18 Ondes (v5) - Laboratoire de Physique des Hautes Energies

18
v5
Ondes
1
Ondes sismiques
2
Types d'ondes
δx = δx(x,t)
x
€
y
δy = δy(x,t)
Exemples: son dans l'air: onde longitudinale.
lumière: transverse.
€
x
3
Ondes périodiques
δ
t
période T
δ
Exemple:
ondes sinusoïdales
T
t
4
Exemple: le son
On peut enclencher une onde de pression dans un gaz par la
vibration de la membrane d'un haut-parleur. Celui-ci se
comporte comme un piston. Les molécules d'une couche
transmettent le mouvement à la couche suivante etc.
Pression
externe = P0
P0−ΔP
P0+ΔP
P(t) = P0 + ΔP sinωt
voir plus loin...
5
Exemple: ondes e.m. transverses
Onde électromagnétique polarisée horizontalement
y
Ex = E sin ωt
E
x
B
6
Ondes dans le temps
Considérons des ondes d'eau que l'on génère en jetant une pierre
(on néglige l'atténuation au cours du temps).
On peut fixer un point, à distance r du
point d'impact et observer l'hauteur de
l'onde au cours du temps:
h(t) = H sin(ωt + φ)
H est l'hauteur maximale (l'amplitude) et Hsin(φ) est l'hauteur à t = 0.
h
H
t
ω = 2π/T
T
Ex: amplitude champ Electrique d'une onde e.m. en un point E(t) = E0 sin(ωt)
7
Ondes dans l'espace
On peut aussi prendre une photo au temps t
et observer l'hauteur de l'onde en fonction
de la distance r du centre:
h(r) = H sin(κr + γ)
H est l'hauteur maximale (l'amplitude) et Hsin(γ) est l'hauteur en r = 0.
h
H
r
λ
κ = 2π/λ
Ex: amplitude champ Electrique d'une onde e.m. à un instant E(r) = E0 sin(κr)
8
Vitesse des ondes
Une onde sinusoïdale est en général donnée par:
δ(x,t) = A sin(κx + ωt + φ)
On peut extraire la vitesse de cette onde. On fixe un point
de l'onde au temps t, on attend une période t → t + T, et on
repère la distance parcourue.
Par définition elle sera une
longueur d'onde λ plus loin.
t
La vitesse de propagation est donc
v = λ/T
Si ν est la fréquence = 1/T
t+T
λ
v = λν
9
Vitesse des ondes .2
On parle d'onde progressive quand la vitesse n'est pas nulle
et il y a donc transport d'énergie. Exemples:
La vitesse de la lumière dans le vide est c = 2.998 108 m/s.
Le son dans l'air voyage à 344 m/s, dans le fer à 5120 m/s.
Par contre: la vibration d'une corde de piano à la résonance
constitue une onde stationnaire, v = 0.
On peut relier la vitesse de propagation d'une onde à des
caractéristiques physiques. P. ex., la vitesse dans une corde
est donnée par
Tension
v=
v
masse /longueur
Ex. 21.3: transmission d'une impulsion le long d'une
corde de piano
Tension=1098 N, masse par
unité de longueur
€ = 0.065 kg/m ⇒ v = 130 m/s
10
Interférences
Des ondes peuvent s'additionner et former des figures complexes.
P. ex.:
*
a(t) = A1 sin(ω1t + φ1) + A2 sin(ω2t + φ2)
Ce principe de superposition est valable si le phénomène est
"linéaire".
Si par contre on a, p. ex., un phénomène de saturation, l'amplitude
totale peut être plus petite que
l'addition linéaire.
Les ondes d'eau
peuvent se croiser sans
se détruire.
11
Interférences
Additionnons deux ondes de même amplitude et fréquence.
On a deux cas particuliers:
interférence destructive
interférence constructive
les ondes sont en contre-phase
les ondes sont en phase
Asin(ωt) − Asin(ωt) = 0 Asin(ωt) + Asin(ωt) = 2Asin(ωt)
somme = onde avec le
double d'amplitude
€
€ intermédiaire.
Ex.: considérer un cas
12
Interférences .2
L'addition de deux ondes de fréquence différente, génère des
battements.
Ex.: 2 sinusoïdes, même amplitude. Fréquences écartées de δ/2π
A(t) = sin(ωt ) + sin((ω + δ)t ) =
δ 
t(2ω + δ)
= 2cos t  × sin
2 
2
δ 
≈ 2cos t  × sin(ωt ) si δ << ω
2 
€
Donc, approximativement, on a une onde de même fréquence
que l'onde initiale, mais modulée par le cosinus avec une
fréquence qui est égale à la moitié de la différence entre
les fréquences des deux ondes.
13
Séries de Fourier
Approximations d'une onde
carrée par superposition
d'ondes sinusoïdales de fréquences
multiples (harmoniques)
f(t) = cte +
m=7,9
∑ a sin((iω)t )
i
i=1,M
€
m=501
m=21
14
Fourier .2
15
SYNTHESIZER
Moog 1970
16
Ondes stationnaires et résonance
On peut faire interférer deux ondes voyageant en directions
opposées et produire une onde immobile (v=0) ou "stationnaire"
la distance entre les
"noeuds" est la moitié
de la longueur d'onde
de chaque onde
individuelle.
17
Ondes stationnaires et résonance .2
Dans plusieurs systèmes, on peut entretenir des ondes stationnaires,
si les conditions "au bord" sont respectées. Par exemple, une corde
tendue entre deux points, peut être sollicitée à vibrer selon des
"modes" de longueur d'onde qui dépendent de la longueur de la
corde.
n=0
λ = 2L /n
n = 0,1,2,3,...
