2. Principe fondamental de la dynamique classique (ou newtonienne)

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On appelle objet ponctuel (*) un objet dont la position est déterminée à chaque instant par la
connaissance, au maximum, de trois paramètres.
* En Mécanique du solide, on montre que le mouvement du centre de masse est celui d’un
objet ponctuel auquel serait affectée la masse entière du solide.
1. Principe de l’inertie
Il existe un référentiel absolu pour lequel un corps isolé (très éloigné de tout autre corps de
telle sorte qu’il ne soit soumis à aucune action) est animé d’un mouvement de translation
rectiligne, uniforme (cas particulier : est au repos).
Dans le mouvement de translation rectiligne, uniforme, il y a quelque chose d’immuable
puisque direction, sens et intensité de la vitesse restent inchangés au cours du temps. Pour
qu’il en soit ainsi, il semble naturel qu’aucune interaction extérieure ne puisse perturber le
mouvement.
Longtemps les savants ont préféré au mouvement de translation uniforme le mouvement
circulaire. Ce dernier a par rapport à l’immuabilité du mouvement :
- un mérite que n’a pas le mouvement de translation rectiligne, uniforme : sa périodicité et sa
reproductibilité qui font que l’objet repasse régulièrement au même endroit,
-un inconvénient puisque la direction change à chaque instant.
Le principe d’inertie basé sur le mouvement de translation rectiligne, uniforme n’a pas été
remis en cause par l’expérience au cours de ces trois derniers siècles.
2. Principe fondamental de la dynamique classique (ou newtonienne)
Dans ce référentiel absolu, pour un objet ponctuel formé de particules élémentaires en nombre
donné, le principe fondamental de la dynamique s’écrit :
où
est une entité mathématique vectorielle appelée force traduisant l’action sur l’objet
ponctuel. L’action totale peut être le résultat de plusieurs actions, la force
est la résultante
des forces associées à chaque action.
Le principe fondamental exprime que la force est proportionnelle à la variation du vecteur
vitesse
où
est le vecteur accélération.
Le facteur de proportionnalité m est appelé masse d'inertie.
L’expérience courante montre que, si nous voulons accélérer dans les mêmes conditions, deux
objets différents, l’action à exercer est différente. Il existe donc " quelque chose " propre à
l’objet qui traduit son caractère matériel représenté par m.
Historiquement, les physiciens ont du introduire deux autres types de masse pour traduire le
caractère matériel d’un objet à savoir la masse gravitationnelle et la masse pesante. Il est
possible de montrer que ces trois types de masse peuvent être confondus, aussi le plus souvent
on emploie l’expression masse sans autre précision.
Plus généralement, si le nombre de particules constituant l’objet est variable, c’est à dire si la
masse est variable au cours du mouvement,
où
est la quantité de
mouvement.
Parmi les applications classiques des systèmes à masse variable, il convient de citer la chute
d'une goutte d'eau qui grossit et surtout le mouvement par réaction (fusée).
3. Remarques


