Exercices de thermodynamique

Sciences Physiques PT Lycée Follereau BM exercices thermodynamique
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Thermodynamique
1 Révisions PTSI
1.1 Transformations d’un gaz parfait
Une masse m de gaz parfait occupe, sous la pression P0 = 1 bar, à la température T0 = 293 K, le volume
V0 = 0,5 m3. Les chaleurs massiques de ce gaz sont constantes : cp = 1,17 kJ.kg−1.K−1 et
cV = 0,836 kJ.kg−1.K−1.
A partir de l'état E0, qui vient d'être défini, le gaz subit 4 évolutions réversibles qui le ramènent à l'état E0 en
passant par les états E1, E2, E3.
1°) Calculer la constante massique r = R / M relative à ce gaz, le rapport des chaleurs massiques et la
masse m de gaz présente dans le cylindre.
2°) On comprime le gaz de façon adiabatique jusqu'à la pression P1 = 20 bars. Calculer le volume V1 et la
température T1.
3°) Partant de l'état E1, on échauffe le gaz à pression constante en lui fournissant la quantité de chaleur
Q = 585,2 kJ ; il se trouve alors dans l'état E2. Calculer V2 et T2.
4°) A partir de E2, on réalise une détente adiabatique jusqu'au volume initiale V0. Le gaz se trouve alors dans
l'état E3. Calculer P3 et T3.
5°) Le gaz est refroidi, à volume constant jusqu'à la température T0. Calculer la quantité de chaleur q cédée
par le gaz lors de cette transformation.
6°) Dessiner l'allure du cycle en coordonnées (P,V). Calculer le travail W fourni par le gaz au cours de ce
cycle et le rendement du cycle que l'on comparera au rendement du cycle de Carnot effectué entre les mêmes
températures extrêmes.
1.2 Mélange de gaz
Deux réservoirs A et B, aux parois indéformables, contiennent de l’azote qui se comporte comme un gaz
parfait. Les mesures de température de pression et de volume donnent :
dans A : 27°C ; 0,1 bar ; 17,8 m 3
dans B : 47°C ; 0,3 bar ; 9,5 m 3
On donne pour l’azote : M = 28 g / mol ;  = 1,4 ; R = 8,31 J / K.mol
1° Calculer les masses d’azote dans A et dans B.
2° Après mise en communication des deux réservoirs, un équilibre s’instaure pour une pression P e =
0,166 bar. Calculer la température  e à l’équilibre. La mise en communication se fait sans mise en jeu de
travail. Calculer le transfert thermique reçu par le gaz au cours de cette opération.
3° On renouvelle l’expérience précédente mais l’ensemble des deux réservoirs est parfaitement
calorifugé. Déterminer la nouvelle température d’équilibre. Que peut-on dire de la variation d’entropie du
gaz ?
1.3 Phénomènes irréversibles
1°) Définir ce qu'est une transformation réversible. Donner deux exemples de phénomènes à l'origine de
l'irréversibilité d'une transformation.
2°) Illustration du principe d'entropie maximale
Deux cylindres de même section S, contenant deux gaz qui peuvent être différents, sont fermés par deux
pistons étanches. Ces deux pistons sont solidaires en ce sens que leurs axes restent verticaux et sont attachés
aux bras d'un levier dont le point fixe est deux fois plus près du premier cylindre que du second, comme
indiqué sur la figure.
Les deux cylindres reposent sur une table qui conduit la chaleur (une table métallique) et a pour seul effet de
permettre les échanges de chaleur entre les deux systèmes, c'est-à-dire entre les gaz contenus dans les deux
cylindres. Le système complet formé par ces deux cylindres est isolé et n'est pas soumis à une pression
extérieure.

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a) Déterminer la relation imposée par la présence du levier sur les variations de volumes dV1 et dV2 des deux
cylindres.
b) Écrire l'expression de la variation infinitésimale dS du système complet formé par les deux cylindres en
fonction des températures T1 et T2 des gaz contenus dans les deux cylindres, des pressions p1 et p2 qui règnent dans
les deux cylindres et des seules variations dV1 (variation de volume du gaz contenu dans le cylindre 1) et
dU1 (variation de l'énergie interne du gaz contenu dans le cylindre 1).Les capacités thermiques des cylindres et
de la table sont négligeables
c) Que vaut dS lorsque le système complet est à l'équilibre ? En déduire la relation entre les températures T1
et T2 , puis celle entre les pressions p1 et p2 des gaz dans les cylindres 1 et 2 lorsque l'équilibre est atteint.
