TRANSFORMATEUR monophasé

JALBERT Roland : Professeur en CPGE-TSI au Lycée Saint-Cricq à Pau
TRANSFORMATEUR monophasé
1°) Equations générales de fonctionnement
La tension d’entrée u1 est dite tension au
primaire. La tension de sortie u2 est dite tension au
secondaire. L’élément Zu est le modèle équivalent
de l’utilisation, appelée aussi ‘charge’.
Comme il a été démontré, dans le cours
‘électromagnétisme’ :
di
u1 = r1.i1 + l1. dt1 + e1
n 1 .i1 + n 2 .i 2 = ℜ.φ
φ
i2
i1
u2
u1
Bobinage
récepteur
di
; u 2 = -r2.i2 - l 2. 2 + e2
dt
Bobinage
récepteur
φ
i2
i1
r1 et r2 sont les résistances électriques des
enroulements primaire et secondaire.
Les inductances l1 et l2 sont les inductances de fuite
du primaire et du secondaire.
Le flux magnétique φ est le flux commun aux deux
enroulements ; c’est le flux qui circule dans le
noyau de fer.
u2
u1
Bobinage
récepteur
Zu
Bobinage
émetteur
2°) Transformateur parfait
-
Un transformateur parfait est un transformateur dont on néglige l’influence des éléments :
Qui consomment de l’énergie active : les résistances primaires (r1=0) et secondaires (r2=0), la
résistance modèle des pertes fer (Rpf = ∞).
Qui consomment de l’énergie réactive : les inductances de fuite primaire (l1=0) et secondaire (l2=0),
l’inductance magnétisante (L=∞) car (R=0).
Les équations qui régissent le transformateur parfait sont :
dφ
dφ
u 1 = e1 = n 1 .
;
u 2 = e2 = -n 2.
dt
dt
n 1 .i1 + n 2 .i 2 = 0
On appelle rapport de transformation :
n
m= 2
n1
pour un transformateur parfait :
n
u
i
m= 2 =− 2 =− 1
n1
u1
i2
La représentation vectorielle ci-contre des
grandeurs ‘courants et tensions’ du
transformateur parfait est réalisée en
considérant, de façon hypothétique, un
modèle d’utilisation Zu un peu inductif.
Ainsi le déphasage α2 entre sa tension u2
et son courant i2 est celui représenté.
Représentation symbolique
i1
i2
dφ
e1 = n 1 .
dt
e2 = -n 2.
φ
i1
u1=e1
u2=e2
α2
1
i2
dφ
dt
JALBERT Roland : Professeur en CPGE-TSI au Lycée Saint-Cricq à Pau
Le transformateur parfait est un adaptateur d’impédance :
i1
u1
i1
i2
Zu
u2
Z’u
u1
⎛ i ⎞
Z u .⎜ − 1 ⎟
Z .i
u
⎝ m ⎠ Zu
u1 = − 2 = − u 2 = −
=
.i1
m
m
m
m2
u 1 = Z' u .i 1
Z'u =
Zu
m2
L’impédance du dipôle vu du primaire Z’u est égale à celle de l’utilisation (la charge) Zu divisée par le
carré du rapport de transformation ‘m’.
3°) Influence de la réluctance R :
u 1 = e1 = n 1 .
Représentation symbolique
dφ
dt
i1
dφ
dt
u1
n 1 .i1 + n 2 .i 2 = ℜ.φ
Comme il est démontré
dans le cours ‘électromagnétisme’, il
existe une inductance L dans laquelle
circule un courant réactif ir (dit courant
magnétisant car il est quasiment
proportionnel au flux magnétique φ)
qui est en quadrature arrière avec la
tension e1.
− u 2 = −e 2 = n 2 .
ir
L
dφ
e1 = n 1 .
dt
i’1
i2
e2 = -n 2.
φ
i1
u1=e1
ir
i’1
u2=e2
α2
i2
4°) Influence des pertes fer Pf :
Comme il est démontré dans le cours
‘électromagnétisme’, il existe des
pertes fer Pf qui sont proportionnelles
au carré de l’induction magnétique
Pf=K.B2; ces pertes fer sont donc
proportionnelles au flux magnétique
(φ=B.S). Par la loi de Boucherot, le
flux magnétique est proportionnel à la
tension primaire du transformateur.
Donc
les
pertes
fer
sont
proportionnelles au carré de la tension
u2
primaire Pf = 1
R pf
Représentation symbolique
i1
u1
ia
ir
Rpf
L
i’1
i2
e2
e1
φ
i1
u1=e1
ir
i’1
ia
i1 = i'1 +i r + i a
2
u2=e2
α2
i2
dφ
dt
JALBERT Roland : Professeur en CPGE-TSI au Lycée Saint-Cricq à Pau
5°) Influence des résistances d’enroulement r1 et r2 , et des inductances de fuite l1 et l2 :
En considérant les résistances d’enroulement du primaire r1 et du secondaire r2 ainsi que des inductances
de fuite du primaire l1 et du secondaire l2, on obtient le modèle du transformateur réel dont les lois
générales sont présentées au premier paragraphe :
u1 = r1.i1 + l1.
di1
dφ
+ n1.
dt
dt
u 2 = r2.i2 + l 2.
