Projet 1 : Résolution de l`équation instationnaire de la chaleur 1D

Projet 1 : Résolution de l’équation instationnaire de la chaleur
1D
Serge Bays
Février 2010
Nous allons étudier le problème physique de la propagation de la chaleur dans un mur.
Ce problème sera modélisé, puis analysé mathématiquement afin d’en déterminer les solutions
exactes dépendantes de la condition initiale et des conditions aux limites. Ceci se fera en une dimen-
sion d’espace, à travers deux cas particuliers : une température initiale uniforme dans le mur avec une
brusque variation de la température extérieure et une température initiale non uniforme dans le mur
avec une température extérieure fixe égale à la température intérieure.
Une étude numérique sera menée sur ces deux cas. Le problème sera discrétisé en temps et en
espace avec un maillage de l’espace à pas fixe ou variable et nous utiliserons un schéma aux différences
finies en temps et en espace, soit explicite centré, soit implicite. Le problème se traduira alors par un
calcul direct itéré ou par la résolution itérée d’un système linéaire.
Le calcul des solutions approchées et la comparaison avec les solutions exactes seront effectués à
l’aide de programmes écrits en C++; les résultats seront ensuite présentés sous forme graphique.
Les deux cas particuliers seront résolus dans les deux premières études avec un maillage en espace
à pas fixe et un schéma aux différences finies explicite. Dans une troisième étude, nous reprendrons ces
deux cas avec un schéma implicite qui nous montrera son avantage. Nous présenterons enfin dans une
quatrième étude l’intérêt éventuel d’un maillage en espace à pas variable.
Les programmes C++ suivront cette progression; nous commencerons par un programme très
simple (version 1) que nous complèterons en avançant les études (version 2, 3, 4), afin d’obtenir un
programme final (version 5) capable de proposer les différents choix : premier ou deuxième cas, schéma
explicite ou implicite, pas fixe ou variable.
1

Table des matières
1 Modélisation du problème 2
2 Analyse mathématique 2
2.1 Solutiongénérale..................................... 2
2.2 Solutionsparticulières .................................. 3
2.2.1 Premiercas.................................... 3
2.2.2 Deuxièmecas................................... 4
3 Première étude - schéma explicite - premier cas 4
3.1 Discrétisationduproblème................................ 4
3.2 Schémaderésolution................................... 4
3.3 Résolutionnumérique................................... 5
3.4 ProgrammationenC++.................................. 6
3.4.1 Programme version 1 et résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.4.2 Programme version 2 et résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4 Deuxième étude - schéma explicite - deuxième cas 12
4.1 ProgrammationenC++.................................. 12
4.2 Résultats.......................................... 12
5 Troisième étude - schéma implicite 15
5.1 Schémaimplicite ..................................... 15
5.2 Systèmeslinéaires..................................... 15
5.3 ProgrammationenC++.................................. 16
5.4 Résultats.......................................... 17
6 Quatrième étude - maillage à pas variable 20
6.1 Discrétisation de l’opérateur différentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6.2 ProgrammationenC++.................................. 21
6.3 Résultats.......................................... 22
7 Annexe : les programmes 26
1

1 Modélisation du problème
Considérons un mur d’épaisseur `, qui se trouve initialement à une température uniforme θ0(tem-
pérature de la chambre). A l’instant t= 0, la température extérieure (en x= 0) monte brusquement à
θs> θ0, valeur maintenue constante par une source de chaleur. On suppose que la température à x=`
est gardée à sa valeur initiale θ0.
Nous sommes donc dans le cadre d’un domaine à une dimension, modélisé par un segment de
droite [0; `].
La propagation de la chaleur dans le mur de diffusivité thermique κ, constante strictement positive,
est décrite par l’équation de la chaleur :
∂u
∂t −κ∂2u ∂x2= 0
avec l’inconnue u(x, t) = θ(x, t)−θ0.
Ce sera l’objet de la première étude où nous choisirons donc la condition initiale u0(x) = 0 avec
des conditions aux limites de type Dirichlet :
u(0, t) = θs−θ0=uset u(`, t) = 0,∀t > 0
Nous examinerons ensuite dans la deuxième étude le cas où la tempérarure initiale du mur n’est
pas uniforme et la température extérieure reste fixée à θ0; il suffira de modifier la condition aux limites
u(0, t) = θs−θ0=us= 0 et la condition initiale, en prenant par exemple :
u0(x) = u(x, 0) = sin(π
`x) + 1 4sin(10π `x)
2 Analyse mathématique
2.1 Solution générale
Nous allons utiliser la décomposition en ondes simples de la solution :
u(x, t) = X
k∈N∗
ˆuk(t)φk(x), φk(x) = sin(kπ
`x)
Nous pouvons ici dériver "sous le signe somme" et calculer :
∂u
∂t =X
k∈N∗
ˆu0
k(t)φk(x)
∂2u
∂x2=−X
k∈N∗
ˆuk(t)k2π2
`2φk(x)
Alors si u(x, t)est solution de l’équation de la chaleur ∂u
∂t −κ∂2u ∂x2= 0
nous obtenons :
X
k∈N∗ˆu0
k(t) + κˆuk(t)k2π2
`2φk(x) = 0
2