1.4 Détente d’un gaz
On considère un cylindre indéformable à parois athermanes (ne permettant pas les échanges thermiques)
divisé intérieurement en deux compartiments de volumes identiques par une paroi de volume négligeable.
Les n moles de gaz parfait se trouvent dans le compartiment 1, le compartiment 2 étant vide. A l'état initial
le gaz est caractérisé par une pression P 1, une température T 1 et occupe un volume V 1. On ôte alors la
séparation et le gaz parfait occupe la totalité du cylindre. L'enlèvement de la séparation se fait sans travail.
1° En appliquant le premier principe de la thermodynamique, déterminer la variation d'énergie interne U
du gaz au cours de cette transformation. En déduire la température T 2 puis la pression P2 dans l'état final
d'équilibre.
2° On considère, uniquement pour cette question, le cas d'un gaz réel, comment est modifié l’état
d’équilibre ?
3° On considère à nouveau le cas du gaz parfait. Déterminer la variation d'entropie S pour cette
transformation. Que vaut la variation d'entropie d'échange S éch pour cette transformation ? En déduire
l'expression de l’entropie créée au cours de cette transformation.
1.5 Production d’énergie
On envisage de produire l'énergie électrique nécessaire à un satellite en utilisant un moteur fonctionnant
selon le cycle réversible suivant :
Compression isotherme de l'état A (1 bar ; 600 K) à l'état B (6 bars).
Echauffement isobare BC jusqu'à 1200 K.
Détente adiabatique CD.
Refroidissement isobare DA.
Le fluide décrivant le cycle est constitué de 10 moles de gaz parfait diatomique ( = 1,4).
1° Tracer l'allure du cycle dans le diagramme P,V (P en ordonnée). Déterminer les coordonnées P,V
et T des quatre points A, B, C D.
2° Calculer le travail fourni au cours du cycle. Définir et calculer le rendement thermodynamique du
cycle.
3° Calculer les variations d'entropie du gaz au cours des quatre évolutions.

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4° la source de chaleur est un réflecteur circulaire plan captant le rayonnement solaire, supposé
constant, et de puissance égale à 1,4 kW / m 2. Calculer le diamètre du réflecteur nécessaire au
fonctionnement d'un moteur de 3 kW.
1.6 Cycle Beau de Rochas
Un gaz parfait décrit le cycle réversible suivant (cycle de Beau de Rochas) :
compression adiabatique de l'état initial 1 (V 1, T 1, P 1) jusqu'à (V 1 / a , T 2 );
échauffement à volume constant jusqu'à T 3, le gaz recevant la quantité de chaleur Q ;
détente adiabatique jusqu'au volume V 1 et la température T 4 ;
refroidissement isochore jusqu'à T 1, le gaz perdant Q'.
1°) Tracer l’allure du cycle dans le diagramme P-V.
2°) Le gaz est de l'air (M = 29 g / mol), P1 = 1 bar, t1 = 15°C, V 1 = 0,4 L,  = 1,4 et a = 8 ; la chaleur reçue
pendant l'échauffement est de 2700 J / g d'air. Calculer la masse m d’air décrivant le cycle. Déterminer les
coordonnées P, V et T des points remarquables du cycle.
3°) Exprimer l’énergie thermique Q’ et le travail W reçus par le gaz au cours d’un cycle en fonction des
températures. Faire l’application numérique.
4°) Définir et calculer le rendement du cycle. Comparer ce rendement à celui d’un cycle de Carnot.
5°) Montrer que le rendement dépend que de a et du rapport  des chaleurs massique et prend la forme :
 = 1 – 1 / a  - 1.
1.7 Pompe à chaleur
La pompe à chaleur fonctionne réversiblement
entre une source froide à température T1
constante et une source chaude constituée d’une
tonne d’eau à chauffer.
L’eau passe de T = 12°C à T = 47°C. On notera
C la capacité thermique totale de l’eau.
Calculer le travail nécessaire pour cette
opération.
Quelle température atteindrait-on si on utilisait
cette énergie pour chauffer directement l’eau ?
1.8 Climatiseur
Un climatiseur décrivant des cycles réversibles
utilisant deux sources thermiques est installé
dans une salle de classe. La salle est à la température extérieure T ext = 303 K, on allume le climatiseur pour
obtenir une température de la salle T f = 293 K. La capacité thermique de la pièce est C = 5 000 kJ / K.
1° La puissance électrique du climatiseur est de 250 W. Calculer la durée de mise en température de
la salle de classe.
2° Après les vacances d’hiver, la température de la salle et de l’extérieur est descendue à 283 K.