En accord avec l'hypothèse atomique où la matière est constituée de particules
élémentaires ayant une masse propre et une charge propre (voir Structure de la
matière) la masse m et la charge électrique q d'un système sont invariantes par
changement de référentiel
En Mécanique classique (newtonienne) le temps t a un caractère absolu (indépendant
du référentiel), en Mécanique relativiste le temps n’a plus ce caractère absolu et les
lois doivent être reprises. Il convient de savoir que, si les vitesses ne dépassent le
dixième de la vitesse des ondes électromagnétiques dans le vide (soit
), le
cadre de la Mécanique classique est suffisant.
Le lecteur dispose, à la fin du chapitre, d'une annexe " Espace- Temps " et pourra dans la
cinquième partie de cet ouvrage s’intéresser plus particulièrement à cette question.
4. Principe de l’invariance galiléenne
L'activité du physicien consiste à effectuer des observations traduites par des mesures. Il est,
en particulier, amené à définir où et quand un événement s'est produit. Un événement est
défini par sa nature : une lampe qui s’allume, un noyau qui se désintègre, deux trains qui se
croisent, … , il est repéré par quatre coordonnées (trois d’espace et le temps).
On ne peut espérer des prédictions objectives en Physique si le cadre théorique, les lois ne
s’affranchissent pas des moyens de description employés qui sont relatifs à l’observateur.
Le principe de l'invariance galiléenne, à savoir " les lois de la Physique sont identiques (on
dit covariantes) dans tous les référentiels en translation uniforme les uns par rapport aux
autres ", permet de répondre à cette difficulté en fixant le cadre des lois possibles.
En Mécanique classique, ceci est vérifié dans le cadre de la transformation de Galilée. En
Mécanique relativiste, la transformation de Galilée doit être remplacée par la transformation
de Lorentz.
Le lecteur pourra se reporter à l’annexe " Espace - Temps " et à la cinquième partie de cet
ouvrage
5. Principe fondamental de la dynamique dans un référentiel non galiléen(*)
(*) Si cela s'avérait nécessaire pour une bonne compréhension des propos ci-dessus, le
lecteur se reportera avec intérêt à l'annexe " Composition des mouvements "
où les forces "fictives"
forces d'inertie d'entraînement et force d'inertie de Coriolis.
s'appellent
sont respectivement l’accélération relative de l’objet par rapport au référentiel
considéré, les accélérations d’entraînement et de Coriolis dues au mouvement du référentiel
considéré par rapport au référentiel absolu.
Dans le cas où le mouvement du référentiel considéré est une translation par rapport au
référentiel absolu,
et la force d’inertie de Coriolis est nulle.
Si, en plus, cette translation est uniforme, l’accélération et la force d’entraînement sont nulles.
L’accélération relative au référentiel considéré est identique à celle par rapport au référentiel
absolu, le principe fondamental de la dynamique s’écrit identiquement dans le référentiel
considéré et dans le référentiel absolu.
Les référentiels où le principe fondamental s’écrit comme dans le référentiel absolu sont
appelés référentiels galiléens. Expérimentalement, un référentiel est galiléen pour un
mouvement donné si le principe fondamental de la dynamique est vérifié en tenant compte
de la précision des mesures.
6. Principe de l’action et de la réaction
Soient deux points matériels M et M' ne subissant que des forces d'action mutuelle. Soit
force exercée sur M de la part de M' et soit
la
la force exercée sur M' de la part de M.
Le principe de l'action et de la réaction énonce que
à ces deux forces est celle de MM'.
et que la direction commune
7. Les lois de la Mécanique dans le système solaire
L’étude des mouvements dans l’Univers, leur interprétation par les lois de la Mécanique sont,
sans aucun doute, un point de départ tangible pour le développement de la Physique. A ce
titre, Copernic, Galilée, Képler et Newton sont les fondateurs de la Physique.
Référentiel de Copernic : a, pour origine, le centre de masse du système solaire; les
directions sont définies à partir de trois étoiles fixes; le Soleil concentre 99,85% de la masse
du système solaire, le centre de masse du système solaire " se confond " avec celui du Soleil.
Pour le système solaire, le référentiel de Copernic est le référentiel " le plus galiléen ", celui
pour lequel le Principe fondamental de la dynamique
le mieux vérifié.
est expérimentalement
Référentiel géocentrique : a, pour origine, le centre de masse de la Terre; ses directions sont
fixes par rapport aux direction du référentiel de Copernic; Le référentiel géocentrique est en
translation par rapport au référentiel de Copernic; cette translation est, en première
approximation à "intensité de vitesse uniforme" puisque l’orbite de la Terre dans le référentiel
de Copernic est, en première approximation, "circulaire". Cette translation n'est pas à "vecteur
vitesse uniforme", le référentiel géocentrique n'est pas "galiléen".
Référentiel terrestre (lié au sol)
Le référentiel terrestre a pour origine le point
O définissant le lieu, ses directions sont la
direction verticale CO et deux directions
perpendiculaires dans le plan horizontal (pour
certains problèmes, les directions définies par
le méridien et le parallaxe sont commodes).
Ce référentiel à une vitesse de rotation
(rotation propre de la Terre)
par
rapport au référentiel géocentrique ou au
référentiel de Copernic.
Dans le référentiel terrestre, l’équation de la
dynamique en un point M pour un objet de
masse m s’écrit :
où,
-
représente la résultantes des forces appliquées à l’objet
-
les forces d’attraction universelle dues à la Terre
les forces d’attraction universelle dues aux autres systèmes matériels du système
solaire (dans la pratique la lune et le Soleil).
Dans le référentiel de Copernic, la relation fondamentale de la dynamique pour le centre de
masse C de la Terre s’écrit :
.
où H est la projection de
M sur l’axe de rotation
de la Terre.
Ainsi l’équation fondamentale de la dynamique dans le référentiel terrestre s’écrit :
L'application de cette relation sera faite dans le chapitre " Quelques phénomènes de
dynamique terrestre "
8. Théorème de l'énergie cinétique
En multipliant la relation fondamentale de la dynamique dans un référentiel galiléen d'origine
O pour un objet ponctuel situé en M, par la quantité
, on
obtient

