la vitesse de libération

Vitesse de libération
par Jean-Pierre MARTIN
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© Jean-Pierre MARTIN
L’ASTRO
L’ASTRO…MAIS …MAIS
C’EST
C’EST TRÈS TRÈS
SIMPLE
SIMPLE
LA VITESSE DE
LA VITESSE DE
LIBÉRATION
LIBÉRATION
Par Jean
Par Jean- -Pierre MARTIN Pierre MARTIN
jpmgauge
jpmgauge@ @wanadoo wanadoo. .fr fr
ASSOCIATION
ASSOCIATION D’ASTRONOMIE D’ASTRONOMIE
VÉGA PLAISIR 78370
VÉGA PLAISIR 78370
L’ASTRO
L’ASTRO…MAIS …MAIS C’EST C’EST
TRÈS SIMPLE
TRÈS SIMPLE
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L’ASTRO
L’ASTRO…MAIS …MAIS
C’EST
C’EST TRÈS TRÈS
SIMPLE
SIMPLE
LE CONCEPT DE
LE CONCEPT DE VITESSE VITESSE
DE
DE LIB LIBÉ ÉRATION RATION EN EN
ASTRONOMIE
ASTRONOMIE
Le concept de vitesse de lib Le concept de vitesse de libé ération d'un corps ration d'un corps
soumis
soumis à àl'attraction gravitationnelle d'un autre l'attraction gravitationnelle d'un autre
corps est fondamental en astronomie, car il est
corps est fondamental en astronomie, car il est
li
lié éau ph au phé énom nomè ène des orbites spatiales, au fait ne des orbites spatiales, au fait
que certaines plan
que certaines planè ètes ont perdu leur tes ont perdu leur
atmosph
atmosphè ère, et m re, et mê ême au concept (tr me au concept (trè ès ancien s ancien
d'ailleurs) de trou noir.
d'ailleurs) de trou noir.
Il faut tout d'abord nous rafra Il faut tout d'abord nous rafraî îchir la m chir la mé émoire moire
math
mathé ématique avec certains rappels de physique matique avec certains rappels de physique
de Terminale.
de Terminale.

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L’ASTRO
L’ASTRO…MAIS …MAIS
C’EST
C’EST TRÈS TRÈS
SIMPLE
SIMPLE
Un corps (Terre, lune etc..) de masse m tourne Un corps (Terre, lune etc..) de masse m tourne
autour d
autour d’ ’un autre corps de rayon R de masse M un autre corps de rayon R de masse M
(Soleil, Terre,
(Soleil, Terre, etc etc) ) à àla distance d sur une la distance d sur une
trajectoire suppos
trajectoire supposé ée circulaire en e circulaire en é équilibre sous quilibre sous
l'action de deux forces :
l'action de deux forces :
F1 : Force de gravitation universelle (attraction) F1 : Force de gravitation universelle (attraction)
F2 : Force centrifuge due F2 : Force centrifuge due à àla rotation la rotation (répulsion) (répulsion)
d
F1
F2
R
R
m
m
M
M
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L’ASTRO
L’ASTRO…MAIS …MAIS
C’EST
C’EST TRÈS TRÈS
SIMPLE
SIMPLE
()
2
1dR
GmM
F+ ==
CES 2 FORCES S’ÉQUILIBRENT
d
F1
F2
R
R
m
m
M
M
)(
22
dR
m
FV
+
=

