Amphi 7
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Physique statistique (PHY433) R=ρ Électrons dans les solides Résistivité Amphi 7 Les électrons dans les solides - + -+ -+ Gilles Montambaux au moins 25 ordres de grandeurs entre un bon métal et un bon isolant 13 mars 2017 1 2 Rappels Électrons dans les solides facteur d’occupation d’un état quantique d’énergie kB T Plan du cours Fermi-Dirac I. Rappel sur le gaz parfait de fermions II. Électrons dans un cristal, effet du réseau périodique Les propriétés physiques dépendent de la structure du spectre au voisinage du niveau de Fermi III. Conducteurs et isolants IV. Semiconducteurs Les électrons situés loin du niveau de Fermi ne peuvent pas échanger d’énergie 3 C = γT 4 L S Pour caractériser un gaz d’électrons, il faut d’abord évaluer son énergie (ou sa température) de Fermi Rappels Nombre de particules nombre d’électrons Énergie interne facteur de Fermi densité d’états D(²) ∝ √ N= ² D(²)d² = N<(²F ) 0 kB TF = ²F = (3π 2 )2/3 ² Dans un métal (sodium) , 3/2 √ V (2m) 4π 2 h̄3 d/2−1 D(²) ∝ ² en dimension d 5 Électrons dans un solide h̄2 ρ2/3 2m ρ ∼ 2.5 1028 m−3 TF ∼ 36 000K ²F ∼ 3 eV ² A température ambiante, h̄2 k2 ²(~k) = 2m nombre d’états d’énergie inférieure à ²F ²F V 4π 3 V 4π kF = 2 N =2 3 (2π)3 3 (2π) 3 d=3 D(²) = 2 Z µ 2m²F h̄2 ¶3/2 ρ= h̄2 k2 ²(~k) = 2m N V eV ↔ kB T 1 eV 11600 K T ¿ TF les électrons d’un métal forment un gaz fortement dégénéré Électrons dans un solide Difficile ! Électrons libres ? NON ! Cette approximation est-elle valable ? Hamiltonien des électrons Interaction entre les électrons « Problème à N corps » Interaction entre les électrons hamiltonien à 1 corps : « facile » Difficile ! Électrons libres Interaction avec les noyaux fixés aux points d’un réseau périodique Conducteurs, isolants, semiconducteurs, transistors, magnétisme , (supraconducteurs) ! 7 8 Électrons dans un solide Électrons dans un solide Difficile ! « Problème à N corps » Interaction entre les électrons hamiltonien à 1 corps : « facile » Difficile ! « Problème à N corps » Ordres de grandeur : Interaction entre les électrons a distance moyenne entre électrons Difficile ! L’interaction coulombienne (écrantée) augmente avec la densité L’énergie cinétique typique augmente encore plus vite Dans beaucoup de situations , on peut négliger l’interaction entre électrons ou l’intégrer dans un problème à un corps effectif (champ moyen) Il existe des situations où l’interaction e-e joue un rôle essentiel : « physique des électrons fortement corrélés », un des grands challenges de la physique moderne 9 L’interaction coulombienne devient négligeable dans la limite de haute densité 10 Électrons dans un solide : potentiel effectif périodique Électrons dans un solide Difficile ! Approximation de champ moyen On remplace le potentiel vu par l’électron i de la part de tous les autres, par un potentiel moyen, le même pour tous les électrons. Ce potentiel effectif dépend lui-même de la densité des autres électrons « Problème à un corps » potentiel périodique Chaque électron se déplace dans le potentiel moyen dû aux atomes et aux autres électrons cf: physique statistique 2 12 Un électron dans un potentiel périodique Un électron dans un potentiel périodique Exemple 1D Deux approches possibles faible cf. PHY430, amphi 2 électron presque libre fort électron fortement lié la méthode des liaisons fortes la méthode des liaisons fortes 13 Un électron dans un potentiel périodique Un électron dans un potentiel périodique N atomes Spectre de 14 N atomes si on connait les solutions de ? 