Modélisation expérimentale et analytique de l`interaction

Formation Sciences de la Matière Stage 2013
École Normale Supérieure de Lyon Sylvie BARSU
Université Claude Bernard – Lyon I M2 Physique
Modélisation expérimentale et analytique
de l’interaction écoulement/plantes
en géométrie simplifiée
Résumé
Durant ce stage, nous avons mis en place une expérience dans un canal centimé-
trique permettant de visualiser à la fois le mouvement de tiges flexibles immergées
dans un écoulement et le champ de vitesses dans l’eau par PIV. Ces mesures ont été
comparées à des modèles théoriques résolus numériquement, en particulier concernant
la déflexion des tiges. L’étude de stabilité du système fournit une relation de dispersion
que nous mettons en lien avec les fréquences caractéristiques observées expérimenta-
lement.
Mots-clés : hydrodynamique environnementale ; interaction fluide-structure ;
LMFA UMR 5509
Université Claude Bernard – Lyon I
Domaine Scientifique de la Doua
Bâtiment Oméga, 43 Bd du 11 novembre 1918
69622 Villeurbanne Cedex
http://lmfa.ec-lyon.fr/
Encadrante :
Delphine Doppler
[phone]
[e-mail]

Remerciements
Je voudrais d’abord remercier Delphine qui a proposé et encadré ce sujet original. J’ai
bien aimé ce stage, qui augure favorablement (j’espère) de la thèse que je commence en
septembre. Merci à Nicolas Rivière et Michel Lance de s’être intéressés le temps de quelques
discussions à la problématique passionnante des roseaux dans les écoulements !
Un grand merci également à Amandine Paquet qui m’a bien aidée à améliorer la manip
et rendre les mesures plus faciles, ainsi qu’à Stéphane et Michel de l’atelier qui sont toujours
là en cas de souci technique !
Pour finir, merci à mes co-bureau pour l’ambiance sympathique et les pauses au soleil
et à mes collègues de l’ENS en stage à la Doua pour les piques-niques improvisés le midi.
Table des matières
1 Introduction 3
1.1 Contexte...................................... 3
1.2 Précédentesétudes ................................ 3
1.3 Objectifs...................................... 4
2 Etude théorique 5
2.1 Les différents éléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Lesystèmecouplé ................................ 7
2.3 Quels paramètres pour observer le monami ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.4 Etude des grandes déformations d’une tige dans un écoulement . . . . . . . 9
3 Dispositif expérimental et techniques de mesure 10
3.1 Lecanal...................................... 10
3.2 Lestiges...................................... 10
3.3 Mesure du mouvement des tiges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.4 Mesure de l’écoulement par PIV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4 Expériences et exploitation 14
4.1 Protocole ..................................... 14
4.2 Exploitation sur deux exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
5 Résultats et discussion 18
5.1 Amplitude..................................... 18
5.2 Déflexions et coefficient de traînée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5.3 Relation de dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6 Conclusion 21

1 INTRODUCTION 3
1 Introduction
1.1 Contexte
L’étude des obstacles flexibles dans les écoulements peut se faire dans divers domaines
et à toutes les échelles (d’un cil de bactérie à une forêt). De nombreuses applications
concrètes existent, comme par exemple :
– la croissance de plantes avec forçage mécanique ;
– le déplacement d’insectes et bactéries grâce aux poils/cils recouvrant leur surface ;
– la dispersion d’espèces passives (polluants) dans des zones végétalisées ;
– la récupération d’énergie (transfert écoulement →élément flexible), ou la fabrication
de filtres.
Le cadre global de cette étude est l’interaction fluide-structure.
1.2 Précédentes études
Le but est d’étudier les échanges d’énergie entre un écoulement et des obstacles, pou-
vant amener à une résonance (mouvement global) quand les obstacles sont non-rigides.
En effet, contrairement au cas où il n’y aurait qu’un seul obstacle, on peut assister à des
mouvements corrélés des obstacles excités par l’écoulement. Ce régime est appelé monami,
il est représenté figure 1c.
(a) Erect/rigid (b) Swaying (c) Monami (d) Prone
Figure 1 – Différents types d’écoulement possibles au-dessus d’un couvert végétal (schémas
extraits de [1]).
Études expérimentales Un certain nombre d’études ont porté sur ce phénomène, dans
des conditions différentes. Parmi celles-ci, on peut citer :
Py et al. [2] ont étudié le vent dans les champs de blé, en faisant des mesures de vitesse in-
situ par PIV (Particle Image Velocimetry - principe détaillé au paragraphe 3.4) à la
surface d’un champ. Ils observent un mouvement global d’ondulation (honami), à la
fréquence propre des tiges. Ce phénomène est caractérisé par une phase d’accrochage
dans laquelle ce sont les tiges qui gouvernent l’instabilité, et non l’écoulement. Ils
le modélisent par l’interaction entre un oscillateur neutre (fluide) et un oscillateur
instable (plantes). Leurs résultats comparés à leur modèle sont présentés figure 2.
Nepf et al. [3] ont utilisé un montage avec des obstacles flexibles dans un canal hydraulique
de grande taille. Dans cette étude, les obstacles sont très défléchis et subissent de
grands déplacements. Un mouvement global des tiges est également observé dans
l’eau (appelé monami), mais la fréquence du phénomène correspondant à celle de
l’instabilité de Kelvin-Helmholtz de la couche de mélange non bornée (notée KH
dans la suite du rapport). Les mesures tendent donc à montrer que c’est l’instabilité
du fluide qui gouverne le phénomène. Toutefois, la vitesse de phase observée est 1,5
fois supérieure à la vitesse prédite pour les ondes.

