KAYDI Wiam Mesure, quantification et caractérisation des

UNIVERSITE MOHAMMED V
FACULTE DES SCIENCES
Rabat
N° d’ordre : 2844
THÈSE DE DOCTORAT
Présentée par
KAYDI Wiam
Discipline : Physique
Spécialité : Physique mathématique
Mesure, quantification et caractérisation des corrélations quantiques
dans des systèmes d’états cohérents multipartites
Soutenue le
05 Mars 2016
Devant le jury:
Président :
SAIDI El Hassan
PES, Faculté des Sciences de Rabat.
Examinateurs :
BENNAI Mohamed
PES, Faculté des Sciences Ben M’Sik, Casablanca.
DAOUD Mohamed
PES, Faculté des Sciences d’Agadir.
EZ-ZAHRAOUY Hamid
PES, Faculté des Sciences de Rabat.
JELLAL Ahmed
PES, Faculté des Sciences d’El Jadida.
ZEROUAOUI Jamal
PES, Faculté des Sciences de Kenitra.
AHL LAAMARA Rachid
PA, CRMEF, Meknès.
Faculté des sciences, 4 Avenue Ibn Battouta B.P. 1014 RP, Rabat-Maroc
Tel +212 (0) 37 77 18 34/35/38, Fax: +212 (0) 37 77 42 61, http:/www.fsr.ac.ma
Remerciement
Ce travail de thèse a été réalisé au sein du Laboratoire de Physique des Hautes Energies,
Modélisation et Simulation (LPHE-MS) de la Faculté des Sciences de Rabat, sous la direction
de Monsieur El Hassan SAIDI, Professeur à la Faculté des Sciences de Rabat, l’encadrement
de Monsieur Mohammed DAOUD, Professeure à la Faculté des Sciences d’Agadir et le coencadrement de Monsieur Rachid AHL LAAMARA, Professeur au CRMEF, Meknès.
Je tiens dans un premier temps à remercier mon directeur de thèse Monsieur El Hassan
SAIDI, Professeur à la Faculté des Sciences de Rabat qui m’a ouvert les portes pour faire ma
thèse au sein du laboratoire qu’il dirige et qui m’a fait l’honneur d’être le président de mon
Jury de thèse.
Toute ma gratitude et mes sincères remerciements à mon encadrant Monsieur Mohammed
DAOUD, Professeure à la Faculté des Sciences d’Agadir, que j’ai eu la chance de rencontrer
durant ma formation. Je le remercie pour son aide précieuse, ses idées, sa patience et sa persévérance dans le suivi de mon travail et ses précieux conseils et aussi pour avoir toujours été là
pour m’encourager, pour me soutenir, et pour m’avoir permis de reprendre confiance et m’avoir
laissé la liberté nécessaire à l’accomplissement de mes travaux. Je le remercie aussi pour son
enseignement durant la préparation du master avec une très grande compétence.
Ma reconnaissance s’adresse aussi à mon co-encadrant le professeur Rachid
AHL-LAAMARA de CRMEF de Meknès qui m’a aidé toujours par des conseils et des
encouragements du début jusqu’à la fin de ma thèse.
i
Remerciement
J’adresse mes remerciements les plus profonds à Monsieur Hamid EZ-ZAHRAOUY professeur à la Faculté des Sciences de Rabat, pour avoir accepté d’être rapporteur et examinateur de
ma thèse. Veuillez recevoir, Monsieur, l’expression de mon respect et de ma profonde gratitude.
Je remercie aussi Monsieur BENNAI Mohamed, Professeur à la Faculté des Sciences Ben
M’Sik, Casablanca, qui m’a fait l’honneur d’être un rapporteur et un examinateur de ma thèse,
aussi pour l’enseignement de haut niveau durant ma formation de Master.
Un grand merci à Monsieur JELLAL Ahmed professeur à la Faculté des Sciences d’El
Jadida pour sa participation à mon jury de thèse en qualité d’examinateur de mon travail.
Qu’il trouve ici l’expression de ma profonde gratitude.
Je vous remercie et j’exprime mon profond respect à Monsieur Jamal ZEROUAOUI à Faculté des Sciences de Kenitra pour avoir accepté d’être un examinateur de ma thèse. Veuillez
recevoir, Monsieur, l’expression de ma profonde gratitude.
Je tiens à remercier également toutes les personnes qui ont travaillé avec moi au sein du laboratoire. Je remercie en particulier Hanane ELHADEFI pour les échanges et les discussions,
je souhaite a elle beaucoup de réussite. Ma reconnaissance va enfin à tous mes compagnons
de lutte : Fatima Zahra RAMADAN, Fadoua ELYAHYAOUI, Kawtar SADKI, Nour-ddine
RKHIOUI, Karim DOUHOU, Mohsin DRISSI ElBOUZAIDI, Fatima SABER, Rim ESSABER, Elhossine ZAAMA, Sanae DOWAMA pour tous les bons moments passés ensembles.
Je souhaite également remercier les autres chercheurs et tous les membres du laboratoire de
physique des hautes énergies simulation-modélisation. En particulier je te remercie monsieur
Abdrrazzak Hamama avec qui j’ai eu la chance de travailler durant mon master.
Finalement, un grand Merci chaleureux et de tout mon coeur à mes parents "Mohamed
KAYDI" et "Fatima BENRAOUANE", sans qui je ne serais absolument pas où j’en suis aujourd’hui. Je les remercie sincèrement pour leur soutien inconditionnel et constant, pour m’avoir
donné du courage et de l’espoir, pour être toujours présents même à distance. Je leur dois ce
que je suis. Aussi un merci de tout mon coeur à mon mari "Ayyoub BEKKOUS" pour leur
soutien et mes chères soeurs "Nihale et Manal", mon frére "Omar" et ma cousine "Ouidad"
et aussi "Mohamed Riyad". Je vous remercie de tout mon coeur. Enfin, je remercie toutes les
personnes, qui de loin ou de près ont contribué à l’aboutissement de cette étude.
A vous tous, du fond du coeur : Merci
ii
Résumé
Résumé
L’adjonction des outils de la mécanique quantique et de la théorie classique de l’information
conduit à la naissance d’un nouveau champ de recherche pour le traitement de l’information
codée dans des systèmes quantiques. L’ingrédient clé pour ce type de traitement consiste en
l’utilisation de l’intrication quantique qui est une ressource fondamentale indispensable pour
les nouvelles applications de la physique quantique.
Cette thèse porte essentiellement sur la mesure, la caractérisation et la quantification des
corrélations quantiques dans des systèmes quantiques multipartites. Dans ce travail, nous avons
discuté le concept de l’intrication quantique. De plus, des différentes mesures des corrélations
quantiques sont étudiées pour faire la distinction entre les états intriqués et les états séparables.
Les notions de la concurrence, l’entropie de formation, la négativité logarithmique ont été utilisées dans ce sens et pour quantifier les corrélations qui sont de nature purement quantique
nous avons introduit la discorde quantique et sa version géométrique. A cause de l’importance
des systèmes multipartites dans la théorie de l’information quantique nous avons étudié les
corrélations quantiques pour un système des états cohérents de spin multipartites ainsi que
pour un système des états non-orthogonaux tripartites. Nous avons présenté également une
approche unificatrice des différentes corrélations (quantiques et classiques) en utilisant la notion de l’entropie relative linéaire et nous avons discuté aussi une seconde approche unificatrice
des corrélations quantiques pour un système quantique bipartite en utilisant la mesure géométrique de la discorde quantique. Finalement, nous avons étudié l’évolution de l’intrication au
cours du temps dans le cadre du formalisme des états gaussiens qui sont décrits par des variables continues dans un espace de phase non-commutatif en contact avec un système externe
pour comprendre bien la perte des corrélations nécessaires pour implémenter des outils et des
protocoles quantiques performants en comparaison avec leurs analogues classiques, aussi pour
chercher à comprendre la relation entre la non-commutativité et l’intrication quantique.
Mots clés : Corrélation quantique, intrication, discorde quantique, état cohérent, état gaussien, schéma unificateur, mesure quantique, systèmes multipartites, état intriqué...
iii
Abstract
Abstract
The addition of the tools of quantum mechanics and classical information theory led to the birth
of a new field of research for the treatment of the information encoded in quantum systems.
The key ingredient to this type of treatment is the use quantum entanglement as a fundamental
resource for new applications of quantum physics.
This thesis focuses on the measurement, characterization and quantification of quantum correlations in multipartite quantum systems. In this work, we discussed the concept of quantum
entanglement. In addition, various measures of quantum correlations are studied to distinguish
between the entangled and separable states. The concepts of concurrence, entropy of formation,
negativity logarithmic were used in this sense. For quantify the quantum correlations we introduced the quantum discord and its variant geometric. In other hand, the multipartite quantum
systems is a challenging subject that trigged off a lot of interest during the last decade in the
quantum information theory. In this sense, we studied the multipartite quantum correlations
in even and odd spin coherent states. We also presented the explicit analytical expressions of
different correlations using the linear relative entropy. We explained how the scheme based on
linear relative entropy can be used systematically to derive the pairwise geometric correlations
based on Hilbert-Schmidt distance. Finally, we studied the evolution of entanglement over time
of gaussian states described by continuous variables in a non-commutative phase space system
in contact of external system for understand the relationship between non-commutative and
quantum entanglement.
Keywords : quantum correlation, entanglement, quantum discord, coherent state, additivity relation , gaussian state, unified scheme, multipartite systemes...
iv
Table des matières
Table des figures
v
Introduction générale
1
1 Eléments de la théorie de l’information quantique
7
1.1
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.2
Notion de théorie de l’information de Shannon . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.2.1
Notion de la théorie des probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.2.2
Entropie de Shannon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.2.3
Entropie conjointe et l’entropie conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.4
Information mutuelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3
Quelques notions fondamentales de la mécanique quantique . . . . . . . . . . . . 12
1.4
Notion de bit quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.5
1.4.1
Bit quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4.2
Portes logiques quantiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Intrication quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5.1
Intrication des systèmes bipartites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.5.2
Critère de séparabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.6
L’entropie de von Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.7
Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2 Mesure des corrélations quantiques
2.1
23
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Table des matières
2.2
Mesure de l’intrication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2.1
Entropie d’intrication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2.2
Entropie de formation et concurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3
Discorde quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.4
Mesure géométrique de la discorde quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.5
Négativité logarithmique
2.6
Discorde gaussienne
2.7
Monogamie de l’intrication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.8
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.7.1
Concept de monogamie de l’intrication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.7.2
Monogamie de l’intrication dans un système à trois qubits . . . . . . . . 34
2.7.3
Inégalité de Coffman-Kundu-Wootters et monogamie de l’intrication de
formation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3 Les états cohérents
3.1
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.2
Etats cohérents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.3
4
41
3.2.1
Définition des états cohérents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.2.2
Superpositions des états cohérents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Etats cohérents de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.3.1
Etat cohérent de SU(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.3.2
Etat cohérent de SU(1,1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.4
Application des états cohérents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.5
Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Intrication et monogamie des états cohérents de spin
51
4.1
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.2
Mesure des corrélations quantiques multipartites . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.2.1
Corrélations quantiques bipartites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.2.2
Corrélations quantiques multipartites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.3
Etats cohérents pairs et impairs de spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.4
Corrélations quantiques bipartites des états cohérents de spin SU (2) . . . . . . . 57
4.5
Etat cohérent de spin tripartites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.5.1
Etats purs bipartites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.5.2
Etats mixtes bipartites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Table des matières
4.6
4.7
4.8
Entropie de formation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.6.1
Entropie de formation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.6.2
Entropie de formation globale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.6.3
Monogamie de l’entropie de formation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Discorde quantique des états cohérents de spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.7.1
Discorde quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.7.2
Les corrélations quantiques multipartites . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.7.3
Monogamie de la discorde quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5 Corrélation des états non-orthogonaux tripartites et la relation de monogamie
75
5.1
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.2
Etats tripartite non-orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5.3
L’entropie de formation et la discorde quantique
5.4
Discorde quantique géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.5
5.6
. . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.4.1
Mesure géométrique de la discorde quantique des états bipartites purs . . 81
5.4.2
Mesure géométrique de la discorde quantique pour des états bipartites
mixtes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
Illustration : Etats chat de Schrödinger tripartites
. . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.5.1
Etats chat de Schrödinger tripartites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.5.2
Corrélations quantiques globales et la relation de monogamie . . . . . . 84
5.5.2.1
Concurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.5.2.2
Entropie de formation et discorde quantique . . . . . . . . . . 85
5.5.2.3
Discorde quantique géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
6 Approche unificatrice des corrélations classiques et quantiques
91
6.1
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6.2
Schéma unificateur des corrélations classiques et quantiques
6.3
. . . . . . . . . . . 92
6.2.1
L’ensemble des états quantiques et classiques
. . . . . . . . . . . . . . . 92
6.2.2
Corrélations dans un état quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
Quantification des corrélations basées sur l’entropie relative linéaire . . . . . . . 95
6.3.1
Corrélation basée sur l’entropie relative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
6.3.2
Entropie relative linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
Table des matières
6.4
6.5
6.3.3 Relation d’additivité des corrélations géométriques et entropiques
Expressions analytiques des corrélations . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4.1 Corrélation totale et l’état produit le plus proche . . . . . . . . .
6.4.1.1 Etat produit le plus proche . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4.1.2
Corrélation totale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4.2 Corrélation quantique et état classique le plus proche . . . . . . .
6.4.2.1 Discorde quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4.2.2 Etat classique le plus proche . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4.3 Corrélation classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4.4 Mesure des corrélations par la norme de Hilbert-Schmidt . . . . .
Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
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.
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.
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.
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.
.
.
.
98
99
100
100
101
103
103
104
106
108
111
7 Corrélation quantique pour les états gaussiens dans un espace de phase non
commutatif
113
7.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
7.2 L’espace de phase Non-commutatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
7.2.1 Géométrie non commutative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
7.2.2 L’oscillateur harmonique dans l’espace de phase non-commutatif . . . . . 115
7.3 L’équation maîtresse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
7.3.1 Equation de Langevin quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
7.3.2 Dérivation de l’équation maîtresse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
7.3.2.1 Approximation de Born . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
7.3.2.2 Equation maîtresse quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
7.4 Intrication et les variables continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
7.5 L’évolution d’un état gaussien de deux particules dans l’espace de phase non
commutatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
7.6 Discussion des résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
7.7 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
Conclusion générale
133
Bibliographie
137
Table des figures
1.1
Entropie de Shannon binaire en fonction de p. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2
Diagramme de Venn à deux variables X et Y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3
Sphère de Bloch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4.1
Entropie de formation E = Ej1 ,j2 en fonction de p lorsque (j1 = 23 , j2 = 12 ) et
(j1 = 1, j2 = 1) pour m = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.2
Entropie de formation E = Ej1 ,j2 en fonction de p lorsque (j1 = 23 , j2 = 12 ) et
(j1 = 1, j2 = 1) pour m = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.3
La fonction ∆E en fonction de p lorsque j1 = j2 = j3 =
1
,j
2 2
1
2
pour m = 0 et m = 1.
64
1
,j
2 3
4.4
La fonction ∆E en fonction de p lorsque (j1 =
=
= 1) et (j1 = 1, j2 =
1
1
, j = 2 ) pour m = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2 3
4.5
La fonction ∆E en fonction de p lorsque (j1 = 21 , j2 = 12 , j3 = 1) et (j1 = 1, j2 =
1
, j = 12 ) pour m = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2 3
4.6
Les corrélations quantiques multipartites pour j = 3 en fonction de p pour m = 0. 70
4.7
Les corrélations quantiques multipartites pour j = 3 en fonction de p pour m = 1. 70
4.8
Laf onction∆D en fonction de p lorsque j1 = j2 = j3 =
4.9
1
2
pour m = 0 et m = 1.
1
,j
2 3
1
)
2
71
1
,j
2 2
La fonction ∆D en fonction de p lorsque (j1 = 1, j2 =
=
et (j1 =
=
1
, j = 1) pour m = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2 3
4.10 La fonction ∆D en fonction de p lorsque (j1 = 1, j2 = 21 , j3 = 12 ) et (j1 = 21 , j2 =
1
, j = 1) pour m = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2 3
5.1
E = Ei|jk en fonction de p pour m = 0 et m = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.2
Corrélation quantique Tripartite en fonction de p pour m = 0. . . . . . . . . . . 89
Table des figures
5.3
Corrélation quantique Tripartite en fonction de p pour m = 1. . . . . . . . . . . 89
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
6.6
6.7
Les états quantiques-classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Schéma des Corrélations dans un état quantique . . . . . . . . .
Corrélation Total T2 en fonction de c1 pour différentes valeurs de
Discorde quantique D2 ≡ Dg en fonction de c1 pour α ≤ 12 . . . .
Discorde quantique D2 ≡ Dg en fonction de c1 pour α ≥ 12 . . . .
Corrélations classiques C2 en fonction de c1 pourα ≤ 21 . . . . . .
Corrélations classique C2 en fonction de c1 pour α ≥ 12 . . . . . .
7.1
Un système couplé à l’environnement par l’intermédiaire de l’hamiltonien d’interaction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Négativité logarithmique en fonction de temps pour plusieurs valeurs de E. Pour
B = 0, T = 1, m = 1, s = 21 , d = 2, les valeurs de E sont : rouge E=0, bleu
E=0.1, bleu vif E=0.25, vert E=0.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Négativité logarithmique en fonction de temps pour plusieurs valeurs de B. Pour
E = 0, T = 1, m = 1, s = 21 , d = 2, les valeurs de B sont : rouge B=0, bleu
B=0.1, bleu vif B=0.25, vert B=0.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Négativité logarithmique en fonction de temps pour plusieurs valeurs de s. Pour
B = 0, T = 1, m = 1, d = 2, les valeurs de s sont : rouge s=0.5, bleu s=1, vert
s=2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2
7.3
7.4
. . . . . . .
. . . . . . .
α = c1 + c2 .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
93
94
102
106
106
108
109
117
128
128
129
Introduction générale
Information is physical.
Rolf Landauer [1]
A la fin du 19ème siècle, la physique que l’on appelle classique reposait sur deux fameux
piliers fondamentaux, la mécanique Newtonienne et la théorie de l’électromagnétisme. Mais,
certains faits restaient mal compris, et les lois classiques de ces deux dernières cessent d’être
capables d’expliquer de nouvelles observations expérimentales. L’analyse des observations expérimentales allait conduire à l’établissement d’une nouvelle description de la matière à l’échelle
microscopique. Ceci a conduit à la formulation de la théorie de mécanique quantique[2] qui a
modifié en profondeur des concepts de base de la physique. Cette théorie donne les lois d’évolution des constituants microscopiques de la matière. A l’heure actuelle, la théorie quantique
s’avère essentielle pour comprendre la physique des particules, la physique moléculaire, en passant par la physique des matériaux et d’autres branches de la physique moderne. Cependant,
en défit de ces succés indiscutables, la mécanique quantique suscite toujours des débats quant
à sa formulation et sa conceptualisation.
Depuis le début de sa formulation, des problèmes d’interprétation ont surgi en mécanique quantique. En d’autres termes, toute tentative de compléter la mécanique quantique par une théorie
réaliste locale était vouée à l’échec. Mais à cause de sa puissance analytique et prédictive, la
physique quantique a permis de prévoir des effets ayant plusieurs applications. Le nombre de
technologies disponibles actuellement reposant sur la nouvelle physique s’est tellement multiplié qu’il serait fastidieux d’en dresser une liste. Citons seulement certains développements
1
Introduction générale
révolutionnaires comme l’électronique moderne, l’imagerie médicale et le laser. La théorie de la
mécanique quantique dans son formalisme actuel s’est faite très rapidement entre 1925 et 1927,
et apparaît comme le fruit de la conjonction exceptionnelle des talents physiciens et mathématiciens du 20 ème sciècle comme Schrödinger [3], Heisenberg, Bohr, Dirac, Pauli, Hilbert, et von
Neumann [4]. Cependant, malgré ses prédictions vérifiées expérimentalement, son caractère non
local constituait un sujet de débat permanent. Dans ce sens, en 1935, dans un article célèbre
[5], Einstein, Podolsky et Rosen (EPR) ont été amené à conclure que la mécanique quantique
est fondamentalement incomplète et que l’univers est décrit par une théorie plus fondamentale
(théorie des variables cachées) en soulignant le caractére subtil et paradoxal de l’intrication
quantique. Depuis quelques années, cette propriété quantique extraordinaire est mise à profit dans les travaux des nombreaux physiciens qui ont conduit à la théorie de l’information
quantique.
L’information quantique [6, 7] est l’un des domaines les plus dynamiques de la physique
quantique actuelle. Elle est un nouveau champ de recherche dont l’objectif d’utiliser les possibilités offertes par la mécanique quantique pour traiter l’information d’une manière plus efficace
et plus performante. Elle pourrait conduire à des réalisations technologiques nouvelles. Il faut
aussi signaler que le développement de l’électronique va trouver ses limites en raison des effets quantiques, qui vont devenir incontournables à l’echelle du nanométre, en vertu de la loi
de Moore qui traite l’évolution de la puissance des ordinateurs classiques. Lorsque la loi de
Moore aura atteint ses limites, il faudrait penser à des technologies radicalement différentes,
complémentaires pour la transition de la microélectronique aux nanotechnologies. Pour cela la
thèorie quantique de l’information est le nouveau champ, qui remplacera la thèorie classique
pour manipuler l’information, basée sur les lois de la physique quantique.
L’idée d’utiliser les propriétés étranges de la mécanique quantique qui sont la superposition
et l’intrication fut proposée par Richard Feynman [8]. Il a observé que la puissance des outils
mathématiques de la physique microscopique peuvent être exploité pour simuler des systèmes
quantiques. Cette nouvelle discipline utilise les lois régissant le monde quantique et les concepts
de la théorie de l’information classique. A l’heure actuelle, elle porte essentiellement sur deux
thèmes majeurs. Le premier est la conception d’un ordinateur quantique capable d’exécuter
rapidement certains calculs qui nécessitent un temps exponentiellement long sur un ordinateur
classique. Le second concerne l’utilisation des objets quantique pour crypter l’information dans
l’objectif d’effectuer des communications privées très sécurisées en comparaison avec leur analogue classique. Les protocoles quantiques garantissent la confidentialité des communications
grâce aux lois de la physique quantique. Dans ce contexte il y a maintenant une vingtaine
d’année dans les coulisses des laboratoires à travers le monde tentent de faire converger les
2
Introduction générale
sciences de l’information (calcul, codage, ...) et la physique quantique. Malgré ces difficultés,
l’information quantique passionne des centaines de chercheurs à travers le monde : des progrès
considérables ont été achevés et des expériences ont été réalisées. Malheureusement, la conception de l’ordinateur quantique se heurte à l’extrême fragilité des bits quantiques qu’une telle
machine devrait manipuler car la moindre perturbation fausserait le calcul. On parle ici d’un
phénomène qui induit l’émergence d’un monde classique à partir du monde quantique : la
décohérence. Elle constituera vraisemblablement un obstacle majeur pour la réalisation d’une
machine quantique. La décohérence empêche dans l’heure actuelle de maintenir, controler, manipuler un qubit dans un temps suffisamment long jusqu’à ce qu’on exécute le calcul souhaité.
C’est un véritable cauchemar pour les expérimentateurs ! Une autre question importante qui
interesse les thèoriciens concerne le concept d’intrication : comment la mesurer et la manipuler
pour construire des objets quantiques qui seront utiles pour concevoir une machine quantique
puissante et pour développer le domaine de l’information quantique ?
L’intrication quantique est un phénomène quantique dans lequel, l’état quantique d’un ensemble de deux objets doit être décrit globalement sans pouvoir séparer un objet l’un de l’autre
bien qu’ils puissent être spatialement séparés. En physique classique, le principe de localité
connu également sous le nom du principe de séparabilité, stipule que des objets distants ne
peuvent avoir d’influence l’un sur l’autre. Il y a contradiction entre intrication et non-localité.
Cependant, avant l’intrication, deux systèmes physiques sans interaction sont dans des états
quantiques indépendants mais après l’intrication ces deux états sont en quelque sorte "emmêlés"
et il n’est plus possible de décrire ces deux systèmes de façon indépendante. C’est pourquoi,
des propriétés de non-localité font leur apparition et la mesure sur l’un des systèmes influence
instantanément l’autre système, même s’il est situé à des années de lumière. L’intrication quantique est au coeur des fameuses expériences dites du paradoxe EPR et du chat de Schrödinger.
A ce niveau, il faut signaler que les travaux de Schrödinger et de EPR n’ont pas succité l’intérêt
qu’ils méritaient à temps. Près de 30 ans plus tard (1964), John Bell a conçu une expérience
de la pensée [9] qui devrait se révéler être le moyen de régler cette discussion une fois pour
toute, et faire place à un nouveau champ de recherche. Le théorème de Bell démontrant que
l’incomplétude de la théorie quantique soupçonné par EPR n’était pas possible qui peut être
vu de plusieurs façons assez différentes. Initialement, il a été conçu par son auteur comme un
prolongement logique de théorème EPR. La nécessité de répondre au problème de l’incomplétude de la mécanique quantique et pour tenter de violer ces inégalités de Bell, les premières
expériences de production d’états intriqués ont été réalisées à la fin des années 1970. Ces expériences démontrent clairement que l’interprétation d’EPR ne pouvait être correcte. Parmi ces
expériences on trouve les fameuses expériences du groupe d’Alain Aspect d’Orsay entre 1980
3
Introduction générale
et 1982 [10]. Ces expériences montrent sans aucun doute la violation de l’inégalité de Bell.
Aujourd’hui, en 2015, nul ne peut contester le caractère non local de la physique quantique. La
non localité est l’origine du phénomène de l’intrication dans un système quantique multipartite.
Il est donc tout à fait naturel de se pencher sur la question de la mesure de l’intrication afin de
quantifier les corrélations quantiques et les distingues des corrélations classiques.
La caractérisation des corrélations présentent dans un état quantique est un problème fondamental ayant généré des efforts intenses des chercheurs au cours des deux dernières décennies
[11, 12]. Certains résultats ont montré que les corrélations quantiques ne peuvent pas être
seulement limitées à l’intrication, car les états quantiques séparables peuvent aussi avoir des
corrélations non classiques au-delà de l’intrication quantique, qui sont responsables de l’amélioration de certaines tâches quantiques qui ne peuvent être atteintes par des moyens classiques
[13–17]. Les premières tentatives pour introduire les corrélations quantiques ont été faites par
Ollivier et Zurek [18] et par Henderson et Vedral [19], qui ont étudié les corrélations quantiques
dans une perspective de mesure et introduisent la discorde quantique comme une mesure de
corrélations quantiques [20–30].
En effet, la discorde quantique a attiré beaucoup d’attention dans le domaine de la théorie
de l’information quantique [31–37]. Elle quantifie les corrélations non classiques dans un état
quantique. En outre, elle coïncide avec l’intrication de la formation pour les états purs qui
sont considérés comme une ressource pour le calcul quantique [31]. Elle a été généralisée aux
systèmes des variables continues [38]. Pour une classe limitée des états à deux qubits, une
expression analytique est obtenue [39–41]. Ainsi, la discorde quantique pour un système multipartite est étudiée aussi dans plusieurs articles [33, 42–47]. Récemment, la dynamique de la
discorde quantique est largement étudiée dans différents contextes [48–50]. De plus une interprétation géométrique de la discorde a été discutée par Yao et al. [51]. On trouve aussi une
version géométrique de la discorde quantique qui quantifie les corrélations non classiques dans
un état quantique comme étant la distance minimale entre cet état et un état purement classique (un état qui ne possédent pas la propriété) [52]. Les preuves expérimentales peuvent être
vues dans les références [53–55].
La thèorie de l’information quantique vise d’abord à comprendre et exploiter les possibilités offertes par la mécanique quantique à des fins de traitement d’information. L’information
quantique et le calcul quantique ont récemment attiré beaucoup d’intérêt sur le plan théorique.
Dans ce contexte, il est nécessaire de développer de nouveaux protocoles utilisant les ressources
de la physique quantique (superposition ou bien l’intrication). Il faut vaincre le phénomène de
la décohérence quantique, qui est le principal ”ennemi” du calcul quantique car elle induit des
erreurs et elle limite le temps de calcul. Le maîtrise du phénomène de la décohérence est une
4
Introduction générale
condition pour atteindre les objectifs de la théorie de l’information quantique. Le but essentiel
de cette thèse est l’étude des corrélations des états quantiques dans les systèmes quantiques
multipartites. Cette étude permet de comprendre comment le phénomène de la décohérence
entre en jeu et détruit l’information quantique.
Ce manuscrit est divisé en sept chapitres :
Dans le premier chapitre, nous passerons en revue l’essentiel de la théorie classique d’information introduite par Claude Shannon. Cette rétrospective nous permet de mieux comprendre
l’origine de la théorie de l’information où les états quantiques d’un système à deux niveaux
remplacent les bits ordinaires. Quelques éléments de la mécanique quantique utiles pour la
suite de notre propos, sont également introduits. Dans le second chapitre, nous introduisons
les mesures que nous utilisons pour quantifier les corrélations quantiques dans des systèmes
quantiques multipartites. Nous discutons particulièrement la notion de concurrence, l’entropie
de formation, la discorde quantique. A ce niveau, on signale que ces mesures sont des mesures
qui utilisent la notion de l’entropie de von-Neumann. Nous discutons également la discorde
quantique géométrique qui utilise la norme de Hilbert-Schmidt pour mesurer la distance entre
les états d’un système bipartite. Dans des systèmes à trois qubits et plus, la distribution des
corrélations quantiques entre les différents constituants du système suit une relation assez restrictive. Il s’agit de la relation de monogamie que nous discutons à la fin de ce chapitre.
Le troisième chapitre porte sur le formalisme des états cohérents d’un système quantique.
L’intérêt pour cette catégorie d’états a été récemment motivé par la possibilité de coder l’information dans ces états qui ont des propriétés à la limite entre le monde quantique et classique. Pour cela, nous discutons et nous définissons les états cohérents de Glauber (états semiclassiques du champ radiatif quantifié) et les états cohérents de quelques groupes de Lie tel que
SU(2) et SU(1,1).
Le chapitre quatre est dédié à l’étude des corrélations quantiques dans des superpositions
particulières des états cohérents de spin. Nous dérivons les expressions explicites des corrélations quantiques bipartites par le biais de différentes mesures que nous comparons. Les mesures
utilisées sont l’entropie d’intrication et la discorde quantique. Nous intéressons aussi à la distribution des corrélations quantiques dans un état cohérent de spin j vu comme assemblage de
2j qubits. Cette distribution des corrélations nous a permis d’établir les conditions de respect
ou violation de la relation de monogamie dans de tels systèmes.
Dans le même sens d’idées, nous examinons dans le cinquième chapitre, la relation de monogamie dans un système tripartite dont chaque partie est décrite par un qubit arbitraire. Cette
relation de monogamie est analysée pour trois différentes mesures : l’entropie de formation, la
discorde quantique et sa version géométrique basée sur la mesure de Hilbert-Schmidt. A titre
5
Introduction générale
d’illustration, nous analysons les états chat de Schrödinger tripartite définis en termes des états
cohérents de Glauber.
Le sixième chapitre traite une approche unificatrice des différentes corrélations (classiques
ou quantiques) dans des systèmes quantiques multipartites. Ce Schéma unificateur repose sur
le concept de l’entropie linéaire qui est une variante linéarisée de l’entropie de von-Neumann.
Une relation d’additivité des différentes corrélations présentes dans un système multipartite est
établie. Des expressions analytiques des corrélations classiques et quantiques sont obtenues.
Le dernier chapitre porte sur un modèle où l’information est codée dans des variables continues. Nous présentons un modèle de deux particules évolues dans un espace non-commutatif.
Afin de comprendre l’effet de la non-commutativité (où l’action d’un champ électromagnétique
sur ce système bipartite), nous évaluons la négativité logarithmique pour étudier l’intrication
quantique. Le couplage du système introduit via la structure non commutative un modèle qui
décrit la phénomène de la décohérence d’un système bipartite.
Une conclusion générale termine ce manuscrit.
6
Chapitre 1
Eléments de la théorie de l’information
quantique
1.1
Introduction
Aujourd’hui la théorie classique de l’information fondée par Claude Shannon s’applique dans
le domaine des communications et aussi dans d’autres disciplines, tels que, le mathématique,
la physique statistique et l’informatique. La théorie classique de l’information porte sur l’encodage, la transmission et la quantification de la quantité d’information. De plus, la théorie
de Shannon est connue en statistique par sa célèbre formule de l’entropie qui est analogue à
la formule de l’entropie de Boltzmann. Avant d’introduire le concept mathématique de l’information il est utile de poser la question : qui est-ce que l’information ? L’information est
l’action d’informer, de donner la connaissance d’un fait, d’une nouvelle sur quelque chose ou
quelqu’un. Cette information peut être parlée, écrite ou perçue. Cependant, il faut rappeler que
l’information est relative aux propriétés physiques de la matière. Dans ce sens, l’information
est physique. Il en résulte que l’information peut être encodée dans les états quantiques et donc
on peut traiter de l’information quantique. La théorie quantique de l’information repose sur les
concepts fondamentaux de la théorie de la mécanique quantique. Pour introduire cette nouvelle
théorie, nous allons rappeler quelques notions de la théorie de l’information classique [56, 57]
et quelques éléments de la mécanique quantique. En particulier la notion de bits quantiques
supports indispensables pour coder l’information dans les états d’un système quantique
Nous commençons ce chapitre par faire quelques rappels nécessaires de la théorie de l’infor-
7
Chapitre 1. Eléments de la théorie de l’information quantique
mation classique dont nous avons besoin pour construire la théorie de l’information quantique.
Nous présentons la définition de l’information mutuelle introduite par Claude Shannon, et
aussi la notion de l’entropie de Shannon. Avant d’exposer la version quantique de cette dernière, nous présentons les formalismes quantiques utiles pour introduire la théorie quantique
de l’information. Nous définissons l’opérateur densité, le bit quantique qui est la plus petite
unité de stockage de l’information quantique et nous donnons quelques portes logiques quantiques élémentaires. Dans le même esprit, nous définissons l’intrication et nous discutons les
formalismes mathématiques de l’intrication dans les systèmes bipartites, en utilisant quelques
critères de séparabilité.
1.2
Notion de théorie de l’information de Shannon
Dans ce paragraphe nous introduisons les notions de base de la théorie de l’information
classique afin de pouvoir les utiliser ensuite dans le cadre quantique. La définition de la mesure
de l’information a été donnée la première fois par Hartley en 1928 [58]. Sa mesure de l’entropie
est donnée par la formule :
H(x) = logs,
(1.1)
où s est le nombre de valeurs possibles pour chaque symbole du message x transmit. En effet, selon la formule proposée par Hartley, tous les symboles du message contiennent la même
quantité d’information. Autrement dit, cette mesure d’entropie est basée sur l’hypothèse que
tous les événements sont équiprobables, hypothèse régulièrement mise en défaut dans les applications de télécommunication ou de traitement de signal. Cette mesure d’information a été
modifiée par Claude Shannon qui a donné en 1948 une définition plus rigoureuse de la quantité d’information [57]. En théorie de l’information, l’entropie mesure la quantité d’incertitude
d’une quantité inconnue ou aléatoire. Dans la plupart des phénomènes aléatoires, le résultat
d’une épreuve peut se traduire par une grandeur mathématique. La notion mathématique qui
représente efficacement ce genre de situation concrète est celle des variables aléatoires. Pour formaliser ces concepts, il est intéressant de commencer ce paragraphe par un rappel de quelques
éléments de théorie des probabilités, pour ensuite définir l’entropie de Shannon.
1.2.1
Notion de la théorie des probabilités
Soit Ω un ensemble fini et P (Ω) l’ensemble de ses parties. Le couple (Ω, P (Ω)) s’appelle un
espace probabilisable. On appelle espace probabilisé définie sur cet espace, toute application P
de P (Ω) dans [0, 1] qui vérifie P (Ω) = 1.
8
1.1.2 Notion de théorie de l’information de Shannon
Si A et B sont deux évènements incompatibles, alors P (A ∪ B) = P (A) + P (B).
On appelle variable aléatoire tout nombre aléatoire dont la valeur dépend du résultat d’une
expérience probabiliste.
Une variable aléatoire X est entièrement définie par l’ensemble des valeurs qu’elle peut prendre
dans Ω, que nous supposons être un ensemble fini, et sa distribution de probabilité est donnée
par {pX (x)}x∈Ω. La valeur de pX (x) est la probabilité que la variable aléatoire X prend la
valeur x. ainsi que la distribution de probabilité : pX : Ω → [0, 1] doit satisfaire à la condition
de normalisation
X
pX (x) = 1
x∈Ω
L’indépendance est une notion importante pour la théorie de l’information. Intuitivement,
l’indépendance de deux variables aléatoires signifie que leur comportement est autonome, c’est
à dire qu’il n’existe pas de lien statistique entre elles, ou encore que la connaissance de l’une
de ces variables n’apporte aucune information sur l’autre. On dit que les variables X et Y sont
indépendantes si et seulement si leur loi jointe vérifie :
pX,Y (x, y) = pX (x)pY (y).
1.2.2
(1.2)
Entropie de Shannon
Le concept de l’entropie est introduit en thermodynamique par Clausius. Il a été utilisé aussi
par Boltzmann en théorie cinétique des gaz. Boltzmann a décrit l’entropie comme une mesure
du désordre d’un système. La notion de l’entropie est considérée comme un concept curieux dans
la théorie de l’information. L’entropie d’une variable aléatoire est une mesure quantitative de
l’incertitude associée aux valeurs prises par la variable aléatoire. Ainsi la quantité d’information
dépend plus de la distribution de probabilité d’un événement x particulier. Par conséquent
l’entropie HX d’une variable aléatoire X avec la distribution de probabilité p(x) est défini
comme :
X
HX = −
p(x) log p(x).
(1.3)
x∈X
On prend comme convention 0 log2 0 = 0, de sorte que les événements de probabilité nuls ne
sont pas comptabilisés dans la somme. L’unité de l’entropie dépend de la base choisie pour le
logarithme : ( log2 : bit (binary unit), loge : nat (natural unit), log10 : (decimal unit)).
Notez bien que HX ne dépend que de la loi de X. C’est une quantité définie positive. De plus
HX est maximale lorsque X est munie de la loi uniforme.
Pour une variable aléatoire binaire X avec deux événements valants 0 avec la probabilité
9
Chapitre 1. Eléments de la théorie de l’information quantique
p(0) = p et 1 avec la probabilité p(1) = 1 − p. L’entropie de Shannon est
H(p) = −p log p − (1 − p) log(1 − p).
La figure 1.1 représente l’entropie de Shannon binaire en fonction de p, quand p = 1/2, la valeur
de l’entropie est maximale et égale à 1 et que pour p = 1 et p = 0 nous obtenons la valeur
minimale zéro.
Figure 1.1 – Entropie de Shannon binaire en fonction de p.
1.2.3
Entropie conjointe et l’entropie conditionnelle
Si X et Y sont deux variables aléatoires, l’entropie conjointe H(X, Y ) c’est l’entropie du
couple (X, Y ) donnée par :
H(X, Y ) = −
X
p(x, y) log2 (p(x, y)).
(1.4)
x,y
Notons que l’entropie conjointe ne dépend pas de l’ordre des variables. Autrement dit, l’entropie
conjointe est symétrique :
H(X, Y ) = H(Y, X).
(1.5)
Elle verifié l’inégalité
H(X, Y ) ≤ H(X) + H(Y ).
10
(1.6)
1.1.2 Notion de théorie de l’information de Shannon
Si les variables X et Y sont indépendantes, on a H(X, Y ) = H(X) + H(Y ). L’entropie conditionnelle a beaucoup d’importance en théorie de l’information. En effet, on s’intéresse souvent
à l’incertitude sur X compte tenu de l’information représentée par Y . Alors l’entropie conditionnelle est définie par
H(X | Y ) = −
X
p(x, y) log2 (p(x | y)),
(1.7)
x,y
H(X | Y ) représente une incertitude moyenne sur l’entrée lorsque la sortie est connue. En
d’autres termes, il s’agit de l’information qui serait encore nécessaire pour caractériser X quand
Y est connue. Elle satisfait la propriété suivante :
H(X, Y ) = H(X) + H(Y | X) = H(Y ) + H(Y | X).
(1.8)
La démonstration de cette relation est immédiate à partir de la définition de l’entropie conjointe,
p(x, y) = p(y | x)p(x) :
H(X, Y ) = −
X
p(x, y) log2 p(x, y)
x,y
= −
X
p(x, y) log2 p(x)p(y | x)
x,y
= −
X
p(x) log2 p(x) −
x,y
X
p(x) log2 p(y | x)
x,y
= H(X) + H(Y | X).
1.2.4
Information mutuelle
L’information mutuelle est une grandeur qui mesure un rapport entre deux variables aléatoires échantillonnées simultanément. Elle est la réduction de l’entropie de la variable aléatoire
X, apportée par la connaissance de la variable aléatoire Y . En particulier, elle mesure la quantité d’information communiquée, en moyenne, entre les deux variables aléatoires X et Y . Soient
deux variables aléatoires X et Y . La distribution conjointe est définie par
X
xy
p(x, y)log2
p(x, y)
.
p(x)p(y)
(1.9)
L’information mutuelle I(X : Y ) mesure la quantité d’information moyenne sur X que l’on peut
espérer récupérer lorsqu’on connaît Y . Elle mesure donc la quantité d’information commune
11
Chapitre 1. Eléments de la théorie de l’information quantique
entre X et Y . Elle est donnée par
I(X : Y ) = H(X) + H(Y ) − H(X, Y )
= H(X) − H(X/Y )
= H(Y ) − H(Y /X).
Il est facile de vérifier l’équivalence de ces trois formules. La quantité de l’information mutuelle
est positive et s’annule si et seulement si X et Y sont indépendantes.
Le diagramme de Venn ci dessous 1.2 résume, pour le cas de deux variables aléatoires,
les relations entre les différentes entropies H(X), H(Y ), H(X, Y ), H(X/Y ) , H(Y /X) et de
l’information mutuelle I(X : Y ).
Figure 1.2 – Diagramme de Venn à deux variables X et Y .
1.3
Quelques notions fondamentales de la mécanique quantique
Afin d’introduire les outils de base de la théorie de l’information quantique, il paraît intéressant de rappeler quelques notions fondamentales de la mécanique quantique. Les différentes
représentations utilisées en mécanique quantique pour la description des états d’une particule
ou d’un système de particules utilisent les espaces de Hilbert. L’espace vectoriel de Hilbert de
dimension n qu’on note (Hn ) est l’espace vectoriel linéaire complexe menu d’un produit scalaire hermitien défini positif. Le produit scalaire hermitien de |Ψ1 i par |Ψ2 i est noté hΨ2 | Ψ1 i.
Il possède les propriétés suivantes :
12
1.1.3 Quelques notions fondamentales de la mécanique quantique
– La symétrie hermitienne :
(hΨ2 | Ψ1 i)? = hΨ1 | Ψ2 i .
(1.10)
hΨ1 | AΨ2 + BΨ3 i = A hΨ1 | Ψ2 i + B hΨ1 | Ψ3 i .
(1.11)
– La linéarité
– La positivité
kΨk =
q
hΨ | Ψi ≥ 0.
(1.12)
Dans le cadre de la théorie de l’intrication quantique les systèmes quantiques composés jouent
un rôle important. Pour un système composé de deux sous-systèmes A et B l’espace de Hilbert
HAB c’est le produit tensoriel de sous espace de Hilbert HA ⊗ HB . La dimension de l’espace
composé HAB est le produit des dimensions des sous-systèmes : dim HAB = dim HA × dim HB .
Les ingrédients essentiels pour le traitement de l’information quantique se trouvent dans la
description des états quantiques décrits par les espaces de Hilbert, en outre l’état englobe notre
connaissance du système physique. En mécanique quantique, si le système est isolé et si nous
avons toutes les informations sur ce système, on le décrit par un vecteur d’état. Mais dans de
nombreux cas que l’on rencontre en étudiant des systèmes physiques, la situation est différente
et on ne peut avoir qu’une partie de l’information sur le système. Par exemple lorsqu’un système
interagit avec son environnement, l’information sur ce dernier n’est pas globale (incomplète).
Par conséquent l’opérateur, ou la matrice densité est le nouveau outil qui remplace le vecteur
d’état et permet de résoudre ce problème. La notion de l’opérateur donne un intérêt fondamental
aux résultats des mesures quantiques. Cet opérateur décrit l’état du système par un ensemble
de vecteurs d’états. C’est l’outil le plus immédiat et le plus pratique pour décrire un état
quelconque. Autrement, on dit que l’état est pur lorsque la quantité maximale d’information
sur le système physique est disponible. Un système quantique dans l’état pur peut être décrit
correctement par un vecteur d’état dans un espace de Hilbert H.
Comme nous l’avons vu ci-dessus, un état quantique pur dans un espace de Hilbert H et la
description du système se fait par le biais d’un vecteur |Ψi que nous développons ici sur la base
des {|un i} qui engendre H
X
|Ψi = Cn |un i .
(1.13)
n
13
Chapitre 1. Eléments de la théorie de l’information quantique
Les coefficients Cn sont les amplitudes de probabilité. Tout état pur peut être identifié par
l’opérateur densité
ρ = |Ψi hΨ| .
(1.14)
La majorité des systèmes ne sont pas dans un état pur, ils sont en réalité dans des états mixtes,
car tout système physique interagit inévitablement avec l’environnement. Ainsi, dans le cas
général où le système est dans un mélange d’états, l’opérateur densité de système est donné
par
X
X
ρ = p i ρi
pi = 1, et 0 ≤ pi ≤ 1,
i
i
avec ρi = |Ψi i hΨi | c’est l’opérateur densité correspondant à l’état |Ψi i . L’opérateur densité a
des propriétés caractéristiques parmi lesquelles nous pouvons notamment citer
– ρ est un opérateur hermétique ρ† = ρ,
– ρ est un opérateur positif : hφ | ρ | φi ≥ 0, ∀ | φ >∈ H,
– ρ est un opérateur de projection ρ2 = ρ dans le cas des systèmes purs,
– T r(ρ) = 1.
La matrice densité et la matrice densité réduite sont des outils utiles pour étudier des systèmes
quantiques composites et en particulier l’intrication entre deux sous systèmes. Autrement dit,
la description de sous-systèmes d’un système quantique composite est fournie par l’opérateur
de densité réduite. Il est donc indispensable dans l’analyse des systèmes quantiques composites.
Considérons le cas d’un système composite constitué de deux parties A et B décrits par deux
espaces de Hilbert complexes HA et HB et l’espace composé HAB est un espace bipartite. La
trace partielle de l’opérateur densité est définie par
ρA = TrB ρAB .
L’opérateur densité réduite décrit un sous-système d’un système quantique composé. Plusieurs
propriétés importantes d’un système quantique sont complètement déterminées à travers les
valeurs propres de la matrice densité réduite du système. De plus, il détermine complètement le
résultat de toute mesure effectuée seulement par un sous-système. Ces idées vont être clarifiées
après qu’on ait introduit la notion de l’intrication quantique.
14
1.1.4 Notion de bit quantique
1.4
Notion de bit quantique
L’information codée dans des sous systèmes quantiques conduit à des propriétés plutôt
contre-intuitives. Elle ne peut être ni copiée ni lue sans être détruite et elle peut prendre plusieurs valeurs à la fois. Ce sont des propriétés toutes particulières qui motivent la recherche
sur l’information quantique et qui promettent une révolution que certains auteurs appellent
la seconde révolution de la mécanique quantique comparable à l’avènement du transistor. La
théorie de l’information quantique pourrait permettre de fabriquer des ordinateurs capables
de résoudre plus rapidement certains problèmes qui demandent aujourd’hui l’aide de supercalculateurs. Cette idée d’exploiter les lois quantique pour concevoir des algorithmes de calcul
rapides, fut proposée par Feynman en 1982 [8]. Dans cet esprit, il faut disposer non pas de bits
mais bien de quantum bits (qubits) d’informations. Le bit quantique est l’unité fondamentale
d’information quantique.
1.4.1
Bit quantique
En théorie de l’information, un bit est la quantité minimale d’information transmise par un
message. Il constitue à ce titre l’unité de mesure de base de l’information en informatique. La
théorie de l’information quantique utilise une entité quantique pour coder l’unité élémentaire
d’information : les systèmes à deux niveaux. Les systèmes à deux niveaux ont gagné extrêmement d’intérêt au cours des dix dernières années, en raison des perspectives fascinantes dans la
manipulation de l’information quantique [60, 61] et le calcul quantique [62, 63]. Ces systèmes
quantiques à deux niveaux sont maintenant appelés qubits [59]. On peut par exemple réaliser
un qubit en considérant les deux états de polarisation d’un photon ou les deux états de spin
d’un électron : up et down . Un qubit c’est la plus petite unité de stockage de l’information
quantique on le nomme aussi un bit quantique (quantum+bit), l’état pur d’un qubit, définie
comme une superposition linéaire des états de base de calcul, par convention notés 0 et 1, il est
représenté par le vecteur suivant
|ψi = α |0i + β |1i ,
avec α et β sont des nombres complexes et |α|2 + |β|2 = 1. La caractéristique probabiliste du
monde quantique se reflète dans la description non intuitive des états et des transformations
associées à des systèmes quantiques. Dans le cas de qubit, le vecteur d’état qui est composé par
une combinaison de deux états 0 et 1, est généralement représenté par un point sur la sphère
de Bloch (1.3).
L’état pur d’un qubit dans la représentation géométrique de Bloch est donné par l’expression
15
Chapitre 1. Eléments de la théorie de l’information quantique
Figure 1.3 – Sphère de Bloch .
suivante
θ
θ
|0i + sin eiφ |1i .
(1.15)
2
2
Cette équation présente une image de l’espace des états d’un qubit. Le vecteur de Bloch pour
−
l’état pur d’un qubit dans un espace euclidien tridimensionnel →
r = (x, y, z) est donné par les
coordonnées suivantes :
|ψi = cos
x = sin θ cos φ,
y = sin θ sin φ,
z = cos θ.
La matrice densité du système d’états purs |ψi est exprimée à l’aide des matrices de Pauli
−
−
usuels →
σ = (σx , σy , σz ) et du vecteur de Bloch →
r :
1
1
−
−
r→
σ ).
ρ = |ψi hψ| = (I + xσx + yσy + zσz ) = (I + →
2
2
1.4.2
Portes logiques quantiques
Tout calcul quantique peut se ramener à une série de manipulation d’un ou deux qubits
dans des « portes logiques quantiques ». La façon la plus simple de faire un calcul est de
commencer avec un état initial puis réaliser des portes logiques élémentaires pour pouvoir
obtenir un résultat. Le calcul quantique est une extension du mode de fonctionnement des
ordinateurs classiques où un bit est remplacé par un qubit.
16
1.1.4 Notion de bit quantique
Définition : On appelle porte logique quantique une opération unitaire qui change l’état
d’un ou plusieurs qubits.
Les portes quantiques à un qubit peuvent être représentées sur la sphère de Bloch par des
rotations autour d’un vecteur de la sphère. Parmi les portes à un qubit usuelles, on cite la porte
de Hadamard. C’est une porte agissant sur un qubit et représentée par la transformation