15 On diagonalise h dans le sous-espace des états fondamentaux Combinaison linéaire d’orbitales atomiques 16 Retour sur le double puits cf. PHY311, amphi 4 Retour sur le double puits amplitude tunnel intégrale de transfert intégrale de saut dépend de la distance a entre les atomes On diagonalise h dans le sous-espace des états fondamentaux h est une matrice 2x2 17 Éléments de matrice h11 = hR1 |h|R1 i = ² ' ²0 On diagonalise h dans le sous-espace des états fondamentaux h est une matrice 2x2 Retour sur le double puits h21 = hR2 |h|R1 i = −t Le couplage tunnel lève la dégénérescence des niveaux atomiques 18 cf. PHY311, amphi 4 20 Retour sur le double puits cf. PHY311, amphi 4 Un électron dans un potentiel périodique, d=1 E Évolution typique des niveaux en fonction de la distance entre atomes 21 On diagonalise h dans le sous-espace des états fondamentaux Hamiltonien = matrice N x N 22 a Éléments de matrice Un électron dans un potentiel périodique, d=1 cal périodiques généralise tnl décroit très vite avec la distance hRl |h|Rl i = ² ' ²0 n−l , supposé nul au-delà 1er voisins hRn |h|Rl i = −t si n = l ± 1 cf. molécule de benzène PHY430, amphi 3 24 Un électron dans un potentiel périodique, d=1 Un électron dans un potentiel périodique cal périodiques généralise Vecteurs propres généralise le cas de deux atomes (solutions symétrique et antisymétrique) et satisfait la périodicité du réseau (Théorème de Bloch ) + Quantification par les cal périodiques 25 Un électron dans un potentiel périodique 26 Un électron dans un potentiel périodique, d=1 E a ²k = ² − 2t cos ka (Première zone de Brillouin) + Quantification par les cal périodiques ²k = ² − 2t cos ka N valeurs de k 27 Quasi-continuum de 2 SPIN N états dans une bande de largeur 4 t(a) 28 Un électron dans un potentiel périodique, en dimension d Un électron dans un potentiel périodique, d=1 E E a ²k = ² − 2t cos ka Généralisation : Un électron dans un potentiel périodique, dimension d réseau cubique Bande interdite ou « Gap » a ²~k = ² − 2t a d X cos kν a ν=1 Plusieurs états atomiques plusieurs bandes 2 (2l+1) N états dans chaque bande ²(~k) 6= ²(|~k|) Électrons sur un réseau carré surface de Fermi ²~k = ² − 2t(cos kx a + cos ky a) 30 29 ²(~k) 6= ²(|~k|) Électrons sur un réseau carré surface de Fermi ²~k = ² − 2t(cos kx a + cos ky a) ²~k ²~k ky ky ky ky kx 2N états dans une bande d’énergie (s) kx kx 2N états dans une bande d’énergie (s) Le nombre d’électrons fixe le niveau de Fermi kx Le nombre d’électrons fixe le niveau de Fermi 31 32 ²(~k) 6= ²(|~k|) Électrons sur un réseau carré surface de Fermi ²~k = ² − 2t(cos kx a + cos ky a) ²(~k) 6= ²(|~k|) Électrons sur un réseau carré ²~k = ² − 2t(cos kx a + cos ky a) ²~k ²~k ky ky ky kx kx kx 2N états dans une bande d’énergie (s) Pour une bande peu remplie, la surface de Fermi est isotrope Le nombre d’électrons fixe le niveau de Fermi Pour une bande demi-remplie, la surface de Fermi est un carré ! 33 ²(~k) 6= ²(|~k|) Électrons sur un réseau cubique ²~k = ² − 2t(cos kx a + cos ky a + cos kz a) ²~k = ² − 4t + ta2 k2 = ²min + mef f = 2 2 h̄ k 2mef f Masse effective h̄2 2ta2 34 ²(~k) 6= ²(|~k|) Électrons sur un réseau cubique ²~k = ² − 2t(cos kx a + cos ky a + cos kz a) surface de Fermi surface de Fermi Pour une bande peu remplie, la surface de Fermi est isotrope h̄2 k2 ²~k = ²min + 2mef f kz kz La masse effective peut être très différente de la masse « nue » de l’ électron Métaux Semiconducteurs « Fermions lourds » ky ~ 0,5 - 20 ~ 0.001 - 1 ~ 1000 Métaux Semiconducteurs « Fermions lourds » kx mef f = h̄2 2ta2 ky 35 ~ 0,5 - 20 ~ 0.001 - 1 ~ 1000 kx Bande demi-remplie 36 ²(~k) 6= ²(|~k|) La surface de Fermi du cuivre ²(~k) 6= ²(|~k|) Densité d’états (liaisons fortes) 1 √ ² D(²) D(²) D(²) d=1 d=2 d=3 ²/t ²/t Cte √ ² ²/t ²~k = ²max − 37 ²~k = ²min + h̄2 k2 2mef f h̄2 k2 2mef