la quantité de gauche peut être écrite
posant

en
.
est appelée énergie cinétique, "physiquement" ce terme veut dire qu'un corps en
mouvement contient "quelque chose appelée énergie cinétique, autrefois "force vive"
qui lui permet, par exemple, de continuer son mouvement, pendant un certain temps,
même dans un milieu qui s'opposerait à celui-ci.
Remarque : la notion d'énergie cinétique se généralise à des systèmes plus complexes
qu’un objet ponctuel (se reporter au chapitre " Notions simples de Mécanique du
solide

on appelle travail élémentaire
le produit scalaire de la force
par son
déplacement élémentaire
(sauf cas particulier important, le calcul du travail
d'un point initial à un point final dépend du trajet entre les deux points)

La relation
l'énergie cinétique
constitue le théorème de
9. Champs de forces en
coulombienne)
(attraction universelle ou newtonienne et force
9.1. Origine. Loi d’attraction universelle
Le raisonnement de Newton (17ème siècle) a reposé sur le mouvement (supposé circulaire) de
la Lune autour de la Terre.
"La Terre exerce sur la Lune une force attractive puisque celle-ci ne s'éloigne pas d'elle, cette
force est de même type que celles qui s'exercent sur Terre dans la chute libre"
Nous reprenons le raisonnement de Newton pour les planètes du système solaire qui, suivant
les lois de Képler, effectuent autour du soleil :
- des orbites planes
- en forme d'ellipse dont le Soleil est l'un des foyers
- de telle sorte que le rayon vecteur balaie, en un temps donné, une aire constante. Ceci se
traduit, en coordonnées polaires, par la relation
révolution.
où T est la période de
;
;
;
;
;
;
vecteur unitaire directement perpendiculaire
à
m masse de la planète P
quelque soit la planète gravitant autour du Soleil. Cette constante ne peut
donc dépendre que des caractéristiques du Soleil.
Complété par d'autres résultats expérimentaux (mouvement de la Lune autour de la Terre,
étude du champ de pesanteur terrestre) ou par des mesures directes de l'attraction entre deux
masses ponctuelles (pendule Eötvös), on établit la loi d'attraction universelle entre deux
objets ponctuels de masses
, situés en M et M' :
où
9.2. Force coulombienne
Depuis très longtemps, on avait remarqué que les corps frottés sont capables d'attirer des
objets légers.
Si l'on frotte avec un chiffon de laine une baguette d'ébonite et si on approche celle-ci à
quelques centimètres de petits morceaux de papier, on verra ceux-ci sauter vers l'ébonite et se
coller à elle. Pour cette attraction où le corps attire des corps légers, on dit qu'il est électrisé.
Suspendons une petite balle de sureau par un fil de soie à une potence, touchons la balle à
l'aide d'une baguette d'ébonite électrisée, on s'apercevra aisément que la balle de sureau
devient capable d'attirer des corps légers : elle est devenue électrisée. L'électricité se transmet
par contact. Touchons une seconde balle de sureau suspendue par la même baguette et
rapprochons les deux potences. On s'aperçoit que les deux balles se repoussent fortement.
Touchons une troisième balle de sureau suspendue avec une baguette de verre frotté et
approchons cette potence d'une potence portant une balle électrisée à l'ébonite : cette fois les
deux balles s'attirent.
Il existe deux sortes d'électricité dites positive et négative. Des corps chargés d'électricité de
même nature se repoussent, deux corps chargés d'électricité de nature différente s'attirent ;
Grâce à la mise au point d'un appareillage appelé " balance de Coulomb", celui-ci, à la fin du
18ème siècle, établit la loi d'interaction entre particules de charges électriques q et q' dite
force coulombienne :
où
La force coulombienne peut être attractive ou répulsive (deux charges de signes opposés
s'attirant, deux charges de même signe se repoussant).
Remarque : la particularité des forces d'attraction universelle et coulombiennes est de
s'exercer à distance sans nécessité d'un milieu matériel intermédiaire.
9.3. Etude des champs de forces en
Nous notons de manière unique les forces d'attraction
universelle ou les forces coulombiennes par la relation
:
où