Calculer la durée du chauffage pour obtenir une température de 293 K.
3° Quelle serait cette durée avec un radiateur électrique de même puissance ?
1.9 Climatisation 2
On désire refroidir une pièce dont la température initiale est To = 300 K. On utilise à cet effet un appareil à
air conditionné constitué d'une cuve contenant de l'eau servant de source chaude à une machine frigorifique,
l'atmosphère de la pièce étant considérée comme source froide. Le fluide frigorifique est mis successivement
en contact avec ces deux sources selon un cycle de Carnot. La machine est actionnée grâce à un moteur
consommant une puissance P = 120 W. On supposera le fonctionnement réversible. Il n'y a pas d'échange
thermique autrement que par l'intermédiaire du fluide frigorifique : en particulier la cuve est isolée par
rapport à la pièce, et la pièce l'est par rapport au milieu extérieur. On supposera les capacités thermiques de
la pièce et de la masse d'eau constantes et égales, soit : C = 2.106 J.K-1. Dans toute l'étude les quantités de
chaleur seront exprimées en joules.
Les deux sources étant initialement à la même température To, on met la machine en route à l'instant zéro, et
on se propose de déterminer comment varient les températures T1 et T2 de la source froide et de la source
chaude respectivement, en fonction du temps t.
T1 = 12°C
Une tonne
d’eau
à T
Pompe
à
chaleur
W

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1°) On utilise les variables réduites :
011 TTx 
,
022 TTx 
,
0
TCtPy 
Déterminer les équations vérifiées par les x1et x2 en fonction du temps réduit y.
Tracer les graphes des températures réduites x1, et x2 en fonction du temps réduit y.
2°) Les valeurs trop grandes de x2 et trop faibles de x1 n'ont évidemment aucun sens pratique (on ne va pas
jusqu’à vaporiser l'eau de la cuve, ni liquéfier l'air de la pièce!). On arrête en fait la machine lorsque
T1 = 290 K. Quelle est la valeur de T2 ?
Calculer le temps pendant lequel la machine a dû fonctionner.
3°) Pour éviter à la source chaude de chauffer, on renouvelle perpétuellement l'eau de la cuve par de l'eau
courante à température T0, avec un débit suffisant pour que T2 reste constamment égal à T0.
Trouver la nouvelle relation entre x1 et y.
Quel est le temps ' nécessaire pour que T1, initialement égal à T0., atteigne 290 K? Comparer avec la valeur
de la question précédente. Commenter.
4°)On tient compte maintenant des fuites thermiques de la pièce. La quantité de chaleur qu'elle du milieu
extérieur pendant la durée dt est de la forme :
dtTTaC 10 
, T1 étant la température de la pièce à l'instant t,
et a une constante. T2 est toujours égal à T0.
a) T1 valant 290 K, on arrête la machine. Il faut alors attendre 6930 s pour que T1 atteigne 295 K. Calculer
numériquement a.
b) La pièce étant initialement à la température T0 on met la machine en route. Expliquer pourquoi on atteint
une température limite. Que vaut cette température limite?
2 Etude des systèmes ouverts
2.1 Détente de Joule-Thomson
La détente de Joule-Thomson, étudiée en première année, correspond à un cas particulier pour lequel le
travail indiqué comme le transfert thermique sont nuls.
1°) Rappeler les conditions correspondant à une détente de Joule-Thomson.
2°) Montrer qu’il s’agit d’une transformation à enthalpie du fluide constante.
3°) Rappeler l’identité thermodynamique reliant les variations d’enthalpie, d’entropie et de pression.
Montrer que l’évolution du fluide est irréversible.
2.2 Propriétés de l’air
On considère l’air assimilé à un gaz parfait diatomique, de masse molaire M = 29 g.mol−1.
1°) Exprimer l’enthalpie massique de n moles en fonction de la température. En déduire la valeur de la
capacité thermique massique cP telle que dh = cP dT.
2°) Rappeler l’identité thermodynamique reliant les variations d’enthalpie, d’entropie et de pression. En
déduire, pour l’air, l’expression de la variation d’entropie massique.
3°) On définit = Cpm / Cvm. Quelle est sa valeur pour l’air ? Quel lien existe-t-il avec cP ?
4°) Retrouver la loi de Laplace liant pression et température dans une évolution adiabatique réversible pour
un gaz parfait.
