les graphes par l`exemple resume table des matieres

LES GRAPHES PAR L’EXEMPLE
F.DROESBEKE
M.HALLIN
CI.LEFEVRE
RESUME
Cet ouvrage aborde différents domaines d’applications pour
lesquels la théorie des Graphes constitue un outil d’analyse efficace. Il est
conçu de façon semblable à celui que les auteurs ont consacre, dans la
même collection, à la Programmation linéaire. Ils sont tous deux destinés
à ceux qui ont assumé des responsabilités de gestion et d’organisation ou
qui sont impliqués dans des groupes dont l’objectif est l’aide à la décision.
Rappelons notre principe de base : on n’utilise bien ce qu’on
connaît bien. Il est donc indispensable de prendre contact avec les
principales méthodes existantes en identifiant, en «mettant en équations»,
en résolvant un certain nombre de problèmes de petite dimension.
Une brève présentation théorique des méthodes décrites est
suivie de la résolution détaillée de quelques problèmes-types et d’un grand
nombre d’exercices proposés. Comme pour le volume précédent de niveau
mathématique requis ne dépasse pas celui des années terminales des
lycées
et collèges, et est donc parfaitement accessible à un large éventail de lecteurs et d’étudiants.
Les premiers chapitres sont consacrés à quelques questions liées à la structures d’un graphe : fermeture transitive,
noyau, coloration, couplage,…Les chapitres suivants traitent de plusieurs problèmes dans un graphe valuer recherche d’un chemin
de longueur minimale ou maximale, détermination d’un flot de valeur maximale ou de coût minimum (en particulier d’un schéma de
transport ou d’affectation optimum) et obtention d’un ordonnancement de durée ou de coût minimum.
TABLE DES MATIERES
AVANT-PROPOS 3
LISTE DES ORGANIGRAMMES 9
Chapitre 1 GENERALITES SUR LES GRAPHES 11
1.1 INTRODUCTION 11
1.2 QUELQUES DEFINITIONS CONCERNANT LES GRAPHES ORIENTES 11
1.3 EXEMPLE SIMPLE 17
1.4 QUELQUES CONCEPTS NON ORIENTES 19
1.5 EXEMPLE SIMPLE 20
1.6 EXERCICES PROPOSES 22
1.7 SOLUTION DES EXERCICES PROPOSES 33
Chapitre Il QUELQUES PROBLEMES IMPORTANTS DE L'ETUDE D'UN GRAPHE ORIENTE 53
2.1 INTRODUCTION 53
2.2 QUELQUES CATEGORIES DE GRAPHES 53
2.2.1 Graphe symétrique 54
2.2.2 Graphe antisymétrique 54
2.2.3 Graphe transitif 54
2.2.4 Graphe complet 55
2.3 FERMETURE TRANSITIVE D'UN GRAPHE 55
2.3.1 Définition 55
2.3.2 Organigramme de l'algorithme d'obtention de la fermeture
transitive d'un graphe 56
2.4 GRAPHES SANS CIRCUIT 56
2.4.1 Propriétés d'un graphe sans circuit 56
2.4.2 Organigramme de l'algorithme permettant de tester l'absence de circuit 58
2.4.3 Organigramme de l'algorithme d'obtention d'un circuit 59
2.4.4 Organigramme de l'algorithme d'obtention des niveaux d'un graphe

