supraconducteur

ASDS THÈME : MATÉRIAUX / CONDUCTEURS ET SEMI-­‐CONDUCTEURS PAGE 1 / 3 TS-­‐SPE Problème à résoudre : des supraconducteurs pour l’imagerie médicale Un champ magnétique intense « 11,7 teslas, c'est la valeur du champ magnétique du futur aimant Iseult qui rejoindra en 2012 NeuroSpin, centre de neuro-­‐imagerie situé au CEA à Saclay. Objectifs: étudier, mieux diagnostiquer et traiter des maladies.» Extrait de Les défis du CEA, ri' 137, fév. 2009. Le solénoïde: une bobine longue • Le passage d'un courant électrique d'intensité 1 dans un solénoïde (bobine longue) contenant n spires circulaires par mètre, crée au centre du solénoïde un champ magnétique 8, pratiquement uniforme et parallèle à l'axe et de valeur 𝑩 = 𝟒. 𝝅. 𝟏𝟎!𝟕 𝒏. 𝑰 -­‐ avec B en tesla (T) et I en ampère (A). • La résistance R d'un fil métallique de longueur l de section s et de résistivité 𝜌 est donnée par la relation 𝒍
𝑹 = 𝝆. 𝑺
-­‐ avec R en ohm (Ω), 𝒍 en mètre (m), 𝑺 enmètre carré (𝑚 ! ) et p en ohm-­‐mètre (Ω. m) • Un conducteur de résistance R parcouru par un courant électrique d'intensité 𝑰 s'échauffe (effet Joule) et reçoit une puissance électrique PJ telle que 𝑷𝑱 = 𝑹𝑰𝟐 -­‐ avec PJ en watt (W), 𝑹 en ohm (Ω) et 𝐈 en ampère (A) • Lorsque la température d’un corps de masse m et de capacité thermique massique c, varie de ∆𝑇 l'énergie thermique mise en jeu vaut 𝑬 = 𝒎. 𝒄. ∆𝜽 -­‐ avec 𝑬 joule (J), 𝒎 en kilogramme (kg), c en J. kg-­‐1. °C-­‐1 et . ∆𝜽 en degré Celsius (°C). Le cuivre: un bon conducteur électrique Le cuivre, bon conducteur électrique, est souvent utilisé pour fabriquer des bobines magnétiques. Les caractéristiques physiques de ce métal sont les suivantes: -­‐ masse volumique: 𝜇 = 8,92. 10! 𝑘𝑔 · 𝑚 !! ; -­‐ capacité thermique massique: 𝑐 = 390 𝐽. 𝑘𝑔!! °𝐶 !! ; -­‐ résistivité électrique: 𝛒 = 𝟏, 𝟕. 𝟏𝟎!𝟖 𝛀. 𝐦 -­‐ température de fusion: 𝛉𝐟𝐮𝐬 = 1083 °C. Problème à résoudre Peux –t-­‐ on réaliser un champ magnétique B de 11,7 T à l’aide d’un solénoïde de diamètre D = 1,00 m, de longueur L= 1,00 m et formé de l’enroulement d’une seule rangée de spires jointives de cuivre recouvert d’un film isolant. Le fil de cuivre à un diamètre d=1,00 mm, on néglige l’épaisseur du film isolant qui l’enrobe. (voir l’aide à la résolution au bas de page 160) Le solénoïde peut-­‐il supporter l’intensité du courant nécessaire pour produire le champ magnétique demandé. Ce qui limite la possibilité d’obtenir un tel champ magnétique résulte de l’échauffement du fil conducteur constituant du solénoïde du à l’effet joule, lequel dépend de la résistance du fil de cuivre et de l’intensité du courant qui devrait le traverser. On nous donne certaines caractéristiques du métal qui le constitue notamment sa température de fusion et sa capacité thermique massique. L’échauffement du fil de cuivre pourrait il entrainer sa fusion. Connaissant l’intensité du courant qui le traverse on peut tenter d’avoir une idée de la durée fonctionnement qui porterait ce fil à sa température de fusion Première étape : détermination de l’intensité I du courant traversant le solénoïde pour obtenir un champ magnétique B = 11,7 T On sait que 𝑩 = 𝟒. 𝝅. 𝟏𝟎!𝟕 𝒏. 𝑰 𝑩
𝑰=
𝟒. 𝝅. 𝟏𝟎!𝟕 𝒏
𝑰=
𝒏 =
𝑳
𝒅
=
𝟏
𝟏.𝟏𝟎
𝑳
𝒏 = 𝒅
𝑩
𝟒. 𝝅. 𝟏𝟎!𝟕 .
𝑳 𝑫
𝟑
!𝟑 =𝟏𝟎 𝟏𝟏, 𝟕
𝟒. 𝝅. 𝟏𝟎!𝟕 . 𝟏𝟎𝟑
𝟑
𝑰 = 𝟗, 𝟑𝟏. 𝟏𝟎 𝑨 deuxième étape : déterminer la puissance dissipée par effet joule du fait du passage du courant dans le conducteur 𝑷𝑱 = 𝑹𝑰𝟐 𝑰=
𝝆.𝒍.
or 𝑹 =
𝑺
𝒍 représente la longueur du fil ; le solénoïde peut être considéré comme une juxtaposition de spires circulaires jointives 𝒍 = 𝝅. 𝑫. 𝒏 𝒅 𝟐
𝒔 = 𝝅.
