La thermodynamique appliquée aux autres domaines scientifiques

Chapitre 16
La thermodynamique appliqu´ee aux
autres domaines scientifiques
Sommaire
16.1 Thermodynamique et astrophysique (*) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
16.2 Thermodynamique et relativit´e (*) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
16.3 Thermodynamique et physique quantique (*) . . . . . . . . . . . . . . . 322
16.4 Transitions de phase et stockage de l’´energie (*) . . . . . . . . . . . . . . 324
16.5 Thermodynamique et g´eophysique (*) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
16.6 Thermodynamique et biophysique (*) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
On donne dans ce dernier chapitre quelques extensions de la thermodynamique vers des domaines
de la Physique qui ne sont habituellement pas traˆıt´es `a l’aide des principes de la thermodynamique.
16.1 Thermodynamique et astrophysique (*)
On n’a consid´er´e jusqu’`a pr´esent que des syst`emes pour lesquels l’influence des forces internes de gravitation ´etaient
n´egligeable. On va ´etudier dans ce paragraphe 1des syst`emes astrophysiques qui ne sont confin´es dans des r´egions de
l’espace que grˆace `a la force de gravitation et pour lesquels le rayonnement joue un rˆole non n´egligeable.
16.1.1 Mati`ere et rayonnement sans gravitation
On ´etudie dans ce paragraphe l’´equilibre thermodynamique d’un ensemble de particules mat´erielles en tenant compte
du rayonnement. On consid`ere donc un gaz parfait en ´equilibre thermodynamique avec le rayonnement.
Energie interne et entropie
La pression totale est la somme de la pression associ´ee au gaz suppos´e parfait pGP et de la pression associ´ee au
rayonnement pr(14.13) :
p=pGP +pr=n R T
V+σBT4 3(16.1)
L’´energie interne est la somme des ´energies internes UGP dues au gaz et Urdues au rayonnement (14.11). On a alors :
U=UGP +Ur=n cVT+σBT4V(16.2)
1. Ce paragraphe est principalement bas´e sur [1, page 260 et suivantes] et [34, page 435 et suivantes].
Thermodynamique classique, P. Puzo 315

16.1. THERMODYNAMIQUE ET ASTROPHYSIQUE (*)
De mˆeme, l’entropie du syst`eme est la somme des contributions SGP du gaz parfait et Srdu rayonnement (14.12) :
S=n cVln(T) + n R ln(V) + 4
3σBT3V(16.3)
Loi de Laplace en pr´esence de rayonnement
On cherche `a obtenir la loi caract´eristique de l’´evolution isentropique d’un gaz parfait, en tenant compte du rayon-
nement. Pour cela, on diff´erentie (16.3) et on injecte les contributions de la pression du gaz parfait pGP et du
rayonnnement pr. On obtient puisque dS = 0 :
T dS =„pGP
γ−1+ 12 pr«V TdT + (pGP + 4 pr)dV (16.4)
Pour ´eliminer la contribution de dT dans (16.4), on peut ´ecrire `a partir de (16.1) :
dp =dpGP +dpr=„∂pGP
∂T «V
dT +„∂pGP
∂V «T
dV +dpr
dT dT
soit encore :
dp =n R
TdT −n R T V2dV +4 3σBT3dT d′o`u dT T=dp +pGP dV
V
pGP + 4 pr
(16.5)
On d´efinit le rapport αpar :
α=pGP
pd′o`u pr p= 1 −α
Ce rapport mesure le degr´e de similitude avec le gaz parfait. On retrouve les cas du gaz parfait et du gaz de photons
en faisant respectivement α= 1 et α= 0. En injectant (16.5) dans (16.4), on montre finalement que pour une
isentropique, on a :
dp
p+ Γ dV V= 0 avec Γ = α[α+ 12 (1 −α) (γ−1)] + (4 −3α)2(γ−1) α+ 12 (1 −α) (γ−1) (16.6)
La loi caract´eristique de l’´evolution d’un gaz parfait en tenant compte du rayonnement s’´ecrit donc :
p V Γ=Cste (16.7)
En faisant α= 1 et α= 0 dans (16.6), on retrouve comme attendu les cas du gaz parfait et du gaz de photons
(14.17) :
ΓGP =γet Γr=4
3(16.8)
16.1.2 Thermodynamique de l’univers en expansion
Pour appliquer les lois de la thermodynamique `a l’univers en expansion, on consid`ere une sph`ere dont le rayon est la
distance moyenne entre deux galaxies. Cette sph`ere contient des particules (de masse m) et du rayonnement (c’est `a
dire des particules de masse nulle). On supposera qu’il n’y a pas d’´echange thermique avec l’ext´erieur mais un ´echange
m´ecanique qui fait appara ´ Otre la pression des particules.
Rayonnement dans une sph`ere en expansion isentropique
On consid`ere une sph`ere dont le rayon Raugmente en fonction du temps de mani`ere adiabatique et r´eversible (donc
isentropique). Cette sph`ere contient un rayonnement ´electromagn´etique. Pour exister, ce rayonnement n´ecessite des
particules mat´erielles en int´eraction, mais on n´egligera ici l’influence de ces particules pour ne consid´erer que le
rayonnement.
Pour une sph`ere en expansion isentropique, on a d’apr`es (14.12) :
S=Cste =4
3σBT3
rVavec V=4
3π R3
d’o`u :
Tr=Cste
R(16.9)
Thermodynamique classique, P. Puzo 316

