Algorithmes de graphes

Algorithmes de graphes
Olivier Baudon
Université de Bordeaux
351, cours de la Libération, 33405 Talence Cedex, France
14 novembre 2016
Résumé
Ces notes présentent les principaux algorithmes de graphes vus dans le cadre
de l’UE Algorithmes de Graphes de la Licence Informatique de l’Université
de Bordeaux
Chapitre 1
Algorithmes
1.1
1.1.1
Parcours de graphes
Parcours en largeur
Algorithme 1 Parcours en largeur PL(G, s)
1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
11:
12:
13:
14:
15:
16:
17:
18:
19:
20:
21:
22:
couleur(s) ← GRIS
d(s) ← 0
pere(s) ← N IL
F ← {s}
pour tout v ∈ V (G)\s faire
couleur(v) ← BLAN C
d(v) ← ∞
pere(v) ← N IL
fin pour
tant que F non vide faire
v ← tete(F )
pour tout w ∈ Adj(v) faire
si couleur(w) = BLAN C alors
couleur(w) ← GRIS
d(w) ← d(v) + 1
pere(w) ← v
Enf iler(F, w)
fin si
fin pour
Def iler(F )
couleur(v) ← N OIR
fin tant que
2
Complexité
1.1.2
Parcours en profondeur
Algorithme 2 Parcours en profondeur PP(G)
1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
pour tout v ∈ V (G) faire
couleur(v) ← BLAN C
pere(v) ← N IL
fin pour
temps ← 0
pour tout v ∈ V (G) faire
si couleur(v) = BLAN C alors
V isiterP P (v)
fin si
fin pour
Algorithme 3 VisiterPP(v)
1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
d(v) ← temps ← temps + 1
couleur(v) ← GRIS
pour tout w ∈ Adj(v) faire
si couleur(w) = BLAN C alors
pere(w) ← v
V isiterP P (w)
fin si
fin pour
couleur(v) ← N OIR
f (v) ← temps ← temps + 1
1.1.3
Applications du parcours en profondeur
Tri topologique
Au cours d’un parcours en profondeur, à chaque fois que l’on noircit un
sommet, il est inséré en tête de liste.
A P P (G), rajouter une ligne 5 bis :
liste ← {}
A V isiterP P (v), rajouter
trois lignes 3.1, 3.2, 3.3
si couleur(w) = GRIS alors
retourner”Existence d’un circuit”
3
fin si
une ligne 11 :
IN SERER T ET E(liste, v)
Composantes fortement connexes
Algorithme 4 CFC(G)
Exécuter PP(G) et trier les sommets selon un ordre décroissant de f
2: Calculer G−1
3: Exécuter PP(G−1 )
4: Retourner les arborescences obtenues comme composantes fortement
connexes de G
1:
1.2
1.2.1
Arbre de poids minimum
Algorithme de Kruskal
Algorithme 5 Kruskal(G, w)
1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
11:
12:
13:
14:
pour tout v de V (G) faire
composante(v) ← {v}
fin pour
Trier E(G) dans un ordre croissant (e1 , . . . , em ) en fonction de w(e)
i←1
E(T ) ← {}
tant que |E(T )| < n − 1 faire
si ei = (u, v) et composante(u) 6= composante(v) alors
E(T ) ← E(T ) ∪ {ei }
UNIFIER(composante(u), composante(v))
fin si
i←i+1
fin tant que
retourner E(T )
1.2.2
Algorithme de Prim
4
Algorithme 6 Prim(G, w)
1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
11:
12:
13:
14:
15:
F ← F ILE P RIORIT E(V (G), cle)
pour tout v de V (G) faire
cle(v) ← ∞
fin pour
cle(r) ← 0
pere(r) ← N IL
tant que F 6= ∅ faire
u ← EXT RAIRE M IN (F )
pour tout v ∈ Adj(u) faire
si v ∈ F et w(u, v) < cle(v) alors
pere(v) ← u
cle(v) ← w(u, v)
fin si
fin pour
fin tant que
1.3
1.3.1
Plus court chemin
Plus court chemin à partir d’un sommet
Dijkstra
G : graphe orienté
w : E(G) → R+
s : source de G
Bellman
G : graphe orienté sans circuit
w : E(G) → R
s : source de G
Algorithme de Ford
G : graphe orienté
w : E(G) → R
s : source de G
L’algorithme renvoie vrai si le graphe G est sans circuit négatif.
