CCP : Electrostatique : Effet Hall dans un conducteur cylindrique

x Parties Pousarlt être traitées
ir Ces deo t ' P"r'ties étudient Ie
'Pe ohnrigue elr divers régiles' Le
Ie condttcteur est formé d'atomes
ores. Ce sont ces derniers qui
u€. En Pltrs des f
orces dues au
ectron sera sounis aux forces
ttlsr modélisées Par tlne force de
+t'à
type frottçment fluide É = -kv , v étant Ia vitcsse de l'électron
par rapport aux ions ii*"s et k une constante dépendant de Ia
nature du matériau. On ne tiendra comPte du' poids des électrons que
dans la partie I I
l' . On notera m Ia masse d'un éIectron r -c sa
charge, n la densité éIectronique c'es! À dire Ie nombre d'électrons
de conduction-p., unité de volume et on supPosera que les électrons
ne peuvent Pas sortir du conducteur'
Les données numérirlues sont regroupées à la f in du suiet '
I l coNDt,cT.Et'R EN EGII,TLEB|RE ELEcTRos:r^TrquL
un conducteur est dit en équilibre. éIectrostaticluc si les
électrons de conduct ion sont f ixes pÂr rapport aux ions (
couranÈ
éIectrigtre nuI l.
a') on considère un conducteur en équtlibre en I'absence de
charnp électro-magnétique d'origine extéricure.
al Hontrrer 9u€r si I'on tient compte dtt Poids des électrons de
conduction. iI doit exister à I'intérieur du conducteur en
équi I ibre ,rr, .ltiP -étectrostatique dont on donnera la valeur
rl
to\lt
en fonction de rll e et de I'accélération de Ia Pesanteur g''
b) En déduire la différence de Potentiel qut doit cxistcr entre
deux points du conducteur dont i"" altitudes diffèrent de h' On
préciseralesignedecettedifférencedepotentiel.
c)Applicationnùmérique:-calculerladifférencedePotentiel
précédenteDotlrh=goo'nITourEiffeIl.Conclure.
rn(
= g.?"=51'.*
- i=1t6-^t:'"' I ; J'9'''ô'a
pouR LÀ surrE DU pRoBLEHE
oN
ïËcilrcnne -l,e potps D
' uN ELECTRON
DEvAllr
LES AUTRES
FORCES
QU'IL POURRA
SUBIR
r ! 2') On ét'udie Ie comPortement dtun
initialenent neutre. de reyon R, de Iongucttr
dans un champ éIectrostatique d'origine d(É.e-*tC
perpendiculaire i l'axe oz du cylindre et teI q\rÇ
étant un vectettr unitaire de Itaxe Os : voir f iEttres
cylindrc conductêur 1
infinie, PIacé
-a
Eo
, uni forne r
-, -t -'
EO = EO Urr ur
1 & 2,
,):
a|}|ontrergU€rlorsquel'éguilibreélectrostatiquedu
condttcterrr est atteint :
-Le chanP éIectrique totalÀI'intérieurduconducteurestnuli
-Le Potentiel électrostatigue
conducteur;
I
est uni forme À I t
lntérleur du
Dlgurc : t Flgrrc : 2
Figurc : 3