pour l'attraction universelle,
pour la force
coulombienne
 p et p' sont égaux respectivement à m et m' ou q et q'

est le vecteur unitaire de
et r la distance OM.
On introduit la notion de champ de forces
en M par la relation
.
Ceci veut dire qu’une masse ponctuelle m ou une charge q en O crée en tout point de l’espace
un champ de forces et qu’il ne s ‘exercera une force que là où existe une autre masse ou une
autre charge.
Dans le cas de l'attraction universelle
est généralement noté
(appelé champ
de forces d’attraction universelle) et dans le cas coulombien
électrique)
9.3.1. Flux du vecteur
(appelé champ
à travers une surface. Théorème de Gauss
où
est l'angle solide élémentaire sous lequel de O on
voit l'élément de surface dS.
Si on intègre cette relation à une surface ferméeS, 3 cas peuvent se produire :

p est intérieur à la surface fermée 

p est sur la surface fermée 

p est extérieur à la surface fermée 
Pour une distribution discrète d'éléments p on obtient
:
Pour une distribution continue, on définit la densité volumique
et on
obtient
où V est le volume intérieur à la surface fermée S.
Ces relations constituent le théorème de Gauss pour lequel on obtient, par application du
théorème d'Ostrogradsky, l'expression locale
9.3.2. Potentiel scalaire V du vecteur
. Equations de Poisson et de Laplace
Pour un élément p, le vecteur
vérifie la relation
avec
.
L'opérateur mathématique gradient est un opérateur linéaire, la relation ci-dessus, pour une
distribution d'éléments, s'écrit
Pour une distribution continue d'éléments, on obtient :
appelée équation
de Poisson. Pour
, la relation devient
Remarque :
appelée équation de Laplace.