1 1 
1
H=√ 
.
2 1 −1
Les portes à deux qubits sont des portes logiques qui agissent sur deux qubits. Un exemple
classique serait la porte AN D, qui retourne 1 si les deux bits valent 1 et 0 sinon. Commençons
par décrire les portes quantiques élémentaires permettant d’intriquer les qubits et qui utilisent
un qubit de contrôle. Le qubit de contrôle détermine l’action de la porte quantique sur l’autre
qubit, appelé qubit cible. Si le qubit de contrôle est dans l’état |0i, alors le qubit cible est
inchangé, si le qubit de contrôle est dans l’état |1i, alors la porte quantique agit sur le qubit
cible.
On présente la porte CN OT [64], qui est sans doute la plus populaire. Elle échange les états
|0i et |1i du qubit «cible» seulement si le qubit «contrôle» est dans l’état |1i.

CN OT =







1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1




.



La porte quantique CN OT est l’une des portes quantiques à deux qubits les plus utilisées avec
la porte Cphase. La porte contrôle-Phase est donnée par

Cphase =







1
0
0
0
0
1
0
0
0 0
0 0
1 0
0 eiφ




,



dans la base de calcul {|00i , |01i , |10i , |11i}.
De façon générale, un ensemble universel de portes quantiques doit être composé des portes
permettant la construction générale des opérations à un qubit, et d’une porte à deux qubits
permettant l’intrication [65, 66]. Le problème de la réalisation pratique des portes logiques est
17
Chapitre 1. Eléments de la théorie de l’information quantique
trop compliqué. Les systèmes physiques utilisés pour représenter les qubits doivent satisfaire des
conditions très sévères, et doivent être protégés contre le phénomène de la décohérence. Pour
construire des portes logiques, il y a des expériences à l’aide de l’électrodynamique quantique
en cavité [67–70]. L’interaction atome-cavité permet, au choix, soit de préparer un état intriqué,
soit de réaliser une porte quantique. L’électrodynamique quantique en cavité réalise le système
matière-rayonnement le plus simple : un seul atome couplé à un seul mode du champ contenant
quelques photons. Dans le régime de «couplage fort», l’interaction cohérente atome/champ domine la décohérence et peut donc être utilisée pour générer de l’intrication. Pour vaincre la
décohérence et atteindre le rêve de l’ordinateur quantique, des recherches intenses aux niveaux
expérimentales et théoriques sont menées dans différents groupes à travers le monde pour pouvoir mesurer, contrôler et aussi manipuler l’intrication quantique. Le phénomène de l’intrication
joue un rôle essentiel en théorie quantique de l’information et en calcul quantique.
1.5
Intrication quantique
Il nous semble que la meilleure manière de se familiariser avec la notion de l’intrication quantique avant de passer à sa formulation mathématique rigoureuse, c’est de comprendre l’origine
de ce phénomène étrange du monde quantique. Ce phénomène a émergé des débats entre les
fameux physiciens de l’époque Bohr et Einstein sur l’interprétation de la mécanique quantique.
Selon Einstein la mécanique quantique est incomplète contrairement à Bohr. En 1935, Einstein,
Podolski, et Rosen ont essayé de montrer ce caractère incomplet de la mécanique quantique
à partir d’une expérience de pensée [5]. Dans cette expérience Einstein, Podolsky et Rosen
énoncent : ( Si, sans pour autant perturber un système, nous pouvons prédire avec certitude,
c’est à dire, avec une probabilité égale à l’unité, la valeur d’une grandeur physique, alors il existe
un élément de la réalité physique correspondant à cette grandeur physique). Voulant mettre
à défaut la mécanique quantique, la réflexion d’Einstein a conduit à la naissance du concept
d’intrication quantique. C’est une exploitation caractéristique de la physique quantique qui n’a
pas d’analogue en mécanique classique. Elle mesure les corrélations non locales entre les différentes parties d’un système quantique. Dans ce qui suit nous allons décrire certains aspects
préliminaires de l’intrication quantique.
L’intrication est la corrélation quantique entre les différents sous-systèmes d’un système composite. Si on effectué une mesure sur une partie d’un système quantique intriqué cette mesure
peut affecter instantanément l’autre partie de ce système, quelle que soit la distance qui sépare
les deux parties.
18
1.1.5 Intrication quantique
1.5.1
Intrication des systèmes bipartites
Nous allons se limiter dans un premier temps aux systèmes composites qui sont constitués
de deux parties, c’est à dire, les systèmes bipartites. Soient |ψiA et |ψiB des états définis dans
les espaces de Hilbert HA et HB . Un état pur |ψi ∈ HAB est un état séparable si et seulement
si il peut être écrit comme le produit de deux états
|ψi = |ψiA
O
|ψiB .
(1.16)
Dans le cas contraire l’état est non factorisable : C’est à dire l’état est intriqué. Les états
séparables ne contiennent que des corrélations d’origines classiques. Les états non séparables
contiennent des corrélations de nature quantique. Jusqu’à présent, nous n’avons considéré que
les états purs. Mais fréquemment, l’état d’un système quantique peut être mixte.
Les états mixtes sont des mélanges statistiques des opérateurs de densité des états purs. Soit
HA et HB deux espaces de Hilbert, on note par ρ l’opérateur densité de l’état de HA ⊗ HB .
Mathématiquement, un état mixte ρ est appelé séparable s’il peut être écrit comme :
ρ=
X
B
pi ρ A
i ⊗ ρi ,
i
Autrement, l’état mixte est intriqué. A titre d’exemple, les états intriqués les plus célèbres sont
les états de Bell, qui sont des états maximalement intriqués :
|ψ± i = |00i ± |11i ,
(1.17)
|φ± i = |01i ± |10i .
Ces états sont appelés aussi les pairs EPR qui forment une base orthonormée de l’espace d’état
de deux qubits. Grâce à une transformation unitaire locale sur l’un des sous-systèmes, on peut
transformer un état en l’autre.
1.5.2
Critère de séparabilité
Après avoir rappelé les définitions fondamentales de séparabilité et d’intrication, nous sommes
maintenant prêt à discuter brièvement certains critères standards pour décider si un état quantique donné est intriqué ou non. Comme mentionné précédemment, l’intrication est souvent
décrite comme un phénomène non local dans le sens que, pour un état intriqué, la mesure sur
un sous-système affecte instantanément le résultat d’une mesure de l’autre sous-système. Géné-
19
Chapitre 1. Eléments de la théorie de l’information quantique
ralement, le problème de décider si l’état est séparable ou pas est difficile. Dans le cas des états
purs bipartites, il existe une méthode efficace pour détecter l’intrication ( la décomposition de
Schmidt). Les critères de séparabilité donnent des conditions habituellement nécessaires mais
non suffisantes pour la séparabilité.
Décomposition de Schmidt : Pour étudier les corrélations qui sont présentées dans un
système bipartite, on peut considérer la décomposition de Schmidt [71, 72]. Considérons un
système bipartite AB dans l’espace de Hilbert HAB . Comme on le voit à partir de l’équation
(1.16), la définition de l’intrication d’un état bipartite ne fournit aucun critère constructif pour
décider si l’état est séparable où intriqué. En fait, la décomposition de Schmidt est un outil très
utile et efficace pour vérifier si l’état pur bipartite est séparable où intriqué. Soit |ψAB i un état
pur bipartite et dA et dB sont les dimensions des sous-systèmes,
|ψAB i =
r q
X
λi |ai i |bii , r ≤ min(dA , dB ),
(1.18)
i
√
|ai i et |bi i sont les bases orthonormales du sous système A et B respectivement, λi est le
√
P
coefficient de Schmidt avec ri=1 λi = 1. Les coefficients de Schmidt λi correspondent aux
racines carrées des valeurs propres de l’une des matrices densités réduites
ρA =
X
λi |ai i hai | ,
ou
ρB =
i=1
X
λi |bi i hbi | .
i=1
En outre, le nombre de Schmidt r, est donné par le nombre des valeurs propres non nulles
de ρA ou ρB . A partir de l’équation (1.18) il devient clair que les états séparables sont ceux
qui ont exactement un nombre de Schmidt r = 1. Généralement, la décomposition de Schmidt
ne peut pas être étendue de manière simple aux systèmes avec plus de deux sous-systèmes.
Malheureusement pour les états mixtes, il n’y a pas d’analogue à la décomposition de Schmidt.
Critère de Peres-Horodecki Le critère de la transposition partielle positive [73–75] (PPT)
ou le critère Peres-Horodecki utilise l’opération de transposition partielle où la matrice transposition usuelle est T (ρ) = ρ> est appliquée à un seul sous-système d’un état composite. Horodecki
[96] a montré que le critère de PPT est nécessaire et suffisant pour les états quantiques ρAB de
l’espace de Hilbert HA ⊗ HB où les dimensions de HA et HB sont dA = dB = 2. Par exemple,
on considère la matrice densité générale ρ bipartite
ρ=
X
ikjl
20
ρikjl |iki hjl| .
1.1.6 L’entropie de von Neumann
La transposition partielle par rapport au premier sous-système A est donnée par
TA (ρ) = ρ>A =
X
ρikjl |jki hil| .
ikjl
Si un état ρ bipartite est séparable, alors l’opérateur ρ>A est semi-défini positif. Inversement,
si ρ>A 0, alors l’état est intriqué.
1.6
L’entropie de von Neumann
Nous rappelons qu’un état pur d’un système quantique est appelé intriqué s’il est non factorisable. Un état mixte est intriqué s’il ne peut pas être représenté comme un mélange d’états
purs factorisables. Pour distinguer entre ces deux cas, on a besoin du concept de l’entropie
quantique. Dans ce cas, la notion d’entropie de Shannon a un analogue quantique en théorie
quantique de l’information pour mesurer l’intrication quantique. Dans les dix dernières décennies, un travail considérable a été consacré à la recherche des mesures de l’intrication quantique
qui utilisent l’entropie de von-Neumann.
L’entropie de von-Neumann est donnée par la formule
S(ρ) = −T rρ ln ρ.
Supposons que le système quantique est préparé dans un mélange d’états {λi , |ψi i} de sorte
P
que la matrice densité est ρ = i λi |ψi i hψi | . L’entropie de von Neumann devient
S(ρ) = −
X
λi ln λi .
i
La dernière équation est exactement la même que l’équation de l’entropie de Shanonn où les
valeurs propres de ρ sont remplacées par des probabilités classiques. Lorsqu’on considère un
état purs ρ = |ψi hψ| , l’entropie de ρ est égale à
S(|ψi hψ|) = 0.
L’entropie de von Neumann satisfait les propriétés suivantes :
– Dans un espace de Hilbert de dimension d, l’entropie est égale à log d si est seulement si
le système est dans un état complètement mixte.
– Si un système composite AB est dans un état pur, alors les entropies des matrices densités
21
Chapitre 1. Eléments de la théorie de l’information quantique
réduites sont égales, S(A) = S(B).
– Si U une transformation unitaire, S(ρ) = S(U ρU † )
– L’entropie de von Neumann S est concave.
– L’entropie de von Neumann S est additive, alors pour les densités réduites ρA et ρB des
des sous systèmes A et B, on a S(ρA ⊗ ρB ) ≤ S(ρA ) + S(ρB ).
1.7
Conclusion
Dans ce premier chapitre, nous avons introduit quelques éléments essentiels pour discuter les
corrélations quantiques. Nous avons insisté sur le principe de la théorie classique de l’information
(qui utilise l’entropie de Shannon) à sa version quantique (où l’information est quantifiée à l’aide
de l’entropie de von Neumann) Nous avons également discuté l’intrication quantique et la notion
de séparabilité. Ce dernier aspect sera développé d’avantage dans les chapitres qui sont suivre.
22
Chapitre 2
Mesure des corrélations quantiques
2.1
Introduction
L’intrication, à savoir les corrélations entre les parties des systèmes composites qui n’ont pas
d’analogues classiques, constitue une ressource importante en information quantique, En effet,
l’intrication qui est considérée comme la clé du traitement quantique de l’information, joue un
rôle important dans nombreux protocoles quantiques [76]. Traditionnellement, l’intrication a été
considérée comme synonyme de corrélations quantiques. Depuis fort longtemps, les chercheurs
dans ce domaine, pensaient que les états séparables, sont inutiles pour le traitement de l’information quantique. Mais, récemment, il a été constaté que certains états séparables contiennent
des corrélations non classiques. Par conséquent, l’intrication quantique n’est pas le seul type
des corrélations quantiques utiles dans le domaine du traitement quantique de l’information
[15, 77, 78]. Le concept des corrélations quantiques est donc plus général que l’intrication. Ce
constat a été prouvé à la fois théoriquement [14, 16, 17, 27, 31, 79–81] et expérimentalement
[53]. Parmi les différentes mesures des corrélations quantiques, on trouve la discorde quantique
introduite la première fois dans [18, 19]. En 2008, B.P. Lanyon et al [53] ont montré que les
états séparables peuvent être utilisés pour mettre en œuvre un calcul quantique déterministe
avec un qubit. Plus tard, d’autres mesures de discorde quantique ont été proposées [33, 52].
Dans le présent chapitre, nous exposons les mesures qui nous permettent de distinguer entre
les états qui contiennent des corrélations purement quantiques de ceux contenant uniquement
des corrélations de nature classique. Ce chapitre présentera quelques mesures des corrélations
quantiques. Dans la suite, on introduit la notion de l’entropie d’intrication qui est basée sur la
23
Chapitre 2. Mesure des corrélations quantiques
notion de la concurrence introduite par Wooters [82, 83]. On s’intéresse plus particulièrement
à la définition de la discorde quantique entropique. Vu les difficultés analytiques que l’on rencontre avec cette définition de la discorde entropique, on introduit la version géométrique de
la discorde quantique basé sur la norme de Hilbert-Schmidt. On introduit aussi des mesures
d’intrication pour les variables continues : la négativité logarithmique et la discorde quantique
gaussienne. On termine ce chapitre avec le concept de la monogamie de l’intrication.
2.2
2.2.1
Mesure de l’intrication
Entropie d’intrication
L’entropie d’intrication est une mesure d’intrication utilisée lorsque le système est préparé
dans un état pur. Elle s’exprime en terme de l’entropie de von Neumann donnée par
S(ρ) = −T rρ log ρ.
(2.1)
On considère un état quantique |ψiAB composé de deux sous-systèmes A et B. Pour chaque
état pur, l’entropie d’intrication [84] E(|ψi) est définie par
E(|ψi) = −TrρA log ρA = −TrρB log ρB .
(2.2)
Il est généralement admis que l’intrication d’un état pur bipartite est quantifiée par l’entropie
d’intrication E qui est exprimée par les matrices densités réduites ρA et ρB . On dit que l’état est
séparable si la valeur de l’entropie d’intrication est égale à zéro. Lorsque l’entropie d’intrication
est maximale, l’état est dit maximalement intriqué. Elle atteint la valeur E(|ψi) = ln(N ) si
pi = N1 ∀i, N est la dimension de la matrice densité réduite. Considérons à titre d’exemple
l’état de spin √12 (|↑↓i + |↓↑i). La matrice densité réduite ρA du spin A obtenue par la trace sur
la partie B. Elle est donnée par


1/2 0 
ρA = 
,
0 1/2
(2.3)
dans ce cas E(|ψAB i) = ln(2). Cette mesure d’intrication est insuffisante lorsque l’état est
mixte. En effet, elle devient incapable de faire la distinction entre les corrélations quantiques
et classiques. Dans ce cas, la discorde quantique est la mesure adéquate pour quantifier un état
intriqué donné.
24
2.2.2 Mesure de l’intrication
2.2.2
Entropie de formation et concurrence
L’entropie de formation [82, 85–88] d’un état mixte ρ est définie par
E(ρ) = min
X
pi E(|ψi i)
(2.4)
i
où la minimisation porte sur toutes les décompositions spectrales purs possibles de l’état mixte
ρ. Une expression exacte de l’entropie de formation a été établie pour les systèmes de deux
niveaux (qubit). Pour ce type de systèmes, Wootters a déterminé une formule simple permettant
de calculer cette entropie de formation [82, 83]. Elle est donnée par la formule
E(ρ) = E (C(ρ))
(2.5)
√
!
1 1 − 1 − C2
+
,
E (C) = h
2
2
(2.6)
où E (C(ρ)) est définie par :
h est la fonction de l’entropie binaire donnée par
h(x) = −x ln x − (1 − x) ln(1 − x).
La quantité C dans (2.6) est comprise entre 0 et 1, définie la concurrence du système. Elle est
donnée par
C (ρ) = max(0, λ1 − λ2 − λ3 − λ4 ),
(2.7)
les λi sont les valeurs propres de la matrice hermitienne suivante
R=
q√
√
ρρe ρ,
(2.8)
à condition que λ1 ≥ λ2 ≥ λ3 ≥ λ4 , et ρe est la matrice densité de "spin-flipped" définie par


