Mécanique des fluides et systèmes ouverts

Colles semaine 9, sujet A Langevin–Wallon, PT 2016-2017
Mécanique des fluides et systèmes ouverts
Question de cours
Rappeler le premier principe appliqué à un système ouvert sans démonstration mais en explicitant très clairement
les différents termes.
Exercice 1 : Mélangeur de douche
On s’intéresse à un mélangeur de douche supposé parfaitement calorifugé. L’écoulement d’eau chaude, de dé-
bit volumique D1, provient d’un chauffe-eau à température T1= 65 ◦C. Celui d’eau froide, de débit D2, est à la
température T2= 12 ◦C. La pression est identique dans les deux canalisations et vaut P= 3 bar.
Déterminer les débits d’eau chaude et d’eau froide pour que l’eau sorte du pommeau de douche à la tempéra-
ture T= 40 ◦Cet avec un débit total D= 0,20 L ·s−1.
Donnée : capacité thermique massique de l’eau liquide c= 4,2 kJ ·K−1·kg−1.
Éléments de correction de l’exercice 1 :
Conservation du débit : D=D1+D2.
Premier principe des systèmes ouverts appliqué au mélangeur, en négligeant les variations d’énergie cinétique et
potentielle de l’eau, et avec Pméca =Pth = 0 donne
Dh −(D1h1+D2h2)=0 d’où D1
D2
=h−h2
h1−h
et comme ∆h=c∆Talors D1
D2
=T−T2
T1−T
et en retournant les équations
D1=T−T2
T1−T2
D= 0,11 L ·s−1et D2=T−T1
T2−T1
D= 0,09 L ·s−1
Exercice 2 : Siphon
On s’intéresse à la vidange d’un réservoir de section Σ, contenant un liquide de masse volumique ρ, au moyen
d’un siphon formé d’un tube de section Sconstante. On suppose SΣ. Initialement, le liquide remplit le réservoir
jusqu’à une hauteur H.
On nomme Ale point d’entrée du siphon, Ble point le plus haut du siphon, Cla sortie du siphon, Dun point de
la surface libre dans le réservoir ; zA,zB,zCet zDles coordonnées correspondantes. La surface libre dans le réservoir
et la sortie du siphon sont à la pression atmosphérique P0.
z
D
A
C
B
0
1 - Que peut-on dire de la vitesse vDpar rapport à vC?
2 - Déterminer la vitesse du fluide en sortie du siphon. En déduire une condition
sur Cpour que le fluide s’écoule.
3 - Déterminer la pression PBdans le fluide au point B. En déduire une condition
sur Bpour que le fluide s’écoule.
4 - À partir de la question précédente, expliquer pourquoi un siphon a besoin d’être
amorcé. Que faut-il faire pour réaliser en pratique cet amorçage ?
5 - Supposons le siphon fixe. Montrer que zDest solution de l’équation différentielle
dzD
dt=−S Σp2g(zD−zC).
6 - Résoudre cette équation et déterminer le temps nécessaire pour vidanger complè-
tement le réservoir.
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Éléments de correction de l’exercice 2 :
Hypothèse : écoulement incompressible et parfait (sous-entendu par l’énoncé donc à préciser par le candidat !)
1Conservation du débit volumique et écoulement supposé uniforme dans une section (ou bien vinterprétée comme
une vitesse débitante) : ΣvD=SvCdonc
vD=S
ΣvCvC.
2Théorème de Bernoulli appliqué le long d’une ligne de courant qui va de DàC:
P0+0+ρgzD=P0+ρv2
C
2+ρgzCd’où vC=p2g(zD−zC)
Il faut donc avoir zD> zC, c’est-à-dire que la sortie du siphon doit se trouver sous la surface libre du réservoir.
3Bernoulli appliqué entre Bet C:
PB+ρv2
B
2+ρgzB=P0+ρv2
C
2+ρgzC
Conservation du débit volumique : vB=vCce qui permet de simplifier, d’où
PB=P0+ρg(zC−zB)
Comme PBdoit être positive, alors zB< zC+P0
ρg
4Lorsque le siphon est vide PB=P0=PC. Il faut aspirer pour faire monter le liquide dans le siphon.