L'étude des champs de forces en
est d’une importance considérable en physique
puisque forces d'attraction universelle et forces coulombiennes sont, à distance, les deux
seules forces fondamentales.
En Electricité, les relations ci-dessus sont très utilisées, la relation locale du théorème de
Gauss constituant d'ailleurs une des équations de Maxwell. Des connaissances sur le dipôle
électrique, sur les liens entre distribution de charges et champs ou potentiels électriques font
partie de la culture du physicien.
Nous invitons le lecteur, s’il le jugeait nécessaire, à revoir ses cours ou à approfondir ses
connaissances dans un ouvrage d’Electrostatique.
Dans le domaine de l'attraction universelle (à tort moins étudié), outre le cas d'une
distribution volumique entre deux plans qui correspond à l'existence des "hauts plateaux",
l'application " incontournable " est le cas d'une distribution volumique à symétrie sphérique
qui correspond aux planètes.
On montre que, vis à vis de l'extérieur, tout se passe comme si toute la masse de la
distribution était concentrée en son centre.
10. Energie potentielle
. Energie mécanique
10.1. Energie potentielle
Considérons un élément p' en une position de l'espace où existe un potentiel
créé par une
distribution d'éléments p.
Pour être à ce potentiel, il est " venu " d'une région de l'espace où le potentiel était nul.
Pour une position quelconque, il est à un potentiel V et subit une force
de cette force (de l'opérateur extérieur pour un déplacement
.
) est égal à
Le travail total pour passer du potentiel initial nul au potentiel final
On appelle énergie potentielle
de l'élément p' à potentiel
Pour un déplacement élémentaire, on peut écrire
. Le travail
est donc :
la quantité
.
, soit
encore
.
Les trois relations encadrées sont équivalentes et peuvent servir de définition de l'énergie
potentielle pour un élément p' .
La dernière présentation, à savoir un champ de forces dérive d'une énergie potentielle
si
(ce qui suppose mathématiquement des expressions particulières pour
est, sans doute, la plus utilisée.
)
10.2. Energie mécanique
Il convient de distinguer deux types de forces, celles qui dérivent d'une énergie potentielle que
nous notons
et celles qui ne dérivent pas d'une énergie potentielle que nous notons
Le théorème de l'énergie cinétique, avec cette distinction, s'écrit :
.
est appelée énergie mécanique.
Sous forme intégrale, la relation ci-dessus s'écrit :
.
10.2.1. Les forces conservatives
Les champs de forces qui dérivent d'énergies potentielles sont appelés champs de forces
conservatifs parce qu'ils conservent l'énergie mécanique. Les autres forces ne conservent pas
l'énergie mécanique (
sauf dans certains cas très importants  voir Mécanique du
solide).
La notion d'énergie potentielle est très importante en Physique.
Il est important de bien en comprendre le " sens physique ", l'exemple le plus simple se
situant au niveau du champ de pesanteur terrestre.
Une masse m est soumise à son poids
où est le champ de pesanteur (supposé
uniforme).
Pour porter la masse m à une altitude z, la masse étant au repos aux altitudes initiale et finale,
un opérateur extérieur effectue un travail
en absence de forces non conservatives.
Ce qui est fondamental réside dans le fait que la masse a acquis une capacité à retomber sans
aide extérieure, c'est à dire à se mettre en mouvement toute seule, voire à entraîner d'autres
systèmes : elle a acquis un énergie potentielle
. Autrefois, l'énergie potentielle était
appelée " force morte ", c'est à dire représentait quelque chose de contenu dans le système, "
qu'on ne voyait pas ou qu'on oubliait " mais qui pouvait être utilisée.
Au sens de la conservation de l'énergie, le travail de l'opérateur extérieur n'est pas perdu, il est
acquis, emmagasiné sous forme d'énergie potentielle.
Dans la vie courante, acquérir une connaissance nouvelle, un savoir nouveau est souvent
synonyme de disposer d'un potentiel nouveau.
10.2.2. Les forces non conservatives
Il faut distinguer,
celles produites par un opérateur extérieur qui peuvent produire une augmentation ou une
diminution de l'énergie mécanique,
et celles liées à des contraintes (c'est à dire les forces au contact d'un autre objet, les forces de
frottement si l'objet se déplace dans un milieu fluide) qui, en s'opposant au mouvement de
l'objet, produisent une diminution (une perte) de l'énergie mécanique.
11. Les forces élastiques
Nous envisageons un mobile dont la description du mouvement peut être faite à l'aide d'un
seul paramètre noté x. La position à l'équilibre sera prise comme référence [
à l'équilibre
et l'énergie potentielle y est notée
].
On écarte le mobile de l'équilibre, l'énergie potentielle en x s'écrit :
On calcule la force liée à cette énergie potentielle par
Or à l'équilibre la force est nulle, soit
soit
.
.
Ainsi
si
est suffisamment
faible. La force est proportionnelle à x, on dit qu'on est en présence d'une force élastique.
Si on écarte faiblement un système de sa position d’équilibre, il naît une force élastique
(proportionnelle à l’écartement). Cette théorie n’explique l’origine physique interne de cette
force.
Dans le cas où
[c'est à dire où
]
contraire : la force agit pour rétablir l'équilibre. L'équilibre est stable.
sont de signe
Si, au contraire,
[c'est à dire où
]
sont de même
signe : la force accentue le déséquilibre. L'équilibre est instable.
Il peut arriver que
soient de même signe d'un coté de l'équilibre et de signe
contraire de l'autre coté : l'équilibre est métastable.
En conclusion, on remarque que :
- pour un équilibre stable, l'énergie potentielle est minimale à l'équilibre
- pour un équilibre instable, l'énergie potentielle est maximale à l'équilibre.
Dans le cas d'un équilibre stable, la force s'écrit
avec
et
l'énergie potentielle s'écrit
. L'opérateur extérieur fournit de l'énergie
pour écarter le mobile de sa position d'équilibre. L'opérateur extérieur le contraint hors de la
position d'équilibre. S'il cesse la contrainte, le mobile revient vers sa position d'équilibre en
perdant de l'énergie potentielle et en acquérant de l'énergie cinétique. Sous l'effet de cette
énergie cinétique, il va dépasser la position d'équilibre, perdre alors de l'énergie cinétique et
regagner de l'énergie potentielle et ainsi de suite : il va osciller autour de la position
d'équilibre et ne s'y stabilisera que s'il y a dissipation d'énergie mécanique c'est à dire s'il y a
des frottements.
Pour une force élastique, la pulsation d'oscillation est indépendante de l'énergie initiale : on
dit que l'on est en présence d'un oscillateur harmonique libre.
Si tel n'était pas le cas (déséquilibre initial trop important) l'oscillateur est anharmonique, la
pulsation dépend de l'énergie initiale.
On peut forcer un mouvement autour de la position d'équilibre : on est alors en présence d'un
oscillateur forcé.
Les exemples les plus simples d'oscillations libres ou forcées avec ou sans frottement en
Mécanique sont le ressort et le pendule.
L’analogie avec le circuit (R,L,C) série en électricité est classique.
On montre qu'en moyenne énergie cinétique et potentielle d'une part et énergie électrique et
magnétique d'autre part sont égales (ce qui constitue des exemples simples d'application du
théorème d'équipartition de l'énergie).
On définit le facteur de qualité soit à partir de la notion de bande passante soit à partir de
considérations énergétiques.
Ces notions font partie de la culture de base d’un physicien.
Annexe 1 : Espace - Temps
Référentiel
Un référentiel est une association de points rigidement fixés entre eux c'est à dire formant un
solide (exemples : le laboratoire, le sol terrestre en un endroit particulier, la Terre, ...). Dans ce
référentiel, il convient de définir un repère pour situer les points dans l'espace et une échelle
de temps (horloge) pour caractériser les instants et les durées.
Repère
Il s'agit de définir un système de trois axes et d'y adjoindre une unité de mesure des longueurs.
Ainsi à un référentiel donné, on peut associer différents repères.
Les repères les plus utilisés sont dans l'ordre : le repère cartésien, le repère cylindrique -qui,
dans le plan, devient le repère polaire-, le repère sphérique et le repère de Frénet.
Mesure des longueurs
La mesure des longueurs n'a pas posé de difficultés particulières : on a défini des règles de
référence appelées étalons de longueur. Ainsi, pendant longtemps, le mètre-étalon fut un
barreau en platine iridié conservé à 20 °C et à pression atmosphérique normale au Bureau
international des poids et mesures de Sèvres.
Le développement de l'optique a permis des définitions plus précises à partir de la longueur
d'onde d'émission lumineuse.
Mesure du temps
La mesure du temps a posé beaucoup plus de difficultés.
L'homme disposait de plusieurs phénomènes naturels se renouvelant, encore fallait-il y
associer une périodicité : durée entre deux passages successifs du Soleil au zénith (jour
solaire), durée entre le retour des saisons (année), durée entre deux pleines lunes (mois
lunaire).
Les difficultés se sont accrues avec la compréhension des mouvements dans l'Univers (jour
solaire ou jour sidéral défini par rapport à des étoiles fixes), avec la découverte des variations
dans la rotation de la Terre sur elle-même ou de son ralentissement séculaire dans son
mouvement autour du Soleil.
Enfin, les besoins en mesures des durées vont de
à des millions d'années.
La seconde est définie à partir de la vibration de l'atome de césium contrôlant la marche
d'une horloge à quartz vibrant.
Le mètre est la distance parcourue par les ondes électromagnétiques planes dans le vide
pendant une durée égale à 1/299792458 seconde.
Caractère absolu ou caractère relatif du temps

