Algorithmes de filtrage arc consistant et 3

Actes JNPC’03
Algorithmes de filtrage arc consistant et
3-inverse consistant pour l’allocation de
fr´equences avec niveaux de relaxations
Alvernhe Eric
Centre LGI2P,
Ecole des Mines d’Al`es
Site EERIE, Nˆımes
email: [email protected]
Michel Vasquez
Centre LGI2P
Ecole des Mines d’Al`es
Site EERIE, Nˆımes
email: [email protected]
1 Introduction
Cette ´etude pr´esente des algorithmes de filtrage d´edi´es au probl`eme de l’allocation
de fr´equences avec relaxations. Tenant compte de la s´emantique des contraintes, des
proc´edures sp´ecifiques sont utilis´ees pour calculer les consistances locales. Le premier
filtrage impl´ement´eestl’AC.Nous´etudions ensuite la 3-consistance inverse sur cer-
tains types de contraintes. Nous avons compar´e dans une ´etude exp´erimentale les temps
de l’algorithme AC3 et ceux de notre algorithme qui tient compte des sp´ecificit´es des
contraintes.
2 Conventions et quelques r´ef´erences sur les r´eseaux
de contraintes
Les fondements des r´eseaux de contraintes sont d´efinies dans [U.M74]. Le filtrage
associ´e`a la consistance d’arc AC [Wal75]est le plus utilis´e. Les nvariables xi(i∈[1,n])
du r´eseaux de contraintes ont pour domaine Diet pour ´el´ements les vi. Dans la suite,
une contrainte entre xiet xjest not´ee Cij .
Notre algorithme de fermeture par arc consistance est constitu´e classiquement de :
–la proc´edure r´evise(xi,x
j):d´eterminer les valeurs des variables xiet xjqui
v´erifient la consistance d’arc pour une contrainte Cij ,
–la proc´edure de propagation(xk,x
j): mettre `a jour le domaine xkpar suppres-
sion des valeurs devenues inconsistantes suite `a la suppression d’une valeur dans
Dj.
L’algorithme r´ealisant la fermeture par arc consistance AC3a´et´epropos´eparMackworth
[Mac77]. D’autres algorithmes ont ´et´ed´evelopp´es pour calculer l’arc consistance[BR].La
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k-consistance inverse est propos´ee par Freuder et Elfe [FE96].Lak-inverse consistance
pour k= 3 est aussi appel´e ”Path Inverse Consistency” (PIC).
3 Contraintes du probl`eme d’allocation de fr´equences
La s´emantique des contraintes que nous avons eu `a traiter sont :
– Les contraintes imp´eratives (CI):|fi−fj|=εij et |fi−fj| =εij ,
–´ecart minimal entre les fr´equences (CEM):|fi−fj|≥εij .
Pour contrˆoler le niveau de d´egradation des contraintes CEM il a ´et´e introduit un
niveau de relaxation r.Pluspr´ecis´ement, soient CEMrles contraintes pour lesquelles
une relaxation progressive est autoris´ee :
|fi−fj|≥ε0
ij ≥ε1 ij ≥... ≥εr ij ≥... ≥ε10 ij .
Une solution r´ealisable au niveau rest l’assignation d’une fr´equence `a chaque trajet
qui satisfait toutes les CI et toutes les CEMr. Un tel probl`eme est appel´e r–r´ealisable.
On peut ainsi consid´erer ce probl`eme comme 11 CSP et donc utiliser un filtrage pour
chacun d’eux.
4 Un algorithme d’AC pour le FAP avec niveaux de
relaxation
Le domaine arc consistant de Diest not´eDrev
i. Dans les structures de donn´ees,
les valeurs des domaines sont index´ees et tri´ees par l’ordre naturel. min(D)etmax(D)
renvoient les valeurs des extremums de Den O(1). L’op´eration de translation not´ee D+x
translate l’ensemble des valeurs d’un domaine d’un vecteur xen O(1). majorant(v, D)
et minorant(v, D) renvoient respectivement le plus petit ´el´ement (resp le plus grand)
sup´erieur ou ´egal (resp inf´erieur ou ´egal) `a une valeur vdans un ensemble Den log(d).
La suppression d’un ´el´ement v`a un ensemble Dest not´eD−{v}et sa complexit´eest
O(log(d)). Enfin D∪Det D∩Dsont en O(d).
4.1 Proc´edures pour la contrainte d’in´egalit´ed’´ecart |vi−vj| =εij
–siDj={vj}alors Drev
i=Di−{vj−εij ,vj+εij },
–siDj={vj,v
j+2∗εij }alors Drev
i=Di−{vj+εij }.
– sinon toute valeur de Diest consistante (Drev
i=Di),
r´evise n’utilise que l’op´eration suppression, sa complexit´e est donc O(log(d)).
Propagation : On propage la suppression d’une valeur (xi,v
i) sur les contraintes
de diff´erences d’´ecart Cik si |Drev
i|≤2.
4.2 Proc´edures pour la contrainte d’´egalit´ed’´ecart : |vi−vj|=εij
Drev
i=((Dj+εij )∩Di)∪((Dj−εij )∩Di).
La fonction r´evise a donc une complexit´eenO(d).
Propagation : Une valeur (xi,v
i) supporte les valeurs vi+εik et vi−εik du domaine
Dkde xkpour la contrainte |fi−fk|=εik.Siviest supprim´ee, on supprime (xk,v
i+εik)
(resp (xk,v
i−εik)) de Dksi vi+2∗εik (resp si vi−2∗εik ) n’appartient pas `aDi.

