Eléments sur la théorie de la diffusion 3D Collision élastique entre

Université Paul Sabatier
Master de Physique Fondamentale
Mécanique Quantique
2012-13
Travaux Dirigés n◦ 10
Eléments sur la théorie de la diffusion 3D
On rétablit dans cette section les résultats importants de la théorie des collisions
élastiques en mécanique quantique. L’étudiant intéréssé pourra compléter cette partie par
la lecture du Chapitre VIII du livre de mécanique quantique de C. Cohen-Tannoudji, B.
Diu et F. Laloë.
Collision élastique entre deux atomes
La situation considérée est celle de deux atomes (1) et (2) de même masse M , interagissant par le potentiel radial V (|r 1 − r 2 |). L’hamiltonien du système est alors :
Ĥ =
p̂21
p̂2
+ 2 + V (|r̂ 1 − r̂ 2 |) .
2M
2M
Il est, en fait, plus approprié de se placer dans le référentiel barycentrique. Ecrire l’expression de l’hamiltonien dans les coordonnées barycentriques. Commentaires
Amplitude de diffusion
n'
n
O
O
n
(a)
(b)
Figure 1 – (a) le paquet d’ondes incident se dirige vers la zone d’action du potentiel. (b)
diffusion d’un paquet d’ondes incident se propageant dans la direction n par le potentiel
V (|r̂|).
Pour décrire quantiquement le processus de diffusion d’une particule incidente donnée
par le potentiel V (r), il faut a priori étudier le comportement au cours du temps du
paquet d’ondes qui représente l’état de la particule. Les caractéristiques de ce paquet
d’ondes sont supposées connues pour les temps t grands et négatifs où la particule n’a pas
encore été affectée par le potentiel. On sait que l’évolution ultérieure du paquet d’ondes
s’obtient immédiatement si on l’exprime comme une superposition d’états stationnaires.
C’est la raison pour laquelle nous étudions l’équation aux valeurs propres de l’hamiltonien
du mouvement relatif, et nous raisonnons directement sur ces états stationnaires et non
2
TD10 : Eléments sur la théorie de la diffusion 3D
sur le paquet d’ondes. Les états propres ψk (r) de l’hamiltonien du mouvement relatif pour
des énergies positives Ek = h̄2 k 2 /M vérifient :
2
p̂
+ V (r̂) ψk (r) = Ek ψk (r)
(1)
M
Cette convention suppose que V (r̂) tende vers zéro lorsque |r| tend vers l’infini ∗ . On
cherche asymptotiquement pour les états propres de diffusion une forme du type :
ψk (r) ∼ e
ikz
eikr
+ f (k, n, n )
r
0
(2)
où n = k/k, et n0 = r/r. La symétrie sphérique permet de réduire le nombre de variables
intervenant dans l’amplitude de diffusion. En effet, au lieu de dépendre de n et n0 , elle
ne dépend que de l’angle θ entre ces deux vecteurs (cos θ = n.n0 ). On note désormais
f (k, θ) ≡ f (k, n, n0 ).
a. Donner l’interprétation physique d’un tel état de collision.
b. On a vu en cours que la fonction de Green
G(r) = −
1 eikr
4π r
(3)
qui satisfait (∆ + k 2 )G(r) = δ(r) permet d’écrire l’équation intégrale de la diffusion
Z
M
ikz
ψk (r) = e + 2
G(r − r 0 )V (r 0 )ψk (r 0 )d3 r 0
(4)
h̄
Vérifier cette égalité.
c. Montrer que à grande distance, |r − r 0 | ∼ r − n0 · r 0 , et donc on retrouve la forme
asymptotique mentionnée avec
Z
M
0 0
e−ik .r V (r0 )ψk (r 0 )d3 r 0
f (k, θ) = −
(5)
2
4πh̄
où k0 = kn0 . Commenter.
d. Pour déduire l’expression de la section efficace différentielle de collision et de la
section efficace, calculer les contributions de l’onde incidente et de l’onde diffusée au
courant de probabilité dans un état stationnaire de diffusion. Rappelons l’expression
du courant J(r) associé à la fonction d’onde ϕ(r) :
J(r) =
2h̄
Im(ϕ∗ (r)∇ϕ(r)).
