CCP : Electrostatique : Effet Hall dans un conducteur cylindrique

traitées
x
Parties
P
' ousarlt être
Ie
é
t
u
d
ient
ir Ces deo t
P"r'ties
Le
'Pe ohnrigue elr divers
régiles'
est
formé d'atomes
Ie condttcteur
qui
derniers
ces
sont
Ce
ores.
dues au
des
f orces
En Pltrs
u€.
forces
aux
sounis
sera
ectron
force de
ttlsr
modélisées
Par tlne
+t'à
de l'électron
Ia vitcsse
étant
= -kv
, v
É
fluide
type frottçment
Ia
de
dépendant
c
o
n
s
t
a
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t
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u
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k
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i
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*
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P
t
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On ne tiendra
nature du matériau.
sa
éIectron r -c
masse d'un
m Ia
On notera
I I l' .
partie
dans la
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'
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n
s
n
o
m
b
r
e
I
e
À
d
i
r
e
c'es!
éIectronique
charge, n la densité
que les électrons
de volume et on supPosera
unité
de conduction-p.,
du conducteur'
ne peuvent Pas sortir
à la f in du suiet '
n
u
m
é
r
i
rlues sont regroupées
d
o
n
n
é
e
s
Les
I
coNDt,cT.Et'R
l
EN
est
conducteur
un
de conduct ion
électrons
nuI l.
éIectrigtre
rl
to\lt
EGII,TLEB|RE
dit
sont
ELEcTRos:r^TrquL
les
si
( couranÈ
éIectrostaticluc
équilibre.
en
ions
aux
pÂr
rapport
f ixes
en I'absence
en équtlibre
un conducteur
on considère
a')
e
x
t
é
r
i
c
u
r
e
.
d
'
o
r
i
g
i
n
e
charnp électro-magnétique
compte dtt Poids des électrons
tient
al Hontrrer 9u€r si I'on
du conducteur
d o i-té t e cetxr iosst tear t i q u eà I ' i n t é r i e u r
iI
conduction.
d
o
n
nera la valeur
o
n
d
o
n
t
équi I ibre ,rr, .ltiP
de
de
en
de Ia Pesanteur g''
en fonction de rll e et de I'accélération
q
ut doit cxistcr entre
b) En déduire la différence de Potentiel
de h' On
diffèrent
a
l
t
i
t
u
d
e
s
i
"
"
d
o
n
t
deux points du conducteur
préciseralesignedecettedifférencedepotentiel.
c)Applicationnùmérique:-calculerladifférencedePotentiel
précédenteDotlrh=goo'nITourEiffeIl.Conclure.
I ; J ' 9' ' ' ' ô ' a
i = 1 t 6 - ^ t : ' "-l,e
' potps
r n ( = g . ? " = 5 1 ' . *DEvAllr
D uN ELECTRON
pouR LÀ surrE DU pRoBLEHEoN ïËcilrcnne
S
U
B
I
R
P
O
U
R
R
A
Q
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I
L
F
O
R
C
E
S
LES AUTRES
2')
r
!
initialenent
dtun
comPortement
Ie
On ét'udie
de Iongucttr
de reyon R,
neutre.
dans un champ
éIectrostatique
d'origine
cylindrc
infinie,
d(É.e-*tC
-a
Eo ,
conductêur 1
PIacé
uni forne r
-,
q\rÇ EO = EO
et teI
i
l'axe oz du cylindre
perpendiculaire
de Itaxe Os : voir f iEttres 1 & 2,
étant un vectettr unitaire
-t
Urr
,):
a|}|ontrergU€rlorsquel'éguilibreélectrostatiquedu
:
condttcterrr est atteint
-Le
chanP éIectrique
-Le Potentiel
conducteur;
totalÀI'intérieurduconducteurestnuli
électrostatigue
est
uni forme
À
I t lntérleur
I
Figurc : 3
Dlgurc : t
Flgrrc
: 2
du
-'
ur
-La
. les
comment
Décrire
b)
d'équilibre.
et
on
Pourquoi
,ruit"
est
dens i té volumique de charEes électriques
charges sont surfaciques.
