Cours6-DipôleRC

Partie III : Evolution des systèmes électriques
Chap. VI : Le dipôle RC
Dans les dispositifs électroniques comme les flash des appareils photographiques, on trouve une grande variété de
condensateurs. Quel est leur rôle dans les circuits électriques?
Expérience introductive :
A la fermeture de l'interrupteur (position 1), la lampe s'allume instantanément puis s'éteint au bout d'un temps très court.
En basculant l'interrupteur en position 2, la lampe se rallume brièvement.
Conclusion : le condensateur a pour but d'emmagasiner de l'énergie pour la redistribuer à la demande.
I. Les condensateurs
1°- Description
Un condensateur est un composant électrique constitué de deux conducteurs métalliques appelées armatures, séparés
sur toute leur surface par un matériau isolant. Cet isolant, encore appelé diélectrique, peut être de l’air, du mica, de la
céramique, un polyester.
2°- La charge électrique sur les armatures
Si des électrons négatifs viennent s’accumuler sur l’armature B, alors ces électrons négatifs repoussent, à distance, les
électrons de l’armature métallique A, laquelle se charge positivement.
La charge globale du condensateur reste toujours nulle. Par conséquent, les charges des armatures A et B sont
constamment égales mais de signes opposés : qA = - qB (on l'admettra)
Donc qA > 0 et qB < 0. |qA|=| qB| = q est appelée la charge du condensateur ou quantité d'électricité emmagasinée. Elle se
mesure en coulomb (C )

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Aucun électron ne peut traverser l’isolant mais ceux-ci circulent bien évidemment dans les fils extérieurs connectés aux
armatures.
En convention récepteur, on a donc pour le condensateur :
Retour à l'expérience introductive :
Lorsque l'on ferme l'interrupteur K (position 1) la lampe s'éclaire, puis s'éteint progressivement. Un courant transitoire
apparaît donc dans le circuit (régime transitoire). En effet, le courant ne peut pas s'établir durablement, car le circuit
série est coupé par la présence du diélectrique entre les armatures du condensateur. Ce courant provoque un excès
d'électrons sur l'armature B reliée à la borne <0 du générateur et un défaut d'électrons sur A (reliée à la borne >0). A se
charge positivement et B négativement : il y a donc apparition d'une tension uAB entre les amatures A et B.
Lorsque cette tension est égale à la tension E du générateur, le mouvement des charges électrique cesse (il faut une
différence de potentiel pour que les charges se déplacent!) et l'intensité du courant s'annule. Le condensateur est alors
chargé.
3°-Relation entre la charge et l'intensité
Par définition, l'intensité du courant dans un fil conducteur correspond au débit des charges transportées, c'est-
à-dire à la charge transportée par unité de temps.
i = dq/dt
i : intensité du courant en ampère (A)
q : charge de l'armature en coulomb (C)
t : temps en seconde (s)
Quelle est alors la relation entre l'intensité du courant et les charges portées par les armatures?
Il faut orienter le circuit afin de donner un signe à l'intensité :
i = dqA /dt (1)
i >0, qA augmente : dqA /dt > 0: le courant circule dans le sens d'orientation du circuit;
i<0, qA diminue : dqA /dt < 0 : le courant circule dans l'autre sens.
Si on charge un condensateur avec un générateur de courant qui délivre un courant d'intensité constante I, la relation (1)
donne : qA = I.t (si à t = 0 le condensateur est déchargé).
II. Charge à intensité constante : capacité d'un condensateur
Quelle relation existe-t-il entre la tension uAB appliquée entre les bornes et la charge qA du condensateur?
On a vu que l’intensité dans un circuit électrique était liée au déplacement d’ensemble des charges électriques par unité
de temps : I = q / t.
Lorsqu’on charge le condensateur avec une intensité constante, la charge q augmente donc proportionnellement au
temps t : q = I x t.

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cf. applet http://www.univ-lemans.fr/enseignements/physique/02/electri/condo2.html
Interprétation :
On remarque sur la courbe visualisée avec l’applet, que la tension aux bornes du condensateur augmente de façon
linéaire avec le temps. ATTENTION!!! : ceci est vrai pour une charge à courant constant. Donc, on en déduit que : q et
U aux bornes du condensateur sont proportionnelles lorsqu’on charge un condensateur.
Le coefficient de proportionnalité (positif) est appelé capacité du condensateur, de symbole C.
qA = C. uAB
C : en Farad (F); qA en coulomb (C), uAB en volt (V).
Remarques: - Le farad est une « grande » unité. On utilisera plutôt les sous unités : pico-, nano-, micro, milli-farad.
- si uAB >0, alors qA >0 ; si uAB <0, alors qA < 0

