TD EM1 : Le champ magnétique - PCSI

TD- Induction - I: Champ magnétique
Correction
Application 1 : Dans les cartes de champs magnétique suivantes, où le champ est-il le plus
intense ? Où sont placées les sources ? Le courant sort-il ou rentre-t-il du plan de la figure ?
Le champ est le plus intense là où les lignes de champ sont les plus serrées : c’est-à-dire dans
la zone centrale où les lignes sont verticales (dans le cas de gauche), et proche des sources
(dans le cas de droites).
Les lignes de champ tournent autour des sources. On a donc 6 points d’arrivée de courant
(dans le cas de gauche) et 4 points d’arrivée de courant (dans le cas de droite).
Pour chacun de ces points sources, on définit le sens du courant (entrant ou sortant du plan de
la feuille) à partir du sens des lignes de champ en utilisant la règle de la main droite.
On a alors trois spires parallèles (parcourues par des courants de même sens) qui génèrent la
carte de champ à gauche, et deux spires parallèles (parcourues par des courants de sens
opposé) qui créent la carte de champ à droite. Si la carte de champ à droite est invariante par
rotation autour de l’axe vertical sur la feuille, alors l’axe des deux spires est vertical (comme
indiqué sur la figure ci-dessous).
Application 2 : On considère un solénoïde infini comportant n = 1,2. 103 spires par mètre, et
parcouru par un courant I = 0,23 A. Déterminer la norme B du champ magnétique à l’intérieur
du solénoïde.
Le solénoïde étant considéré comme infini, on peut utiliser l’expression B = µ0 n I pour
déterminer le champ magnétique B à l’intérieur. On obtient B = 4π 10-7 x 1,2 103 x 0,23 = 3,5.
10-4 T
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Application 3 : La ligne de tension d’un trolleybus est à une hauteur de 10 m au-dessus du
sol. Elle est rectiligne et transporte un courant de 100 A dans la direction de l’Est. Décrire le
champ magnétique qu’elle produit et calculer sa valeur sous la ligne au niveau du sol.
Comparez-le avec le champ magnétique terrestre.
Donnée : Champ magnétique créé dans le vide par un conducteur rectiligne infini
I
transportant un courant d’intensité I à une distance r de l’axe : B  0
2 r
B= 4π 10-7 x 100 / (2π x 10) = 2.10-6 T < Bterrestre = 4,7 10-5 T
Application 4 : On considère une spire circulaire de rayon R = 1,2 cm, parcourue par un
courant I = 0,23 A. Déterminer la norme m du moment magnétique de cette distribution.
m = π R² I = 10-4 A.m²
Application 5 : Donner l'expression du moment magnétique des systèmes suivants :
a) Spire carrée de coté a
b) Solénoïde de longueur L et de rayon R formé de n spires par unité de longueur.
a) m = a² I
b) m= π R² I n L
Application 6 : Selon le modèle de Bohr de l’atome d’hydrogène l’électron circule autour
d’un proton sur une orbite de rayon 0,0529 nm à une vitesse de 2,2.106 m/s. Calculer le
moment orbital de l’électron µB nommé magnétron de Bohr.
Par définition du moment magnétique, µ = I S. Il faut donc déterminer l’intensité du courant
et l’aire de l’orbite associées à l’électron dans le modèle de Bohr de l’atome d’hydrogène.
Le courant est dû à un électron de charge qe qui passe en un point de l’orbite à chaque tour,
donc une fois par période T, donc I = qe/T. Le périmètre de la circonférence est 2πr, donc T =
2πr / v. Comme S = πr², on obtient : µB = (qe / T) (πr²) = (qe v / 2πr) (πr²) = qe v r /2, soit µB=
9,3 10-24 A.m²
Exercice 1 : Bobine
On considère une bobine de longueur L = 60 cm, de rayon R = 4 cm, parcourue par un
courant d’intensité i = 0,6 A.
1. La formule du champ dans une bobine infinie est-elle valable pour déterminer le champ
dans cette bobine?
2. Déterminer le nombre de spires nécessaires pour obtenir un champ magnétique de 0,001 T.
3. La bobine est réalisée en enroulant un fil de 1,6 mm de diamètre autour d’un cylindre en
carton. Combien de couches faut-il bobiner pour obtenir le résultat précédent ?
Correction :
1. L/R=15 donc la formule du champ dans une bobine infinie est valable.
2. B = µ0 n I avec n = N / L donc N = B L / (µ0 I) = 0,001 x 0,06 / (4π 10-7 x 0,6) = 800 spires.
3. On note d = 1,5 mm le diamètre du fil. On peut bobiner le long du cylindre N1 = L / d
spires. On a besoin de N=800 spires pour obtenir un champ de 0,001T. Il faut donc utiliser N2
= N / N1 = N d / L = 2 couches.
