La radioactivité

LA DEMI-VIE DU BARYUM 137
I. Introduction et objectifs
Durant ce laboratoire, vous allez apprendre à utiliser un compteur Geiger Müller afin de
déterminer la demi-vie du Baryum 137m.
II. Théorie
Le taux de désintégration d’un échantillon radioactif est proportionnel au nombre de noyaux
radioactifs présents (c’est-à-dire au nombre de noyaux qui n’ont pas encore été désintégrés). Si
N est le nombre de noyaux radioactifs présents à un instant donné, le taux de variation de N est :
où λ est appelé constante de désintégration. Le signe moins indique que N décroît dans le temps.
Le taux de désintégration d’un échantillon R est souvent appelé activité radioactive de
l’échantillon :
La constante N0 représente le nombre de noyaux radioactifs à t = 0. Par ailleurs, R0 =N0λ est le
taux de désintégration à t = 0. Pour caractériser la désintégration radioactive, on utilise un autre
paramètre appelé demi-vie, ou période radioactive T1/2. La demi-vie d’une substance radioactive
est le temps au bout duquel la moitié des noyaux radioactifs se sont désintégrés.
La réaction mise en jeu
Cs-137 → Ba-137m + -1e0 + 1 neutrino
Ba-137m → Ba-137 + 0γ0
Le césium 137 utilisé ici a une demi-vie d’environ trente ans. Il se transforme en
baryum 137. Cette transformation se fait suivant deux voies différentes :
7 % des noyaux : émission d'une particule bêta d'énergie maximum 1,18 MeV.
93 % des noyaux : émission d'une particule bêta d'énergie maximum 0,51 MeV.
Dix fois sur onze, cette particule bêta est accompagnée de l'émission d'un rayonnement
gamma de 662 keV d'énergie. Une fois sur onze, l'émission du gamma est remplacée
par celle d'un électron (dit « électron de conversion ») de 625 keV, issu du cortège
électronique de l'atome.
En moyenne, pour 1000 atomes de césium 137 qui se transforment en baryum 137, on
a émission de 1085 bêta (1085 = 1000 (0.07 + 0.93 + 0.93 / 11)) et de 845 gamma
(845 = 1000 x 0.93 x 10 / 11), soit : 70 bêta de 1.176 MeV, 930 e 0.514 MeV, 85
de 0.625 MeV.
Le mini générateur
La substance génératrice est conservée dans un générateur de radio-isotopes Cs/Ba−137m. Les
isotopes métastables Ba 137m engendrés lors de la désintégration _ du Cs 137 sont élués du
générateur de radio-isotopes au début de l’expérience Ensuite l’activité de l’éluat est enregistrée.
Figure 1 Mini générateur
Description du compteur Geiger Muller
Un compteur Geiger Muller (GM) consiste en une cathode cylindrique, sous la forme d’un
revêtement en graphite conducteur déposé sur la face interne d’un cylindre, et d’une anode sous
la forme d’un fil de tungstène tendu à l’intérieur du cylindre. Le cylindre est rempli d’un
mélange de gaz inerte (argon ou néon) à une pression de 100 Torr1 et d’un gaz d’amortissement
(vapeur de gaz halogène) à une pression de 10 Torr. Pour permettre aux particules ionisantes
(électrons, photons, …) de rentrer à l’intérieur du détecteur, l’extrémité du tube est bouchée par
une très fine feuille de mica.
Figure 2Compteur Geiger Müller
Principe de fonctionnement
Pour faire fonctionner le détecteur, on applique une différence de potentiel de quelques centaines
de volts entre l’anode et la cathode afin d’obtenir un champ électrique radial important au
voisinage du fil d’anode.
Sous ces conditions, les électrons produits lors de l’ionisation du gaz par une particule de grande
énergie vont être accélérés en direction du fil et acquérir une grande vitesse sur une courte
distance. Cette vitesse élevée va permettre à ces électrons d’ioniser à leur tour d’autres atomes, et
de libérer de nouveaux électrons. Cette multiplication des charges se répète très rapidement et
produit une avalanche d’électrons autour du fil anodique.