0 −i 
ρe = (σy ⊗ σy ) ρ∗ (σy ⊗ σy ) , σy = 
i 0
(2.9)
L’entropie de formation étant une fonction monotone croissante de C. Lorsque C = 0, l’état est
séparable et quand C = 1, l’état est au contraire maximalement intriqué. Pour 0 < C ≤ 1, l’état
est intriqué.
25
Chapitre 2. Mesure des corrélations quantiques
2.3
Discorde quantique
En mécanique quantique la mesure perturbe l’état d’un système physique. C’est une différence fondamentale avec les systèmes classiques. Par conséquent, il est possible de conclure
que la perturbation induite par une mesure sur un état est la preuve de son intrication quantique(quantmness). L’étude des systèmes bipartites dans lesquels une mesure locale de l’un des
sous-systèmes est effectuée. La perturbation induite par la mesure sur le système modifie les
propriétés de l’état global, en particulier elle modifie la quantité des corrélations entre les deux
sous-systèmes. On ajoute que certains mélanges d’états non intriqués peuvent quand même
présenter des corrélations supérieures aux corrélations classiques. Plutôt que de mesurer l’intrication, on peut donc mesurer les corrélations quantiques. Ainsi, les corrélations quantiques
vont au-delà de celles détectées par l’entropie de formation. Les mesures proposées pour les
corrélations quantiques sont regroupées en deux classes principales : des quantités entropiques,
comme la discorde quantique [18, 19], et leurs variantes géométriques [52]. On note qu’en général, il est difficile de calculer explicitement la discorde quantique entropique [89]. La discorde
quantique est définie comme la différence entre la corrélation totale et la corrélation classique.
La corrélation totale est généralement quantifiée par l’information mutuelle.
A l’aide de la discorde quantique, il est possible de voir que les états séparables mixtes contiennent
des corrélations quantiques. Dans ce point de vue, il s’agit d’une classe des corrélations quantiques qui sont plus générales que l’intrication.
La discorde quantique utilise la notion de l’information mutuelle. Cette dernière quantité est
définie à partir de l’information mutuelle classique où les variables aléatoires sont remplacées
par les densités ρAB et l’entropie de Shannon est remplacée par l’entropie de von Neumann
(voir chapitre 1). La définition de l’information mutuelle est donnée par la formulle suivante
I(ρAB ) = S(ρA ) + S(ρB ) − S(ρAB ).
(2.10)
D’un autre côté, si un état classique n’est pas perturbé par une mesure d’un des sous-systèmes,
l’information mutuelle s’écrit également sous la forme
J(ρAB ) = S(ρA ) − S(ρA | ρB ),
(2.11)
où S(ρA | ρB ) = S(ρAB ) − S(ρB ) est l’entropie quantique conditionnelle. De plus, l’information
mutuelle contient à la fois les corrélations classiques et quantiques entre les deux sous-systèmes.
Par conséquent, l’information mutuelle est la somme des corrélations classique C(ρAB ) et quan-
26
2.2.3 Discorde quantique
tique D(ρAB ) et on a :
I(ρAB ) = D(ρAB ) + C(ρAB ).
(2.12)
La partie classique C(ρAB ) peut être déterminée par une procédure d’optimisation de la mesure
locale. Nous rappelons que la mesure locale est donnée par l’ensemble M des opérateurs M =
P
{Mk } ( k Mk = I, Mk ≥ 0). Une mesure projective sur le système A dans l’ensemble statistique
{pk , ρk = ρ} implique que l ’opérateur densité conditionnelle ρk associé de la mesure s’écrit
ρ=
(Mk ⊗ I)ρAB (Mk ⊗ I)
,
pB,k
(2.13)
où l’opération de mesure est donnée par
Mk = U Πk U † ,
(2.14)
où Πk = |ki hk| (k = 0, 1) est le projecteur de rang 1. Dans (2.14) l’opérateur U ∈ SU (2) est
unitaire et la probabilité pB,k est donnée par
pB,k = T r((Mk ⊗ I)ρAB (Mk ⊗ I)).
(2.15)
La quantité d’information obtenue pour la particule B est
S(ρB ) −
X
pB,k S (ρB,k ) .
(2.16)
La mesure des corrélations classiques résultantes est donnée par l’expression suivante
"
C(ρAB ) = max S(ρB ) −
#
X
M
pB,k S (ρB,k ) ,
(2.17)
k
= S(ρB ) − Smin ,
P
avec Smin = k pB,k S (ρB,k ). De même, nous pouvons définir les informations acquises sur le
système A par
X
C(ρAB ) = max S(ρA ) −
pA,k S (ρA,k ) .
(2.18)
M
k
La discorde quantique est obtenue par la soustraction de la corrélation classique de l’information
27
Chapitre 2. Mesure des corrélations quantiques
mutuelle quantique :
D(ρAB ) = I(ρAB ) − C(ρAB )
(2.19)
= S(ρA ) − S(ρAB ) + Smin .
La discorde quantique correspond donc aux corrélations d’origine purement quantique. Elle est
toujours positive [18] et vaut zéro pour les états classiquement corrélés [33]. Dans le cas général,
elle n’est pas symétrique par échange des rôles des sous systèmes A et B. Cette asymétrie reflète
une asymétrie dans la répartition des corrélations classiques et quantiques pour A et B. Il est
important de noter que presque tous les états quantiques ont une discorde quantique non nulle.
Pour les états mixtes séparables, la discorde quantique peut être non nulle.
Il faut noter que la discorde quantique est plus résistante que l’intrication vis à vis des environnements dissipatifs [90–92]. Cela a été démontré pour les environnements markoviens ainsi
que pour les environnements non-markoviens en faisant une comparaison de la dynamique de
la discorde avec celle de concurrence [93]. Contrairement à l’intrication, très fragile, face aux
effets de l’environnement, la discorde est plus robuste, et peut même augmenter par un couplage
avec un environnement. Ceci constitue, en fait, une ressource particulièrement intéressante d’un
point de vue expérimental [94, 95].
2.4
Mesure géométrique de la discorde quantique
Dans la section précédente, nous avons passé en revue la discorde quantique définie par le
biais de l’entropie de von Neumann. Cependant, le calcul analytique de cette discorde est très
fastidieux, excepté dans quelques cas particuliers. Afin de contourner ces difficultés analytiques,
une variante géométrique de la discorde a été proposée dans la littérature [52]. Elle est basée sur
la norme de Hilbert-Schmidt(la discorde géométrique). La discorde géométrique [52] est définie
comme la distance minimale séparant d’un état quantique de tous les états de discorde nulle
(état purement classique). L’évaluation de la discorde quantique donnée par l’équation (2.19)
nécessite en général une minimisation qui n’est pas aisée. Différentes mesures de la discorde
quantique [25] et leurs extensions à des systèmes multipartites [33] ont été proposées. Toutefois,
l’expression analytique n’est connue que pour certaines catégories d’états [26, 28, 39, 41, 96, 97].
La procédure d’optimisation impliquée dans le processus du calcul est inaccessible pour des
états arbitraires. Une méthode générale pour calculer la discorde quantique pour des systèmes
de deux qubits n’a pas été encore obtenue. Ici, nous proposons une mesure géométrique pour
contourner ce problème. De point de vue mathématique, cette mesure géométrique donne des
28
2.2.4 Mesure géométrique de la discorde quantique
expressions explicites pour examiner la dynamique des corrélations quantiques [98, 99]. La
discorde quantique géométrique est définie comme étant la distance, mesurée à l’aide de la
norme de Hilbert-Schmidt, entre un état ρ et son plus proche état classiquement corrélé χ
(2)
DA (ρ) = minχ∈Ω0 ||ρ − χ||2 ,
(2.20)
où Ω0 désigne l’ensemble des états de discorde nulle. La norme de Hilbert-Schmidt est ||X −
Y ||2 = Tr(X − Y )2 . Dans la suite nous utilisons la définition (2.20) pour évaluer la discorde
géométrique pour un état à deux qubits arbitraire :


3
3
X
X
1
σ0 ⊗ σ0 + (xi σi ⊗ σ0 + yi σ0 ⊗ σi ) +
Rij σi ⊗ σj 
ρ=
4
i
i,j=1
(2.21)
où xi = Trρ(σi ⊗ I), yi = Trρ(I ⊗ σi ) sont les composantes des vecteurs locaux de Bloch et
Rij = Trρ(σi ⊗ σj ), sont les composantes du tenseur de corrélation. Les matrices σi , i ∈ {1, 2, 3}
sont les trois matrices de Pauli et σ0 c’est la matrice identité. Pour un système de deux qubits,
l’état de discorde nulle est de la forme
χ = p1 |ψ1 ihψ1 | ⊗ ρ1 + p2 |ψ2 ihψ2 | ⊗ ρ2 ,
(2.22)
où {|ψ1 i, |ψ2 i} est une base orthonormée. Une expression analytique de la mésure géométrique
de la discorde quantique est donnée par [45, 99] :
Dg (ρ) =
1
||x||2 + ||R||2 − kmax ,
4
(2.23)
avec x = (x1 , x2 , x3 )T et kmax est la plus grande valeur propre de la matrice
K := xxT + RRT .
(2.24)
K est une matrice 3 × 3. Les valeurs propres de la matrice K sont λ1 , λ2 et λ3 . La mesure
géométrique de la discorde quantique est donnée par la formule compacte suivante
Dg (ρ) =
1
min{λ1 + λ2 , λ1 + λ3 , λ2 + λ3 }.
4
(2.25)
Il en découle que pour obtenir la discorde géométrique pour un état à deux qubit, il suffit de
diagonaliser la matrice K et comparer les valeur propres λ1 , λ2 , λ3 .
29
Chapitre 2. Mesure des corrélations quantiques
2.5
Négativité logarithmique
La multiplicité des mesures de l’intrication résulte de la difficulté de quantifier correctement
les corrélations quantiques d’un état mixte. Chaque mesure révèle un aspect spécifique de
l’intrication. En outre, ces mesures d’intrication sont largement limitées à l’étude des variables
discrètes, décrivant les systèmes quantiques tels que les qubits et ne sont pas pratiques à l’étude
des variables continues.
Parmi les mesures dédiées aux variables continues, il existe le concept de négativité et négativité
logarithmique. Elles sont basées sur la norme trace de la transposée partielle de l’opérateur
densité ρ [100–102], où ρ représente un état générique d’un système bipartite. La négativité est
définie par [103]
> ρ − 1
1
.
(2.26)
N(ρ) =
2
La norme de trace d’un opérateur hermétique A est
√
kAk1 = T r( A† A)
(2.27)
Remarque : Si une des valeurs propres de > ρ (la transposée partielle d’un état ρ) est négative,
alors l’état est intriqué.
La négativité logarithmique est donnée par l’expression [100, 101]
EN = log2 > ρ = log2 (1 + 2N(ρ))
1
La négativité logarithmique est additive. C’est une fonction totalement monotone de l’intrication sous les LOCC (Local Operations and Classical Communcication) [104]. Il est facile de
calculer la négativité logarithmique à l’aide de la matrice de covariance du système étudié [105].
2.6
Discorde gaussienne
Comme nous avons mentionné ci-dessus, la plupart des propositions, en matière de quantification des corrélations quantique ont été initialement formulées dans le régime des variables
discrètes. Une large majorité de ces propositions a été étendue aux variables continues [106]. Le
principal intérêt pour des variables continues provient du fait que l’espace des états est de dimension infini et donc contient plus d’information que dans le cas discret (espace fini). D’autre
part, ces états sont plus faciles à exploiter expérimentalement. Une classe importante des états
30
2.2.6 Discorde gaussienne
de variables continues sont les états gaussiens. Ce sont des états pour lesquels les distributions
de probabilité des deux quadratures orthogonales sont des gaussiennes. De plus, pour ces états,
l’inégalité de Heisenberg est saturée de telle manière que les états gaussiens soient des états
minimaux. Les états cohérents respectent ces deux conditions et par conséquent sont des états
gaussiens ( voir chapitre 3 ). L’obstacle principal dans le calcul de la discorde pour les états
des variables continues est encore la procédure de minimisation sur toutes les mesures possibles
dans un sous-système. Pour un état gaussien, des expressions analytiques de la discorde quantique ont été dérivées dans [29, 38].
Dans cette section, nous dérivons une formule pour la discorde quantique gaussienne pour mesurer les corrélations sur tous les états gaussiens de deux modes. Pour cela nous commençons
par la définition des états gaussiens. Les états gaussiens appartiennent à un espace de Hilbert
de dimension infinie. Pour définir l’état gaussien, on représente les opérateurs de quadratures
P et X de n modes par un vecteur colonne :
R = (P1 , X1 , ...Pn , Xn )>
L’espace dans lequel évolue ce vecteur R est appelé l’espace des phases. Cette notation permet
une écriture compacte des relations de commutation entre les différents opérateurs Xi et Pi
[Rl , Rm ] = 2iΩlm .
où

n
Ω = ⊕ ω,
k=1

0 1 
ω=
−1 0
Ces définitions sont valables pour tout système à n modes. Afin de simplifier notre propos, nous
discutons le cas de systèmes gaussiens à deux modes.
Une des propriétés fondamentales d’un état gaussien est qu’elle est entièrement caractérisée par
les premiers et les seconds moments des opérateurs de quadrature et la matrice de covariance1
correspondante symétrique. Ses coefficients s’écrivent
σij = T r[ρAB {Ri , Rj }]
(2.28)
1
Tous les états Gaussiens peuvent être représentés par une matrice de covariance, la réciproque n’est pas
vraie : toute matrice de covariance ne représente pas un état physique. En effet, la matrice densité associée σ
doit être semi-définie positive. Cette contrainte est donné par [262] σ + iΩ > 0
31
Chapitre 2. Mesure des corrélations quantiques
ρAB est la matrice densité d’un état gaussien de deux modes et R> = (PA , XA , PB , XB ) c’est le
vecteur de l’espace de phase.
Avec une transformation unitaire locale symplectique, la matrice de covariance peut être transformée en une forme standard avec des sous-blocs diagonaux

α=
aI2×2 ,
α
γ


σij =
avec β =
bI2×2 ,
γt β
γ = diag{c, d}.

(2.29)
A partir des expressions de la matrice de covariance, la discorde gaussienne est donnée par
√
D← (σAB ) = f ( B) − f (ν− ) − f (ν+ ) + E min ,
h
i
h
(2.30)
i
log x+1
− x−1
log x−1
et les invariants symplectiques sont A = det α,
où f (x) = x+1
2
2
2
2
B = det β, C = det γ, et D = det σ AB . De plus, les valeurs propres symplectiques sont données
√
par 2ν±2 = ∆ ± ∆2 − 4D avec ∆ = A + B + 2C. Dans l’équation (2.30) la quantité E min est
donnée par

√
2C 2 +(−1+B)(−A+D)+2|C| C 2 +(−1+B)(−A+D)