𝟐
𝝆. 𝝅. 𝑫. 𝒏.
𝑹 = 𝒅 𝟐
𝝅.
𝟐
𝟒. 𝝆. 𝑫. 𝒏.
𝑹=
𝒅𝟐
!𝟖
𝟒×𝟏, 𝟕×𝟏, 𝟎. 𝟏𝟎 ×𝟏𝟎𝟑 .
𝑹=
𝟏𝟎!𝟑 𝟐
𝑹 = 𝟔𝟖 𝛀 la puissance dissipée par effet joule 𝟐
𝑷𝑱 = 𝟔𝟖× 𝟗, 𝟑𝟏. 𝟏𝟎𝟑 𝑷𝑱 = 𝟓, 𝟖𝟗. 𝟏𝟎𝟗 𝑾 Troisième étape : détermination de l’énergie nécessaire que doit recevoir le fil pour fondre 𝚫E = 𝒎. 𝒄. 𝚫𝜽 𝒎 = 𝝁. 𝑽 𝑽 = 𝒔. 𝒍 𝒎 = 𝝁. 𝒔. 𝒍 𝒅 𝟐
𝟐
𝒔 = 𝝅.
𝒍 = 𝝅. 𝑫. 𝒏 𝒅 𝟐
𝒎 = 𝝁. 𝝅.
. 𝝅. 𝑫. 𝒏 𝟐
𝟐
𝝁.𝝅𝟐 .𝒅 .𝑫.𝒏
𝒎=
𝟒
𝚫𝜽 représente la variation de température entre de la température 𝜃! = 20°𝐶 et la température finale θ!"# = 1083 °C qui serait la température de fusion du fil de cuivre 𝚫𝜽 = 𝜽𝑭 − 𝜽𝒊 𝚫E = 𝒎. 𝒄. 𝚫𝜽 devient 𝝁. 𝝅𝟐 . 𝒅𝟐 . 𝑫. 𝒏
𝚫E =
. 𝒄. 𝜽𝑭 − 𝜽𝒊 𝟒
𝝁. 𝝅𝟐 . 𝒅𝟐 . 𝑫. 𝒏. 𝒄. 𝜽𝑭 − 𝜽𝒊
𝚫E =
𝟒
𝝁 = 𝟖, 𝟗𝟐. 𝟏𝟎𝟑 𝒌𝒈. 𝒎!𝟑 ; 𝐝 = 𝟏, 𝟎𝟎 𝐦𝐦 = 𝟏, 𝟎𝟎. 𝟏𝟎!𝟑 𝒎
𝐃 = 𝟏, 𝟎𝟎 𝐦
𝑳
𝟏
𝟑
𝒏= =
!𝟑 = 𝟏𝟎 𝒔𝒑𝒊𝒓𝒆𝒔
𝒅
𝟏.𝟏𝟎
𝒄 = 𝟑𝟗𝟎 𝑱. 𝒌𝒈!𝟏 °𝑪!𝟏
𝜽𝑭 = 𝛉𝐟𝐮𝐬 = 1083 °C 𝜽𝒊 = 𝟐𝟓°𝑪
𝟐
𝟖, 𝟗𝟐. 𝟏𝟎𝟑 . 𝝅𝟐 . 𝟏, 𝟎𝟎. 𝟏𝟎!𝟑 . 𝟏, 𝟎𝟎 . 𝟏𝟎𝟑 . 𝟑𝟗𝟎. 𝟏𝟎𝟖𝟑 − 𝟐𝟓
𝚫E =
𝟒
𝚫E = 𝟗, 𝟏𝟐. 𝟏𝟎𝟔 𝑱 quatrième étape : détermination de la durée 𝚫𝒕 au bout de laquelle la température de fusion du fil de cuivre est atteinte en supposant que l’énergie thermique produite par effet joule Δ𝐸! n’est pas échangée avec l’extérieur, mais est utilisée intégralement à élever la température du fil de cuivre alors 𝚫𝑬𝑱 = 𝚫E or 𝚫𝑬𝑱 = 𝑷𝒋 . 𝚫𝐭 𝚫𝑬𝑱 = 𝚫E 𝑷𝒋 . 𝚫𝐭 = 𝚫E 𝚫E
𝚫𝐭 =
𝑷𝒋
𝟗, 𝟏𝟐. 𝟏𝟎𝟔 𝚫𝐭 =
𝟓, 𝟖𝟗. 𝟏𝟎𝟗 𝚫𝐭 = 𝟏, 𝟓𝟓 . 𝟏𝟎!𝟑 𝒔 soit un peu plus d’un millième de seconde Il est impossible de réaliser de façon durable, donc utilisable, un champ magnétique de 11,7 T avec un solénoïde en cuivre ; celui-­‐ci fondrait rapidement du fait de l’effet joule lié à sa résistance électrique Seule l’utilisation de matériaux supraconducteurs à très basse température permet la création d’un tel champ Car le passage du courant dans un supraconducteur ne s’accompagne d’aucun effet joule