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4.3 Proc´edures pour la contrainte d’´ecart minimal : |vi−vj|≥εij
Calcul de la fonction r´evise :
Drev
i=Di∩(] −∞,max(Dj)−εij ]∪[min(Dj)+εij ,+∞[)
La fonction r´evise a la complexit´e de l’op´eration intersection et union : O(d).
Propagation : On propage la suppression des valeurs sur les CEM Cik si les
extremums de Disont supprim´es.
53-consistance inverse (PIC) pour les contraintes du
FAP
L’´etude porte sur les triplets de variables reli´ees par trois contraintes (ces sous-r´eseaux
sont appel´es 3-clique) ne comportant que des CEM. Dans la suite, un ordonnancement
p=(xj,x
i,x k) signifie que les affectations des variables xi,x j,x kv´erifient vj≤vi≤vk.
5.1 PIC sur les 3-cliques de CEM
Alain Hertz, David Schindl et Nicolas Zufferey, [HSZ]proposent un algorithme pour
faire un filtrage sur les 3-cliques CEM. C’est une recherche de support suivant les 6 fa¸cons
d’ordonner les variables. Le principe est pr´esent´epourx1, le traitement des deux autres
variables ´etant sym´etriques. Pour les 6 ordonnancements ppossibles, on calcule deux
valeurs vp
2et vp 3. Une valeur v1v´erifie la 3-consistante inverse par un de ces ordonnance-
ments si et seulement si une des 6 affectations ((x1,v
1),(x2,v
p
2),(x3,v
p
3)) est compatible
avec les 3 CEM. L’algorithme d’Alain Hertz et al [HSZ]fait ce test pour chaque ´el´ement
(x1,v
1). Or chaque ordonnancement donne en fait un intervalle [minp,max p] de valeurs
possibles pour x1, les valeurs vp
1et vp 3sont d´efinies comme pour le premier algorithme. Le
domaine consistant de x1est l’intersection de Diavec l’union des 6 intervalles obtenus.
5.2 PIC sur les 3-Cliques avec 2 CEM et une contrainte d’´egalit´e
d’´ecart
PIC n’est v´erifi´ee sur ce type de 3-clique que si l’´ecart ε13 de la contrainte d’´egalit´e
est inf´erieur `a la somme des ´ecarts des CEM soit ε13 <ε
12 +ε23 (C13 est la contrainte
d’´egalit´eetC12 ,C
23 les CEM). Dans ce cas, les ordonnancements x1<x 2<x 3et
x3<x
2<x 1ne peuvent pas d´efinir des valeurs compatibles avec v1. Nous ne calculons
que les quatre paires (v1,v
1+ε13)et(v1,v 1−ε13) plac´ees le plus `a droite et le plus `a
gauche que permettent D1et D3. Une valeur v2est consistante si et seulement si elle est
compatible avec au moins une de ces paires. Une valeur v1est consistante si elle peut ˆetre
´etendue `av1+ε13 ou v1−ε13 pour x3et un extremum pour x2. Le calcul du domaine
consistant de x3est similaire `a celui de x1. Le calcul de la consistance est lin´eaire.
5.3 Calcul incr´emental de consistance pour les niveaux de relˆachement
Entre deux niveaux rcons´ecutifs, le calcul de la fermeture par arc consistance n’est
r´eit´er´e que sur les CEM o`u la valeur d’´ecart a augment´e. On proc`ede ainsi incr´ementalement.

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6R´esultat des filtrages
Par manque de place, on ne peut publier le tableau comparatif des temps obtenus entre
AC3g´en´erique et notre algorithme. Les exp´erimentations sont faites sur le benchmark du
FA P P du challenge ROADEF’01. Le nombre de valeurs supprim´ees par les filtrages est
compris entre 90% et 99% pour 14 instances, et entre 35% et 84% pour les autres. Pour 17
instances, de meilleurs r´esultats sont obtenus par PIC.PIC am´eliore encore les r´esultats
pour 14 instances. Enfin les temps obtenus sont les r´esultats les plus importants. Aucune
ex´ecution de nos algorithme ne prend plus de 21 secondes mˆeme pour des instances de
3000 variables. L’´execution de notre algorithme est en moyenne 16 fois plus rapide que
celle d’AC3.
7 Conclusion
Dans cet article, nous avons propos´e une impl´ementation du filtrage AC3pourle
r´eseau de contraintes du FA P avec niveaux de relaxations. Le fait que l’on connaisse la
s´emantique particuli`ere des contraintes permet de concevoir des traitements sp´ecifiques.
C’est ainsi que nous avons diminu´e les temps de calcul de fa¸con tr`es significatives. Nous
proposons ensuite un filtrage apportant une am´elioration qualitative. Ce filtrage est as-
soci´e`alapropri´et´e de 3-consistance inverse. Ce deuxi`eme traitement s’est av´er´e pertinent
du point de vue de la r´eduction de l’espace de recherche.
R´ef´erences
[BR]C. Bessi`ere and J.C Regin. Using bidirectionnality to speed-up arc-consitency
processing. M.Meyer, Constraint Processing volume 923 of lecture Notes in
Computer Science, page 157.
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[HSZ]A. Hertz, D. Schindl, and N. Zufferey. A tabu search algorithm for the frequency
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[Mac77]A.K. Mackworth. Consistency in networks of relations. Artificial Intelligence,
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tions to picture processing. Information Science, (7(2)) :95–132, 1974.
[Wal75]D.L. Waltz. Understanding line drawing of scenes with shadows. Psychology of
Computer Vision McGraw Hill, pages 19–91, 1975.