16.2. THERMODYNAMIQUE ET RELATIVIT ´ E (*)
Syst`eme de particules mat´erielles en expansion isentropique
On consid`ere cette fois que la sph`ere pr´ec´edente de rayon Rest essentiellement constitu´ee de Nparticules de masse
mformant un gaz parfait de temp´erature cin´etique Tm. Si l’extension de la sph`ere est isentropique, la loi de Laplace
(3.25) avec γ= 5/3 pour un gaz parfait monoatomique s’´ecrit 2:
TmV2/3=Cste avec V=4
3π R3
d’o`u :
Tm=Cste
R2(16.10)
Equilibre de l’Univers
Les relations (16.9) et (16.10) montrent que, dans le cadre d’un mod`ele d’expansion continue, la variation de la
temp´erature due au rayonnement n’est pas la mˆeme que la variation de la temp´erature due aux particules mat´erielles.
En raison de son expansion, l’´equilibre thermique de l’Univers (consid´er´e comme l’ensemble particules+rayonnement)
ne peut donc pas ˆetre atteint. La ”mort thermique” de l’Univers n’est donc pas pour demain !
D´ecalage spectral vers le rouge
On suppose que le rayon Rde la sph`ere ´etudi´ee ci-dessus est multipli´e par k > 1. La variation avec kdes principales
propri´et´es associ´ees au rayonnement est donc :
•Le nouveau rayon R′de la sph`ere est R′=k R > R
•D’apr`es (16.9), la temp´erature devient T′=T
k< T
•D’apr`es (14.10), l’´energie volunique devient w′=w
k4< w
•La densit´e volumique de photons devient n′=n
k3< n
•L’´energie de chaque photon devient w′/n′=w/n ×1
k
•La longueur d’onde associ´ee `a chaque photon devient λ′=λ k > λ
Le rayonnement dans une sph`ere en expansion isentropique permet donc d’interpr´eter le d´ecalage vers le rouge observ´e
dans le rayonnement ´emis par les galaxies.
16.1.3 Application des ´equilibres isotopiques `a l’´etude des m´et´eorites
L’oxyg`ene ayant trois isotopes (O16, O17, O18), on peut constituer deux rapports diff´erents O17/O16 et O18/O16 entre
ses isotopes. Ces rapports ne sont pas ind´ependants car leur rapport est lui-mˆeme reli´e au rapport des diff´erences de
masses entre les isotopes. Pour tous les corps terrestres, on obtient des valeurs repr´esent´ees par la droite DM de la
figure 16.1.
Dans le cas des m´et´eorites, on a observ´e des violations a cette r`egle (figure 16.1). L’explication `a ce ph´enom`ene fait
intervenir une contamination par de l’oxyg`ene presque pur en O16 provoqu´e par l’explosion d’une supernova...
16.2 Thermodynamique et relativit´e (*)
Les grandeurs thermodynamiques et les ´equations de la thermodynamique classiques sont obtenues pour des corps se
trouvant au repos ou `a des vitesse faibles dans leur syst`eme de r´ef´erence. La g´en´eralisation de la thermodynamique
au cas relativiste a ´et´e faite pour la 1`ere fois par Planck en 1907. Elle part de l’hypoth`ese que les ´equations des 1er et
2`eme principes de la thermodynamique conservent leur forme dans tous les r´ef´erentiels d’inertie.
On donne dans ce paragraphe quelques notions de thermodynamique relativiste ainsi que quelques exemples d’appli-
cation de cette th´eorie 3.
2. Si on consid`ere plutˆot un gaz parfait diatomique, on a γ= 7/5. La loi (16.10) d’´evolution de la temp´erature
devient alors :
Tm=Cste
R6/5
Le point important est que dans tous les cas, la variation de Tmavec le rayon Rde la sph`ere est plus rapide que 1/R.
3. Ce paragraphe est principalement bas´e sur [15, page 156 et suivantes].
Thermodynamique classique, P. Puzo 317