,

2

E min =


















2.7
(−1+B)
(D − AB) 2 ≤ (1 + B) C 2 (A + D) ;
√
AB−C 2 +D−
C 4 +(−AB+D)2 −2C 2 (AB+D)
2B
,
sinon
Monogamie de l’intrication
Dans un système multipartite, les constituants peuvent échanger des corrélations quantiques
à travers des canaux quantiques. Il en découle que les corrélations quantiques peuvent être partagées entre les qubits d’un système englobant plusieurs qubits. Comme nous l’avons souligné,
il est fondamentale de caractériser, quantifier, et classifier les différents types de corrélations
dans un système multipartite. Ceci devient plus important lorsqu’on sait que, l’intrication des
systèmes multipartites ne peut être partagée librement. En effet, si deux parties d’un système
multipartite est maximalement intriqué alors aucune intrication peut être transférer au reste
des qubits du système [107]. Cette propriété transcrit la monogamie de l’intrication [108–117]
introduite par Coffman, Kundu et Wootters (CKW) en 2000 [118]. Les auteurs ont montré la
relation de monogamie pour trois qubits. Une généralisation à plusieurs qubits a été proposée
par Osborne et al en 2006 [119]. Ces résultats montrent que, dans un réseau quantique de n par-
32
2.2.7 Monogamie de l’intrication
ties, plus l’intrication partagée entre deux parties est grande alors moins d’intrication peut être
partagé entre les autres parties du réseau. En outre, l’intrication partagée entre deux parties
limite même la quantité de corrélation classique qui peut être partagée avec les autres parties
[107].
Le concept de la monogame de l’intrication peut être décrit comme suit. On note EA|B l’intrication partagée entre A et B. Comme la monogamie d’intrication concerne plus de deux parties
dans un réseau quantique, nous considérons également EA|C l’intrication partagée entre A et C,
EA|BC l’intrication partagée entre A et le système composite comprenant B et C. En utilisant
ces notations, la mesure d’intrication, E est dite monogame si l’inégalité suivante est satisfaite
EA|BC ≥ EA|B + EA|C .
(2.31)
Cette inégalité traduit le principe de monogamie d’intrication : la quantité d’intrication partagée
entre A et B limite la quantité possible d’intrication entre A et C de sorte que leur somme
ne dépasse pas l’intrication bipartite totale entre A et le système composite BC. Il est naturel
de savoir la relation de monogamie est satisfaite pour les autres mesures définies dans les
paragraphes précédents.
2.7.1
Concept de monogamie de l’intrication
Dans cette section nous examinons un réseau quantique tripartite dont chaque partie comprend un qubit. Si un qubit est à l’état pur, on le représente par α|0i + β|1i où α et β sont des
nombres complexes.
L’état pur général de trois qubits est un vecteur normalisé dans C2⊗ C2⊗ C2 :
|ψiABC =
1
X
ψ1 ,2 ,3 |1 , 2 , 3 i ,
(2.32)
1 ,2 ,3 =0
{|1 , 2 , 3 i ≡ |1 i ⊗ |2 i ⊗ |3 i} est la base computationnelle pour trois qubits. Par exemple,
l’état |000i représente trois spin ”up”. Les huit coefficients {ψ1 ,2 ,3 } sont des nombres complexes
satisfaisants la contrainte de normalisation hψ|ψi = 1.
Tout d’abord, nous ne discutons pas la saturation de l’inégalité (2.31), mais nous étudions les
états qui peuvent saturer cette inégalité. Pour cela, nous allons considérer l’intrication tripartite
entre trois qubits. En particulier, nous focalisons notre discussion sur deux types bien distincts
[120] : les états de type de W et les états de type Greenberger-Horne-Zeilinger (GHZ)[121].
Ces deux états sont définis par
|W i = |001i + |010i + |100i
(2.33)
33
Chapitre 2. Mesure des corrélations quantiques
et
|GHZi = |000i + |111i.
(2.34)
L’état spécial |GHZi [121, 122] est un état maximalement intriqué par rapport à tous les
bipartitions (A|BC, AB|C, AC|B). D’autre part, l’état de W présente la particularité d’être
le seul état qui sature l’inégalité de la monogamie (2.31).
Considérons maintenant la matrice densité réduite ρAB de l’état W que l’on obtient en prenant
la trace partielle sur C
ρAB =trC |WiABC hW|
2 E D + 1
Ψ .
= |00iAB h00| + Ψ+
AB
3
3
(2.35)
(2.36)
En raison de la symétrie de permutation, les états ρBC et ρAC sont donnés par des expressions
similaires. Quelle que soit la mesure choisie de l’intrication E, elle devrait être maximisée pour
l’état |Ψ+ i, et par convention, E = 1 pour les états présentant une intrication maximale et
E = 0 pour les états non-intriqués. Il s’en suit que l’intrication moyenne de la décomposition
de ρAB dans (2.35) est donnée par
1
2 E D + 2
E (ρAB ) = E (|00iAB h00|) + E Ψ+
Ψ = .
AB
3
3
3
(2.37)
Notons qu’à cause de la symétrie de la permutation de l’état |W i, nous avons E (ρAC ) =
E (ρBC ) = 2/3. Ainsi, la moyenne globale de l’intrication de l’état |W i de trois qubits est
donné par
2
1
[E (ρAB ) + E (ρBC ) + E (ρAC )] = ,
(2.38)
3
3
2.7.2
Monogamie de l’intrication dans un système à trois qubits
Le tangle (qui sera défini dans ce qui suit) joue un rôle clé pour expliquer la monogamie
d’intrication pour les systèmes à trois qubits. L’entropie linéaire peut être utilisée pour quantifier
l’intrication d’un état pur bipartite. Dans ce cas, La notion de tangle τ est donnée par
τ (|ψiAB hψ|) := Slin (ρA ),
où l’opérateur de densité réduite est ρA = TrB |ψiAB hψ| et l’entropie linéaire Slin est donnée par
l’expression :
Slin (ρ) = 2 1 − T rρ2 .
(2.39)
34
2.2.7 Monogamie de l’intrication
Slin (ρ) = 1 pour un état à deux qubits maximalement intriqués.
P
En outre, tout état bipartite mixte ρAB = i pi |ψi iAB hψi | est un mélange des états purs. Un
calcul analytique permet de voir que le tangle de ρAB dans le cas des états bipartites mixtes
est donné par l’expression [82]
τ (ρAB ) = (λ1 − λ2 − λ3 − λ4 )2 ,
(2.40)
λ1 ≥ λ2 + λ3 + λ4 ,
(2.41)
pour
sinon,
τ (ρAB ) = 0.
Le tangle c’est la mesure analytique de l’intrication bipartite. La preuve détaillée de Wootters
de la formule analytique (2.40) est fournie dans [82]. Dans la suite de cette section, nous considérons un système à trois parties ABC où chaque partie est constituée par un qubit. Nous avons
vu que, si deux parties présentent une intrication maximale, le troisième ne peut pas partager
l’intrication avec les deux autres. Maintenant, nous montrons que l’intrication ne peut pas être
partagée, mais cette fois en utilisant la notion de mesure d’intrication. Si les deux parties du
système partagent un état pur |ψiAB du sous-système composite AB, alors l’entropie linéaire
de cet état Slin (|ψiAB hψ|) est nulle.
L’état tripartite ρABC doit être un état de produit, ρABC = |ψiAB hψ| ⊗ ρC , si deux parties
partagent un état maximalement intriqué, alors on aura aucune intrication partagée entre AB
et toutes autres parties de système. D’autre part, si AB partage un état qui n’est pas maximalement intriqué, dans ce cas A ou B ou bien les deux pourraient partager certaines intrications
avec d’autres parties, mais la quantité d’intrication partagée est bornée.
Dans la suite on montre que les deux états W et GHZ sont maximalement intriqués, mais de
façons distinctes : l’état de W de deux qubits maximise l’intrication bipartite après la trace sur
le troisième qubit alors que l’état de GHZ maximise l’intrication bipartite entre un qubit et
les deux autres qubits.
Pour cela nous allons utiliser le tangle pour quantifier l’intrication bipartite entre deux parties.
Considérons un état pur général de trois qubits
|φiABC ∈ C2 ⊗ C2 ⊗ C2 .
(2.42)
35
Chapitre 2. Mesure des corrélations quantiques
L’intrication bipartite relativement aux trois bi-partitions possibles du système tripartite est
définie par
τA|BC , τB|AC , τC|AB .
(2.43)
où τA|BC ≡ τA|BC (|φiABC hφ|) mesure le tangle entre le qubit A et le système BC. Avec cette
notation, nous définissons la valeur moyenne de tangle
τ1 (|φiABC hφ|) :=
τA|BC + τB|AC + τC|AB
3
(2.44)
τ1 (|φiABC hφ|) est toujours positif et inférieur de l’unité. La valeur maximale de τ1 est obtenue
par l’état GHZ.
τ1 (|GHZiABC hGHZ|) = 1.
(2.45)
D’autre part, nous pouvons définir une autre valeur moyenne pour le tangle de trois qubits,
notée ici τ2 ,
τA|B + τB|C + τA|C
,
(2.46)
τ2 (|φiABC hφ|) :=
3
avec τA|B ≡ τ (ρAB ) et ρAB est la matrice densité réduite de |φiABC . Pour l’état GHZ
τ2 (|GHZiABC hGHZ|) = 0,
(2.47)
parce que chaque matrice densité réduite de deux qubit de |GHZiABC est séparable.
Classiquement si B et C ne sont pas corrélés avec A, alors il n’y a pas de corrélation entre
A et BC. Cependant, le résultat (2.47) fournit un contre-exemple reflétant la violation de la
relation de monogamie. L’intrication quantique entre le système A et le système composite BC
ne garantit pas l’intrication entre A et B ou entre A et C.
En effet, l’état GHZ est un état quantique ”extrême” et l’intrication bipartite entre un qubit
et le système composite de deux qubits est maximale
1 =τ1 (|GHZiABC hGHZ|)
>τ2 (|GHZiABC hGHZ|)
=0.
(2.48)
De plus, l’inégalité entre τ1 et τ2 (2.48) est toujours valable pour tout état pur de trois qubits
|φiABC et les matrices densité réduite ρAB , ρBC et ρAC . Ceci se traduit par :
τ1 (|φiABC hφ|) ≥ τ2 (|φiABC hφ|) .
36
(2.49)
2.2.7 Monogamie de l’intrication
Cette inégalité n’est jamais saturée par un état intriqué de trois qubits [108]. Le tangle moyen
donnée par (2.49) est maximisé par l’état |W i
τ2 (|φiABC hφ|) ≤ τ2 (|W iABC hW |) =
4
9
(2.50)
dans le cas de l’état |W iABC définit par
1
|W i = √ (|100i + |010i + |001i.
3
L’inégalité de monogamie est satisfaite et devient dans ce cas une égalité. La formule (2.40)
s’écrit
2
2
2
τA|BC
= τA|B
+ τA|C
.
(2.51)
Sachant que l’état W est symétrique par rapport aux permutations des qubits A, B et C, nous
avons la relation suivante entre τ1 et τ2
τ1 (|φiABC hφ|) = 2τ2 (|φiABC hφ|) .
(2.52)
La première caractérisation de monogamie d’intrication dans les systèmes à trois qubits a été
introduite par Coffman, Kundu et Wootters [118].
2.7.3
Inégalité de Coffman-Kundu-Wootters et monogamie de l’intrication de formation
Dans le paragraphe précédent, nous avons discuté quelques aspects de la relation de monogamie en utilisant le concept de l’entropie linéaire. Dans cette section nous discutons la
relation de monogamie à trois qubits (Inégalité de Coffman-Kundu-Wootters), en quantifiant
l’intrication à l’aide de la concurrence. Soit CA|B l’intrication partagée entre A et B (CA|B la
concurrence entre A et B). Nous considérons également l’intrication CA|C partagée entre A et
C et l’intrication CA|BC partagé entre A et le système composite BC. Dans cette notation, la
relation de monogamie est satsfaite si on a :
C2A|BC ≥ C2A|B + C2A|C .
(2.53)
Coffman, Kundu et Wootters ont prouvé que, pour un système de trois qubits, l’intrication
bipartite entre le qubit A et la partition de deux qubits restant BC n’est jamais inférieure à la
37
Chapitre 2. Mesure des corrélations quantiques
somme de l’intrication bipartites A|B et A|C. Dans le cas d’un état pur de type |W iABC
|W i = α|100i + β|010i + γ |001i
(2.54)
q
on a CA|B = 2 |αβ| , CA|C = 2 |αγ| et CA|BC = 2 |α| |β|2 + |γ|2 . Il vient alors
C2A|BC = C2A|B + C2A|C
(2.55)
et la relation (2.53) est évidemment satisfaite. La quantité
τABC ≡ C2A|BC − C2A|B − C2A|C ,
(2.56)
n’est jamais négative et rend compte de la relation de monogamie [118]. Par conséquent, la
quantification de l’intrication tripartite peut être obtenue en quantifiant l’intrication bipartite
entre les sous-systèmes. On constate que l’intrication entre A et BC comprend l’intrication
entre A et B, l’intrication entre A et C et l’intrication tripartite entre A, B et C. De plus pour
N particules, la relation de monogamie est également satisfaite [119].
Au cours de la dernière décennie, de nombreuses mesures d’intrication ont été introduites. Mais,
il n’y a que quelques mesures d’intrication connues jusqu’ à présent qui sont monogames, comme
l’entropie de formation [118].
La concurrence a effectivement été présentée comme une mesure intermédiaire pour obtenir
l’entropie de formation. C’est une fonction monotone [82, 84]. Pour trois qubits, l’intrication
totale qui peut être partagée est limitée par l’inégalité de CKW. Dans le cas de l’entropie de
la formation E, l’inégalité suivante n’est pas satisfaite
EA|BC ≥ EA|B + EA|C .
(2.57)
Ceci indique que l’entropie de formation viole la relation de monogamie. Il est intéressant de
constater que la relation (2.53) fait intervenir C2 au lieu de C. L’entropie de formation E viole
la relation de monogamie mais il est important de noter que si on remplace E par E2 , on a la
relation suivante
E2A|BC ≥ E2A|B + E2A|C ,
(2.58)
qui est toujours vérifiée. La généralisation à N qubits est également valable.
38
2.2.8 Conclusion
2.8
Conclusion
Il est bien connu que les différentes mesures des corrélations quantiques ne sont pas identiques et conceptuellement différents. L’analyse des corrélations quantiques dans un système
multipartite constitue un thème central de recherches en information quantique et la comparaison des différentes mesures des corrélations est une tâche relativement ardue. Tout d’abord, il
n’existe pas d’étude comparative de toutes ces mesures de corrélations. De plus il est important
de souligner que les expressions des mesures des corrélations quantiques sont basées sur des
systèmes bipartites.
Dans ce chapitre, nous avons présenté les mesures des corrélations quantiques pour deux
classes des variables quantiques : discrètes et continues. Nous avons aussi discuté la discorde
quantique qui permet de classifier les états selon leurs degrés d’intrication et nous avons donné
la version géométrique de cette dernière. Nous avons discuté la notion de la discorde quantique
gaussienne qui a fait l’objet d’une attention particulière dans le domaine des variables continues,
en particulier dans le domaine du codage de l’information dans des états gaussiens. Finalement,
nous avons discuté la notion de la monogamie d’intrication.
39
Chapitre 2. Mesure des corrélations quantiques
40
Chapitre 3
Les états cohérents
3.1
Introduction
Récemment un intérêt considérable a été dévoué dans la littérature aux applications et
aux généralisations des états cohérents et en particulier leurs intrications car ils constituent
une ressource importance en information quantique. Les états cohérents, ont été introduits par
Schrödinger en 1926 [124]. Les états cohérents jouent un rôle important dans le domaine de
l’optique quantique. Ces états ont la particularité de ressembler étroitement à ceux d’un oscillateur classique. La superposition des états cohérents a été analysée en détail par Yurke et
Stoler [125, 126]. Les études portant sur les superpositions d’états cohérents pour un seul mode
du champ électromagnétique, les productions de tels états, les propriétés et les extensions pour
les états cohérents généralisés sont détaillées dans les références [127–133]. Peu de temps après
l’introduction des superpositions monomodes des états cohérents, les états cohérents intriqués
(ou superpositions multimodes des états cohérents) sont devenus un champ d’investigation très
en vogue dans le domaine de l’information quantique. Ces superpositions des états cohérents
multimodes ont apparu indépendamment dans plusieurs travaux [135–137]. Il faut noter qu’à
l’heure actuelle les superpositions des états cohérents sont difficiles à produire expérimentalement [134] et fondamentalement cela pourrait être dû à une sensibilité extrême à la décohérence
environnementale.
Le terme " d’état cohérent intriqué " a été introduit par Sanders dans une étude relative à la
production des états cohérents intriqués en utilisant un interféromètre non linéaire de MachZehnder [138]. Peu après, la création des états cohérents intriqués à deux-mode a été réalisée
41
Chapitre 3. Les états cohérents
dans le domaine de l’électrodynamique quantique en cavité [139]. L. Davidovich a proposé une
superposition quantique d’états cohérents de champ de micro-ondes situés simultanément dans
deux cavités (réalisation de l’intrication entre un état cohérent dans un mode et le vide dans
l’autre mode). Des travaux sur des états cohérents intriqués bipartites montrent la violation de
l’inégalité de Bell [140, 141]. Dans ce contexte, les états cohérents présentent un intérêt spécial
vu qu’ils peuvent encoder de l’information pour achever des protocoles quantiques. Ils ont été
utilisés dans le domaine de la téléportation quantique [142–145]. Dans ce sens, les états cohérents intriqués ont plusieurs applications, ils peuvent servir aussi comme une ressource pour les
réseaux quantiques [146]. La superposition de deux états cohérents est utilisée dans le cadre de
codage logique quantique [147] et pour le calcul quantique universel [148]. Les états cohérents
intriqués jouent également un rôle important dans le traitement quantique d’information [149].
Ils ont aussi un rôle important dans le domaine de la métrologie quantique [148, 150, 151].
Ce domaine de recherche qui est assez vaste demande la collaboration de chercheurs entre
eux et avec la récente génération d’états cohérentes intriqués [152] et leur importance potentielle dans le traitement quantique de l’information [153], de nombreuses nouvelles découvertes
seront attendus dans un avenir proche. Ce chapitre fournit un aperçu de la recherche des états
cohérents intriqués et leurs généralisations, implémentations et applications.
3.2
3.2.1
Etats cohérents
Définition des états cohérents
Les états cohérents sont bien connus depuis le travail fondamental de Schrödinger [124].
L’utilisation des états cohérents, de l’oscillateur harmonique s’est révélée extrêmement féconde
en optique quantique. La notion de l’état cohérent a été largement utilisée dans plusieurs travaux [154–156] de plus les états cohérents minimisant la relation d’incertitude de Heisenberg.
Ils se sont révélés particulièrement bien adaptés à la description quantique d’un champ électromagnétique classique, et ont été abondamment utilisés dans l’étude de l’émission laser.
Dans la représentation de Fock, les états cohérents de Glauber |αi peuvent être obtenus en
appliquant un opérateur de déplacement D(α) = exp(αa+ − α∗ a) sur l’état de l’oscillateur
harmonique à vide
42
3.3.2 Etats cohérents
|αi = D(α) |0i = exp(αa+ − α∗ a) |0i
1
= exp(− |α|2 ) exp(αa+ ) exp(−α∗ a) |0i
2
X αn
1 2 +∞
√ |ni
= exp( |α| )
2
n!
n=0
(3.1)
(3.2)
où α est l’amplitude complexe sans dimension, et a, a† sont les opérateurs de création et
d’annihilation de l’oscillateur harmonique quantique. La quantité n̄ = |α|2 est le nombre moyen
de photons, alors que le nombre de photon est donné par la distribution de Poisson
Πn̄ =
n α
=
√
iϕ
n̄e
2
= e−n̄ n̄n /n! .
(3.3)
Le produit scalaire de deux états cohérents est
1
1
hα | βi = exp(− |α|2 ) exp(− |β|2 ) exp(−α∗ β).
2
2
(3.4)
En outre, les états cohérents sont définis comme étant les états propres de l’opérateur d’annihilation :
a |αi = α |αi ,
(3.5)
sur la base des états propres de l’oscillateur harmonique {|ni}. On note aussi que les états
cohérents |αi saturent l’inégalité d’Heisenberg 4q̂4p̂ ≥ 1/2. Les états cohérents sont les états
les plus faciles à produire expérimentalement. Les sources classiques de rayonnement électromagnétique (antenne, source micro-onde, ...) produisent ce type d’état, et la plupart des lasers
produisent aussi ce type d’état. Toutes les sources habituelles (lampes thermiques ou à décharge) produisent des champs qu’on peut considérer comme des superpositions statistiques
d’états cohérents.
3.2.2
Superpositions des états cohérents
Les superpositions des états cohérents illustrent l’étrangeté de la théorie quantique. En
général, tout état pur du champ électromagnétique |ψi peut être écrit comme une superposition
d’états cohérents selon l’expression
|ψi =
Z
d2 α
hα |ψi |αi .
π
(3.6)
43
Chapitre 3. Les états cohérents
L’état cohérent |αi, α ∈ C, est exprimé en état de Fock |n) par
−n̄/2
|αi = e
∞
X
n=0
s
n̄n inϕ
e |n)
n!
(3.7)
√
avec α = n̄eiϕ et le nombre de photon est donné par la distribution de Poisson (3.3). Comme
les états cohérents forment une base sur-compléte, il n’est pas surprenant que chaque état peut
être exprimé comme une superposition des états cohérents.
Schrödinger avait proposé les superpositions spéciales des états quantiques (les états de chat
de Schrödinger) [157, 158]. Les états de chat de Schrödinger ont fait l’objet de beaucoup de
débats et de recherches. Dans ce contexte l’état cohérent est considéré comme étant un état du
champ essentiellement classique, et la superposition de deux états cohérents rappelle celle du
chat de Schrödinger. Elle s’écrit comme étant l’état |αi ± |−αi .
Nous définissons un état de chat de Schrödinger pour une superposition de deux états cohérents
par l’expression
|αi± = N± (|αi ± | − αi)
(3.8)
avec
N+ = 2 + 2 exp −2|α|2 , N− = 2 − 2 exp −2|α|2 .
(3.9)
Il est simple de voir que |αi+ s’exprime dans la base des états |ni comme
|αi+ =
X (α)2n
exp(− 12 |α|2 ) +∞
q
√
|2ni
N±
(2n)!
n=0
(3.10)
De la même façon |αi− est donné par
X (α)2n+1
exp(− 12 |α|2 ) +∞
q
√
|αi− =
|2n + 1i
N±
(2n + 1)!
n=0
(3.11)
A partir des expressions ci-dessus, nous pouvons facilement voir que la terminologie pair et
impair se réfère pour un nombre pair des photons dans le cas de l’état cohérent pair |αi+ et
pour le nombre de photons impair l’état cohérent est impair |αi− (contient uniquement des
états avec un nombre impair de photon). Pour cette raison, le terme d’état chat de Schrödinger
a également été appliqué aux états cohérents pairs et impairs [159]. Les états cohérents paires
et impaires peuvent être généré dans le cadre du modèle de Jaynes-Cummings[160]. Cependant,
on note qu’il y a des difficultés à créer ce type d’états, car ces états sont fragiles et résistent
44
3.3.3 Etats cohérents de Lie
très peu face à la décohérence. Les premières superpositions quantiques d’états cohérents ont
été réalisées dans les systèmes d’ions piégés. Le groupe dirigé par David Wineland a préparé, en
1996, un ion de beryllium 9 Be+ dans une superposition d’états cohérents vibrationnels [161]. Un
état chat de Schrödinger micro-onde a ensuite été préparé par le groupe de Serge Haroche dans
une cavité supraconductrice[134]. Ces états ont de très nombreuses applications en information
quantique [162, 163].
3.3
Etats cohérents de Lie
L’approche de généralisation des états cohérents la plus adéquate a été établie par Perelomov
[164] et Gilmore [132]. L’approche de Gilmore et Perelomov établit un lien entre la théorie des
groupes et le formalisme des états cohérents. Perelomov et Gilmore ont ainsi ouvert un horizon
sans limite à l’extension et à la généralisation des états cohérents. Le terme d’état cohérent
généralisé a également été appliqué aux états cohérents pour les groupes de Lie. L’idée repose
sur la détermination de l’algèbre de Lie correspondante au groupe régissant les symétries du
système étudié. Cette généralisation du concept des états cohérents a été motivée par des
questions d’ordre physique [165] et aussi par des raisons purement mathématiques. Dans la
suite nous limitons notre attention à la discussion de la construction des états cohérents des
algèbres de Lie su(2) et su(1, 1) [166].
3.3.1
Etat cohérent de SU(2)
L’algèbre de Lie su(2) est engendrée par les générateurs {ζ1 , ζ2 , ζ3 } qui satisfont les relations
de commutation suivantes :
[ζ1 , ζ2 ] = iζ3 ,
[ζ2 , ζ3 ] = iζ1 ,
[ζ1 , ζ3 ] = iζ2 ,
(3.12)
qui se réécrivent à l’aide des opérateurs ζ± = ζ1 ± iζ2 et ζ3 comme
[ζ3 , ζ± ] = ±ζ±
[ζ− , ζ+ ] = −2ζ3
(3.13)
Les différentes classes de représentations irréductibles du groupe SU (2) sont complétement déterminés par le moment angulaire quantique j qui est un entier ou demi entier j = 21 , 1, 32 , 2....et
l’espace de Hilbert qui est engendré par la base orthonormée {|j, mi avec m = −j, −j +1, ....j −
45
Chapitre 3. Les états cohérents
1, j}. Les opérateurs ζ± et ζ3 opèrent dans l’espace de représentation comme suit :
ζ+ |j, mi =
q
ζ− |j, mi =
(m + 1)(2j − m) |j, m + 1i
q
m(2j − m − 1) |j, m − 1i
(3.14)
ζ3 |j, mi = (−j + m) |j, mi .
A partir de (3.14) l’état |j, mi est donné par la formule
(ζ+ )m
|j, mi = q
m!2j Pm
avec
2j Pm
= (2j)(2j − 1)...(2j − m − 1). Ce état satisfait les conditions suivantes
hj, m | j, mi = δmn ,
2j
X
|j, mi hj, m| = Ij .
m=0
Ainsi que les états cohérents standards de SU (2) sont obtenus par l’action de l’opérateur suivant
Dj (ξ) = exp(ξζ+ − ξ ∗ ζ− ) .
(3.15)
A partir de Dj (ξ) (3.15), il est facile de montrer que
Dj (ξ) = exp(ξζ+ − ξ ∗ ζ− )
(3.16)
= exp(ηζ+ ) exp(log(1+ | η |2 )ζ3 ) exp(η ? ζ− )
(3.17)
= exp(η ? ζ− ) exp(− log(1+ | η |2 )ζ3 ) exp(ηζ+ ).
(3.18)
avec η = (ξ/|ξ|) tan |ξ|. Nous utilisons l’opérateur Dj (ξ) dans l’état | j, −ji
|j, ηi = Dj (ξ)|j, −ji = exp(ξζ+ − ξ ∗ ζ− )|j, −ji = (1 + |η|2 )−j exp(ηJ+ )|j, −ji.
(3.19)
C’est une formule clé pour les états cohérents généralisés de SU (2). Par conséquent, dans la
base |j, mi, on peut écrire |j, ηi comme suit
|j, ηi = (1 + |η|2 )−j
j
X
m=−j
46
"
(2j)!
(j + m)!(j − m)!
#1/2
η j+m |j, mi .
(3.20)
3.3.3 Etats cohérents de Lie
L’état |j, ηi satisfait la condition
Z
dµ(j, η)|j, ηihj, η| = I ,
dµ(j, η) =
d2η
2j + 1
.
π (1 + |η|2 )2
(3.21)
Les étas cohérents de spin sont non-orthogonaux :
hj, η1 |j, η2 i = (1 + |η1 |2 )−j (1 + |η2 |2 )−j (1 + η1∗ η2 )2j .
3.3.2
(3.22)
Etat cohérent de SU(1,1)
L’algèbre de Lie non compact su(1, 1) est engendrée par trois générateurs {ς1 , ς2 , ς3 }.
Les opérateurs ς± = ς1 ± iς2 satisfont les relations de commutation suivante :
[ς+ , ς− ] = −2ς3
[ς3 , ς± ] = ±ς± .
Les représentations de su(1, 1) sont labelisées par un paramètre k ∈ {1/2, 1, 3/2, 2, . . .}. Les représentation sont de dimension n infinie. L’espace des représentations est noté Hk = {|k, ni , n =
0, 1... + ∞}.
Les opérateurs ς± , ς3 sont donnée par :
ς+ |k, ni =
q
ς− |k, ni =
(n + 1)(2k + n) |k, n + 1i
q
n(2k + n − 1) |k, n − 1i
(3.23)
ς3 |k, ni = (k + n) |k, ni
On note par |k, 0i l’état de vide normalisée (ς− |k, 0i = 0 et hk, 0 | k, 0i = 1). A partir de (3.23)
l’état |k, ni est donné par la formule
|k, ni =
(ς+ )n
q
n!(2k)n
avec an = a(a + 1)...(a + n − 1). Cet état satisfait les conditions suivantes
hk, m | k, ni = δmn ,
∞
X
|k, ni hk, n| = Ik .
n=0
L’état cohérent de Perelomov du SU (1, 1) est défini comme
| k, ηi = Sk (ξ) | k, 0i,
(3.24)
47
Chapitre 3. Les états cohérents
où
Sk (ξ) = exp(ξς+ − ξ ∗ ς− ) .
(3.25)
A partir de Sk (ξ) (3.25), il est facile de montrer que
exp(ξς+ − ξ ∗ ς− ) = exp(ης+ ) exp(log(1+ | η |2 )ς3 ) exp(η ? ς− )
= exp(η ? ς− ) exp(− log(1+ | η |2 )ς3 ) exp(ης+ ).
avec η =
ξtanh(|ξ|)
.
|ξ|
(3.26)
(3.27)
Dans la base |k, ni, on peut écrire |k, ηi comme
|k, ηi = (1 − |η|2 )k
∞
X
n=0
s
(2k)n n
η |k, ni.
n!
(3.28)
L’état |j, ηi il satisfait la condition
∞
X
|j, ηihj, η| = I
(3.29)
n=0
Les étas cohérents de SU (1, 1) sont non-orthogonaux :
hk, η1 |k, η2 i = (1 − |η1 |2 )k (1 − |η2 |2 )k (1 − η1∗ η2 )−2k .
3.4
(3.30)
Application des états cohérents
Les états cohérents intriqués sont utilisés pour tester les violations des inégalités de Cauchy Schwarz [167], les violations d’inégalité de Bell [138, 170–174] et pour étudier l’intrication
quantique [175, 176]. Ils peuvent être créés dans le domaine de l’électrodynamique quantique
en cavité. Les états cohérents intriqués de type Greenberger-Horne-Zeilinger et les états de
type W peuvent également être créé dans des cavités électrodynamiques [177–179]. Aussi les
états cohérents intriqués modifiés, comme "les états cohérents intriqués monomode excités",
pourraient également être créé dans le cadre des expériences relevant sur l’électrodynamique
quantique en cavité [69]. Au lieu de créer des états cohérents intriqués dans le domaine de
l’électrodynamique quantique en cavité on peut aussi les créer à l’aide d’un ion piégé [180] ou
de deux ions piégés[181–183] et aussi à l’aide de plusieurs ions piégés [182–184].
Quantifier l’intrication a beaucoup d’avantage dans le cadre de l’exécution des tâches de traitement quantique de l’information tels que la téléportation quantique. Il y’a des approches
alternatives qui considèrent la façon de téléporter tout ou partie d’un état cohérent intriqué
48
3.3.5 Conclusion
[144, 186–192]. Concernant la quantification du degré d’intrication des états cohérents intriqués, Il existe plusieurs façons pour l’étudier. On trouve des mesures basées sur les statistiques
gaussiennes. Dans ce cas, on se base sur les propriétés de covariance pour quantifier le degré
d’intrication [193].
L’intrication est étudiée pour diverses formes des états cohérents intriqués. On cite par exemple
des états cohérents intriqués de type Greenberger-Horne-Zeilinger [144, 188, 194] et ceux de type
W [194–196].
L’effet de la décohérence sur l’intrication et la non-localité est également un sujet de recherches
d’actualité pour tous les types d’états cohérents intriqués. Parmi ces études, on trouve, la robustesse ou la fragilité de l’intrication [197], la caractérisation de la téléportation probabiliste des
états cohérents intriqués via un canal quantique dans un système ouvert [176]. La dynamique
de la décohérence non-Markovienne est importante pour les états cohérents intriqués. Dans ce
sens, An et al [198] ont été obtenu une équation d’évolution exacte avec et sans mémoire de
l’environnement.
3.5
Conclusion
Les états cohérents et les états cohérents intriqués présentent une richesse au niveau des
études de l’intrication dans des systèmes codant de l’information. Pour cela un intérêt considérable a été dévoué dans la littérature aux applications et aux généralisations des états cohérents.
Dans ce chapitre nous avons défini les états cohérents de Glauber et les états cohérents intriqués. La définition de l’état chat de Schrödinger est également considérée dans ce chapitre.
Nous avons donné également les expressions explicites des états cohérents de SU (2) et SU (1,
1). Aussi nous avons cité quelques résultats au niveau de la production et de l’application de
ce genre d’états.
49
Chapitre 3. Les états cohérents
50
Chapitre 4
Intrication et monogamie des états cohérents de
spin
4.1
Introduction
Au cours des dernières années, un effort considérable a été dévoué à l’identification et la
quantification des corrélations quantiques dans des états non orthogonaux (les états cohérents
de Glauber, les états cohérents SU (2) et SU (1, 1)). Cette attention particulière est motivée
par la possibilité d’encoder l’information quantique avec des variables continues [199]. Dans ce
sens, de nombreux travaux ont porté sur l’étude du rôle des états non orthogonaux dans le
domaine de la cryptographie quantique [200] et du traitement quantique de l’information [145].
Par exemple, les états cohérents pairs et impairs de Glauber (les états chat de Schrödinger (voir
chapitre 5)), peuvent être considérés comme des états de base d’un qubit logique [147, 201] et
fournissent un moyen pratique pour créer des systèmes quantiques utiles pour le traitement de
l’information quantique.
La structure des systèmes quantiques multipartites qui est un sujet complexe a suscité
beaucoup d’intérêt au cours de la dernière décennie [89]. L’ingrédient clé de l’approche présentée
dans ce chapitre, est l’étude des propriétés de factorisation des états cohérents SU (2) et aussi
l’étude des corrélations quantiques présentes dans ce type d’états. Les états cohérents pairs et
impairs de spin pourraient être considérés comme des superpositions de deux ou plusieurs soussystèmes de spin. L’idée d’examiner l’intrication dans une seule particule et des corrélations
quantiques entre ses degrés de liberté intrinsèques, a été discuté dans les travaux [202–204].
51
Chapitre 4. Intrication et monogamie des états cohérents de spin
Par conséquent, il est tout à fait naturel de considérer que un état cohérent pair ou impair
de spin-j- présente des corrélations quantiques entre ses parties intrinsèques résultant de la
décomposition en deux ou plusieurs sous-composantes. Dans ce cadre, on peut analyser les
propriétés des corrélations quantiques multipartites dans de nombreux systèmes de spin. La
meilleure façon d’aborder cette question est l’utilisation des mesures bipartites ( discorde et
entropie de formation).
Ce chapitre est organisé comme suit. Dans la section 2, nous rappelons quelques mesures
bipartites ( voir chapitre 2 aussi) : L’entropie de formation et la discorde quantique. Nous introduisons également la mesure de corrélations multipartites dans un système donné comme
étant la somme de toutes les corrélations bipartites possibles. Le paragraphe 3 est consacré
à définir les états cohérents de spin pair et impair. Dans le paragraphe 4, nous dérivons les
expressions explicites des corrélations quantiques contenues dans les états cohérents pairs et
impairs de spin. L’entropie de formation est aussi dérivée dans ce paragraphe. Dans le paragraphe 5 nous définissons les états cohérents de spin tripartite. La section 6 a pour objet de
dériver les expressions explicites de l’entropie de formation globale. De même, dans la section 7,
nous évaluons explicitement la discorde quantique globale dans les états cohérents de spin pairs
et impairs. Nous montrons que la somme des discordes quantiques bipartites coïncide avec la
somme des entropies de formation bipartites [205]. La monogamie de l’entropie de formation et
la monogamie de la discorde quantique sont discutées dans ce chapitre. Certains cas particuliers
pour corroborer notre analyse sont numériquement examinés.
4.2
Mesure des corrélations quantiques multipartites
Le concept de corrélation quantique pour les systèmes multipartites est intimement lié à
la structure mathématique de la mécanique quantique et c’est une conséquence directe du
caractère linéaire du produit tensoriel de l’espace de Hilbert [7, 206]. L’étude théorique des
corrélations quantiques, dans un système quantique multipartite est motivée par les récents
progrès expérimentaux en matière de création et de manipulation des systèmes de spins fortement corrélés qui fournissent des systèmes expérimentalement accessibles pour le traitement
quantique de l’information. En général, l’analyse des propriétés des corrélations quantiques dans
de nombreux systèmes de spin est difficile. La façon la plus simple d’aborder ce problème est
l’utilisation des mesures bipartites qui peuvent être calculées explicitement. Le but du présent
travail est de considérer les corrélations quantiques multipartites en utilisant deux mesures,
l’entropie quantique et la discorde quantique. Les définitions de chacune de ces deux mesures
52
4.4.2 Mesure des corrélations quantiques multipartites
ont été discutées dans le chapitre 2.
4.2.1
Corrélations quantiques bipartites
La discorde quantique est donnée par la formule
D(ρAB ) = I(ρAB ) − C(ρAB ) = S(ρA ) − S(ρAB ) + Semin .
(4.1)
L’évaluation explicite de la discorde quantique (4.1) nécessite le calcul analytique de Semin .
Cette quantité ne peut être explicitement calculée que pour quelques états quantiques bien
particuliers de deux qubits. Nous citons par exemple les résultats obtenus dans les références
[28, 41, 96, 99, 207, 208]. Dans la suite, nous nous concentrons principalement sur les états
quantiques de rang deux pour lesquels la minimisation de l’entropie conditionnelle peut être
exactement effectuée en utilisant la relation Koashi-Winter [209, 210]. Cette relation établit la
connexion entre la corrélation classique de ρAB et l’entropie de formation de ρBC (où C qubit
témoin).
Nous supposons que la matrice densité ρAB a deux valeurs propres (matrice de rang deux). Elle
se décompose comme
ρAB = λ+ |φ+ iAB hφ+ | + λ− |φ− iAB hφ− |,
(4.2)
λ+ et λ− sont les valeurs propres de ρAB et les états propres correspondants sont indiquées par
|φ+ iAB et |φ− iAB respectivement. La purification de l’état mixte de ρAB est réalisée par l’ajout
d’un qubit C au système à deux qubits A et B. On obtient l’état suivant
|φiABC =
q
λ+ |φ+ iAB ⊗ |0iC +
q
λ− |φ− iAB ⊗ |1iC .
L’ensemble du système ABC est décrit par la matrice densité pure ρABC = |φiABC hφ|. Dans ce
cas et d’après la relation Koachi-Winter [209], la valeur minimale de l’entropie conditionnelle
coïncide avec l’entropie de formation de ρBC
Semin = E(ρBC ),
(4.3)
avec
1 1q
E(ρBC ) = H( +
1 − |C(ρBC )|2 ),
(4.4)
2 2
où H(x) = −x log2 x − (1 − x) log2 (1 − x) est la fonction d’entropie binaire et C(ρBC ) c’est
la concurrence définie par (2.7)(voir chapitre 2). En utilisant les équations (4.1) et (4.4), la
53
Chapitre 4. Intrication et monogamie des états cohérents de spin
discorde quantique s’écrit
→
= SA − SAB + EBC .
DAB ≡ DAB
(4.5)
De la même manière, lorsque la mesure est effectuée sur le sous-système B, on trouve que la
discorde quantique est donnée par l’expression suivante :
←
DBA ≡ DAB
= SB − SAB + EAC .
(4.6)
Notons que pour une matrice densité pure ρAB , la discorde quantique est donnée par l’entropie
de formation E(ρAB ) (D(ρAB ) = E(ρAB )).
4.2.2
Corrélations quantiques multipartites
Pour un état tripartite arbitraire, les corrélations quantiques du système sont calculées en
tenant compte de toutes les partitions bipartites possibles. L’ensemble du système peut être
divisé de deux manières différentes. Dans la première bipartition, le système se divise en deux
sous-systèmes, l’un contenant une particule et l’autre comprenant les deux particules restantes.
La deuxième bipartition est obtenue en effectuant une trace sur les degrés de liberté du troisième
sous-système. Dans ce schéma, la quantité totale des corrélations quantiques est donnée par la
somme de toutes les corrélations quantiques bipartites possibles.
La mesure des corrélations dans les systèmes multipartites constitue un problème fondamental en physique quantique. Quelques tentatives pour fournir une façon précise de quantifier
et de caractériser les corrélations multipartites ont été discutées dans la littérature [30, 43, 211].
En particulier, Rulli et Sarandy [43] ont défini l a m esure m ultipartite d es c orrélations quantiques comme étant la valeur maximale des corrélations qui existent entre toutes bipartitions
quantiques possibles du système quantique multipartite. De la même manière, Z.H Ma et ses
collaborateurs [205] ont proposé une définition l égèrement d ifférente p our q uantifier la corrélation quantique multipartite globale. Elle est définie p ar l a s omme d e t outes l es corrélations
bipartite possibles. Dans ce travail, nous quantifions l es c orrélations q uantiques g lobales des
états cohérents de spin pair et impair. Pour un système tripartite des états cohérents de spin (
j1 , j2 , j3 ) avec j = j1 + j2 + j3 , la somme totale des corrélations quantiques est définie par
1
(Qj1 j2 + Qj2 j1 + Qj1 j3 + Qj3 j1 + Qj2 j3 + Qj3 j2
12
+ Qj1 (j2 j3 ) + Q(j2 j3 )j1 + Qj2 (j1 j3 ) + Q(j1 j3 )j2 + Qj3 (j1 j2 ) + Q(j1 j2 )j3 ).
Q(j1 , j2 , j3 ) =
(4.7)
Dans notre analyse, la mesure Q représente l’entropie de formation ou la discorde quantique
54
4.4.3 Etats cohérents pairs et impairs de spin
entropique. Dans ce cas, il est également important d’étudier la relation de monogamie (voir
chapitre 2) des corrélations quantiques dans les états cohérents de spin. Nous rappelons que la
relation de monogamie est donnée par l’inégalité suivante
QA|BC ≥ QA|B + QA|C .
(4.8)
QA|B désigne la corrélation Q partagé entre A et B, de même QA|C désigne la mesure de la
corrélation entre A et C et QA|BC est la corrélation partagée entre A et le système composite
BC. La mesure des corrélations Q est monogame si la valeur de QA|BC est plus grande que la
somme de QA|B et QA|C .
La monogamie de l’entropie de formation et de la discorde quantique des états cohérents tripartites de spin sera étudiée dans ce qui va suivre.
4.3
Etats cohérents pairs et impairs de spin
Les états cohérents pairs et impairs de spin sont définis par
|j, η, mi = Nm (|j, ηi + eimπ |j, −ηi),
(4.9)
où |j, ηi est donné par (3.20)(voir chapitre 3), avec
h
Nm = 2 + 2p2j cos mπ
i−1/2
.
Nm est le facteur de normalisation, et p désigne le recouvrement entre les états |ηi et | − ηi
p = hη| − ηi =
1 − η̄η
.
1 + η̄η
(4.10)
Pour j = 21 , les états cohérents pairs et impairs coïncident avec les états de spin up et down
| ↑i et | ↓i respectivement. Ils peuvent être identifiés avec les états de base d’un qubit logique
comme |0i → | ↑i et |1i → | ↓i. Ce raisonnement peut être étendu à des valeurs de spin
plus élevées et fournit un schéma pour coder de l’information dans des superpositions d’états
cohérents de spin arbitraires, en particulier les états pairs et impairs. En effet, les états |j, η, 0i
et |j, η, 1i peuvent définir une base orthogonale à deux dimensions et donner un premier schéma
de codage possible. Ainsi, on peut identifier l’état pair |j, η, 0i et l’état impair |j, η, 1i comme
base d’un qubit logique avec
|j, η, 0i −→ |0ij
|j, η, 1i −→ |1ij .
55
Chapitre 4. Intrication et monogamie des états cohérents de spin
Les états (4.9) peuvent également exprimés sous la forme
|j, η, mi = Nm (|j1 , ηi ⊗ |j2 , ηi + eimπ |j1 , −ηi ⊗ |j2 , −ηi),
(4.11)
avec j = j1 + j2 . Nous pouvons réécrire (4.11) en tant que deux états du qubit dans la base
(|0iji , |1iji ), sont définis par les moyens des états pairs et impairs de spin associés aux moments
angulaires j1 et j2
|ji , η, 0i −→ |0iji
|ji , η, 1i −→ |1iji ,
i = 1, 2.
Cette construction peut être étendue à trois qubits et plus. Dans le même sens, l’état |j, η, mi
peut être considéré comme un état cohérent fermionique multipartite :
|j, η, mi = Nm ((|ηi)⊗2j + eimπ (| − ηi)⊗2j ).
(4.12)
A partir des qubits logiques |j, η, 0i et |j, η, 1i et dans la limite asymptotique p → 0, l’état
(4.12) donne un état de Greenberger-Horne-Zeilinger multipartite (GHZ). Dans ce cas, les états
|ηi et | − ηi peuvent être définis par |0i ≡ |ηi et |1i ≡ | − ηi, et l’état |j, η, mi devient de type
GHZ
1
|j, η, mi ∼ |GHZi2j = √ (|0i ⊗ |0i ⊗ · · · ⊗ |0i + eimπ |1i ⊗ |1i ⊗ · · · ⊗ |1i).
2
(4.13)
Le deuxième cas limite correspond à la situation où p → 1. Dans ce cas, il est facile de vérifier
que l’état |j, η, m = 0 (mod 2)i (4.12) se réduit à
|j, 0, 0 (mod 2)i ∼ | ↓i ⊗ | ↓i ⊗ · · · ⊗ | ↓i,
(4.14)
et l’état |j, η, 1 (mod 2)i devient un état multipartite de type W [120]
1
|j, 0, 1 (mod 2)i ∼ |Wi2j = √ (| ↑i⊗| ↓i⊗· · ·⊗| ↓i+| ↓i⊗| ↑i⊗. . .⊗| ↓i+· · ·+| ↓i⊗| ↓i⊗· · ·⊗| ↑i) .
2j
(4.15)
La propriété de décomposition 1
|j1 , ηi ⊗ |j2 , ηi = (Dj1 ⊗ Dj2 ) (|j1 , j1 i ⊗ |j2 , j2 i) = Dj1 +j2 |j1 + j2 , j1 + j2 i = |j1 + j2 , ηi, (4.16)
1
Il est important de noter que le produit tensoriel des états cohérents de SU (2) |j1 , ηi et |j2 , ηi conduit à
l’état cohérent de spin-(j1 + j2 )
56
4.4.4 Corrélations quantiques bipartites des états cohérents de spin SU (2)
montre que les états cohérents pairs et impairs de spin peuvent être considérés comme des
sous-systèmes associés à différents spins.
4.4
Corrélations quantiques bipartites des états cohérents de spin SU (2)
Dans ce paragraphe nous discutons la décomposition bipartite donnée par l’équation (4.11).
Dans ce cas, l’ensemble du système contient deux sous-systèmes caractérisés par les moments
angulaires j1 et j2 avec j = j1 + j2 . Par conséquent, il existe (2j − 1) partitions bipartites
possibles tel que
s
s
j1 = j −
j2 =
s = 1, 2, · · · , 2j − 2, 2j − 1.
2
2
Il est intéressant de comparer les corrélations quantiques bipartites dans chaque fractionnement bipartite possible. Pour chaque bipartition s, l’état cohérent |j, η, mi peut être exprimé
comme un état de deux qubits logiques. Ainsi, pour chaque sous-système, une base orthogonale
{|0il , |1il }, avec l = j1 ou j2 , est définie par
|l, ηi + |l, −ηi
|0il = q
2(1 + p2l )
|l, ηi − |l, −ηi
|1il = q
.
2(1 − p2l )
(4.17)
La matrice densité ρ = |j, η, mihj, η, m| est pure. Dans cette situation, la discorde quantique
pour l’état pur ρAB coïncide avec l’intrication de formation. Elle est donnée par l’entropie de
von Neumann du sous-système caractérisé par le spin j1
D(ρ) = E(ρ) = S(ρj1 ),
ρj1 = Trj2 (ρ).
(4.18)
En terme des valeurs propres λ± de la matrice densité réduite ρj1 , la discorde quantique est
donnée par
D(ρ) = −λ+ log2 λ+ − λ− log2 λ−
(4.19)
avec
√
1
1 ± 1 − C2 .
λ± =
2
!
(4.20)
C est la concurrence entre les deux sous-systèmes. Elle est donnée par
√
C=
√
1 − p4j1 1 − p4j2
1 + p2j cos mπ
(4.21)
57
Chapitre 4. Intrication et monogamie des états cohérents de spin
qui est simplement obtenue en utilisant la correspondance (4.17). Il en résulte que l’entropie de
formation entre le sous-système j1 d’une part et le sous-système j2 d’autre part est donnée par
!
Ej1 ,j2
1 1 p2j1 + p2j2 cos mπ
+
.
≡ E(ρ) = H
2 2 1 + p2j cos mπ
(4.22)
Notons que l’entropie de formation par échange des spins j1 et j2 est symétrique
Ej1 ,j2 = Ej2 ,j1 .
(4.23)
Nous remarquons que pour p → 0 l’état (4.11) se réduit à un état bipartite de type GHZ qui
est maximalement intriqué (C = 1) et l’entropie de formation est E(ρ) = 1. Le cas limite p → 1
est légèrement différent. En effet, nous avons E(ρ) = 0 pour m pair. Les états cohérents de spin
impair deviennent de type |W i quand p → 1 et la concurrence (4.21) se réecrit
√
C=2
j1 j2
.
j1 + j2
Il en résulte que la discorde quantique bipartite prend la forme suivante
!
1 1 j1 − j2
E(ρ) = D(ρ) = H
+
.
2 2 j1 + j2
L’entropie de formation dans les états |W i est maximale quand j1 = j2 (E(ρ) = 1). En revanche,
dans un schéma de splitting (décomposition) où j2 j1 ou j1 j2 , les états de type |W i sont
non intriqués (E(ρ) = 0).
Pour illustrer les résultats ci-dessus, nous considérons les états cohérents pairs et impairs pour
le spin j = 2. Les trois schémas de décomposition bipartites possibles sont
1
1
3
3
(j1 = , j2 = ) (j1 = 1, j2 = 1) (j1 = , j2 = ).
2
2
2
2
En utilisant les relations (4.22) et (4.23), on trouve
E3,1 = E1,3
2 2
et
E1,1
58
2 2
1 p p2 + cos mπ
=H
+
2 2 1 + p4 cos mπ
1 p2 1 + cos mπ
=H
+
2
2 1 + p4 cos mπ
!
(4.24)
!
(4.25)
4.4.4 Corrélations quantiques bipartites des états cohérents de spin SU (2)
Figure 4.1 – Entropie de formation E = Ej1 ,j2 en fonction de p lorsque (j1 = 23 , j2 = 12 ) et (j1 = 1, j2 = 1)
pour m = 0 .
Figure 4.2 – Entropie de formation E = Ej1 ,j2 en fonction de p lorsque (j1 = 23 , j2 = 12 ) et (j1 = 1, j2 = 1)
pour m = 1 .
Le comportement des entropies de formations E 3 , 1 et E1,1 en fonction de p est représenté sur
2 2
les figures 4 .1 e t 4 .2 r espectivement p our m = 0 e t m = 1 ( les é tats c ohérents p airs e t impairs
de spin). Comme on le voit sur les figures, d ans l es d eux c as, l ’entropie d e f ormation d ans le
schéma de décomposition 2 −→ (1, 1) est plus grande que celle qui existe entre les sous-systèmes
de spin résultant de la décomposition 2 −→ ( 3 , 12 ) pour chaque valeur de p. En général, pour
2
un spin j donné, la valeur maximale de l’entropie de la formation Ej1 ,j2 est obtenue dans la
bipartition où j1 = j2 = j . Dans la figure 4.2 relative aux états cohérents impairs de spin, nous
2
avons E1,1 = 1. Ce résultat peut être vérifié à partir de l’expression (4.25).
59
Chapitre 4. Intrication et monogamie des états cohérents de spin
4.5
Etat cohérent de spin tripartites
De manière analogue au cas bipartite, nous considérons dans cette section la décomposition
tripartite des états cohérents pairs et impairs (4.9). L’ensemble du système se désintègre en
trois sous-systèmes, le premier décrivant une particule de spin j1 , le deuxième se réfère à une
particule de spin j2 et la troisième particule restante est de spin j3 = j − j1 − j2 . Dans ce
schéma, l’état |j, η, mi est exprimé par
|j, η, mi = Nm (|j1 , ηi ⊗ |j2 , ηi ⊗ |j3 , ηi + eimπ |j1 , −ηi ⊗ |j2 , −ηi ⊗ |j3 , −ηi).
(4.26)
Pour évaluer les corrélations quantiques bipartites dans l’état cohérent (4.26), deux schémas
différents sont considérés. Le premier c’est le schéma des états bipartites purs et le second c’est
celui qui utilise des états mixtes de deux qubits.
4.5.1
Etats purs bipartites
Les bi-partitions pures de l’état (4.26) peuvent être introduites par trois manières différentes.
Dans la première, l’état |j, η, mi est écrit comme
|j, η, mij1 |j−j1 = Nm (|j1 , ηi ⊗ |j − j1 , ηi + eimπ |j1 , −ηi ⊗ |j − j1 , −ηi).
(4.27)
De la même façon, la deuxième bipartition est exprimée par
|j, η, mij2 |j−j2 = Nm (|j2 , ηi ⊗ |j − j2 , ηi + eimπ |j2 , −ηi ⊗ |j − j2 , −ηi).
(4.28)
Finalement la troisième est donnée par
|j, η, mij3 |j−j3 = Nm (|j3 , ηi ⊗ |j − j3 , ηi + eimπ |j3 , −ηi ⊗ |j − j3 , −ηi).
(4.29)
Pour chaque bipartition l’état |j, η, mi peut être converti en un état de deux qubits logiques. Ce
résultat est obtenu en introduisant, par le premier sous-système la base orthogonale {|0il , |1il }
avec :
|l, ηi − |l, −ηi
|l, ηi + |l, −ηi
|1il = q
,
(4.30)
|0il = q
2(1 + p2l )
2(1 − p2l )
60
4.4.5 Etat cohérent de spin tripartites
où l = j1 , j2 ou j3 . Pour le deuxième sous-système, la base orthogonale {|0ij−l , |1ij−l } est donnée
par
|j − l, ηi − |j − l, −ηi
|j − l, ηi + |j − l, −ηi
q
q
|0ij−l =
|1ij−l =
.
(4.31)
2(1 + p2(j−l) )
2(1 − p2(j−l) )
En reportant les équations (5.4) et (5.5) dans (4.27), (4.28) et (4.29), on trouve l’expression de
l’état pur |j, η, mil|j−l dans la base {|0il ⊗ |0ij−l , |0il ⊗ |1ij−l , |1il ⊗ |0ij−l , |1il ⊗ |1ij−l } :
X
|j, η, mil|j−l =
X
Cα,β |αil ⊗ |βij−l ,
(4.32)
α=0,1 β=0,1
les coefficients de Cα,β sont donnés par
C0,0 = Nm (1 + eimπ )al aj−l ,
C0,1 = Nm (1 − eimπ )al bj−l
C1,0 = Nm (1 − eimπ )aj−l bl ,
C1,1 = Nm (1 + eimπ )bl bj−l .
et
s
ak =
1 + p2k
,
2
s
bk =
1 − p2k
2
pour k = l, j − l.
Le facteur de recouvrement p (l’overlap p) est lié à la non-orthogonalité des deux états cohérents
de spin d’amplitude égale et de phase opposée.
4.5.2
Etats mixtes bipartites
La seconde classe d’états bipartites s’obtient à partir de l’état (4.26), en considérant la
matrice densité réduite ρl1 l2 qui est obtenue lorsque nous effectuons la trace sur le degré de
liberté du troisième sous-système. Il existe trois matrices de densité différentes ρj1 j2 , ρj2 j3 et
ρj1 j3 . Sous une forme compacte, la matrice densité réduite ρl1 l2 est donnée par l’expression
explicite suivante
ρl1 l2 = Trl3 (|j, η, mihj, η, m|)
(4.33)
2
= Nm
(|η, η)(η, η| + | − η, −η)(−η, −η| + eimπ q| − η, −η)(η, η| + e−imπ q|η, η)(−η, −η|)
avec q ≡ p2(j−l1 −l2 ) = p2l3 et | ± η, ±η) = |l1 , ±ηi ⊗ |l2 , ±ηi.
Il est intéressant de noter que la matrice de densité ρl1 l2 est un opérateur de rang deux. En
61
Chapitre 4. Intrication et monogamie des états cohérents de spin
effet, on peut réécrire la matrice densité (4.34) comme
2
N2
1
Nm
1
|φ
ihφ
|
+
(1
−
q)
|φ− i, hφ− |
ρl1 l2 = (1 + q) m
+
+
2
2
2
N+
2
N−
avec
|φ± i = N± (|l1 , ηi ⊗ |l2 , ηi ± eimπ |l1 , −ηi ⊗ |l2 , −ηi),
et
2
= 2 ± 2p2(l1 +l2 ) cos mπ.
N±
La matrice densité ρl1 l2 peut être également convertie en un système à deux qubits logiques.
Pour cela, nous introduisons la base orthogonale
|l, ηi + |l, −ηi
|0il = q
2(1 + p2l )
|l, ηi − |l, −ηi
|1il = q
.
2(1 − p2l )
(4.34)
où l = l1 pour le premier sous-système et l = l2 pour le deuxième. En insérant (4.34) dans
(4.34), on obtient la matrice densité ρl1 l2 dans la base {|0l1 , 0l2 i, |0l1 , 1l2 i, |1l1 , 0l2 i, |1l1 , 1l2 i}
2a21 a22 (1+q cos mπ)
0
0
2a1 b1 a2 b2 (1+q cos mπ)
2 b2 (1−q cos mπ)
0
2a
2a
b
a
b
(1−q
cos
mπ)
0