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III. Réponse d'un condensateur à un échelon de tension
L'association en série d'un condensateur de capacité C et d'un conducteur ohmique de résistance R constitue un dipôle
(R,C).
On étudie la charge du condensateur lorsque la tension aux bornes du dipôle RC passe brutalement de 0 à une valeur E
(ce qui est appelé un échelon de tension) ainsi que la décharge du condensateur à travers la résistance.
1°- Montage
2°- Charge du condensateur : interrupteur en position 1
2-1. Etude expérimentale
Grâce à l'interface Orphy GTi, on récupère les courbes Uc = f(t) (courbe 2) ainsi que E = f(t).
Remarque : en TP, l'étude de l'évolution de la tension aux bornes du condensateur en fonction du temps sera faite à
l'aide d'un volmètre et d'un chronomètre (tracé « manuel » donc).
On obtient les courbes ci-dessous :
La courbe 1 représente un échelon de tension : la tension uDM aux bornes du dipôle RC passe quasi instantanément de la
valeur 0 à la valeur E, valeur de la tension aux bornes du générateur.
La courbe 2 montre que la tension uCM aux bornes du condensateur augmente rapidement au début de la charge puis de
plus en plus lentement jusqu'à atteindre la valeur limite E. Comme qC = C.uCM , on constate que le condensateur ne se
charge pas instantanément.
Le condensateur d'un dipôle RC soumis à un échelon de tension ne se charge pas instantanément : la charge du
condensateur est un phénomène transitoire.
Avant la fermeture de l'interrupteur, le condensateur est déchargé : la tension à ses bornes est nulle.
Juste après la fermeture de l'interrupteur, elle est encore nulle.
La tension aux bornes du condensateur ne subit pas de discontinuité.
Etudions la tension uDC , c'est-à-dire la tension uR aux bornes de la résistance. On a : uDC = uDM + uMC = uDM - uCM .
Donc uR = uDM - uCM = E - uC . Ainsi, la différence E - uC permet de visualiser la tension aux bornes de la résistance R
du dipôle RC. Or uR = R. i, on observe donc la variation de l'intensité du courant. L'intensité i a une valeur positive et
elle décroît rapidement. Cela confirme le fait que dans l'expérience introductive, la lampe s'éteint progressivement.

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La courbe ci-dessous représente l'évolution de la différence E - uC en fonction du temps, soit uR .
2-2. Constante de temps
On reprend le montage précédent en conservant la même résistance R mais en prenant un condensateur de plus grande
capacité C. On constate qu'il se charge alors plus lentement. Avec le même condensateur, on utilise une résistance plus
grande : le condensateur se charge encore plus lentement.
Conclusion :
La durée de la charge du condensateur d'un dipôle RC augmente quand la valeur du produit R.C augmente.
Analyse dimensionnelle du produit R.C :
la résistance R = U/I s'exprime en ohm (Ω), i-e en volt par ampère ( V.A-1). La capacité C = Q/U = I.t /U s'exprime en
farad (F), i-e en A.s.V-1.
Le produit R.C s'exprime alors en Ω.F = V.A-1.A.s.V-1 = s.
Le produit R.C = τ, homogène à une durée, est la constante de temps du dipôle (R,C). La constante τ s'exprime
en seconde (s).
2-3. Etude théorique
●Equation différentielle
On va établir l'équation différentielle permettant de déterminer la tension uc aux bornes du condensateur.
La loi d'additivité des tensions (cf. montage 1°) permet d'écrire : E = ur + uc . On sait que uR = R. i ; i = dq /dt et
q = C.uc .
On a donc : uR = R. dq /dt = R. d(C.uc)/dt= RC duc/dt et E = RC duc/dt + uc , soit E = τ. duc/dt + uc . (1)
●Solution
On montre, en mathématiques, que la solution de cette équation différentielle est :
uc = E(1-e-t/τ)
Vérification : dérivons uc =E – E.e-t/τ .
duc/dt = -E.(-1/ τ).e-t/τ = E.e-t/τ / τ. On remplace dans l'équation (1) : E = τ. E.e-t/τ / τ. + E(1-e-t/τ) = E.e-t/τ +E - E.e-t/τ = E!
L'équation (1) est donc bien vérifiée et donc uc = E(1-e-t/τ) est la solution de cette équation différentielle.
D'autre part, quand t tend vers l'infini, e-t/τ tend vers 0, donc uc tend vers E (on a bien vu sur la courbe du 2-1 que uc
tendait asymptotiquement vers E).
●Signification physique de τ
L'équation uc = E(1-e-t/τ) montre qu'après une durée t = τ = R.C : uc = E(1-e-τ /τ) = E(1-1/e) =E (1- 1/(2,72) ) = 0,63.E
La constante de temps τ donne l'ordre de grandeur de la durée de la charge du condensateur.
Après une durée égale à τ, le condensateur est chargée à 63% de sa valeur maximale.
Après une durée de 5 τ, il est chargé à plus de 99%.
La durée t ½ au bout de laquelle E = E/2 est telle que : t ½ = τ .ln2.
On retrouve une durée caractéristique analogue à la demi-vie d'une désintégration radioactive.