16.2. THERMODYNAMIQUE ET RELATIVIT ´ E (*)
Figure 16.1 – Variation des rapports isotopiques O17/O16 et O18/O16 pour tous les corps terrestres (droite)
et pour les m´et´eorites (carr´es) (figure extraite de [33, page 422])
16.2.1 Temp´erature et entropie relativistes
On admettra que la notion de temp´erature relativiste exige une d´efinition suppl´ementaire par rapport au cas clas-
sique 4. On adoptera la d´efinition suivante de la temp´erature relativiste T:
T=T(0) (16.11)
ce qui signifie que la temp´erature relativiste est invariante par une transformation de Lorentz 5.
On peut d´eduire de la formulation statistique de l’entropie (11.4) que celle-ci est invariante par une transformation
de Lorentz puisque le nombre de micro´etats est invariant par transformation de Lorentz. On peut donc ´ecrire pour
un r´ef´erentiel en mouvement :
S=S(0) (16.12)
16.2.2 Quadrivecteur enthalpie - impulsion
On peut facilement montrer que dans une transformation de Lorentz, le volume V, la pression p, l’impulsion get
l’´energie interne Use transforment au moyen des formules :
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:
V=V(0) p1−β2g=U(0) +p(0) V(0)
c2p1−β2~v
p=p(0) U=U(0) +β2p(0) V(0)
p1−β2
(16.13)
L’´energie et l’impulsion d’un syst`eme isol´e forment le quadrivecteur ´energie-impulsion {U/c, gx, gy, gz}. Ce n’est plus
le cas pour un syst`eme enferm´e dans un r´ecipient car il n’est plus isol´e, ´etant soumis `a la force de pression des parois
du r´ecipient. Pour un tel syst`eme, on voit d’apr`es (16.13) que le quadrivecteur est form´e par l’enthalpie et l’impulsion
{(U+pV )/c, gx, gy, gz}. On identifie donc l’enthalpie d’un corps en mouvement `a l’invariant relativiste associ´e au
quadrivecteur enthalpie-impulsion :
H=p(U+pV )2−c2g2
D’apr`es (16.12) et (16.13), l’entropie Set la pression p(ainsi que le nombre de constituants N) sont invariants
par transformation de Lorentz. L’enthalpie H=H(S, V, N ) est donc finalement invariante par transformation de
Lorentz.
4. Intuitivement, ceci peut se comprendre si on se souvient que la temp´erature peut ˆetre mesur´ee par un param`etre
(par exemple une hauteur d’alcool) qui se comportera diff´eremment dans une transformation de Lorentz selon qu’il
est orient´e dans le sens du mouvement ou orthogonal `a celui-ci.
5. Une telle construction de la thermodynamique des syst`emes en mouvement est appel´ee thermodynamique rela-
tiviste `a temp´erature invariante.
Thermodynamique classique, P. Puzo 318

16.3. THERMODYNAMIQUE ET PHYSIQUE QUANTIQUE (*)
16.2.3 Equation fondamentale de la thermodynamique relativiste
Comme Het Ssont invariants par transformation de Lorentz, ainsi que les param`etres intensifs T,pet µ(voir [15, page
161]), on en d´eduit que :
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:
“∂H
∂S ”p, N =„∂H(0)
∂S(0) «p(0) , N
=T(0) =T
“∂H
∂N ”S, p =„∂H(0) ∂N «S(0) , p(0)
=µ(0) =µ
“∂H
∂p ”S, N
=„∂H(0)
∂p(0) «S(0), N
=V(0) =V
p1−β2
(16.14)
La forme diff´erentielle de l’enthalpie d’un corps en mouvement est donc de la forme :
dH =T dS +V
p1−β2dp +µ dN (16.15)
Cette relation est connue sous le nom d’´equation fondamentale de la thermodynamique relativiste. En faisant un
(bon) usage de cette relation, on peut, `a l’aide des transformations de Legendre, r´esoudre tout probl`eme li´e `a la
thermodynamique des syst`emes en mouvement.
16.2.4 Travail et quantit´e de chaleur relativistes
Dans le r´ef´erentiel propre, le travail ´el´ementaire effectu´e par le syst`eme est −p dV (0). Pour calculer le travail δW
´echang´e par le syst`eme dans un r´ef´erentiel en mouvement, il suffit de partir de (16.13) en supposant que le syst`eme
n’´echange que du travail avec le milieu ext´erieur. On a alors :
δW =dU =
dU(0) +d“β2p V (0)”
p1−β2
soit :
δW =−p dV +β2V dp
1−β2(16.16)
Si le syst`eme ´echange non seulement du travail mais ´egalement de la chaleur δQ avec le milieu ext´erieur, on obtient
en utilisant δQ =dU −δW :
δQ =δQ(0)
p1−β2(16.17)
16.2.5 Applications
Cas du gaz parfait monoatomique
On consid`ere `a titre d’exemple l’application de la thermodynamique relativiste `a l’´etude d’un gaz parfait mono-
atomique. Le tableau 16.1 r´esume les principales caract´eristiques du syst`eme, dans le r´ef´erentiel propre et dans le
r´ef´erentiel en mouvement.
Cas du gaz de photons
On peut ´egalement consid´erer le cas d’un gaz de photons en ´equilibre. Le tableau 16.2 r´esume les principales carac-
t´eristiques du syst`eme, dans le r´ef´erentiel propre et dans le r´ef´erentiel en mouvement.
16.3 Thermodynamique et physique quantique (*)
La physique quantique montre qu’une particule de masse met d’´energie Edans un puits de potentiel `a une dimension,
confin´ee entre les abcisses x= 0 et x=L, est repr´esent´ee par sa fonction d’onde ψ(x) qui est solution de l’´equation
de Schr¨ odinger :
d2ψ
dx2+ Ω2ψ= 0 avec Ω2=8π2mE h2
Thermodynamique classique, P. Puzo 319