Exercices de thermodynamique

Thermodynamique
1 Révisions PTSI
1.1 Transformations d’un gaz parfait
Une masse m de gaz parfait occupe, sous la pression P0 = 1 bar, à la température T0 = 293 K, le volume
V0 = 0,5 m3. Les chaleurs massiques de ce gaz sont constantes : cp = 1,17 kJ.kg−1.K−1 et
cV = 0,836 kJ.kg−1.K−1.
A partir de l'état E0, qui vient d'être défini, le gaz subit 4 évolutions réversibles qui le ramènent à l'état E0 en
passant par les états E1, E2, E3.
1°) Calculer la constante massique r = R / M relative à ce gaz, le rapport  des chaleurs massiques et la
masse m de gaz présente dans le cylindre.
2°) On comprime le gaz de façon adiabatique jusqu'à la pression P1 = 20 bars. Calculer le volume V1 et la
température T1.
3°) Partant de l'état E1, on échauffe le gaz à pression constante en lui fournissant la quantité de chaleur
Q = 585,2 kJ ; il se trouve alors dans l'état E2. Calculer V2 et T2.
4°) A partir de E2, on réalise une détente adiabatique jusqu'au volume initiale V0. Le gaz se trouve alors dans
l'état E3. Calculer P3 et T3.
5°) Le gaz est refroidi, à volume constant jusqu'à la température T0. Calculer la quantité de chaleur q cédée
par le gaz lors de cette transformation.
6°) Dessiner l'allure du cycle en coordonnées (P,V). Calculer le travail W fourni par le gaz au cours de ce
cycle et le rendement du cycle que l'on comparera au rendement du cycle de Carnot effectué entre les mêmes
températures extrêmes.
1.2 Mélange de gaz
Deux réservoirs A et B, aux parois indéformables, contiennent de l’azote qui se comporte comme un gaz
parfait. Les mesures de température de pression et de volume donnent :
dans A : 27°C ; 0,1 bar ; 17,8 m 3
dans B : 47°C ; 0,3 bar ; 9,5 m 3
On donne pour l’azote : M = 28 g / mol ;  = 1,4 ; R = 8,31 J / K.mol
1° Calculer les masses d’azote dans A et dans B.
2° Après mise en communication des deux réservoirs, un équilibre s’instaure pour une pression P e =
0,166 bar. Calculer la température  e à l’équilibre. La mise en communication se fait sans mise en jeu de
travail. Calculer le transfert thermique reçu par le gaz au cours de cette opération.
3° On renouvelle l’expérience précédente mais l’ensemble des deux réservoirs est parfaitement
calorifugé. Déterminer la nouvelle température d’équilibre. Que peut-on dire de la variation d’entropie du
gaz ?
1.3 Phénomènes irréversibles
1°) Définir ce qu'est une transformation réversible. Donner deux exemples de phénomènes à l'origine de
l'irréversibilité d'une transformation.
2°) Illustration du principe d'entropie maximale
Deux cylindres de même section S, contenant deux gaz qui peuvent être différents, sont fermés par deux
pistons étanches. Ces deux pistons sont solidaires en ce sens que leurs axes restent verticaux et sont attachés
aux bras d'un levier dont le point fixe est deux fois plus près du premier cylindre que du second, comme
indiqué sur la figure.
Les deux cylindres reposent sur une table qui conduit la chaleur (une table métallique) et a pour seul effet de
permettre les échanges de chaleur entre les deux systèmes, c'est-à-dire entre les gaz contenus dans les deux
cylindres. Le système complet formé par ces deux cylindres est isolé et n'est pas soumis à une pression
extérieure.
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a) Déterminer la relation imposée par la présence du levier sur les variations de volumes dV1 et dV2 des deux
cylindres.
b) Écrire l'expression de la variation infinitésimale dS du système complet formé par les deux cylindres en
fonction des températures T1 et T2 des gaz contenus dans les deux cylindres, des pressions p1 et p2 qui règnent dans
les deux cylindres et des seules variations dV1 (variation de volume du gaz contenu dans le cylindre 1) et
dU1 (variation de l'énergie interne du gaz contenu dans le cylindre 1).Les capacités thermiques des cylindres et
de la table sont négligeables
c) Que vaut dS lorsque le système complet est à l'équilibre ? En déduire la relation entre les températures T1
et T2 , puis celle entre les pressions p1 et p2 des gaz dans les cylindres 1 et 2 lorsque l'équilibre est atteint.
1.4 Détente d’un gaz
On considère un cylindre indéformable à parois athermanes (ne permettant pas les échanges thermiques)
divisé intérieurement en deux compartiments de volumes identiques par une paroi de volume négligeable.
Les n moles de gaz parfait se trouvent dans le compartiment 1, le compartiment 2 étant vide. A l'état initial
le gaz est caractérisé par une pression P 1, une température T 1 et occupe un volume V 1. On ôte alors la
séparation et le gaz parfait occupe la totalité du cylindre. L'enlèvement de la séparation se fait sans travail.
1° En appliquant le premier principe de la thermodynamique, déterminer la variation d'énergie interne U
du gaz au cours de cette transformation. En déduire la température T 2 puis la pression P2 dans l'état final
d'équilibre.
2° On considère, uniquement pour cette question, le cas d'un gaz réel, comment est modifié l’état
d’équilibre ?
3° On considère à nouveau le cas du gaz parfait. Déterminer la variation d'entropie S pour cette
transformation. Que vaut la variation d'entropie d'échange S éch pour cette transformation ? En déduire
l'expression de l’entropie créée au cours de cette transformation.
1.5 Production d’énergie
On envisage de produire l'énergie électrique nécessaire à un satellite en utilisant un moteur fonctionnant
selon le cycle réversible suivant :
Compression isotherme de l'état A (1 bar ; 600 K) à l'état B (6 bars).
Echauffement isobare BC jusqu'à 1200 K.
Détente adiabatique CD.
Refroidissement isobare DA.
Le fluide décrivant le cycle est constitué de 10 moles de gaz parfait diatomique ( = 1,4).
1° Tracer l'allure du cycle dans le diagramme P,V (P en ordonnée). Déterminer les coordonnées P,V
et T des quatre points A, B, C D.
2° Calculer le travail fourni au cours du cycle. Définir et calculer le rendement thermodynamique du
cycle.
3° Calculer les variations d'entropie du gaz au cours des quatre évolutions.
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4° la source de chaleur est un réflecteur circulaire plan captant le rayonnement solaire, supposé
constant, et de puissance égale à 1,4 kW / m 2. Calculer le diamètre du réflecteur nécessaire au
fonctionnement d'un moteur de 3 kW.
1.6 Cycle Beau de Rochas
Un gaz parfait décrit le cycle réversible suivant (cycle de Beau de Rochas) :
compression adiabatique de l'état initial 1 (V 1, T 1, P 1) jusqu'à (V 1 / a , T 2 );
échauffement à volume constant jusqu'à T 3, le gaz recevant la quantité de chaleur Q ;
détente adiabatique jusqu'au volume V 1 et la température T 4 ;
refroidissement isochore jusqu'à T 1, le gaz perdant Q'.
1°) Tracer l’allure du cycle dans le diagramme P-V.
2°) Le gaz est de l'air (M = 29 g / mol), P1 = 1 bar, t1 = 15°C, V 1 = 0,4 L,  = 1,4 et a = 8 ; la chaleur reçue
pendant l'échauffement est de 2700 J / g d'air. Calculer la masse m d’air décrivant le cycle. Déterminer les
coordonnées P, V et T des points remarquables du cycle.
