devoir surveille de physique n°9 probleme 1 : l`effet

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PC*1 / PC*2 / PC
Mars 2016
DEVOIR SURVEILLE DE PHYSIQUE N°9
PROBLEME 1 : L’EFFET CASIMIR
Pour les physiciens quantiques, le vide n'est pas rien : dépouillé de toute matière et
à une température proche du zéro absolu, l'espace vide contient encore de l'énergie,
qui est capable de générer du mouvement.
Prédit pour la première fois vers la fin des années quarante par le physicien
néerlandais Hendrik Casimir, ce phénomène porte, depuis, le nom de son
découvreur.
Longtemps resté une curiosité théorique, l'« effet Casimir » connaît aujourd'hui un
regain d'intérêt important. Des progrès technologiques récents, comme le
développement des microscopes à force atomique, ont en effet permis des mesures
expérimentales en accord avec la théorie. En outre, les physiciens se sont aperçus
ces dernières années que la force de Casimir pouvait affecter le fonctionnement
des systèmes microélectromécaniques (MEMS) et, plus généralement, tous les
objets contenant des éléments métalliques à des distances micrométriques et nanométriques.
Cela est vide et non-vide, et bien au-delà du vide. Nāgārjuna
I Particule dans un puits de potentiel infini
On considère deux plaques métalliques parallèles « infinies » distantes de L,
placées aux abscisses x = 0 et x = L d’un axe Ox, perpendiculaire aux
plaques.
Une particule non relativiste de masse m est piégée entre ces deux plaques.
La particule est dans un état stationnaire d’énergie E, ce qui permet
d’exprimer la fonction d’onde ψ( x,t ) sous la forme ψ( x,t ) = ϕ( x ). f ( t )
où ϕ( x ) et f ( t ) sont des fonction a priori complexes. Le problème est donc
à une seule dimension spatiale.
∂ψ
!2
On rappelle l’expression générale de l’équation de Schrödinger : i!
=−
Δψ +V ( M ,t )ψ( M ,t )
∂t
2m
1) Justifier que le potentiel V ( M ,t ) ne peut prendre que deux valeurs, dont l’une est nulle.
⎛ E ⎞
2) a) Etablir que la partie temporelle de la fonction d’onde s’écrit f ( t ) = exp ⎜ −i t ⎟ à condition de lui
⎝ ! ⎠
imposer d’être de module unité.
b) Cette condition affecte-elle la condition de normalisation de la fonction ψ( M ,t ) ?
c) La forme de la fonction f ( t ) est-elle cohérente avec l’équation de Planck Einstein ?
3) a) Etablir l’équation vérifiée par la partie spatiale ϕ( x ) de la fonction d’onde.
b) Résoudre cette équation et montrer que la présence des plaques entraine une quantification de l’énergie.
On introduira un entier non nul n pour exprimer les énergies En possibles de la particule.
4) Retrouver l’ordre de grandeur de l’énergie minimale à partir de l’inégalité d’Heisenberg spatiale.
5) Expliciter la partie spatiale ϕ( x ) de la fonction d’onde pour l’état fondamental.
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II Mise en évidence d’une force exercée par la particule
6) La plaque en x = 0 reste fixe, tandis que la plaque en x = L peut se déplacer. La particule exerce sur
!
!
cette dernière une force F = F ex . Représenter sur un même schéma la fonction ϕ( x ) avant et après le
déplacement de la plaque d’une valeur dL , avec dL << L .
7) En effectuant un bilan énergétique à la particule lorsque la plaque mobile se déplace de l’abscisse x = L à
l’abscisse x = L + dL , exprimer F en fonction de ! , m et L. La présence de la particule entraine-elle une
attraction ou une répulsion mutuelle des plaques ?
8) On veut retrouver l’expression de F en ordre de grandeur à l’aide d’une description corpusculaire de la
particule et de l’inégalité d’Heisenberg spatiale, en considérant que la particule effectue des allers retours
entre les deux plaques.
!
!