1 Le Torr est une unité de mesure utilisée principalement en médecine. Un Torr représente la
pression générée par un mm de mercure. On a l’équivalence 1 atmosphère = 101325 Pascal =
760 Torr.
Point de fonctionnement du compteur Geiger Müller
Le taux de comptage d’un
compteur GM va dépendre de la
tension appliquée entre anode et
cathode. Si la tension est trop
faible, les électrons d’ionisation
se recombinent avec les ions et
on ne mesure aucun signal
électrique. Au delà d’une tension
seuil, on observe un signal lié à
l’avalanche
des
électrons
d’ionisation sur le fil anodique.
Cette tension seuil est fonction
du gaz utilisé et du diamètre de
l’anode. Au delà de cette tension
seuil Vs, de plus en plus de coups
sont mesurés. Cependant, sur une plage importante de tensions, ce nombre de coups est
quasiment indépendant de la tension appliquée. On appelle cette zone le plateau. Le point de
fonctionnement Vf sera choisi au milieu du plateau.
III. Équipement
•
•
•
•
Minigénérateur
Compteur Geiger
Baryum (demi-vie = 2,55 minutes)
Chronomètre
Figure 3 ST-160
Expérience 1. Caractéristique du compteur Geiger Müller
Pour utiliser un compteur Geiger-Müller, il faut au préalable déterminer son point de
fonctionnement. Dans ce but, tracer sur une feuille de papier millimétré la caractéristique du
compteur GM en mesurant l’activité R en fonction de la tension V. Vous effectuerez une série de
mesures tous les 20 Volts pour des valeurs allant de 20 V = 800 V. Placez la source de 60Co sur
le second plateau (à partir du haut) et utilisez un temps de 20 secondes (TIME = 20). Complétez
le tableau 1.
Tableau 1. Caractéristique du compteur Geiger Müller
Tension
Volts
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
220
240
260
280
300
320
340
360
380
400
Activités
R
Tension
Volts
420
440
460
480
500
520
540
560
580
600
620
640
660
680
700
720
740
760
780
800
Activités
R
Faites un graphique de l’activité R en fonction de la tension (V). Déterminez la tension seuil
(VS) qu’il faut appliquer pour que le compteur détecte une activité. Déterminez la tension de
fonctionnement Vf qui se situe au milieu du plateau.
Vs = _______________ Volts
Vf = _______________ Volts
Expérience 2. Distribution de Poisson
Dans cette partie, on va modifier les conditions expérimentales pour avoir un comptage très
faible, de l’ordre de 2 coups. Modifier les paramètres suivants :
•
•
•
Insérez une plaque de laiton de 3 mm entre la source et le compteur,
Diminuez la valeur du temps de comptage Δt à 1 seconde,
Complétez le tableau ci-dessous.
Tableau 2. Distribution de Poisson
Essai
------1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Activités
R
Essai
------21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
Activités
R
Après ces 40 mesures, faites un histogramme en plaçant sur l’axe vertical le nombre de fois que vous avez
observé une même activité (axe horizontal). Cet histogramme devrait être similaire à une distribution de
Poisson. Calculer la valeur moyenne de votre distribution.Déterminez l’écart type de cette
distribution σ.
µ = _______________ Activités
σ=
= ______________ Activités
Calculez le % des 40 essais qui se situent dans l’intervalle : µ − σ et µ + σ: Soit
On utilisera = comme incertitude.
_____________ %
Expérience 3. Détermination du bruit de fond
On peut remarquer que le compteur détecte des coups même en l’absence de toute source
radioactive. Ces coups sont dus aux rayonnements environnants d’origines terrestre (radioactivité
naturelle du sol), ou extraterrestre (rayons cosmiques). Elles peuvent être aussi l’effet de
parasites des circuits électroniques (bruit de fond électronique). L’ensemble de ces impulsions
constitue le bruit de fond.
Quand on veut mesurer le taux d’impulsions dû au rayonnement d’une source radioactive, il faut
retirer les impulsions parasites provoquées par le bruit de fond. Cette correction est d’autant plus
nécessaire quand les sources étudiées ont des activités faibles.
Pour déterminer le bruit de fond, procéder de la manière suivante :
1. Éloignez les sources radioactives.