3°) Exprimer l’énergie thermique Q’ et le travail W reçus par le gaz au cours d’un cycle en fonction des
températures. Faire l’application numérique.
4°) Définir et calculer le rendement du cycle. Comparer ce rendement à celui d’un cycle de Carnot.
5°) Montrer que le rendement dépend que de a et du rapport  des chaleurs massique et prend la forme :
 = 1 – 1 / a  - 1.
1.7 Pompe à chaleur
Une tonne
La pompe à chaleur fonctionne réversiblement
d’eau
T1 = 12°C
entre une source froide à température T1
àT
constante et une source chaude constituée d’une
tonne d’eau à chauffer.
L’eau passe de T = 12°C à T = 47°C. On notera
C la capacité thermique totale de l’eau.
Pompe
Calculer le travail nécessaire pour cette
à
opération.
chaleur
Quelle température atteindrait-on si on utilisait
cette énergie pour chauffer directement l’eau ?
1.8
Climatiseur
W
Un climatiseur décrivant des cycles réversibles
utilisant deux sources thermiques est installé
dans une salle de classe. La salle est à la température extérieure T ext = 303 K, on allume le climatiseur pour
obtenir une température de la salle T f = 293 K. La capacité thermique de la pièce est C = 5 000 kJ / K.
1° La puissance électrique du climatiseur est de 250 W. Calculer la durée de mise en température de
la salle de classe.
2° Après les vacances d’hiver, la température de la salle et de l’extérieur est descendue à 283 K.
Calculer la durée du chauffage pour obtenir une température de 293 K.
3° Quelle serait cette durée avec un radiateur électrique de même puissance ?
1.9 Climatisation 2
On désire refroidir une pièce dont la température initiale est To = 300 K. On utilise à cet effet un appareil à
air conditionné constitué d'une cuve contenant de l'eau servant de source chaude à une machine frigorifique,
l'atmosphère de la pièce étant considérée comme source froide. Le fluide frigorifique est mis successivement
en contact avec ces deux sources selon un cycle de Carnot. La machine est actionnée grâce à un moteur
consommant une puissance P = 120 W. On supposera le fonctionnement réversible. Il n'y a pas d'échange
thermique autrement que par l'intermédiaire du fluide frigorifique : en particulier la cuve est isolée par
rapport à la pièce, et la pièce l'est par rapport au milieu extérieur. On supposera les capacités thermiques de
la pièce et de la masse d'eau constantes et égales, soit : C = 2.106 J.K-1. Dans toute l'étude les quantités de
chaleur seront exprimées en joules.
Les deux sources étant initialement à la même température To, on met la machine en route à l'instant zéro, et
on se propose de déterminer comment varient les températures T1 et T2 de la source froide et de la source
chaude respectivement, en fonction du temps t.
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1°) On utilise les variables réduites : x1  T1 T0 , x2  T2 T0 , y  P t C T0 
Déterminer les équations vérifiées par les x1et x2 en fonction du temps réduit y.
Tracer les graphes des températures réduites x1, et x2 en fonction du temps réduit y.
2°) Les valeurs trop grandes de x2 et trop faibles de x1 n'ont évidemment aucun sens pratique (on ne va pas
jusqu’à vaporiser l'eau de la cuve, ni liquéfier l'air de la pièce!). On arrête en fait la machine lorsque
T1 = 290 K. Quelle est la valeur de T2 ?
Calculer le temps  pendant lequel la machine a dû fonctionner.
3°) Pour éviter à la source chaude de chauffer, on renouvelle perpétuellement l'eau de la cuve par de l'eau
courante à température T0, avec un débit suffisant pour que T2 reste constamment égal à T0.
Trouver la nouvelle relation entre x1 et y.
Quel est le temps ' nécessaire pour que T1, initialement égal à T0., atteigne 290 K? Comparer avec la valeur
de la question précédente. Commenter.
4°)On tient compte maintenant des fuites thermiques de la pièce. La quantité de chaleur qu'elle du milieu
extérieur pendant la durée dt est de la forme : aC T0  T1  dt , T1 étant la température de la pièce à l'instant t,
et a une constante. T2 est toujours égal à T0.
a) T1 valant 290 K, on arrête la machine. Il faut alors attendre 6930 s pour que T1 atteigne 295 K. Calculer
numériquement a.
b) La pièce étant initialement à la température T0 on met la machine en route. Expliquer pourquoi on atteint
une température limite. Que vaut cette température limite?
2 Etude des systèmes ouverts
2.1 Détente de Joule-Thomson
La détente de Joule-Thomson, étudiée en première année, correspond à un cas particulier pour lequel le
travail indiqué comme le transfert thermique sont nuls.
1°) Rappeler les conditions correspondant à une détente de Joule-Thomson.
2°) Montrer qu’il s’agit d’une transformation à enthalpie du fluide constante.
3°) Rappeler l’identité thermodynamique reliant les variations d’enthalpie, d’entropie et de pression.
Montrer que l’évolution du fluide est irréversible.
2.2 Propriétés de l’air
On considère l’air assimilé à un gaz parfait diatomique, de masse molaire M = 29 g.mol−1.
1°) Exprimer l’enthalpie massique de n moles en fonction de la température. En déduire la valeur de la
capacité thermique massique cP telle que dh = cP dT.
2°) Rappeler l’identité thermodynamique reliant les variations d’enthalpie, d’entropie et de pression. En
déduire, pour l’air, l’expression de la variation d’entropie massique.
3°) On définit  = Cpm / Cvm. Quelle est sa valeur pour l’air ? Quel lien existe-t-il avec cP ?
4°) Retrouver la loi de Laplace liant pression et température dans une évolution adiabatique réversible pour
un gaz parfait.
2.3 Détente d’un gaz parfait dans une turbine
Un gaz parfait diatomique pour lequel on donne la capacité thermique massique cP = 103 J.kg−1.K−1 traverse
une turbine calorifugée. Le débit massique est égal à 1,5 kg.s−1 et on donne les conditions de l’entrée :
pression Pe = 10 bars, température e = 700 °C. En sortie, la pression est Ps = 1 bar et la température
s = 280 °C.
1°) Déterminer la puissance indiquée. Commenter le signe.
2°) Exprimer la variation d’entropie, l’évolution est-elle réversible ?
3°) Quelle serait la température de sortie dans le cas isentropique ? En déduire le rendement de la turbine par
rapport à l’isentropique.
2.4 Détente d’un gaz parfait dans une tuyère
Déterminer la vitesse maximale d’éjection d’un gaz parfait diatomique dans une tuyère adiabatique, lorsque
les conditions d’entrée sont : 1,5 bar – 900 K. La pression de sortie est égale à 1 bar. On donne
cP = 103 J.kg−1.K−1.
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2.5 Bilan énergétique d'un système ouvert
On pompe de l'eau d'un bassin, à la température Tb = 363 K, avec un débit volumique de qv = 180 L/min,
vers un réservoir placé z = 20 m plus haut. Avant de pénétrer dans le réservoir, l'eau est refroidie dans un
échangeur en cédant 45 MJ/min. Le régime est stationnaire et la puissance mécanique fournie par la pompe
est Pm = 2 kW. La capacité thermique massique de l'eau est cm = 4,2 kJ/kg et son énergie cinétique
macroscopique est négligeable.