d’où nous déduisons l’équation différentielle vérifiée par chaque fonction ˆuk:
ˆu0
k(t) + κˆuk(t)k2π2
`2= 0
la forme de chaque fonction ˆukest donc :
ˆuk(t) = Akexp −kπ
`2κt
et les fonctions solutions us’écrivent :
u(x, t) = Ax +B+X
k∈N∗
Akexp −kπ
`2κtφk(x)
2.2 Solutions particulières
2.2.1 Premier cas
Pour la première étude, les conditions u(0, t) = uset u(`, t) = 0 imposent B=uset A`+B= 0,
soit A=−us
`.
Les solutions u(x, t)s’écrivent donc :
u(x, t) = (1 −x
`)us+X
k∈N∗
Akexp −kπ
`2κtφk(x)
La condition initiale u(x, 0) = 0 se traduit par :
(x
`−1)us=X
k∈N∗
Akφk(x)
Les coefficient Aksont donc les coefficients du développement en série de Fourier de la fonction
impaire et périodique de période 2`définie sur [0; `]par P(x) = (x
`−1)us.
soit :
Ak=2
`Z`
0
(x
`−1)ussin(kπx `)dx
le calcul de l’intégrale donne :
Ak=2
`(x `−1)us(−` kπ ) cos(kπx `)`
0
=Ak=−2
`us
`
kπ =−2us kπ
et la solution exacte est donc :
u(x, t) = (1 −x
`)us+X
k∈N∗
−2us
kπ exp −kπ `2κtsin(kπ `x)
3

2.2.2 Deuxième cas
Pour la deuxième étude, la condition us= 0 et u(`, t)=0imposent A=B= 0 et la solution
cherchée est de la forme :
u(x, t) = X
k∈N∗
Akexp −kπ
`2κtφk(x)
La condition initiale u0(x) = u(x, 0) = sin(π
`x) + 1 4sin(10π `x)se traduit par :
sin(π
`x) + 1 4sin(10π `x) = X
k∈N∗
Akφk(x)
Les coefficient Aksont donc tous nuls, exceptés A1= 1 et A10 =1
4.
La solution exacte s’écrit alors :
u(x, t) = exp −π
`2κtsin(π `x) + 1 4exp −10π `2κtsin(10π `x)
3 Première étude - schéma explicite - premier cas
3.1 Discrétisation du problème
Nous allons utiliser un maillage régulier du temps, en posant tn=nδt, pour n= 0,1, . . . , N,
avec une limite maximale Nδt =tmax.
En espace, nous utiliserons de même un maillage régulier du segment [0; `].
Le domaine sera discrétisé de la façon suivante :
[0; `] =
M−2
[
i=0
[xm;xm+1]
en posant xm=mδx, pour m= 0,1, . . . , M −1, avec δx =`/(M−1).
Au temps tn, la fonction solution u(x, tn)sera approchée par la fonction Undéfinie aux points du
maillage xm.
Un(xm)sera noté Un
m, pour m= 0, . . . , M −1.
3.2 Schéma de résolution
Nous allons utiliser un schéma explicite centré pour calculer par différences finies en temps et en
espace la solution de l’équation
∂tu−κ∂xxu= 0
avec les conditions données précédement.
Nous avons δx =`
M−1et δt =tmax Noù Met Nsont les paramètres de discrétisation,
xm=mδx,tn=nδt et on cherche à approcher au temps tnla solution uen (xm, tn)par
Un
m=U(xm, tn).
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