Problème : La limite de Betz, rendement optimal des éoliennes

Problème : La limite de Betz, rendement optimal des éoliennes (« Wind-energie », 1926)
(extrait du sujet de 2001 de l’Agrégation de Génie Electrique)
(Thème : calcul littéral, identités remarquables, équations du 2nd degré, fonctions, dérivation et recherche
d’optimum ; classes de 3ème et 2nde avec tracé sans dérivation, 1ères, Terminales, BTS)
La production d'énergie éolienne se fait par prélèvement d'énergie cinétique du vent par les pales.
On considère une veine de vent et on note :
V1 : vitesse du vent avant l'éolienne V : vitesse du vent au niveau de l'éolienne
V2 : vitesse du vent après prélèvement de l'énergie par l'éolienne
On suppose l'air incompressible, ce qui permet d'écrire la conservation du débit volumique qv (en m3/s) :
qv = Cte = S1.V1 = S2.V2 = S.V
Le théorème d'Euler (dont la preuve figure en annexe) permet d'écrire que la force F s'exerçant sur les pales de
l'éolienne est donnée par l'expression : F = ρ S.V.(V1-V2)
avec ρ la masse volumique de l’air (en kg.m-3), S en m², V1 et V2 en m/s.
On en déduit que la puissance mécanique P (en W) fournie par le vent à l'éolienne s'écrit : P = F.V = ρ.S.V².(V1-
V2)
1) Relation entre V, V1 et V2 :
La masse d'air élémentaire dm traversant l'éolienne pendant le temps dt est dm = S.V.dt.ρ.
La diminution d'énergie cinétique de cette masse dm lorsque la vitesse passe de la vitesse V1
à la vitesse V2 est dEc = 0,5 dm.V1²- 0,5 dm.V2² = 0,5 S.V.dt.ρ.(V1²- V2²)
La puissance P peut donc s’écrire aussi P =
dtc
dE
= 0,5 S.V.ρ.(V1²- V2²).
a) A partir des 2 expressions de la puissance P et en utilisant la relation (a +b) × (a - b) = … …., quelle relation
simple existe-t-il entre les trois vitesses V1, V2 et V ?
b) En déduire que la puissance P peut s’écrire P = 0,25 ρ.S.(V1 + V2)².(V1 - V2)
(expression dans laquelle la vitesse V n’apparaît plus).
2) Limite de Betz : On se propose de déterminer dans quelle(s) condition(s), entre V1 et V2, la puissance P extraite
par les pales est maximale. On pose x =
1
2
V
V
.
Ce rapport x varie de 0 à 1 lorsque V2 augmente de 0 (l’éolienne arrête totalement le vent) à V1 (l’éolienne ne
freine pas du tout le vent).
a) Montrer que la puissance P peut s’écrire en fonction de x : P(x) = 0,25 ρ.S.V13.(1 + x)².(1 - x)
b) ρ, S et la vitesse du vent à l’« entrée » V1 étant des constantes, étudier les variations de P(x) pour x ∈ [0 ; 1] et
en déduire la relation devant exister entre V1 et V2 pour que la puissance P passe par un maximum.
Représenter graphiquement P en fonction de x pour [0 ; 1].
c) Exprimer alors cette puissance maximale Pmaxi éolienne en fonction de ρ, S et V1.
d) Sachant que la puissance contenue dans la veine de vent est donnée par Pveine =
2
1
ρ.S.V13, exprimer le quotient
entre Pmaxi éolienne et Pveine.
e) Que représente ce rapport d’un point de vue physique ?
f) - Calculer Pmaxi éolienne pour S = 10 000 m², ρair = 1,225 kg.m-3 (correspondant à une altitude voisine de 600 m),
V1 = 36 km.h-1 = 10 m.s-1.
- Calculer Pmaxi éolienne pour S = 10 000 m², ρair = 0,34 kg.m-3 (comme au voisinage de 10000 m d’altitude),
dl = V.dt
S
S
1
S
S
2
2
V
1
V
V
1