Trouver la température Tr de l'eau qui entre dans le réservoir.
2.6 Écoulement d'air dans une conduite de section variable
On considère l'écoulement d'air dans une conduite cylindrique horizontale, rigide et adiabatique, de section
variable. Les données techniques sont les suivantes : le débit massique est qm = 3 kg/s ; à l'entrée, la vitesse
est ve = 300 m/s, la masse volumique e = 5 kg.m-3, la pression est pe = 5, 4 bar et la température est
Te = 573 K ; à la sortie, la vitesse est vs = 500 m/s, la masse volumique s = 1 kg.m-3, la pression est ps = 1
bar et la température Ts. On donne la masse molaire de l'air : M = 29 g.mol–1.
1) Relier la variation d'enthalpie d'une masse d'air de 1 kg, entre l'entrée de la conduite et la sortie, à la
variation d'énergie cinétique correspondante.
2) En déduire la température de l'air à la sortie. Comparer cette détente à la détente de Joule-Thomson.
3) Quelle est la variation d'entropie de cette masse d'air ? L'évolution est-elle réversible ou irréversible ?
Justifier.
4) Calculer les aires des sections droites de la conduite à l'entrée et à la sortie.
2.7 Etude d’un conditionneur d’air
L’installation schématisée ci-contre a
pour but de chauffer un local et d’en
renouveler l’air. Celui-ci est prélevé
en (1) et rejeté en (4) et
parallèlement, on aspire de l’air frais
en (5) et on l’injecte dans le local en
(6).
Hypothèses générales :
- On négligera les variations
d’énergie cinétique et potentielle
ainsi que les pertes dans les
machines. Les évolutions sont
réversibles.
- On suppose que le débit massique d’air inspiré dans le local (en1) est égal à celui refoulé en (6).
- L’air sera assimilé à un gaz parfait défini par sa capacité thermique massique cP = 103 J.kg−1.K−1 et
 = 1,40.
- Température extérieure T5 = 273 K, température minimale dans le local : T1 = 293 K.
- Pression ambiante dans le local et à l’extérieur : P1 = P4 = P5 = P6 = 1 bar.
- P2 / P1 étant le taux de compression, on notera
- L’échangeur E est caractérisé par son « pincement », noté T, ainsi défini T = T2 − T6 = 20 K.
1°) En effectuant des bilans sur les divers éléments, exprimer la puissance Pm du moteur en fonction du débit
Dm, de cP, T1 , T5, T et x.
2°) Montrer que T6 = x T1 − T.
3°) Le fait de remplacer l’air vicié par l’air neuf est à l’origine d’un échange thermique entre le local et
l’extérieur, soit P1-6 la puissance correspondante, on peut écrire P1-6 = Dm cP (T6 – T1). On définit le
coefficient d’effet calorifique : C = P1-6 / Pm.
a) Déterminer la valeur numérique de x rendant C maximal. En déduire la valeur numérique du taux de
compression, du coefficient d’effet calorifique et celle de la température T6.
b) Par souci de confort, on fixe T6 = 300 K, recalculer x, le taux de compression et le coefficient d’effet.
Commenter.
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2.8 Machine frigorifique à air
On étudie une installation permettant de refroidir un local par air pulsé : l’air est envoyé dans ce local à la
température de −70°C , puis est aspiré à la température de −40°C .
Hypothèses :
- l'air est assimilé à un gaz parfait défini par sa capacité thermique massique à pression constante, notée cp et
par son exposant isentropique . On donne cp = 1 kJ.kg-1. K-1 et  = 1,40.
- Les évolutions à l'intérieur des compresseurs et turbines sont supposées adiabatiques.
- Echangeurs, régénérateur et échangeur commun sont parfaitement calorifugés.
- On définit le coefficient d'effet frigorifique d'une telle installation comme étant le rapport entre la quantité
de chaleur massique prise au local (donc reçue par l'air pulsé), notée qlocal et le (ou la somme des)
travail(aux) massique(s) fourni(s) par le(s) moteur(s), noté wm .
Etude de l’installation :
Le compresseur aspire l'air « tiède » du local
à refroidir à la température de – 40 °C
( T1 =  40°C = 233 K). Après compression,
l'air est refroidi dans l'échangeur (utilisation
de l'air extérieur ambiant) jusqu'à la
température de 60°C (T3 = 60°C = 333 K).
Après détente dans la turbine, l'air est
envoyé dans le local à refroidir à la
température de 70°C (T4 =  70°C
= 203 K). Le moteur et la turbine entraînent
le compresseur. On rappelle que P2 = P3 et que P4 = P1 = 1 bar .
Hypothèse 1 : on suppose que les évolutions dans le compresseur et la turbine sont réversibles.
1°) Donner l'expression littérale ( en fonction de T3 et T4), puis numérique du taux de compression du
compresseur (noté P2/ P1 ) et de la température T2 .
2°) Donner l'expression littérale, puis numérique :
- du travail indiqué massique de compression, noté wic
- du travail indiqué massique de détente, noté wit
- du travail massique fourni par le moteur, noté wm
- de la quantité de chaleur massique prise au local à refroidir, notée q4-1 = qlocal .
En déduire la valeur du coefficient d'effet frigorifique de cette installation.
Hypothèse 2 : on assimile l'évolution dans le compresseur à une évolution adiabatique irréversible
polytropique d'exposant kc , celle dans la turbine à une évolution adiabatique irréversible polytropique
d'exposant kt. On donne kc = 1,45 et kt = 1,36.
3°) Répondre aux mêmes questions que précédemment (questions 1, 2).
Commenter ce dernier résultat (valeur du coefficient d'effet frigorifique)
4°) Calculer la création d'entropie massique Scc , due à l'irréversibilité de l'évolution dans le compresseur.
2.9 Transformation polytropique modélisant une transformation réelle irréversible.
Pour modéliser une transformation réelle irréversible, on utilise une transformation fictive réversible,
polytropique avec un gaz parfait. Cela revient à considérer que les irréversibilités sont réparties
uniformément tout au long de la compression. On connaît l’état initial (T1, p1) et l’état final (T2, p2). On peut
mesurer facilement les températures et les pressions avec des capteurs.
1°) Exprimer k en fonction des grandeurs p2/ p1 et de T1/ T2.
2°) Calculer le travail de transvasement polytropique qu’on notera wTk en fonction de p2 v2 et p1 v1.
3°) Calculer le travail indiqué wi.
4°) En déduire le transfert thermique massique qef correspondant à l’échauffement du fluide provoqué par
des frottements internes.
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3 Diagrammes thermodynamiques
3.1 Compressions dans le diagramme (T,s)
On a représenté sur le diagramme ci-contre différentes
compressions dans le diagramme (T,s).
1°) Evolution isotherme réversible 1-2 :
par quelles aires sont représentées les grandeurs qe, wT
et we ?
2°) Evolution adiabatique réversible 1-2s. :
par quelles aires sont représentées les grandeurs qe, wT
et wi ?
3°) Evolution polytropique réversible 1-2r :
par quelles aires sont représentées les grandeurs qe, wT
et wi ?
4°) Evolution polytropique irréversible 1-2ir
par quelles aires sont représentées les grandeurs qef, wT et wi ?
3.2 Détentes adiabatiques dans le diagramme (T,s)
1°) Evolution adiabatique réversible 1-2s. :
par quelle aire est représenté wis ?