!
a) Exprimer les quantités de mouvement de la particule p i et p f , et de la plaque Ppli respectivement
avant et après le choc de la particule sur la plaque située en x = L .
b) En utilisera la conservation de la quantité de mouvement du système isolé plaque-particule au cours du
!
!
!
choc, déterminer la variation de quantité de mouvement ΔPpl = Pplf − Ppli de la plaque.
! mv 2 !
c) En déduire que l’expression de la force moyenne subie par la plaque au cours du temps est F =
e .
L x
d) En utilisant l’inégalité d’Heisenberg spatiale, montrer qu’à un préfacteur de l’ordre de 1/40, on retrouve
l’expression précédente.
9) Les plaques ont une surface S et on compte ns particules identiques par unité de surface présentes entre elles.
A température suffisamment faible, les particules sont toutes dans leur état fondamental.
a) Exprimer la pression Π subie par les plaques de la part du gaz de particules.
b) Comparer la dépendance de Π par rapport à L au cas d’un gaz parfait classique à la température T.
III Un peu d’électromagnétisme
On considère maintenant qu’il n’y a plus de particules massiques entre les plaques, mais qu’il peut y régner
un champ électromagnétique. On se place d’abord en électromagnétisme classique.
10) En admettant la continuité du champ électrique à l’interface métal / vide, en déduire la valeur du champ
électrique sur les plaques en métal parfait.
11) On considère une onde électromagnétique plane harmonique se propageant entre les deux plaques
perpendiculairement à elles. Montrer que seuls certains modes notés ω n peuvent exister. On explicitera ω n .
12) Une quantification des modes possibles existe-elle à l’extérieur des plaques ? Pourquoi peut-on dire que le
nombre de modes accessibles en dehors des plaques est supérieur à celui entre les deux plaques ?
IV Divertimento : l’oscillateur harmonique quantique
On considère un oscillateur harmonique unidimensionnel de masse m, de pulsation propre ω 0 , soumis à une
énergie potentielle V ( x ) . Les oscillations s’effectuent autour du point x = 0
13) Etablir l’expression du potentiel V ( x ) , et justifier rapidement que la position moyenne < x > et la
quantité de mouvement moyenne < px > sont nulles.
14) Etablir que la valeur moyenne de l’énergie de cet oscillateur est bornée inférieurement :
2
2
1
<E>≥
+ mω 0 Δx où Δx est l’indétermination quantique sur la position x de l’oscillateur.
2
2
8m Δx
( )
( )
15) Déterminer la valeur minimale que peut prendre < E > en fonction de ! et ω 0 .
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V Retour sur l’électrodynamique quantique.
Par analogie avec un système oscillant mécanique, on va admettre que les niveaux d’énergie d’un mode n sont
⎛
1⎞
quantifiés par la formule En ,m = ⎜ m + ⎟ !ω n , où m est le nombre de photons, chacun d’énergie !ω n , présent
2⎠
⎝
dans le mode considéré, avec ω n la pulsation calculé précédemment.
16) Cette relation est-elle cohérente avec l’étude mécanique précédente ? Pourquoi peut-on parler d’énergie
du vide ? On donnera l’expression de cette énergie du vide en fonction de n, ! , c et L.
17) a) En reprenant la même démarche que dans la première partie, établir que pour chaque mode n la plaque
!
⎛
1 ⎞ n!πc !
e .
située en x = L est soumise à la force Fn ,m = ⎜ m + ⎟
2 ⎠ 2L2 x
⎝
b) Montrer que la contribution d’un photon sur l’expression de la force peut être déterminée par un
raisonnement corpusculaire.
VI Où l’on arrive (enfin) à la force de Casimir
18) Déduire de ce qui précède qu’en l’absence de photon ; la plaque en x = L est quand même soumise à
une force dont on donnera l’expression. Quelle action cette force exerce-elle sur la plaque ?
Un calcul complexe auquel vous échapperez permet d’obtenir la résultante des forces subies par la plaque en
x = L compte tenu de l’ensemble des ondes électromagnétiques, se propageant dans une direction quelconque
(et pas seulement perpendiculairement aux plaques) ainsi que les ondes existantes à l’extérieur des plaques
(pour x < 0 et x > L ). En l’absence de photon, la force subie par la plaque en x = L est appelée force de Casimir,
!