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L’ASTRO…MAIS …MAIS
C’EST
C’EST TRÈS TRÈS
SIMPLE
SIMPLE
En En é égalisant les deux termes, on peut en galisant les deux termes, on peut en
d
dé éduire la vitesse du corps en orbite : duire la vitesse du corps en orbite :
On peut d On peut dé éfinir V finir V0
0la vitesse au ras des
la vitesse au ras des
p
pâ âquerettes soit pour r=0, on a donc querettes soit pour r=0, on a donc
dR
GM
V+
=
2
VGM
R
0=
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L’ASTRO
L’ASTRO…MAIS …MAIS
C’EST
C’EST TRÈS TRÈS
SIMPLE
SIMPLE
La vitesse orbitale peut s' La vitesse orbitale peut s'é écrire maintenant : crire maintenant :
Que remarque Que remarque- -t t- -on de cette formule : on de cette formule : la vitesse la vitesse
orbitale ne d
orbitale ne dé épend pas de la masse du corps en pend pas de la masse du corps en
orbite
orbite, c'est fondamental. , c'est fondamental.
On remarquera que la vitesse minimale pour rester On remarquera que la vitesse minimale pour rester
en orbite autour de M est la vitesse
en orbite autour de M est la vitesse à àl'altitude l'altitude
z
zé éro (r=0) soit V ro (r=0) soit V0
0. C'est ce qu'on appelle la
. C'est ce qu'on appelle la
vitesse de satellisation
vitesse de satellisation, c'est la vitesse minimale , c'est la vitesse minimale
que doit atteindre la navette spatiale pour se
que doit atteindre la navette spatiale pour se
mettre en orbite par exemple.
mettre en orbite par exemple.
VV R
Rr
=+ 0

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C’EST
C’EST TRÈS TRÈS
SIMPLE
SIMPLE
ET LA TERRE !
ET LA TERRE !
On sait que On sait que
G= 6,67 10 G= 6,67 10-
-11 11 N m
N m2
2kg
kg-
-2 2M= 6 10
M= 6 1024
24kg (voir
kg (voir
note pr
note pré éc cé édente) et R= 6400km d'o dente) et R= 6400km d'où ù
Cette vitesse d Cette vitesse dé écro croî ît bien s t bien sû ûr avec r avec
l'altitude, elle est par exemple de 3 km/s
l'altitude, elle est par exemple de 3 km/s
pour une orbite g
pour une orbite gé éostationnaire ostationnaire
(36.000km).
(36.000km).
V
V0
0= 7,9 km/s (Mach 26 approx)
= 7,9 km/s (Mach 26 approx)
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L’ASTRO
L’ASTRO…MAIS …MAIS
C’EST
C’EST TRÈS TRÈS
SIMPLE
SIMPLE
PEUT
PEUT- -ON S’ÉCHAPPER ON S’ÉCHAPPER
DE LA TERRE?
DE LA TERRE?
par exemple quelle vitesse faut par exemple quelle vitesse faut- -il il
communiquer
communiquer à àun satellite comme Voyager, un satellite comme Voyager,
pour qu'il quitte l'attraction terrestre pour
pour qu'il quitte l'attraction terrestre pour
toujours?.
toujours?.
Il faut pour r Il faut pour ré ésoudre ce probl soudre ce problè ème faire me faire
intervenir la notion de conservation
intervenir la notion de conservation
d'
d'é énergie. nergie.
Reconsid Reconsidé érons notre figure d rons notre figure d’ ’une des pages une des pages
pr
pré éc cé édentes. dentes.

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C’EST
C’EST TRÈS TRÈS
SIMPLE
SIMPLE
Un corps en orbite Un corps en orbite à àla surface de M (r=0) la surface de M (r=0)
doit avoir une
doit avoir une é énergie cin nergie ciné étique : tique :
½
½mV mV2
2
Elle doit Elle doit ê être au moins tre au moins é égale gale à àl' l'é énergie nergie
produite par le travail de la Force de
produite par le travail de la Force de
gravitation passant de R
gravitation passant de R à àl'infini, que l'on l'infini, que l'on
é
écrit math crit mathé ématiquement sous la forme matiquement sous la forme
suivante :
suivante :
()
Fdr GMm
Rr GMm
Rr
RR
12 .=+=+
∞∞
∫∫
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L’ASTRO…MAIS …MAIS
C’EST
C’EST TRÈS TRÈS
SIMPLE
SIMPLE
Cette derni Cette derniè ère expression doit re expression doit ê être tre
é
égale gale à àl' l'é énergie cin nergie ciné étique pour la vitesse tique pour la vitesse
minimale V
minimale Vl
lqui permet d'
qui permet d'é échapper chapper à à
l'attraction de M (s'appelle vitesse de
l'attraction de M (s'appelle vitesse de
lib
libé ération de l'astre M, "escape ration de l'astre M, "escape velocity velocity" "
en anglais) On en d
en anglais) On en dé éduit : duit :
soit soit
()
RdRGMR dR
GM
Vl + =
+
=22
dRR
VVl+ =2
0