Amphi 7

Physique statistique (PHY433)
Amphi 7
Les électrons dans les solides
Gilles Montambaux
13 mars 2017
+
+
+
-
-
-
-
-
1
Électrons dans les solides
au moins 25 ordres de grandeurs entre un bon métal et un bon isolant
Résistivité
2
R=ρL
S
Électrons dans les solides
Plan du cours
I. Rappel sur le gaz parfait de fermions
II. Électrons dans un cristal, effet du réseau périodique
III. Conducteurs et isolants
IV. Semiconducteurs
3
Les propriétés physiques dépendent
de la structure du spectre au voisinage
du niveau de Fermi
Les électrons situés loin du niveau
de Fermi ne peuvent pas échanger
d’énergie
Rappels
Fermi-Dirac
facteur d’occupation d’un état quantique d’énergie
C=γT
4
k
B
T

Rappels
Nombre de particules
Énergie interne
D(²)∝²d/2−1
D(²)∝
√
²
d=3
²
D(²)=2 V
4π
2
(2m)
3/2
¯h
3
√²
en dimension d
²(~ k)=¯h2k2
2m
facteur de Fermi
densité d’états
5A température ambiante,
les électrons d’un métal forment un gaz fortement dégénéré
Pour caractériser un gaz d’électrons, il faut d’abord évaluer
son énergie (ou sa température) de Fermi
T¿T
F
k
B
T
F
=²
F
=(3π
2
)
2/3
¯h
2
ρ
2/3
2m
N=Z
²
F
0
D(²)d² =N
<
(²
F
)
=2V
(2π)
3
4π
3µ2m²
F
¯h
2
¶
3/2
N=2V
(2π)
3
4π
3k
3
F
ρ∼2.510
28
m
−3
T
F
∼36 000K
²
F
∼3eV
nombre d’électrons nombre d’états d’énergie inférieure à
²F
eV ↔k
B
T
1 eV  11600 K
Dans un métal (sodium) ,
ρ=N
V
²(~ k)=¯h
2
k
2
2m
Électrons libres ?
Hamiltonien des électrons
Électrons libres
Interaction avec les noyaux fixés aux points
d’un réseau périodique
Conducteurs, isolants, semiconducteurs,
transistors, magnétisme , (supraconducteurs) !
Interaction entre les électrons
NON ! Cette approximation est-elle valable ?
7
Électrons dans un solide
Interaction entre les électrons
Difficile !
« Problème à N corps »
Difficile !
à 1 corps :
hamiltonien à 1 corps :
« facile »
8
Électrons dans un solide

Interaction entre les électrons
« Problème à N corps »
Difficile !
Dans beaucoup de situations , on peut négliger l’interaction entre électrons
ou l’intégrer dans un problème à un corps effectif (champ moyen)
Il existe des situations où l’interaction e-e joue un rôle essentiel :
«physique des électrons fortement corrélés »,
un des grands challenges de la physique moderne
à 1 corps :
hamiltonien à 1 corps :
« facile »
9
Difficile !
Électrons dans un solide
Interaction entre les électrons
Ordres de grandeur :
L’interaction coulombienne (écrantée)
augmente avec la densité
L’énergie cinétique typique
augmente encore plus vite
L’interaction coulombienne devient négligeable
dans la limite de haute densité
« Problème à N corps »
a
distance moyenne entre électrons
10
Difficile !
Électrons dans un solide
Approximation de champ moyen
cf: physique statistique 2
On remplace le potentiel vu par l’électron i de la part de tous les autres,
par un potentiel moyen, le même pour tous les électrons. Ce potentiel effectif
dépend lui-même de la densité des autres électrons
Difficile !
Électrons dans un solide Électrons dans un solide : potentiel effectif périodique
« Problème à un corps »
Chaque électron se déplace dans le potentiel moyen dû aux atomes
et aux autres électrons
potentiel périodique
12

la méthode des liaisons fortes
Un électron dans un potentiel périodique
Deux approches possibles
faible
électron presque libre
fort
électron fortement lié
13
cf. PHY430, amphi 2
Exemple 1D
la méthode des liaisons fortes 14
Un électron dans un potentiel périodique
Spectre de si on connait les solutions de ?
N atomes
15
Un électron dans un potentiel périodique
On diagonalise h dans le sous-espace des états fondamentaux
Combinaison linéaire d’orbitales atomiques
N atomes
16
Un électron dans un potentiel périodique

Retour sur le double puits
On diagonalise h dans le sous-espace des états fondamentaux
h est une matrice 2x2 17
cf. PHY311, amphi 4
amplitude tunnel
intégrale de transfert
intégrale de saut
On diagonalise h dans le sous-espace des états fondamentaux
h est une matrice 2x2
dépend de la distance a
entre les atomes
18
Retour sur le double puits
h
11
=hR
1
|h|R
1
i=²'²
0
h
21
=hR
2
|h|R
1
i=−t
Éléments de matrice
Le couplage tunnel lève la dégénérescence des niveaux atomiques 20
Retour sur le double puits cf. PHY311, amphi 4