Conjugué d`un nombre complexe

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Avertissement préalable
Dans ce qui suit, les nombres a et b du complexe
z a .b
= +
i
sont deux réels. Ce sont ses
parties réelle et imaginaire.
Définition du conjugué d'un nombre complexe
Définition : le conjugué du nombre complexe
z a .b
= +
i
est le complexe
z a .b
= −
i
Déterminons quelques conjugués de nombres complexes
3 3
− + = − −
i i
( ) ( )
3 2. 3 2. 3 2. 3 2.
− − = − + − = − − − = − +
i i i i
5 5 0. 5 0. 5
= + = − =
i i  0 1. 0 1.
= + = − = −
i i i i
Propriété : le conjugué du conjugué d'un nombre complexe est le nombre lui-même.
z z
=
En effet, nous avons :
( ) ( )
z a .b a .b a .b a .b a .b z
= + = − = + − = − − = + =
i i i i i
Un nombre complexe, son conjugué, ses parties réelle et imaginaire
Propriété : les parties réelle et imaginaire d'un nombre complexe z sont égales à :
( )
z z
Re z
2
+
=
( )
z z
Im z
2.
−
=
i
Pour tout nombre complexe
z a .b
= +
i
, nous pouvons écrire :
(
)
(
)
(
)
z z a .b a .b a .b a .b 2.a 2.Re z
+ = + + − = + + − = =i i i i
(
)
(
)
(
)
z z a .b a .b a .b a .b 2. .b 2. .Im z
− = + − − = + − + = =i i i i i i
Corollaire : les seuls complexes qui sont leurs propres conjugués sont les nombres réels.
En effet :
( )
Les seuls complexes dont la partie imaginaire est nulle sont les nombres réels
z z
z z z z 0 0 Im z 0 z est un réel
2.
−
= ⇔ − = ⇔ = ⇔ = ⇔
i
Module d'une nombre complexe
Définition : le module du nombre complexe
z a .b
= +
i
est le réel positif ou nul noté
z
et défini par :
2 2
z a b
= +
Calculons quelques modules de nombres complexes :
 2 2
0 0 0 0 0 0
= + × = + =
i
Le seul nombre complexe ayant un module nul est celui de 0
( )
22
3 3 0 3 0 9 3
− = − + × = − + = =
i
Le module d'un nombre réel est égal à sa valeur absolue.
 2 2
0 1 0 1 1 1
= + × = + = =
i i
( )
2
2
3 4. 3 4 9 16 25 5
− = + − = + = =
i
Un nombre complexe, son conjugué et son module
Propriété : le produit d'un complexe et de son conjugué est égal au carré du module.
( ) ( )
2
2 2
Cette formule est à retenir
z z z a .b a .b a b
× = ⇔ + × − = +
i i
En effet, pour tout nombre complexe
z a .b
= +
i
, nous pouvons écrire :
( ) ( ) ( ) ( )
2
2
2 2 2 2 2 2 2 2
z z a .b a .b a .b a .b a 1 .b a b z
× = + × − = − = − = − − = + =i i i i
Conjugué d'une somme
Propriété : le conjugué d'une somme est égal à la somme des conjugués.
z z ' z z '
+ = +
En effet, pour tous nombres complexes
z a .b
= +
i
et
z ' c .d
= +
i
, nous pouvons écrire :
 D'une part :
( ) ( ) ( ) ( )
z z ' a .b c .d a .b c .d a c . b d
+ = + + + = − + − = + − +
i i i i i
 De l'autre :
( ) ( ) ( ) ( )
z z ' a c . b d a c . b d
+ = + + + = + − +
i i
D'où l'égalité
z z ' z z '
+ = +

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Conjugué d'un opposé et conjugué d'une différence
Propriété : le conjugué d'un opposé est égal à l'opposé du conjugué.
Le conjugué d'une différence est égal à la différence des conjugués.
z z
− = −
z z ' z z '
− = −
En effet, l'opposé du nombre complexe
z a .b
= +
i
est le complexe
z a .b
− = − −
i
.
Par conséquent :
( ) ( ) ( )
z a .b a .b a .b a .b z
− = − − = − − − = − − = − + = −
i i i i
Donc le conjugué de l'opposé est l'opposé du conjugué.
Pour ce qui est du conjugué de la différence, il vient alors :
( ) ( )
(
)
Conjugué d'une somme... Conjugué de l'opposé
z z ' z z ' z z ' z z ' z z '
− = + − = + − = + − = −
Conjugué d'un produit et conjugué d'une puissance
Propriété : le conjugué d'un produit est égal au produit des conjugués.
Le conjugué de la puissance est égal à la puissance du conjugué.
z z ' z z '
× = ×
(
)
n
n
z z
=
En effet, pour tous nombres complexes
z a .b
= +
i
et
z ' c .d
= +
i
, nous pouvons écrire :
 D'une part :
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2
z z ' a .b c .d a .b c .d
a.c .a.d .bc .b.d a.c . a.d b.c 1 .b.d
a.c b.d . a.d b.c
× = + × + = − × −
= − − − = − + + −
= − − +
i i i i
i i i i
i
 De l'autre, comme
(
)
(
)
(
)
z z ' a .b c .d (a.c b.d) . a.d b.c
× = + × + = − + +i i i alors :
( ) ( )
z z' (ac bd) . ad bc (ac bd) . ad bc
× = − + + = − − +i i
D'ou l'égalité
z z ' z z '
× = ×
Pour la puissance, il vient alors que pour tout n∈ :
(
)
n
n
n facteurs n facteurs toujours.
Le produit des conjugués... ...est le produit des conjugués
z z z z z z z z
= × × × = × × =… …
Conjugué d'un inverse et conjugué d'un quotient
Propriété : le conjugué de l'inverse est égal à l'inverse du conjugué.
Le conjugué d'un quotient est égal au quotient des conjugués.
1 1
z
z
=
z z
z '
z '
=
En effet, pour tout nombre complexe non nul
z a .b
= +
i
, nous pouvons écrire :
 D'une part comme
(
)
( ) ( )
2 2 2 2 2 2
On multiplie a .b
par sa quantité conjugué a .b
1 a .b
1 1 a .b a b
.
z a .b a .b a .b
a b a b a b
+−
× − −
= = = = −
+ + × − + + +
i
i
iii
i i i
alors le conjugué de
1
z
est le complexe
2 2 2 2
a b
.
a b a b
+
+ +
i.
 De l'autre, le conjugué du complexe
z a .b
= +
i
est le complexe
z a .b
= −
i
. Donc :
(
)
( ) ( )
2 2 2 2 2 2
On multiplie a .b
par sa quantité conjugué a .b
1 a .b
1 1 a .b a b
.
a .b a .b a .b
z
a b a b a b
−+
× + +
= = = = +
− − × + + + +
i
i
iii
i i i
D'où l'égalité
1 1
z
z
=
  .
Pour le quotient, il vient alors que pour tous nombres complexes z et z', on a :
z 1 1 1 z
z z z
z ' z ' z '
z ' z '
= × = × = × =