CONVERSION DE PUISSANCE

Spé ψ 2005-2006
Devoir n°6
CONVERSION DE PUISSANCE
Partie I
MOTEUR A COURANT CONTINU COMMANDE PAR UN HACHEUR
On rappelle (figure 1) le schéma équivalent du moteur à courant continu à excitation séparée : u
représente la tension aux bornes de l’induit (rotor), i l’intensité du courant le traversant.
i
I-1) Étude du moteur à courant continu
R
Le moteur étant soumis à un couple résistant constant CR = 60 N.m , un essai
u
réalisé avec u = 120V a donné les résultats suivants :
E
Ÿ f.é.m. E = 100 V ; Ÿ vitesse de rotation Ω = 3200 tours.mn–1.
Le moment d’inertie de la partie mobile entraînée par le moteur vaut
figure 1
J = 1,5 kg.m2 et la relation entre la vitesse de rotation du moteur et la vitesse v du véhicule est Ω = λv avec λ = 35 tr.mn–1/(km.h–1).
a) Rappeler les relations (expressions littérales puis numériques) existant entre les grandeurs électriques E et i et mécaniques Ω et C (C = couple moteur) ; pour les expressions numériques,
on précisera les unités employées pour E, i, Ω et C.
b) Déterminer la valeur de R, résistance de l’induit.
c) On considère un fonctionnement à couple moteur C constant (C = 60 N.m) et on étudie la phase de « mise en vitesse » d’un véhicule sur une route horizontale. Le moment du couple résistant varie alors suivant une loi du type CR = aΩ + b avec a = 0,01 N.m/(rad.s–1) et b = 5 N.m.
Calculer le temps ∆t1 mis par le véhicule pour passer de 0 à v = 50 km/h.
I-2) Commande par hacheur
K1
Pour alimenter le moteur à courant continu à pariK1
i
tir d’une source (batteries) délivrant une tension continue
L
iK2
fixe E0, on réalise le montage à deux interrupteurs K1 et
R
K2 de la figure 2. Une bobine d’inductance L est placée E0
V
u
K2
E
en série avec le moteur. La résistance de la bobine est
négligée.
Les interrupteurs K1 et K2 sont supposés idéaux.
MOTEUR CC
SOURCE
a) Qu’est-ce qu’un « interrupteur idéal » ?
figure 2
b) Quel est le rôle de la bobine
d’inductance L dans ce montage ?
c) Préciser les états de fonctionnement autorisés pour les interrupteurs K1 et K2 compte
tenu de la nature de la source et de la charge du hacheur (on justifiera en rappelant les règles
d’association des sources auxquelles il faut faire référence) .
I-3) On considère dans tout ce qui suit un fonctionnement en régime périodique établi de période T. On considèrera de plus que la résistance R de l’induit est négligeable et que la f.é.m. E est
toujours positive. L’oscillogramme de la figure 3 fournit un relevé de tensions effectué alors que la
source E0 fournit une puissance P = 3 kW.
Ÿ La voie 1 représente la tension V.
Ÿ La voie 2 représente la tension obtenue par une sonde de courant : cette tension est
proportionnelle à l’intensité i du courant traversant le moteur (sensibilité de la sonde : 1 volt par ampère).
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On s’intéresse au fonctionnement sur une période entre les instants 0 et T. On note αT l’instant
de commutation à partir duquel la tension V vaut 0 (V = 0 pour αT ≤ t < T).
Base de temps : 10 µs par carreau
Voie 1 : Ÿ mode DC
Ÿ 20 V par carreau
Voie 2 (entre les deux curseurs figurant en pointillés) :
Ÿ mode AC
Ÿ 0,1V par carreau
figure 3
– 0 CH2
– 0 CH1
a) Représenter le circuit électrique (comprenant le moteur à courant continu) qui équivaut au montage de la figure 2 dans chaque phase de fonctionnement (0 ≤ t < αT d'une part et
αT ≤ t < T d'autre part).
b) Écrire les équations d’évolution i(t) de l’intensité du courant en fonction du temps (on
notera IMIN et IMAX les valeurs minimale et maximale de i) :
α) pour 0 ≤ t < αT ;
β) pour αT ≤ t < T ;
c) Représenter rapidement, sur des figures distinctes, les graphes de iK1 et iK2 en fonction
du temps.
