mécanique des fluides rappels d`hydrostatique écoulement des

mécanique des fluides
rappels d'hydrostatique
écoulement des fluides
réels
Distributeurs, verins, pompes, moteurs hydrauliques sont
aujourd'hui des composants que l'on rencontre dans tous les
automatismes hydrauliques.
Un technicien, même non spécialiste de l'hydraulique, doit
avoir des notions suffisantes pour comprendre le fonctionne-
ment de ces appareils, aussi bien pour les mettre en œuvre
que pour assurer leur maintenance.
1.1. DÉFINITIONS
Fluide parfait
Un fluide parfait est un fluide àl'intérieur duquel les
forces de cohésion sont nulles.
L'eau est plus proche de la définition
d'un fluide
parfait que l'huile.
1Dans
un fluide parfait, les forces de contact sont
perpendiculaires aux éléments
de surface sur les-
quels elles s'exercent.
Fluide réel
Dans un fluide réel en mouvement, les forces de
contact possèdent des composantes tangentielles qui
s'opposent
au glissement relatif des couches fluides:
194
c'est la viscosité. La viscosité est définie pour un
fluide réel en mouvement.
Dans le cas d'un fluide réel
au repos, on admettra
que les forces
de contact sont perpendiculaires aux
éléments de surface sur lesquels elles s'exercent.
Fluide incompressible
Un fluide est dit incompressible lorsque le volume
occupé
par une masse donnée ne varie pas en
fonction de la pression extérieure.
La masse volumi-
que
d'un fluide incompressible est constante; celle-ci
s'exprime
par: p(kg/m3 ). Les liquides peuvent être
considérés comme des fluides incompressibles (eau,
huile, etc.).
Fluide compressible
Un fluide est dit compressible lorsque le volume
occupé
par une masse donnée varie en fonction de la
pression extérieure.
La masse volumique d'un fluide
compressible est variable. Les gaz sont des fluides
compressibles.

Mécanique des fluides, rappels d'hydrostatique, écoulement des fluides réels
1.2. PRESSION EN UN POINT D'UN
FLUIDE PARFAIT (ou d'un
fluide réel au repos)
En mécanique des fluides, on utilise encore très
souvent
le bar; le bar est égal àpeu près àla pression
atmosphérique moyenne:
1
bar = 0,1 MPa .
Le rapport de la norme du vecteur force sur la
surface de la facette sur laquelle elle s'exerce
s'appelle la pression
PA du fluide au point A.
PA est un nombre positif (fig. 1.1):
1.5. THÉORÈME DE PASCAL
Propriété:
La pression en A est indépendante de l'orientation
de la facette autour du point A.
Considérons un élément de volume d'un fluide incom-
pressible (liquide homogène de poids volumique
m). Cet élément de volume ala forme d'un cylindre
d'axe (G, il) qui fait un angle aavec l'axe vertical
(0, z) d'un repère :R(O, X, y, z). Soit lia longueur
de
ce cylindre et soit dS sa section droite (fig. 1.2).
~
dP
Fig. 1.2.
/
o
~
rzr
-->
dF
n
Il
..
Fig. 1.1.
IIffFli
PA=--
dS
surface élémentaire de la facette de centre
A(en millimètres carrés) ;
vecteur unitaire en Ade la normale exté-
rieure àla facette;
force élémentaire de pression qui s'exerce
sur la facette (en newtons) ;
pression en A(en mégapascals).
avec:
dS
Soit GId'altitude z\ et Gzd'altitude Zz, les centres de
surface des sections droites extrêmes.
Etudions l'équilibre
du cylindre élémentaire; celui-ci
est soumis
aux:
-actions àdistance: son poids:
1.3. FORCE DE PRESSION (fig. 1.1)
Sur la facette de centre A, d'aire dS, orientée par
sa normale ---txtérieure
n, la force de pression
élémentaire
dF s'exprime par:
dP = - ml dS z. (1)
1.4. UNITÉ DE PRESSION
-actions de contact:
forces d~ression s'exerçant sur la surface latérale,
notons
dF
jl'une d'elles;
forces de pression s'exerçant sur
les deux surfaces
planes extrêmes. Soient
PI etPz les pressions du fluide
respectivement en GIet en Gz:
L'unité légale de presion est le pascal (Pa) :
1Pa =1 N/m
z:
dF\ = - Pl dS( -il) = PI dS il ,
- d ~
dF
z= -
Pz Su.
(2)
(3)
Cette unité est très petite, on utilise le plus souvent
ses multiples; en construction mécanique, résistance
des matériaux, etc., l'unité utilisée est
le mégapascal :
Le cylindre élémentaire étant en équilibre dans
le
fluide, écrivons que la résultante des forces extérieu-
res qui lui sont appliquées est nulle:
1
MPa =1N /mnr .(4)
195