éventuelles
que
et
L
.
à
arrive
un
état
tel
qu'une
répartition
de montrer
maintenant
On se propose
et 0
(
u
n
e
c
o
n
s
tante
=
'
o
o
é
t
a
n
t
e
o
o
c
o
s
o
c
h
a
r
g
e
s
de
surfacique
point
M de la
position
d'un
la
de repérer
permetÈant
I'angIe
I'état
décrire
peut
convenir
2l
voir
Pour
figure
:
surface
du conducteur'
d'équiI ibre éIectrostatique
a
gurune telle
Hontrer
cl
du conducteur..
initiale
resPecte^ la
répartition
netltralité
d'abord
nous allons
suivante :
clistribution,
une telle
dl pour étudier
oohtrer son équivalence avec Ia distribution
Ozz,
et
Qtz
d'axes
R,
rayon
de
infinis
Deux cylindres
volumique
Ia densité
uniformément chargés en volume, Itun avec
et
axes parallèIes
p ont leurs
-p;
avec Ia densité
I'autre
(
a
<
<
e
d
e
distants
que
Hontrer
cette
distribution
à
est
équivalente
unÈdigtribution
surfacique de type o. = oo cos e lorsque a tend vers
0, )ëGrl.r";r,rr^
9G
q- D
r f.*"ho'.. ù ]t ",| rr .
e) Calculer le champ et le pobenkiel à I'estérieur
d'un cylindre
inf ln i , de reyon RI uni t'orménenÈ chargé en volume qvec une
p. ( trr2, & ^:rrr'tat\q+&c.- Jrrraa.ra). On',!+u^o
densité
rof,r^ €, t Vl .
ll
de
Calcttler
cylindre.
nêrne le
' p o te n tj e j s
Ret ar oq g .' l e s
champ et
poterrtiel
le
s e ro l t cal cuj i s
à
I'intérieur
du
à une constante addi ti ve près,
f ) E n r l é d u i r c q u e I e c h a r n pc r d é à I ' i n t é r i c u r
de la disLribution
- est uni forme.
envisaEée à Ia question dl,
valeur
doi t,-on alors
pour
que
Q u e ll e
donner
à
oo
cette
modéIise le conductetrr en équilibre
distribution
dans Ie champ
-t
Eo. On donnera oo en fonction
extérieur
de €o eÈ Eo.
g ) D é t e r m i n e r l e c h a r y r pé l e c t - r i q u e
,,ttA
a--',e'4ténïfu."
a^rÂtr.b.'4Ll on à)
O.rt ,i;f6-lrr*'.^rtc.
à f aJlrorJ It
hi6,^f.c"^
(lerdr,e
e'*
.rr,r.oJ,?.
4
d
^ ,#^
àt
+
/a<< ^) ,-F ^
'/a
àa,y,.a
<t)
a.ro-.â.arrn.âzr,
h)
Etrrdier
Ies
du
tançentiel
Ie
Conclure.
cylindre.
r r
EN
coNDUcTErJR
)
.a(;.Ln"i gæ<r.
dr
discontinuités
champ
éIectrique
plio&"tu
lelTrn(IJ.ll Y'
WJtt;^^
Ê,
On cons idère
t o r rj o u r s
RtC
IMt
CONT
des
composantes
total
sur
la
normale
surface
et
du
I Nt'
que dans la
l e m è m ec y l i n d r e
partie
f l.
Un générateur extérieur
impose maintenant un champ éIectrique
uniforme
et
constantr parallèle à I'axe
Oz du cylindre
et tel
*)-,4
un vecteur
étant
unitaire
Eo=Eo.ur r ur
de Itaxe
de façon
étÂbli
instantanée
à I'instant
Ie
t=0r
(éIectrons
initialement
art reposl.
en éqtrilibre
.t
Eo,
que
Oz. Ce champ esL
conducteur
étant
)
')
r r J r
Ecri re l 'équation di fférentiel le donnant v r vitesse d'un
éIectron
dtt cf'l indre.
