Autour du pivot de Gauss - Résolution de systèmes linéaires... et

Autour du pivot de
Gauss
Stéphane Gonnord
Plan
Résolution d’un
système
Nimpe
Pivotons
Mise en œuvre
Algorithme précis
Code
Analyse de
l’algorithme
Complexité
Validité
Questions de précision
Bonus
Autour du pivot de Gauss
Résolution de systèmes linéaires... et autres bricoles
Stéphane Gonnord
[email protected]
www.mp933.fr
Lycée du parc - Lyon
Vendredi (14,) 21 et 28 février 2014
Lycée du parc

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Plan
1. Résoudre un système :
Ine pas faire n’importe quoi ;
Il’algorithme du pivot.
2. Mise en œuvre :
Ialgorithme finalisé ;
Icode.
3. Analyse de l’algorithme :
Icomplexité ;
Icorrection ;
Ierreurs, précision.
4. Bonus :
Iinversion de matrice ;
Idéterminant, PJrQ...
Iautres résolutions de sytème.

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Nimp de chez nimp...
ISoyons malins :
2x+2y−3z=2
−2x−y−3z=−5
6x+4y+4z=16
=⇒y=−2x−3z+5
donc 2x+2(−2x−3z+5)−3z=2;−9z=2−10 +2x
=⇒z=−2x+8
9
6x+4−2x−3−2x+8
9+5+4−2x+8 9=16
donc (...)x=...
Et donc (x,y,z)=(−14,21,4)...
IAu fait, quelle était la question ?
IAu fait que signifie le symbole « ⇒» ? Et le mot
« donc » ?

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Qu’est-ce qui ne va pas ?
TOUT !
IPas/mal formalisé (on prend quelle inconnue ? On fait
quoi si «ça se passe mal» ?)
IConclusions peu claires (CN ? CS ? CNS ?)
IÉquivalences fausses...mais implicites...mais pas
vraiment...mais enfin on va faire comme si... Et de
toute façon, on sait bien que nécessaire = suffisant !
IPénible à programmer.
I« Ben oui mais jusqu’au bac inclus, on avait le droit».
Ben oui...

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Pivotons !
IUn peu de méthode !
2x+2y−3z=2
−2x−y−3z=−5
6x+4y+4z=16
L2←L2+L1
⇐⇒
L3←L3−3L1
2x+2y−3z=2
1y−6z=−3
−2y+13z=10
L3←L3+2L2
⇐⇒ 
2x+2y−3z=2
y−6z=−3
z=4
L2←L2+6L3
⇐⇒ 
2x+2y−3z=2
y=21
z=4
L1←L1−2L2+3L3
⇐⇒ 
2x=−28
y=21
z=4
Ainsi, le système initial possède une unique solution :
S={(−14,21,4)}.
IÉquivalences préservées
IConclusion claire
IÇa se passe dans une matrice