;
di2
dφ
+ n 2.
dt
dt
;
n 1 .i1 + n 2 .i 2 = ℜ.φ
i2
e2
l2
i1
u1
i’1
ir
ia
l1
r1
L
Rpf
e1
m=
φ
u1 = e1 + r1.i1 + j.l1.ω.i1
j.l1.ω.i1
u1
r1.i1
u2
n2
n1
e 2 = u 2 + r2 .i 2 + j.l 2 .ω.i 2
i1
ir
i’1
e1
r2
e2
ia
α2
u2
i2
r2.i2
j.l2.ω.i2
Représentation vectorielle des grandeurs électriques du transformateur réel
6°) Modèle simplifié de Kapp
Hypothèse de Kapp : les courants ia et ir ne circulent pas dans la résistance d’enroulement r1 et
l’inductance de fuite l1.
i1
ia
u1
ir
Rpf
i’1
l1
r1
i2
e2
e1
L
m=
l2
r2
u2
n2
n1
On transfère les éléments en série (r1 , l1) le primaire vers le secondaire (r1.m2 , l1.m2)
i1
ia
u1
Rpf
ir
i’1
L
i2
e2
e1
m=
n2
n1
3
l2
r2
l1.m2
r1.m2
u2
JALBERT Roland : Professeur en CPGE-TSI au Lycée Saint-Cricq à Pau
Le modèle équivalent vu du secondaire est le suivant :
rs = r2 + r1.m2
i2
; l s = l 2 + l1.m2
ls
On appelle α2 le déphasage entre la tension u2 et le courant
i2. Sa valeur est prise arbitrairement car elle dépend de
l’utilisation (charge) associé au secondaire du
transformateur.
rs
u2
es = e2 = m.u1
e2
Diagramme de KAPP
α2
j.ls.ω.i2
u2
Représentation vectorielle :
rs. i2
i2
e 2 = u 2 + rs .i 2 + j.l s .ω.i 2
L'angle α2 entre u2 et i2 est du à la charge. Dans cette représentation la valeur de α2 est arbitraire.
La représentation
couramment utilisée.
ci-contre
est
plus
u2
e 2 = rs .i 2 + j.l s .ω.i 2 + u 2
e2
En considérant que l'angle formé par e2 et
u2 est nul, car le module de la tension " rs. i2 +
j.ls.ω.i2 " est beaucoup plus faible que celui de u2,
on en déduit que :
u 2 = e 2 − (rs .i 2 . cos α 2 + l s .ω.i 2 . sin α 2 )
α2
i2
j.ls.ω.i2
rs. i2
7°) Détermination expérimentale de rs et de ls :
Nota : les grandeurs courant et tension sont notées par des lettres majuscules car elles
correspondent à des mesures de valeurs efficaces.
a) Essai à vide : I2 = 0A
On appelle U20 la valeur de U2
lorsque I2 égale 0A.
On mesure la tension au
primaire U1 (qui vaut E1 car I1
est très faible), et la tension au
Secteur
230v ; 50Hz
V
∼
V
U1
∼
secondaire U2 (qui vaut E2 car I2 = 0A), puis on calcule le rapport de transformation m =
U20
U 20
.
U1
b) Essai en court-circuit : U2 = 0v
On appelle U1cc la valeur de U1, appliquée au primaire par l’intermédiaire d’un autotransformateur
qui délivre une tension variable de 0v à 230v, lorsque U2 égale à zéro volt et I2 (appelé I2cc) est égal à sa
valeur nominale I2n.
P1cc
U1 << 230v
I1cc
A
I2
W
∼
V
∼
I2cc
A
U1cc
∼
ls
E2 = m.u1cc
∼
4
rs
U2=0
JALBERT Roland : Professeur en CPGE-TSI au Lycée Saint-Cricq à Pau
-
On appelle Zs l’impédance de sortie du transformateur Z s = rs + j.l s .ω . Or d’après le modèle
m.U1cc
.
I 2cc
Grâce à un Wattmètre placé en entrée (ici P1cc) on mesure la puissance dissipée par effet joule :
équivalent E 2 = m.U 1cc = Z s .I 2cc ; Donc on en déduit : Z s =
-
P1 =
Pertes cuivre
+
rs . (I2cc)2
P1cc
Pertes fer
+
Puissance fournie à la charge P2
Négligeable car proportionnelle à U1 qui,
dans l’essai en court-circuit, est très faible.
Donc : P1cc = rs .I 22cc ; on déduit que : rs =
P1cc
I 22cc
P2 = 0w car U2 = 0v
.
- Sachant que le module de Zs est : Z s = rs2 + (l s .ω)2
; on en déduit que : l s .ω =
Zs
2
− rs2
8°) Détermination expérimentale de Rpf et de L :
b) Essai à vide : I2 = 0A
P10
i1
W
∼
Secteur
V
∼
U10
u1
I10
ia
i’1
i2
ir
ls
L e1
Rpf
rs
e2
u2
A
∼
P1 =
P10
Donc : P10 =
Pertes cuivre
+
Négligeable car I2 = 0A
Pertes cuivre = rs . I22
(U10 )2
R pf
;
Pertes fer
+
Puissance fournie à la charge P2
(U 10 )2
on en déduit : R pf =
P2 = 0w car I2 = 0A
R pf
(U10 )2
P10
Le module de l’impédance de l’inductance magnétisante L est égal à :
U
L.ω = 10 . Soit le diagramme vectoriel représentant les trois
Ir
courants, on déduit une relation entre les modules des vecteurs :
P
I r = (I10 )2 − (I a ) 2 avec I a = 10 .
U10
i1
u1
On en déduit la relation donnant L en fonction des grandeurs mesurées : L =
ir
ia
1
.
ω
U10
(I10 )2 −⎛⎜ P10
⎜U
⎝ 10
5
⎞
⎟⎟
⎠
2