2°) Evolution adiabatique irréversible 1-2ir. :
par quelle aire est représenté wi ?
3.3 Turbine idéale. Étude à partir du diagramme (h,s)
L'air sera assimilé à un gaz parfait de constante
r = 287 J.kg–1.K–1 et de capacité thermique massique
cp = 1000 J.kg–1.K–1. Pour simplifier on admettra que la pression atmosphérique est égale à 1 bar. On
négligera les énergies cinétiques à l'admission et à l'échappement. La détente de l'air comprimé est réalisée
dans une turbine idéale, supposée parfaitement calorifugée et ne comportant aucun frottement fluide ni
aucun frottement mécanique.
A l’entrée, P1 = 6 bars et 1 = 100°C, à la sortie de la turbine, P2 = 1 bar.
Le diagramme enthalpique de l'air fourni (Annexe1 cours) est établi expérimentalement.
1°) Tracer sur le diagramme h, s l'évolution 1-2 de l'air dans la turbine et en déduire la température
d'échappement 2.
2°) En déduire le travail massique fourni par la turbine.
3°) Quelle devrait être la température d'admission 3, pour que la température d'échappement soit 4 = 0 °C?
La déterminer à partir du tracé de l'évolution 3-4 sur le diagramme h s. Quel serait alors le travail massique?
Comparer avec le résultat obtenu en 2). et donner une interprétation physique simple de la différence.
3.4 Etude de la détente dans une turbine à gaz
Les gaz de combustion détendus par une turbine à gaz sont assimilés à un gaz parfait de constante massique
r = 288 J.kg–1.K–1 et de rapport des chaleurs massiques à pression constante et à volume constant  = 1,34.
Ces gaz de combustion ont été produits à une pression p1 = 8 bars et une température T1 = 1100 K, qui sont
les conditions à rentrée de la turbine.
La turbine est parfaitement calorifugée et opère une détente des gaz de combustion, avec production d'un
travail extérieur cédé aux aubages mobiles de la machine.
A l'échappement de la turbine, on mesure une pression p2 = 1 bar et une température T2 = 800 K.
1°) Calculer, en kJ.kg–1, le travail massique indiqué.
2°) On veut obtenir une puissance indiqué Pi = 10 000 kW. Quel est le débit masse de gaz ?
3°) Calculer la variation d'entropie massique s2 – s1 des gaz à la traversée de la turbine.
4°) Représenter schématiquement l'allure de l'évolution sur un diagramme entropique (T,s) en choisissant le
zéro d'entropie au point 1. En admettant que l'évolution 1-2 est représentée par un segment de droite,
calculer l'aire du trapèze délimité parle segment 1-2 et sa projection sur l'axe des entropies. Donner une
interprétation physique de cette aire : que représente-t-elle dans le fonctionnement de la turbine ?
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5°) Pour représenter l'évolution réelle des gaz de combustion dans la turbine, on utilise une loi approchée
polytropique de forme PVk = Cte coïncidant aux états 1 et 2 avec la transformation réelle. Calculer
l'exposant k de cette polytropique.
6°) Calculer le travail de transvasement polytropique pour l'unité de masse de gaz traversant la machine (et
évoluant selon la loi polytropique). Comparer avec la question 1 et interpréter la différence des travaux
calculés dans ces deux questions.
3.5 Compresseur
Un compresseur calorifugé transvase un gaz de P1 = 1 bar, 1 = 20°C jusqu'à la pression P2 = 5 bars et la
température 2 = 300°C.
1°) Calculer l'exposant k de la polytropique représentant l'évolution. On donne pour le gaz supposé parfait :
r = 287 J.kg−1.K−1 et  = 1,4. Déterminer le travail de transvasement massique, le travail massique indiqué
et la quantité de chaleur massique apparue par frottements. Quels seraient la température en fin de
compression isentropique et le travail massique indiqué ?
2°) Tracer l'évolution sur un diagramme (T,s) et retrouver graphiquement qef.
4°) Calculer la puissance indiquée absorbée par le compresseur si le débit est de 0,2 kg.s−1.
3.6 Turbine réelle et diagrammes
On réalise la détente d'un gaz dans une turbine réelle calorifugée. La température finale de l'air est
2 = 80°C. Les conditions de départ sont : P1 = 5 bars, 1 = 200°C ; la pression finale est P2 = 1 bar.
1°) Calculer l'exposant k de la polytropique représentant l'évolution. On donne pour le gaz supposé parfait :
r = 287 J.kg−1.K−1 et  = 1,4. Déterminer le travail de transvasement massique, le travail massique indiqué et
la quantité de chaleur massique apparue par frottements. Quels seraient la température en fin de détente
isentropique et le travail massique indiqué ?
2°) Retrouver les résultats sur le diagramme (h,s).
3.7 Compresseur à deux étages
On envisage de réaliser la compression, de 1 à 10 bars, d'un gaz parfait de caractéristiques :
r = 287 J.kg−1.K−1 et  = 1,4, dans un compresseur à deux étages les deux étages étant séparés par un
réfrigérant.
L'étage basse pression comprime le gaz depuis l'état 1 (P1 = 1 bar, 1 = 20°C) jusqu'à l'état 3 (P3 ; 3 ) ; le
gaz est alors refroidi à pression constante jusqu'à l'état 4 (P4= P3 ; 4 = 30°C) ; puis il est comprimé dans
l'étage haute pression jusqu'à l'état 5 (P5 = 10 bars). Les compresseurs basse et haute pression sont euxmêmes refroidis de façon à réaliser une compression polytropique caractérisée par le même exposant k pour
chaque étage.
1°) Représenter les évolutions sur les diagrammes P-v, T-s et h-s. Exprimer le travail massique total de
compression en fonction de k, r, T1, T4, P3 / P1 et P5 / P3.
2°) Déterminer la pression intermédiaire P3 qui conduit au travail minimum dans le cas où k = 1,3. Calculer
3 , 5 et ce travail minimum.
3°) Calculer les quantités de chaleur qeBP , qeR et qeHP échangées respectivement par l'unité de masse de gaz
avec le réfrigérant du cylindre basse pression, le réfrigérant intermédiaire et le réfrigérant du cylindre haute
pression.
3.8 Cycle
L'air est assimilé à un gaz parfait de chaleur massique à pression constante cp = 1 kJ.kg−1.K−1 et de rapport
 = 1,4. Ce gaz subit les évolutions réversibles suivantes dans une installation thermique : compression (1-2)
dans un compresseur calorifugé ; échauffement isobare (2-3) dans une chambre de combustion ; détente
adiabatique (3-4) dans une turbine calorifugée ; refroidissement isobare à l'air libre. Données P1 = P4 = 1 bar
1 = 17°C ; 2= 287°C et 3 = 927°C.
1°) Calculer P2, P3 et 4. Tracer le cycle dans le diagramme (T,s) et dans le diagramme (P,v).
2°) Définir et calculer le rendement du cycle.
3°) Les évolutions ne sont plus réversibles, comment se modifie le cycle ?
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126
4 Transitions de phase d’un corps pur
4.1 Liquéfaction de l’air
Pour liquéfier 1 kg d'air, initialement à la température Ti = 280 K, on prélève, à pression constante, une
chaleur Q = 300 kJ. À cette pression, la température de liquéfaction est Tl = 80 K et la chaleur latente
massique de vaporisation vaut lv = 200 kJ.kg–1. La capacité thermique massique de l'air, à pression
constante, vaut cp = 1 kJ.K–1.kg–1.
