¹E ¹E ¹E

DM ϕ5– Physique PCSI22013 – 2014
Du circuit RC au défibrillateur cardiaque.
A. Charge d’un condensateur à travers une résistance.
E
K
A
R
i
C
B
vs
Un dipôle comporte entre deux bornes Aet Bune résistance R
et un condensateur de capacité Cplacés en série.
On place aux bornes Aet Bdu dipôle un générateur idéal de
force électromotrice constance Eet un interrupteur K.
Initialement le circuit est ouvert et le condensateur déchargé.
Soit vsla tension aux bornes du condensateur.
À l’instant t= 0, on ferme l’interrupteur K.
1. Quelle est la valeur vs(0+) et vs(∞) de la tension vsrespectivement juste après la fermeture de Ket
au bout d’un temps très long (infini).
Même question pour i, l’intensité du courant dans le circuit : on donnera i(0−) et i(∞).
2. On pose τ=RC et on se place à t≥0.
(a) Quelle est l’unité de τdans le système international MKSA (mètre, kilogramme, seconde, am-
père) ? Démontrez ce résultat.
(b) Établir l’équation différentielle à laquelle obéit vs(t).
(c) Établir l’expression de la tension vs(t) pour t≥0.
(d) Tracer l’allure de la courbe représentative de la fonction vs(t).
On fera apparaître la tangente à l’origine et l’asymptote.
(e) Déterminer, en fonction de τ, l’expression du temps t1à partir duquel la charge du condensateur
diffère de moins de 1 % de sa charge finale.
3. Déterminer l’expression de i(t).
B. Étude énergétique de la charge du condensateur.
1. Exprimer l’énergie ECemmagasinée par le condensateur lorsque sa charge est terminée en fonction
de Cet E.
2. Déterminer l’énergie EGfournie par le générateur à la fin de la charge, en déduire celle ERdissipée
par effet Joule dans le résistor à la fin de la charge.
3. On pose ρ=EC
EGle rendement énergétique de la charge du condensateur par le générateur à travers
une résistance. Calculer ρet commenter.
C. Amélioration du rendement énergétique.
E
➁
➀
K′
A
R
i
C
B
vs
E
2
Afin d’améliorer le rendement de la charge du conden-
sateur, on effectue celle-ci en deux étapes. On considère
pour cela le montage représenté ci-contre.
À la date t= 0, le condensateur étant déchargé, on
ferme l’interrupteur K′dans la position ➀(phase ➀).
Lorsque la charge sous la tension E
2est terminée, on
bascule K′dans la position ➁(phase ➁) et on procède
à la charge du condensateur sous la tension E.
1. Quelle est l’énergie EG1fournie par le générateur au cours de la phase ➀?
Quelle est l’énergie EC1emmagasinée par le condensateur au cours de cette même phase ?
2. Quelle est l’équation différentielle vérifiée par la tension vsau cours de la deuxième phase de la charge ?
En prenant comme origine des temps (t= 0) la date à laquelle on bascule l’interrupteur de la position
➀à la position ➁, déterminer l’expression de vs(t) au cours de la phase ➁.
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3. En déduire, en fonction du temps, l’expression de i(t) qui traverse le circuit au cours de la phase ➁.
4. Quelle est l’expression, en fonction de Cet E, de l’énergie EG2fournie par le générateur et EC2
l’énergie emmagasinée par le condensateur au cours de la phase ➁.
5. Calculer le rendement énergétique ρ′de la charge du condensateur lorsque cette dernière est effectuée
en deux étapes.
6. Compte tenu des rendements lors de la charge du condensateur avec les deux méthodes précédentes,
indiquer comment il faudrait procéder pour faire tendre le rendement de la charge du condensateur
vers 1. Aucun calcul n’est demandé dans cette question.
D. Application au défibrillateur cardiaque.
En 1947, le Dr Claude BECK invente dans l’Hôpital Universitaire de Cleveland le défibrillateur fonctionnant
avec le courant alternatif du secteur, avec une tension utile de l’ordre de 1500 volts. Dans les années 1960, une
amélioration notable est de permettre l’utilisation ambulatoire d’un défibrillateur à alimentation autonome
à courant continu. On stocke de l’énergie dans des condensateurs, puis cette énergie est libérée pendant un
intervalle de temps très court.
K
i
P
C
+QA
C′
+q
B
r
R
Le circuit électronique peut être modélisé ainsi : on réduit l’étude à
celle de la décharge d’un condensateur de capacité Cchargé à t= 0
et se déchargeant dans un circuit comportant un autre condensateur de
capacité C′déchargé initialement.
On tient compte dans le schéma de résistances Ret rdans le circuit
(dues aux composants non représentés ici). On ferme l’interrupteur K
à l’instant t= 0. La charge initiale est Q(0) = Q0
1. Écrire l’équation différentielle vérifiée par la tension u=uAB en
fonction de C,C′,Ret r.
2. On veut réaliser une décharge la plus rapide possible et sans oscillations “parasites”. Dans quel type
de régime doit-on se placer ? Quelle condition sur les valeurs des composants doit-on vérifier ?
3. Quelles sont les conditions initiales vérifiées par u(t) ? On donnera l’expression de u(0+) et du
dt 0+.
4. En déduire l’allure de u(t).
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