2.4.4 Organigramme de l'algorithme d'obtention des niveaux d'un graphe
sans circuit 60
2.5 NOYAU D'UN GRAPHE 61
2.5.1 Définition et propriétés 61
2.5.2 Importance du concept de noyau 62
2.5.3 Organigramme de l'algorithme d'obtention d'un noyau d'un graphe sans circuit 63
2.6 EXEMPLES RÉSOLUS 64
2.7 EXERCICES PROPOSES 70
2.8 SOLUTION DES EXERCICES PROPOSES 73
Chapitre III LES METHODES ELECTRE 79
3.1 INTRODUCTION: DES ATRIDES A LA DECISION MULTICRITERE 79
3.2 L'ANALYSE MULTICRITERE 79
3.2.1 Présentation générale 79
3.2.2 Relation binaire 81
3.2.3 Principales méthodes 83
3.3 ELECTRE I 85
3.3.1 Indices de concordance et de discordance 85
3.3.2 Relation de sur classement. Graphe de surclasse ment 87
3.3.3 Noyau du graphe de surclasse ment 88
3.4 EXEMPLES RESOLUS 90
3.5 LES AUTRES METHODES ELECTRE 104
3.6 EXERCICES PROPOSES 104
3.7 SOLUTION DES EXERCICES PROPOSES 110
Chapitre IV QUELQUES ASPECTS DE LA THEORIE DES GRAPHES NON ORIENTES 115
4.1 INTRODUCTION 115
4.2 STABILlTE- TRANSVERSALlTE 116
4.3 COLORATION DES SOMMETS 118
4.3.1 Définitions 118
4.3.2 Organigramme de l'algorithme de coloration de Welsh et Powell 119
4.3.3 Bornes pour le nombre chromatique 120
4.3.4 Exemples résolus 121
4.4 COUPLAGE MAXIMUM 123
4.4.1 Définitions 123
4.4.2 Organigramme de l'algorithme d'obtention d'un couplage maximum dans un graphe biparti 124
4.4.3 Exemple résolu 126
4.5 COLORATION DES ARETES 128
4.5.1 Définitions 128
4.5.2 Organigramme de l'algorithme de coloration des arêtes 128
4.5.3 Exemples résolus 129
4.6 ARBRE PARTIEL DE POIDS MINIMUM 132
4.6.1 Définitions 132
4.6.2 Organigramme de l'algorithme de Kruskal 132
4.6.3 Exemple résolu 134
4.7 EXERCICES PROPOSES 135
4.8 SOLUTION DES EXERCICES PROPOSES 139
Chapitre V CHEMINS DE LONGUEUR MINIMALE OU MAXIMALE 157
5.1 INTRODUCTION 157
5.2 FORMULATION DU PROBLEME 157
5.3 ALGORITHMES DE RESOLUTION 158
5.3.1 Organigramme de l'algorithme de Ford: obtention de chemins de longueur minimale
(de longueur maximale) 158
5.3.2 Organigramme de l'algorithme d'identification d'un chemin de
longueur minimale (de longueur maximale) 159
5.3.3 Organigramme de l'algorithme de Bellman-Kalaba : obtention de chemins de longueur minimale
(de longueur maximale) 160
5.3.4 Organigramme de l'algorithme de Bellman-Kalaba simplifié dans le cas d'un partage en niveaux
de G : obtention de longueur minimale (de longueur maximale) 162
5.3.5 Organigramme de l'algorithme de Dijkstra : obtention de chemins de longueur minimale 163
5.4 EXEMPLES RESOLUS 165
5.5 EXERCICES PROPOSES 171
5.6 SOLUTION DES EXERCICES PROPOSES 176
Chapitre VI PROBLEMES DE FLOT, I FLOTS DE VALEUR MAXIMALE OU DE COUT MINIMUM 179
6.1 INTRODUCTION 179
6.2 FLOT DE VALEUR MAXIMALE 180
6.2.1 Formulation du problème 180
6.2.2 Organigramme de l'algorithme de Ford et Fulkerson (première formulation) 181
6.2.3 Organigramme de l'algorithme de Ford et Fulkerson (seconde formulation) 185
6.2.4 Exemple résolu 187

6.2.4 Exemple résolu 187
6.3 FLOT DE COUT MINIMUM 197
6.3.1 Formulation du problème 197
6.3.2 Organigramme de l'algorithme d'obtention d'un flot, de valeur
donnée, de coût minimum 197
6.3.3 Exemple résolu 199
6.4 EXERCICES PROPOSES 204
6.5 SOLUTION DES EXERCICES PROPOSES 212
Chapitre VII PROBLEMES DE FLOT, Il PROBLEMES DE TRANSPORT
ET D'AFFECTATION 221
7.1 INTRODUCTION 221
7.2 PROBLEME DE TRANSPORT 221
7.2.1 Formulation du problème 221
7.2.2 Organigramme de l'algorithme primal-dual 223
7.3 PROBLÈME D'AFFECTATION 228
7.3.1 Formulation du problème 228
7.3.2 Organigramme de l'algorithme de Kuhn 228
7.4 EXEMPLES RESOLUS 230
7.5 EXERCICES PROPOSES 238
7.6 SOLUTION DES EXERCICES PROPOSES 248
Chapitre VIII PROBLEMES D'ORDONANCEMENT 255
8.1 INTRODUCTION 255
8.2 CRITERE TEMPOREL 256
8.2.1 Mise SOUS forme de graphe 256
8.2.2 Résolution 258
8.2.3 Organigramme de l'algorithme d'obtention d'un ordonnancement
de durée minimale 259
8.2.4 Tâches de durée aléatoire 261
8.3 CRITERE DE COUT 262
8.3.1 Formulation 263
8.3.2 Organigramme d'un algorithme heuristique d'obtention d'un ordonnancement de coût minimum 264
8.4 EXEMPLES RESOLUS 266
8.5 EXERCICES PROPOSES 274
8.6 SOLUTION DES EXERCICES PROPOSES 280
BIBLIOGRAPHIE 282
INDEX 285
LISTE DES ORGANIGRAMMES
Obtention de la fermeture transitive d'un graphe 56
Test de l'absence de circuit 58
Obtention d'un circuit 59
Obtention des niveaux d'un graphe sans circuit 60
Obtention du noyau d'un graphe sans circuit 63
Coloration des sommets (Welsh et Powell) 120
Obtention d'un couplage maximum dans un graphe biparti 125
Obtention d'un arbre partiel de poids minimum (Kruskal) 133
Obtention de chemins de longueur minimale (maximale)
- Algorithme de Ford 159
- Algorithme de Bellman-Kalaba 161
- Algorithme de Bellman-Kalaba simplifié 163
- Algorithme de Dijkstra 164
Identification d'un chemin de longueur minimale (maximale) 160
Obtention d'un flot de valeur maximale (Ford et Fulkerson)
- Première formulation 184
- Seconde formulation 186
Obtention d'un schéma de transport de coût minimum 198
Obtention d'un schéma de transport de coût minimum(algorithme primal-dual) 224
Obtention d'une affectation de coût minimum (algorithme de Kuhn) 229
Obtention d'un ordonnancement de durée minimale 260
Obtention d'un ordonnancement de coût minimum 265
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