(pas d'oscillation)
La€fréquence dépend de la tension de
la corde:
v n Tension
ν= =
λ 2L masse /L
1
2
3
On peut s'imaginer qu'il s'agit de 2 ondes progressives, de vitesse v,
qui rebondissent aux bords et interfèrent continuellement.
€
18
Ondes stationnaires et résonance .3
λ = 2L /n
€
antinodes
= ventres
Il est possible d'exciter une corde de façon efficace seulement quand
on tombe sur les fréquences propres du système, les harmoniques.
Sinon l'énergie est rapidement dispersée.
19
Ondes stationnaires et résonance .4
tuyau ouvert: les ventres
(antinodes) sont sur les
extrémités
La fondamentale
λ = 2L ν = v/2L
Harmonique
λ = L ν = v/L
20
Ondes stationnaires et résonance .5
tuyau fermé: un ventre est
sur l'ouverture, un noeud
sur le côté fermé.
Fondamentale
λ = 4L ν = v/4L
Harmonique
λ = 4/3 L ν = 3v/4L
21
L'effet Doppler avec observateur immobile
v
v
a)
v
A
v
b)
et source en
mouvement
B
a) Source sonore stationnaire et b) en mouvement par rapport au
milieu (p. ex. l'air). La longueur d'onde est modifiée, à cause du
mouvement. La personne qui écoute le son, va enregistrer un son
plus aigu ou plus bas suivant qu'elle voit la source s'approcher
(position A) ou s'éloigner (B).
Si ν est la fréquence d'émission, dans a) on a λ = v/ν. v est la
vitesse de propagation de l'onde, une constante.
Au point B on aura λ' = (v-V)/ ν, où V<v est la vitesse de la source.
La fréquence du son à l'oreille de B sera ν' = v/ λ' = v ν /(v−V)
et pour A:
ν' = v/ λ' = v ν /(v+V)
22
Effet Doppler avec source immobile
v
et observateur en
mouvement
V
La personne qui écoute le son, va enregistrer un son plus aigu ou
plus bas suivant qu' elle se rapproche de la source (dans la figure,
se serait pour V<0) ou elle s'en éloigne (V>0).
Si ν est la fréquence d'émission, au repos (V=0) on a λ = v/ν.
La vitesse du son d'après l'observateur vaut v' = v − V.
Donc la fréquence est modifiée par
ν' = v'/ λ = (v−V)ν/v
Donc ν' > ν quand V > 0
ν' < ν quand V < 0
23
Ondes de choc
Quand la vitesse de la source est égale à celle de l'onde, V = v,
une onde de choc se forme sur le front avant.
Si V>v, l'onde de choc suit la
source. C'est l'origine du bang
sonique.
région de haute
pression
L'équivalent du bang sonique dans le cas électromagnétique est
l'effet Cherenkov.
24
Transducteurs son⇔ électricité
Haut-parleur
Transducteur piézoélectrique
25
Le son
On peut enclencher une onde de pression dans un gaz par la
vibration de la membrane d'un haut-parleur. Celui-ci se
comporte comme un piston. Les molécules d'une couche
transmettent le mouvement à la couche suivante etc.
Pression
externe = P0
P0-ΔP
P0+ΔP
P(t) = P0+ΔP sinωt
Macroscopiquement, le comportement est décrit par le
module de compressibilité adiabatique K qui permet d'exprimer
la variation de pression par rapport au changement de densité
Δρ
ΔP = K
ρ
26
Le son .2
On trouve que la vitesse de propagation du son
dans un milieu avec module de compressibilité adiabatique K
et densité ρ est donnée par
K
v=
ρ
Air
Eau
Fer
densité
kg/m3
1.2
998
7900
vitesse
m/s
344 €
1498
5120
27
Transport de l'énergie et de la quantité de
mouvement par une onde
La quantité d'énergie transportée par une onde progressive est
une fonction de l'amplitude de l'onde.
Pour un ressort "oscillateur harmonique" E = (1/2) k x2, donc
l'énergie est proportionnelle au déplacement au carré.
C'est en effet aussi le cas pour les oscillations sinusoïdales,
pour lesquelles l'énergie est proportionnelle à l'amplitude au
carré: Energie ∝ (Amplitude)2.
De même pour la quantité de mouvement transportée par le
phénomène oscillatoire.
Pour une onde stationnaire l'énergie est localisée. Dans le cas
de la vibration d'une corde, il y a localement transformation
de l'énergie potentielle élastique en énergie cinétique et vice
versa.
28
Le son .3
La puissance sonore par unité de surface du son, ou intensité I,
est proportionnelle à l'amplitude de l'onde de pression
au carré
ΔE
ΔP 2
I=
=
ΔSΔt 2ρv
Ex.:
haut-parleur 1 W, S=0.05 m2, I à la surface =1/0.05 = 20W/m2
€
à R=1 m, l'onde
est répartie sur une demi-sphère S=2πR2
I = (1 W) /(2π ×12 m2 ) ≈ 1/6 Wm−2
R
€
€
ΔP = 2Iρv ≈ 2 16 1.2 × 344 ≈ 12
N/m2
29
Le son .4
Le décibel
I
β = 10log
I0
est une grandeur qui exprime la sensibilité "logarithmique"
de l'oreille.
€
Par convention, on utilise pour I0 = 10−12 W/m2.
ce qui correspond à environ 0 dB pour le seuil d'audition à 1000 Hz.
Le seuil de la douleur est à 120 dB
30