2.3 Détente d’un gaz parfait dans une turbine
Un gaz parfait diatomique pour lequel on donne la capacité thermique massique cP = 103 J.kg−1.K−1 traverse
une turbine calorifugée. Le débit massique est égal à 1,5 kg.s−1 et on donne les conditions de l’entrée :
pression Pe = 10 bars, température
e = 700 °C. En sortie, la pression est Ps = 1 bar et la température
s = 280 °C.
1°) Déterminer la puissance indiquée. Commenter le signe.
2°) Exprimer la variation d’entropie, l’évolution est-elle réversible ?
3°) Quelle serait la température de sortie dans le cas isentropique ? En déduire le rendement de la turbine par
rapport à l’isentropique.
2.4 Détente d’un gaz parfait dans une tuyère
Déterminer la vitesse maximale d’éjection d’un gaz parfait diatomique dans une tuyère adiabatique, lorsque
les conditions d’entrée sont : 1,5 bar – 900 K. La pression de sortie est égale à 1 bar. On donne
cP = 103 J.kg−1.K−1.

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2.5 Bilan énergétique d'un système ouvert
On pompe de l'eau d'un bassin, à la température Tb = 363 K, avec un débit volumique de qv = 180 L/min,
vers un réservoir placé z = 20 m plus haut. Avant de pénétrer dans le réservoir, l'eau est refroidie dans un
échangeur en cédant 45 MJ/min. Le régime est stationnaire et la puissance mécanique fournie par la pompe
est Pm = 2 kW. La capacité thermique massique de l'eau est cm = 4,2 kJ/kg et son énergie cinétique
macroscopique est négligeable.
Trouver la température Tr de l'eau qui entre dans le réservoir.
2.6 Écoulement d'air dans une conduite de section variable
On considère l'écoulement d'air dans une conduite cylindrique horizontale, rigide et adiabatique, de section
variable. Les données techniques sont les suivantes : le débit massique est qm = 3 kg/s ; à l'entrée, la vitesse
est ve = 300 m/s, la masse volumique
e = 5 kg.m-3, la pression est pe = 5, 4 bar et la température est
Te = 573 K ; à la sortie, la vitesse est vs = 500 m/s, la masse volumique
s = 1 kg.m-3, la pression est ps = 1
bar et la température Ts. On donne la masse molaire de l'air : M = 29 g.mol–1.
1) Relier la variation d'enthalpie d'une masse d'air de 1 kg, entre l'entrée de la conduite et la sortie, à la
variation d'énergie cinétique correspondante.
2) En déduire la température de l'air à la sortie. Comparer cette détente à la détente de Joule-Thomson.
3) Quelle est la variation d'entropie de cette masse d'air ? L'évolution est-elle réversible ou irréversible ?
Justifier.
4) Calculer les aires des sections droites de la conduite à l'entrée et à la sortie.
2.7 Etude d’un conditionneur d’air
L’installation schématisée ci-contre a
pour but de chauffer un local et d’en
renouveler l’air. Celui-ci est prélevé
en (1) et rejeté en (4) et
parallèlement, on aspire de l’air frais
en (5) et on l’injecte dans le local en
(6).
Hypothèses générales :
- On négligera les variations
d’énergie cinétique et potentielle
ainsi que les pertes dans les
machines. Les évolutions sont
réversibles.
- On suppose que le débit massique d’air inspiré dans le local (en1) est égal à celui refoulé en (6).
- L’air sera assimilé à un gaz parfait défini par sa capacité thermique massique cP = 103 J.kg−1.K−1 et
= 1,40.
- Température extérieure T5 = 273 K, température minimale dans le local : T1 = 293 K.
- Pression ambiante dans le local et à l’extérieur : P1 = P4 = P5 = P6 = 1 bar.
- P2 / P1 étant le taux de compression, on notera   
- L’échangeur E est caractérisé par son « pincement », noté T, ainsi défini T = T2 − T6 = 20 K.
1°) En effectuant des bilans sur les divers éléments, exprimer la puissance Pm du moteur en fonction du débit
Dm, de cP, T1 , T5, T et x.
2°) Montrer que T6 = x T1 − T.
3°) Le fait de remplacer l’air vicié par l’air neuf est à l’origine d’un échange thermique entre le local et
l’extérieur, soit P1-6 la puissance correspondante, on peut écrire P1-6 = Dm cP (T6 – T1). On définit le
coefficient d’effet calorifique :
C = P1-6 / Pm.
a) Déterminer la valeur numérique de x rendant
C maximal. En déduire la valeur numérique du taux de
compression, du coefficient d’effet calorifique et celle de la température T6.
b) Par souci de confort, on fixe T6 = 300 K, recalculer x, le taux de compression et le coefficient d’effet.
Commenter.