1
1
2
2
1 2
N2 

0
2a1 b1 a2 b2 (1−q cos mπ) 2a22 b21 (1−q cos mπ)
0
2
2
2a1 b1 a2 b2 (1+q cos mπ)
0
0
2b1 b2 (1+q cos mπ)

ρl1 l2 =

(4.35)
les quantités a1 , b1 , a2 , b2 sont définies par
s
ai =
4.6
1 + p2li
,
2
s
bi =
1 − p2li
2
pour i = 1, 2.
Entropie de formation
En utilisant la définition (4.7) et en remplaçant la quantité Q par l’entropie de formation
E, la corrélation quantique est donnée par l’expression :
1
E(j1 , j2 , j3 ) = (E(ρj1 j2 ) + E(ρj1 j3 ) + E(ρj2 j3 ) + E(ρj1 |j2 j3 ) + E(ρj2 |j1 j3 ) + E(ρj3 |j1 j2 )).
6
Le calcul de cette dernière quantité requiert l’évaluation de chacun des six termes qui apparaissent dans cette dernière formule.
62
4.4.6 Entropie de formation
4.6.1
Entropie de formation
Dans cette partie le degré d’intrication est quantifié par le calcul de l’entropie de formation. Pour le cas de l’état pur (5.3), nous calculons les expressions de concurrences de chaque
bipartition pure. Dans ce cas la concurrence est donnée par
q
q
C(ρk1 |k2 k3 ) =
1 − p4k1 1 − p4(j−k1 )
.
1 + p2j cos mπ
(4.36)
Le triplet (k1 , k2 , k3 ) dénote (j1 , j2 , j3 ) , (j2 , j1 , j3 ) et (j3 , j1 , j2 ) respectivement (voir(4.27), (4.28)
et (4.29)). Par conséquent l’entropie de formation est donnée par la relation suivante
!
1 1 p2k1 + p2(j−k1 ) cos mπ
E(ρk1 |k2 k3 ) = H
+
.
2 2
1 + p2j cos mπ
(4.37)
Pour les états bipartites mixtes appartenant à la seconde classe de bipartitions (4.34), la concurrence est donnée par
q
(1 − p4l1 )(1 − p4l2 )
,
C(ρl1 l2 ) = p2(j−l1 −l2 )
1 + p2j cos mπ
où la matrice densité réduite ρl1 l2 dénote les états ρj1 j2 , ρj2 j3 et ρj1 j3 .L’entropie de formation
est exprimée par
E(ρl1 l2 ) = H
4.6.2
v
!
u
4(j−l1 −l2 ) (1 − p4l1 )(1 − p4l2 )
p
1 1u
+ t1 −
.
2j
2
2
2
(1 + p cos mπ)
(4.38)
Entropie de formation globale
Nous utilisons les expressions (4.37) et (4.38) pour trouver l’expression de corrélations quantiques multipartites E(j1 , j2 , j3 ) . L’entropie de formation totale est donc donnée par
"
E(j1 , j2 , j3 ) =
1
1 1p
H
+
6
2 2
+ H
+ H
2j1
2(j2 +j3 )
+p
cos mπ
2j
1 + p cos mπ
1 1 p2j2 + p2(j1 +j3 ) cos mπ
+
2 2
1 + p2j cos mπ
!
1 1 p2j3 + p2(j1 +j2 ) cos mπ
+
2 2
1 + p2j cos mπ
!
!
+H
v
!
u
4j1 (1 − p4j2 )(1 − p4j3 )
1 1u
p
+ t1 −
2j
2
2
2
(1 + p cos mπ)
+H
v
!
u
4j2 (1 − p4j1 )(1 − p4j3 )
1 1u
p
+ t1 −
2j
2
+H
v
!#
u
4j3 (1 − p4j1 )(1 − p4j2 )
1 1u
p
+ t1 −
,
2j
2
2
2
2
2
(1 + p cos mπ)
(1 + p cos mπ)
(4.39)
63
Chapitre 4. Intrication et monogamie des états cohérents de spin
qui est complètement symétrique par échange des spins j1 , j2 et j3 . Le comportement de cette
quantité dans certains cas particuliers sera étudié dans ce qui va suivre.
4.6.3
Monogamie de l’entropie de formation
La distribution des corrélations quantiques dans un système multipartite constitue une
question majeure ( voir chapitre 2). Dans ce qui suit, nous étudions la monogamie de l’entropie
de formation d’un état cohérent tripartite de spin. Pour cela, nous analysons les conditions sous
lesquelles l’inégalité suivante est satisfaite ou violée :
E(ρl1 l2 ) + E(ρl1 l3 ) ≤ E(ρl1 |l2 l3 ).
(4.40)
Il est difficile de traiter cette question dans le cas général. A cet égard, nous traitons certains
cas particuliers. Nous commençons par la décomposition j1 = j2 = j3 = 21 qui est associée au
spin j = (3/2). La monogamie de l’entropie de formation est étudiée en analysant le signe de
la quantité suivante
∆E = E(ρj1 |j2 j3 ) − E(ρj1 j2 ) − E(ρj1 j2 ).
(4.41)
Les états cohérents pairs et impairs de spin sont analysés dans la figure 4.3. Ils montrent que la
relation de monogamie dans le cas pair (m = 0) de l’entropie de formation est toujours satisfaite.
Elle cesse d’être monogame dans le cas impair (m = 1) lorsque le facteur de recouvrement p
est supérieur à 0, 8. Cela indique également que la relation de monogamie est violée dans trois
états du qubit de type W obtenus dans le cas limite où p −→ 1.
Figure 4.3 – La fonction ∆E en fonction de p lorsque j1 = j2 = j3 =
64
1
2
pour m = 0 et m = 1.
4.4.6 Entropie de formation
Figure 4.4 – La fonction ∆E en fonction de p lorsque (j1 = 12 , j2 = 12 , j3 = 1) et (j1 = 1, j2 = 12 , j3 = 12 )
pour m = 0.
Figure 4.5 – La fonction ∆E en fonction de p lorsque (j1 = 12 , j2 = 12 , j3 = 1) et (j1 = 1, j2 = 12 , j3 = 12 )
pour m = 1.
De même, nous avons étudié les deux cas (j1 = 21 , j2 = 12 , j3 = 1) et (j1 = 1, j2 = 12 , j3 = 12 ),
qui proviennent de la décomposition du spin j = 2 ( voir les figures 4.4 et 4.5).
La figure 4.4 révèle que la relation de monogamie est satisfaite, pour un état cohérent de
spin pair (m = 0). Toutefois, pour un état cohérent impair de spin (m = 1) (voir figure 4.5),
l’intrication de la formation n’est pas monogame lorsque p tend vers 1. Ce résultat est en accord
avec le résultat de la figure 4.3 et confirme que dans un état W de trois qubits, la monogamie
de l’entropie de formation est violée.
65
Chapitre 4. Intrication et monogamie des états cohérents de spin
4.7
Discorde quantique des états cohérents de spin
4.7.1
Discorde quantique
Dans le cas des bipartitions pures données par (4.27), (4.28) et (4.29), les mesures de la
discorde quantique et de l’entropie de formation sont identique et nous avons
D(ρj1 |j2 j3 ) = E(ρj1 |j2 j3 )
D(ρj2 |j1 j3 ) = E(ρj2 |j1 j3 )
D(ρj3 |j1 j2 ) = E(ρj1 |j1 j2 ).
(4.42)
Pour obtenir les expressions de la discorde quantique de la matrice densité ρl1 l2 (4.35), nous
évaluons l’entropie d’information mutuelle et le minimum de l’entropie conditionnelle selon
l’algorithme général discuté dans le chapitre 2. Les valeurs propres non nulles de la matrice
densité ρl1 l2 sont données par
λ± =
1 (1 ± p2(j−l1 −l2 ) )(1 ± p2(l1 +l2 ) cos(mπ))
,
2
1 + p2j cos(mπ)
(4.43)
et l’entropie conjointe prend la forme
S(ρl1 l2 ) = h(λ+ ) + h(λ− ) = H(λ+ ).
(4.44)
Les valeurs propres de ρl1 = Trl2 ρl1 l2 sont
1 (1 + p2(j−l1 ) )(1 + p2l1 cos(mπ))
,
2
1 + p2j cos(mπ)
1 (1 − p2(j−l1 ) )(1 − p2l1 cos(mπ))
=
,
2
1 + p2j cos(mπ)
λ1,+ =
λ1,−
l’entropie correspondant est donc donnée par l’expression :
S(ρl1 ) = h(λ1,+ ) + h(λ1,− ) = H(λ1,+ ).
Les valeurs propres de ρl2 = Trl1 ρl1 l2 sont
1 (1 + p2(j−l2 ) )(1 + p2l2 cos(mπ))
,
2
1 + p2j cos(mπ)
1 (1 − p2(j−l2 ) )(1 − p2l2 cos(mπ))
=
2
1 + p2j cos(mπ)
λ2,+ =
λ2,−
66
(4.45)
4.4.7 Discorde quantique des états cohérents de spin
et nous avons
S(ρl2 ) = h(λ2,+ ) + h(λ2,− ) = H(λ2,+ ).
(4.46)
Il en résulte que l’information mutuelle s’écrit
I(ρl1 l2 ) = H(λ1,+ ) + H(λ2,+ ) − H(λ+ ).
(4.47)
L’étape la plus importante dans le calcul de l’entropie conditionnelle minimale Smin (voir chapitre 2), consiste à purifier la matrice densité ρl1 l2 et déterminer l’entropie de formation de son
complément. Cet algorithme peut être réalisé comme suit. La matrice ρl1 l2 est reécrite comme
ρl1 l2 = λ+ |φ+ ihφ+ | + λ− |φ− ihφ− |
avec λ+ et λ− sont donnés par(4.43) et les vecteurs propres |φ+ i et |φ− i sont
q
|φ+ i =
q
2(1 + pl1 +l2 )
q
|φ− i =
(1 + pl1 )(1 + pl2 )
(1 + pl1 )(1 − pl2 )
q
2(1(−pl1 +l2 )
q
|0l1 , 0l2 i +
(1 − pl1 )(1 − pl2 )
q
2(1 + pl1 +l2 )
q
|0l1 , 1l2 i +
(1 − pl1 )(1 + pl2 )
q
2(1 − pl1 +l2 )
|1l1 , 1l2 i
|1l1 , 0l2 i
La purification de ρl1 l2 est donnée par
|φi =
q
λ+ |φ+ i ⊗ |0i +
q
λ− |φ− i ⊗ |1i
de sorte que l’ensemble du système (123) est décrit par la matrice densité pure ρl1 l2 3 = |φihφ|.
En utilisant la relation de Koashi-Winter (4.4), on trouve
Se
min
1 1q
1 − |C(ρ23 )|2 )
= E(ρ23 ) = H( +
2 2
(4.48)
où la concurrence de la matrice densité ρ23 ≡ ρl2 3 est
|C(ρl2 3 )|2 =
p4l1 (1 − p4l2 )(1 − p4(j−l1 −l2 ) )
.
(1 + p2j cos mπ)2
Il en résulte que la discorde quantique est donnée par :
D(ρl1 l2 ) = S(ρl1 ) − S(ρl1 l2 ) + E(ρl2 3 ).
67
Chapitre 4. Intrication et monogamie des états cohérents de spin
En utilisant les équations (4.44), (4.45) et (4.48), on trouve que
1 (1 + p2l1 )(1 + p2(j−l1 ) cos(mπ))
D (ρl1 l2 ) = H
2
1 + p2j cos(mπ)
!
→
1 (1 + p2(j−l1 −l2 ) )(1 + p2(l1 +l2 ) cos(mπ))
− H
2
1 + p2j cos(mπ)
v
u
!
(4.49)
!
1 1u
p4l1 (1 − p4l2 )(1 − p4(j−l1 −l2 ) )
+ H
+ t1 −
,
2 2
(1 + p2j cos mπ)2
où le couple (l1 , l2 ) dénote (j1 , j2 ), (j1 , j3 ) et (j2 , j3 ). Losque la mesure est effectée sur le qubit
B ≡ l2 , la discorde quantique obtenue sera exprimée par la relation suivante :
1 (1 + p2l2 )(1 + p2(j−l2 ) cos(mπ))
D (ρl1 l2 ) = H
2
1 + p2j cos(mπ)
!
←
1 (1 + p2(j−l1 −l2 ) )(1 + p2(l1 +l2 ) cos(mπ))
− H
2
1 + p2j cos(mπ)
+ H
!
(4.50)
v
!
u
4l2 (1 − p4l1 )(1 − p4(j−l1 −l2 ) )
1u
p
t1 −
.
1
+
2 2
(1 + p2j cos mπ)2
Il est intéressant de noter que
D→ (ρl1 l2 ) = D← (ρl2 l1 ).
Il est clair que pour l1 = l2 , la discorde quantique est symérique (D→ (ρll ) = D← (ρll )). De plus,
on obtient les relations de conservations suivantes :
D→ (ρj1 j2 ) + D→ (ρj3 j2 ) = Ej2 j3 + Ej2 j1 ,
D→ (ρj2 j1 ) + D→ (ρj3 j1 ) = Ej1 j3 + Ej1 j2 ,
(4.51)
D→ (ρj1 j3 ) + D→ (ρj2 j3 ) = Ej3 j2 + Ej3 j1 .
Les relations de conservations similaires pour la mesure de discorde quantique D← (ρl2 l1 ) sont
dérivées à partir de l’expression (4.50). En utilisant les relations de conservation données par
(4.51), on obtient
D→ (ρj1 j2 ) + D→ (ρj2 j3 ) + D→ (ρj3 j1 ) = Ej1 j2 + Ej1 j3 + Ej2 j3 .
Cela reflète que la somme des discordes quantiques bipartites pour tous les états mixtes bipartites coïncide avec la somme de l’entropie de formation.
68
4.4.7 Discorde quantique des états cohérents de spin
4.7.2
Les corrélations quantiques multipartites
En se basant sur la définition asymétrique de la discorde quantique, deux quantités intéressantes ont été définies par Fanchini [212]
∆+
l1 |l2 =
1 →
D (ρl1 l2 ) + D→ (ρl2 l1 ) ,
2
∆−
l1 |l2 =
1 →
D (ρl1 l2 ) − D→ (ρl2 l1 ) .
2
et
Lorsque les mesures sont effectuées sur des sous-systèmes l1 et l2 , la somme ∆+
l1 |l2 représente
la moyenne de l’information locale inaccessible. Elle quantifie la perturbation causée par toute
mesure locale. La différence ∆−
l1 |l2 quantifie l’asymétrie entre les sous-systèmes vis à vis des
perturbations causées par la mesure. En utilisant l’équation (4.49), il est facile de vérifier que
la moyenne de la discorde quantique satisfait les identités suivantes
+
+
∆+
j1 |j2 + ∆j1 |j3 + ∆j2 |j3 = Ej1 j2 + Ej1 j3 + Ej2 j3 ,
et
−
−
∆−
j1 |j2 + ∆j1 |j3 + ∆j2 |j3 = 0.
Il est intéressant de noter que la somme totale de la discorde quantique dans l’état (4.26) s’écrit
simplement en termes de la moyenne des informations locales inaccessibles(5.23). En effet, on
a la relation
!
1
+
+
+
+
+
∆+
D(j1 , j2 , j3 ) =
j1 |j2 + ∆j1 |j3 + ∆j2 |j3 + ∆j1 |(j2 j3 ) + ∆j2 |(j1 j3 ) + ∆j3 |(j1 j2 ) .
6
La quantité ∆+
k1 |(k2 k3 ) coïncide avec l’intrication de formation E(ρk1 |k2 k3 ) donnée par (4.37). En
utilisant la relation de conservation (4.51), nous obtenons
D(j1 , j2 , j3 ) = E(j1 , j2 , j3 )
(4.52)
où E(j1 , j2 , j3 ) est donnée par (4.39). Ce résultat coïncide avec celui obtenu dans [205]. Il reflète
le fait que la somme des discordes quantiques existant dans toutes les bipartitions possibles est
exactement la somme des entropies de formation bipartites dans l’ensemble du système. A partir
d’un état cohérent de spin-j il y a plusieurs possibilités de fractionnement tripartites notées
par (j1 , j2 , j3 ) telle que j1 + j2 + j3 = j. Il est donc naturel de comparer la somme totale des
69
Chapitre 4. Intrication et monogamie des états cohérents de spin
corrélations multipartites dans chaque schéma de décomposition du spin.
La figure 4.6 représente les corrélations quantiques multipartites pour j = 3 en fonction de p
pour m = 0. Si j = 3, on trouve trois schémas de décomposition que sont (j1 = 1, j2 = 1, j3 = 1)
, (j1 = 12 , j2 = 21 , j3 = 2) et (j1 = 12 , j2 = 1, j3 = 32 ). Dans la figure 4.7, nous traçons la quantité
D(j1 , j2 , j3 ) en fonction de p pour m = 1.
D’après les figures 4.6 et 4.7, on peut voir que les discordes quantiques tripartites D(j1 =
Figure 4.6 – Les corrélations quantiques multipartites pour j = 3 en fonction de p pour m = 0.
Figure 4.7 – Les corrélations quantiques multipartites pour j = 3 en fonction de p pour m = 1.
1, j2 = 1, j3 = 1), D(j1 = 21 , j2 = 12 , j3 = 2) et D(j1 = 21 , j2 = 1, j3 = 23 ) sont égales pour
p ' 0.5. Si p ≤ 0.5, la somme des discordes bipartites obtenue dans le schéma de décomposition
70
4.4.7 Discorde quantique des états cohérents de spin
(j = 3) −→ (j1 = 1, j2 = 1, j3 = 1) est minimale en comparaison avec les deux autres.
Ce comportement change lorsque p ≥ 0.5 et la quantité D(j1 = 1, j2 = 1, j3 = 1) devient
maximale. Pour les états cohérents de spin pair (m = 0), la mesure des corrélations quantiques
tripartites s’annule quand p −→ 1. Ce résultat peut être vérifier à partir des équations(4.39) et
(4.52).
4.7.3
Monogamie de la discorde quantique
Dans les états purs tripartites (4.26), la discorde quantique est monogame lorsque elle satisfait la condition suivante
D→ (ρj1 j2 ) + D→ (ρj1 j3 ) ≤ D→ (ρj1 |j2 j3 ).
(4.53)
Dans ce qui suit, nous allons discuter certains cas particuliers de spin pour déterminer le signe
de la fonction
∆D = D→ (ρj1 |j2 j3 ) − D→ (ρj1 j2 ) − D→ (ρj1 j3 ).
(4.54)
La fonction ∆D est représentée sur la figure 4.8 en foction de recouvrement p pour (j1 = 12 , j2 =
1
, j = 12 ).
2 3
Figure 4.8 – Laf onction∆D en fonction de p lorsque j1 = j2 = j3 =
1
2
pour m = 0 et m = 1.
Dans ce cas, la discorde quantique est monogame pour les états pairs. Cependant, pour les
états cohérents de spin impairs la relation de monogamie est satisfaite seulement lorsque p ≤ 0.8.
Nous considérons aussi les situations où (j1 = 1, j2 = 12 , j3 = 12 ), (j1 = 12 , j2 = 1, j3 = 12 ) et
(j1 = 12 , j2 = 12 , j3 = 1) associées au spin j = 2. Le comportement de la fonction (j1 =
71
Chapitre 4. Intrication et monogamie des états cohérents de spin
Figure 4.9 – La fonction ∆D en fonction de p lorsque (j1 = 1, j2 = 12 , j3 = 12 ) et (j1 = 12 , j2 = 12 , j3 = 1)
pour m = 0.
Figure 4.10 – La fonction ∆D en fonction de p lorsque (j1 = 1, j2 = 21 , j3 = 12 ) et (j1 = 12 , j2 = 12 , j3 = 1)
pour m = 1.
1, j2 = 12 , j3 = 12 ), (j1 = 12 , j2 = 1, j3 = 12 ) et (j1 = 12 , j2 = 12 , j3 = 1), pour les états cohérents
pairs (m = 0) est donné dans la figure 4.9. De toute évidence, la relation de monogamie est
satisfaite. La figure 4.10, qui représente la fonction ∆D pour le cas impair (m = 1), révèle que
la discorde quantique cesse d’être monogame lorsque p s’approche de l’unité. Remarquons que
sur les figures 4.9 et 4.10, nous avons ∆D( 12 , 1, 12 ) = ∆D( 12 , 12 , 1). Ce résultat peut être vérifier
analytiquement. Il est intéressant de noter que les comportements de ∆D par rapport à p sont
identiques à ceux obtenus pour ∆E dans la section précédente (figures 4.3, 4.4 et 4.5). Cela
est dû essentiellement aux relations de conservation entre la discorde quantique et l’entropie
72
4.4.8 Conclusion
de formation (4.51) [205]. Enfin, il est intéressant de noter que les états cohérents tripartites
impairs (m = 1) interpolent entre l’état de trois qubits de Greenberger-Horne-Zeilinger (GHZ3 )
lorsque p → 0 et l’état W3 lorsque p → 1. Il résulte de la figure 4.10 que l’état GHZ3 satisfait
la relation de monogamie et que l’état W3 viole cette inégalité.
4.8
Conclusion
Les corrélations quantiques (mesurés par l’entropie de formation ou la discorde quantique)
dans les superpositions des états cohérents de spin ont été discutées. Un accent particulier a
été porté sur les états cohérents de spin pair et impair. Nous avons défini la somme globale des
corrélations quantiques comme la somme de toutes les corrélations quantiques bipartites. Nous
avons considéré principalement les décompositions bipartites et tripartites des états cohérents
de spin. Nous avons aussi dérivé explicitement les expressions multipartites de l’entropie de
formation et de la discorde quantique pour les états cohérents de spin pair et impair. Nous
avons montré que la somme de l’entropie de formation bipartite de toutes les bipartitions
possibles coïncide avec la somme de la discorde quantique bipartite. Nous avons également
examiné la relation de monogamie de l’entropie de formation et de la discorde quantique.
Remarquablement, dans les cas les plus simples que nous avons examiné, ces deux mesures sont
monogames pour les états pairs, contrairement au cas impairs où la relation de monogamie est
violée lorsque le recouvrement p approche l’unité.
73
Chapitre 4. Intrication et monogamie des états cohérents de spin
74
Chapitre 5
Corrélation des états non-orthogonaux
tripartites et la relation de monogamie
5.1
Introduction
Dans les systèmes quantiques multipartites la quantification et la caractérisation des corrélations ont une grande importance dans le domaine de la théorie de l’information quantique.
Pour un état quantique bipartite, plusieurs mesures ont été introduites pour quantifier des
corrélations quantiques (voir chapitre 2). La caractérisation des corrélations dans les systèmes
quantiques multipartites rencontre des obstacles conceptuels [89] et ceci malgré les efforts considérables dédiés à ce sujet [213–216]. Dans ce sens plusieurs approches ont été proposées pour
quantifier les corrélations multipartites dans les systèmes quantiques [30, 43, 205].
Dans ce chapitre, nous étudions les corrélations quantiques globales dans les états non orthogonaux tripartites. La corrélation globale est la somme des corrélations pour toutes les bipartitions
possibles. Dans ce contexte et pour étudier ces corrélations, nous utilisons les mesures suivantes :
la concurrence, l’entropie de formation, la discorde quantique et la version géométrique de la
discorde quantique. Les états non-orthogonaux sont codés dans des états qubits que nous allons
définir. Cette réalisation est similaire à celle récemment utilisée dans l’analyse des propriétés
d’intrication bipartites dans les états cohérents bipartites [41, 96, 127, 138, 170] ( voir chapitre
4). Comme cas particulier des états non orthogonaux, nous étudions les états chat de Schrödinger, définis en terme des états cohérents de Glauber. Nous donnons aussi les expressions
explicites des corrélations tripartites. Finalement, nous discutons les limites de la relation de
75
Chapitre 5. Corrélation des états non-orthogonaux tripartites et la relation de
monogamie
monogamie pour les corrélations quantiques dans ce type d’états.
5.2
Etats tripartite non-orthogonaux
Les états non-orthogonaux jouent un rôle important dans le traitement quantique de l’information [217]. Parmi les états intriqués non orthogonaux, on trouve les superpositions des états
cohérents et comprimés. Dans ce paragraphe, nous nous intéressons aux états non-orthogonaux
basés sur les états cohérents de Glauber. Nous examinons l’état pur tripartite de trois soussystèmes dans l’espace de Hilbert H ⊗ H ⊗ H où H est engendré par l’ensemble des vecteurs
orthonormés {|en i : n = 1, 2, · · · , d}. La dimension d de l’espace de Hilbet H peut être fini ou
infini. Pour simplifier d’avantage notre propos, nous concentrons sur l’état intriqué tripartite
de la forme
|Ψ, mi = N(|ψ1 i ⊗ |ψ2 i ⊗ |ψ3 i + eimπ |φ1 i ⊗ |φ2 i ⊗ |φ3 i),
(5.1)
où m ∈ Z, |ψi i et |φi i sont les états normalisés des sous-systèmes i (i = 1, 2, 3). Dans l’équation
(5.1), le facteur de normalisation N est donné par :
h
N = 2 + 2p1 p2 p3 cos mπ
i−1/2
.
Nous supposons que les facteurs pi (i = 1, 2, 3), définis par pi = hψi |φi i sont des nombres réels.
Pour déterminer les expressions explicites des corrélations quantiques bipartites dans (5.1),
l’ensemble du système peut être partitionné de deux manières : des bipartitions pures ou mixtes.
Ces bipartitions fournissent un moyen simple pour calculer les corrélations quantiques bipartites
et par la suite, les corrélations quantiques totales dans les états non orthogonaux multipartites
( voire chapitre 4).
Pour commencer, nous considérons la décomposition bipartite pure du système tripartite (5.1)
où l’un des sous-systèmes contient une particule et l’autre contient les particules restantes. Dans
ce sens trois cas sont possibles. En effet, l’état |Ψ, mi peut être décomposé comme :
|Ψ, mi = N(|ψik ⊗ |ψiij + eimπ |φik ⊗ |φiij ),
où
|ψik = |ψk i,
|φik = |φk i
k = 1, 2 où 3,
et
|ψiij = |ψii ⊗ |ψij
76
i, j 6= k.
(5.2)
5.5.2 Etats tripartite non-orthogonaux
L’état pur de trois particules est donné par
|Ψ, mi =
X
X
Cα,β |αik ⊗ |βiij .
(5.3)
α=0,1 β=0,1
Pour obtenir |Ψ, mi dans la base {|0ik ⊗ |0iij , |0ik ⊗ |1iij , |1ik ⊗ |0iij , |1ik ⊗ |1iij } nous utilisons
la décomposition (5.2) et nous adoptons la démarche suivante : Pour le premier sous-système,
nous introduisons la base orthogonale {|0ik , |1ik }
|ψik + |φik
|0ik = q
2(1 + pk )
|ψik − |φik
|1ik = q
.
2(1 − pk )
(5.4)
Pour le deuxième sous-système (ij), nous introduisons la base orthogonale {|0iij , |1iij } qui est
définie par :
|ψiij − |φiij
|ψiij + |φiij
|1iij = q
.
(5.5)
|0iij = q
2(1 + pi pj )
2(1 − pi pj )
Les coefficients Cα,β dans l’équation (5.3) sont donnés par
+
C0,0 = N(1 + eimπ )c+
k cij ,
−
C0,1 = N(1 − eimπ )c+
k cij ,
−
C1,0 = N(1 − eimπ )c+
ij ck ,
−
C1,1 = N(1 + eimπ )c−
k cij ,
en terme de
s
c±
k
=
1 ± pk
2
s
c±
ij
=
1 ± pi pj
.
2
La seconde bipartition fait intervenir des états mixtes. Elle est obtenue en faisant la trace sur
l’un des particules du système. La matrice densité réduite est donnée par l’expression suivante :
ρij = Trk6=i,j (|Ψ, mihΨ, m|).
(5.6)
Les trois états mixtes bipartites obtenus dans ce schéma, sont notés par : ρ12 , ρ13 et ρ23 . La
forme compacte de ces matrices densité réduites est donnée par l’expression :
ρij = N2 (|ψi , ψj ihψi , ψj |+|φi , φj ihφi , φj |+eimπ qij |φi , φj ihψi , ψj |+e−imπ qij |ψi , ψj ihφi , φj |), (5.7)
avec qij ≡ p1 p2 p3 /pi pj . On peut réécrire la matrice densité (5.7) comme
N2
ρij = 2 a2ij |Ψij ihΨij | + b2ij Z|Ψij ihΨij |Z ,
Nij
"
#
(5.8)
77
Chapitre 5. Corrélation des états non-orthogonaux tripartites et la relation de
monogamie
avec Nij est le facteur de normalisation et l’expression de l’état bipartite |Ψij i est donné par :
|Ψij i = Nij (|ψi , ψj i + eimπ |φi , φj i).
L’opérateur Z dans (5.8) est défini comme
Z|Ψij i = Nij (|ψi , ψj i − eimπ |φi , φj i).
Les coefficients aij et bij , apparaissant dans (5.8), sont exprimés en termes des quantités qij
selon les expressions suivantes :
s
aij =
1 + qij
2
s
bij =
1 − qij
.
2
Pour représenter ρij dans la base orthogonale {|0i i, |1i i}, nous définissons, pour le sous-système
i les états |ψi i et |φi i
|ψi i ≡ ai |0i i + bi |1i i
|φi i ≡ ai |0i i − bi |1i i ,
(5.9)
et pour le sous-système j nous introduisons les états
|ψj i ≡ aj |0j i + bj |1j i
avec
s
ak =
1 + pk
2
|φj i ≡ aj |0j i − bj |1j i,
s
etbj =
1 − pk
2
k = i, j.
(5.10)
(5.11)
En insérant les équations (5.9) et (5.10) dans (5.7), il est simple de réexprimer la matrice densité
mixte (5.8) de rang deux dans la base de deux qubits {|0i 0j i, |0i 1j i, |1i 0j i, |1i 1j i}.
5.3
L’entropie de formation et la discorde quantique
Dans ce paragraphe nous utilisons les bipartitions des états non-orthogonaux tripartites
(5.2) et (5.6) pour calculer les corrélations quantiques qui sont définies en terme de l’entropie
de von-Neumann.
Dans le cas bipartite pur, l’entropie de formation coïncide avec la discorde quantique [218]
Ek(ij) = Dk(ij) .
78
(5.12)
5.5.3 L’entropie de formation et la discorde quantique
En utilisant la formule de concurrence de Wootters, nous trouvons l’expression suivante :
q
Ck(ij) =
(1 − p2k )(1 − p2i p2j )
1 + p1 p2 p3 cos mπ
(5.13)
.
Il en résulte que l’entropie de formation Ek(ij) vaut
!
Ek(ij)
1 1 pk + pi pj cos mπ
.
+
=H
2 2 1 + p1 p2 p3 cos mπ
(5.14)
Pour les états mixtes associés à la seconde partition (5.7), la concurrence (2.7) est donnée par
q
Cij = qij
(1 − p2i )(1 − p2j )
1 + p1 p2 p3 cos mπ
(5.15)
.
La discorde quantique dans les états mixtes ρij se calcule en utilisant la procédure d’optimisation
décrite dans le chapitre 2. Ainsi, lorsque la mesure est effectuée sur le sous-système i, la discorde
quantique est exprimée par :
→
Dij
= Si − Sij + Ejk ,
(5.16)
les trois quantités Si , Sij et Ejk de l’expression (5.16) sont données par les expressions :
– l’entropie de von Neumann de la matrice densité réduite ρi
!
1 (1 + pi )(1 + pj qij cos mπ)
,
Si = H
2
1 + p1 p2 p3 cos mπ
(5.17)
– l’entropie de la densité bipartite ρij
!
1 (1 + pi pj cos mπ)(1 + qij )
,
Sij = H
2
1 + p1 p2 p3 cos mπ
(5.18)
– l’entropie de formation
v
u
Ejk
p2 (1 − p2j )(1 − p2k )
1 1u
.
=H
+ t1 − i
2 2
(1 + p1 p2 p3 cos mπ)2
!
(5.19)
79
Chapitre 5. Corrélation des états non-orthogonaux tripartites et la relation de
monogamie
En utilisant les équations (5.17), (5.18) et (5.19), on trouve la forme explicite de la discorde
quantique
!
→
Dij
(1 + pi )(1 + pj qij cos mπ)
= H
2(1 + p1 p2 p3 cos mπ)
!
(1 + pi pj )(1 + qij cos mπ)
− H
2(1 + p1 p2 p3 cos mπ)
v
u
(5.20)
(5.21)
p2 (1 − p2j )(1 − qij2 )
1 1u
+ H
+ t1 − i
.
2 2
(1 + p1 p2 p3 cos mπ)2
!
(5.22)
A partir de ces relations, on obtient la relation de conservation suivante
→
→
→
D12
+ D23
+ D31
= E12 + E13 + E23 .
Cette relation de conservation reflète que la somme des discordes quantiques bipartites de
tous les états mixtes est exactement la somme des entropies de formations bipartites. Il est
important de noter que la loi de conservation pour la distribution de l’entropie de formation et
de la discorde quantique, dans un système tripartite pur, a été dérivé par Fanchini [212].
←
On note par, Dij
la quantité qui représente la discorde quantique si nous effectuons la mesure
sur le qubit j. Elle est donnée par
←
Dij
= Sj − Sij + Eik .
←
est la partie de l’information mutuelle dans l’état bipartite qui est
La discorde quantique Dij
←
the fraction of the ij Mutual Information Locally Inaccessible
localement inaccessible par i (Dij
by j). En se Basant sur la définition asymétrique de la discorde quantique, deux quantités
intéressantes sont définies par Fanchini [212],
∆+
ij =
1 →
←
Dij + Dij
2
∆−
ij =
1 →
←
Dij − Dij
.
2
En utilisant les expressions de la discorde quantique données par (5.22) et la relation asymé−
←
→
trique Dij
= Dji
, on trouve que les quantités ∆+
ij et ∆ij satisfaisant les relations de distribution
suivantes
+
+
(5.23)
∆+
12 + ∆13 + ∆23 = E12 + E13 + E23 ,
et
−
−
∆−
12 + ∆13 + ∆23 = 0.
80
(5.24)
5.5.4 Discorde quantique géométrique
A partir des équations (5.12) et (5.23), On trouve que la discorde quantique globale (pour
toutes les bipartitions possibles) coïncide avec l’entropie de formation globale (voir chapitre V)
D(1,2,3) = E(1,2,3) ,
(5.25)
par conséquent la quantité D(1,2,3) est donnée par :
!
D(1,2,3)
5.4
1
=
E12 + E13 + E23 + E1(23) + E2(13) + E3(12) .
6
(5.26)
Discorde quantique géométrique
Dans la section précédente nous avons déterminé l’expression explicite de la discorde quantique globale. Nous avons également obtenu la relation entre cette quantité et l’intrication de
formation globale. Dans ce qui suit, nous allons étudier la version géométrique de la discorde
quantique. L’approche géométrique est introduite par Dakic [52] et étudiée dans les travaux
[34, 219–221].
5.4.1
Mesure géométrique de la discorde quantique des états bipartites purs
Nous rappelons (voir chapitre 2) que la mesure géométrique de la discorde quantique d’un
système bipartite est donnée par
Dg (ρ) =
1
min{λ1 + λ2 , λ1 + λ3 , λ2 + λ3 },
4
(5.27)
où λ1 , λ2 , λ3 sont les valeurs propres de la matrice K (voir 2.24).
Nous évaluons d’abord la discorde géométrique dans les états bipartites purs (5.2). Pour cela,
en utilisant la décomposition de Schmidt
|Ψ, mi =
q
λ+ |+ik ⊗ |+iij +
q
λ− |−ik ⊗ |−iij ,
(5.28)
où |±ik indiques les vecteurs propres de la matrice densité réduite de premier sous-système
contenant la particule k. De même, |±iij désigne les vecteurs propres de la matrice densité
réduite du deuxième sous-système comprenant les particules i et j. Les valeurs propres λ± sont
81
Chapitre 5. Corrélation des états non-orthogonaux tripartites et la relation de
monogamie
données par
!
q
1
1 ± 1 − C2k(ij) .
λ± =
2
(5.29)
Dans ce cas pur, la concurrence Ck(ij) est donnée par l’équation (5.13). La matrice K définie
par (2.24) prend une forme diagonale
K = diag(4λ+ λ− , 4λ+ λ− , 2(λ2+ + λ2− )).
(5.30)
En utilisant (5.27), la mesure géométrique de la discorde quantique est de la forme
g
Dk(ij)
1 (1 − p2k )(1 − p2i p2j )
=
.
2 (1 + p1 p2 p3 cos mπ)2
(5.31)
Nous remarquons que la discorde quantique géométrique est exprimée en terme de la concurrence et nous aboutissons à une relation intéressante entre ces deux mesures d’intrication dans
le cas pur. Cette relation est traduite par l’expression
1 2
C
.
2 k(ij)
g
Dk(ij)
=
5.4.2
(5.32)
Mesure géométrique de la discorde quantique pour des états
bipartites mixtes
Nous considérons maintenant les états mixtes (5.7) qui sont obtenus dans le second schéma
de bipartition. La matrice ρij (5.7) peut être réécrit comme suit
ρij =
X
Rαβ σα ⊗ σβ .
(5.33)
αβ
où la matrice de corrélation Rαβ (α, β = 0, 1, 2, 3) est donnée par