Hydraulique et thermodynamique appliquées
En projection sur l'axe de symétrie (G, û) du cylin-
dre,
- 1IT1 dS cos a+ Pl dS - P2 dS = O.
1.6. POUSSÉE D'UN FLUIDE SUR
UNE PAROI VERTICALE
Exprimons la différence de pression PI - P2 après
avoir divisé
par dSet remarqué que 1cos a= z2 - ZI
(5)
Unités: Pl et P2 en pascals, 1IT en newtons par mètre
cube,
Zl et Z2 en mètres.
Hypothèses
La paroi verticale possède un axe de symétrie
(G, y) ;Gest son centre de surface. D'un côté de la
paroi
il y a un fluide de poids volumique 1IT, de l'autre
côté,
il y a de l'air àla pression atmosphérique
Po' On désigne par PG la pression effective au centre
de surface G(fig. 1.3).
Autre forme plus générale de la relation (5)
En divisant les deux membres de (5) par 1IT :
Comme Glet G2 ont été choisis de façon arbitraire à
l'intérieur d'un fluide de poids volumique 1IT, on peut
écrire en
un point quelconque d'altitude z, où règne
la pression P:
x
~
dF
Fig. 1.3.
(6)
1 ~+z=Cte 1·
Supposons qu'au point G2(fig. 1.2), intervienne une
variation de pression telle que celle-ci devienne
(P2 +flp 2), flP2 étant un nombre algébrique. Calcu-
lons la variation de pression flPl qui en résulte en
G,.
Appliquons la relation fondamentale de l'hydrostati-
que (5) :
(5)
Recherchons les éléments de réduction en Gdu
torseur associé aux forces de pression sur la paroi.
Compte tenu de l'existence de l'axe de symétrie
vertical (G,
y) désignons par ME (G, J) le centre
d'une facette d'aire dS. En Mla pression relative
s'exprime
par (voir relation (5)) :
Entre GIet G2,avec le nouvel état de pression: avec dans
le repère (G, X, y, z) défini à lafigure 1.3 :
YG =0et YM = y, donc
soit
PM=PG-
1IT
Y·
et d'après (5): flp, -flP2 =0Exprimons la force de pression relative en
M:
ou
ëi7 = (PG - 1ITY) dS X.
SOI
't {"P } le torseur associé aux forces de
"poussée
pression relative:
Théorème de Pascal
Dans un fluide incompressible en équilibre, toute
"ariation
de pression en un point entraîne la même
"ariation
de pression en tout point.
{bpoussée}
G
R =f M,
(S)
MG =f GM AM
(S)
196