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Exercice 2 : Spectres de champs magnétiques
La carte de champ magnétique ci-contre a été obtenue dans le plan xOz.
1. Préciser où se trouvent les sources du champ et commenter la forme des lignes en leur
voisinage.
Les lignes de champ s’enroulent autour des courants. On peut ainsi localiser quatre points,
aux extrémités des segments noirs, qui doivent être des points de passage des fils, parcourus
par un courant électrique perpendiculaire au plan.
Chacun de ces points est au centre d’une ligne de champ quasi circulaire. Au voisinage de
l’un de ces conducteurs, le champ est principalement créé par ce seul courant, car les autres
champs deviennent négligeables.
2. Le spectre magnétique est invariant par rotation autour de (Oz). Préciser la nature des
circuits électriques produisant cette carte de champ.
L’invariance par rotation autour de l’axe (Oz) montre que les circuits sont des spires (ou des
bobines plates) d’axe (Oz). Les segments noirs sont les projections de ces spires dans le plan
(xOz).
3. Sur les axes (Ox) et (Oz), où se trouvent les points où le champ est le plus intense ? En
déduire les sens relatifs de parcours des intensités dans les différents circuits.
Les tubes de champ formés par les lignes de champ à proximité de l’axe (Oz) ont une section
minimale au niveau des spires : c’est là que le champ est le plus intense.
Les tubes de champ formés par les lignes de champ à proximité de l’axe (Ox) ont une section
minimale au niveau des spires : c’est là que le champ est le plus intense.
Pour cela, les champs magnétiques créés par chaque spire doivent s’ajouter : ils doivent être
orientés dans le même sens. D’après la règle de la main droite (appelée aussi règle du
bonhomme d’Ampère), on en déduit le sens des courants. Les courants circulent dans les deux
spires dans des sens opposés.
4. En exploitant les symétries, comparer les intensités des différents courants. Interpréter alors
la situation en O.
La symétrie des lignes de champ par rapport au plan (yOz) indique que les courants circulant
dans les spires ont même intensité.
En O les champs créés par chacune des spires sont opposés : le champ résultant est nul. Ceci
est cohérent avec le fait que la section d’un tube de champ formés par les lignes de champ à
proximité de l’axe (Oz) ont une section qui devient infinie au niveau de O.
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5. Quelle modification simple permettrait d’obtenir la carte de champ ci-contre, invariante par
rotation autour de l’axe (Oz)? Reconnaître ce dispositif.
On retrouve ici la configuration des bobines de Helmholtz : il suffit d’inverser le sens de
passage du courant dans l’une des spires pour passer d’une configuration à l’autre.
Exercice 3 : Solénoïde
Avec un solénoïde de longueur L = 41,2 cm et dont le rayon des spires vaut R = 2,5 cm, une
source de courant et un teslamètre, on réalise les expériences suivantes.
Expérience 1
On place la sonde au centre du solénoïde et on alimente seulement une partie des spires, sur
une longueur l de part et d’autre du centre. On mesure l’intensité du champ B.
l / cm
1,0 2,1 4,1 6,2 10,3 14,4 20,6
B / mT
1,2 2,0 2,6 2,8 3,0
3,0
3,0
Expérience 2
On place la sonde au centre du solénoïde que l’on alimente sur toute sa longueur et on fait
varier le courant i. On mesure l’intensité du champ B.
i/ A
0,5 1,0 2,0 3,0 4,0 4,5 5,0
B / mT
0,4 0,7 1,4 2,0 2,7 3,0 3,4
Expérience 3
On alimente le solénoïde sur toute sa longueur et on place la sonde à une distance d du centre.
On mesure l’intensité du champ B.
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d / cm
0,0 5,1 10,3 12,6 15,2 17,8 20,6
B / mT
3,0 3,0 3,0
3,0
2,9
2,5
1,8
1. Quel est le nombre de spires N du solénoïde ?
L/R=16, la relation donnant le champ crée dans une bobine infinie peut donc être utilisée dans
l’expérience 2. On a ainsi B = µ0 n i avec n = N / L. On trouve ainsi pour un couple de valeurs
(i, B), N = B L / (µ0 i) = 220 spires.
2. Quelle est la valeur du courant dans les première et troisième expériences ?
Dans l’expérience 1, la mesure de B pour l = 20,6 cm correspond aux conditions de
l’expérience 2, avec une intensité i = 4,5 A.