1

0
Rαβ = 

2N
√
2
0
(1−p2i )(1−p2j )
0
0
2N2 (pi +pj pk cos mπ).
0
−2N2
√
0
2N2 (pj +pi pk cos mπ)
0
0
(1−p2i )(1−p2j )
0
pk cos mπ
0




(5.34)
2N2 (pi pj +pk cos mπ).
Dans ce cas, les valeurs propres de la matrice K (5.30) sont
"
4
λ1 = 4N (1 +
82
#
p2i )(p2j
+
p2k )
+ 4(p1 p2 p3 ) cos mπ ,
(5.35)
5.5.5 Illustration : Etats chat de Schrödinger tripartites
λ2 = 4N4 (1 − p2i )(1 − p2j ),
(5.36)
λ3 = 4N4 (1 − p2i )(1 − p2j )p2k .
(5.37)
L’équation (5.27) conduit donc à l’expression suivante de la discorde géométrique
1
g
Dij
= min{λ1 + λ3 , λ2 + λ3 }.
4
(5.38)
On note que nous avons λ3 ≤ λ2 . Si λ1 > λ2 , l’expression explicite de la discorde quantique
géométrique (5.38) s’écrit
1 (1 − p2i )(1 − p2j )(1 + p2k )
1
g
,
Dij
= (λ2 + λ3 ) =
4
4 (1 + p1 p2 p3 cos mπ)2
(5.39)
et si λ1 < λ2 on trouve une autre expression de la discorde quantique géométrique qui est
donnée par
g
Dij
1 (1 + p2i )(p2j + p2k ) + (1 − p2i )(1 − p2j )p2k + 4(p1 p2 p3 ) cos mπ
=
.
4
(1 + p1 p2 p3 cos mπ)2
(5.40)
Pour l’état pur tripartite (5.3), la mesure de la corrélation quantique multipartite (4.7) de la
discorde quantique géométrique est donnée par
g
D(1,2,3)
5.5
1
g
g
g
g
g
g
+ D23
+ D23
+ D21
+ D13
+ D31
=
D12
6
!
!
1
+
C2
+ C22(13) + C23(12) .
12 1(23)
(5.41)
Illustration : Etats chat de Schrödinger tripartites
Pour illustrer les résultats obtenus dans les sections précédentes, nous considérons un système tripartite spécifique des états non orthogonaux.
5.5.1
Etats chat de Schrödinger tripartites
L’état chat de Schrödinger de trois modes
!
|α, mi = Nm (|α|) |αi1 |αi2 |αi3 + e
imπ
| − αi1 | − αi2 | − αi3 ,
(5.42)
83
Chapitre 5. Corrélation des états non-orthogonaux tripartites et la relation de
monogamie
défini à l’aide des états cohérents de Glauber |αi. Nm (|α|) est le facteur de normalisation
2
1
Nm (|α|) = (2 + 2e−6|α| cos mπ)− 2 .
Deux limites intéressantes des états chat de Schrödinger (5.42) sont considérées : (α → ∞ et
α → 0). D’une part, nous considérons la limite asymptotique α → ∞. Dans cette limite, la
base orthogonale de |αi et | − αi est construite de telle sorte que |0i ≡ |αi et |1i ≡ | − αi.
Dans ce cas, l’état |α, mi devient un état tripartite de type GHZ
1
|α, mi ∼ |GHZi3 = √ (|0i ⊗ |0i ⊗ |0i + eimπ |1i ⊗ |1i ⊗ |1i).
2
(5.43)
D’autre part, dans la limite où α → 0, on distingue deux cas : m = 0 (mod 2) et m = 1 (mod 2).
Pour m pair, la superposition tripartite (5.42) se réduit à l’état fondamental
|0, 0 (mod 2)i ∼ |0i ⊗ |0i ⊗ |0i.
(5.44)
Pour m impair, l’état |α, 1 (mod 2)i se réduit à un état tripartite de type W
1
|0, 1 (mod 2)i ∼ |Wi3 = √ (|1i ⊗ |0i ⊗ |0i + |0i ⊗ |1i ⊗ |0i + |0i ⊗ |0i ⊗ |1i) .
3
L’état |α, m = 1 (mod 2)i peut être considéré comme une interpolation entre les états de type
GHZ (α → ∞) et les états de type W (α → 0).
Dans ce qui suit, Nous utilisons l’état chat de Schrödinger tripartite |α, mi (5.42), pour évaluer
les corrélations quantiques globales Q123 (4.7).
5.5.2
Corrélations quantiques globales et la relation de monogamie
5.5.2.1
Concurrence
Il est intéressant de noter que les états ρ1(23) , ρ2(13) et ρ3(12) sont identiques. Il est donc facile
de vérifier dans le cas bipartite pur que les concurrences sont toutes égales. Explicitement, elles
sont données par
q
(1 − p2 )(1 − p4 )
,
(5.45)
C1(23) = C2(13) = C3(12) =
1 + p3 cos mπ
84
5.5.5 Illustration : Etats chat de Schrödinger tripartites
2
où le facteur de recouvrement est p = hα| − αi = e−2|α| . Dans le cas bipartite (5.6), les matrices
mixtes de densité ρ12 , ρ23 et ρ13 sont identiques. Ainsi, en utilisant l’équation (5.15), on a
C12 = C23 = C13 =
p(1 − p2 )
.
1 + p3 cos mπ
(5.46)
Pour examiner la relation de monogamie pour un système quantique de trois qubits, on utilise
la relation suivante :
τi|jk = C2i(jk) − C2ij − C2ik .
(5.47)
En reportant (5.45) et (5.46) dans (5.47), on trouve
τ1|23 = τ2|13 = τ3|12 ≡ τ,
avec
τ=
(1 − p2 )2 (1 − p)2
.
(1 + p3 cos mπ)2
(5.48)
L’expression donnée par (5.48) est toujours positive. D’une part ce résultat reflète que la monogamie de l’intrication mesurée par la concurrence est satisfaite. D’autre part, la corrélation
quantique globale dans (5.42) définie par (4.7) et mesurée par la concurrence prend la forme
suivante
1 (1 + 2p2 )(1 − p2 )2
.
C2(1,2,3) =
2 (1 + p3 cos mπ)2
5.5.2.2
Entropie de formation et discorde quantique
Pour étudier la relation de monogamie de l’entropie de formation, nous discutons la positivité
de la quantité suivante
Ei|jk = Ei(jk) − Eij − Eik .
(5.49)
Pour les états chat de Schrödinger, l’entropie de formation correspondante au cas de bipartition
pur ( 5.2) s’écrit
!
E1(23) = E2(13) = E3(12)
1 1 p + p2 cos mπ
=H
+
.
2 2 1 + p3 cos mπ
(5.50)
Pour le cas mixte (5.6), on trouve que l’expression (5.19) est donnée par la formule suivante :
E12 = E23 = E13 = H
v
u
1 1u
+ t1 −
2
2
!
p2 (1 − p2 )2
.
(1 + p3 cos mπ)2
(5.51)
85
Chapitre 5. Corrélation des états non-orthogonaux tripartites et la relation de
monogamie
L’expression finale de l’entropie de formation est donnée par :
2
1 1 p + p cos mπ
+
E=H
2 2 1 + p3 cos mπ
!
v
u
1u
t1 −
1
− 2H
+
2 2
!
p2 (1 − p2 )2
,
(1 + p3 cos mπ)2
avec
E1|23 = E2|13 = E3|12 ≡ E.
Le comportement de la quantité E en fonction de p est représenté sur la figure 5.1.
Figure 5.1 – E = Ei|jk en fonction de p pour m = 0 et m = 1.
Il est clair que l’entropie de formation est monogame pour les états chat de Schrödinger
tripartites symétriques (m = 0) pour toutes valeurs de p. Les états antisymétriques (m = 1)
possèdent la propriété de monogamie uniquement si 0 ≤ p . 0, 8. La figure 5.1 montre que
l’état |GHZi3 (p → 0) est monogame tandis que l’état de |W i3 (p → 1) n’est pas monogame.
La somme de l’entropie de formation par paires, dans l’ensemble des bipartitions possibles, est
alors donnée par
"
E(1,2,3)
v
u
1 1u
p2 (1 − p2 )2
1
= H
+ t1 −
2
2 2
(1 + p3 cos mπ)2
!
1 1 p + p2 cos mπ
+H
+
2 2 1 + p3 cos mπ
!#
.
(5.52)
Pour calculer la somme globale de la discorde quantique dans les états (5.42), nous avons
deux remarques importantes. D’une part, nous savons que dans un état pur, l’intrication de la
formation et la discorde quantique se coïncident. A cet égard, dans le schéma de bipartition
86
5.5.5 Illustration : Etats chat de Schrödinger tripartites
pur (5.2), nous trouvons que
E1|23 = D1|23
E2|13 = D2|13
E3|12 = D3|12 .
D’un autre côté, dans le cas mixte, il est facile de vérifier que :
E12 = D12
E23 = D23
E13 = D13 .
Il est remarquable que les états mixtes bipartites ρ12 , ρ13 et ρ23 constituent une classe particulière où l’entropie de formation se coïncide avec la discorde quantique. Ainsi, ces mesures
dans les états chat de Schrödinger (5.42), sont identiques et la somme globale de la discorde
quantique coïncide, comme prévu, avec l’entropie de formation globale donnée par l’équation
(5.52).
5.5.2.3
Discorde quantique géométrique
Dans ce paragraphe, nous considérons la corrélation quantique globale mesurée par la discorde quantique géométrique. Pour les états (5.42) et à partir de l’équation (5.31), on trouve
que :
g
g
g
D1(23)
= D2(13)
= D3(12)
,
avec
g
D1(23)
=
1 2
1 (1 − p2 )(1 − p4 )
C1(23) =
.
2
2 (1 + p3 cos mπ)2
(5.53)
Pour les états mixtes ρ12 , ρ13 et ρ23 qui sont identiques, nous traitons les cas symétriques et
antisymétriques séparément. Pour m = 0, nous utilisons l’équation (5.39), donc la discorde
quantique géométrique est donnée par :
g
g
g
D12
= D23
= D13
=
pour 0 ≤ p ≤
√
1 p2 (1 + p)2 (2 + (1 − p)2 )
,
4
(1 + p3 )2
(5.54)
1 (1 + p2 )(1 + p)2 (1 − p)2
,
4
(1 + p3 )2
(5.55)
2 − 1, elle est égale à
g
g
g
D12
= D23
= D13
=
87
Chapitre 5. Corrélation des états non-orthogonaux tripartites et la relation de
monogamie
√
lorsque 2 − 1 ≤ p ≤ 1.
Dans le cas antisymétrique (m = 1), la discorde quantique géométrique est donnée par
g
g
g
=
= D13
= D23
D12
1 p2 (2 + (1 + p)2 )
.
4 (1 + p + p2 )2
(5.56)
Il en résulte que, pour l’état chat de Schrödinger tripartite pair (m = 0), la corrélation quantique
globale mesurée par la discorde géométrique est :
g
D(1,2,3)
=
pour 0 ≤ p ≤
√
1 (1 + p)2 (2p2 + (1 − p2 )(2 + 3p2 ))
,
8
(1 + p3 )2
(5.57)
3 (1 + p2 )(1 − p2 )2
,
8
(1 + p3 )2
(5.58)
2 − 1 et
g
D(1,2,3)
=
√
lorsque 2 − 1 ≤ p ≤ 1.
Pour les états impairs (m = 1), la discorde quantique géométrique pour 0 ≤ p ≤ 1 est donnée
par la formule suivante
1 2p2 + (1 + p)2 (2 + 3p2 )
g
D(1,2,3)
)=
.
8
(1 + p + p2 )2
Nous remarquons que la valeur maximale de la discorde géométrique est égale à la valeur 1/2
. Ainsi, pour la comparaison avec les autres mesures, nous considérons la quantité 2Dg comme
mesure appropriée.
Les comparaisons des corrélations quantiques tripartites entre la concurrence, la discorde quantique habituelle et sa version géométrique sont représentées sur les figures 5.2 et 5.3. La figure
5.2 montre que ces trois mesures donnent approximativement la même quantité de corrélation
quantique pour m = 0. Cela confirme le fait que l’intrication de formation, la discorde quantique et la discorde géométrique possèdent la propriété de monogamie comme la concurrence.
Pour m = 1 la figure 5.3 représente, la somme de la discorde quantique habituelle qui devient
plus grande que la somme des corrélations quantiques bipartites mesurées par la concurrence
et la discorde géométrique, surtout quand p approche l’unité. En outre, la somme globale de la
concurrence se comporte comme la somme de la discorde géométrique bipartite pour 0 ≤ p ≤ 0.5
et augmente lentement pour 0.5 ≤ p ≤ 1, mais le comportement reste légèrement le même que
la discorde géométrique. Enfin, pour examiner la monogamie de la discorde quantique géométrique, nous étudions la quantité suivante :
g
g
g
g
Di|jk
= Di(jk)
− Dij
− Dik
.
88
5.5.5 Illustration : Etats chat de Schrödinger tripartites
Figure 5.2 – Corrélation quantique Tripartite en fonction de p pour m = 0.
Figure 5.3 – Corrélation quantique Tripartite en fonction de p pour m = 1.
Pour l’état (5.42), on a
g
g
g
D1|23
= D2|13
= D3|12
≡ Dg .
Dans le cas symétrique (m = 0), la quantité Dg est nulle pour
√
2 − 1 ≤ p ≤ 1 et vaut
√
√
1 (1 + p)2 (1 − ( 2 + 1)p)(1 − ( 2 − 1)p)
D =
,
2
(1 + p3 )2
g
pour 0 ≤ p ≤
monogame.
√
2 − 1. Dans ce cas, il est simple de vérifier que la discorde géométrique est
89
Chapitre 5. Corrélation des états non-orthogonaux tripartites et la relation de
monogamie
Pour l’état chat de Schrödinger antisymétrique (m = 1), on obtient
Dg =
1 (1 + 2p − p2 )
,
2 (1 + p + p2 )2
qui est toujours positive. Par conséquent, La discorde quantique géométrique suit la propriété
de monogamie quelque soit la valeur du paramètre de non-orthogonalité p.
5.6
Conclusion
Comment quantifier et caractériser la nature des corrélations dans un état quantique ? Une
question qui reste toujours ouverte dans le domaine de la théorie de l’information quantique.
Pour répondre à cette question nous avons étudié un système tripartite des états non orthogonaux. Nous avons vu que la somme totale de la corrélation quantique est définie comme
la somme de toutes les corrélations quantiques bipartites. Nous avons étudié des mesures des
corrélations quantiques qui vont au-delà de l’intrication, à savoir la discorde quantique et sa
version géométrique. Nous avons montré que la somme des entropies de formations bipartites
se coïncide avec la somme des discordes quantiques bipartites de toutes les bipartitions possibles. Nous avons également examiné la relation de monogamie de la concurrence, de l’entropie
de formation et de la discorde quantique géométrique dans le cas particulier des états chat
de Schrödinger comportant trois modes quantiques. Nous avons trouvé que cette relation est
toujours satisfaite pour la concurrence et la discorde quantique géométrique.
90
Chapitre 6
Approche unificatrice des corrélations classiques
et quantiques
6.1
Introduction
La caractérisation des corrélations quantiques revêt une importance capitale et l’analyse de
ces corrélations dans un système multipartite constituent un domaine central dans la théorie
de l’information quantique. Les récentes mesures de corrélations non classiques sont motivées
par différentes notions de classicalité [18, 19, 26, 222, 223]. Différentes mesures de corrélations
quantiques ont été proposés dans la littérature.
Les états d’un système quantique multipartite peuvent être classés comme étant des états
classiques, classiques-quantiques et quantiques. Les corrélations peuvent également être classées
comme des corrélations quantiques, semi-classiques et classiques. Cette classification nécessite
une mesure spécifique (distance entropique ou géométrique), afin de décider la différence entre
un état quantique donné et son état le plus proche (sans cette propriété).
La classification que nous discutons dans ce chapitre, repose sur la notion de l’entropie
relative. A l’aide de cette l’entropie relative, une approche unificatrice des corrélations dans les
systèmes multipartites a été récemment développée par Modi [33]. En particulier, la relation
d’additivité qui parait très importante a été formalisée par l’équation D + C = T + L. De point
de vue analytique, le calcul des expressions de mesures basées sur l’entropie relative implique des
procédures d’optimisation qui sont en général très compliquées. Afin de contourner ces difficultés
et pour classer les corrélations dans un état quantique donné, un cadre purement géométrique a
91
Chapitre 6. Approche unificatrice des corrélations classiques et quantiques
été discuté dans [37, 224]. L’objectif de ce chapitre est de montrer que l’entropie relative linéaire
nous offre une approche simple pour traiter les différents types de corrélations bipartites dans
un cadre commun. Elle permet de quantifier les corrélations dans les systèmes multipartites
et de fournir un schéma unificateur des corrélations quantiques. Plus précisément, l’entropie
relative mesure la distance entre un état quantique donné présentant une propriété quantique
(l’intrication ou la discorde) et l’état le plus proche sans cette propriété. La classification que
nous discutons dans ce chapitre, repose sur la notion d’une variante linéarisée de l’entropie
relative. Nous obtenons des expressions analytiques explicites des corrélations classiques et
quantiques dans un système à deux qubits. La relation de l’entropie relative avec la mesure
géométrique, basée sur la norme de Hilbert-Schmidt, sera également discutée en détail dans ce
chapitre.
6.2
Schéma unificateur des corrélations classiques et quantiques
Dans le présent paragraphe nous présentons un schéma unificateur des corrélations quantiques présentes dans des systèmes multipartites (voir aussi [33]). Dans ce contexte, l’entropie
relative est considérée comme mesure des corrélations (d’autres mesures peuvent servir tout
autant). Notre objectif ici est de classer les différentes corrélations (discorde D, corrélations
classiques C, intrication E, dissonance Q 1 ) existantes dans un système quantique multipartite
donné et de trouver la relation de l’additivité de ces corrélations.
6.2.1
L’ensemble des états quantiques et classiques
Nous commençons ce paragraphe par définir les états quantiques associés aux différentes
corrélations possibles. Le premier cas est lorsqu’un état ne présente aucune corrélation de toute
nature entre ses N modes. Un tel état est un état produit d’un système composé de N parties
et il est donné par l’expression :
π = π1 ⊗ · · · ⊗ πN
où πn est l’état réduit du sous-système n, pour lequel chaque mode est complétement décorrélé
des autres. Une mesure sur un des modes ne nous apprend rien sur les autres modes. L’ensemble
1
une corrélation quantique, qui peut être présente dans les états séparables. C’ est une notion similaire à la
discorde mais il exclut l’intrication.
92
6.6.2 Schéma unificateur des corrélations classiques et quantiques
des états classiques est donné par la forme :
χ=
X
pk1 ...kN |k1 . . . kN ihk1 . . . kN | =
X
kn
p~k |~kih~k|,
~k
où p~k est une distribution de probabilité conjointe et les |kn i sont des états locaux formant une
base orthonormée. Les corrélations entre ces états sont de nature purement classique.
Les états séparables sont donnés par l’expression
σ=
X
(i)
(i)
p i π 1 ⊗ · · · ⊗ πN .
i
Ils peuvent posséder des caractéristiques non classiques [19].
Figure 6.1 – Les états quantiques-classiques
Dans la figure 6.1 la grande ellipse représente l’ensemble de tous les états et l’ensemble des
états séparables est représenté dans la plus petite ellipse. Les carrés représentent l’ensemble des
états classiques, et les points dans les carrés sont les ensembles d’états produits. ρ est un état
intriqué et σ est l’état séparable le plus proche. Les corrélations sont l’intrication E, la discorde
D, et la dissonance Q.
A partir de la figure 6.1, on remarque que l’ensemble des états produits est un sous-ensemble
de l’ensemble des états classiques qui est à son tour un sous-ensemble de l’ensemble des états
séparables et les états intriqués ρ sont tous ceux qui n’appartiennent pas à l’ensemble des états
séparables.
93
Chapitre 6. Approche unificatrice des corrélations classiques et quantiques
6.2.2
Corrélations dans un état quantique
Nous donnons ici le schéma unificateur des diverses corrélations classiques et quantiques
présentes dans un système quantique (figure 6.2).
Figure 6.2 – Schéma des Corrélations dans un état quantique
Dans la figure 6.2, la flèche x → y, indique que l’état y est plus proche de x et il est mesuré
par l’entropie relative S(x||y). Où ρ ∈ E (l’ensemble des états intriqués), σ ∈ S (l’ensemble
des états séparables), χ ∈ C (l’ensemble des états classiques) et π ∈ P (l’ensemble des états
produits).
Étant donné que toutes les distances sont mesurées avec l’entropie relative, cela fournit une
manière cohérente pour comparer les différentes corrélations. La définition de l’entropie relative2
entre deux états quantiques a et b est donnée par l’expression
S(a||b) ≡ −tr(a log b) − S(a),
(6.1)
où S(a) est l’entropie de von Neumann.
Les différents types de corrélations possibles dans un état quantique sont : L’entropie de formation E = minσ∈S S(ρ||σ) correspond à la distance qui sépare l’état ρ et l’état séparable σ le plus
proche, l’information mutuelle Tρ (respectivement Tσ ) qui est évaluée en mesurant l’entropie
relative entre l’état ρ (σ) et l’état produit le plus proche de l’ensemble πρ (πσ ), la discorde
quantique D = minχ∈C S(ρ||χ) est définie par la distance entre ρ et l’état classique le plus
proche χρ , la dissonance quantique Q = minχ∈C S(σ||χ) qui contient le reste des corrélations
non classiques, la corrélation classique C = minπ∈P S(χ||π) est vue comme la distance minimale
2
94
L’entropie relative est une quantité positive et ne définit pas une distance car elle n’est pas symétrique.
6.6.3 Quantification des corrélations basées sur l’entropie relative linéaire
entre un état classiquement corrélé χ et un état produit π. Finalement, les quantités Lρ et Lσ
nous donnent les conditions d’additivité entre les différents types de corrélations. A l’aide des
quantités Lρ et Lσ les chemins sont additifs.
Pour établir les relations d’additivité (figure 6.2), nous utilisons les définitions des états présentés dans cette section et les différentes corrélations. Il est donc facile de voir que l’on obtient
les relations d’additivité suivantes :
Tρ = D + Cρ − Lρ ,
6.3
et Tσ = Q + Cσ − Lσ .
Quantification des corrélations basées sur l’entropie
relative linéaire
6.3.1
Corrélation basée sur l’entropie relative
L’entropie relative est définie par
S(ρkσ) = −Tr(ρ log σ) − S(ρ),
(6.2)
Pour un système bipartite, la corrélation totale T = S(ρkπρ ) est quantifiée par l’entropie relative
entre l’état ρ et l’état produit le plus proche πρ = ρA ⊗ ρB , où ρA et ρB désignent les matrices
de densité réduite des sous-systèmes A et B. L’expression de la corrélation totale est :
T = S(ρkπρ ) = S(πρ ) − S(ρ).
(6.3)
La discorde quantique est mesurée par la distance minimale entre l’état ρ et son état classique
le plus proche
X
χρ =
pi,j |iihi| ⊗ |jihj|.
(6.4)
i,j
Elle s’écrit comme la différence entre les entropies de von Neumann
D = S(ρkχρ ) = S(χρ ) − S(ρ).
(6.5)
Dans cette approche, les corrélations quantiques relatives basées sur l’entropie quantique ne
coïncide pas avec la définition originale de la discorde introduite dans [19]. La différence est
95
Chapitre 6. Approche unificatrice des corrélations classiques et quantiques
donnée par la quantité suivante [33]
L = S(πρ kπχρ ) = S(πχρ ) − S(πρ ).
(6.6)
La corrélation classique est donnée par la distance entre l’état classique le plus proche χρ et
son état produit classique le plus proche πχρ .
C = S(χρ kπχρ ) = S(πχρ ) − S(χρ ).
(6.7)
Elle coïncide avec la différence de l’entropie de von Neumann des états πχρ et χρ .
A partir des équations (6.3), (6.5), (6.7) et (6.6), il est facile de trouver la relation d’addivité
suivante
T − D − C + L = 0.
6.3.2
(6.8)
Entropie relative linéaire
L’entropie linéaire est définie par la relation suivante :
S2 (ρ) = 1 − Tr(ρ2 ).
(6.9)
Elle est liée au degré de pureté : P = Tr(ρ2 ). C’est une variante linéarisée de l’entropie de von
Neumann en rapprochant log ρ par ρ − I où I représente la matrice identité. Par conséquent,
l’entropie relative (6.2) peut être linéarisée comme suit [224]
Sl (ρ1 kρ2 ) = Trρ1 (ρ1 − ρ2 ).
(6.10)
Elle n’est pas symétrique par l’échange des états ρ1 et ρ2 . Pour définir une entropie relative
linéaire symétrique, l’entropie Sl (ρ1 kρ2 ) est décomposé comme la somme de deux termes symétrique et antisymétrique. La partie symétrique est définie par :
S+ (ρ1 kρ2 ) = Sl (ρ1 kρ2 ) + Sl (ρ2 kρ1 ).
(6.11)
alors que la partie antisymétrique est donnée par :
S− (ρ1 kρ2 ) = Sl (ρ1 kρ2 ) − Sl (ρ2 kρ1 ).
96
(6.12)
6.6.3 Quantification des corrélations basées sur l’entropie relative linéaire
Cette dernière expression peut être réécrite comme la différence entre les entropies linéaires des
états ρ1 et ρ2
S− (ρ1 kρ2 ) = S2 (ρ2 ) − S2 (ρ1 ).
(6.13)
Nous rappelons que l’entropie relative linéaire antisymétrique est liée à l’entropie quantique
Jensen-Shannon d’ordre deux définie par :
D2 (ρ1 kρ2 ) := S2
ρ1 + ρ2
2
!
1
1
− S2 (ρ1 ) − S2 (ρ2 ).
2
2
(6.14)
En effet, on peut l’exprimer comme
S− (ρ1 kρ2 ) = D2 (ρ1 + ρ2 kρ2 − ρ1 ) − D2 (ρ1 + ρ2 kρ1 − ρ2 ).
(6.15)
L’entropie quantique de Jensen-Shannon d’ordre 2 (6.14) est une forme symétrisée de l’entropie
relative linéaire. Elle a été récemment utilisée pour étudier la distance entre deux opérateurs
densité quelconques (voir [225, 226]) et constitue un outil géométrique adéquat pour classer les
états quantiques en fonction de leurs propriétés. La racine carrée de la divergence quantique
Jensen-Shannon est une métrique et peut être intégrée dans un espace de Hilbert réel équipé
d’une norme de Hilbert-Schmidt [225]. Ce résultat est utile dans ce qui va suivre. En fait, à
partir de (6.10) et (6.11), il est simple de vérifier que la partie symétrique de l’entropie relative
linéaire est exactement la distance de Hilbert-Schmidt [224]
S+ (ρ1 kρ2 ) = kρ1 − ρ2 k2 .
(6.16)
L’entropie linéaire symétrique et l’entropie linéaire antisymétrique sont les ingrédients essentiels
des résultats que nous présentons dans ce chapitre.
L’entropie relative linéaire symétrique mesure la distance entre les états d’un système quantique donné et l’entropie relative linéaire antisymétrique quantifie la quantité de corrélations
existantes entre les deux états distincts. Avec l’entropie relative linéaire, des simplifications
considérables sont possibles lorsqu’il s’agit de dériver les expressions explicites des corrélations :
totale, quantique et classique bipartite.
97
Chapitre 6. Approche unificatrice des corrélations classiques et quantiques
6.3.3
Relation d’additivité des corrélations géométriques et entropiques
Nous rappelons que la représentation de Fano-Bloch d’un état arbitraire de deux qubits est
donnée par l’expression
1X
Rαβ σα ⊗ σβ
(6.17)
ρ=
4 α,β
avec α, β = 0, 1, 2, 3, Ri0 = Trρ(σi ⊗ σ0 ), R0i = Trρ(σ0 ⊗ σi ) sont les composantes de vecteurs
de Bloch locales, Rij = Trρ(σi ⊗ σj ) sont les composantes du tenseur de corrélation. La distance
(6.16), entre deux matrices densités distinctes ρ et ρ0 , s’écrit
S+ (ρkρ0 ) ≡ d(ρ, ρ0 ) =
1X
0
(Rαβ − Rαβ
)2 ,
4 α,β
(6.18)
Les analogues linéaires des corrélations : totale T , quantique D, classique C et la quantité L
sont respectivement donnés par
T2 = S− (ρkπρ )
D2 = S− (ρkχρ )
C2 = S− (χρ kπχρ )
L2 = S− (πρ kπχρ ).
(6.19)
Il est facile de voir que nous avons la relation d’additivitée suivante
T2 − D2 − C2 + L2 = 0.
(6.20)
La distance de Hilbert-Schmidt [52] fournit un outil pour quantifier géométriquement la corrélation quantique. Dans ce sens, Bellomo et al [224] ont introduit un schéma d’unification
géométrique dans lequel la corrélation totale T , la corrélation quantique D, la corrélation classique C et la quantité L sont redéfinies par
Tg ≡ kρ − πρ k2 ,
Cg ≡ kχρ − πχρ k2 ,
Dg (ρ) = kρ − χρ k2 ,
Lg ≡ kπρ − πχρ k2 . (6.21)
Compte tenu de la relation entre la distance (6.11) et la norme Hilbert-Schmidt donnée par
(6.16), les corrélations basées sur l’entropie relative linéaire peuvent être exprimées en termes
de leurs homologues géométriques. En effet, à partir de la définition (6.19), on obtient
T2 = Tg −2S2 (πρ kρ),
98
D2 = Dg −2S2 (χρ kρ),
C2 = Cg −2S2 (πχρ kχρ ),
L2 = Lg −2S2 (πχρ kπρ )
(6.22)
6.6.4 Expressions analytiques des corrélations
En reportant l’équation (6.22) dans la relation d’additivité (6.20), les corrélations géométriques
(6.21) satisfont la relation
Tg − Dg − Cg + Lg = ∆g
(6.23)
avec
"
#
∆g = 2 Tr πρ (π ρ − ρ) + Tr πχρ (χρ − πρ ) .
(6.24)
Nous remarquons que les états classiques χρ (6.4) satisfont la relation Trρχρ = Trχ2ρ [52]. Par
conséquent, Dg coïncide avec la corrélation quantique linéaire D2 . Les corrélations géométriques
satisfont une relation similaire à (6.20) lorsque la quantité ∆g est nulle. Une analyse détaillée
de la relation entre les corrélations Tg , Dg , Cg et Lg pour un état de type X a récemment été
étudiée dans [37]. En particulier, il a été montré que la quantité ∆g s’annule dans certains cas
particuliers, comme les états de Bell [224]. En suivant le même raisonnement, nous considérons
une famille de deux états à deux paramètres réels pour lesquels on peut explicitement évaluer
les corrélations totale, quantique et classique et nous comparons les résultats obtenus avec ceux
mesurés par la norme Hilbert-Schmidt. Ceci constitue l’objectif principal des sections suivantes.
6.4
Expressions analytiques des corrélations
Pour illustrer les résultats discutés dans la section précédente et examiner qualitativement
les différences entre les mesures des entropies relatives linéaires et celles géométriques basées
sur la distance de Hilbert-Schmidt, nous allons considérer une matrice densité de deux qubits
dont les éléments sont spécifiés en termes de deux paramètres réels. Elle est définie




ρ=



c1
0
0
√
c1 c2
0
1
(1 − c1 − c2 )
2
1
(1 − c1 − c2 )
2
0
0
1
(1 − c1 − c2 )
2
1
(1 − c1 − c2 )
2
0
√
c1 c2
0
0
c2




.