4 Étude de l’interaction écoulement/plantes
Okamoto et Nezu [1, 4] se sont intéressés à la visualisation par PIV de l’écoulement
au-dessus de tiges immergées dans un canal hdraulique de grande taille. Les ondula-
tions à la surface du couvert végétal sont dues à des structures tourbillonnaires qui
passent et inclinent les tiges, ce qui encourage à prendre en compte l’aspect turbulent
de l’écoulement. Ils font également une description phénoménologique des différents
régimes possibles (voir illustrations figure 1), allant du couvert rigide immobile à
la végétation couchée par le courant, en passant par des ondulations plus ou moins
cohérentes.
(a) Longueur d’onde normalisée
par la hauteur des plantes
(b) Fréquence normalisée par la
fréquence propre des plantes
Figure 2 – Propriétés ondulatoires du premier mode observé expérimentalement pour deux
types de plantes ( ∗, o ) et comparaison au modèle couplé (—) ; Urest la vitesse réduite ;
résultats extraits de [2].
Modèles
C. Py et F. Gosselin [2, 5] ont mis en équation le système écoulement/tiges couplés par la
traînée et réalisé une étude de stabilité linéaire. Les lignes de courant sont clairement
différentes pour des tiges situées dans l’air et dans l’eau. En effet, on retrouve un
accrochage dans l’air, mais pas vraiment dans l’eau, dans la gamme de paramètres
des expériences de Nepf et al. [3].
1.3 Objectifs
Dans ce stage, l’objectif était de comprendre mieux le mécanisme d’interaction en fai-
sant des mesures sur une rangée unique de tiges flexibles immergées dans un écoulement.
Les précédentes études ne tranchent pas quant à l’origine de cette instabilité : est-elle gou-
vernée par le fluide ou les obstacles ? Quels sont les paramètres significatifs du problème ?
Contrairement aux études précédentes, nous nous sommes particulièrement intéressés au
mouvement des tiges, dans l’espoir d’observer la transition vers le régime de monami.

2 ETUDE THÉORIQUE 5
2 Etude théorique
On étudie l’interaction entre deux oscillateurs, l’un solide et l’autre fluide, couplés par la
force de traînée. La déstabilisation de l’interface se fait via l’instabilité de KH d’une couche
de mélange, puisque la présence des tiges ralentit l’écoulement dans sa partie inférieure et
crée un point d’infexion dans le profil de vitesses moyen. Je me fonde ici sur le modèle
présenté par Gosselin [5].
2.1 Les différents éléments
2.1.1 Oscillateur solide : les tiges
y
x
X(x,y,t) e
h
s
Figure 3 – Notations pour
l’étude des oscillations des tiges.
Les tiges sont modélisées par des poutres flexibles de
masse volumique ρ, de section S=we, de module d’Young
Eet de facteur de forme Iz=e3w/12 par rapport à la
direction transverse. Dans tous les calculs, leur mouvement
est décomposé de la manière suivante (voir notations sur
la figure 3) :
−→
X(x, y, t) = χ(y)
|{z}
forme
Q(x, t)−→ ex
Pour simplifier les calculs, on prend le modèle d’une
tige rigide liée au sol par un ressort de torsion, formant un
système de pulsation propre ω0. On a donc χ(y) = y/h.
Les tiges étant suffisamment peu espacées, le réseau de
tiges est décrit comme un milieu continu.
On fera par la suite l’hypothèse de petites amplitudes
du mouvement pour l’analyse de stabilité.
2.1.2 Oscillateur fluide : l’écoulement
U1
U2
U
y
−δ
δ
0
Figure 4 – Profil de vitesses en
ligne brisée pour l’analyse de sta-
bilité de KH.
On étudie l’instabilité de KH dans un écoulement de
base en lignes brisées, représenté figure 4, dont on va faire
l’analyse de stabilité linéaire temporelle classique (comme
dans [6]) :
U=U1si δ < y (1)
U=Um+ ∆Uy
δsi −δ < y < δ (2)
U=U2si y < −δ(3)
où Um=U1+U2
2et ∆U=U1−U2 2.
On pose uet vles perturbations de l’écoulement dans
les directions xet y, et ψla fonction de courant telle que :
u=∂yψet v=−∂xψ. Cette fonction de courant obéit à
l’équation de Rayleigh.
(∂t+U∂x)ψ−∂xψ∂2
yU= 0 (4)
On recherche la solution en modes normaux
ψ(x, y, t) = 1
2(ˆ
ψ(y)ei(kx−ωt)+ c.c.)