d) Déduire de l’oscillogramme de la figure 3 et des conditions de réalisation de l’essai
correspondant (il ne s’agit pas de l’essai initial pour lequel E = 100 V mais de celui présenté à la question I-3) :
α) la valeur de E0 ;
β) la valeur de α correspondant à l'essai réalisé ;
γ) la valeur de E correspondant à l'essai réalisé ;
δ) la valeur de L ;
ε) la valeur moyenne <iK1> du courant débité par la source E0 ;
φ) la valeur moyenne <i> du courant circulant dans l’induit.
e) Dans le cas d’un moteur à courant continu réel (si on prend en compte la résistance
R), pourquoi a-t-on intérêt, pour améliorer le rendement, à limiter l’ondulation du courant dans l’induit
(c'est-à-dire à limiter les variations du courant autour de sa valeur moyenne) ?
Partie II
PRINCIPE DU MOTEUR SYNCHRONE
II-1) Entraînement du rotor du moteur synchrone
La partie mobile du moteur synchrone (rotor) est constituée
r d’un bobinage alimenté par un courant continu
et assimilable à un aimant de moment magnétique M , de module M0 constant. On suppose
r
que M est animé dans le plan Oxy d’un mouvement de rotation uniforme autour de l’axe Oz (perpendiculaire à ce plan) à la vitesse angulaire ω.
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Le mouvement s’effectue
r dans une partie de l’espace où règne un champ magnétique B supposé uniforme d’amplitude BT
qui, lui, tourne dans le plan Oxy autour de l’axe Oz à la vitesse
angulaire ω0 (ω0 n’étant pas a priori égale à ω).
r
On note u Z le
unitaire de l’axe Oz et θ0 la valeur
r vecteur
r
initiale de l’angle ( M , B ).
a) Exprimer θ(t). En déduirerla valeur instantanée du
r
r
couple Γ (t ) = Γ (t )uZ exercé par le champ B sur le rotor.
b) Pourquoi le moteur synchrone ne peut-il fonctionner que pour une vitesse angulaire ω égale à ω0 ?
r
B (t)
θ(t)
r
M (t)
r
B (t = 0)
r
uZ ¤
θ0
r
M (t = 0)
II-2) On se place dans le cas ω = ω0.
a) Exprimer la valeur Γ0 de Γ(t).
r r
r
r
b) Quelle condition l’angle θ = ( M , B ) entre M et B en régime permanent doit-il vérifier pour que cette machine fonctionne effectivement en moteur ?
c) Quelle est, dans ce cas (fonctionnement en moteur), la puissance mécanique PMECA
fournie par le moteur ?
d) On suppose que la machine, fonctionnant en moteur, entraîne une « charge » qui impose au moteur un couple résistant de module constant ΓR (les autres couples résistants étant négligés).
Quelle condition doit vérifier ΓR pour que le moteur puisse effectivement entraîner la charge ?
II-3) L’alimentation du moteur comporte un transformateur. Des essais sur un transformateur
identique ont donné :
Essai en CONTINU
Essai à VIDE
Essai en Court Circuit
Ÿ
Ÿ
Au primaire:
U1V = 230V
I2CC = 9,1 A
u1
u2
U = 6,0V et I = 1,0A
IlV = 0,11 A
UlCC = 20 V
U2V = 25,3 V
PlV = 6,9 W
PlCC = 11 W
Les tensions et intensités indiquées sont des valeurs efficaces.
En supposant le circuit magnétique linéaire, le modèle équivalent du transformateur est le suivant.
R1
u1
L1
Ÿ
Ÿ
R2
m
L2
u2
a) Déterminer numériquement la résistance R1 et le rapport de transformation m.
b) Donner le modèle équivalent du transformateur vu du secondaire, en faisant apparaître une résistance RS et une inductance LS.
c) À l'aide des résultats de l'essai à vide, déterminer numériquement :
α) les pertes par effet joule à vide PJV ;
β) les pertes dans le fer PFV;
γ) le facteur de puissance à vide cos(ϕV). Commenter.
d) À l'aide des résultats de l'essai en court circuit, déterminer numériquement:
α) la résistance R2.