1°) Calculer le titre massique w du mélange à la fin de cette transformation. Quelle est la chaleur à prélever
pour liquéfier l'air restant?
2°) Le refroidissement et la liquéfaction de la masse totale sont réalisés au contact d'un thermostat à la
température T0 = 80 K. Effectuer un bilan d’entropie pour cette transformation.
4.2 Mélange eau-glace
On mélange sous une pression de 1 bar une masse m1 d’eau liquide à T1 = 300 K et une masse m2 de glace à
T2 = 270 K. On suppose que le récipient dans lequel évolue le système est calorifugé, on considèrera la
transformation adiabatique et isobare.
1°) A partir de quelle valeur le rapport m1/ m2 l’eau est-elle intégralement liquide dans l’état final ?
2°) Même question pour un état solide.
3°) Entre les deux valeurs trouvées précédemment, quel est l’état du système à l’équilibre ?
Données : température de fusion de la glace : 273 K avec une enthalpie de fusion lf = 334 kJ.kg–1; capacité
thermique massique de l’eau liquide, c1 = 4,2 kJ.K–1.kg–1 , de la glace : c1 = 2,1 kJ.K–1.kg–1.
4.3 Mélange air eau
Un récipient de volume V = 2 L contient de l'air sec à T = 303 K sous une pression de 1,013 bar. On y
introduit, à la même température, de la vapeur d'eau jusqu'à ce que la pression atteigne 1,040 bar. On
effectue alors une compression isotherme qui ramène le volume à 1 litre. Les gaz seront supposés parfaits et
la pression de saturation de l'eau est de 41,32 hPa à 303 K.
1°) Déterminer la pression partielle en vapeur d’eau au départ ainsi que la masse d’eau introduite.
2°) Calculer la pression partielle en vapeur d’eau dans l’état final. Déterminer la masse d’eau vapeur et la
masse d’eau liquide.
4.4 Etat d’un fluide
A la sortie d’une turbine sous P = 20 bar, un fluide a été récupéré. Les tables de vapeur fournissent les
renseignements suivants :
- sous P = 20 bar, l’équilibre liquide-vapeur a lieu à Te = 485 K, hl = 909 kJ.kg–1, hv = 2801 kJ.kg–1
- sous P = 20 bar et à T’ = 573 K, la vapeur est sèche et son enthalpie massique est h’ = 3024 kJ.kg–1.
1°) Déterminer l’état du fluide si h = 2000 kJ.kg–1. Quelle est alors la température ?
2°) Mêmes questions si h = 3000 kJ.kg–1.
4.5 Turbine à vapeur
A la sortie d'un générateur de vapeur, les caractéristiques d'une vapeur sont les suivantes : P1 = 50 bars ;
1 = 486°C. Utiliser les diagrammes thermodynamiques de l'eau pour répondre aux questions posées.
1°) La vapeur est-elle saturée ? Quelle est la température de saturation à cette pression ?
2°) Cette vapeur subit une détente, jusqu'à P2 = 2 bars dans une turbine calorifugée et réversible. Déterminer
2, le titre x en vapeur et le travail fourni par cette détente.
3°) Le rendement indiqué de la turbine est de 0,95. Calculer l'enthalpie à la sortie, la température et le titre
en vapeur.
4.6 Réfrigérateur
Dans un réfrigérateur à compresseur, le fluide (fréon) décrit le cycle suivant :
- la vapeur de fréon à P1 = 0,85 bar dans l'évaporateur, est aspirée et comprimée par le compresseur jusqu'à
la pression P2 = 8,5 bars ; cette compression est supposée adiabatique et réversible ;
- le gaz passe ensuite dans un radiateur (condenseur) où il se refroidit et se liquéfie totalement à pression
constante P2 ;
- le fréon liquide passe dans le détendeur où il subit une détente isenthalpique jusqu'à P1, ce qui provoque sa
vaporisation partielle ;
- le mélange arrive dans l'évaporateur où le liquide restant se vaporise pour être aspiré par le compresseur.
La vapeur de fréon est assimilée à un gaz parfait de masse molaire M = 121 g.mol−1 , de constante  = 1,2.
Le volume massique du liquide et ses variations sont négligeables devant celui de la vapeur. La capacité
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calorifique du liquide est cl = 0,92 kJ.kg−1.K−1 . Les chaleurs latentes de vaporisation ont pour valeur :
Lv(T1) = 168 kJ.kg− à T1 = 240 K et Lv(T2) = 133 kJ.kg−1 à T2 = 310 K.
La pression de saturation Ps(T) du fréon est donnée par le tableau suivant :
T (K)
240
255
270
285
300
310
0,85
1,6
2,8
4,5
6,5
8,5
Ps (bars)
1°) Tracer le cycle sur un diagramme (T, S).
2°) Calculer la capacité thermique massique cp de la vapeur de fréon et en déduire la température T'2 du
fréon à la sortie du compresseur et le travail massique à fournir au compresseur.
3°) Calculer la quantité de chaleur q2 cédée au condenseur, en supposant que le fréon liquide reste à T2.
4°) Quelle est le titre en vapeur à la sortie du détendeur ? En déduire q1 reçue par le fréon dans l'évaporateur.
5°) Définir et calculer l'efficacité du réfrigérateur.
4.7 Pompe à chaleur
Une pompe à chaleur fournie une puissance thermique de chauffage de 10 kW à une habitation. Le fluide
utilisé est de l'ammoniac qui décrit un cycle de Hirn inversé : NH 3 gazeux à – 10°C sous 2,91 bar est
comprimé de façon isentropique jusqu'à 11,7 bar la température étant égal à 112°C; le gaz est ensuite
refroidi et liquéfié à pression constante ; le liquide à 30°C sous 11,7 bar subit une détente isenthalpique
jusqu'à 2,91 bar ; l'évaporation du liquide restant ferme le cycle. Le long de l'isobare 11,7 bar, NH 3 gazeux
est assimilé à un gaz parfait de capacité calorifique c p = 2,06 kJ.kg−1.K−1.
1°) Tracer le cycle dans le diagramme T, s.
P en bar
h' en kJ.kg−1
h'' en kJ.kg−1
s' en kJ.kg−1.K−1 s'’ en kJ.kg−1.K−1
 en °C
− 10
2,91
135,2
1429,5
0,544
5,473
30
11,7
322,9
1467,9
1,202
4,9805
2°) Déterminer le titre en vapeur en fin de détente.
3°) Calculer le débit massique du fluide, la puissance électrique consommée et l'efficacité de la pompe.
4°) Calculer la variation d'entropie au cours de la détente et conclure.
5°) La source froide avec laquelle le fluide échange de la chaleur est en fait à 0°C alors que l'habitation est à
20°C. Pourquoi les températures du fluide sont-elles différentes de celles des sources ? Quelle serait
l'efficacité d'une pompe travaillant entre ces deux températures ?
4.8 Centrale de géothermie
Le schéma présente une installation industrielle de géothermie dans laquelle on produit de l’énergie à partir
d’une vapeur d’eau saturée, issue d’un forage (point 1).
Le séparateur est un réservoir calorifugé d’où sortent, par deux voies distinctes, le liquide saturant à la partie
inférieure, la vapeur saturante sèche à la partie supérieure (la pression y est constante). Le détendeur ne
comporte pas de parties mobiles et permet d’adapter la pression à une valeur imposée. On suppose que
l’évolution du fluide y est adiabatique. Le surchauffeur est un échangeur permettant un transfert thermique
de la vapeur saturante sèche provenant du séparateur S1 vers la vapeur saturante sèche provenant du
séparateur S2. On supposera que les évolutions du fluide y sont isobares.