f 38 Conclusions importantes E E Bande interdite ou « Gap » métaux et isolants a Dans un cristal (potentiel périodique), les états électroniques permis sont répartis en bandes d’énergies séparées par des gaps. Ces bandes sont d’autant plus larges que les états atomiques se recouvrent Le spectre en bord de bande est quadratique avec une masse effective 2 (2l+1) N états dans chaque bande 39 40 Bandes d’énergie dans un métal : l’exemple du sodium Z=11 Bandes d’énergie dans un isolant : l’exemple du néon Z=10 N atomes N atomes Bande de valence 11 N électrons Bande de valence 10 N électrons Bande de conduction Bande de conduction Les bandes pleines ne conduisent pas Les bandes pleines ne conduisent pas Bas de la bande de conduction La bande de conduction est vide N électrons libres de masse effective Isolant Gap ~20 eV ~240 000 K Si le gap est de l’ordre de 1eV « Semiconducteur » 42 Électrons dans les solides * L’approximation de particules libres (qui néglige les interactions entre électrons) est souvent une bonne approximation. Les semiconducteurs * Le potentiel périodique du réseau modifie radicalement la dynamique des électrons « bandes » d’énergies séparées par des « gaps ». h̄2 k2 ²(~k) = 2me ²(~k) non isotrope * Les bandes pleines ne conduisent pas. * Isolant : la bande de conduction est vide (toutes les bandes sont pleines) * Métal : la bande de conduction est partiellement remplie. * En extrema de bande, h̄2 k2 ²(~k) = ²min + 2mef f les électrons se comportent comme des fermions libres de masse mef f 44 Un semiconducteur est un isolant à petit gap Ge: gap = 0,7 eV Si : gap = 1,1 eV Résistivité Résistivité 46 Porteurs de charge dans un semiconducteur T=0K Porteurs de charge dans un semiconducteur isolant T finie Bande de valence pleine Bande de conduction vide Gap ~1eV bande pleine - p(T) électrons (-e) = BV bande pleine + p(T) « trous » (+e) BC 47 « trous » dans la b. valence électrons dans la b. conduction Électrons dans la bande de conduction Électrons dans la b. de conduction et trous dans la b. de valence BV BC On procède de même pour calculer en posant 49 Trous dans la bande de valence 50 Nombre de porteurs BV BC Loi d’action de masse (indépendante de ) neutralité électrique BV 51 Le niveau de Fermi est au milieu du gap BC Nombre de porteurs Nombre de porteurs dans un semiconducteur « intrinsèque » silicium silicium * Variation rapide en température * Pente silicium impuretés impuretés Concentration de porteurs « intrinsèques » ∼ 10−12 par atome Applications : thermistors Une faible concentration d’impuretés change complètement le nombre de porteurs semiconducteurs « extrinsèques » Dopage « n » : impuretés donneuses Niveau « donneur » Dopage « p » : impuretés acceptrices L’atome de phosphore apporte un électron supplémentaire très faiblement lié autour de l’ion P+ L’atome de bore piège un électron de la bande de valence Niveau « accepteur » Na atomes de phospore libèrent BV BC électrons dans la BC libèrent BV n(T ) ' Nd Semiconducteur « n » atomes de bore 55 BC trous dans la BV p(T ) ' Na Semiconducteur « p » Les semiconducteurs dopés, briques de base pour l’électronique La LED : recombinaison des trous et des électrons La diode np p : trous libres n : électrons libres -+ -+ p -+ n -+ -+ bloque le passage du courant le courant ne passe pas le courant passe 57 58 Les semiconducteurs dopés, briques de base pour l’électronique Le transistor à effet de champ Prochain amphi 8. Thermodynamique du rayonnement, gaz de photons V<0 V>0 Rayonnement du corps noir, loi de Planck Equilibre thermique soleil terre, effet de serre Rayonnement fossile de l’univers La tension de grille V (gate voltage) contrôle le passage du courant 60