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β) L’inductance des enroulements ramenée au secondaire LS.
Partie III
ÉTUDE D’UN MOTEUR PAS A PAS
r
B
III-1)
Une
bobine
b
parcourue
par
un
courant
i
crée
un
champ
magnétique
EXT , proportionnel au
r
r
courant i: B EXT = K.i. u X . Un barreau de fer
doux
de
volume
V
est
en
rotation
libre
d’angle θ autour de
r
l’axe Oz dans la région où règne le champ
ainsi dans le
r B EXT . rLe fer doux est un matériau ferromagnétique:
r
r
barreau
règne un champ magnétique B INT = BINT u , une excitation
r
r magnétique
r
r H = H u et une aimantation
r
r
M a = M a u , où u est le vecteur unitaire de l’axe du barreau. ( B INT, H et M a sont supposés uniformes dans
le volume du barreau).
a) Représenter l’allure de Ma en fonction de H. Quelles sont les
unités de ces deux grandeurs ?
b) Le barreau est utilisé dans le domaine linéaire ferromagnétique. Sa perméabilité
r
r magnétique relative µr est de l’ordre de 2000. Montrer
alors que B INT = µ0 M a .
c) L’intense ferromagnétisme
du barreau canalise les lignes de
r
champ parallèlement à son axe u . Dans ces conditions:
r
r
r r
π
B INT = ( B EXT. u ) u si | θ| ≤ ;
4
r
r
π
B INT = 0 si | θ| > .
4
r
L’expression du moment magnétique M du barreau s’écrit:
r
r
π
M = A.i.cos(θ) u si | θ| ≤ ;
4
r r
π
M = 0 si | θ| > .
4
Exprimer A en fonction de µ0, V et K.
r
d-α) Exprimer le couple exercé par le champ magnétique B EXT sur le barreau.
β) Déterminer les positions d’équilibre du barreau. Étudier leur stabilité.
III-2) Réalisation d’un moteur pas à pas unipolaire.
Description du moteur:
Le rotor est constitué de deux barreaux de fer doux orthogonaux analogues à celui qui a été étudié au I). Sa rotation
autour de Oz est repéré par l’angle θ. Les résultats du I) restent
valables pour chaque barreau.
Le stator est constitué de trois bobines b1, b2 et b3 analogues à la bobine b du 1) dont les axes font entre eux des angles
2π
de
. Chaque bobine est parcourue successivement par un
3
courant continu i0 grâce à un circuit de commutation qui sera
étudié au III).
a) On définit l’état 1 par i1 = i0, i2 = 0, i3 = 0 que
l’on pourra nommer (1,0,0). Déterminer les positions d’équilibre du rotor dans cet état. On choisit de dire
qu’une de ces positions correspond à θ = 0.
b) On passe de l’état 1 (θ = 0) à l’état 2 (θ = θ2) par i1 = 0, i2 = i0, i3 = 0 . C’est l’état
(0, 1, 0). Déterminer la nouvelle position θ2 du rotor dans cet état .
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c) En le reproduisant sur la copie, compléter le tableau de commutation suivant permettant
de faire tourner le rotor d’un demi-tour. On introduira le nombre convenable de colonnes.
0
θ
i1
1
0
i2
0
1
i3
0
0
d) Combien de positions différentes le rotor peut-il occuper entre 0 et 2π ?
e) À partir de θ = 0, on souhaite faire tourner le rotor de 60° dans le sens négatif. Définir,
sous forme de tableau, la séquence de commutation à utiliser.
f) Ce moteur pas à pas peut être utilisé pour entraîner indirectement l’aiguille des secondes
d’une grande horloge de gare. On souhaite que l’aiguille s’arrête sur chaque seconde.
α) Quel dispositif mécanique faut-il placer sur l’axe du rotor ?
β) Quelle doit être la période de commutation T (intervalle de temps entre deux états
successifs définis à la question 2)) ?