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- Présentation de l’installation :
la vapeur humide provenant du forage (titre de vapeur égal à 0,25) est admise dans le séparateur S1 où règne
une pression P1 = 7 bars ? De S1, il sort d’une part de la vapeur d’eau sèche qui est dirigée vers le
surchauffeur ou la turbine T1, et d’autre part, le liquide saturant. Ce liquide saturant, après passage dans le
détendeur, est envoyé dans S2 où règne une pression P5 = 1 bar. De S2, il sort d’une part la vapeur saturante
sèche vers 6 et dirigée vers le surchauffeur puis la turbine T2, et d’autre part le liquide saturant rejeté vers
l’extérieur. Dans le surchauffeur, la vapeur saturante sèche arrivant en 6 est surchauffée jusqu’à la
température T7 = 413 K grâce à la condensation totale de la vapeur saturante sèche de débit (M5). Le liquide
saturant sortant du surchauffeur en 4 est réintroduit dans S2 après passage dans le détendeur. Après la
traversée de T1 et T2, la vapeur humide arrive au condenseur où la pression est maintenue à 0,1 bar. Le
liquide saturant issu du condenseur est rejeté vers l’extérieur. On note Pu la puissance utile disponible sur
l’arbre commun aux deux turbines.
- Hypothèses :
Les détentes dans T1 et T2 sont supposées adiabatiques réversibles.
On néglige les pertes mécaniques dans les turbines.
On néglige les variations d’énergie potentielle et cinétique du fluide.
Données pour les vapeurs saturées
P (bar)
hl en kJ.kg−1
hv en kJ.kg−1
sl en kJ.kg−1.K−1
sv en kJ.kg−1.K−1
 en °C
7
165
697
2675
1,99
6,71
1
99,6
418
2675
1,30
7,36
0,1
45,8
192
2585
0,65
8,15
Au point 7, sous 1 bar et 140°C, h7 = 2756 kJ.kg−1 et s7 = 7,56 kJ.kg−1.K−1
1°) Calculer le travail massique indiqué pour la turbine T1 et préciser l’état du fluide au point 3.
2°) Montrer que l’évolution dans le détendeur est isenthalpique.
3°) Déterminer l’état du fluide au point 4, puis en 5.
4°) Préciser l’état du fluide en 8 et le travail massique de la turbine T2.
Pour la suite, on notera les débits Mi ou Ri comme indiqué sur la figure. On donne M1 = 250 kg.s−1.
5°) Calculer les débits massiques M2 et M3, puis M4 et M5 et enfin R1 et R2.
6°) Calculer Pu.
7°) Comparer la puissance mécanique utile obtenue précédemment avec celle disponible sur l’arbre de la
turbine, lors de l’étude de l’installation simplifiée comportant uniquement S1 alimentant en vapeur saturée
T1.
4.9 Liquéfaction de l’azote
La figure ci-dessus représente le
schéma de principe du procédé
Linde-Hampson utilisé pour
produire de l'azote liquide (état 5).
L'azote entre dans le compresseur
C dans l'état 1.
(P1= 1 bar ; T1 = 290 K).
1  2 compression isotherme
réversible jusqu’à P2 = 200 bars.
2  3 refroidissement à pression
constante (P3 = P2) dans
l'échangeur E,
3  4 détente dans le détendeur D jusqu'à la pression atmosphérique (P4 = P5 = P6 = P1 = 1 bar).
L'azote liquide est extrait du séparateur S; la vapeur saturée sèche d'azote (état 6) est utilisée pour refroidir
l'azote dans l'échangeur E; on admettra que cette vapeur d'azote est ramenée à l'état 1 à la sortie de
l'échangeur E.
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129
1°)a) Placer les points 1 et 2 sur le diagramme entropique de l'azote et déterminer leurs enthalpies et
entropies massiques (au verso de cette feuille).
b) Le compresseur C est refroidi uniquement par l'intermédiaire d'un circuit d'eau. Déterminer la quantité de
chaleur évacuée par l'eau de refroidissement par kilogramme d'azote comprimé.
c) Déterminer le travail échangé entre l'unité de masse d'azote et les parties mobiles du compresseur.
2°) La détente, qui s'effectue dans le détendeur D, fait passer l'azote de 200 bar à 1 bar: le détendeur ne
comporte pas de parties mobiles. Le détendeur, le séparateur S, l'échangeur E et tous les circuits de liaison
sont supposés parfaitement calorifugés.
a) Déterminer, en justifiant le résultat, la nature de la transformation dans le détendeur.
b) Placer les points 5 et 6 sur le diagramme et déterminer leurs enthalpies et entropies massiques. Vérifier
la cohérence des lectures en comparant les variations d'enthalpie et d'entropie entre ces deux points.
c) A quelle température faut-il au moins refroidir l’azote dans l’échangeur E pour obtenir de l’azote liquide
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à 1 bar ?
3°) On note y la masse d'azote liquide obtenu par kilogramme d'azote comprimé.
a) En écrivant le premier principe de thermodynamique pour le séparateur et pour l'échangeur, déterminer
l'expression littérale de y en fonction des enthalpies massiques h1, h2 et h5.
b) En déduire la valeur de y, puis l'enthalpie massique et l'entropie massique des points 3 et 4 que l'on
placera sur le diagramme.
c) Quel est le titre de vapeur en 4 ?
4.10 Cycle de Rankine
Le cycle de Rankine est le
cycle de base des centrales
nucléaires. La pompe
d'alimentation porte l'eau
liquide saturante (état 0) de
la basse pression P0 du
condenseur à la pression P1
du générateur de vapeur
(GV) de façon adiabatique
réversible (état 1). L’eau
liquide comprimée entre
ensuite dans le générateur
de vapeur, isobare, où elle
est chauffée jusqu’à la
température T2 du
changement d’état (état 1’)
puis totalement vaporisée (état 2). La vapeur saturante produite subit une détente adiabatique réversible (23) dans une turbine. Le fluide pénètre ensuite dans le condenseur isobare pour y être totalement condensé
(état 0) à la température T1.
On donne la température critique de l’eau : Tc = 374°C ; T1 = 30°C et T2 = 300°C.
1°) v désignant le volume massique du fluide, représenter dans le diagramme (P, v) la courbe de saturation
ainsi que les isothermes T1, T2 et Tc. Comment s'appelle le diagramme (P, v) ? Préciser les domaines du
liquide et de la vapeur. Donner le nom des différentes courbes. Définir et situer le point critique
2°) Représenter l'allure du cycle décrit par le fluide dans le diagramme (P, v).
3°) On supposera dans cette question l'eau liquide incompressible de capacité thermique massique c liq
constante. On note lv (T2) la chaleur latente massique de vaporisation à la température T2 On donne :
cl = 4,18 kJ.kg−1.K−1 et qGV = 1 404 kJ.kg−1.
- Exprimer l'efficacité du cycle en fonction des transferts thermiques massiques qcond et qGV échangés
respectivement dans le condenseur et le générateur de vapeur.
- Exprimer qGV en fonction de qGV, cl, T1 et T2.