"c !
π2
et notée FCas = −ξ 4 S ex avec ξ =
240
L
19) En raisonnant sur les modes accessibles entre les plaques et à l’extérieur des plaques, justifier qualitativement
le sens de la force de Casimir.
20) Montrer que la pression de Casimir PCas peut se retrouver, à un coefficient multiplicatif près, par analyse
dimensionnelle, en fonction de L, c et ! .
21) a) Pour quelle distance L de séparation entre les plaques cette pression est-elle du même ordre de grandeur
que la pression atmosphérique ?
b) La majorité des vidéoprojecteurs numériques utilisent des composants à micromiroirs (digital micromirror
device) constitués de plaques carrées de 10 µm de coté séparées de 1 µm.
Comparer la force de Casimir au poids des plaques dans le cas où elles sont en silicium, (de masse
volumique de 2,3 g.cm-3) et d’épaisseur de 0,2 µm.
22) En réalité, aucun métal n’est parfaitement réfléchissant à toutes les longueurs d’onde.
Comment cela corrige-t-il la force de Casimir ?
23) A l’échelle microscopique, toutes les surfaces présente des irrégularités. On les représente par un profil
1
Δz( x,t ) à deux dimensions avec ∫ Δz( x,t )dxdy = 0 et
Δz 2 ( x,t )dxdy = A2 , A étant appelée la rugosité
S∫
de la surface, que l’on suppose identique pour les deux plaques.
a) Traduire concrètement ces deux expressions
b) En sommant les forces de Casimir sur des surfaces élémentaires, montrer que l’on obtient une correction
de la force au second ordre en A / L .
c) Quelle rugosité maximale peut –on tolérer pour un miroir optique utilisé en laboratoire ?
d) On veut mesurer la force de Casimir avec une précision de 1% , pour des distances L de l’ordre du micron.
Quelle est alors la rugosité maximale admissible ?
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PROBLEME 2 : LE MICROSCOPE A EFFET TUNNEL
Le microscope à effet tunnel (STM : scanning tunneling microscope) a été inventé dans les années 80 par Binning
et Rohrer qui reçurent le prix Nobel de physique en 1986 pour cette réalisation. Cette technique d’imagerie a pu
aboutir site aux progrès réalisés d’une part dans l’électronique de contrôle (déplacement de la pointe par effet
piezo-électrique) et d’autre part dans la mesure des courants très faibles (d’intensités de l’ordre du nanoampère).
On se propose d’expliquer sommairement le principe de fonctionnement du microscope et d’analyser une
expérience réalisée grâce à celui-ci.
Le principe du STM est le suivant : une fine pointe métallique (terminée par un atome unique) est placée au
dessus de l’échantillon à une distance très faible, de l’ordre du nm. En imposant une différence de potentiel entre
la pointe et l’échantillon, on permet à des électrons de transiter de l’un à l’autre par effet tunnel.
L’intensité du courant étant très sensible vis à vis de la distance à traverser, la mesure de cette intensité permet
d’obtenir une image de la surface de l’échantillon grâce à un balayage de la pointe.
la résolution latérale d’un STM peut atteindre 0,1 nm et sa résolution en profondeur peut descendre à moins de
0,01 nm. Il existe deux modes de balayage possibles de la surface :
Le mode à hauteur constante où l’on mesure le courant tunnel en fonction de la position en fixant la hauteur de la
pointe.
Le mode à courant constant dans lequel un système d’asservissement fait varier la hauteur de la pointe lors du
balayage afin de maintenir constant le courant tunnel.
On suppose que l’échantillon et la pointe sont de même nature :à l’intérieur de ces métaux, les électrons étant
des fermions doivent tous être dans des états quantiques différents d’après le principe d’exclusion de Pauli. A
température ambiante, on montre que les électrons vont approximativement remplir tous les états d’énergie par
ordre croissant d’énergie. La différence d’énergie entre l’état de plus basse énergie, le premier niveau, et
dernier état occupé, appelé niveau de Fermi s’appelle l’énergie de Fermi, notée EF .
