Algorithmes pour le problème de l`arbre couvrant minimal

UQAC
MÉMOIRE
PRÉSENTÉ À L'UNIVERSITÉ DU QUÉBEC À CHICOUTIMI COMME EXIGENCE
PARTIELLE DE LA MAÎTRISE EN INFORMATIQUE
PAR
EDMOND LA CHANCE, B.Sc
ALGORITHMES POUR LE PROBLÈME DE L'ARBRE COUVRANT MINIMAL
2014

Ce travail de recherche a été réalisé
à l'Université du Québec à Chicoutimi
dans le cadre du programme
de la Maîtrise en informatique
Pour l'obtention du grade : Maître es sciences. M. Se.

1-iv
Résumé
Le problème de l'arbre couvrant minimal est un des plus vieux problèmes en
théorie des graphes. La problématique se pose comme suit : étant donné un graphe
avec un nombre de sommets et un nombre d'arêtes ayant des poids de valeurs dans
l'ensemble des entiers relatifs, l'arbre couvrant minimal consiste à trouver l'ensemble
des arêtes permettant de rejoindre tous les sommets sans former de cycle, et ce, avec
un coût minimal. Ce problème trouve des applications pratiques variées : il est
directement applicable pour l'optimisation et la conception de divers types de réseaux
(électrique, internet, etc.). Son application la plus populaire est actuellement dans le
domaine du forage de données. La raison étant que certains algorithmes construisent
l'arbre minimal en faisant grossir des groupes d'éléments progressivement. Ces
groupes, appelés également clusters, représentent ensuite des groupes d'éléments
similaires, ce qui permet de faire du forage de donnée efficacement. Il suffit au
préalable de transformer les données multidimensionnelles du problème de
clustering en graphe.
Pour trouver l'arbre couvrant minimal, de nombreux algorithmes ont été
proposés dans la littérature et ils sont pour la plupart assez performants. Cependant,
avec l'invention récente de meilleures structures de données et de nouvelles
techniques, les algorithmes n'ont cessé d'évoluer dans les vingt dernières années. Se
pose donc la question : quel est l'algorithme le plus performant d'un point de vue

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théorique et/ou pratique? Les algorithmes testés dans ce mémoire ont des
complexités temporelles assez semblables ; il est donc difficile de prévoir a priori
celui qui sera le plus performant. Nous avons pour cela choisi une série d'algorithmes
résolvant ce problème, nous avons expliqué en détail leur fonctionnement et nous les
avons programmés en utilisant plusieurs structures de données. Ces algorithmes sont
ceux de Kruskal, Borûvka et Prim. L'algorithme de Prim a été implémenté avec de
nombreuses files de priorité et les algorithmes de Kruskal et Borûvka utilisent les
meilleurs algorithmes de gestion des ensembles disjoints. Nous avons ensuite fait des
tests empiriques sur des graphes de différentes tailles et densités afin de pouvoir
confirmer les avantages de leur complexité temporelle. Les résultats obtenus
permettent de tirer de nombreuses conclusions sur les performances de chaque
algorithme en fonction de la densité du graphe. L'algorithme de Borûvka sort
notamment du lot, car il propose des performances excellentes pour toutes les
densités de graphe.

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Remerciements
Je remercie sincèrement mon directeur Djamal Rebaïne pour les nombreuses corrections et
ses conseils sur la méthodologie des tests, la complexité algorithmique et pour tout le temps
qu'il m'a consacré.
Je remercie également mon père Michael pour son aide précieuse.