5Conservation du débit volumique, et attention car ˙zD=−vD
6Séparation des variables :
dzD
p2g(zD−zC)=−S
Σdtd’où ˆ0
H
dzD
p2g(zD−zC)=−S
Σˆτvide
0
dt
On reconnaît à gauche l’intégrale d’une fonction de la forme u0/2√uen la réécrivant sous la forme
1
gˆ0
H
2g
2p2g(zD−zC)dzD=−S
Σˆτvide
0
dt
ce qui conduit à 1
ghp2g(zD−zC)i0
H=−S
Στvide
et enfin
τvide =Σ
Sr2 gpH−zC−√−zC
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Mécanique des fluides et systèmes ouverts
Question de cours
Rappeler la relation de Bernoulli sans démonstration mais en explicitant très clairement les différents termes.
Exercice 1 : Écoulement forcé
Au sein d’une installation industrielle, on doit pomper de l’eau dans une citerne posée sur le sol, pour l’éjecter
dans l’atmosphère, à une hauteur H= 5 m au dessus du sol, avec un débit volumique minimal Q= 5 L ·s−1dans
une conduite de diamètre D= 5 cm. On note hv= 0,5 m la perte de charge totale exprimée en hauteur équivalente.
1 - On envisage une première installation mettant l’eau sous pression grâce à de l’air comprimé à une pression pA.
Déterminer la valeur minimale de pApour obtenir l’écoulement voulu.
Figure 1 –Installation avec air comprimé.
2 - On souhaite remplacer l’air comprimé par une pompe. Déterminer la puissance minimale nécessaire.
Figure 2 –Installation avec une pompe.
Éléments de correction de l’exercice 1 :
Hypothèse : écoulement incompressible (sous-entendu par l’énoncé donc à préciser par le candidat!)
1Bernoulli sur une ligne de courant allant de la surface libre jusqu’au point d’éjection :
PA+ρv2
r
2+ρgh =Patm +ρv2
s
2+ρgH +ρghv
Conservation du débit volumique et réservoir de grande section : on peut négliger vrdevant vs.
PA=Patm +ρv2
s
2+ρg(H+hv−h)
De plus, Q=vsD2/4d’où
PA=Patm +8ρQ2
D2+ρg(H+hv−h)=1,5·105Pa
en prenant le cas le pire, c’est-à-dire h= 0.
2Bernoulli modifiée pour tenir compte de la présence de la pompe (attention au membre dans lequel on ajoute la
puissance de la pompe) :
Patm +ρv2
r
2+ρgh +P Q=Patm +ρv2
s
2+ρgH +ρghv
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et donc avec les mêmes hypothèses qu’avant
P=Q8ρQ2
D2+ρg(H+hv−h)= 2,7·102W
Exercice 2 : Compresseurs étagés
Les compresseurs mono-étagés présentent deux inconvénients majeurs :
si l’on souhaite obtenir des rapports de compression βélevés, la température du fluide en fin de compression est
très élevée et peut dépasser la température maximale (de l’ordre de 200 ◦C) au delà de laquelle certains éléments
du compresseur risquent de se déteriorer, en particulier les soupapes d’ouverture et de fermeture;
il y a un manque de rentabilité.
Le but de cet exercice est de montrer que le travail de transvasement qui permet de faire fonctionner un compresseur
étagé est, pour le même rapport de compression β, plus faible que celui d’un compresseur mono-étagé.
On considère un fluide gazeux, modélisé par un gaz parfait, dont les capacités thermiques massiques à pression
et volume constants sont respectivement
cP=γ r
γ−1= 1,0 kJ ·K−1·kg−1et cV=r γ−1= 0,714 kJ ·K−1·kg−1.
où r=R/M,Métant la masse molaire du gaz. Partant de conditions initiales (P0= 1 bar,T0= 273 K), le fluide est
comprimé jusqu’à la pression P2= 25 bar en utilisant un compresseur à deux étages.
échangeur
P0, T0
BP
P1, T1P1, T0
HP
P2, T2
Dans l’étage basse pression (BP), le fluide est comprimé de façon isentropique jusqu’à la pression P1. On note β1=
P1/P0le taux de compression correspondant.