- Exprimer qcond en fonction de T1 et s0 – s3. Montrer que s0 = s1 et s3 = s2. En déduire qcond en fonction de
lv(T2), cl, T1 et T2.
- Exprimer l'efficacité de Rankine  en fonction de lv(T2), cl, T1 et T2. Calculer numériquement .
- Comparer au rendement de Carnot.
4°) On donne ci-dessous des extraits de tables thermodynamiques pour l'eau : s est exprimé en kJ.kg−1.K−1; h
est exprimé en kJ.kg−1. PSat désigne la pression de vapeur saturante exprimée en bar. On admet que h1 = h0.
PSat en bar
T en °C
s’
h’
s’’
h’’
85,9
300
3,24
1345,0
5,57
2749,0
0,04
30
0,44
126,0
8,46
2566,0
- Déterminer le titre massique et l'enthalpie massique de la vapeur à la sortie de la turbine.
- Calculer l'efficacité du cycle. Conclure sur les deux valeurs de l’efficacité calculées.
- Dans quel état se trouve le fluide à la fin de la détente dans la turbine ? Pourquoi est-ce un inconvénient
pour les parties mobiles de la machine ?
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4.11 Centrale électrique nucléaire
Une centrale nucléaire produit de
l'électricité par l'intermédiaire d'un
alternateur couplé aux turbines à vapeur T1
et T2. Le fluide caloporteur est de l'eau. À la
sortie des turbines l'eau se refroidit dans le
condenseur (l'échange d'énergie thermique
peut se faire avec l'eau pompée dans une
rivière).
Dans l'évaporateur E' les échanges
thermiques peuvent s'effectuer avec un
circuit primaire d'eau qui récupère l'énergie
thermique libérée au cœur du réacteur par la fission de
l'uranium enrichi.
L'eau du circuit secondaire décrit le cycle représenté sur
la figure ci-contre.
• Les transformations A → B et C → D sont supposées
adiabatiques réversibles et correspondent au passage
dans les turbines haute pression (T1) et basse pression
(T2) .
• Entre les deux turbines l'eau subit une surchauffe B →
C en repassant dans l'échangeur E'.
On note T, P, x température, pression et titre en vapeur
(soit x = mvap/mtotale). On désigne de plus par h et s les
enthalpie et entropie massiques du fluide.
On prendra h = 0 et s = 0 pour le liquide dans l'état P0 = 1 atm et T0 = 273 K (0 degré celsius). On négligera
les variations de volume de l'eau liquide avec la température et la pression. On donne :
A = 287°C et PA = 70 atm
PB = 10 atm ; C = 270°C ; PD = 0,05 atm.
C1 = 4,18 kJ.kg–1.K-1 (capacité thermique de l'eau liquide supposée constante).
1°) Déterminer les expressions de hE, hF sE et sF en fonction de C1, TE, TF et T0. Donner les valeurs
numériques de hF et sF.
2°) Dresser un tableau où figurent les valeurs de h, s, , P (atm) et x pour les différents points A, B, C, D, E,
F. A cet effet on s'aidera du diagramme de Mollier présenté en fin d'énoncé (h est exprimé en kJ.kg –1 et s en
kJ.kg–1.K-1).
3°) Comment lire, sur le diagramme de Mollier, les énergies thermiques QFA, QBC et QDE « reçues » par le
fluide.
Donner les valeurs numériques de QFA, QBC et QDE ainsi que celle de QEF.
En déduire :
• le travail W1 par unité de masse fourni par la centrale au cours d'un cycle.
• l'énergie thermique Q1 fournie par la source chaude pour 1 kg de fluide.
Calculer le rendement thermique  = W1/ Q1.
4°) Exprimer le travail utile Wu produit par les turbines lorsqu'elles sont traversées par 1 kg de fluide.
Comparer Wu et W1.
5°) La puissance électrique de la centrale est P= 1300 MW. Quel doit être la valeur du débit massique de
fluide dans la circuit secondaire ?
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5 Diffusion thermique
5.1 Protection d’un composant électronique
La température d’un composant électronique ne doit pas dépasser une valeur Tmax sous peine de destruction.
La puissance électrique dissipée dans le composant doit être évacuée vers l’extérieur à température
ambiante. On suppose que ce transfert est de type conductif et on appelle Rth la résistance thermique entre le
composant et l’air ambiant. On note P la puissance thermique correspondante.
On suppose que la puissance dissipée varie entre 0,1 W et 1W. La température ambiante peut varier entre
−10°C et 40°C. On adopte la valeur Tmax = 120°C.
1°) Dans quel cas le risque de destruction est-il le plus important ?
2°) Quelle valeur maximale de résistance thermique entre le composant et le milieu ambiant peut-on
tolérer ?
5.2 Température intermédiaire
On considère l’association en série de deux résistances thermiques placées entre deux milieux de
températures constantes T0 et T2.
1°) Déterminer l’expression de la température T1 du point de séparation entre les deux résistances.
2°) Envisager et commenter les cas Rth1 >> Rth2 et Rth1 = Rth2.
3°) Quel pourrait être le modèle thermique d’un double vitrage ? Avec les données des conductivités
thermiques vues en cours, quelle simplification peut-on proposer ?
5.3 Résistance thermique 1
On considère un échantillon de matériau de conductivité thermique , d’épaisseur d et de section d’aire 
orthogonale à un axe Ox. En x = 0 se trouve une source de température T0, et en x = d une source de
température T1. On négligera les effets de bords c’est à dire que l’on considèrera que dans le matériau, la
température T ne dépend que de x. On se place en régime permanent.
1°) a) Exprimer T(x) en fonction de x, T0, Tl et d.
b) Définir la conductance thermique G du matériau en fonction de ses paramètres géométriques et de sa
conductivité thermique.
Déterminer la durée nécessaire t, à ce qu’un transfert thermique Q traverse le matériau. On donnera le
résultat en fonction des températures T0, T1et de la conductance thermique G. Que se passe-t-il si T0 tend
vers Tl ?
2°) a) Faire un bilan d’entropie entre les instants t et t+dt.
b) Déterminer l’entropie créée par unité de temps en fonction des températures T0, T1et de la conductance
thermique G.
5.4 Isolation thermique d’un mammifère marin
On modélise un mammifère marin par un cylindre de rayon R
de longueur L, constitué d’une partie cylindrique centrale
chaude, de rayon Ri maintenue à la température Ti, protégée
de l’extérieur à la température Te par une couche de graisse
d’épaisseur R, de conductivité thermique .
1°) Soit un cylindre de rayon r, avec Ri ≤ r ≤ R, de longueur
L. On note (r) le flux thermique sortant à travers ce
cylindre. Exprimer (r) en fonction de , dT / dr et d’autres données.
2°) L’eau étant un bon conducteur thermique, on considère qu’en régime stationnaire, la température cutanée
est égale à la température extérieure : T(R) = Te. On pose T = Ti − Te. Déterminer le flux thermique total
C =(R) à travers la peau de l’animal en fonction de L, , T, R et Ri.
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3°) Pour la plupart des mammifères aquatiques rapides, une valeur moyenne du rapport de leur diamètre sur
leur longueur est 2R/L = 0,25. Exprimer alors le flux total C en fonction de R, , T et du rapport x = R/Ri
de l’épaisseur de la couche de graisse sur le rayon de la partie chaude du corps. Commenter le sens de
variation deC avec x.