γ) Déterminer la valeur maximale CR,MAX du couple résistant CR sur l’axe du rotor
(par exemple le couple exercé par le poids de l’aiguille) pour que l’horloge ne saute pas de secondes.
III-3) Commutation du moteur pas à pas.
Données:
Les bobines bi sont identiques et équivalentes chacune à une résistance r = 10 Ω et une inductance
L = 100 mH en série.
R1 = 400 Ω ; I0 = 1,0 A (source continue de courant) ; E = 24 V (source continue de tension) Les
diodes D0, D1, D2 et D3 sont idéales.
b1
C1
Schéma du montage
T1
i1
r
L
D1
g1
R1
b2
i2
B
T2
r
D2
g2
I0
A
L
R1
D0
+
b3
E
i3
T3
r
L
D3
g3
R1
Les transistors T1, T2 et T3 sont utilisés en commutation et commandés par la grandeur gi:
Ÿ si gi = g0 le transistor Ti est équivalent à un interrupteur idéal fermé ;
Ÿ si gi = 0 le transistor Ti est équivalent à un interrupteur idéal ouvert.
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À partir de t = 0 où les trois courants i1, i2 et i3 sont nuls, on déclenche la séquence de commutation
suivante:
On souhaite déterminer le courant
g3
i1(t) dans la bobine b1 entre t = 0 et
t = 3T. Le but est d’obtenir pendant la
t
commutation un courant dans la bobine
commutée aussi proche que possible de
I0 sans provoquer de surtensions destructrices. L’évolution de i1(t) se décompose
g2
en trois phases:
t
Ÿ une phase d’établissement de
durée ∆t1 ;
Ÿ une phase stationnaire i1 = I0 ;
g1
Ÿ une phase d’extinction de durée
∆t2.
t
T
3T
2T
a) En déterminant les difL
On suppose T très supérieure à .
férents états des diodes D0 et D1, déter- T: période de commutation.
r
miner i1(t).
b) Exprimer ∆t1 et ∆t2 en fonction de L, r, R, E et I0. (on utilisera exp(–5) ≈ 0). Effectuer
l’application numérique.
c) Tracer sur un même graphique l’allure de i1(t), VC1 et VB entre 0 et 3T (on dilatera les valeurs de ∆t1 et ∆t2 pour qu’elles apparaissent sur l’axe des temps).
d) Quelle serait l’évolution de i1(t) en l’absence du générateur de courant (avec VB = 0) ? En
déduire l’intérêt de ce générateur.
e) Durant la phase de courant stationnaire, déterminer les puissances fournies par chacun des
deux générateurs. Application numérique.
f) Vérifier que les transistors fonctionnent en commutateur commandé premier quadrant .
III-4) Fonctionnement du moteur à vitesse de rotation constante.
On souhaite faire tourner le moteur en rotation rapide. On poursuit ainsi la séquence de commutation définie en III-2) en la répétant avec une période 3T et en diminuant la valeur de T. (T ne sera plus très
L
supérieure à ). Ainsi on peut considérer que la vitesse de rotation ω du moteur est uniforme.
r
a) Le fonctionnement est possible si T n’est pas inférieure à la somme ∆t1 + ∆t2. Justifier
sommairement cette condition. Exprimer la vitesse de rotation maximale ωMAX du moteur. Calculer numériquement ωMAX en tours.mn–1.
b) Par des améliorations de nature électronique, on diminue ∆t1 et ∆t2 jusqu’à rendre leur
valeur négligeable devant T (ω sera nettement inférieure à ωMAX). Il faut évidemment synchroniser la fré1
quence de commutation
et la vitesse de rotation ω . En outre, il y a nécessité de déphaser le mouvement
T
du rotor et le signal de commutation.
T
α) sans déphasage: on suppose que θ = 0 si t = [modulo T].
2
Ÿ quel est l’intervalle de variation de θ pendant la commutation d’une bobine ?
Ÿ montrer que le couple moteur moyen CM est nul.
β) avec déphasage: par rapport au α), de quelle durée faut-il décaler le signal de commutation pour que CM soit maximum ? Calculer CM en fonction de A, K et I0.
γ) En déduire la puissance moyenne motrice.
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