(6.25)
La base de calcul est B = {|00i, |01i, |10i, |11i}. Les paramètres c1 et c2 obéissent aux conditions
0 ≤ c1 ≤ 1 , 0 ≤ c2 ≤ 1 et 0 ≤ c1 + c2 ≤ 1. Toutes les entrées sont supposées positives. En fait,
la transformation unitaire locale
!
i
|0ik → exp
(θ1 + (−)k θ2 ) |0ik
2
99
Chapitre 6. Approche unificatrice des corrélations classiques et quantiques
permet de supprimer les facteurs de phase des éléments de la matrice ρ. Les éléments du tenseur
corrélation associés à la matrice ρ sont donnés par
R30 = R03 = c1 − c2
√
√
R11 = 1 − ( c1 − c2 )2
R33 = 2(c1 + c2 ) − 1,
√
√
R22 = 1 − ( c1 + c2 )2 .
La matrice densité ρ est invariante par parité ([ρ, σ ⊗ σ] = 0) et par permutation de deux qubits
(|i, ji à |j, ii).
6.4.1
Corrélation totale et l’état produit le plus proche
6.4.1.1
Etat produit le plus proche
Nous commençons cette partie par l’expression explicite de la corrélation total T2 définie par
(6.19). Pour cela, il faut déterminer l’état produit le plus proche de la matrice densité (6.25),
en utilisant le concept d’entropie relative linéaire symétrique qui est exactement la distance
d’Hilbert-Schmidt. Un état produit arbitraire s’écrit
3
3
X
X
1
πρ = ρ1 ⊗ ρ2 = σ0 ⊗ σ0 + (ai σi ⊗ σ0 + bi σ0 ⊗ σi ) +
a i b j σi ⊗ σ j
4
i=1
i,j=1
"
#
(6.26)
avec ~a = (a1 , a2 , a3 ) et ~b = (b1 , b2 , b3 ) désignent les vecteurs unités de Bloch des états ρ1 et ρ2
3
X
1
ai σ i ,
ρ1 = σ 0 +
2
i=1
"
#
3
X
1
bi σ i .
=
σ0 +
2
i=1
"
ρ2
#
La matrice densité ρ est invariante si nous échangeons les sous-systèmes 1 et 2. Donc l’état
produit πρ est également symétrique, ceci conduit à
ai = bi
i = 1, 2, 3.
En outre, la symétrie de parité de la matrice densité ρ ( [ρ, σ3 ⊗ σ3 ] = 0) implique l’invariance
de la parité de l’état πρ (6.26). Ce qui impose le résultat suivant
ai = bi = 0
100
i = 1, 2.
6.6.4 Expressions analytiques des corrélations
Il en résulte que la distance entre les états ρ et πρ prend la forme
d(ρ, πρ ) =
i
1h
2
2
2(R30 − a3 )2 + R11
+ R22
+ (R33 − a23 )2
4
(6.27)
La distance d(ρ, πρ ) est optimisée par rapport à une seule variable, i.e. a3 . La parité et l’échange
de symétrie simplifient le processus de minimisation dans la détermination de l’état produit le
plus proche. La distance minimale de (6.27) est obtenue lorsque a3 satisfait l’équation suivante
a33 + a3 (1 − R33 ) − R30 = 0.
(6.28)
La solution réelle de cette équation est donnée par
s√
a3 =
avec
3
∆ + R30
−
2
s√
3
∆ − R30
,
2
4
(1 − R33 )3
(6.29)
27
≤ 1). L’état produit le plus proche de ρ (6.26) s’écrit alors
2
∆ = R30
+
où ∆ est toujours positive ( R33
"
#
1
πρ = σ0 ⊗ σ0 + a3 σ3 ⊗ σ0 + a3 σ0 ⊗ σ3 + a23 σ3 ⊗ σ3 .
4
(6.30)
On note que pour c1 = c2 , la matrice densité ρ (6.25) coïncide avec l’état de Bell diagonal.
6.4.1.2
Corrélation totale
Pour calculer la corrélation totale, nous utilisons les relations (6.19) et (6.12). Nous obtenons
l’expression suivante
T2 =
1h
2
2
2
2
2(R03
− a23 ) + R11
+ R22
+ (R33
− a43 )].
4
(6.31)
La valeur minimale de la corrélation totale est obtenue pour (c1 = 0, c2 = α) et (c1 = α, c2 = 0)
avec α = c1 + c2 . Ces deux situations correspondent respectivement à des états de la forme
ρ(c1 = 0, c2 = α) = α|11ih11| + (1 − α)|ψ1 ihψ1 |,
(6.32)
ρ(c1 = α, c2 = 0) = α|00ih00| + (1 − α)|ψ1 ihψ1 |,
(6.33)
et
101
Chapitre 6. Approche unificatrice des corrélations classiques et quantiques
où
1
|ψ1 i = √ (|01i + |10i).
2
La corrélation totale T2 est maximale pour c1 = c2 =
plus corrélés sont ceux de la forme
ρ c1 =
α
.
2
(6.34)
Dans ce cas, les états considérés les
α
α
, c2 =
= αρ0 + (1 − α)ρ1
2
2
(6.35)
avec
ρ1 = |ψ1 ihψ1 |
(6.36)
ρ0 = |ψ0 ihψ0 |
(6.37)
1
|ψ0 i = √ (|00i + |11i).
2
(6.38)
et
où |ψ0 i est donné par l’expression
A partir de la figure 6.3, il est clair que lorsque 0 ≤ α ≤ 0.5, la corrélation totale T2 augmente
lorsque le paramètre α augmente. Par exemple, pour c1 = 0.05 la quantité de corrélation
classique présente dans l’état (6.25) avec α = 0.1, dépasse celles mesurées par l’entropie linéaire
dans les états où α = 0.2, 0.3, 0.4, 0.5. La situation est complètement différente pour α ≥ 0.5.
Figure 6.3 – Corrélation Total T2 en fonction de c1 pour différentes valeurs de α = c1 + c2 .
102
6.6.4 Expressions analytiques des corrélations
6.4.2
Corrélation quantique et état classique le plus proche
6.4.2.1
Discorde quantique
La quantification géométrique de la discorde quantique utilise la distance minimale de
Hilbert-Schmidt entre un état donné et l’ état classique le plus proche. Nous avons vu que
la corrélation quantique D2 coïncide avec la mesure géométrique de la discorde quantique qui
est donnée par :
1
(6.39)
D2 = Dg = min{λ1 + λ2 , λ1 + λ3 , λ2 + λ3 }.
4
Les expressions explicites des valeurs propres λ1 , λ2 et λ3 , de la matrice K (2.24)( voire chapitre
2) sont données par les relations suivantes
h
i2
√
√
λ1 = 1 − ( c1 − c2 )2 ,
h
i2
√
√
λ2 = 1 − ( c1 + c2 )2 ,
i
1h
(3c1 + c2 − 1)2 + (c1 + 3c2 − 1)2 .
2
Comme λ1 est toujours supérieure à λ2 , la discorde géométrique est donnée par
λ3 =
Dg =
1
1
min{λ1 + λ2 , λ2 + λ3 } = (min(λ1 , λ3 ) + λ2 ).
4
4
Il est facile de vérifier que la différence de λ3 − λ1 est positive lorsque les paramètres c1 et c2
satisfont la condition suivante
√
√
c1 (2c1 − 1) + c2 (2c2 − 1) ≥ 0.
(6.40)
Sinon, nous avons λ3 ≤ λ1 . En posant
√
c1 = e−r cos θ,
√
c2 = e−r sin θ
avec r ∈ R, 0 ≤ θ ≤
π
,
2
la condition (6.40) devient :
e−r (cos θ + sin θ)(2e−2r (1 − cos θ sin θ) − 1) ≥ 0.
Cette inégalité est valide lorsque r et θ satisfont la condition suivante
2e−2r (1 − cos θ sin θ) − 1 ≥ 0
103
Chapitre 6. Approche unificatrice des corrélations classiques et quantiques
ou bien
c1 + c2 −
√
c1 c2 ≥
1
2
(6.41)
En posant c1 + c2 = α, la condition (6.41) est satisfaite si et seulement si α ≥ 21 . Ainsi, pour
une valeur fixe α ≤ 12 , la quantité λ3 − λ1 est négative et la mesure géométrique de la discorde
quantique (6.39) est donnée par
Dg = Dg+ =
1
(λ2 + λ3 ).
4
(6.42)
Si α ≥ 12 , la condition (6.41) est satisfaite pour
0 ≤ c1 ≤ α −
α+ ≤ c1 ≤ α,
où
α 1q
±
(1 − α)(3α − 1).
2 2
Dans ce cas, la discorde quantique géométrique est donnée par
α± =
Dg = Dg− =
1
(λ1 + λ2 ).
4
(6.43)
(6.44)
Inversement, pour c1 ∈ [α− , α+ ], la différence λ3 − λ1 est négative. La discorde géométrique est
alors exprimée par :
1
(6.45)
Dg = Dg+ = (λ2 + λ3 ).
4
6.4.2.2
Etat classique le plus proche
Pour obtenir la forme explicite de l’état classique le plus proche de l’état (6.25), nous suivons
la procédure développée dans [52]. Elle consiste à minimiser la distance de Hilbert-Schmidt et
à déterminer le vecteur correspondant à la valeur propre λmax de la matrice K (2.24). Nous
discutons séparément les situations λmax = λ1 et λmax = λ3 . Nous considérons d’abord la
situation où λ1 ≤ λ3 . Dans ce cas, nous trouvons que l’état de discorde zéro, mesuré par la
distance Hilbert-Schmidt, est de la forme
1
χ−
ρ = [σ0 ⊗ σ0 + R30 σ3 ⊗ σ0 + R30 σ0 ⊗ σ3 + R33 σ3 ⊗ σ3 ],
4
(6.46)
où la notation (−) désigne la condition λ1 − λ3 ≤ 0. Dans ce cas
1
1 2
2
D2− = S− (ρkχ−
ρ ) = (λ1 + λ2 ) = (R11 + R22 ).
4
4
104
(6.47)
6.6.4 Expressions analytiques des corrélations
D2− peut être réécrite en terme de paramètres c1 et c2 comme suit
D2− ≡ Dg− (ρ) =
i2
i2
√
√
√
√
1h
1h
1 − ( c1 − c2 )2 + 1 − ( c1 + c2 )2 .
4
4
Il est intéressant de noter que le plus proche état classique χ−
ρ satisfait la relation
2
−
Trρχ−
ρ = Trχρ .
La discorde quantique géométrique Dg− coïncide avec la corrélation quantique D2− . Avec un
raisonnement similaire, on vérifie que, pour λ1 > λ3 , l’état classique le plus proche est donné
par
1
χ+
=
σ
⊗
σ
+
R
σ
⊗
σ
+
R
σ
⊗
σ
(6.48)
0
0
03 0
3
11 1
1 .
ρ
4
La notation (+) se refére à la condition λ1 − λ3 > 0. Dans ce cas
1 2
1
2
2
D2+ = S− (ρkχ+
ρ ) = (λ2 + λ3 ) = (R22 + R03 + R33 )
4
4
(6.49)
que nous pouvons écrire comme
"
D2+
≡
Dg+ (ρ)
#
i2
i
√
√
1h
1 h
1 − ( c1 + c2 )2 + (3c1 + c2 − 1)2 + (c1 + 3c2 − 1)2 .
=
4
2
On note aussi que l’état classique le plus proche χ+
ρ satisfait la relation
2
+
Trρχ+
ρ = Trχρ
Le comportement de la discorde quantique D2 , en fonction des paramètres c1 pour ( α ≤ 21 et
α ≥ 12 ) , est représenté sur les figures 6.5 et 6.4. A partir de la figure 6.4, il est remarquable pour
c1 = α2 que la discorde quantique D2 dans l’état (6.25) prend une valeur minimale. Ces états
"de discorde minimale" sont donnés par (6.35). La valeur maximale de la discorde quantique
D2 est obtenue lorsque (c1 = 0, c2 = α) et (c1 = α, c2 = 0). Ces deux cas sont respectivement
donnés par les expressions (6.32) et (6.33). Par comparaison avec la figure 6.3, on remarque que
si la discorde est maximale, la corrélation totale T2 prendra une valeur minimale. On conclut
que, la discorde quantique D2 des états (6.25) avec c1 + c2 ≤ 12 est maximale (resp. minimale)
pour les états présentant une valeur minimale (resp maximale) des corrélations totales T2 . Il
est également intéressant de noter que ce comportement change dans le cas α ≥ 21 (figure
6.5). En fait, la discorde quantique change brusquement lorsque c1 = α− et c1 = α+ (6.43).
105
Chapitre 6. Approche unificatrice des corrélations classiques et quantiques
Ce changement soudain de la discorde quantique se produit lorsque les états ρ (6.25) ont une
somme maximale de corrélation quantique. Autrement, la discorde quantique présente trois
phases distinctes : 0 ≤ c1 ≤ α− , α− ≤ c1 ≤ α+ et α− ≤ c1 ≤ α. La valeur minimale de la
discorde quantique D2 est obtenue dans la phase intermédiaire (α− ≤ c1 ≤ α+ ) pour les états
donnés par (6.35).
Figure 6.4 – Discorde quantique D2 ≡ Dg en fonction de c1 pour α ≤ 21 .
Figure 6.5 – Discorde quantique D2 ≡ Dg en fonction de c1 pour α ≥ 21 .
6.4.3
Corrélation classique
Pour dériver l’expression analytique de la corrélation classique C2 (6.19) il faut déterminer
+
les expressions des états produits les plus proches des états classiques χ−
ρ (6.46) et χρ (6.48).
106
6.6.4 Expressions analytiques des corrélations
Nous discutons d’abord la situation où l’état classique est donné par χ−
ρ (6.46). Il s’en suit que
−
l’état de produit le plus proche de χρ peut être obtenu en utilisant la méthode qui conduit à
l’état produit le plus proche (6.30), on a :
"
πχ−ρ
#
1
= σ0 ⊗ σ0 + a3 σ3 ⊗ σ0 + a3 σ0 ⊗ σ3 + a23 σ3 ⊗ σ3 .
4
(6.50)
Ce résultat coïncide avec πρ et la corrélation classique s’écrit
"
C2−
#
1
2
2
= 2(R03
− a23 ) + (R33
− a43 ) .
4
(6.51)
La détermination de l’état produit classique le plus proche de χ+
ρ (6.48) est un peu différente du
cas précédent. En effet, l’état χ+
ρ est invariante par parité, mais pas invariante par permutation
des qubits. Par conséquent, l’état produit classique le plus proche est donné par
"
πχ+ρ
#
1
= σ0 ⊗ σ0 + α3 σ3 ⊗ σ0 + β3 σ0 ⊗ σ3 + α3 β3 σ3 ⊗ σ3 ,
4
(6.52)
Les variables α3 et β3 peuvent être obtenues en minimisant la distance de Hilbert-Schmidt entre
(6.52).Il est facile de voir que
les états χ+
ρ (6.48) et πχ+
ρ
α3 = 0
β3 = R03 ,
et l’état du produit le plus proche de χ+
ρ est
1
πχ+ρ = [σ0 ⊗ σ0 + R03 σ0 ⊗ σ3 ].
4
(6.53)
En utilisant les expressions (6.48), (6.53) et la définition (6.19), la corrélation classique est
donnée par l’expression :
1 2
C2+ = R11
.
(6.54)
4
A ce stade, nous avons les ingrédients nécessaires pour calculer explicitement la quantité L2
définie par (6.19). En utilisant les expressions de l’état produit le plus proche πρ (6.30) et les
états classiques les plus proches πχ−ρ (6.50) et πχ+ρ (6.53), on a
L−
2 = 0
L+
2 =
1h 2
2
2a + a43 − R03
].
4 3
(6.55)
107
Chapitre 6. Approche unificatrice des corrélations classiques et quantiques
Finalement on trouve la relation d’additivité suivante :
±
±
T2 + L±
2 = D2 + C2
Les figures 6.6 et 6.7 donnent les corrélations classiques C2 en fonction du paramètre c1 pour
différentes valeurs de α = c1 + c2 . Pour α ≤ 21 , la corrélation classique C2 se comporte comme la
corrélation totale T2 représentée sur la figure 6.3. Elle est maximale pour les états satisfaisant
c1 = c2 = α2 (6.35) et minimale pour ( (c1 = 0, c2 = α) (Eq. (6.32)) et (c1 = α, c2 = 0)
(Eq. (6.33)). La figure 5 représente une discontinuité de la corrélation classique C2 aux points
c1 = α− et c1 = α+ (Eq.(6.43)). Ces deux valeurs particulières sont exactement les points où
la discorde quantique change brusquement. Cette discontinuité indique que la quantité L+
2 est
non nulle lorsque le paramètre c1 varie de α− à α+ . Remarquons que pour c1 = c2 , la matrice
densité ρ (6.25) est un état Bell diagonal. Dans ce cas, nous avons R03 = 0 et a3 = 0, ce
qui implique que la quantité L+
2 est nulle. Cela montre que dans les états Bell diagonales, la
corrélation totale T2 est exactement la somme de la discorde quantique D2 et de la corrélation
classique C2 .
Figure 6.6 – Corrélations classiques C2 en fonction de c1 pourα ≤ 21 .
6.4.4
Mesure des corrélations par la norme de Hilbert-Schmidt
L’ensemble des équations (6.22) donne les relations entre les quantificateurs de corrélation
basées sur l’entropie relative et les quantificateurs de corrélation géométrique basées sur la
108
6.6.4 Expressions analytiques des corrélations
Figure 6.7 – Corrélations classique C2 en fonction de c1 pour α ≥ 21 .
distance de Hilbert-Schmidt. En utilisant l’expression πρ (6.30), on obtient
1
Tr πρ (π ρ − ρ) = a23 (R33 − a23 ).
4
(6.56)
+
De même, en utilisant l’état classique le plus proche χ−
ρ (6.46)(resp. χρ (6.48)) et l’ état classique
de produit le plus proche πχ−ρ (6.50) (resp. πχ+ρ (6.53)), on trouve
1
Tr πχ−ρ (χ−
−
π
)
= a23 (a23 − R33 ),
ρ
ρ
4
(6.57)
et
1
−
π
)
= R03 (R03 − a3 ),
(6.58)
Tr πχ+ρ (χ+
ρ
ρ
4
pour λ1 ≤ λ3 et λ1 > λ3 , respectivement. En remplaçant (6.56) dans (6.22) et en utilisant
(6.31), on obtient la mesure géométrique de la corrélation totale dans l’état ρ
"
#
1
2
2
Tg = 2(R30 − a3 )2 + R11
+ R22
+ (R33 − a23 )2 .
4
(6.59)
Ce résultat peut également être dérivé à partir de (6.21), en utilisant les expressions de l’état
produit le plus proche (6.30). De manière analogue, en remplaçant (6.57) (resp. (6.58)) dans
Cg et en utilisant le résultat (6.51) (resp. (6.54)), on obtient
Cg− =
1
2(R30 − a3 )2 + (R33 − a23 )2
4
(6.60)
109
Chapitre 6. Approche unificatrice des corrélations classiques et quantiques
et
1 2
1
.
Cg+ = λ1 = R11
4
4
(6.61)
Nous insérons la quantité L±
2 (6.55) dans (6.22) pour avoir
L−
g = 0,
L+
g =
a23 1 + a23 + a3 (a23 − R33 )2 .
4
(6.62)
Finalement nous utilisons (6.56), (6.57) et (6.58), pour trouver la quantité ∆g (6.24) donnée
par les relations
1 2
2
(6.63)
∆−
∆+
g = 0,
g = a3 (R33 − a3 ),
2
pour λ1 ≤ λ3 et λ1 > λ3 , respectivement. A partir des résultas (6.47), (6.59), (6.60), (6.62) et
(6.63), on vérifie que
Tg− − Dg− − Cg− = 0,
(6.64)
où Tg− représente la corrélation totale Tg dans les états ρ en fonction des paramètres c1 et c2
satisfaisant la condition λ1 ≤ λ3 . Dans ce cas, la somme de la corrélation quantique Dg− et la
corrélation classique Cg− coïncide avec la corrélation totale Tg− . Ce résultat n’est plus valable
dans le cas où λ3 < λ1 . En effet, à partir des équations (6.49), (6.59), (6.61), (6.62) et (6.63),
nous obtenons l’expression suivante :
+
Tg+ − Dg+ − Cg+ + L+
g = ∆g .
(6.65)
En utilisant les équations (6.62) et (6.63), on vérifie que
!
1 2 2
+
2
2
∆+
.
g − Lg = − a3 a3 + (a3 + 1 − R33 )
4
Ce qui permet de voir que :
Tg+ − Dg+ − Cg+ ≤ 0.
(6.66)
La dernière inégalité devient une égalité pour a3 = 0. Cette solution est possible lorsque R30 = 0
(voir l’équation (6.28)). Dans ce cas particulier, l’état ρ (6.25) est un état Bell à deux qubits.
Ceci est en accord avec le résultat obtenu dans [37].
110
6.6.5 Conclusion
6.5
Conclusion
Dans ce chapitre, nous avons utilisé le concept de l’entropie relative linéaire qui fournit une
approche unifiée pour traiter équitablement les différents types de corrélations existantes dans
les systèmes multipartites. Dans cette approche les corrélations totales, classiques et quantiques
satisfont une relation d’additivité fermée. Cette approche unifiée donne une classification simple
des corrélations de systèmes bipartites. Nous avons en particulier, montré que l’entropie relative
linéaire peut être utilisée systématiquement pour établir les corrélations géométriques bipartites
basées sur la distance de Hilbert-Schmidt.
111
Chapitre 6. Approche unificatrice des corrélations classiques et quantiques
112
Chapitre 7
Corrélation quantique pour les états gaussiens
dans un espace de phase non commutatif
7.1
Introduction
La décohérence est la principale difficulté rencontrée dans le développement du traitement
quantique de l’information. D’un point de vue fondamental, le couplage d’un système quantique
avec son environnement est à l’origine de ce phénomène, qui correspond à la destruction au cours
du temps d’une superposition cohérente d’états. Le phénomène de décohérence est largement
responsable de la transition du monde quantique au monde classique [228–230, 232]. Pour cela, il
est important de comprendre la décohérence d’un système quantique, et d’essayer de limiter ses
effets indésirables. Dans cet esprit, le contrôle dynamique a été proposé pour limiter le processus
de la décohérence [233] et un grand nombre d’études ont été réalisées sur la dynamique des
systèmes quantiques ouverts en interaction avec un environnement [231, 232, 234, 235] .
Aucun système quantique ne peut être vraiment isolé de son environnement, Dans les cas
réalistes, le système quantique doit être modélisé comme un système ouvert. Le formalisme
mathématique principal portant sur les systèmes ouverts a été développé dans la littérature
[237–241]. De ce cas, on trouve des nombreuses études sur la dynamique des corrélations quantiques utilisant l’approche de l’équation maîtresse. Ce formalisme met l’accent sur la possibilité
d’analyser les corrélations à l’aide de l’équation de Langevin. Il faut souligner que l’équation
maîtresse est parfois complexe pour décrire des systèmes quantiques [230, 242]. Afin de réduire
cette complexité, des approximations sont nécessaires [230, 232, 236].
113
Chapitre 7. Corrélation quantique pour les états gaussiens dans un espace de
phase non commutatif
Les états gaussiens sont très utilisés dans le domaine de l’optique quantique et de ce fait, il
est nécessaire de comprendre l’évolution de leurs corrélations au contact de tout système externe
afin de les exploiter dans des protocoles quantiques de codage et transmission de l’information.
Dans ce chapitre, on discute l’intrication d’un système d’état gaussien de deux particules en
interaction avec un environnement. L’espace de phase de deux particules est non commutatif.
Cette non commutativité rend compte du couplage du système avec un champ électromagnétique externe.
7.2
7.2.1
L’espace de phase Non-commutatif
Géométrie non commutative
La géométrie non commutative a été développée pour deux raisons principales : répondre
à des contraintes mathématiques et pour permettre d’aborder certains problèmes de physique
théorique [243–248].
En mathématique, il s’agit de généraliser les outils de la géométrie ordinaire qui ont été
développés depuis plus d’un siècle : structures différentiables, métriques, actions de groupes,
fibrations... En physique, la géométrie non commutative constitue un cadre mathématique dans
lequel un certain nombre de concepts physiques peuvent être exprimés et parfois unifiés. L’utilisation de la géométrie non commutative en physique est vaste [249–252, 256, 257]. La géométrie
non commutative a été proposée par A.Connes. Elle constitue la généralisation de la géométrie
classique, et consiste à traiter les aspects géométriques de l’espace-temps en termes de notions
algébriques. La géométrie non commutative permet aussi de décrire des théories avec brisure
spontanée de symétrie. De même, la relativité générale a été reformulée dans le cadre de la
géométrie non commutative par Chamesseddine [250, 251] ainsi que la théorie quantique des
champs non commutative a été reformulée par Szabo [252].
D’une certaine manière, on peut considérer que la géométrie non commutative est née avec la
mécanique quantique. En effet, dans sa première formulation, qui fut celle de Heisenberg, la
mécanique quantique apparaît sous une forme comparable à la mécanique Hamiltonienne où les
coordonnées de l’espace des phases sont remplacées par des opérateurs qui ne commutent pas
entre eux. D’autre part la non-commutativité est le concept mathématique qui exprime l’incertitude en mécanique quantique. La non-commutativité la plus simple que l’on peut postuler est
décrite en utilisant les coordonnées x de l’espace-temps.
114
7.7.2 L’espace de phase Non-commutatif
[xi , pj ] = iθij ,
(7.1)
où le paramètre θij est un tenseur antisymétrique constant.
A cause de l’intérêt considérable qui voue à ce champ de recherche dans le domaine de l’information quantique [253–255], nous nous intéressons dans la suite d’examiner les conséquences
de la non commutativité de l’espace de phase sur l’intrication d’un système à deux particules
en interaction avec un environnement.
7.2.2
L’oscillateur harmonique dans l’espace de phase non-commutatif
On se place dans un système d’unités où ~ = c = 1. Dans l’espace commutatif bidimensionnel
usuel, les opérateurs position α et impulsion β satisfont l’algèbre de Heisenberg
[αi , αj ] = 0,
(7.2)
[βi , βj ] = 0,
(7.3)
[αi , βj ] = iδji .
(7.4)
L’ensemble des coordonnées non commutatives (x, p) de position et d’impulsion satisfont les
relations de commutation suivantes
[xi , xj ] = iEij ,
(7.5)
[pi , pj ] = iBij ,
(7.6)
[xi , pj ] = iδji ,
(7.7)
où Eij et Bij sont les éléments des matrices E et B antisymétriques. La non-commutativité de
la géométrie de l’espace de phase est codée dans ces matrices antisymétriques. Le tenseur de
déformation Eij = Eij peut être considéré comme le tenseur dual de Bij = Bij avec ij = −ji .
De manière générale, si l’on définit un changement d’opérateurs de la forme
→
−
x   a b 