Dans l’étage haute pression (HP), le fluide est comprimé de façon isentropique jusqu’à la pression P2. On note β2=
P2/P1le taux de compression correspondant.
Entre les deux étages, le fluide subit un refroidissament isobare dans un échangeur thermique jusqu’à retrouver sa
température initiale T0.
1 - Par définition, le travail de transvasement représente le travail indiqué réversible réalisé en l’absence de variations
d’énergie cinétique et potentielle du fluide. Montrer que le travail de transvasement du gaz considéré dans un des
compresseurs, par exemple celui de l’étage BP, vaut
wt,BP =rγ
γ−1(T1−T0).
2 - En déduire que le travail de transvasement total wtque doit exercer un opérateur pour « transvaser » le fluide
depuis son état thermodynamique initial ET0jusqu’à son état thermodynamique final ET2vaut
wt=rγ
γ−1(T1+T2−2T0).
3 - Exprimer ce travail en fonction de T0,β1et β2.
4 - Montrer que le travail de transvasement est minimal si la pression de l’étage intermédiaire vérifie
P1=pP0P2.
Comparer alors β1et β2lorsque cette condition est satisfaite.
5 - Calculer numériquement T1et T2dans le cas du compresseur optimisé. Comparer à la température finale obtenue
dans un compresseur mono-étagé fonctionnant entre les mêmes pressions P0et P2. Conclure.
6 - Calculer numériquement le travail de transvasement du compresseur étagé optimisé, et comparer au travail
dépensé pour un compresseur mono-étagé. Conclure.
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Colles semaine 9, sujet B : Mécanique des fluides et systèmes ouverts Langevin–Wallon, PT 2016-2017
Éléments de correction de l’exercice 2 :
1Compression réversible et on néglige les variations d’énergie cinétique et potentielle : le travail de transvasement
est égal au travail indiqué total reçu par unité de masse de fluide dans le compresseur. D’après le premier principe,
∆h=wt,BP +qBP
Compression adiabatique donc qBP = 0. Par ailleurs, le fluide est un gaz parfait donc ∆h=cP∆T(loi de Joule),
d’où
wt,BP =cP(T1−T0)
2Comme un échangeur ne contient pas de parties mobiles,
wt=wt,BP +0+wt,HP =cP(T1+T2−2T0)
3Les compressions sont adiabatiques réversibles, donc isentropiques. D’après la loi de Laplace, P1−γTγ=cte,
d’où
T1=T0β1−1/γ
1et T2=T0β1−1/γ 2
Finalement,
wt=cPT0β1−1/γ
1+β1−1/γ 2−2.
4Les rapports β1=P1/P0et β2=P2/P1sont deux fonctions explicites de P1. La valeur P?
1qui minimise wtest
telle que ∂wt
∂P1
= 0 donc β−1/γ
1×∂β1
∂P1
+β−1/γ
2×∂β2
∂P1
= 0
soit en substituant
β−1/γ
1
1
P0−β−1/γ
2
P2
P2
1
= 0 d’où P2
1=P0P2β1
β2−1/γ
=P0P2P2
1
P0P2−1/γ
.
La seule possibilité pour vérifier cette dernière égalité est d’avoir P?
1=√P0P2. Il est alors direct d’en déduire que
dans ce cas
β1=β2.
On pose ensuite tout simplement β=β1=β2.
5Loi de Laplace appliqué aux isentropiques :
T2=T1=β1−1
γT0= 432 K
car βtot =P2/P0=β2= 25. Pour un compresseur mono-étagé,
T0
2=β1−1
γ
tot T0= 685 K
Température plus élevée, donc plus de risque de dégrader certaines pièces.
6On reprend l’expression de wtétablie précédemment, mais avec β1=β2,
wt= 2cPT0β1−1/γ −1= 319 kJ ·kg−1.
alors que pour un compresseur mono-étagé
wt=cPT0β1−1/γ
tot −1= 412 kJ ·kg−1.
Plus économique.
5/11 Étienne Thibierge, 7 décembre 2016, www.etienne-thibierge.fr