Nous considérons deux référentiels munis de repères cartésiens parallèles, (R) fixe et
(R') en translation uniforme telle que
où O' est l'origine du référentiel (R').
Chacun des axes x et x' dispose d'une règle graduée. Un barreau allongé de direction x
est solidaire du référentiel (R') c'est à dire qu'il est immobile dans ce référentiel et
animé d'une vitesse
dans le référentiel (R).
Pour mesurer la longueur de ce barreau, on repère sur les règles graduées les abscisses
des extrémités, soient respectivement
et
[évidemment dans le
référentiel (R), le repérage des abscisses doit être fait au même instant quelconque].
La question posée -qui peut surprendre- est de savoir si
.
La réponse spontanée est que cette proposition est vraie ; celle, dans l'état actuel de la
Physique, est
où
est la vitesse de propagation de l'onde
électromagnétique dans le vide.
Cette réponse surprend notre sens commun, cependant, au vitesse où nous vivons,
l'écart est indécelable.
L'explication appartient au domaine de la relativité largement initié par Einstein.

Nous considérons un miroir animé d'une vitesse
à distance D d'un observateur.
L'observateur envoie un flash lumineux de
telle sorte qu'après réflexion sur le miroir la
lumière revienne sur l'observateur.
On calcule la durée de l'aller et retour.
Dans le référentiel de l'observateur, la durée
est égale à
.
Dans le référentiel du miroir, la durée est
égale à
En réorganisant, on obtient
.
Le raisonnement semble d'une parfaite logique mais le résultat surprend puisque la durée
entre deux événements dépend du référentiel ce qui veut dire que le temps n’a pas un
caractère absolu indépendant du référentiel.
L'explication appartient au domaine de la relativité et nous n'en justifierons pas les
fondements dans le cadre de cet annexe.
Les conséquences de la relativité sont trop importantes pour ne pas noter sans être exhaustifs :
- la modification de la quantité de mouvement :