2. Ajustez la tension à 500 Volts (bouton H.V. et UP).
3. Déterminer le nombre d’impulsions correspondant à un temps de comptage de 5 min.
Cette valeur du bruit de fond, que l’on notera Bf,ond sera ramenée au temps de comptage Δt
correspondant à chacune des mesures des manipulations suivantes et sera ensuite soustraite de
chaque comptage x effectué.
Remarque : la valeur du bruit de fond est entachée d'une incertitude (ΔBfond) que l’on
déterminera.
Valeur du bruit de fond pour 60 secondes : Bfond= __________Activités/minute
Expérience 4. Distribution de Gauss
Modifiez les conditions expérimentales précédentes pour que le taux de comptage soit voisin de
15. De la même façon, vous construirez l’histogramme du nombre de coups mesurés, qui devrait
être proche d’une distribution Gaussienne, symétrique autour de la valeur moyenne.
Une fois la distribution obtenue, calculer la moyenne µ de vos mesures. Déterminez
graphiquement la valeur de la largeur à mi-hauteur de la distribution, qui vaut théoriquement
pour une gaussienne 2×2× 2 × . Vérifier que l’approximation = est justifiée.
Une valeur de 0,3 coup/s est acceptable !
Expérience 5. Calcul de la demi-vie du Ba 137m
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Branchez la source d’alimentation à l‘arrière du ST-160 et reliez au secteur.
Appuyer sur l’interrupteur à l’arrière du ST-160 (bouton rouge).
Ajustez la tension à 500 Volts (bouton H.V. et UP).
Ajustez TIME à 20 s.
Obtenez un échantillon contenant du Ba-167m auprès de votre professeur.
Installez l’échantillon radioactif sur la deuxième étage sous le détecteur. Faites vite car la
demi-vie est courte.
7. Débutez pour des lectures d’activité d’une durée de 10 secondes (Ajustez TIME à 10 s), à
chaque 30 secondes. Utilisez ce délai de 20 secondes pour écrire vos valeurs dans le
tableau 1 et remettre en marche le compteur (appuyer de nouveau sur COUNT).
Continuer cette procédure pour une durée de 10 minutes.
8. Vous pouvez, si vous le désirez, recommencer une deuxième fois cette procédure.
Tableau 3. Calcul de la demi-vie du Ba 137m
Mesure à
Activités pour
10 secondes
Activités par
minutes
Activités par
minutes
(corrigées)
s
0 :00 – 0 :10
0 :30 – 0 :40
1 :00 – 1 :10
1 :30 – 1 :40
2 :00 – 2 :10
2 :30 – 2 :40
3 :00 – 3 :10
3 :30 – 3 :40
4 :00 – 4 :10
4 :30 – 4 :40
5 :00 – 5 :10
5 :30 – 5 :40
6 :00 – 6 :10
6 :30 – 6 :40
7 :00 – 7 :10
7 :30 – 7 :40
8 :00 – 8 :10
8 :30 – 8 :40
9 :00 – 9 :10
9 :30 – 9 :40
10 :00 – 10 :10
•
•
Faites un premier graphique R(activité corrigées) en fonction du temps
Faites un second graphique de ln R en fonction du temps.
Temps
s
5
35
65
95
125
155
185
215
245
275
305
335
365
395
425
455
485
515
545
575
605
Calcul de la demi-vie
Première méthode
La première façon de déterminer la demi-vie se fait à l’aide du tableau 3. À partir de ce tableau,
choisissez 2 valeurs d’activité (corrigées) la première valeur doit être environ le double de la
seconde. La différence des temps associés à ces valeurs représente la demi-vie.
Activité 1 = ___________
au temps t1: ____________
Activité 2 = ___________
au temps t2: ____________
La demi-vie T1/2 = t2 - t1 = _________ s
Calcul du % d’écart : ______________
Deuxième méthode
Une seconde méthode consiste à regarder le graphique de R (Activités corrigées) vs le temps t.
À partir du graphique, choisissez 2 valeurs d’activité (corrigées) la première valeur doit être
environ le double de la seconde. La différence des temps associés à ces valeurs représente la
demi-vie.
