E(f)⊂[l, r]×[0, f ∗]. En déduire une méthode de rejet pour simuler selon la densité f.
2. Quelle est la loi τdu rejet et l’efficacité de la méthode (en fonction de λ2(E(g)),l,ret f∗).
3. Soit n>1et des points 0 = y0< y1<· · · < yn−1< yn=f∗vérifiant
∃An>0,∀k∈ {1, . . . , n −1}, yk=An
k
X
j=1
1
d(yj−1).
Pour ces points fixés, on considère les nrectangles Rk= [f−1
−(yk−1), f−1
+(yk−1)]×[yk−1, yk],k= 1, . . . , n,
et l’on pose En=
n
[
k=1
Rk.
4. Montrer que pour tout k= 1, . . . , n,λ2(Rk) = Anet en déduire que λ2(En) = nAn>1.
5. Soit (¯ X, ¯ Y)de loi uniforme sur En. Comment simuler efficacement (¯ X, ¯ Y)?
Quelle est la loi de la première marginale ¯ X? Si cette loi est à densité, on pourra noter celle-ci fn.
6. Soit (¯ Xm,¯ Ym)m>1une suite i.i.d. uniforme sur Enet τ= inf m>1,(¯ Xm,¯ Ym)∈ E(f).
Donner la loi de τet montrer que ¯ Xτa pour densité f.
7. Écrire l’algorithme de simulation de ¯ Xτà partir de lois uniformes sur [0,1].
8. Proposer un algorithme permettant de minimiser le nombre d’évaluations de la fonction f.
9. Montrer que pour tout n>1il existe une unique constuction possible i.e. qu’il existe un unique An∈
]0, f∗(r−l)[, et montrer que limn→+∞nAn= 1.
Partie 2 : Cas support non compact
On étend la construction précédente à une densité fde support R. On suppose que pour tout n>1, il existe
An>0tel que y1soit solution de F(f−1
−(y1)) + 1 −F(f−1
+(y1)) + y1d(y1) = Anet pour tout k∈ {2, . . . , n −1},
yk=An
k
X
j=2
1
d(yj−1).
On modifie la construction précédente en considérant
˜
R1=E(f1]−∞,f−1
−(y1)])∪[f−1
−(y1), f−1
+(y1)] ×[0, y1]∪ E(f1[f−1
+(y1),+∞[),
et en posant ˜ En=˜ R1∪R2∪ · · · ∪ Rn.
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1. Déterminer la fonction g1:R→[0, y1]telle que ˜ R1=E(g1).
2. On suppose qu’on connaît explicitement F−1. Comment simuler selon la loi de densité 1
An
g1à partir
d’une seule uniforme U∈ U([0,1]) ?
Donner l’algorithme complet de simulation selon la loi de Laplace de densité f(x) = λ
2e−λ|x|en utilisant
cette construction.
3. On suppose que fest la densité gaussienne centrée réduite. Proposer une méthode de rejet de la loi
de densité proportionnelle à f1[f−1
+(y1),+∞[par rapport à la queue d’une loi exponentielle à déterminer.
Préciser l’efficacité de la méthode (moyenne de l’inverse du temps de rejet).
Donner l’algorithme de simulation de la loi de densité 1
An
g1dans ce cas.
Implémentation en C++ et C++11
1. Programmer l’algorithme Ziggurat pour la loi bêta de paramètres α > 1et β > 1de densité de support
[0,1] définie par
f(x) = Cxα−1(1 −x)β−1, x ∈[0,1],
où Cest la constante de normalisation. Tester.
2. Programmer l’algorithme Ziggurat pour la loi normale centrée réduite. Tester.
3. Ecrire un algorithme Ziggurat générique qui permet de simuler efficacement étant donnés :
— une densité fet son inverse f−1,
— la fonction de répartition Fassociée et son inverse F−1,
— si nécessaire une fonction permettant de simuler les queues de distribution.
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