5
Algorithme 7 Dijkstra(G, w, s)
1:
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18:
19:
20:
21:
22:
pour tout v de V (G) faire
d(v) ← ∞
pere(v) ← N IL
couleur(v) ← BLAN C
fin pour
d(s) ← 0
F ← F ILE P RIORIT E({s}, d)
tant que F 6= ∅ faire
pivot ← EXT RAIRE M IN (F )
pour tout e = (pivot, v) arc sortant de pivot faire
si couleur(v) = BLAN C alors
si d(v) = ∞ alors
INSERER(F, v)
fin si
si d[v] > d[pivot] + w(e) alors
d[v] ← d[pivot] + w(e)
pere[v] ← pivot
fin si
fin si
fin pour
couleur[pivot] ← N OIR
fin tant que
Algorithme 8 Bellman-court(G, w, s)
1:
2:
3:
4:
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6:
7:
8:
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10:
11:
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14:
15:
16:
TriTopologique(G)
Soit v1 , . . . , vn l’ordre topologique calculé à l’étape 1
pour i de 1 à n faire
d[vi ] ← ∞
pere[vi ] ← N IL
fin pour
d[s] ← 0
Soit j l’indice de s dans l’ordre topologique calculé à l’étape 1
pour i de j à n − 1 faire
pour u ∈ Adj(vi ) faire
si d[u] > d[vi ] + w(vi , u) alors
d[u] ← d[vi ] + w[vi , u]
pere[u] ← vi
fin si
fin pour
fin pour
6
Algorithme 9 Bellman-long(G, w, s)
1:
2:
3:
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11:
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15:
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17:
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19:
20:
21:
pour tout v de V (G) faire
d[v] ← ∞
pere[v] ← N IL
npred[v) ← deg − [v]
fin pour
d[s] ← 0
INSERER FILE(F, s)
tant que F non vide faire
u ← T ET E F ILE(F )
DEFILER(F)
pour v ∈ Adj(u) faire
si d[v] > d[u] + w(u, v) alors
d[v] ← d[u] + w[u, v]
pere[v] ← u]
fin si
npred(v) ← nped[v] − 1
si npred(v) = 0 alors
INSERER FILE(F, v)
fin si
fin pour
fin tant que
Algorithme 10 Ford(G, w, s)
1:
2:
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18:
19:
pour tout v de V (G) faire
d[v] ← ∞
pere[v] ← N IL
fin pour
d[s] ← 0
pour i de 1 à n − 1 faire
pour tout arc e = (u, v) ∈ E(G) faire
si d[v] > d[u] + w(u, v) alors
d[v] ← d[u] + w[u, v]
pere[v] ← u]
fin si
fin pour
fin pour
pour tout arc e = (u, v) ∈ E(G) faire
si d[v] > d[u] + w(u, v) alors
retourner FAUX
fin si
fin pour
retourner VRAI
7
1.3.2
Plus courts chemins entre toutes paires de sommets
Algorithme de Floyd
G est un graphe orienté, munis d’une fonction de poids sur les arcs w.
Les sommets sont numérotés de 1 à n.
Wi,j contiendra la plus courte distance entre le sommet i et le sommet j,
P redi,j le sommet prédécesseur de j sur un plus court chemin de i à j.
Algorithme 11 Floyd(G, w)
1:
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19:
20:
21:
22:
23:
24:
pour i de 1 à n faire
pour j de 1 à n faire
si i = j alors
W (i, j) ← 0
P red(i, j) ← i
sinon si ij ∈ E(G) alors
W (i, j) ← w(i, j)
P red(i, j) ← i
sinon
W (i, j) ← ∞
P red(i, j) ← N IL
fin si
fin pour
fin pour
pour k de 1 à n faire
pour i de 1 à n faire
pour j de 1 à n faire
si W (i, k) + W (k, j) < W (i, j) alors
W (i, j) ← W (i, k) + W (k, j)
P red(i, j) ← P red(k, j)
fin si
fin pour
fin pour
fin pour
Algorithme de Warshall
L’algorithme de Warshall est une adaptation de l’algorithme de Floyd
au calcul de la fermeture transitive d’un graphe orienté. Wi,j vaudra 1 s’il
existe un chemin de i à j dans le graphe G, 0 sinon.
8
Algorithme 12 Warshall(G, w)
1:
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3:
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11:
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13:
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15:
16:
pour i de 1 à n faire
pour j de 1 à n faire
si i = j || ij ∈ E(G) alors
W (i, j) ← 1
sinon
W (i, j) ← 0
fin si
fin pour
fin pour
pour k de 1 à n faire
pour i de 1 à n faire
pour j de 1 à n faire
W (i, j) ← (W (i, k) & W (k, j)) k W (i, j)
fin pour
fin pour
fin pour
1.4
1.4.1
Flots
Algorithme de Ford et Fulkerson
G : graphe orienté
c : E(G) → R+
s : source de G
t : puit de G
On considère un arc (t, s) de capacité c(t, s) infinie. La valeur du flot sur cet
arc sera la ”valeur du flot de s à t”.
On note respectivement par I(e) et T (e) l’extrémité initiale et l’extrémité
terminale d’un arc e.
9
Algorithme 13 FlotMax(G, c, s, t)
1:
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3:
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25:
26:
27:
pour tout e de E(G) faire
f [e] ← 0
fin pour
répéter
Marquage(G, c, f, s, t)
si t ∈ Y alors
v←t
C + ← {(t, s)}
C− ← ∅
tant que v 6= s faire
e ← A[v]
si v = T [e] alors
C + ← C + ∪ {e}
v ← I[e]
sinon
C − ← C − ∪ {e}
v ← T [e]
fin si
fin tant que
fin si
pour tout e ∈ C + faire
f (e) ← f (e) + δ[t]
fin pour
pour tout e ∈ C − faire
f (e) ← f (e) − δ[t]
fin pour
jusqu’à t 6∈ Y
10
Algorithme 14 Marquage(G, c, f, s, t)
1:
2:
3:
4:
5:
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14:
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17:
18:
Y ← {s}
δ(s) ← +∞
M ax ← faux
tant que t 6∈ Y etM ax =faux faire
si il existe e = (u, v) avec u ∈ Y, v 6∈ Y, f (e) < c(e) alors
Y ← Y ∪ {v}
A[v] ← e
δ[v] ← min(δ[u], c(e) − f (e))
sinon
si il existe e = (u, v) avec v ∈ Y, u 6∈ Y, f (e) > 0 alors
Y ← Y ∪ {u}
A[u] ← e
δ[u] ← min(δ[v], f (e))
sinon
Max ← vrai
fin si
fin si
fin tant que
11