-La dens i té volumique de charEes électriques est ,ruit" et que
. les éventuelles charges sont surfaciques. .
b) Décrire comment et Pourquoi on arrive à un tel état
d'équilibre.
On se propose maintenant de montrer qu'une répartition
surfacique de charges o ='oo cos e ( oo étant une constante et 0
I'angIe permetÈant de repérer la position d'un point M de la
surface : voir figure 2l peut convenir Pour décrire I'état
d'équiI ibre éIectrostatique du conducteur'
a
cl Hontrer gurune telle répartition resPecte^ la netltralité
initiale du conducteur..
dl pour étudier une telle clistribution, nous allons d'abord
oohtrer son équivalence avec Ia distribution suivante :
Deux cylindres infinis de rayon R, d'axes Qtz et Ozz,
uniformément chargés en volume, Itun avec Ia densité volumique
-p; I'autre avec Ia densité p ont leurs axes parallèIes et
distants de e (a <<
Hontrer que cette distribution est équivalente à unÈ-
digtribution surfacique de type o. = oo cos e lorsque a tend vers
0, )ëGrl.r";r,rr^ q 9G f.*"ho'.. ù ]t ",| rr .
-Dr
e) Calculer le champ et le pobenkiel à I'estérieur d'un cylindre
inf ln i , de reyon R
I uni t'orménenÈ chargé en volume qvec une
densité p. ( trr2, & ^:rrr'tat\q+& c.- Jrrraa.ra). On',!+u^o rof,r^ €, t Vl .
ll
Calcttler de nêrne le champ et le poterrtiel à I'intérieur du
cylindre.
Retaroqg
.' les 'potentjejs serolt calcujis à une constante additive près,
f ) En rléduirc que Ie charnp crdé à I'intéricur de la disLribution
- est uni forme.
envisaEée à Ia question dl,
Quel
le valeur doi t,-on alors donner à oo pour que cette
distribution modéIise le conductetrr en équilibre dans Ie champ
-t
extérieur Eo. On donnera oo en fonction de €o eÈ Eo.
g) Déterminer le charyrp
élect-rique ,,ttA a--',e'4ténïfu." &"tu plio-
hi6,^f.c"^ a^rÂtr.b.'4Ll on à) O.rt ,i;f6-lrr*'.^rtc. à f
aJlrorJ It lelTrn(IJ.ll Y'
àt ^ ,#^ .rr,r.oJ,?. d (lerdr,e 4 e'* + /a<< ^) ,-F ^ WJtt;^^ Ê,
àa,y,.a <t) a.ro-.â.arrn
.âzr, .a(;.Ln"i gæ<r. '/a
dr
h) Etrrdier Ies discontinuités des composantes normale et
tançentiel Ie du champ éIectrique total sur la surface du
cylindre. Conclure.
r r ) coNDUcTErJR EN RtC IMt CONT I Nt'
On cons
idère torr
jours le mème cyl indre que dans la partie f l. .t
Un générateur extérieur impose maintenant un champ éIectrique Eo,
uniforme et constantr parallèle à I'axe Oz du cylindre et tel que
*)-,4
Eo=Eo.ur r ur étant un vecteur unitaire de Itaxe Oz. Ce champ esL
étÂbli de façon instantanée à I'instant t=0r Ie conducteur étant
initialement en éqtrilibre (éIectrons art reposl. )
r r J r ') Ecri re l 'équation di fférentiel le donnant v
r vitesse d'un
éIectron dtt cf'l indre. Intégrer cette équation di f f érentielle en
teilant compte des conditions initiales lon posera r=m/kl.
-t
r r I 2 ') Hontrer qu'après un régirne transitoi re, v tend vers une
'4,
valeur limite vl que I'on déterninera. En déduire Ia loi d'Ohm loca-
-, -D -t
le j = a . Eo, liant la densité de courant j dans Ie cylindre et le
-D
charnp Eo
, o étnnt une constante caractéristique du maÈériau que I ton
exprimera en fonction de ns c' t et mo
Cette constante o est appelée conductiviCé du nat,ériau et rr'a,
bien sûr rjen â voir avec la grandeur o utjJjsée dans la partie I]l
L

r r I 3 ') Appl ication numérique :
.expérimentalement que o = 5,8.10? S.m-
I
quant à Ia durée du réginre transi toire.
r r I 6 ') En plus drr champ électrigue
-t
champ électrostatique supplémentaire Er,
Iton exprimera en fonction de Bo't I,
uni ùai re I on supposera Pour cela gu
t
ttn
atteint dans leqtrel les Iignes de
parallèles à Ozl.
Pour Ie cuivre on trouve
. CaIctrIer k et t. Conclure
}L =i,1
. {æt;l
tappelé chanp de Hall I gue
tt1 €r R eL d'un vecteur
nouveau régime permanent est
couranL sont des droites
3
rr J 4 -) On considère deux points A et B du cylindre tels guêr Zt
et Zb étant les coordonnées de A eL B sui I'axe Qz, Zt-Zt=L.
.Dét.erminer
en fonction de .i l.i-t= j . Ïrr, o et L la différence de
potentiel V. \tb entre Ies points A et B. Hontrer que celle-ci peut
se mettre sotls la forme Vr VU = Ro.I oir I est le courant
traversant le cf,I
indre et Ro une constante que I'on eliprinrera en
fonction de a. L et R. Ro est appelée résistnnce de la portion AB.
rr ! 5-> Déterminer la puissance transmise par le Eénérateur eux
électrons situés entre A et B, en fonction de Ro et de I (un calcul
détai I lé est demandé
| I .
Que "devlenÈ" cette puissance?,un nouveau calcuI détaitIé est
dernandé 1* 4t F''i>tot'.e Je. &' lt 4 â" l^"1f.r""^f )
EPPET HALL t
Eo
, on appl ique maintenant
un charnp magnétlque Bo, trniforne et constant,. pâraIlèle à Itaxe Ox
lvoir figtrre 41.
--ù
Bo'llr
Fl3urc : I
Hontrer que ce champ maqnétiqtre va provoquer I'apparition de
charges surf ac
iqrres srrr la paroi IatéraIe du cylindre, ainsi gu'un
r r J ? ') Calculer la di f férence de potenÈiel entre tes dettr points
C et D de la figure 4 en fonction de Bo
r €r Ir n eL R.
Appl.ication numérique : Bo = t T, I = I A et R = 2 mm. Conclure.
I r I I - ) Déterminer la densité srrrfaciqrre de clrarges dtr conducteur
en fonction de €0
, Bo, I, h1 c et R et de totrt paramèÈ,re dtespace
qui vous semblera utiIe.
tr J 9'
présence d'
.t = oI
> Hontrer que Ia loi d'Ohm en régime permanenL et en
un champ magnétigue peut se mettre sous la forme :
-t -, -t
E + Rn(j ^ Boll
où Rrr
est une constanÈe
à
E représente ici..le
conductertr.
que.
Iton déterminera en fonction de n et €.
..champ électrique total régnrrrtË dans Ie

eUS
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