V1 = 252 km.h-1 = 70 m.s-1. Comparez les 2 résultats. Annexe
Preuve du théorème d’Euler (ou des quantités de mouvement) :
Soit une masse m de fluide située, à l’instant t, dans la veine entre S1 et S2.
Cette masse est située, à l’instant t + dt, dans la veine entre S’1 et S’2.
La relation fondamentale de la dynamique pour cette masse m est :
∑ext
F
= m.
dt
dV
.
L’écoulement étant permanent, tout se passe comme si le fluide qui, à l’instant t, se trouvait dans la partie (1), était
maintenant venu en (2). On peut alors écrire :
dt
dV
=
dtvv 12 −
.
On considère alors un petit tube de courant, de masse dm, entre les surfaces dS1 et dS2.
La relation fondamentale de la dynamique pour cette masse dm devient
∑
ext
F
= dm.
dt
dv
= dm.
dt
vv 12 −
=
dt
dm
( )
12 vv −
= dqm tube.
( )
12 vv −
avec dqm tube le très petit débit massique du tube de courant.
On obtient le théorème d’Euler en sommant pour tous les tubes de courant.
Théorème d’Euler : La somme vectorielle
∑
ext
F
des forces appliquées à un tronçon de fluide en écoulement
permanent est égale au produit du débit massique qm par la différence vectorielle
( )
12 vv −
des vitesses du fluide en
aval et en amont de ce tronçon.
∑ext
F
= qm .
( )
12 vv −
avec
∑ext
F
en N, qm en kg/s, v1 (à l’amont) et v2 (à l’aval) en m/s.
De plus, qm = ρ qv et qv = v S
avec qm le débit massique en kg/s, qv le débit volumique en m3/s,v en m/s et S en m²
Corrigé
1) a) (a + b) × (a - b) = a² - b² d’où ρ.S.V².(V1-V2) = 0,5 S.V.ρ.(V1²- V2²)
⇔ ρ.S.V².(V1-V2) = 0,5 S.V.ρ.(V1+V2).(V1-V2) ⇔ V = 0,5 (V1+V2) V est la valeur moyenne de V1 et
V2
b) P =
dtc
dE
= 0,5 S.V.ρ.(V1²- V2²) = 0,5 S.V.ρ.(V1+V2).(V1-V2)
= 0,5 S. 0,5 (V1+V2).ρ.(V1+V2).(V1-V2) = 0,25 ρ.S.(V1+V2)².(V1-V2)
2) V2 = xV1 ⇒ P = 0,25 ρ.S.(V1+V2)².(V1-V2) = 0,25 ρ.S.(V1+ xV1)².(V1- xV1)
= 0,25 ρ.S.V1².(1+ x)².V1.(1- x) = 0,25 ρ.S.V13.(1+ x)².(1- x) = P(x)
b) P(x) = 0,25 ρ.S.V13.(1+ x)².(1- x) = 0,25 ρ.S.V13.(1+ 2x + x²).(1- x) = 0,25 ρ.S.V13.(- x3 - x² + x +1)
⇒ P’(x) = 0,25 ρ.S.V13.(- 3x² - 2x + 1)
P’(x) = 0 ⇔ 0,25 ρ.S.V13.(3x² - 2x + 1) = 0 ⇔ 3x² + 2x - 1 = 0 ∆ = 16 > 0 x1 = -1 et x2 =
3
1
x
0
3
1
1
P’(x) + 0 -
P(x) 0,5 ρ.S.V13.
27
16
.
0,25 ρ.S.V1
3
0
2
v
1
v
S
1
dS
1
S
2
dS
2
S’
2
S
1
’
(1)
(2)
P(x) est maximal pour x =
3
1
c'est-à-dire pour V2 =
3
1
V1.
S m²
v mètres en 1 s
2

V2 0
3
1
V1 V1
c) On a alors Pmaxi = P(
3
1
) = 0,25 ρ.S.V13.(1+
3
1
)².(1-
3
1
) = 0,25 ρ.S.V13.
9
4
.
3
2
= 0,5 ρ.S.V13.
27
16
.
d)
veine
éoliennei
P
Pmax
=
27
16
≈ 0,593
e) Le rendement du rotor de l’éolienne ne peut pas dépasser 59,3 %, qui constitue la limite de Betz.
f) Pmaxi = 0,5 ρ.S.V13.
27
16
- pour S = 10 000 m², ρair = 1,225 kg.m-3 (correspondant à une altitude proche de 600 m), V1 = 36 km.h-1 = 10 m.s-
1, Pmaxi ≈ 3 630 000 W soit 3,63 MW,
- pour S = 10 000 m², ρair = 0,34 kg.m-3 (comme au voisinage de 10000 m d’altitude), V1 = 252 km.h-1 = 70 m.s-1,
Pmaxi ≈ 345 54 000 W soit 345 MW,
d’où l’intérêt de l’exploitation des vents à une altitude proche de 10 000 m où les vitesses sont en permanence très
élevées.
y
y =
- x3 - x² + x +1
x
3