=
→
−
p
d c




→
−
α
→
− ,
β

(7.8)
avec a, b, c, d sont des matrices de dimension 2. Les conditions de transformation doivent
satisfaire les équations :
115
Chapitre 7. Corrélation quantique pour les états gaussiens dans un espace de
phase non commutatif
abT − baT = E,
(7.9)
cdT − dcT = −B,
(7.10)
caT − bdT = I.
(7.11)
L’oscillateur harmonique de deux dimensions est décrit par le hamiltonien
H=
1 X 2
(p + x2i ).
2 i=1,2 i
(7.12)
A partir de (7.12) et (7.8), le hamiltonien d’un oscillateur harmonique non commutatif est
donné par
1
1
H = Ω1 [(α1 )2 + (β1 )2 ] + Ω2 [(α2 )2 + (β2 )2 ],
(7.13)
2
2
où les pulsations Ω1 et Ω2 sont données par
q
1
E + B+ 4 + (E − B)2 ,
Ω1 =
2
(7.14)
q
1
Ω2 =
E + B− 4 + (E − B)2 .
2
(7.15)
7.3
L’équation maîtresse
Afin d’utiliser des systèmes quantiques dans les tâches du traitement quantique de l’information, une mesure 1 doit être effectuée. Elle implique une interaction de système étudié avec
un environnement 2 (voir figure 7.1). Dans ce sens, on modélise l’environnement comme un gros
réservoir, qu’on supposera peu perturbé par le système S. A ce stade, la question qui se pose
c’est comment peut-on décrire quantitativement l’évolution d’un système quantique S lorsqu’il
est couplé à son environnement ? Cette question est très générale et elle apparait dans de nombreux domaines de la physique. Pour répondre à cette question, des modèles mathématiques
basés sur l’équation Maîtresse [230, 232, 234, 235] ont été développé pour étudier l’évolution
d’un système quantique et aussi pour évaluer le phénomène de la décohérence. Dans ce cadre, on
1
Cette mesure implique une interaction de système étudié avec un instrument beaucoup plus grande, dans
ce sens cet instrument peut être traité théoriquement comme un grand bain de chaleur.
2
Il est important de noter qu’il est difficile d’isoler un système quantique de son environnement. Dans ce cas,
il faut tenir compte de l’influence de tout système externe afin de représenter l’évolution du système étudié.
Alors, il est indispensable d’étudier les systèmes quantiques ouvert en interaction avec un environnement
116
7.7.3
L’équation maîtresse
met l’accent sur la possibilité d’analyser les corrélations avec l’aide de l’équation de Langevin.
Il faut souligner que les solutions impliquent des complexités à cause de la nature quantique
des systèmes.
Figure 7.1 – Un système couplé à l’environnement par l’intermédiaire de l’hamiltonien d’interaction.
L’objet de ce qui suit de ce paragraphe est de définir une équation différentielle pour décrire
l’évolution au cours de temps d’un système quantique.
7.3.1
Equation de Langevin quantique
L’évolution d’un système quantique isolé est gouvernée par l’équation de Schrödinger. Afin
de décrire l’évolution des systèmes réalistes en contact avec leur environnement, l’approche de
l’équation maîtresse est utilisée. Ainsi, pour déterminer l’équation maîtresse, on utilise l’équation de Langevin quantique [258]. Dans ce paragraphe la dérivation est donnée pour une particule, mais on peut la généralisé facilement au cas de deux particules, couplés chacun à son
propre environnement. Dans notre modèle on considère que le système d’intérêt est en interaction avec un bain d’oscillateurs harmoniques.
Soit une particule lourde, de masse m en interaction avec un environnement qui sera modélisé
par un bain d’oscillateurs harmoniques, chaque oscillateur étant repéré par un indice j. En
toute généralité, le hamiltonien décrivant l’évolution du système total S + E est donné par :
1 X p2j
p2
+ V (x) +
+ mj ωj2 (qj − x)2 ,
H=
2m
2 j mj
(
)
(7.16)
où m est la masse de la particule quantique, mj et ωj désignent la masse et la fréquence
d’oscillateur j de l’ensemble des oscillateurs modélise l’environnement. En outre, x et p sont les
opérateurs de position et d’impulsion de la particule. qj et pj sont les opérateurs de position
et d’impulsion de l’oscillateur harmonique j. Les opérateurs qui commutent sont : [q, qj ] =
[q, pj ] = [p, qj ] = [p, pj ] = 0.
117
Chapitre 7. Corrélation quantique pour les états gaussiens dans un espace de
phase non commutatif
En développant le terme d’interaction, cet hamiltonien peut aussi s’écrit comme
H = HS + HE + HSE
(7.17)
avec HS , HE et HSE sont donnés par
κ
p2
+ x2
2m( 2
)
X
p2j
1
2 2
=
+ mj ωj qj
2mj 2
j
HS =
(7.18)
HE
(7.19)
HSE = −x
X
mj ωj2 qj
(7.20)
j
P
Où κ = j mj ωj . Dans cette forme développée on trouve le terme d’interaction entre S et E.
A partir de (7.16) on trouve les équations de mouvement de Heisenberg qui sont données par
les expressions
i
p
dx
=
[Hsys , x] =
dt
~
m
X
dp
dV
=
+
mj ωj2 (qj − x)
dt
dx
j
dqj
dt
dpj
dt
=
pj
m
(7.21)
= −mj ωj2 (qj − x)
Il en résulte que
d2 qj
= −mj ωj2 (qj − x).
2
dt
Cette équation peut être résolue formellement pour
qj (t) =
qjh (t)
qjh (t)
+ x(t) −
Z t
−∞
(7.22)
cos [ωj (t − t0 )] ẋ(t0 ) dt0 ,
pj
= qj cos(ωj t) +
sin(ωj t).
ωj mj
(7.23)
En introduisant les quantités suivantes
µ(t) =
X
ξ(t) =
X
mj ωj2 cos(ωj t)Θ(t),
j
j
118
mj ωj2 qjh (t),
(7.24)
7.7.3
L’équation maîtresse
qui définissent respectivement, la fonction de mémoire et l’opérateur de la force aléatoire (the
operator-valued random force). Les fonctions µ(t) et ξ(t) décrivent l’interaction avec le système
( c.-à-d. l’influence sur le système) et Θ(t) dénote la fonction de Heaviside usuelle. En insérant
(7.24) dans (7.21), on trouve l’équation de Langevin quantique :
mẍ +
Z t
µ(t − t0 )ẋ(t0 ) dt0 + V 0 (x) = ξ(t).
(7.25)
−∞
La matrice densité totale ζ du système couplé au bain obiét à l’équation du mouvement d’Heisenberg qui est donnée par
i
[H, ζ]
~
i
i X 1 2
=
[HS , ζ] +
( [p , ζ] + mj ωj2 [(qj − x)2 , ζ]).
~
2~ j mj j
ζ̇ =
(7.26)
(7.27)
Remarque : Comme on s’intéresse seulement au système et non pas au bain, dans la suite pour
étudier la matrice densité du système en prenant la trace sur les états du bain thermique.
Le développement de cette dernière équation du mouvement donne
0
Z t
i
i
i
0 dx(t )
0
µ(t − t )
dt ]+ .
ζ̇ = [HS , ζ] − [[x, ζ], ξ(t)]+ + [[x, ζ],
~
2~
2~
dt
−∞
(7.28)
avec le symbole [, ]+ désigne l’anticommutateur de deux opérateurs. Dans le cas où l’environnement est une source de chaleur ohmique [258] on a
Z t
µ(t0 )ẋ(t0 ) dt0 → γ ẋ(t),
(7.29)
−∞
On trouve finalement l’expression de l’ équation de Langevin quantique pour une observable ζ
qui est donnée par l’équation suivante
ζ̇ =
7.3.2
i
i
iγ
[Hs , ζ] −
[[x, ζ] , ξ(t)]+ +
[[x, ζ] , ẋ(t)]+ .
~
2~
2~
(7.30)
Dérivation de l’équation maîtresse
Pour étudier la dynamique d’un système en interaction avec un environnement, on utilise
l’équation maîtresse quantique. L’équation maîtresse est une équation approximative agissant
sur l’opérateur densité du système quantique. Parmi les approximations utilisées dans ce cadre,
on trouve l’approximation de Born.
119
Chapitre 7. Corrélation quantique pour les états gaussiens dans un espace de
phase non commutatif
7.3.2.1
Approximation de Born
La source de chaleur ( bain thermique) est supposée à l’équilibre thermique, ceci constitue
une bonne approximation dans le cas d’un couplage faible 3 entre le système et le bain thermique. Pour progresser dans l’établissement d’une équation d’évolution simple pour ρ(t), on
est maintenant procéder à une approximation essentielle (approximation de Born). On constate
que le système S interagit très peu avec l’environnement de sorte que l’état de l’environnement
E est très peu influencé par l’interaction. Notons que l’environnement doit posséder un très
grand nombre de degrés de liberté. Alors à chaque instant t on peut remplacer l’opérateur
densité ρ(t) par une valeur approchée. Dans ce sens la matrice densité du système composite
total se factorise sous la forme d’un produit tensoriel de la matrice de densité du système ρS (t)
et celle du bain ρE .
ρ(t) = ρS (t) ⊗ ρE
(7.31)
7.3.2.2
Equation maîtresse quantique
Pour trouver l’équation maîtresse, on utilise l’équation adjointe qui fournit un lien entre les
formalismes de Heisenberg et de Schrödinger. Nous utilisons l’équation (7.32) pour passer à la
représentation de Schrödinger
Trs {ζ(t)ρ} = Trs {ζρ(t)}
(7.32)
où Trs est la trace sur le système et ζ(t) est un observable aléatoire. Il en résulte facilement à
partir de (7.30) et de (7.32) que ρ(t) satisfait à l’équation adjointe suivante :
i
iγ
i
ρ̇(t) = − [Hs , ρ(t)] − [[ξ(t), ρ(t)]+ , x] + [[ẋ, ρ(t)]+ , x].
~
2~
2~
(7.33)
A partir de cette équation on peut trouver l’équation d’évolution de systéme étudié.
On suppose que le bruit est faible. Pour indiquer cela, on introduit un petit paramètre et on
remplace ξ(t) par ξ(t). Cela permet de dériver l’équation maîtresse qui définit l’évolution de
la matrice densité, en adoptant une démarche perturbative, qui a l’avantage d’être plus simple
que celle de Caldeira et Leggett [259]. On écrit ρ(t) au second ordre en comme
ρ(t) = ρ0 (t) + ρ(t) + 2 ρ(t)
3
(7.34)
dans l’approximation de couplage faible on suppose que le hamiltonien d’interaction HSE est beaucoup plus
faible que le hamiltonien du système ou d’environnement et que l’état du bain n’est pas significativement changé
par le système.
120
7.7.3
L’équation maîtresse
on substitue l’équation (7.34) dans l’équation adjointe (7.33), on trouve
i
i
iγ
[Hs , ρ0 (t)] − [[ξ(t), ρ0 (t)]+ , x] + [[ẋ, ρ0 (t)]+ , x]
~
2~
2~
i
iγ
i 2
−
[Hs , ρ1 (t)] − [[ξ(t), ρ1 (t)]+ , x] + [[ẋ, ρ1 (t)]+ , x]
~
2~
2~
iγ 2
i 2
[Hs , ρ2 (t)] + [[ẋ, ρ2 (t)]+ , x].
−
~
2~
ρ̇(t) = −
(7.35)
On utilise la relation d’autocorrélations donnée par
0
h[ξ(t), ξ(t )]+ i =
1Z∞
~ω
0
G(ω)~ωcoth(
)cos(ω(t − t )dω
π 0
2kT
(7.36)
où T est la température du bain de chaleur et G(ω) est la densité spectrale exprimée par la
relation suivante
πX
0
0
G(ω) = 2
mj ωj2 (δ(t − t ) + δ(t + t )),
(7.37)
j
Pour un environnement ohmique notre fonction de densité spectrale est G(ω) → γ(t).
On suppose que l’environnement et le bain thermique est découplé à l’instant t=0 ρ0 (t) = ρS⊗
ρE . A partir de ces conditions on trouve finalement l ’équation m aîtresse q ui d onne l’évolution
temporelle de la matrice densité [260]
i
i
iγ h
kT γ
ρ̇(t) = − [Hs , ρ(t)] +
[ẋ, ρ(t)]+ , x − 2 [[ρ(t), x] , x] .
~
2~
~
(7.38)
Le premier terme de l’équation (7.38) représente l’évolution unitaire de l’état du système. Ainsi
l’apparition des deux autres termes issus du couplage du système avec le bain de chaleur, ces
deux termes permettent de tenir compte l’évolution non-unitaire du système quantique.
121
Chapitre 7. Corrélation quantique pour les états gaussiens dans un espace de
phase non commutatif
7.4
Intrication et les variables continues
Lorsque deux systèmes sont couplés, une certaine corrélation quantique est établie entre
eux. Ici, il s’agit de calculer les corrélations quantique lorsque un système dans un état gaussien
est au contact d’un bain de chaleur [261] évolue dans un espace de phase non commutatif.
Les états gaussiens sont les états les plus utilisés expérimentalement et sont décrits par les
variables continues qui sont beaucoup plus riches que les variables discrets.
L’ensemble des états gaussiens est l’ensemble des états dont certaines des fonctions caractéristiques (fonction de Wigner) dans l’espace des phases sont gaussiennes. Une des propriétés
fondamentales d’un état gaussien est qu’il est complétement caractérisé par les premiers et les
seconds moments des opérateurs de quadrature. Par conséquent, pour connaître toute information de système étudié, il suffit de trouver la matrice de covariance Γ. Un état gaussien est
décrit par la matrice de covariance suivante
Γij = 2ReT r[ρ Xi − hXi iρ
où

Xj − hXj iρ ]
(7.39)

0 1 

σ = ⊕N
j=1
−1 0
Xj = x1 , p1 ........, xN , pN c’est le vecteur des premiers moments. Cette matrice de covariance
satisfait la relation [262] :
Γ + iσ 0.
(7.40)
où Le vecteur de déplacement est considérée comme nul dans notre exemple. La matrice de
covariance réduite est donnée par l’expression suivante
Γij = 2ReT r[ρ (Xi Xj )]
(7.41)
Nous utilisons la négativité logarithmique pour quantifier le degré d’intrication dans les systèmes
composites. La négativité logarithmique est définie comme
EN (ρ) = −
2n
X
log2 (min (1 , | λi |)),
(7.42)
i=1
où̀ les λi sont les valeurs propres symplectiques de la matrice de covariance Γ> . l’expression
de la négativité logarithmique sera utilisée pour le reste du présent travail pour quantifier les
corrélations quantiques.
122
7.7.5 L’évolution d’un état gaussien de deux particules dans l’espace de phase
non commutatif
Remarque : Pour un système bipartite avec les opérateurs (X1 , P1 , X2 , P2 ), un transposé partielle
pour la première particule implique que P1> est remplacée par −P1 [104, 263].
7.5
L’évolution d’un état gaussien de deux particules
dans l’espace de phase non commutatif
Le model étudie dans cette partie c’est un système de deux oscillateurs harmoniques plongé
dans un espace de phase non commutatif couplé avec une source de chaleur (environnement
thermique).
L’hamiltonien d’oscillateur harmonique non commutative de deux dimensions est donné par
l’expression suivante
1
1
(7.43)
HS = Ω1 [x21 + p21 ] + Ω2 [x22 + p22 ]
2
2
où les expressions de Ω1 et Ω2 sont données respectivement par (7.14) et (7.15). Ainsi, le
hamiltonien totale de notre modèle est donné par
1 X p2j
+ mj ωj2 (qj − x)2
H = HS +
2 j mj
(
)
(7.44)
la généralisation de l’équation maîtresse (7.38) pour deux particules est donnée par l’expression
iγ1
i
ρ̇(t) = − [Hs , ρ(t)] +
~
2~
iγ2
+
2~
k1 T1 γ1
[[ρ(t), x1 ] , x1 ]
~2
h
i
k2 T2 γ2
[ẋ2 , ρ(t)]+ , x2 −
[[ρ(t), x2 ] , x2 ] .
~2
h
i
[ẋ1 , ρ(t)]+ , x1 −
(7.45)
A partir de l’équation (7.45) on vérifie que
∂
i
hx|ρ|yi = − [(Ω1 hx21 − y12 i) + (Ω2 hx22 − y22 i)
∂t
2h
∂
∂
∂
∂
+(Ω1 (−ih)2 h 2 − 2 i) + (Ω1 (−ih)2 h 2 − 2 i)]
∂x1 ∂y1
∂x2 ∂y2
!
!
γ1
∂
∂
γ2
∂
∂
−
(x1 − y1 )
−
ρ−
(x2 − y2 )
−
ρ
2m
∂x1 ∂y1
2m
∂x2 ∂y2
γ1 kT1
γ2 kT2
− 2 (x1 − y1 )2 ρ −
(x2 − y2 )2 ρ.
2
~
~
(7.46)
Dans la suite on suppose que les masses sont égales et que les températures T1 = T2 = T .
Nous utilisons le changement de variable x = u + ~z, y = u − ~z, pour que la matrice densité
123
Chapitre 7. Corrélation quantique pour les états gaussiens dans un espace de
phase non commutatif
ρ(x, y, t) est transformée en P (u, z, t) et on applique la transformation de Fourier suivante
Pe (q, z, t)
=
Z
du1 du2 P (u, z, t) exp(−iq1 u1 − iq2 u2 ).
(7.47)
Finalement, on trouve l’équation différentielle suivante
X
1
∂
γj
∂
∂
∂ e
P (q, z, t) =
−
qj Ωj
− zj
− 4γj kTj zj2 )Pe (q, z, t) .
(2zj Ωj
∂t
∂qj
2m
∂zj
m ∂zj
j=1,2
(7.48)
Cette équation différentielle peut être résolue en utilisant la méthode caractéristique
dPe
= −4γkT (z12 + z22 )Pe .
dt
(7.49)
Il s’en suit que l’équation caractéristique s’écrit
1
1
γ1
γ2
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
v(t) = (2z1 Ω1
q1 Ω1
q2 Ω2
+ 2z2 Ω2
+
+
− z1
− z2
)v
∂t
∂q1
∂q2 2m
∂z1 2m
∂z2 m ∂z1 m ∂z2
= M v(t)
(7.50)
où v(t) = (z1 , z2 , q1 , q2 ). Nous utilisons une représentation matricielle de (7.50) nous aboutissons
à





γ1
Ω1
z
0
0
∂
z
m
2m

 1 
 t 1 




γ2
Ω2  

 z 
 ∂t z2 
0 2m 
0
m
 2 .

=
(7.51)





 −2Ω1
  q1 
 ∂ t q1 
0
0
0





0
−2Ω2 0
0
q2
∂ t q2
Pour résoudre l’équation différentielle (7.48), nous avons besoin de calculer les valeurs et les
vecteurs propres de


γ1
Ω1
0
0
m
2m



γ2
Ω2 

0
0 2m 
m
.
M =
(7.52)



 −2Ω1
0
0
0


0
−2Ω2 0
0
124
7.7.5 L’évolution d’un état gaussien de deux particules dans l’espace de phase
non commutatif
qui sont données par les expressions suivantes
γ2 +
q
γ22
λ1 =
−
4mΩ22
(7.53)
2m
γ2 −
q
λ2 =
γ22 − 4mΩ22
(7.54)
2m
γ1 +
q
γ12 − 4mΩ21
λ3 =
(7.55)
2m
γ1 −
q
λ4 =
γ12 − 4mΩ21
(7.56)
2m
et les vecteurs propres sont regroupés dans la matrice Q :

0


Q=
 −λ1
 2Ω2

 0

1
0
−λ3
2Ω1
−λ4
2Ω1
−λ2
2Ω2
0
1
0
0
1
0
0
1








en intégrant l’équation (7.50), donc en trouvant de manière évidente l’expression de v(t) qui
est donnée par
v(t) = QeDt Q−1 v0
(7.57)
où

eDt =







eλ1 t 0
0
0
0 eλ2 t 0
0
λ3 t
0
0 e
0
0
0
0 e λ4 t




,



(7.58)
les λi , (i = 1, 2, 3, 4) sont donnés par les équation (7.53), (7.55), (7.56) et (7.56). Finalement,
on déduit immédiatemment que








z1
z2
q1
q2
















=
α(t) 0 β(t) 0
0 λ(t) 0 γ(t)
θ(t)
0
δ(t) 0
0 ν(t) 0
ε(t)








z01
z02
q01
q02








(7.59)
125
Chapitre 7. Corrélation quantique pour les états gaussiens dans un espace de
phase non commutatif
où les expressions analytiques des coefficients α(t), λ(t), γ(t)... sont regroupées dans l’annexe
A.
A partir de l’équation ci-dessous on trouve les expressions explicites de z12 et z22 . A ce stade,
nous insérons z12 et z22 dans (7.49) on trouve que
dPe
2
2
2
2
= −4γkT (α2 (t)z10
+ β 2 (t)q10
+ λ2 (t)z20
+ γ 2 (t)q20
+ 2α(t)β(t)z10 q10 + 2λ(t)γ(t)z20 q20 )Pe
dt
(7.60)
Pour trouver la matrice densité Pe en intégrant l’équation ci-dessous et après quelques simplification on aboutit à l’equation suivante
e 2 + Bz
e 2 + Cq
e 2 + Dq
f 2 + Ez
e
e
Pe = P0 exp[(−4γkT (Az
10 q10 + F z20 q20 )],
10
20
10
20
(7.61)
e B....
e
les expressions des coefficients A,
sont données dans l’annexe B.
Pour examiner la dynamique de l’intrication, nous avons choisi un état gaussien initial de la
forme
−(x1 − x2 )2
−(x1 − x2 )2
1
Ψ(x1 , x2 ) = √
)exp(
)
(7.62)
exp(
4s2
16d2
2πsd
où s désigne la distance entre les particules et d désigne la largeur de centre de masse du
système. La densité correspondante à la fonction d’onde Ψ(x1 , x2 ) est
0
0
0
0
(x1 − x2 )2
(x1 − x2 )2 (x1 − x2 )2
(x1 − x2 )2
ρ(x1 , x2 ) = Ωexp[(−
)
−
(
−
)
−
(
)]
4s2
16d2
4s2
16d2
(7.63)
La transformation de Fourier de la densité de l’état initial (7.62) est donnée par
−+
+
−
2
2
q10
−
q20
−
q10 q20 ),
2
2
2
2
2
4 (+ − − )
4 (+ − − )
2 (+ − 2− )
(7.64)
q20, sont donnés par
2
2
Pe0 = exp(−+ ~2 z10
−+ ~2 z20
+2− ~2 z10 z20 )×exp(
où ± =
1
2s2
±
1
.
8d2
Les coefficients z10, z20, q10,








z01
z02
q01
q02
















=
α(−t)
0
β(−t)
0
0
λ(−t)
0
γ(−t)
θ(−t)
0
δ(−t)
0
0
ν(−t)
0
ε(−t)








z1
z2
q1
q2




.



(7.65)
Finalement, on trouve l’expression de la matrice densité donnée par
Pe = exp(−Az12 − Bz22 − Cz1 z2 − Dq12 − Eq22 − F q1 q2 − Gz1 q1 − Hz2 q2 − Jz1 q2 − Kz2 q1 ) (7.66)
126
7.7.5 L’évolution d’un état gaussien de deux particules dans l’espace de phase
non commutatif
Les expressions explicites des coefficients qui apparaissent dans l’équation (7.66) sont regroupées dans l’annexe C.
Afin de calculer la négativité logarithmique, il est indispensable de calculer la matrice de covariance Γ de système. Pour calculer les éléments de la matrice de covariance on utilise les
propriétés suivantes
!
2 RehXi Xj i =
2 RehXi Pj i =
2 RehPi Xj i =
2 RehPi Pj i =
∂ ∂
−2
P̃ (q, z = 0, t) |q=0
∂qi ∂qj
∂ ∂
P̃ (q, z, t)|q=0,z=0
∂qi ∂zj
∂ ∂
P̃ (q, z, t)|q=0,z=0
∂zi ∂qj
!
1 ∂ ∂
P̃ (q = 0, z, t) |z=0 .
−
2 ∂zj ∂zj
Cette méthode nous permet d’obtenir les résultats explicites de la matrice de covariance, mais
d’une manière beaucoup plus facile. La matrice de covariance symétrique Γ est donnée par
l’expression


4D
−G
2F
−K




C
 −G

A
−J
2

.
(7.67)
Γ=

 2F

−J
4E
−H


−K C2 −H B
Les valeurs propres symplectiques λ± sont les racines carrées des valeurs propres de la matrice
R définie par
R = −σΓσΓ>
(7.68)
où les éléments de la matrice R sont données par les formules suivantes
r12 = r21 = r43 = r34 = 0
(7.69)
r11 = r22 = −G2 + 4AD + JK − CF
(7.70)
r44 = r33 = −~2 + 4EB + JK − CF
(7.71)
r24 = r31 = −2DC + KG + 2F B − KH
(7.72)
r23 = −r41 = 4DJ − 2F G − 2HF + 4KE
(7.73)
r13 = r42 = −GJ + 2AF + JH + 4JE
GC CH
r14 = −r32 =
+
− AK − JB
2
2
(7.74)
(7.75)
127
Chapitre 7. Corrélation quantique pour les états gaussiens dans un espace de
phase non commutatif
Nous notons ici qu’on a deux valeurs propres dégénérées. Par conséquent, la négativité logarithmique est donnée par l’expression
|λ− |
|λ+ |
)) + 2 log2 (min(1,
)),
~
~
(7.76)
r11 + r33 q
|λ± | =
± (r11 − r33 )2 + 4r13 r24 − 4r14 r23
2
(7.77)
E(ρ) = −2 log2 (min(1,
avec
2
7.6
Discussion des résultats
Pour explorer l’influence de la déformation, nous avons tracé la négativité logarithmique en
fonction du temps t pour différentes valeurs du paramètre de déformation E et B La figure 7.2
Figure 7.2 – Négativité logarithmique en fonction de temps pour plusieurs valeurs de E. Pour B = 0,
T = 1, m = 1, s = 12 , d = 2, les valeurs de E sont : rouge E=0, bleu E=0.1, bleu vif E=0.25, vert E=0.5
Figure 7.3 – Négativité logarithmique en fonction de temps pour plusieurs valeurs de B. Pour E = 0,
T = 1, m = 1, s = 12 , d = 2, les valeurs de B sont : rouge B=0, bleu B=0.1, bleu vif B=0.25, vert B=0.5
128
7.7.6 Discussion des résultats
donne le comportement de la négativité logarithmique en fonction de temps. Si le paramètre de
déformation E augmente, nous constatons que la naissance de l’intrication est plus accentuée.
L’augmentation de E induit à l’augmentation de l’intrication dans le système. En outre, nous
avons trouvé les mêmes résultats dans le cas de paramètre de déformation B. Le même effet
est observé pour la déformation B dans la figure 7.3. La disparition de l’intrication pour une
période de temps est dû à la phénomène de la mort soudaine de l’intrication. Ainsi, l’apparition
de cette intrication après une période de temps est désignée à la phénomène de la naissance
soudaine de l’intrication.
La figure 7.4 montre deux comportements de l’intrication pour des valeurs différentes de s
par rapport à t, pour (E = 0 et E = 0, 25). A partir de la figure 7.4, on remarque que si la
distance entre les particules augmente l’intrication augmente aussi pour les deux cas E = 0
et E 6= 0. Nous pouvons également voir que la naissance de l’intrication est retardée lorsque
le paramètre de déformation est non nul, et après un temps court cette intrication tend à
disparaître rapidement à cause de la phénomène de la décohérence.
Figure 7.4 – Négativité logarithmique en fonction de temps pour plusieurs valeurs de s. Pour B = 0,
T = 1, m = 1, d = 2, les valeurs de s sont : rouge s=0.5, bleu s=1, vert s=2.
129
Chapitre 7. Corrélation quantique pour les états gaussiens dans un espace de
phase non commutatif
7.7
Conclusion
Dans ce chapitre, nous avons obtenu des expressions explicites de la négativité logarithmique
pour un système composé de deux particules intriquées. Chaque particule est couplée à un
réservoir indépendant. ce model traite deux particules évaluant dans un espace de phase non
commutatif. Pour évaluer l’intrication des états gaussiens on a défini la matrice de covariance.
L’influence de l’espace de phase non commutatif a été étudié. Dans l’espace de phase non
commutatif le couplage avec les réservoirs détruit brusquement l’intrication avec le phénomène
de la mort soudain d’intrication. Mais après une période de temps nous observons la renaissance
de cette intrication.
130
7.7.7
Conclusion
Annexe A : Les expressions analytiques des coefficients de l’équation (7.59)
α(t) =
β(t) =
λ(t) =
γ(t) =
ν(t) =
θ(t) =
δ(t) =
ε(t) =
λ3
λ4
exp(λ3 t) −
exp(λ4 t)
λ3 − λ4
λ3 − λ4
λ4 λ3
λ4 λ3
exp(λ3 t) −
exp(λ4 t)
2Ω1 (λ3 − λ4 )
2Ω1 (λ3 − λ4 )
λ1
λ2
exp(λ1 t) −
exp(λ2 t)
λ1 − λ2
λ1 − λ2
λ2 λ1
λ2 λ1
exp(λ1 t) −
exp(λ2 t)
2Ω2 (λ3 − λ1 )
2Ω2 (λ1 − λ2 )
−2Ω2
2Ω2
exp(λ1 t) +
exp(λ2 t)
λ1 − λ2
λ1 − λ2
−2Ω1
2Ω1
exp(λ3 t) +
exp(λ4 t)
λ3 − λ4
λ3 − λ4
λ4
λ3
−
exp(λ3 t) +
exp(λ4 t)
λ3 − λ4
λ3 − λ4
λ2
λ1
−
exp(λ1 t) +
exp(λ2 t)
λ1 − λ2
λ1 − λ2
Annexe B :Les expressions explicites des coefficients de l’équation (7.61)
!2
!2
λ4
λ3 λ4
λ3
(λ3 +λ4 )t
(e2λ3 t − 1) +
(e2λ4 t − 1) − 2
Ae =
− 1)
2 (e
λ3 − λ4
λ3 − λ4
(λ3 − λ4 )
2
1
e
(λ21 (e2λ1 t − 1) + λ22 (e2λ2 t − 1) − 2λ1 λ2 (e(λ1 +λ2 )t − 1))
B =
λ1 − λ2
!2
λ
λ
3
4
((e2λ3 t − 1) + (e2λ4 t − 1) − 2(e(λ3 +λ4 )t − 1))
Ce =
2f (λ3 − λ4 )
!
!2
f =
D
Ee =
Fe =
λ1 λ2
((e2λ1 t − 1) + (e2λ2 t − 1) − 2(e(λ1 +λ2 )t − 1))
2e (λ1 − λ2 )
!
h
i
λ3 λ4
λ3 (e2λ3 t − 1) + λ4 (e2λ4 t − 1) − λ3 (e(λ3 +λ4 )t − 1) − λ4 (e(λ3 +λ4 )t − 1
2f (λ3 − λ4 )
!
i
h
λ1 λ2
λ1 (e2λ1 t − 1) + λ2 (e2λ2 t − 1) − λ1 (e(λ1 +λ2)t − 1) − λ2 (e(λ1 +λ2 )t − 1
2e (λ1 − λ2 )
131
Chapitre 7. Corrélation quantique pour les états gaussiens dans un espace de
phase non commutatif
Annexe C : Les expressions explicites des coefficients de l’équation (7.66)
+
2
e
e
+ 4γkT C)(θ
(−t)) + 4γkT Eα(−t)θ(−t)
2
4(+ − 2− )
+
2
f
4γkT D)(υ
(−t)) + 4γkT Fe λ(−t)υ(−t)
( 2
4(+ − 2− )
2
e
A = ((+ ~2 + 4γkT A)(α
(−t)) + (
2
e
B = (+ ~2 + k4γT B)(λ
(−t) +
C =
D =
E =
F =
G =
−
θ(−t)υ(−t) + (−2− ~2 )α(−t)λ(−t)
− 2− )
+
e 2 (−t) + 4γkT Eβ(−t)δ(−t)
e
e 2 (−t) + (
+ 4γkT C)δ
(+ ~2 + 4γkT A)β
2
4(+ − 2− )
+
e 2 (−t) + (
e 2 (−t) + 4γkT Fe ε(−t)γ(−t)
(+ ~2 + k4γT B)γ
+ 4γkT C)ε
2
4(+ − 2− )
−
(δ(−t)ε(−t) − (2− ~2 )β(−t)γ(−t)
2
2
2(+ − − )
+
e
e
(+ ~2 + 4γkT A)(2α(−t)β(−t))
+( 2
+ 4γkT C)2θ(−t)γ(−t)
4(+ − 2− )
2(2+
e
e
+ 4γkT E(α(−t)(δ(−t)))
+ (4γkT E)β(−t)θ(−t)
+
f
e
+ kγT D)(2ε(−t)υ(−t))
H = (+ ~2 + 4γkT B)(2(λ(−t)γ(−t))
+( 2
4(+ − 2− )
+ 4γkT Fe (λ(−t)ε(−t) + γ(−t)υ(−t))
−
J = ( 2
)(θ(−t)ε(−t)) − (2− ~2 )(α(−t)γ(−t))
2(+ − 2− )
−
)(δ(−t)ν(−t)) − (2− ~2 )(β(−t)λ(−t))
K = ( 2
2
2(+ − − )
132
Conclusion générale
Dans ce travail, une attention particulière a été accordée aux systèmes d’états cohérents
multipartites. En effet, nous avons analysé les corrélations quantiques présentes dans des états
cohérents de l’algèbre de Heisenberg (état cohérent de Glauber) et les états cohérents de l’algèbre su(2) (états cohérents de spin). L’intérêt pour ce type d’états est motivé essentiellement
par le fait que ces états minimisent les fluctuations quantiques (principe d’incertitude de Heisenberg) et se plaçant à la limite quantique-classique. La seconde raison de cet intérêt pour
ce type d’état est le fait qu’ils peuvent être produits expérimentalement et donc peuvent être
utilisés pour coder de l’information quantique et la transmettre. Dans cette perspective, nous
avons calculé les corrélations quantiques par le biais de l’entropie de l’information, la discorde
quantique entropique et sa variante géométrique basée sur la distance de Hilbert-Schmidt. Nous
nous sommes intéressés aussi à la notion de la monogamie de l’intrication qui est un élément
essentiel dans le domaine de l’information quantique. Ce concept qui stipule qu’une particule
ne peut être complétement intriquée avec deux particules en même temps.
Nous avons souligné l’importance des états cohérents de Glauber qui sont définis comme
étant des superpositions d’états du champ électromagnétique quantifié dans les divers thèmes de
la théorie de l’information quantique. Nous avons également fait la mise au point dans laquelle
nous avons présenté les expressions explicites des états cohérents de spin pair et impair qui ont
basé sur l’algèbre de Lie su(2). Dans ce contexte, nous avons examiné les corrélations quantiques
bipartites par la mesure de l’entropie de formation et de la discorde quantique. Nous avons
trouvé que la somme globale des corrélations mesurée par les entropies de formation bipartites
et la somme des discordes quantiques bipartites coïncident pour un état cohérent tripartite.
Nous avons examiné aussi la relation de monogamie pour un cas spécial des états cohérents
tripartites de spin. Nous avons trouvé que les deux mesures sont monogames pour les états pairs,
contrairement au cas impairs où ils violent la relation de monogamie lorsque le paramètre de
133
Conclusion générale
recouvrement des états cohérents p approche l’unité. Finalement, il est intéressant de noter que
les états cohérents tripartites impairs (m = 1) interpolent entre l’état de trois qubits de (GHZ)
lorsque p → 0 et l’état W lorsque p → 1. De plus nous avons trouvé que l’état GHZ satisfait
la relation de monogamie et l’état W viole cette inégalité.
Dans le même sens et pour comprendre d’avantage les corrélations quantiques présentées
dans un système quantique multipartite, nous avons étudié les états non-orthogonaux tripartites. Nous nous sommes intéressés aux états chat de Schrödinger tripartites. Nous avons étudié
le comportement de la version géométrique de la discorde quantique. A partir de comparaison
des corrélations quantiques tripartites de la concurrence, la discorde quantique et sa version
géométrique, nous avons trouvé que ces trois mesures donnent approximativement la même
quantité de corrélation quantique pour les états non-orthogonaux tripartites pairs (m = 0).
Mais dans le cas impair nous avons une situation différente. En effet nous avons remarqué que
la corrélation globale de la discorde quantique est plus grande que la somme des corrélations
quantiques bipartites mesurées par la concurrence ou par la discorde géométrique. De plus,
dans ce type d’états nous avons trouvé que la relation de monogamie est toujours satisfaite
pour la concurrence et la discorde quantique géométrique.
Les différentes mesures de corrélations quantiques que nous avons utilisé ne sont pas identiques et conceptuellement différentes. Afin de fournir un schéma unificateur, nous avons donné
une classification des corrélations quantiques et classiques. Dans notre analyse nous avons utilisé
l’entropie relative linaire pour obtenir des expressions explicites des corrélations classiques et
quantiques dans un système à deux qubits. La relation avec la mesure géométrique de HilbertSchmidt est discutée.
Dans la dernière partie de cette thèse, nous avons chercher à comprendre la relation entre la
non commutativité et l’intrication pour l’étude de la dynamique d’un état gaussien de deux particules. En ce point, Nous avons utilisé des variables continues. Dans notre analyse, nous avons
proposé un modèle d’un environnement ohmique et nous avons trouvé que la non commutativité codé dans les paramètres de déformation B et E, change le comportement de l’intrication.
Aussi, nous avons observé les deux phénomènes de la création et la disparition soudaine de
l’intrication.
Plusieurs questions demeurent ouvertes dans ce champ de recherche. Par exemple, il serait
intéressant d’étudier d’autres types des états quantiques intriqués qui peuvent être utilisables
dans le traitement quantique de l’information et que nous pouvons produire et contrôler expérimentalement. De plus, dans la littérature d’autres mesures des corrélations quantiques ont
été introduites et il serait intéressant de les étudier pour faire le lien avec les mesures discutées
dans ce travail aussi bien pour des variables discrètes que des variables continues .
134
Conclusion générale
Il serait également intéressant de comprendre d’avantage la dynamique des systèmes quantiques ouverts afin d’étudier d’autres modèles décrivant le couplage avec l’environnement pour
contrôler le phénomène de la décohérence. En effet, il existe des modèles qui utilisent des environnements sub-ohmiques ou sous-ohmiques. Dans ce contexte il faut étudier les corrélations
quantiques pour générer l’intrication et l’exploiter dans les différentes tâches de l’information
quantique.
La théorie de l’information quantique est un domaine de recherche très en vogue bien qu’il
est nouveau. Ce champ continuera à ce développer surtout avec les avancées expérimentales
récentes dans le domaine des nanotechnologies qui peuvent conduire à des supports physiques
nouveaux pour le stockage de l’information.
135
Conclusion générale
136
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147
UNIVERSITE MOHAMMED V
FACULTE DES SCIENCES
Rabat
N° d’ordre : 2844
THÈSE DE DOCTORAT
Discipline : Physique
Spécialité : Physique mathématique
Laboratoire: Laboratoire de Physique des Hautes Energies : Modélisation -Simulation
Responsable de laboratoire : El Hassan SAIDI
Période d’accréditation: 2012/2015
Mesure, quantification et caractérisation des corrélations quantiques
dans des systèmes d’états cohérents multipartites
KAYDI Wiam
Résumé:
L’adjonction des outils de la mécanique quantique et de la théorie classique de l’information
conduit à la naissance d’un nouveau champ de recherche pour le traitement de l’information codée
dans des systèmes quantiques. L’ingrédient clé pour ce type de traitement consiste en ’utilisation de
l’intrication quantique qui est une ressource fondamentale indispensable pour les nouvelles
applications de la physique quantique. Cette thèse porte essentiellement sur la mesure, la
caractérisation et la qutification des corrélations quantiques dans des systèmes quantiques
multipartites. Dans ce travail, nous avons discuté le concept de l’intrication quantique. De plus, des
différentes mesures des corrélations quantiques sont étudiées pour faire la distinction entre les états
intriqués et les états séparables. Les notions de la concurrence, l’entropie de formation, la négativité
logarithmique ont été utiisées dans ce sens et pour quantifier les corrélations qui sont de nature
purement quantique nous avons introduit la discorde quantique et sa version géométrique. A cause
de l’importance des systèmes multipartites dans la théorie de l’information quantique nous avons
étudié les corrélations quantiques pour un système des états cohérents de spin multipartites ainsi
que pour un système des états non-orthogonaux tripartites. Nous avons présenté également une
approche unificatrice des différentes corrélations (quantiques et classiques) en utilisant la notion de
l’entropie relative linéaire et nous avons discuté aussi une seconde approche unificatrice des
corrélations quantiques pour un système quantique bipartite en utilisant la mesure géométrique de
la discorde quantique. Finalement, nous avons étudié l’évolution de l’intrication au cours du temps
dans le cadre du formalisme des états gaussiens qui sont décrits par des variables continues dans un
espace de phase non-commutatif en contact avec un système externe pour comprendre bien la perte
des corrélations nécessaires pour implémenter des outils et des protocoles quantiques performants
en comparaison avec leurs analogues classiques, aussi pour chercher à comprendre la relation entre
la non-commutativité et l’intrication quantique.
Faculté des sciences, 4 Avenue Ibn Battouta B.P. 1014 RP, Rabat-Maroc
Tel +212 (0) 37 77 18 34/35/38, Fax: +212 (0) 37 77 42 61, http:/www.fsr.ac.ma