Algorithmes classiques
Arithm´etique Algorithmique
1Coˆut de la multiplication et de la division
2Exponentiation rapide
3Algorithme d’Euclide
4Algorithme d’Euclide ´etendu
5Reconstruction d’un nombre rationnel
6Carr´es dans Fp: symbole de Legendre-Jacobi
7Carr´es dans Fp: calcul des racines carr´ees
8L’algorithme LLL
9Quelques applications de LLL
Arithm´etique Algorithmique
Coˆut de la multiplication et de la division
Coˆut de la multiplication et de la division
Convention. On consid`ere dans cette partie que les algorithmes utilis´es
pour la division et la multiplication sont les algorithmes classiques et
donc la multiplication entre deux entiers aet bou la division de aavec b
comme quotient coˆute
O(log alog b)⊂O((log N)2)
op´erations binaires avec |a|,|b| ≤ N.
Entiers de taille d´ecroissante. Soient a1, . . . aket b1, . . . , bkdes entiers
(disons positifs) tels que a1, . . . , ak≤Net Qibi≤N. Alors le coˆut
pour faire toutes les multiplications des aipar les bi, ou toutes les
divisions des aiavec les bipour quotients, est
O(log a1log b1)+···+O(log aklog bk)⊂O((log N)(log b1+···log bk))
=O((log N)(log b1···bk)) ⊂O((log N)2).
Arithm´etique Algorithmique
Exponentiation rapide
Exponentiation rapide
Probl`eme. Pour Ggroupe, g∈Get n∈Z, on veut calculer gn.
Remarques. M´ethode na¨ıve donne O(n) op´erations dans G.
Quitte `a remplacer gpar g−1, on peut supposer n≥0.
´
Ecriture binaire. On ´ecrit n=Pii2iavec i= 0 ou 1, on a alors
gn=Y
i=1
g2i.
Au plus O(log n) multiplications dans Get g2i+1 =g2i2.
Algorithme.
(1) Poser h←1G,t←g
(2) Si n= 0 alors retourner h
(3) Si nest impair alors poser h←h·t
(4) Faire n← bn/2c,t←t2et retourner en (2)
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