UMP/ENSA 1ière année STPI 2015 /2016 Mécanique du point TD N°4 I. Un point mobile a pour équations horaires, en unités SI : x = 2 t3 + 4t2 + 2 y = t2 – 2t + 1 z = 2t. 1) Calculer les vecteurs vitesse et accélération à tout instant t. 2) À quel instant t0 et en quel point M0 le mobile se trouve-t-il dans le plan xOz ? Quelle est alors sa vitesse (sens et norme) ? II. Un mobile ponctuel est animé d’un mouvement plan dont les équations horaires, dans un repère orthonormé Oxy sont les suivantes (t en s, x et y en m) : x = 5t + 2, y = -5 t2 + 8t, 1) Trouver l’équation de la trajectoire. 2) Déterminer les coordonnées et le module du vecteur vitesse à t = 0. III. Un point matériel à l’abscisse xo et à la vitesse vo au temps to est soumis à une accélération constante γ parallèle à l’axe Ox. Donner les expressions de la vitesse et de l’abscisse à un temps t quelconque. Donner la relation liant v² et v²o. Que deviennent les expressions si l’accélération est nulle ? IV. Un point effectue un mouvement rectiligne tel que, à chaque instant, son vecteur accélération est opposé à son vecteur vitesse et tel que le module de l’accélération est double de celui de la vitesse. A t = 0, la vitesse est £v= 4£u, où£ u est un vecteur unitaire de la trajectoire. Calculer, l’expression du vecteur vitesse en fonction du temps t. V. Une cardioïde (voir figure ci- contre) peut être représentée par la courbe d’équation polaire ρ = ρ0[1+cosθ(t)], ρ0 est une constante positive. Un point matériel M décrit une cardioïde dans le sens trigonométrique, et évolue à vitesse angulaire constante ω. 1) Donner l’expression du vecteur position _OM, et du vecteur vitesse £V en fonction de ω, ρ0 et t. 2) Donner l’expression du vecteur déplacement élémentaire _ dL dans le repère polaire en fonction de ρ0, θ, dθ. 3) Donner l’expression du module et calculer la demi-longueur de la trajectoire parcourue entre le point A et O entrait plein sur la figure. 4) Donner l’expression des vecteurs de Frenet £T et £N dans la base polaire.