Notion de cohérence

Chapitre 1
Notion de cohérence
1.1 Interférencesavecune source étendue.Localisationdes franges
Une source lumineuse monochromatique S est placée au dessus d’un miroir plan hori-
zontal (Figure 1). La distance de la source au miroir est notée h. Un écran perpendiculaire
au miroir est placé à une distance z de la source.
Figure 1.1 –
On suppose tout d’abord que la source est suffisamment petite pour être considérée
comme ponctuelle.
1. Montrer que cette expérience est équivalente à une expérience d’interférence entre
deux sources ponctuelles Set S′mutuellement cohérentes. Où se situe S′?
2. Déterminer l’intensité en chaque point M(x,y) de l’écran. Comment évolue l’inter-
frange lorsque haugmente?
3. Quel est le contraste Cde la figure d’interférence?
On suppose à présent que la source est étendue dans la direction (Ox) : c’est un trait
de lumière situé entre h0−∆h/2 et h0+ ∆h/2. On suppose par ailleurs que cette source est
spatialement incohérente. On se propose de déterminer l’intensité I(x,y) en tout point de
1

2 CHAPITRE 1. NOTION DE COHÉRENCE
l’écran et d’en déduire le contraste des franges.
1. Décomposer la source en une superposition de sources infinitésimales de longueur
dh et déterminer l’intensité dI(x,y) produite sur l’écran par l’une de ces sources.
2. En déduire l’intensité totale I(x,y) sur l’écran. Justifier.
3. Montrer que I(x,y) peut être mise sous la forme I(x,y)=2Itot(1 +C(x,y)cos(mx)),
où m=2πh0/(λz).
4. Pour une position z donnée tracer le contraste en fonction de x. Pour quelle valeur x0
s’annule t-il une première fois? Comment évolue x0avec z ?
1.2 Principe de la tomographie par coherence optique (OCT)
La tomographie par cohérence optique (ou Optical Coherence Tomography, OCT en
anglais) est une technique non invasive permettant d’identifier et de mesurer l’épaisseur des
différentes couches constituant un tissus vivant comme la peau ou la rétine. Cette méthode
est employée entre autre pour diagnostiquer la dégénérescence maculaire. Cet exercice a
pour but d’en comprendre les grandes lignes.
Une source ponctuelle est placée au foyer d’une lentille de focale f’. Si l’on néglige les
effets de diffraction celle-ci transforme l’onde sphérique en une onde plane se propageant
suivant l’axe optique. L’onde plane est ensuite séparée en amplitude par une lame semi-
réfléchissante. La moitié de l’intensité tranverse la lame l’autre moitié est réfléchie. La
partie transmise arrive en incidence normale sur un miroir M et s’y réfléchit. Cette onde
sera nommée "onde de référence". L’autre moitié de l’intensité est réfléchie par la lame et
se dirige vers un échantillon à étudier. Celui-ci se compose de deux couches de matériaux
1 et 2 formant deux dioptres plans séparés d’une épaisseur eque l’on souhaite déterminer.
L’onde arrive en incidence normale sur ces dioptres. Une fraction de l’amplitude incidente
est réfléchie par chaque dioptre. Les ondes réfléchies par les dioptres et l’onde réfléchie par
le miroir M émergent de la lame semi-réfléchissante avec la même direction et sont ensuite
concentrées sur un détecteur ponctuel par une lentille convergente.
On note :
–r1,t1et r2,t2les coefficients de réflexion et de transmission en amplitude sur le pre-
mier et deuxième dioptre.
–φ1et φ2les déphasages introduits par les réflexions sur le premier et deuxième
dioptre.
–n1et n2les indices de refraction des milieux 1 et 2.
–Lla distance initiale entre la lame séparatrice et le miroir M. On pose δL=L−d.
Le miroir M est monté sur un dispositif de translation motorisé, L peut être changée
et balayée automatiquement.
– On note A0et I0l’amplitude et l’intensité de l’onde émise par la source dans un plan
situé avant la séparatrice, perpendiculaire à la direction de propagation