5.5 Diffusion thermique en présence d’effet Joule
Un cylindre métallique (de conductivité électrique  et de conductivité thermique ) de section s et de
longueur L est parcouru longitudinalement par courant électrique d’intensité I constante. On suppose que les
extrémités sont maintenues aux températures T0 (en x = 0) et T1 < T0 (en x = L) et que la surface latérale est
calorifugée.
1°) Ecrire l’équation de la chaleur en adoptant un modèle unidimensionnel.
2°) En déduire, en régime stationnaire, la loi d’évolution de la température en fonction de l’abscisse x.
3°) Examiner le cas particulier où I = 0 et celui où T0= T1. Commenter l’allure des courbes obtenues dans les
deux cas.
4°) Calculer le flux thermique aux deux extrémités et commenter le résultat.
5.6 Résistance thermique et entropie
Une barre en fer, cylindrique, de section circulaire A uniforme (rayon r = 7,5 mm), de longueur L = 1,3 m , a
une extrémité à l'intérieur d'un four, à la température Tf = 494 K maintenue constante. L'autre extrémité est
en contact avec le milieu ambiant qui se comporte comme un thermostat à la température Ta = 300 K .On
repère un point de la barre par son abscisse x, l'axe Ox étant orienté de l'extrémité O dans le four vers
l'extrémité en contact avec le milieu ambiant.
1°) La surface latérale est calorifugée de telle sorte que l'on peut négliger les déperditions latérales.
On étudie la diffusion thermique le long de la barre. On désigne par  la conductivité thermique du fer .
 = 16 W m-1 . K-1 . La diffusion thermique est stationnaire.
a) Quelle différence y a-t-il, en thermodynamique, entre un état stationnaire de la barre et un état d'équilibre.
Déterminer, en utilisant l’analogie avec la résistance électrique d'un conducteur ohmique de même
géométrie, la résistance thermique Rth de la barre ; application numérique.
b) Déterminer l'expression du taux de production d'entropie s , par unité de temps et par unité de volume,
pour un élément de barre de longueur élémentaire dx.
Sachant que le gradient de température le long de la barre est uniforme, calculer numériquement ce taux aux
deux extrémités de la barre. Interpréter ces résultats.
2°) On considère à nouveau la même barre de fer, mais on tient compte des déperditions latérales. La
puissance thermique perdue par unité de surface par les parois latérales est représentée par la grandeur
hT ( x, t )  Ta 
a) Que représente la grandeur h , quelle est sa dimension ?
b) Etablir l'équation différentielle régissant l'évolution de T(x,t). On notera r le rayon de la barre,  la masse
volumique du fer et cv la capacité thermique massique du fer.
c) Déterminer la solution de cette équation dans le cas du régime stationnaire, en supposant la barre
suffisamment longue pour admettre que T = Ta lorsque x est infini. On mettra en évidence une longueur
caractéristique l.
d) En régime stationnaire, l'expérience montre que la différence de température (x) = T(x) – Ta est divisée
par 2 à une distance l1/2 = 10cm de la sortie du four. En déduire la valeur de h .
Tracer le graphe (x).
5.7 Barre de combustible nucléaire
Le combustible d’un réacteur nucléaire se présente sous forme de barres solides de rayon r1, de très grande
longueur et de conductivité thermique 1, à l’intérieur desquelles les réactions nucléaires dégagent une
puissance volumique PV. Chaque barre est entourée d’une couche protectrice, sans activité nucléaire, de
rayon intérieur r1, de rayon extérieur r2 et de conductivité thermique 2, dont la surface extérieure est
maintenue à la température T2 par la circulation d’un liquide.
On s’intéresse à la température T(r) à l’intérieur d’une barre et de son enveloppe en régime permanent à la
distance r de l’axe de symétrie du système. On pose T1 = T(r1).
1°) Montrer que la résistance thermique de la couche protectrice d’une barre de longueur L se met sous la
forme Rth =  / L. Calculer numériquement .
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2°) Exprimer T1 en fonction de T2, PV, r1 et .
3°) Etablir l’équation différentielle vérifiée par T(r) pour r < r1. Exprimer T(0) en fonction de T2, PV,1, r1
et . Calculer numériquement T(0).
Données : r1 = 6 mm, r2 = 9 mm, 1 = 2 W.m−1.K−1, 2 = 25 W.m−1.K−1, PV = 2.108 W.m−3, T2 = 500 K.
5.8 Ailette de refroidissement
Pour évacuer de la chaleur d'une source vers
z
l'atmosphère, on a souvent recours au dispositif
représenté sur la figure ci-contre et constitué d'une
atmosphère à Ta
plaque de côtés a, b et c. On a représenté en gris
x
(x = 0) la partie de l'ailette qui est collée à la source
de chaleur à T0.
Cette plaque , de conductivité thermique , est
plongée dans l'atmosphère, qui est assimilée à une
b
source de température Ta constante. On étudie un
c
régime stationnaire. On suppose qu'un élément de
a
surface dS de la plaque de température T(x) cède à
y
l'atmosphère une chaleur  2 Q  hT x   Ta dS dt .
1°) En faisant un bilan pour la tranche de plaque comprise entre x et x+dx, montrer que T(x) est solution
d'une équation de la forme :
d 2T
 2 2  T  Ta   0 .
dx
et exprimer  en fonction de h, , b et c ; simplifier  dans la limite c << b.
2°) On suppose que a >>  de telle sorte qu'on peut raisonner sur une plaque de longueur a infinie. A
l'extrémité de la plaque, en x→+∞, l'atmosphère impose T = Ta. Établir l'expression de T(x) en fonction de
T0, Ta, x et . Tracer l'allure de son graphe et interpréter concrètement . Comment un industriel choisira-t-il
la longueur effective a de la plaque par rapport à  ?
3°) Calculer le flux thermique total  évacué par l'ailette en fonction de h, , , T0 et Ta.
4°) En l'absence d'ailette, la surface d'échange entre la source et l'atmosphère serait bc.
Que vaudrait le flux  0 évacué vers l'atmosphère ?
Exprimer le rendement de l'ailette     0 en fonction de h,  et c.
Quel est l'intérêt de prendre c << b ?
Interpréter qualitativement l'efficacité de ce choix.
5.9 Cuisson d’une brioche
Une brioche (B) considérée homogène, isotrope et sphérique (rayon R, centre O) est réchauffée dans un four
à micro-ondes. La conductivité thermique de la brioche est notée . La conduction thermique est radiale (la
seule variable est r = OM).
Le four délivre une puissance thermique totale Pth constante, entièrement absorbée par la brioche. La
puissance volumique p (en W.m−3) absorbée par le gâteau est uniforme et constante. La ventilation du four
permet d’évacuer la puissance thermique sortant de la brioche dont la paroi externe est ainsi maintenue à la
température constante T0. On se place en régime stationnaire.
1°) Rappeler la loi de Fourier et la relation entre le flux thermique  th(r) à travers la sphère de surface S(r)
et la densité de flux thermique j th (r).
2°) Exprimer, en fonction de p et de r, la puissance thermique dP th reçue par l’élément de volume compris
entre les sphères de rayons r et r + dr. Faire un bilan des puissances thermiques pour cet élément.
3°) En déduire que l’équation différentielle vérifiée par T(r) est de la forme suivante dans laquelle K1 et K2
K
dT
sont des constantes :
 K1 r  22 .
dr
r
4°) Quelle relation existe-t-il entre  th(r) et Pth ainsi qu’entre p et Pth? En déduire K2.
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