Mécanique des fluides, rappels d'hydrostatique, écoulement des fluides réels
Calcul de la poussée il:
R=f (PG -'lITy) dS x,
(S)
que l'on peut écrire en mettant en facteur les termes
constants:
R= [h IrS) dS - 'lIT IrS) y dS] x.
On note que f dS =S(aire de la paroi),
(S) /
f
ydS = YG S=0
(S)
(moment statique de la surface S par rapport àl'axe
(G, :1) passant par le centre de surface G),
donc
Calcul
du moment au centre de surface Gdes forces de
pression MG:
-> f- -
MG = GM AdF,
(S)
avec dans le repère (G, x, y,:1) et d'après les
hypothèses de symétrie:
Existe-t-iJ un point Go où le moment résultant des
forces de pression est nul?
Compte tenu de l'hypothèse de symétrie, si ce point
existe
il appartient àl'axe (G, y) et il est tel que:
Ecrivons alors que:
GGoAR = MG'
Avec les résultats précédents, on obtient:
YoY Ah Sx ='lIT/(G, Z) i,
ce qui conduit à
Go existe, il s'appelle «le centre de poussée» de la
paroi,
il est toujours au-dessous du centre de surface
G.
Applications numériques
Nous allons calculer la résultante Il R Il des forces de
pression et la position Yo du centre de poussée Go pour deux
parois très différentes par leurs dimensions et par les
pressions qu'elles subissent.
GM = y. yet -
~
dF = (PG -'lITy) dS x ,
APPLICATION 1
donc
MG =f [y. yA (PG -'lITy) dS x] .
(S)
Un barrage peut être assimilé àune paroi de 200 mde long et
de 60 mde hauteur. Le poids volumique de l'eau est
1:lT = 9,81.10
3
N/m
3
(fig. 1.4).
Notons que yAX= - :1:
MG = [PG fy dS - 'lIT f y2 dS] . (- i) .
(S) (S)
On note que fy dS = YG S=0
(S)
et que fy2 dS = /(G, :1),
(S)
moment quadratique de la surface S par rapport à
l'axe (G,
i) passant par le centre de surface G, donc
-->
MG ='UT/(G, "i)"i.
En résumé:
yA
(5)
E
0G
<D
-------lx,
Il
Go
z
.c::
b=200 m
Fig. 1.4.
-
h
avec
PG = 'Uj"2 (en A, sommet du barrage, la pression
effective de l'eau est nulle),
Numériquement: Il fi II = 3,53.10 9N.
{'l>poussée} = {PG
Si
,}
G 'UT/(G,"i)"i
S= bh,
donc Il R Il
197

Hydraulique et thermodynamique appliquées
Calcul de Yo:
'I17/(G, z)
Yo = - PG S
bh}
avec /(G, Z) = 12' on trouve
h
Yo = - 6'
Numériquement: Yo = - 10 (m).
On voit que le centre de poussée est très au-dessous du
centre de surface et dans le calcul de stabilité du barrage il
est
hors de question de confondre ces deux points.
APPLICATION 2
Un piston de vérin aun diamètre d=60 mm. nrègne au
centre de surface Gdu piston une pression effective de
40 bar, soit environ
PG = 4 MPa.
L'huile contenue dans le vérin aun poids volumique
'fIT =9,81 x 0,8 x10 3 N/m
3
(fig. 1.5) .
Compte tenu des faibles dimensions, utilisons le millimètre
comme unité de longueur :
d=6Omm, P G=4MPa,
'fIT =9,81 x0,8 x10 -6 N/mm
3•
yd=60
z
Fig. 1.5.
Numériquement: Yo"" - 0,44.10 -3 (mm).
On voit que le centre de poussée est très voisin du centre de
surface. Dans les calculs de poussée de vérins il est tout à fait
nonnal de les confondre.
1.7. THÉORÈME D'ARCHIMÈDE
Dans un fluide (E) de poids volumique 'lU, imaginons
un certain volume de fluide (El) délimité par un
contour fermé (5) (fig. 1.6).
Fig. 1.6.
Si le fluide est au repos, il est évident que (El) est en
équilibre sous l'effet des actions mécaniques extérieu-
res suivantes:
-Action de la
pesanteur; modélisable par le tor-
seur:
-Action des forces de poussée du fluide (E
2)qui
entoure
(El) ;modélisable par le torseur:
On peut donc écrire l'équation d'équilibre de (El) :
Numériquement: Il il Il "" Il,3.10
3
N.
Calcul de Il il Il :
IIRII =PG S,
Calcul de Yo:
'I17/(G, z)
Yo = - PG S
198
'Trd
2
avecS = 4'
_ 'Trd
4
avec/CG, z) = 64'
Nous savons qu'en G, centre de gravité du fluide
(El) le torseur des forces de pesanteur se réduit à un
glisseur
Il est donc évident
qu'au mêm~oint G le torseur des
forces de pression telles que
dF (fig. 1.6) se réduira
lui aussi à
un glisseur: