TRANSFORMATEUR monophasé

JALBERT Roland : Professeur en CPGE-TSI au Lycée Saint-Cricq à Pau
TRANSFORMATEUR monophasé
1°) Equations générales de fonctionnement
La tension d’entrée u1 est dite tension au
primaire. La tension de sortie u2 est dite tension au
secondaire. L’élément Zu est le modèle équivalent
de l’utilisation, appelée aussi ‘charge’.
φ
u1
i1 i2
Bobinage
récepteur
Bobinage
récepteur
u2
Comme il a été démontré, dans le cours
‘électromagnétisme’ :
1
1
1111 e+
dt
di
.+i.r=u l ; 2
2
2222 e+
dt
di
.-i.r-=u l
φℜ=+ .i.ni.n 2211
Bobinage
récepteur
φ i2
Zu
u2
i1
u1
r1 et r2 sont les résistances électriques des
enroulements primaire et secondaire.
Les inductances l1 et l2 sont les inductances de fuite
du primaire et du secondaire. Bobinage
émetteur
Le flux magnétique φ est le flux commun aux deux
enroulements ; c’est le flux qui circule dans le
noyau de fer.
2°) Transformateur parfait
Un transformateur parfait est un transformateur dont on néglige l’influence des éléments :
- Qui consomment de l’énergie active : les résistances primaires (r1=0) et secondaires (r2=0), la
résistance modèle des pertes fer (Rpf = ∞).
- Qui consomment de l’énergie réactive : les inductances de fuite primaire (l1=0) et secondaire (l2=0),
l’inductance magnétisante (L=∞) car (R=0).
Les équations qui régissent le transformateur parfait sont :
dt
d
.neu 111
φ
== ; dt
d
.n-eu 222
φ
==
0i.ni.n 2211 =+ Représentation symbolique
On appelle rapport de transformation :
1
2
n
n
m=
i2
i1
dt
d
.ne 11
φ
= dt
d
.n-e 22
φ
=
pour un transformateur parfait :
2
1
1
2
1
2
i
i
u
u
n
n
m−=−==
La représentation vectorielle ci-contre des
grandeurs ‘courants et tensions’ du
transformateur parfait est réalisée en
considérant, de façon hypothétique, un
modèle d’utilisation Zu un peu inductif.
Ainsi le déphasage α2 entre sa tension u2
et son courant i2 est celui représenté. α2
u2=e2
i2
i1
u1=e1
φ
1

JALBERT Roland : Professeur en CPGE-TSI au Lycée Saint-Cricq à Pau
Le transformateur parfait est un adaptateur d’impédance :
i1
i2
i1
u1
u2Z’u
Zu
u1
L’impédance du dipôle vu du primaire Z’u est égale à celle de l’utilisation (la charge) Zu divisée par le
carré du rapport de transformation ‘m’.
1u1 i.'Zu =
1
2
u
1
u
2u
2
1i.
m
Z
m
m
i
.Z
m
i.Z
m
u
u=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−
−=−=−=
2
u
um
Z
'Z =
3°) Influence de la réluctance
R
:
Représentation symbolique
dt
d
.neu 111
φ
==
dt
d
.neu 222
φ
=−=−
φℜ=+ .i.ni.n 2211
Comme il est démontré
dans le cours ‘électromagnétisme’, il
existe une inductance L dans laquelle
circule un courant réactif ir (dit courant
magnétisant car il est quasiment
proportionnel au flux magnétique φ)
qui est en quadrature arrière avec la
tension e1.
i2
i’1
dt
d
.ne 11
φ
=
L
ir
i1
u1 dt
d
.n-e 22
φ
=
ir
α2
u2=e2
i2
u1=e1
φ
i’1
i1
4°) Influence des pertes fer P f :
Comme il est démontré dans le cours
‘électromagnétisme’, il existe des
pertes fer Pf qui sont proportionnelles
au carré de l’induction magnétique
Pf=K.B2; ces pertes fer sont donc
proportionnelles au flux magnétique
(φ=B.S). Par la loi de Boucherot, le
flux magnétique est proportionnel à la
tension primaire du transformateur.
Donc les pertes fer sont
proportionnelles au carré de la tension
primaire
pf
2
1
fR
u
P=
e1
Rpf
ia
L
ir i1
u1
i2
e2
i’1
Représentation symbolique
ir
α2
u2=e2
i2
i’1
i1
ia
u1=e1
φ
ar11 ii'ii ++=
2