On introduit la densité d’états (LDOS : local density of states) notée ρ( E ) définie telle que le nombre
d’électrons par unité de volume dont l’énergie est comprise entre E et E + dE vaut dn = ρ( E )dE .
La figure suivante donne l’allure de ρ( E ) en prenant pour origine de l’énergie celle du premier niveau.
Enfin on appelle travail de sortie noté WS l’énergie qu’il faut fournir pour arracher un électron du niveau de
Fermi en dehors du conducteur (échantillon ou pointe).
Dans le cas du STM, la barrière de potentielle a l’allure ci dessous, compte tenu de la tension U appliquée
entre la pointe et l’échantillon, ces derniers étant séparés d’une distance d.
Les zones grisées sont les énergies des états occupés par les électrons.
On donne : la charge de l’électron : −e = −1,6.10 −19 C la masse de l’électron me = 9,1.10 −31 kg
la constante de Planck réduite ! = 1,05.10 −34 J.s
On rappelle l’expression générale de l’équation de Schrödinger i!
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∂ψ
!2
=−
Δψ +V ( M ,t )ψ( M ,t )
∂t
2m
5
d
x
échantillon
vide
pointe
vide
Questionnaire
1) Qu’appelle-t-on effet piezo électrique ?
2) Proposer une vulgate de 3 lignes maximum pour définir l’effet tunnel.
3) Indiquer sur la figure l’énergie de Fermi, le travail de sortie ainsi que
la quantité eU .
4) Indiquer l’intervalle d’énergie des électrons susceptibles de passer de
l’échantillon à la pointe par effet tunnel.
5) En considérant les ordres de grandeurs des énergies mises en jeu,
justifier que la barrière est assimilable à une barrière rectangulaire dont
on précisera la hauteur.
6) En déduire que les électrons susceptibles de franchir la barrière sont, avec une bonne approximation, au
nombre de ndig ≈ ρ( EF )eU .
Compte tenu de la question précédente, on va étudier le comportement
d’une particule quantique arrivant sur une barrière de potentielle rectangulaire.
On considère une barrière rectangulaire définie par les valeurs suivantes :
x < 0 : V( x ) = 0
- région (I)
0 < x < d : V ( x ) = V0 > 0
- région (III) x > d : V ( x ) = 0
L’électron incident provient de x → −∞ et possède une énergie
E positive telle que : 0 < E < V0
- région (II)
On veut déterminer un état stationnaire d’énergie E positive.
E
x
0
d
⎛ Et ⎞
On cherche la fonction d’onde sous la forme ψ( x,t ) = ϕ( x )exp ⎜ −i ⎟
⎝ !⎠
7) Donner l’équation de Schrödinger vérifiée par la partie spatiale de ψ( x,t )
8) Etablir la solution de l’équation de Schrödinger dans les régions (I) et (II).
(
)
2m V0 − E
2mE
et K =
!
!
Préciser comment s’appelle le type d’onde de la région (II)
On posera k =
9) On admet que Kd >> 1 et que l’on peut négliger les réflexions multiples à l’intérieur de la barrière de potentiel.
Quelle forme simplifiée prend alors la fonction d’onde dans la région (II) ?
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10) Montrer que la dépendance du coefficient de transmission de l’électron à travers la barrière est de la
forme T = α exp −2Kd avec α une constante que l’on ne cherchera pas à déterminer.
(
)
11) Déduire de ce qui précède que l’intensité du courant tunnel est proportionnelle
⎛
2mWS ⎞
à ρ( EF )U exp ⎜ −2
d ⎟ On justifiera le raisonnement.
⎜⎝
⎟⎠
!
12) Justifier que la résolution en profondeur proposée correspond à une précision
de 10% sur la mesure de l’intensité.
13) Justifier la valeur de la résolution latérale du microscope. Cette valeur est-elle
perfectible ?
14) Quels sont les avantages et les inconvénients des deux modes de balayage du microscope.
15) La LDOS d’un échantillon peut varier de valeur significative d’un endroit à l’autre.
Pourquoi cela peut-il être un inconvénient ?
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