Dans l’expérience 3, la mesure de B pour d = 0 cm correspond également aux conditions de
l’expérience 2, avec une intensité i = 4,5 A.
3. À partir de quel rapport entre la longueur alimentée du solénoïde et le rayon des spires le
champ au centre est-il donné par l’approximation du solénoïde infini avec un écart relatif
inférieur à 10 % ?
Un écart relatif de 10% correspond à un champ magnétique B = 2,7 T, ce qui, dans
l’expérience 1, correspond (moyennant une interpolation linéaire) à l = 5,2 cm, soit un rapport
2l/R = 4,2.
4. Lorsque toutes les spires sont alimentées, sur quelle proportion de la longueur du solénoïde
cette approximation est-elle vérifiée avec un écart relatif inférieur à 10 % ?
Un écart relatif de 10% correspond à un champ magnétique B = 2,7 T, ce qui, dans
l’expérience 3, correspond (moyennant une interpolation linéaire) à d = 16,5 cm, soit un
rapport 2d/R = 0,8.
Exercice 4 : Spire
Le champ créé par une spire de courant, parcourue par un courant
d’intensité i, de rayon R, est donné, en un point M qui appartient à
l’axe de la spire, par la relation
où α est l’angle sous lequel on voit la spire depuis le point M .
1. Le champ est-il dirigé selon + uz ou suivant - uz ?
2. Calculer la norme de B en un point de l’axe distant de L = 10 cm du centre de la spire. On
prendra R = 2 cm et i = 0,5 A.
1. D’après la règle du bonhomme d’Ampère, le champ est dirigé selon + uz.
2. sin α = R / (R² + L²)1/2 donc B = µ0 i R² / [2 ( R² + L²)3/2] = 10-7 T.
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Exercice 5 : Modèle classique du magnétisme d’un atome
1. Dans une approche classique, un atome d'hydrogène se décrit via un modèle planétaire où
un électron mobile de charge -e et de masse m, décrit une orbite circulaire de rayon r autour
d'un noyau fixe de charge +e.
a) Exprimer, en fonction de m, e, r et la permittivité du vide ε0, la vitesse v de l'électron sur
son orbite, son énergie mécanique E, son moment cinétique L , puis la période T de ce
mouvement.
b) Sachant que l'énergie d'ionisation de l'atome d'hydrogène est mesurée à 13,6 eV, calculer la
valeur r0 du rayon de l'orbite correspondant à l'état fondamental de l'atome, puis les valeurs de
v et T associées. Que peut-on dire du rayon orbital lorsque l'atome est dans un état excité ?
2. a) Expliquer pourquoi l'atome d'hydrogène peut être assimilé, en moyenne au cours du
temps, à une petite spire circulaire parcourue par un courant constant I. Exprimer le courant I
ainsi que le moment magnétique M associés à l'atome, en fonction de m, e, r et ε0.
b) Lorsque l'atome est dans son état fondamental, évaluer numériquement le courant I, puis
les valeurs des champs magnétiques ressentis au niveau du noyau et à des distances égales à
20, 50 et 100 fois le rayon r0. Comparer au champ magnétique terrestre et conclure.
c) Montrer que, quel que soit l'état de l'atome, M et L sont liés par une relation du type :
M   L où γ, appelé rapport gyromagnétique de l'électron, ne dépend que de constantes
fondamentales.
Données :
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Correction :
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Exercice 6 : Champ magnétique terrestre
Le champ magnétique terrestre est décrit en première approximation par le champ magnétique
d’un dipôle magnétique situé au centre de la Terre O, de moment M=-M uz (M=7,9.1022 A.m²
et uz désigne le vecteur unitaire de l’axe géomagnétique de la Terre, qui est légèrement incliné
par rapport à l’axe de rotation de la Terre). Un point de l’espace est repéré par ses
coordonnées sphériques (r, Φ, Ψ) par rapport à l’axe géomagnétique. En un point
suffisamment éloigné de O, les composantes du champ magnétique s’écrivent :
Br = - µ0/(4π) M 2cosΦ / r3 , BΦ = - µ0/(4π) M sinΦ / r3 et BΨ = 0
Calculer la norme du champ magnétique vers le centre de la France métropolitaine, où r =
6300 km et Φ = 42°.
Correction : On note B la norme du vecteur champ magnétique. B = [Br² + BΦ² + BΨ²]1/2
On trouve B = 5,1 10-5 T.
Attention : pour calculer les sinus et cosinus, penser à convertir les degrés en radians si la
calculatrice est en mode radians, ou à utiliser la calculatrice en mode degrés.
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