Activité 1 = ___________
au temps t1: ____________
Activité 2 = ___________
au temps t2: ____________
La demi-vie T1/2 = t2 - t1 = _________ s
Calcul du % d’écart : ______________
Troisième méthode
Finalement, vous pouvez calculer la demi-vie à partir du graphique ln R vs t, la pente de ce
graphique représente – λ. Puisque λ = 0,693/T1/2, calculez la demi-vie et son incertitude.
La demi-vie T1/2 = _________ ± _____ s
ANNEXE 1
Statistique à faible nombre : distribution de Poisson et à grand
nombre : distribution de Gauss
Les désintégrations radioactives qui sont des processus aléatoires vont nous permettre d’étudier
les lois de distribution des « petits nombres » et des « grands nombres ».
Une fois que le compteur GM sera opérationnel, vous lancerez un comptage du nombre de coups
dans deux configurations : faible nombre de coups (source radioactive éloignée du détecteur,
écran d’atténuation et temps de mesure d’une seconde) et grand nombre de coups (source proche
du détecteur, temps de mesure de plusieurs secondes).
On a représenté sur la page suivante les histogrammes (ou diagrammes des fréquences) du
nombre de coups mesuré dans chacun des cas, pour 1 seule mesure, puis 2, 3, 5, 10, 100, 1000 et
10000 mesures.
Dans la partie gauche où le nombre de coups mesuré est faible (en moyenne : 2,15), la
distribution suit une loi de Poisson de paramètre 2,15. On a représenté dans la dernière vignette
cette loi de Poisson.
Dans la partie droite où le nombre de coups mesurés est plus important (en moyenne : 21,5), la
distribution suit une loi de Poisson de paramètre 21,5. Cette dernière peut être approximée à la
perfection par une loi de Gauss de moyenne 21,5 et de sigma 4,4.
On retrouve ces distributions dans la vie de tous les jours : le nombre de gagnants ayant les 6
bons numéros au loto (faible nombre : 0, 1 ou 2 gagnants au maximum) suit une loi de Poisson.
Le nombre de gagnants ayant 4 bons numéros au loto (nombre élevé : plusieurs centaines de
gagnants à chaque tirage) suit une loi de Gauss.
En général, la mesure d’une grandeur physique quelconque suit une distribution de Gauss, en
vertu du théorème central limite : si une grandeur physique subit l’influence d’un nombre
important de facteurs indépendants et si l’influence de chaque facteur pris séparément est petite,
alors la distribution de cette grandeur est une distribution de Gauss2.
2
Voir par exemple Probabilités en incertitudes dans l’analyse des données expérimentales, K. Protassov, PUG
Figure 4 :
A gauche, nombre de coups mesurés dans un compteur GM, dans une configuration où le taux de comptage est très faible.
L'axe horizontal est gradué de 0 à 8.
Dans la partie droite, le taux de comptage est plus élevé. L'axe horizontal est gradué de 0 à 40.
Les 8 histogrammes de chaque colonne correspondent à 1, 2, 3, 5, 10, 100, 1000 et 10000 mesures indépendantes du
nombre de coups relevé dans le compteur GM.
2 - Statistique de comptage - Mesure d’une grandeur aléatoire
Quand on mesure expérimentalement une grandeur physique, on n’obtient pratiquement jamais
le même résultat même si les conditions expérimentales sont identiques. Ces fluctuations sont
caractérisées par la probabilité de mesurer chaque valeur, qui dépend de la nature de la grandeur
mesurée mais aussi de l’appareil de mesure. A une telle grandeur (par exemple, nombre de coups
mesuré dans le détecteur pendant un temps δt) est ainsi associée une distribution de probabilité
g(X) (Poisson ou Gauss dans notre exemple) qui est fixée par la nature de la grandeur et la façon
dont on la mesure.
1. En statistique, on appelle la grandeur X une variable aléatoire, qui peut être discrète ou
continue. Une mesure individuelle de la grandeur X sera notée x.
2. Si on disposait d’un nombre infini de mesures expérimentales x, on obtiendrait la distribution
des mesures expérimentales caractérisée par sa valeur moyenne notée m, et son écart-type
noté σ.
3. Après avoir effectué un nombre fini de mesures (un échantillonnage) de X, on ne peut pas
déterminer m et σ, mais on peut effectuer ce qu’on appelle une estimation.