,
- l'équivalence masse-énergie :
,
- le calcul théorique énergétique des réactions nucléaires,
- la modification de la loi de gravitation universelle,
- la déviation des trajectoires des ondes électromagnétiques par des objets matériels.
Transformation de Galilée et de Lorentz : le référentiel (R') est en translation uniforme à
vitesse
suivant la direction x ; les horloges des temps dans chacun des référentiels sont
réglées que les repères coïncident à l'origine des temps (
).
Transformation de Galilée
Transformation de Lorentz
Cinématique classique
Cinématique relativiste
Ces équations montrent que, si
, la cinématique classique (il en est, de même, pour la
dynamique) est suffisante, c’est à dire que l’on peut considérer, en première approximation,
que le temps a un caractère absolu indépendant du référentiel.
Dans la pratique, la relativité doit être prise en compte pour des vitesses supérieures
à
.
Annexe 2 : Composition des mouvements
Soit un point dont le mouvement peut être
d’origine O
analysé dans le référentiel
ou dans le référentiel
relatif) d’origine O’.
(mouvement
Les rôles de ces deux référentiels sont
interchangeables en cinématique, cependant
dans le cadre de la dynamique
galiléen.
;
sera
;
Un point M’, coïncidant au temps t avec le point M, fixe dans le référentiel
a un
mouvement, appelé mouvement d’entraînement, dans le référentiel

La vitesse absolue (dans le référentiel
) est la somme de la vitesse d’entraînement (ne
dépendant que du mouvement d’entraînement) et de la vitesse relative (dans le référentiel
ou ne dépendant que du mouvement relatif).
En plus des termes accélération d’entraînement (ne dépendant que du mouvement
d’entraînement) et accélération relative (ne dépendant que du mouvement relatif), il existe un
terme appelé accélération de Coriolis, résultat d’un couplage entre le mouvement
d’entraînement et le mouvement relatif.
Interprétation du terme de Coriolis en termes de champ de vitesses dans un solide
Soient A et B deux points quelconques d’un solide.
La relation

