VIII ECOULEMENTS EN CONDUITES 1. Généralités

Université Paul Sabatier - FSI L2 Mécanique / Mathématiques
VIII
ECOULEMENTS EN CONDUITES
L’objectif de ce chapitre est d’expliciter les pertes de charge en fonction des propriétés du
fluide en déplacement, des caractéristiques de l’écoulement et de la géométrie de
l’installation. Nous nous intéresserons dans ce chapitre plus particulièrement aux écoulements
dans les conduites cylindriques, qui sont courants dans les problèmes industriels.
1. Généralités
Nous avons vu aux chapitres précédents que l’écoulement de fluides réels s’accompagne
toujours de pertes d’énergie, ce qui se traduit par les pertes de charge
⇒ Chute de pression entre 2 sections droites d’une même conduite
Définition :
On considère habituellement 2 types de pertes de charge :
• Ecoulement sans variation brusque de vitesse :
Dans une conduite rectiligne de section constante ou dans un profil de conduite
épousant la forme de la veine de fluide, la vitesse varie très légèrement, et la chute de
pression est due aux seuls frottements visqueux.
On parle alors de perte de charge linéaire ou régulière.
Ce type de perte de charge dépend essentiellement de la longueur de la conduite.
• Ecoulement avec variation brusque de vitesse
La vitesse peut varier brutalement sur une courte distance (en norme, ou en direction),
la chute de pression qui en résulte est surtout due dans ce cas à la variation soudaine de
la quantité de mouvement du fluide.
On parle dans ce cas de perte de charge singulière.
Propriété :
En première approximation, la perte de charge d’une installation sans ramification est la
somme des différentes pertes de charge, linéaires et singulières.
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2. Différents régimes d’écoulements
a) L’expérience de REYNOLDS
Les multiples expérimentations réalisées par l’ingénieur anglais Osborne Reynolds (1842 –
1912) a permis de découvrir les caractéristiques propres à un fluide réel et de mettre en
évidence les deux catégories d’écoulement possibles.
Principe : injection d’un traceur dans une conduite transparente où s’écoule un fluide.
(colorant dans de l’eau)
Suivant les valeurs de la vitesse, deux situations distinctes apparaissent :
- à faible vitesse d’écoulement (vanne légèrement ouverte) le colorant se distribue de
façon ordonnée, suivant des lignes de direction parallèles à l’axe de la conduite → laminaire.
- Une augmentation du débit (vanne très ouverte) donne des lignes de courant
chaotiques, le colorant se diffuse de façon désordonnée, selon des lignes de courant
enchevêtrées → turbulent.
b) Le régime laminaire :
Aux faibles vitesses, l’écoulement est caractérisé par :
- Une distribution de vitesse parabolique
- Les couches glissent les unes par rapport aux autres
- Les filets de fluide ne se mélangent pas
- Les cellules de fluide « gardent » leur individualité.
Dans ce cas, les forces de frottement visqueux dominent, et imposent un régime laminaire.
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c) Régime turbulent :
A partir de certaines valeurs élevées des vitesses, on observe :
- apparition de tourbillons
- les lignes de courant d’instants successifs se coupent
- la répartition des vitesses semble aléatoire
- les particules se déplacent dans toutes les directions
Ce mélange des lignes de courant favorise l’homogénéisation des vitesses et des transferts de
quantité de mouvement de matière et de chaleur.
Définition :
On appelle advection le transport d’une grandeur physique d’un point à un autre d’un fluide
par mouvement d’ensemble de ses molécules.
Dans ce cas, les transferts de quantité de mouvement par advection dominent et imposent un
régime turbulent.
d) Le nombre de Reynolds
Comment savoir si un régime est ou sera laminaire ou turbulent ?
La réponse a été apportée par Reynolds (1883) qui a étudié l’influence des divers paramètres
pouvant intervenir sur la présence de l’un ou l’autre des 2 régimes :
- la masse volumique
ρ
du fluide,
- la vitesse V du fluide dans la conduite,
- le diamètre D de la conduite
- la viscosité dynamique
μ
du fluide
Il a montré que le régime d’écoulement dépend de la quantité :
υμ
ρ
DVDV ==Re
Il s’agit d’un nombre sans dimension, appelé nombre de Reynolds
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Avec,
• Si , le régime est laminaire
2000Re ≤
• Si , le régime est turbulent
4000Re ≥
• Si 4000Re2000
≤
≤, le régime est transitoire (généralement turbulent)
Signification physique
Comme dt
dV
vamFinertie
ρ == et dx
dV
SF
μμ =, on a Re==
μ
ρ DV
F
F
fottement
inertie
Le nombre de Reynolds correspond donc en fait au rapport entre les forces d’inertie et les
forces de frottement
Si Re est très grand, il y a prédominance des forces d’inertie, par contre, aux faibles valeurs,
c’est la force de frottement qui domine.
Remarque :
On ne peut pas extrapoler un modèle de fluide à faible viscosité à celui d’un fluide parfait,
avec un Re tendant vers l’infini. La distinction des deux régimes n’a pas de sens pour un
fluide parfait.
Définition
En entrée de conduite, le profil des vitesse évolue sur une certaine distance avant de se
stabiliser (et se conserver ensuite).
On définit la longueur d’entrée ou d’établissement par la grandeur , avec :
Le
• Pour :
100Re <6.0
=
DLe
• Pour 200Re100
<
< : Re03.0Re06.0 àDLe
=
• Pour :
2000Re >25.025.0 Re8.0Re6.0 àDLe =
• Pour (turbulent) :
4000Re >10050 àDLe
=
3. Etude du régime laminaire
Régime aussi appelé régime de Poiseuille
(Médecin - Physicien français, 1869, qui s’est intéressé à la circulation sanguine)
Considérons une longueur L d’un tube rectiligne incliné, de rayon intérieur R, parcouru par un
liquide en régime laminaire établi.
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Rappels :
Dans son mouvement le fluide est soumis à son poids
P
r
, aux forces de pression et aux
forces de frottement
p
F
r
μ
F
r
. On a vu au chapitre précèdent que l’étude de son mouvement par le
PFD se traduit par l’équation de Navier :
t
V
e
y
U
PGradg x∂
∂
=
∂
∂
+−
r
rr
ρμρ
2
2
Son intégration en tenant compte de l’adhérence à la paroi donne un profil de vitesses
parabolique dans le tube (cf. écoulement de Poiseuille cylindrique) :
()
22
*
4
1
)( rR
dx
dP
rV −−=
μ
où Cste
LzgP L
P
dx gzPd dx
dP =
Δ+Δ
=
Δ
=
+
=
ρρ
** )( dans ce cas (
θ
sin=
Δ
Lz )
La vitesse est maximale au centre du tube : 2
*
max 4
1R
L
P
VΔ −=
μ
Conséquences :
• Contrainte de cisaillement : r
L
P
r
V*
2
1Δ
=
∂
∂
=
μτ
→
*2 PRAF pΔ==
πτ
μ
• Débit : ∫∫∫∫ Δ
====≠ R
S
vL
PD
ddrrrVdSrVVSQ 0
2
0
*4
128
...)()(
π
μ
π
θ
Il s’agit de la loi de Hagen-Poiseuille (1840)
• Vitesse moyenne : 28
max
*2 V
L
PR
S
Q
Vv
moy =
Δ
==
μ
• Cœfficient de correction d’Ec : 2
2
moy
c
V
V
=
α
, où ∫∫
=S
v
cdSV
Q
V32 1 (vitesse d’Ec)
232 2...)(
1
moy
S
v
cVrdrdrV
Q
V=== ∫∫ θ
⇒ 2
=
α
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