1.2. PRINCIPE DE LA TOMOGRAPHIE PAR COHERENCE OPTIQUE (OCT) 3
Figure 1.2 – Principe de l’OCT
1.2.1 Introduction
Nous allons supposer dans un premier temps que la source ponctuelle est monochro-
matique (sa fréquence est notée ν).
1. Quelle est l’effet de la lame séparatrice sur l’intensité et donc sur l’amplitude des
ondes?
2. Calculer l’amplitude complexe de l’onde de référence dans un plan juste avant la
lentille L2.
3. Calculer l’amplitude complexe des ondes réfléchies par les deux dioptres dans un
plan juste avant la lentille.
4. Calculer l’amplitude complexe du champ total incident sur le détecteur. Les dépha-
sages introduits par la lentille doivent-ils être pris en compte?
5. Calculer l’intensité Itotale au niveau du détecteur. Montrer que cette intensité peut
être mise sous la forme d’une somme de six termes : 3 termes constants et 3 termes
sinusoïdaux d’interférence.
On suppose que la distance δLpeut être variée automatiquement. On enregistre l’in-
tensité Ien fonction de δL.
6. Montrer que le signal I(δL) est la somme d’une constante et de deux sinusoïdes
dépendant de δL.
1.2.2 utilisation d’une source polychromatique
Nous allons maintenant supposer que la source ponctuelle a un spectre large. On pose
dI0=J(ω)dωoù J(ω) est le spectre de la source et ω=2πν. La fonction J(ω) est réelle et
positive. Elle est définie sur l’intervalle de fréquence [0,+∞[. On peut étendre son domaine

4 CHAPITRE 1. NOTION DE COHÉRENCE
de validité en supposant que J(ω)=0 sur l’intervalle ] − ∞,0].
1. Reprendre les calculs précédents pour calculer l’intensité dI correspondant à un in-
tervalle spectral [ω, ω +dω].
2. Calculer l’intensité I(δL) sur le détecteur intégrée sur tout le spectre. Pour alléger
l’expression obtenue et préparer l’analyse du résultat, on pourra tout d’abord en-
glober sous un terme C1l’ensemble des termes ne dépendant pas de δL. On pourra
ensuite introduire les notations suivantes :
K(τ)=2Re ZJ(ω)e−iωτdω!(1.1)
I0=ZJ(ω)dω(1.2)
τ=2δL/c(1.3)
1.2.3 Principe de l’OCT
Notons e J,la transformée de Fourier de J.
1. Exprimer K(τ) en fonction de e J.
2. Si le spectre de la source est large, que peut on dire de sa transformée de Fourier?
Pour fixer les idées, nous allons prendre un spectre rectangulaire, centré sur ω0et de
largeur spectrale ∆ω:
J(ω)=I0/∆ωsi ω0−∆ω/2< ω < ω0+ ∆ω/2
J(ω)=0 sinon
3. Calculer explicitement K(τ) (calculer l’intégrale), puis I(δL).
4. Comment peut-on déterminer l’épaisseur e?
5. Pourquoi est-il important d’utiliser une source avec un spectre large?
1.2.4 Contrôle du spectre de la source (Spectroscopie TF)
Le spectre Jde la source a ici une grande importance. Cette source peut être une diode
blanche, un laser Titane-Saphir...On souhaite calibrer le spectre de la source avant de procé-
der à une analyse d’échantillon. On remplace pour cela l’échantillon de la partie précédente
par un miroir plan de réflectivité r1=1.
1. Montrer que l’expression de I(δL) prend la forme d’un terme constant et d’un terme
proportionnel à la partie réelle de la transformée de Fourier de J.
Lorsque l’on fait varier δLon constate que l’intensité sur le détecteur varie de la
manière suivante :

1.2. PRINCIPE DE LA TOMOGRAPHIE PAR COHERENCE OPTIQUE (OCT) 5
I(τ)=B+Aexp−
τ2
4T2cos(ω0τ) (1.4)
τ=2δL/c(1.5)
2. En déduire la forme du spectre Jde la source ainsi que la fréquence centrale de ce
spectre.