. Cette dernière relation est caractéristique d’un
torseur, ensemble d’un champ de moments et d’un vecteur résultant.
Par suite
Le champ de vitesses dans un solide est un champ de moments dont le vecteur résultant est le
vecteur rotation . A chaque instant, le mouvement dans un solide se décompose en un
mouvement de translation de direction le vecteur rotation et en une rotation autour de cette
direction.
Si nous remarquons que dans le référentiel
, les points O, I, J, K sont à distances
constantes et peuvent être considérés comme des points d’un même solide, alors on peut
écrire :
;
;
et
où
vecteur rotation du mouvement d’entraînement (c’est à dire du référentiel
représente le
par rapport au
référentiel
)
Le cas particulier intéressant correspond à un vecteur rotation d’entraînement nul (les deux
référentiels sont en translation l’un par rapport à l’autre), l’accélération absolue est alors égale
à l’accélération d’entraînement plus celle relative. Si, de plus, l’accélération d’entraînement
est nulle, c’est à dire si les deux référentiels sont en translation uniforme, alors l’accélération
relative est égale à l’accélération absolue.
Le cas d’un mouvement relatif nul représente l’équilibre dans un référentiel en mouvement.
Annexe 3 : Les interactions fondamentales
Depuis Galilée et Newton, nous savons qu'il faut l'action d'une force pour mettre en
mouvement un objet au repos ou bien, au contraire, stopper un objet en mouvement. C'est par
la force qu'il exerce sur lui que notre bras lance un ballon, et le bras du partenaire qui reçoit le
ballon fait de même. Plus généralement, c'est sous l'action d'une force qu'est modifiée la
vitesse d'un objet : le train qui freine, comme celui qui accélère, est soumis à l'action d'une
force.
Notre expérience quotidienne nous conduit à envisager toutes sortes de forces. Nous parlons
par exemple de la force de contact qu'exerce la raquette sur la balle de tennis, de la force de
frottement qui empêche nos pieds de glisser sur le sol et qui retient sur place la voiture dont
on a serré le frein, de notre poids qui nous maintient sur Terre ou de la force de viscosité qui
se manifeste lorsque nous collons un papier adhésif.
Lorsqu'on cherche à comprendre la nature de ces effets très variés, on s'aperçoit qu'ils peuvent
tous se ramener à quatre interactions fondamentales qui sont l'interaction électromagnétique,
l'interaction forte, l'interaction faible (interactions nucléaires) et l'interaction gravitationnelle.
Selon les circonstances, l'effet de chacune d'elles nous est ou non perceptible et s'avère ou non
dominant.
La plupart des forces que nous percevons dans la vie quotidienne sont de nature électrique :
c'est l'interaction électromagnétique qui assure la cohésion de la matière solide ou qui
gouverne les mécanismes chimiques de notre corps.
L'interaction gravitationnelle se manifeste essentiellement à nous par la pesanteur : c'est elle
qui nous maintient sur le sol, qui fait couler les rivières et rouler les pierres au bas des
montagnes ; c'est elle encore qui retient l'atmosphère terrestre.
Les interactions nucléaires ne se manifestent pas facilement dans la vie courante : au sein des
noyaux atomiques, elles maintiennent ensemble les protons et les neutrons ; elles sont à
l'origine de la radioactivité et de l'énergie nucléaire ; ce sont elles encore qui gouvernent la
constitution des différents éléments chimiques.
Interaction faible et interaction forte à l’intérieur du noyau atomique
Les neutrons et les protons sont maintenus ensemble dans le noyau par " l’interaction
nucléaire forte " qui est attractive. C'est elle qui rend stables les noyaux atomiques composés
essentiellement de protons et de neutrons, approximativement la même masse, le proton étant
chargé positivement et le neutron n'étant pas chargé. L’interaction nucléaire forte est très
intense, mais son rayon d'action est très court : elle ne se manifeste pratiquement plus au-delà
de
, ce qui est une distance faible, même à l'échelle des noyaux. Sa grande intensité
explique la raison pour laquelle il faut des énergies considérables pour briser les noyaux.
Dans les laboratoires de physique des hautes énergies, on peut briser des noyaux atomiques en
les bombardant avec des particules de très grande vitesse. Les noyaux se décomposent alors
en neutrons, protons et noyaux plus légers, et aussi en de nouvelles particules élémentaires ;
mais ces particules sont instables et disparaissent après une très courte durée pour donner
naissance à des électrons et des protons. En dehors du noyau, les neutrons également ne sont
pas stables et chacun se désintègre en un proton et un électron (avec émission d'un
antineutrino). Ces désintégrations sont des manifestations d'une interaction appelée "
interaction nucléaire faible". L'interaction nucléaire faible est à l'origine de la radioactivité .
L'interaction nucléaire forte est environ cent millions de fois plus intense que l'interaction
nucléaire faible.
Prépondérance de l’interaction gravitationnelle dans l’univers
Bien qu’il soit difficile d’observer ses effets entre les objets situés à la surface de la Terre, la
loi de la gravitation est une loi universelle : elle régit aussi bien le mouvement de la pomme
qui tombe du pommier que le mouvement des planètes ou la forme des galaxies. Lorsque
Newton montra que la Lune, qui tourne autour de la Terre et la pomme, qui tombe du
pommier, subissent l'une et l'autre l'attraction de la Terre, un très grand pas fut franchi …
dans le domaine de la mécanique et dans la compréhension de la structure de l'univers.
L'interaction gravitationnelle est primordiale dans l'univers c'est elle qui donne aux astres leur
mouvement et leur structure.
On peut cependant se demander pourquoi, dans la mesure où son intensité est très faible,
comparée à celle des autres interaction fondamentales (le lecteur pourra comparer pour deux
protons les intensités des forces gravitationnelle et coulombienne), il se trouve que ce soit elle
qui domine ainsi à grande échelle dans l'univers.
Cela tient d'abord à la très courts portée des interactions forte et faible dont l'effet disparaît
totalement sur des distances de l'ordre de dimension des noyaux.
Pour ce qui concerne les forces coulornbiennes, à grande échelle les forces attractives entre
charges de signes opposés sont compensées par les forces répulsives entre charges de même
signe, par contre les forces élémentaires de gravitation, de très faible intensité, toujours
attractives, accumulent leurs effets pour devenir prépondérantes à grande échelle.
Ceci nous fait comprendre pourquoi l'univers, en confrontant des masses et des distances sans
commune mesure avec celles que nous rencontrons à l'échelle terrestre, apporte une
contribution essentielle à notre connaissance de la loi de la gravitation.
On peut aussi citer les étoiles pour lesquelles les réactions thermonucléaires ne sont rendues
possibles que par l’existence de forces de gravitation qui compriment suffisamment la matière
pour lui permettre d'atteindre les températures élevées que nécessitent ces réactions.
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