M
Développement en ondes partielles
Pour la détermination exacte de l’amplitude de diffusion, il est nécessaire de connaître
la solution de l’équation de Schrödinger. Pour tirer partie de la symétrie du problème,
∗. Soit b la portée du potentiel. Pour les potentiels nuls à partir d’une certaine valeur cette définition
est claire. Par contre, pour les autres potentiels, par exemple pour ceux qui décroissent comme r−n
(n > 0) à l’infini, la notion de portée du potentiel mérite d’être éclaircie.
TD10
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il est commode de développer l’onde incidente et l’onde diffusée sur la base des vecteurs
propres de L̂2 et L̂z , où L̂ est l’opérateur moment angulaire relatif :
ψk (r) =
∞ X
`
X
Y`m (θ, φ)
`=0 m=−`
uk,`,m (r)
r
(6)
où φ est l’angle azimutal autour de l’axe z, et Ylm (θ, φ) sont les harmoniques sphériques.
a. Quelle est l’équation vérifiée par u`,m (r) ?
Rappel : expression de l’opérateur Laplacien en coordonnées sphériques,
∆=
1 ∂2
L2
r
−
r ∂r2
h̄2 r2
b. On note b la portée du potentiel V (r). En supposant que V (r) décroît “assez vite"
à l’infini, montrer que seuls les états de moment cinétique suffisamment bas contribuent à la collision.
c. En dessous de quel seuil en énergie la collision se fait-elle essentiellement dans l’onde
s (` = 0) ?
d. Montrer que dans la limite des ondes s, l’amplitude de diffusion ne dépend plus que
de l’énergie incidente. On définit la longueur de diffusion a par : a = − limE→0 f (E).
La longueur de diffusion pour un potentiel carré
On se place dans la limite d’énergie nulle, la fonction d’onde s’exprime donc asymptotiquement sous la forme :
eikr
ψ(r) ∼ eik·r − a
r
a. Montrer que u0,0 (r) ∝ r − a, pour les r grands.
On considère, dans la suite,
p un potentiel carré tel que V (r) = V0 si r < b et V (r)
nul sinon. On pose k0 = m |V0 |/h̄.
b. On suppose V0 > 0. Montrer que
a=b−
tanh k0 b
k0
Quel est le signe de a ? On considère la limite d’un
en fonction delta, en
R potentiel
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faisant tendre V0 vers l’infini et b vers 0, l’intégrale d rV (r) restant constante. Que
devient la longueur de diffusion ? Conclure.
c. On suppose V0 < 0. Montrer que
a=b−
tan k0 b
k0
Quel est le signe de a ? Tracer a en fonction de k0 et relier les divergences de a à
l’apparition de nouveaux états liés dans le potentiel V (r) (théorème de Levinson).
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TD10 : Eléments sur la théorie de la diffusion 3D
Approximation de Born
L’analyse complète du problème de diffusion requiert la solution de l’équation de
Schrödinger à trois dimensions, ce qui est presque impossible dans la plupart des cas.
Aussi est-il utile de pouvoir estimer rapidement les propriétés de diffusion d’un potentiel
donné grâce à une approximation supplémentaire. L’approximation de Born permet cette
évaluation. Elle consiste à estimer l’amplitude de diffusion au premier ordre en V . Si nous
remplaçons dans (5) la fonction d’onde exacte ψk (r 0 ) par la fonction d’onde à l’ordre zéro
0
en potentiel soit eik.r , il vient :
Z
M
0
0
0
ei(k−k ).r V (r 0 )d3 r 0
(7)
f (k, n, n ) = −
2
4πh̄
L’amplitude de diffusion est ainsi reliée à la transformée de Fourier du potentiel diffusant
V (r). Naturellement, cette approximation n’a aucun sens pour un potentiel de cœur dur,
qui prend des valeurs infinies sur une région finie de l’espace.
Donner l’expression de la longueur de diffusion en fonction du potentiel d’interaction.
Application au potentiel carré. Commentaires.