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5°) Influence des résistances d’enroulement r 1 et r 2 , et des inductances de fuite
l
1 et
l
2 :
En considérant les résistances d’enroulement du primaire r1 et du secondaire r2 ainsi que des inductances
de fuite du primaire l1 et du secondaire l2, on obtient le modèle du transformateur réel dont les lois
générales sont présentées au premier paragraphe :
dt
φd
.n+
dt
di
.+i.r=u 1
1
1111 l ; dt
φd
.n+
dt
di
.+i.r=u 2
2
2222 l ; φℜ=+ .i.ni.n 2211
i’1 i2
u1
i1
ir
L
ia
Rpf e1 e2
l2
l1 r2
r1
1
2
n
n
m=
111111 i...ji.reu ω++= l222222 i...ji.rue ω++= l
j.l1.ω.i1
j.l2.ω.i2
i1
e1
i’1
i2
e2
α2
ir
ia
r1.i1
u1
r2.i2
u2
φ
u2
Représentation vectorielle des grandeurs électriques du transformateur réel
6°) Modèle simplifié de Kapp
Hypothèse de Kapp : les courants ia et ir ne circulent pas dans la résistance d’enroulement r1 et
l’inductance de fuite l1.
i’1 i2
Rpf
ia
L e1 e2
l2
l1 r2
r1
1
2
n
n
m=
u2
ir
i1
u1
On transfère les éléments en série (r1 , l1) le primaire vers le secondaire (r1.m2 , l1.m2)
i1
1
2
n
n
m=
i’1 i2
Rpf
ia
L e1 e2
r1.m2
r2 l1.m2
l2
ir
u1 u2
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Le modèle équivalent vu du secondaire est le suivant :
rs = r2 + r1.m2 ; l s = l 2 + l1.m2
On appelle α2 le déphasage entre la tension u2 et le courant
i2. Sa valeur est prise arbitrairement car elle dépend de
l’utilisation (charge) associé au secondaire du
transformateur.
rs
ls
es = e2 = m.u1
i2
u2
e2
Diagramme de KAPP
rs. i2
u2
i2
α2
j.ls.ω.i2
Représentation vectorielle :
2s2s22 i...ji.rue ω++= l
L'angle α2 entre u2 et i2 est du à la charge. Dans cette représentation la valeur de α2 est arbitraire.
La représentation ci-contre est plus
couramment utilisée.
22s2s2 ui...ji.re +ω+= l
En considérant que l'angle formé par e2 et
u2 est nul, car le module de la tension " rs. i
2 +
j.ls.ω.i2 " est beaucoup plus faible que celui de u2,
on en déduit que :
()
22s22s22 sin.i..cos.i.reu αω+α−= l
7°) Détermination expérimentale de r s et de
l
s :
Nota : les grandeurs courant et tension sont notées par des lettres majuscules car elles
correspondent à des mesures de valeurs efficaces.
a) Essai à vide : I2 = 0A
On appelle U20 la valeur de U2
lorsque I2 égale 0A.
On mesure la tension au
primaire U1 (qui vaut E1 car I1
est très faible), et la tension au
secondaire U2 (qui vaut E2 car I2 = 0A), puis on calcule le rapport de transformation
1
20
U
U
m=.
b) Essai en court-circuit : U2 = 0v
On appelle U1cc la valeur de U1, appliquée au primaire par l’intermédiaire d’un autotransformateur
qui délivre une tension variable de 0v à 230v, lorsque U2 égale à zéro volt et I2 (appelé I2cc) est égal à sa
valeur nominale I2n.
V
∼
V
∼
Secteur
230v ; 50Hz U1U20
I2cc rs
ls
I2
U2=0
E2 = m.u1cc
rs. i2
u2
e2
α2 i2
j.ls.ω.i2
A
∼
V
∼
U1 << 230v
U1cc
P1cc
W
∼
I1cc
A
∼
4

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- On appelle Zs l’impédance de sortie du transformateur . Or d’après le modèle
équivalent
ω+= ..jrZ sss l
cc2scc12 I.ZU.mE == ; Donc on en déduit :
cc2
cc1
sI
U.m
Z=.
- Grâce à un Wattmètre placé en entrée (ici P1cc) on mesure la puissance dissipée par effet joule :
P1 = Pertes cuivre + Pertes fer + Puissance fournie à la charge P2
P1cc rs . (I2cc)2 Négligeable car proportionnelle à U1 qui,
dans l’essai en court-circuit, est très faible.
P2 = 0w car U2 = 0v
Donc : ; on déduit que :
2
cc2scc1 I.rP =2
cc2
cc1
sI
P
r=.
- Sachant que le module de Zs est :
()
2
s
2
ss .rZ ω+= l ; on en déduit que : 2
s
2
ss rZ. −=ωl
8°) Détermination expérimentale de R pf et de L :
b) Essai à vide : I2 = 0A
Donc :
()
pf
2
10
10 R
U
P= ; on en déduit :
()
10
2
10
pf P
U
R=
Le module de l’impédance de l’inductance magnétisante L est égal à :
r
10
I
U
.L =ω . Soit le diagramme vectoriel représentant les trois
courants, on déduit une relation entre les modules des vecteurs :
() ()
2
a
2
10rIII −= avec
10
10
aU
P
I= .
On en déduit la relation donnant L en fonction des grandeurs mesurées :
()
2
10
10
2
10
10
U
P
I
U
.
1
L
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
ω
=
V
∼
Secteur
U10
W
∼
A
∼
I10
P10 i1 i’1 i2
Rpf
ia ir
L e1 e2
ls rs
u2
u1
P1 = Pertes cuivre + Pertes fer + Puissance fournie à la charge P2
P10
()
pf
2
10
R
U
Négligeable car I2 = 0A
Pertes cuivre = rs . I22 P2 = 0w car I2 = 0A
i1 ir
ia
u1
5