Pour une série de N mesures, on va estimer m avec la valeur moyenne de la série de mesures (
), et σ à partir de la racine carrée de la variance ( ), qui représente la dispersion expérimentale :
et
La qualité (la certitude) d'une estimation dépend de notre connaissance de la forme de la
distribution de probabilité, mais aussi du nombre de mesures. Si (et seulement si) on effectue un
nombre infini de mesures on a en fait
.
Dans ce TP, la grandeur à estimer est le taux de comptage moyen du GM (le nombre de
désintégrations détectées pendant le temps de comptage δt). Comme on n'a pas le temps
d’effectuer une infinité de mesures, on approchera m à partir d'une série limitée de mesures
donnant . De la même façon, on estimera σ à partir de .
Distribution de probabilité associée au taux de comptage
La probabilité de mesurer x désintégrations pendant un temps δt est rigoureusement donnée par
une loi de Poisson. Cette loi, peu pratique à utiliser car traitant des valeurs discrètes, peut être
remplacée en pratique par une loi de Gauss, qui est une fonction mathématique utilisant des
valeurs continues.
La loi de Gauss approche d'autant mieux la loi de Poisson que le nombre d'événements possible
est grand (pour le comptage des coups, ceci sera obtenu lorsque le taux de comptage sera élevé).
Dans le cadre d’une distribution de Poisson de paramètre µ, la probabilité de mesurer n coups est
égale à :
Pour une distribution de Gauss de centre m et d’écart type σ, la probabilité de mesurer n coups
est égale à :
Où m est la valeur moyenne et σ l’écart-standard. On peut montrer qu’une très bonne
approximation de σ peut être obtenue par :
Cette expression, bien que non rigoureusement exacte, permet néanmoins d’obtenir rapidement
un bon ordre de grandeur de la valeur de σ.
Exemple de distribution Gaussienne
Si on effectuait un nombre infini de mesures, on
obtiendrait une distribution Gaussienne, dont on a
représenté un exemple ci-contre avec une valeur
moyenne m = 10 et un écart-standard σ = 3. Dans
ce cadre, la probabilité de mesurer 10
désintégrations pendant le temps δt est de 13,5%.
Celle de mesurer 15 désintégrations est de 3,25%.
La probabilité de mesurer n’importe quelle valeur
(on intègre sur toutes les valeurs possibles) est
égale à 1.
Si on effectue une seule mesure expérimentale, il
est impossible de déterminer la valeur moyenne de
la distribution. C’est pour cela que l’on utilise les
intervalles de confiance.
Intervalles de confiance
On peut démontrer (et on le constatera dans la partie expérimentale) que lorsque l’on effectue un
grand nombre de mesures identiques, si la distribution de probabilité est une loi de Gauss, alors
le pourcentage de valeurs comprises entre
est égal à 68,3%. De la même façon, le
pourcentage de valeurs comprises entre
est égal à 95,4 %.
On considère maintenant le résultat x d’une seule mesure. Si x est distribué selon une loi de
Gauss avec un écart type connu (ou estimé par
), on peut calculer la probabilité que la
« véritable » valeur soit dans un intervalle donné. En renversant le raisonnement précédent, la
probabilité que la « véritable » valeur X soit dans l’intervalle
la probabilité qu’elle soit dans un intervalle
est 68,3%. De même,
est 95,4% .
Incertitude de mesure
On se demande maintenant quelle incertitude
choisir pour cette unique mesure de X. Cela
dépend en fait du niveau de confiance que l’on souhaite avoir sur la mesure. Le niveau de
confiance est la probabilité que la « vraie » valeur soit dans l’intervalle
.
D’après ce qui a été dit précédemment, si l’on choisit un niveau de confiance de 68,3 %, on
prendra
, et pour un niveau de confiance de 95,4 %, on prendra
.
A titre d’exemple, si on mesure, dans une certaine configuration expérimentale, un taux de
comptage x = 100 coups, on peut dire de la valeur X dans cette configuration :
avec un niveau de confiance de 95,4%.
Cela signifie qu’il y a une probabilité de 95,4% que la valeur dans cette configuration soit
comprise entre 80 et 120.