Intégrer
cette
di f f érentielle
équation
en
teilant compte des conditions initiales
lon posera r=m/kl.
-t
')
vers une
r r I 2
Hontrer qu'après un régirne transitoi re, v
tend
'4,
valeur
limite
le j
vl
que
I'on
déterninera.
En déduire
-D
-,
= a . Eo, liant
la densité
de courant
j
c h a r n pE o, o é t n n t u n e c o n s t a n t e c a r a c t é r i s t i q u e
exprimera en fonction de ns c' t et mo
constante
Cette
â voir
sûr rjen
loi
d'Ohm loca-
dans Ie cylindre
-D
bien
Ia
-t
o est
appelée conductiviCé
avec la grandeur o utjJjsée
et
le
du maÈériau que I ton
et
rr'a,
du nat,ériau
I]l
dans la partie
')
on trouve
cuivre
r r
3
Appl ication
numérique :
I
Pour Ie
.expérimentalement que o = 5,8.10? S.m-I . CaIctrIer k et t. Conclure
quant à Ia durée du réginre transi toire.
}L = i , 1 . { æ t ; l
-)
rr
On considère deux points A et B du cylindre
J 4
tels
et Zb étant les coordonnées de A eL B sui I'axe Qz, Zt-Zt=L.
3
guêr Zt
o
et
L la différence
de
. D é t . e r m i n e re n f o n c t i o n d e . i l . i - t = j . Ï r r ,
potentiel V.
\tb entre Ies points A et B. Hontrer que celle-ci
peut
se mettre sotls la forme Vr
VU = Ro.I
oir I est le courant
traversant
le cf,I indre et Ro une constante que I'on
eliprinrera en
fonction de a. L et R. Ro est appelée résistnnce de la portion AB.
rr
Déterminer la puissance transmise par le Eénérateur eux
! 5->
électrons situés entre A et B, en fonction de Ro et de I (un calcul
d é t a i I l é e s t d e m a n d é| I .
Que "devlenÈ" cette puissance?,un nouveau calcuI
dernandé
4t F''i>tot'.e Je. &'
4 â"
)
1*
lt
l^"1f.r""^f
détaitIé
est
EPPET HALL
r r
I
6
')
En plus
t
Eo ,
drr champ électrigue
on
appl ique
maintenant
-t
un charnp magnétlque
lvoir
figtrre
41.
Bo,
trniforne
et
constant,.
pâraIlèle
à
Itaxe
Ox
--ù
Bo'llr
Fl 3urc : I
Hontrer que ce champ maqnétiqtre va
charges surf ac iqrres srrr la paroi
IatéraIe
provoquer I'apparition
de
du cylindre,
ainsi gu'un
Er, tappelé
supplémentaire
chanp de Hall I gue
champ électrostatique
vecteur
Bo't I,
tt1 €r
de
R eL d'un
en
fonction
Iton
exprimera
t
permanent est
uni ùai re I on supposera
Pour cela gu ttn nouveau régime
des
droites
Iignes
de
sont
les
couranL
dans
leqtrel
atteint
parallèles
à Ozl.
')
Calculer
la di f férence de potenÈiel entre tes dettr points
r r J ?
C e t D d e l a f i g u r e 4 e n f o n c t i o n d e B or € r I r n e L R .
Appl.ication
numérique
:
Bo = t
la densité
I
I r
) Déterminer
I
h1 c
de €0 , Bo, I,
en fonction
qui vous semblera
utiIe.
que Ia
9' > Hontrer
tr
J
présence d' un champ magnétigue
-t
-t
-,
.t = oI E + Rn(j ^ Boll
T,
I
= I
A et
R = 2 mm. Conclure.
srrrfaciqrre de clrarges dtr conducteur
et R et de totrt paramèÈ,re dtespace
permanenL
loi
d'Ohm en régime
peut se mettre sous la forme :
et
en
o ù R r re s t u n e c o n s t a n È e q u e . I t o n d é t e r m i n e r a e n f o n c t i o n d e n e t € .
à
total
régnrrrtË dans Ie
..champ électrique
E représente ici..le
conductertr.
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